专题含参函数的零点问题
【高考数学专题】专题07 函数的零点解题模板-高中数学解题模板
函数的零点问题【考点综述】函数的零点是函数与其他知识具有广泛联系的一个链结点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机地联系在一起由于函数零点涉及到化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想方法，加之与导数的应用一唱一和，与高等数学相衔接，因此自然成为命题者眼中难以割舍的命题源泉.利用函数零点解决函数问题、方程问题已成为高考命题的一个热点，成为新课程实验后高考的新亮点.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：零点或零点存在区间的确定使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可. 例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】解题模板选择： 本题中需要确定函数的零点所在的区间，故选取解题方法模板一零点或零点所在区间的确定进行解答.解题模板应用：第一步，直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函數值的乘积是否小于0： 函数()43xf x e x =+-单调递增只有一个零点，而1144113204f e e ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭，1102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭； 第二步，若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可： 由11042f f ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知数的点在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B . 【典型例题】1. 函数()2ln f x x x =-的零点所在的大致区间的 A. ()1,2B. ()2,3C. (),3eD. (),e +∞ 【答案】B【解析】【分析】函数是单调递增函数，则只需()()0f a f b <时，函数在区间（a，b，上存在零点.【详解】函数()2ln f x x x=- ,在x>0上单调递增， ()2210f ln =-< ，()23ln303f =-> 函数f （x ）零点所在的大致区间是()2,3；故选B【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b ）连续，若()()[]00,,,f a f b x a b <∃∈ ()00f x = 确定零点所在的区间. 2. 函数()ln 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,)eD. (,4)e 【答案】B【解析】【分析】利用导数判断函数()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数，结合函数零点的存在性定理可得函数()f x 零点所在的大致区间．【详解】解：函数()f x 的导函数1()10f x x'=+>， 故()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数，再根据()110f =-<，()2ln20f =>，可得()()120f f ⋅<，故函数()ln 2f x x x =+-零点所在的大致区间为(1,2)，故选：B ．【点睛】本题主要考查用二分法求函数零点的近似值，函数零点的判定定理，属于基础题．3. 已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是（ ）A. (－2，－1)B. (－1，0)C. (0，1)D. (1，2) 【答案】B【解析】【分析】分别计算()1f -，以及()0f 的函数值，根据零点存在性定理，即可判断.【详解】因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f(－1)·f(0)<0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点.故选：B.【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属基础题.4. 函数f（x）=log2x-3x-1的零点所在的区间为（）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】C【解析】【分析】连续函数f，x，=log2x-3x-1在（0，+∞）上单调递增且f，3，f，4，，0，根据函数的零点的判定定理可求结果．【详解】∵函数f，x，=log2x-3x-1在定义域（0，+∞）上单调递增，∴f，3，=log23-1-1，0，f，4，=2-34-1，0，∴根据根的存在性定理得f，x，=log2x-3x-1的零点所在的一个区间是（3，4，，故选C，【点睛】本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题．5. 函数f(x)=23x x+的零点所在的一个区间是A. （-2，-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为函数f(x)=2x+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 视频解题方法模板二：零点的个数的确定使用情景：由所给的函数确定函数零点的个数解题模板：方法1：定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步 得出结论.方法2：数形结合法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第二步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数；第三步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论. 例2A 函数()3xf x e x =+的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B解析】解题模板选择：本题需要确定函数的零点个数，故选取解题方法模板二定义法进行解答.解题模板应用：第一步，判断函数的单调性:由已知得()30x f x e '=+>，所以()f x 在R 上单调递增；第二步，根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间：又因为1(1)30f e --=-<，(1)30f e =+>，所以(1)(1)0f f ⋅-<第三步，得出结论：所以()f x 的零点个数是1，故选B ．例2B 方程31()|log |3xx =的解的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】解题模板选择：本题中很明显在考查两个函数交点个数问题，故选取解题方法模板二数形结合法进行解答. 解题模板应用：第一步，在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像： 绘制函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和函数3log y x =的图像如图所示：第二步，观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数 ： 由图象可知，函数1()3x y =与函数3log y x =有2个交点； 第三步，由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论：所以方程有2个解.故选：B .【典型例题】6. 函数()212log 6y x x =-++的零点个数为（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】 【分析】令0y =，判断对数方程根的个数即可.【详解】令0y =，则()212log 60x x -++=， 即250x x -++=，又Δ1200=+>，故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选：C【点睛】本题考查函数零点的求解，属简单题.7. 函数()22,026ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】当0x ≤时，直接解方程()0f x =得x =当0x >时，用函数的图象交点个数判断即可零点个数，两类情况合起来即可得选项.【详解】解：当0x ≤时，直接解方程()0f x =，即220x -=，解得：x = 当0x >时，()0f x =等价于26ln 0x x -+=，即ln 62x x =-，故设1ln y x =，262y x =-，做函数图象如图，故方程26ln 0x x -+=有一个根，所以函数()0f x =有一个实数根.综上，函数()f x 有两个零点.故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数，考查数形结合思想和方程思想，是基础题.8. 函数3()||x f x e x =-的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据绝对值的性质，分类讨论，结合导数、零点存在原理进行求解即可.【详解】当0x ≤时，3()x f x e x =+，因为2'(30)x f x e x =+>，所以函数此时单调递增，而110,(0))0(11f e f --<==>-，所以此时函数3()x f x e x =+有唯一零点；当0x >时，令3(0)x f x e x =-=， 解得33ln x x e x x ⇒==，此时原函数的零点为函数()3ln g x x x =-零点，'3()1g x x =-，因此当3x >时，'3()10g x x=->，函数单调递增， 当30x >>时，'3()10g x x =-<，函数单调递减， (3)33ln33(1ln3)0g =-=-<，(1)10g =>，(6)63ln 63(2ln 2)0g =-=->，所以函数在30x >>和0x >各有一个零点，所以一共有3个零点.故选：C【点睛】本题考查了求函数零点个数问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.9. 函数121()()2x f x x =-的零点个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】将问题转化为2个函数的交点问题，化成函数图象即可得出结论. 【详解】函数121()()2x f x x =-的零点，即令121()()02x f x x =-=，根据此题可得121()2x x =，在平面直角坐标系中分别画出幂函数y =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数零点，意在考查学生的化归于转化的数学思想，属基础题.10. 已知函数()1cos 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在0,2π上的零点的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案.【详解】∵()1cos 02xf x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∵1cos 2xx ⎛⎫⎪=⎝⎭设1()cos 2()xg h x x x ⎛⎫= ⎪=⎝⎭，，画出图像可得在图像上的零点的个数为3. 故选：C.【点睛】本题考查函数零点的知识点，涉及到将零点的问题转换为函数的交点，考查了数形结合的思想,属于简单题型.考点：函数的零点.解题方法模板三：与分段、复合函数零点有关的参数取值范围问题使用情景：由分段函数或者复合函数确定参数取值范围解题模板：方法一：内外层分步讨论法 第一步 作出函数的图形第二步 讨论外层复合函数的性质，从而为讨论内层函数奠定基础 第三步 讨论内层复合函数的性质确定结论 方法二：利用组合坐标系处理复合函数的零点问题 第一步 利用组合坐标系作出函数图像第二步 结合组合坐标系综合讨论得到参数的取值范围.例3A 已知函数()()3lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的函数()()21y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 . 【答案】172,4⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 解题模板选择：本题中涉及到分段函数和复合函数问题，故选取解题方法模板三内外层分布讨论法进行解答.解题模板应用：第一步 作出函数的图形 根据题意作出函数f (x )的简图：第二步 讨论外层复合函数的性质，从而为讨论内层函数奠定基础由图可得当f (x )∈(0，4]时，有四个不同的x 与f (x )对应，再结合题中“关于x 的函数有8个不同的零点”，问题转化为“关于t 的方程t 2－bt +1=0在t ∈(0，4]上有两个不同的实数根”， 第三步 讨论内层复合函数的性质确定结论即211t b t t t+==+在t ∈(0，4]上有两个不同的实数根，而当t ∈(0，4]时，1172,4t t ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.【名师点睛】对于复合函数问题，一定要弄清内函数、外函数以及它们各自的属性，尤其要注意内函数的值域与外函数的定义域之间的区别与联系.例3B 设定义域为R 的函数()lg 1,10,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是（ ）A .b <0，目c >0B .b >0且c <0C .b <0且c =0D .b ≥0且c =0 【答案】C 【解析】 解题模板选择：本题中涉及到分段函数和复合函数问题，故选取解题方法模板三利用组合坐标系处理复合函数的零点问题进行解答. 解题模板应用：第一步 利用组合坐标系作出函数图像令u =f (x )，则有g (u )=u 2+bu +c ，如图作出组合坐标系.第二步 结合组合坐标系综合讨论得到参数的取值范围.可知只有当u 2+bu +c =0的两个根120,0u u =>.此时，在左图中过()()12,0,,0u u 作u 轴的垂线与右图u =f (x )的图像才有可能恰有7个交点，(以右图中的交点的横坐标x 0为例，()01f x u =，又()10g u =，故x 0是方程g (f (x ))=0的一个根).故这7个交点的横坐标1237,,x x x x ⋯能使得()()0,(1,2,37)i g f x i ==⋯，即为1237,,x x x x ⋯为方程g (f (x ))=0的7个根. 故由韦达定理可知12120,0u u b u u c +=->==. 故选：C .【典型例题】11. 已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2()3()0()f x f x a a R -+=∈有6个不等的实数根，则a 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】采用数形结合，利用换元法令()f x t =，然后可知230-+=t t a 的两根11t =，22t =，然后利用韦达定理可得a .【详解】函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图所示，令()f x t =，因为2()3()0()f x f x a a R -+=∈有6个不等的实数根，所以方程230-+=t t a 有两个不同的实数根1(1,2)t ∈，2(2,)t e ∈ 或11t =，22t =，由于123t t +=，故11t =，22t =，所以122a t t ==.故选：D【点睛】本题考查根据方程的根的个数求参，本题难点在于根据图形找到方程230-+=t t a 的两个不同的实数根，同时结合换元法的使用，使问题更加清晰，属中档题.12. 若函数()()()34020xa a x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (]1,2 B. (]2,4C. (]3,4D. ()3,5【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知0a >且1a ≠，故函数()()3g x x ax 2x 0=-+>最多两个零点，故函数()()x h x 4a a x 0=-≤必须有零点，而函数()()x h x 4a a x 0=-≤是单调函数，故函数()()x h x 4a a x 0=-≤最多有一个零点，所以得出函数()()x h x 4a a x 0=-≤必须有一个零点，函数()()3g x x ax 2x 0=-+>必须有两个零点，再结合图象，根据函数零点存在定理得出a 的范围． 【详解】由题意可知0a >且1a ≠， 当0x >时，函数()3g x x ax 2=-+的导函数为()2g x 3x a '=-，所以函数()3g x x ax 2=-+在为减函数，在)+∞为增函数， 故函数()()3g x x ax 2x 0=-+>最多两个零点；而当0x ≤时，函数()()x h x 4a a x 0=-≤是单调函数， 故函数()()x h x 4a a x 0=-≤最多有一个零点；根据上述分析可以得出：函数()()3g x x ax 2x 0=-+>必须有两个零点，函数()()x h x 4a a x 0=-≤必须有一个零点． 当0x >时，在函数()3g x x ax 2=-+中， 因为(0)20g =>，故3g a 20=-⋅+<，解得3a >， 当0x ≤时，当01a <<时，函数()x h x 4a a =-是单调递减，()h 04a 0=->，不满足题意，当1a >时，函数()x h x 4a a =-是单调递增， 因为()x h x 4a a =-在0x ≤时有一个零点，则()h04a 0=-≥，解得：4a ≤ 综上：34a <≤， 故选：C ．【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，解题时运用了数形结合、还考查了分类讨论等思想方法和运算求解的能力，属于较难题． 13. 已知函数231,0()2,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，函数()g x mx =，若函数()2()y f x g x =-恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 11(,)62 B. 1(,1)3-C. 1(,)6-+∞D. 1(,)2-∞【答案】A【分析】根据所给函数()231,02,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，画出函数图象，根据()g x mx =及()()2y f x g x =-恰有三个零点，即可根据图象判断m 的取值范围． 【详解】由题意，画出函数()231,02,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩的图象如下图所示：()()2y f x g x =-恰有三个零点，即()()2f x g x =有三个不同交点，即()2f x mx =有三个不同交点，由图象可知，当直线斜率在OA k ,OB k 之间时，有三个交点，即2OA OB k m k << 所以1213m -<<，可得1162m -<<.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题．14. 已知()11x f x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (2,1)-- B. (1,0)-C. (0,1)D. (1,2)【答案】A【分析】【分析】利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可．【详解】解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点， 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根， 即()2f x =或()f x a =-．当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-， 即2x e =或0x e =，则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解， 则()f x a =-．有两个不同的根， 作出()f x 的图象如图：由图象知，则12a <-<，即21a -<<-， 即实数a 的取值范围是(2,1)--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．15. 若函数222,0(),0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）． A. ()2,e +∞B. {}()21,e ⋃+∞C. 2[1,e ] D. [)1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，将零点问题转化为函数交点问题，计算a 的范围，即可.【详解】当0x >时，由2()2x f x x =-得2x =或4x =（画图确定只有两个解），故()222,0,0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点等价于()200x e a x +-=≤有1个零点，画出()20x y ex +=≤的图像，数形结合可得实数a 的取值范围是{}()21,e ⋃+∞.故选：B.【点睛】本道题考查了函数的性质，考查了数形结合思想，难度中等.解题方法模板四：由函数零点个数分类讨论，各个击破使用情景：函数的零点问题不易确定，需要分类讨论 解题模板：第一步 确定需要讨论的对象和它的取值范围；第二步 逐类进行讨论，得出各类结果 第三步 归纳各类结论，得出结论.例4 设m ，k 为整数，方程mx 2－kx +2=0在区间(0，1)内有两个不同的根，则m +k 的最小值为( )A.－8B.8C.12D.13 【答案】D 【解析】 解题模板选择：本题中所给的零点问题比较复杂，需要分类讨论，故选取解题方法模板四由函数零点个数分类讨论进行解答.解题模板应用：第一步 确定需要讨论的对象和它的取值范围；记f (x )=mx 2－kx +2，则：2(0)20(1)(2)001280mf m mf m m k k m k m =>⎧⎪=-+>⎪⎪⎨<<⎪⎪∆=->⎪⎩，据此可得：022m m k k m⎧>⎪+>⎨⎪<<⎩，所以2m >m >2，又m 为整数，故m ≥3. 需要对参数m 进行分类讨论.第二步 逐类进行讨论，得出各类结果 当m =3时，5k <<，无整数k ； 当m =4时，6k <<，无整数k ； 当m =5时，7k <<，无整数k ；当m =6时，8k <，整数k =7，方程mx 2－kx +2=6x 2－7x +2=0的根为12,23满足题意.又当m 增大时，k 的值不会减少，所以m +k 的最小值为13， 第三步 归纳各类结论，得出结论. 综上可得，m +k 的最小值为13. 故选：D .【名师点睛】分类讨论是我们求解含参问题最常用的策略对于含参的函数零点问题也不例外若我们无法通过等价转化的思想将原问题化归为相对容易的问题，那也只能报据题设要求合理地对参教的取值进行分类，并逐一对每种情况进行仔细斟酌求解利用该策略求解一般要求我们能深思熟虑严而不漏，这对培养学生思维的严密性很有好处. 解题方法模板五：参变分离处理零点问题使用情景：参数易于分离，且分离后所得函数的性质容易讨论解题模板：第一步 将需要求值(求范围)的变量放置在等式的一侧，其余变量放置在等式另一侧 第二步 利用导函数或者其他工具讨论不含所求变量一侧函数的性质 第三步 确定所求参数的值(或范围)例5 已知函数2()22ln f x x ax a x =--，当a >0时，若函数y =f (x )存在唯一零点，求a 的值. 【答案】12【解析】 解题模板选择： 本题中由0f x 易于分类参变量，故选取解题方法模板五参变分离处理零点问题进行解答.解题模板应用：第一步 将需要求值(求范围)的变量放置在等式的一侧，其余变量放置在等式另一侧由f (x )=0，得()22ln x a x x =+，显然0x lnx +≠，从而22(ln )x a x x =+. 第二步 利用导函数或者其他工具讨论不含所求变量一侧函数的性质记2()2(ln )x g x x x =+，则()2(2ln 1)'2(ln )x x x g x x x +-=+，令ln 0x x +=的解为x 0，则当()00,x x ∈时，g (x )<0，当()0,1x x ∈时，2ln 10x x +-<，()'0g x <，g (x )单调递减， 当x ∈(1，+∞)时，2ln 10x x +->，()'0g x >，g (x )单调递增， 所以g (x )的极小值为()112g =. 从而画出g (x )的草图，第三步 确定所求参数的值(或范围)当a >0时，函数y =f (x )存在唯一零点，则只能()112a g ==. 【名师点睛】本题命题组给出的答案构造函数求出函数零点，对能力有较高的要求本题通过将原函数中的变参数进行分高后变形为a =g (x )，则原函数的零点问题化归为与y 轴垂直的直线y =a 和函数y =g (x )图像的交点问题而迎刃而解利用该方法求解零点问题的显著优势在于既可以回避对参数取值情况的复杂讨论，又形象直观，一目了然，参变分高，演绎了角色转换.【典型例题】16. 已知函数24,0()(2)1,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. (2,)+∞ B. (4,)+∞C. (2,4)D. (3,4)【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，设()2g x m =，数形结合得24m >，即得解. 【详解】画出函数()f x 的图象，如图所示.当0x >时，4()4f x x x=+. 设()2g x m =，则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根， 即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知，24m >，即2m >， 故实数m 的取值范围是(2,)+∞. 故选：A【点睛】本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17. 已知函数()24sin54π=--+f x x x a x 有唯一的零点，则常数a =（ ）A. 14- B. 1C.14D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】()24sin 54π=--+f x x x a x 有唯一的零点可转化为()245g x x x =-+与()sin 4π=h x a x 有唯一交点问题，在同一坐标系作出函数图象即可得出结果.【详解】()24sin54π=--+f x x x a x 有唯一的零点，设()245g x x x =-+，()sin4π=h x a x ，∴()245g x x x =-+与()sin4π=h x a x 有唯一交点，在同一坐标系作出函数图象，如图所示：由图可知当2x =时，1a =，有唯一交点. 故选：B【点睛】本题考查函数的零点，同时考查三角函数的图像，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.18. 已知()2sin(2)6f x x m π=--在[0,]2x π∈上有两个零点，则m 的取值范围为 A. （1，2） B. [1，2]C. [1,2)D. （1，2]【答案】C 【解析】 【详解】【分析】由题意()2sin 26f x x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点可转化为2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与y m = 在]2[0x π∈， 上有两个不同交点，作出如图的图象，由于右端点的坐标是,12π⎛⎫⎪⎝⎭ 由图知，[)1,2m ∈故选C【点睛】本题考查正弦函数的图象，解答本题关键是将函数有两个零点的问题转化为两个函数有两个交点的问题，作出两函数的图象，判断出参数的取值范围，本题以形助数，是解此类题常用的方法，熟练作出相应函数的图象对解答本题很重要19. 已知函数3ln ,0()2,0x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若()()g x f x ax =-有3个零点，则实数a 的取值范围为________.【答案】()11,12,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】【分析】首先根据题意等价于函数()f x 与y ax =的图象有3个交点，利用导数得到函数的单调性，分别画出函数()f x 与y ax =的图象，根据两图象的交点有3个，结合图象即可得到答案.【详解】由题可知：()()g x f x ax =-有3个零点 等价于函数()f x 与y ax =的图象有3个交点 当0x >时，()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-= 可知()0,1x ∈，()0f x '<，则函数单调递减 若()1,x ∈+∞，()0f x '>，则函数单调递增当0x ≤时，()32=+g x x x ，则()2320'=+>g x x则函数()g x 在(],0-∞单调递增. 又直线y ax =恒过原点 如图当直线y ax =与()ln f x x x =-相切时，设切点为()00,A x y ，()1x f x x-'=，()0001x f x ax -'==，又因为00y ax =，000ln =-y x x ，所以00000001ln x y x x x x x --==，解得0x e =，即()0111e a f x e e-='==-. 当直线y ax =与()32=+g x x x 相切时，切点为原点. 所以()232'=+g x x ，则()02a g ='=.由函数()ln f x x x =-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()110≥=>f x f ，所以ln x x >又函数()f x 与y ax =的图象有3个交点，则11,1(2,)⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭a e .故答案为：11,1(2,)e ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数零点个数求参问题，常常使用等价转化的思想，转化为两个函数交点个数问题，数形结合，解决问题，属中难题. 20. 若关于x 的方程210x x a ---=在[]1,1-上有解，则实数a 的取值范围是________．【答案】5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由210x x a ---=可得21a x x =--，求得二次函数21y x x =--在区间[]1,1-上的值域，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】由210x x a ---=可得21a x x =--，由题意可知，实数a 的取值范围是函数21y x x =--在区间[]1,1-上的值域，当[]1,1x ∈-时，221551,1244y x x x ⎛⎫⎡⎤=--=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.因此，实数a 的取值范围是5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用方程在区间上有解求参数的取值范围，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.解题方法模板六：一分为二，等价转化处理零点问题使用情景：可以将一个函数零点的问题转化为两个函数交点的问题 解题模板：第一步 将零点问题转化为两个函数交点个数的问题第二步 绘制相应的函数图像，结合临界值确定参数的值(或范围). 例6 对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数()()22()2,f x x x x x R =-⊗-∈，若函数y =f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．3(,2]1,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．3(,2]1,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】B 【解析】解题模板选择：本题中所给的函数式整理之后是一个分段函数的形式，需要绘制函数图像进行讨论，故选取解题方法模板六等价转化处理零点问题进行解答. 解题模板应用：第一步 将零点问题转化为两个函数交点个数的问题 函数的解析式即：()f x =()()2222222,21,21x x x x x x x x x ⎧----≤⎪⎨---->⎪⎩=2232,123,1, 2x x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪⎨⎪-<->⎪⎩或，由y =f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点可知f (x )与y =c 的图像恰有两个公共点， 第二步 绘制相应的函数图像，结合临界值确定参数的值(或范围). 绘制函数图像如图所示，由图像知c ≤－2，或314c -<<-. 故选：B .【名师点睛】对于函数F (x )的零点问题，我们常会将F (x )分解成两个相对简单的函数即F (x )=f (x )－g (x )，借助f (x )和g (x )的图像交点来求解F (x )的零点，克服了直接求解F (x )零点带来的技术难题.利用一分为二求解，精彩演绎了等价转化.31。
含参的导数零点问题
含参的导数零点问题
有参零点问题的解决方案可以分为两类：一类是基于算法的解决方案，另一类是基于数学公式的解决方案。
（1）基于算法的解决方案
基于算法的解决方案包括遗传算法、迭代搜索算法以及梯度下降算法等。
它们是求解有参零点问题的可行方案，它们通过迭代计算的方式不断地精确到零点的收敛解。
具体而言，可以利用这些算法来模拟一个函数，使其参数能够得到求解，以获得函数在整个参数空间上的最优解。
（2）基于数学公式的解决方案
基于数学公式的解决方案包括利用方程、利用二次函数以及局部极小值等方法来求解有参零点问题。
具体而言，可以利用局部极小值求出函数在参数空间上满足参数原点的位置；利用方程可以得到函数在参数空间上的零点，而利用二次函数可以求出函数在参数空间上满足函数关系时的参数值。
函数的含参零点问题
函数的含参零点问题函数的含参零点问题根据函数的零点情况，讨论参数的范围是⾼考的重点和难点．对于此类题⽬，我们常利⽤零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想⽅法来求解．[典例] (2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯⼀的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [答案] B [思路点拨]本题的实质是函数f (x )存在唯⼀的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利⽤其代数特征转化为⽅程有唯⼀的正根来构思解析，也可以从零点本⾝的⼏何特征⼊⼿，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利⽤选项的唯⼀性选取特例求解．[⽅法演⽰]法⼀单调性法：利⽤函数的单调性求解由已知得，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a.当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0；x ∈0，2a ，f ′(x )<0；x ∈2a ，＋∞，f ′(x )>0.所以函数f (x )在(－∞，0)和2a ，＋∞上单调递增，在0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0，故f (x )有⼩于零的零点，不符合题意．当a <0时，x ∈－∞，2a ，f ′(x )<0；x ∈2a ，0，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在2a ，0上单调递增，所以要使f (x )有唯⼀的零点x 0且x 0>0，只需f 2a>0，即a 2>4，解得a <－2. 法⼆数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解由ax 3－3x 2＋1＝0可知x ≠0，可得ax ＝3－1x 2，作出y ＝3－1x 2的图象如图所⽰，转动直线y ＝ax ，显然a >0时不成⽴；当a <0，直线y ＝ax 与左边的曲线相切时，设切点为t,3－1t 2，其中t <0，则切线⽅程为y－3－1t 2＝2t 3(x －t )．⼜切线过原点，则有0－3－1t 2＝2t3(0－t )，解得t ＝－法三数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯⼀的交点，且交点横坐标⼤于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点；当a >0时，如图(1)所⽰，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图形可知当a <－2时，满⾜题意．法四分离参数法：参变分离，演绎⾼效易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x 4＝－3(x 2－1)x 4，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数⼤致图象如图所⽰，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.法五特例法：巧取特例求解取a ＝3，则f (x )＝3x 3－3x 2＋1.由于f (0)＝1，f (－1)<0，从⽽f (x )在(－∞，0)上存在零点，排除A 、C. 取a ＝－43，则f (x )＝－43x 3－3x 2＋1.由于f (0)＝1，f －32<0，从⽽f (x )在(－∞，0)上存在零点，排除D ，故选B.[解题师说]函数的含参零点问题是⾼考热门题型，既能很好地考查函数、导数、⽅程与不等式等基础知识，⼜能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能⼒，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度．由本题的五种⽅法，可知破解含参零点问题常有“三招”. 第⼀招当我们⽆法通过等价转化的思想将原问题转化为相对容易的问题时，我们带参讨论要根据题设要求直接研究函数的性质．由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进⾏分类，并逐⼀求解．(如本题解法⼀)第⼆招数形结合由两个基本初等函数组合⽽得的超越函数f (x )＝g (x )－h (x )的零点个数，等价于⽅程g (x )－h (x )＝0的解的个数，亦即g (x )＝h (x )的解的个数，进⽽转化为基本初等函数y ＝g (x )与y ＝h (x )的图象的交点个数．(如本题解法⼆和解法三)第三招分离参数通过将原函数中的变参量进⾏分离后变形成g (x )＝l (a )，则原函数的零点问题化归为与x 轴平⾏的直线y ＝l (a )和函数g (x )的图象的交点问题．(如本题解法四)[应⽤体验]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯⼀零点，则a ＝( )A ．－12 B.13 C.12 D ．1解析：选C 法⼀：由函数f (x )有零点，得x 2－2x ＋a (e x －)＝0有解，即(x －1)2－1＋a (e x －1＋e－x ＋1)＝0有解，令t ＝x －1，则上式可化为t 2－1＋a (e t ＋e －t )＝0，即a ＝1－t 2e t ＋e －t . 令h (t )＝1－t 2e t ＋e －t ，易得h (t )为偶函数，⼜由f (x )有唯⼀零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯⼀交点，则此交点的横坐标为0，所以a ＝1－02＝12，故选C. 法⼆：由f (x )＝0?a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e－x ＋1≥2e x －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．若a >0，则a (e x －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯⼀零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯⼀．综上所述，a ＝12.2．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x ＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为( )A ．2B ．3D ．5解析：选C 令f (x )＝0，得m ＝2x ＋1010－x . ⼜m ∈N ，因此有?10－x ＞0，2x ＋10≥0，解得－5≤x ＜10，x∈Z ，∴0＜10－x ≤15.当2x ＋10＝0，即x ＝－5时，m ＝0；当2x ＋10≠0时，要使m ∈N ，则需10－x ∈N ，当10－x ＝1，即x ＝9时，m ＝28；当10－x ＝2，即x ＝6时，m ＝11；当10－x ＝3，即x ＝1时，m ＝4，所以符合条件的m 的个数为4.3．设函数f (x )＝12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的⽅程f (x )＝a 有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[－3,3)D ．(－3,3] 解析：选D 在同⼀坐标平⾯内画出函数y ＝f (x )的⼤致图象如图所⽰，结合图象可知，当且仅当a ∈(0,2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即⽅程f (x )＝a 有4个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1,4]上是增函数，因此其值域是(－3,3]．4．若函数f (x )＝e x －ax 2有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.e 24，＋∞ B.e 2，＋∞ C.1，e 24 D.1，e 2 解析：选A 函数f (x )＝e x －ax 2有三个不同的零点等价于函数y ＝e x 与y ＝ax 2的图象有三个不同的交点，则显然有a >0，且在(－∞，0)上两函数的图象有⼀个交点．当x >0时，设两函数图象在点(x 0，e x 0)处相切，则e x 0＝2ax 0，e x 0＝ax 20，解得?x 0＝2，a ＝e 2，由图易得若两函数图象有两个不同的交点，则a >e 24，即实数a 的取值范围为e24，＋∞.⼀、选择题1．(2018·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞) 解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域A 包含(0，＋∞)，因此对⽅程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)． 2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．n (n ∈Z)B ．2n (n ∈Z)C ．2n 或2n －14(n ∈Z)D ．n 或n －14(n ∈Z)解析：选C 依题意得，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数，画出函数的⼤致图象如图所⽰．在[0,2)上，由图象易得，当a ＝0或－14时，直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的公共点，∵函数f (x )的周期为2，∴a 的值为2n 或2n －14(n ∈Z)．3．(2018·洛阳第⼀次统考)若函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(0,1) C.－∞，1＋e e 2 D.0，1＋ee 2解析：选B 依题意，关于x 的⽅程ax －1＝ln x x 有两个不等的正根．记g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝x 2，当00，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e，当0y 0)，则有a 1＝1－ln x 0x 2，a 1x 0－1＝ln x0x，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在同⼀坐标系中画出直线y ＝ax －1(该直线过点(0，－1)、斜率为a )与函数g (x )的⼤致图象(图略)，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)．4．若f (x )＝ln x ＋ax －1有且仅有⼀个零点，则实数a 的最⼩值为( )A ．0B ．－1e 2 C ．－1 D ．1解析：选B 由f (x )＝0，得ln x ＝－ax ＋1，在同⼀坐标系中画出y ＝ln x 和y ＝－ax ＋1的图象如图所⽰，直线y ＝－ax ＋1的斜率k ＝－a ，且恒过(0,1)点．当k ≤0，即a ≥0时，只有⼀个交点，从⽽f (x )只有⼀个零点，当k >0，且直线y ＝－ax ＋1与y ＝ln x 相切于点P (x 0，ln x 0)时，切线⽅程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将x ＝0，y ＝1代⼊得ln x 0＝2，即x 0＝e 2，k ＝1x 0＝1e 2，所以a ＝－1e 2，所以当a ≥－1e 2时，直线y ＝－ax ＋1与y ＝ln x 的图象只有⼀个交点，即f (x )只有⼀个零点，故a 的最⼩值为－1e2.5．(2018·⽯家庄模拟)已知函数f (x )＝e xx －kx (e 为⾃然对数的底数)有且只有⼀个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,2) B.0，e4 C ．(0，e) D ．(0，＋∞)解析：选B 由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有⼀个零点等价于⽅程e xx －kx ＝0只有⼀个根，即⽅程e x x 2＝k 只有⼀个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝e xx2的图象与直线y ＝k 只有⼀个交点．因为g ′(x )＝(x －2)e x x 3，由g ′(x )>0，得x >2或x <0；由g ′(x )<0，得04，且x →0时，g (x )→＋∞；x →－∞时，g (x )→0；x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所⽰，由图易知04，故选B.6．(2018·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有⼀个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78 D ．－38 解析：选C 因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有⼀个零点，所以⽅程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有⼀个实数根．⼜函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0?f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )?f (2x 2＋1)＝f (x －λ)?2x 2＋1＝x －λ，所以⽅程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有⼀个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.7．(2018·长沙模拟)对于满⾜0a ＋b －ca的取值范围是( ) A ．1，74 B ．(1,2] C ．[1，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意对⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0，有Δ＝b 2－4ac >0，于是c24a ，从⽽a ＋b －c a >a ＋b －b 24a a ＝1＋b a －14b a 2，对满⾜0a ，因为0<b ≤3a ，所以0为－14t 2＋t ＋1∈(1,2]，所以a ＋b －c a8．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1关于x ⽅程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：选D 由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是⽅程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，⼜x19．(2018·⽯家庄模拟)已知函数f(x)＝e2x－ax2＋bx－1，其中a，b∈R，e为⾃然对数的底数．若f(1)＝0，f′(x)是f(x)的导函数，函数f′(x)在区间(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是() A．(e2－3，e2＋1) B．(e2－3，＋∞) C．(－∞，2e2＋2) D．(2e2－6,2e2＋2) 解析：选A由f(1)＝0，得e2－a＋b－1＝0，所以b＝a－e2＋1，⼜f′(x)＝2e2x－2ax＋b，令g(x)＝2e2x－2ax＋b，则g′(x)＝4e2x－2a，因为x∈(0,1)，所以4<4e2x<4e2.当a≥2e2时，g′(x)<0，函数g(x)在(0,1)内单调递减，故g(x)在(0,1)内⾄多有⼀个零点；当a≤2时，g′(x)>0，函数g(x)在(0,1)内单调递增，故g(x)在(0,1)内⾄多有⼀个零点；当212lna2，则g′(x)<0，若12lna2 0，所以函数g(x)在0，12lna2内单调递减，在?12lna2，1内单调递增，所以g(x)min＝g12ln2＝a－a lna2＋b＝2a－a lna2－e2＋1.令h(x)＝2x－x lnx2－e2＋1＝2x－x ln x＋x ln 2－e2＋1(20，h(x)为增函数，当x∈(2e,2e2)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，所以h(x)max＝h(2e)＝2e－e2＋1<0，即g(x)min<0恒成⽴，所以函数g(x)在(0,1)内有两个零点，则g(0)＝2＋a－e2＋1>0，g(1)＝2e2－2a＋a－e2＋1>0，解得e2－310．(2017·太原⼀模)设[x]表⽰不⼩于实数x的最⼩整数，如[2.6]＝3，[－3.5]＝－3.已知函数f(x)＝([x])2－2[x]，若函数F(x)＝f(x)－k(x－2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则实数k的取值范围是() A．－52，－1∪[2,5) B．－43，－1∪[5,10) C．－1，－23∪[5,10) D．－43，－1∪[5,10) 解析：选C由题意知，f(x)＝([x])2－2[x]＝0，x∈(－1，0]∪(1，2]，－1，x∈(0，1]，3，x∈(2，3]，8，x∈(3，4].令F(x)＝0，得f(x)＝k(x－2)－2，作出函数y＝f(x)和y＝k(x－2)－2的图象如图所⽰．3，所以实数k 的取值范围是－1，－23∪[5,10)．11．已知函数f (x )＝2x＋1，x ＜0，12x 2－2x ＋1，x ≥0.⽅程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11) 解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所⽰，对于⽅程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么⽅程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要⼀个⽅程有4个根，另⼀个⽅程有2个根，从⽽可知关于t 的⽅程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，由根的分布得出约束条件b ＞0，1－a ＋b ＜0，4－2a ＋b ＞0，画出可⾏域如图所⽰，⽬标函数z ＝3a ＋b 经过?1－a ＋b ＝0，4－2a ＋b ＝0的交点A (3,2)时取得最⼤值11，经过B (1,0)时取得最⼩值3.故3a ＋b 的取值范围为(3,11)．12．(2018·⼴东五校协作体第⼀次诊断)已知e 为⾃然对数的底数，若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯⼀的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成⽴，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，e] B ．(1，e] C.1＋1e ，e D.1＋1e ，e 解析：选C 令f (x 1)＝a －x 1，则f (x 1)在x 1∈[0,1]上单调递减，且f (0)＝a ，f (1)＝a －1.令g (x 2)＝x 22e x 2，则g ′(x 2)＝2x 2e x 2＋x 22e x 2＝x 2e x 2(x 2＋2)，且g (0)＝0，g (－1)＝1e ，g (1)＝e.若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯⼀的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成⽴，即f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)＝a －x 1的最⼤值不能⼤于g (x 2)的最⼤值，即f (0)＝a ≤e ，因为g (x 2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g (x 2)∈0，1e 时，有两个x 2使得g (x 2)．若存在唯⼀的x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)的最⼩值要⽐1e ⼤，所以f (1)＝a －1>1e ，所以a >1＋1e ，故实数a 的取值范围是1＋1e ，e . ⼆、填空题13．若对任意的实数a ，函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．答案：(－∞，0)解析：由f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b ＝0，得(x －1)ln x ＝a (x －1)－b . 设g (x )＝(x －1)ln x ，h (x )＝a (x －1)－b ，则g ′(x )＝ln x －1x ＋1，因为g ′(x )＝ln x －1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，且g ′(1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，当x ＞1时，g ′(x )＞0，所以g (x )在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，⼜g (1)＝0，所以函数g (x )的⼤致图象如图所⽰．易知h (x )＝a (x －1)－b 的图象是恒过点(1，－b )的直线，当－b ＞0，即b ＜0时，易知对任意的实数a ，直线h (x )＝a (x －1)－b 与函数g (x )的图象始终有两个不同的交点，即函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点；当b ＝0时，若a ＝0，则h (x )＝0，其图象与函数g (x )的图象只有⼀个交点，不满⾜；当－b＜0，即b ＞0时，由图易知，不满⾜对任意的实数a ，直线h (x )＝a (x －1)－b 与函数g (x )的图象始终有两个不同的交点．综上可知，b ＜0.14．已知函数f (x )＝－x x ＋1，－1x ，0x －1x＝5a 的解为正整数，则满⾜条件的实数a 的个数为________．答案：1解析：在同⼀坐标系中作出函数f (x )与g (x )的图象如图所⽰，结合图象可知，实数a 的取值范围是0，12.由x －1x ＝5a ，可得x 2－5ax －1＝0，设h (x )＝x 2－5ax －1，当x ＝1时，由h (1)＝1－5a －1＝0，可得a ＝0，不满⾜题意；当x ＝2时，由h (2)＝4－10a －1＝0，可得a ＝310，满⾜题意；当x ＝3时，由h (3)＝9－15a －1＝0，可得a ＝815，不满⾜题意．⼜函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上单调递增，故满⾜条件的实数a 的个数为1.15．若函数f (x )＝x 2＋2x－a ln x (a >0)有唯⼀的零点x 0，且m答案：5解析：令y 1＝x 2＋2x ，y 2＝a ln x (a >0)，则y 1′＝2x －2x 2，y 2′＝ax(a >0)．∵函数f (x )＝x 2＋2x －a ln x (a >0)有唯⼀的零点x 0，∴函数y 1＝x 2＋2x ，y 2＝a ln x 的图象有公切点(x 0，y 0)，则2x 0－2x 2＝ax 0，x 20＋2x 0＝a ln xx 20＋2x 0－2x 20－1x 0ln x 0＝0. 构造函数g (x )＝x 2＋2x－2x 2－1x ln x (x >0)，则g (1)＝3，g (2)＝4＋1－2×4－12ln 2＝5－7ln 2，欲⽐较5与7ln 2的⼤⼩，可⽐较e 5与27的⼤⼩，∵e 5>27，∴g (2)>0，⼜g (e)＝e 2＋2e －2e 2－1e ＝－e 2＋4e <0，∴x 0∈(2，e)，∴m ＝2，n ＝3，∴m ＋n ＝5.16．已知函数f (x )＝x 2－x ln x －k (x ＋2)＋2在12，＋∞上有两个零点，则实数k 的取值范围为________．答案：1，910＋ln 25解析：f (x )＝x 2－x ln x －k (x ＋2)＋2在12，＋∞上有两个零点，即关于x 的⽅程x 2－x ln x ＋2＝k (x ＋2)在12，＋∞上有两个不相等的实数根．令g (x )＝x 2－x ln x ＋2，所以当x ∈12，＋∞时，直线y ＝k (x ＋2)与函数g (x )＝x 2－x ln x ＋2的图象有两个不同的交点．设直线y ＝k 0(x ＋2)与函数g (x )＝x 2－x ln x ＋2，x ∈12，＋∞的图象相切于点(x 0，y 0)，g ′(x )＝2x －ln x －1，则有k 0＝2x 0－ln x 0－1，k 0(x 0＋2)＝x 20－x 0ln x 0＋2，由此解得x 0＝1，k 0＝1.令h (x )＝g ′(x )＝2x －ln x －1，则h ′(x )＝2－1x ，且x ≥12，所以h ′(x )≥0，故h (x )在12，＋∞上单调递增，h (x )≥h 12＝ln 2＞0，所以g (x )在12，＋∞上单调递增，g 12＝94＋12ln 2，作出y ＝g (x )的⼤致图象，如图所⽰，当直线y ＝k (x ＋2)经过点12，94＋12ln 2时，k ＝910＋ln 25.⼜当直线y ＝k (x ＋2)与g (x )的图象相切时，k ＝1.结合图象可知，k 的取值范围是1，910＋ln 25.。
2020高考数学热点难点微专题含参函数的零点问题(3页)
2020高考数学热点难点微专题含参函数的零点问题含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用．例1 已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )， x ≥0，f ′(x )， x <0.若方程g (f (x ))＝0有4个不等的实根，则a 的取值范围是________．点评：例2 (1) 若关于x 的方程|x 4－x 3|＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________．(2) 已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________．点评：【思维变式题组训练】1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1， x ≥2，2， 1≤x <2.若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则实数a 的取值范围为________．2. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x －1e x ， x ≥a ，－x －1， x <a ，g (x )＝f (x )－b .若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )＝⎝ ⎛ x －1， 1≤x <2，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， x ≥2，如果函数g (x )＝f (x )－k (x －3)恰有2个不同的零点，那么实数k 的取值范围是________.4. 已知k 为常数，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x ＋1， x ≤0，|ln x |， x >0，若关于x 的方程f (x )＝kx＋2有且只有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________．。
用导数方法解决参数和函数零点技巧专题
用导数方法解决参数和函数零点技巧专题一．参变分离1. 注意分离后的函数是否严格单调2. 注意定义域上是否取遍3. 严格单调且定义域取遍用端点效应二．端点效应比较适用于恒成立问题，那么区间的端点也一定满足恒成立要求1. 优先论证函数严格单调2. 在区间左右端至少能找一点满足题干3. 不到万不得已不要取无穷远端注：一旦定义域完全为开区间，要么丢失此法，要么洛必达开始论述，要么证明函数严格单 调并证函数值大于(小于)端点值 【例1】f (x )=e x -e -x -ax ，其中V x 40,使得>(x )>0恒成立，求a 的取值范围方法1：参变分离方法2f (端点效应x 00恒成立 解：又(0)=0f (x )>0,V x 00恒成立的必要条件为f '(x )>0f '(x )=e x +e 我们可以看到函数要非负一定要增，也可能又增又减出现极小值) (这就是函数增的一个条件)充分性：f 、(x )=e x +e -x -ae x +e -x >2:.f '(x )=e x +e -x -a >0・•・f (x )>0,V x 00恒成立的充分必要条件是a <2f '(0)=2-a >0「.a <2(这就是函数值非负的必要条件，我们仅考虑的是函数严格递增的条件)(现在我们论证一下函数是否在此条件下单调增)显然我们应有此方法成立的充要条件是函数严格单调，我们考虑的端点并不是整个定义域的增减趋势，但是从0开始函数值一定要单调增，否则恒成立失效。
于是才有导函数在0处也非负，我们就得到a的一个大致范围，通过这个大致范围作为已知条件验证其充分性。
【注】：充分性验证时一旦出现导函数有小于0的情况，表示函数不单调，则在必要性的条件下研究函数的最值。
【思考1】f(x)=(ax-1)e x+ax+1，V x^0,有f(x)>0，求a的取值范围三：极值点偏移我们分析一下二次函叫x,x(x丰x)使得f(x)=f(x),x是二次函数的对称轴，1212120我们有x+x=2x120x+x。
一类含参二次函数零点问题的解法
结 合 ，此解 法 与初 中知 识 的结 合 较 为 紧 密 ，学 生容 易 理 解．但 对 与仅有 一个 零 点 的情 况 ，还 需进 一 步讨 论 ， 容 易 因遗 漏而 出错 ．
９ ｚ一 １
在 ［一１，１］上 有解 ·
因为ｎ＞ｏ，设 ＝＝＝ １＝鲁 （ ≠詈），则
■■ Ｊ—
例 １ （２０１４年 山东卷 ）对 于 函数 厂（ ），若存 在 常数 ａ≠ ０，使 得 ｚ 取 定 义 域 内 的 每 一 个 值 ，都 有
“对称 函数 ”为 一＾（ ）（ｚ∈ ），Ｙ—ｈ（ｚ）满 足 ：对任 意 ∈ ，２个 点 （ ， （ ））、（ ，ｇ（ ））关 于 点 （ ．厂（ｚ））对
解 １） 有 ２ 个 不 同 零 点 时 ，需 满 足
ｆ△＞ Ｏ，
＜
．
１）当一 ｎ ≤一１，即 ｏ＜ｎ≤寺时 ，，（ｚ）在［一１，１］
递增 ．因 此 ，要 使 ｆ（ ）在 ［一 １，１］上 有 零 点 ，只 需
』Ｉ（厂 （＿ １） 一２ ａ－２—３＿＿＝。≤０’解得１≤ ≤５．而ｏ＜ 一 ２ａ＋ ２— ３一ａ≥ ０， 。 。
解得
ａ≥
１．注 意
到
ｎ＞ １
，
故
ｎ≥ １．
【厂（一１）≥ ０， 又 因 为 ｎ＞ ０，所 以 ａ≥ ５．
综上 ，所 求 ａ的取值 范 围是 ［１，＋。。）． ３ 分离 参数 法
２）有 １个 零 点时 ，有 ２种情 况 ：
通过 分 离参数 的方 法 ，把 问题 转化 为 利 用 构造 出
一 ＜ ０，即 ｎ＞ 时 ，厂（ｚ）在 ［一 １，
一
］上递 减 ，在 （一 １，１］上递 增．因此 ，要使 ，（ ）在
例析含参函数相关的零点问题
例析含参函数相关的零点问题福建省莆田第二中学（351131）谢新华［摘要］利用导数研究函数的零点问题时，已知函数零点的个数求参数问题是一类重要的题型，常见的处理方法有分离参数法、直接构造函数法、隔离构造函数法.通过导数研究函数的图像及性质，把零点问题化归转化为图像的交点问题，数形结合求得参数的值（范围），有时还需对参数的不同取值情况进行分类讨论.通过归类分析，让学生学会运用数学思想方法解决问题，提升学生的解题效率.［关键词］导数；零点；构造；图像［中图分类号］G 633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）32-0027-02［例题1］设函数f (x )=ln x +mx,m ∈R ，若函数g (x )=f ′(x )-x3没有零点，求实数m 的取值范围.解析：因为f ′(x )=1x -m x 2，所以g (x )=1x -mx 2-x 3(x >0)，由g (x )=0,得m =-x 33+x ，设h (x )=-x33+x (x >0),则h ′(x )=-x 2+1，令h ′(x )=0,得x =±1,当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，当x >1时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，所以当x =1时，h (x )取得最大值，且最大值为h (1)=23，h (x )无最小值，因为函数g (x )没有零点，所以直线y =m 与函数h (x )的图像没有公共点，所以实数m 的取值范围是()23,+∞.点评：已知函数零点的个数求参数的取值范围，其常见的转化方法是分离参数法，使得构造的函数中不含参数，避免了参数的分类讨论，应用数形结合思想把函数零点问题转化为水平直线y =m 与函数h (x )图像的交点个数问题来解决.变式：若函数f (x )=a e x -x -2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是.解析1：（分离参数法）由f (x )=0,得a (e x -2)=x ，因为x ≠ln 2，所以a =xe x -2，设g (x )=x e x -2(x ≠ln 2)，则g ′(x )=e x -2-x e x(e x -2)2，设h (x )=e x -2-x e x ，则h ′(x )=-x e x ，当x <0时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，当x >0时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，所以当x =0时，h (x )取得最大值，且最大值为h (0)=-1，所以h (x )<0，即g ′(x )<0，所以g (x )在(-∞,ln 2),(ln 2,+∞)上单调递减，又g (0)=0，x >ln 2时，g (x )>0,因为函数f (x )有两个零点，所以直线y =a 与函数g (x )的图像有两个公共点，所以实数a 的取值范围是(0,+∞).解析2：（直接构造函数法）因为f ′(x )=a e x -1，当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R 上单调递减，至多一个零点，不符合题意，当a >0时，令f ′(x )<0，得x <-ln a ，令f ′(x )>0，得x >-ln a ，所以f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减，在(-ln a ，+∞)上单调递增，所以f min (x )=f (-ln a )=1+ln a -2a ，令φ(a )=1+ln a -2a (a >0)，φ′(a )=1a-2,令φ′(a )>0，得0<x <12；令φ′(a )<0，得x >12，所以φmax (a )=φ()12=-ln 2<0，即φ(a )<0，f (-ln a )<0，所以函数f (x )有两个零点，符号题意，综上所述，实数a 的取值范围是(0,+∞).［基金项目］本文系福建省教育科学“十三五”规划课题2020年度教育教学改革专项课题“学科素养视域下‘读思达’教学法的数学课堂应用研究”（项目编号：Fjjgzx20-077）的研究成果.数学·解题研究解析3：（隔离构造函数法）由f(x)=0,得a(e x-2)=x，因为a≠0，所以e x=1a x+2，因为函数f(x)有两个零点，所以直线y=1a x+2与函数y=e x的图像有两个公共点，结合图像易得实数a的取值范围是(0,+∞).点评：本题解析1利用分离参数法，使得构造的函数中不含参数，避免了参数的分类讨论，但构造的函数定义域改变了，函数不连续了，函数图像变得复杂了，研究时因容易忽略函数定义域或图像特征把握不准确导致错误.解析2利用直接构造函数法，通过导数研究函数的图像与性质，需要对参数的不同取值情况分类讨论，是常规思路，容易入题，但解题后半部分容易出现“卡壳”，不易得出最后结果.解析3利用隔离构造函数法，构造两个基本初等函数，比较熟悉，结合图像容易得出结论，是学生比较喜欢的方法，运用此法解答小题比较适合，在前两种方法无法求解时，也可以尝试通过此法探求结果.［参考文献］［1］王文英,蒋晓东.利用导数研究函数的零点问题［J］.中学数学教学参考,2019（7）:49-53.［2］任冲.导数工具巧应用函数零点妙解决：以一道高考题为例［J］.中学数学教学参考,2019（Z3）:135-136.［3］张伟.导数与数形结合思想研究函数问题［J］.数学学习与研究,2016（23）:78.［4］陈蓬.导数视角下函数零点问题的多角度探究［J］.中学数学,2016（13）:62-64.（责任编辑陈昕）图6指数函数模型的改进可以变换底数以10为底，令z=lg y得表6，拟合结果如图7.表6温度x产卵数z210.8451231.0414251.3222271.3802291.8195322.0607352.5119图7也可以变换底数以2为底，令z=log zy得表7，拟合结果如图8.表7温度x产卵数z212.807233.459254.392274.585296.044326.845358.344图8教师可进一步延伸拓展，借助Excel添加趋势线，拟合更高次函数，如三次函数、对数函数等模型，拓宽学生的视野，体会数学源于生活又高于生活，学以致用，有效预防红铃虫，只要控制温度在20℃以下，35℃以上.数学模型没有最好，只有更好，逐步改进模型，才能更好地为我们的生活服务.［参考文献］［1］周迎春.从不同视角看高中数学“线性回归分析”的两个结论［J］.重庆师范大学学报（自然科学版），2019（4）：131-136.［2］安国胜.探究数学核心素养的培养途径［J］.课程教育研究，2019（27）：129-130.［3］李思聪，张仕橙.注重建模思维引领，培养数学核心素养［J］.数学教学通讯，2019（18）：20-21.［4］郝晶杰.高中生数学建模素养调查研究［D］.新乡：河南科技学院，2019.［5］郑叶群.如何把高中数学建模核心素养渗透于课堂教学［J］.教育现代化，2019（23）：253-254.［6］郭红霞.高中数学课堂中落实核心素养的培育策略［J］.中学数学，2019（5）：79-80.（责任编辑黄桂坚）（上接第8页）数学·解题研究。
函数的含参零点问题
函数的含参零点问题根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．对于此类题目，我们常利用零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想方法来求解．[典例] (2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [答案] B [思路点拨]本题的实质是函数f (x )存在唯一的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．[方法演示]法一 单调性法：利用函数的单调性求解由已知得，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a.当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈2a ，＋∞，f ′(x )>0.所以函数f (x )在(－∞，0)和2a ，＋∞上单调递增，在0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0，故f (x )有小于零的零点，不符合题意．当a <0时，x ∈－∞，2a ，f ′(x )<0；x ∈2a ，0，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在2a ，0上单调递增，所以要使f (x )有唯一的零点x 0且x 0>0，只需f 2a>0，即a 2>4，解得a <－2. 法二 数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解由ax 3－3x 2＋1＝0可知x ≠0，可得ax ＝3－1x 2，作出y ＝3－1x 2的图象如图所示，转动直线y ＝ax ，显然a >0时不成立；当a <0，直线y ＝ax 与左边的曲线相切时，设切点为t,3－1t 2，其中t <0，则切线方程为y－3－1t 2＝2t 3(x －t )．又切线过原点，则有0－3－1t 2＝2t3(0－t )，解得t ＝－1(t ＝1舍去)，此时切线的斜率为－2，由图象可知a <－2符合题意．法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图形可知当a <－2时，满足题意．法四 分离参数法：参变分离，演绎高效易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x 4＝－3(x 2－1)x 4，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.法五 特例法：巧取特例求解取a ＝3，则f (x )＝3x 3－3x 2＋1.由于f (0)＝1，f (－1)<0，从而f (x )在(－∞，0)上存在零点，排除A 、C. 取a ＝－43，则f (x )＝－43x 3－3x 2＋1.由于f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫－32<0，从而f (x )在(－∞，0)上存在零点，排除D ，故选B.[解题师说]函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能力，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度．由本题的五种方法，可知破解含参零点问题常有“三招”. 第一招当我们无法通过等价转化的思想将原问题转化为相对容易的问题时，我们带参讨论要根据题设要求直接研究函数的性质．由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解．(如本题解法一)第二招 数形结合由两个基本初等函数组合而得的超越函数f (x )＝g (x )－h (x )的零点个数，等价于方程g (x )－h (x )＝0的解的个数，亦即g (x )＝h (x )的解的个数，进而转化为基本初等函数y ＝g (x )与y ＝h (x )的图象的交点个数．(如本题解法二和解法三)第三招 分离参数 通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g (x )＝l (a )，则原函数的零点问题化归为与x 轴平行的直线y ＝l (a )和函数g (x )的图象的交点问题．(如本题解法四)[应用体验]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12 B.13 C.12 D ．1解析：选C 法一：由函数f (x )有零点，得x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝0有解，即(x －1)2－1＋a (e x －1＋e－x ＋1)＝0有解，令t ＝x －1，则上式可化为t 2－1＋a (e t ＋e －t )＝0，即a ＝1－t 2e t ＋e －t . 令h (t )＝1－t 2e t ＋e －t ，易得h (t )为偶函数，又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0，所以a ＝1－02＝12，故选C. 法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e－x ＋1≥2e x －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (e x －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.2．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x ＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 令f (x )＝0，得m ＝2x ＋1010－x . 又m ∈N ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧10－x ＞0，2x ＋10≥0，解得－5≤x ＜10，x∈Z ，∴0＜10－x ≤15.当2x ＋10＝0，即x ＝－5时，m ＝0；当2x ＋10≠0时，要使m ∈N ，则需10－x ∈N ，当10－x ＝1，即x ＝9时，m ＝28；当10－x ＝2，即x ＝6时，m ＝11；当10－x ＝3，即x ＝1时，m ＝4，所以符合条件的m 的个数为4.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[－3,3)D ．(－3,3] 解析：选D 在同一坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a ∈(0,2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即方程f (x )＝a 有4个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1,4]上是增函数，因此其值域是(－3,3]．4．若函数f (x )＝e x －ax 2有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫e 2，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，e 24 D.⎝⎛⎭⎫1，e 2 解析：选A 函数f (x )＝e x －ax 2有三个不同的零点等价于函数y ＝e x 与y ＝ax 2的图象有三个不同的交点，则显然有a >0，且在(－∞，0)上两函数的图象有一个交点．当x >0时，设两函数图象在点(x 0，e x 0)处相切，则⎩⎪⎨⎪⎧e x 0＝2ax 0，e x 0＝ax 20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，a ＝e 24，由图易得若两函数图象有两个不同的交点，则a >e 24，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e24，＋∞.一、选择题1．(2018·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞) 解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域A 包含(0，＋∞)，因此对方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)． 2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．n (n ∈Z)B ．2n (n ∈Z)C ．2n 或2n －14(n ∈Z)D ．n 或n －14(n ∈Z)解析：选C 依题意得，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数，画出函数的大致图象如图所示．在[0,2)上，由图象易得，当a ＝0或－14时，直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的公共点，∵函数f (x )的周期为2，∴a 的值为2n 或2n －14(n ∈Z)．3．(2018·洛阳第一次统考)若函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1＋e e 2 D.⎝⎛⎭⎫0，1＋ee 2解析：选B 依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x 有两个不等的正根．记g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln xx 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧a 1＝1－ln x 0x 2，a 1x 0－1＝ln x0x，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在同一坐标系中画出直线y ＝ax －1(该直线过点(0，－1)、斜率为a )与函数g (x )的大致图象(图略)，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)．4．若f (x )＝ln x ＋ax －1有且仅有一个零点，则实数a 的最小值为( )A ．0B ．－1e 2 C ．－1 D ．1解析：选B 由f (x )＝0，得ln x ＝－ax ＋1，在同一坐标系中画出y ＝ln x 和y ＝－ax ＋1的图象如图所示，直线y ＝－ax ＋1的斜率k ＝－a ，且恒过(0,1)点．当k ≤0，即a ≥0时，只有一个交点，从而f (x )只有一个零点，当k >0，且直线y ＝－ax ＋1与y ＝ln x 相切于点P (x 0，ln x 0)时，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将x ＝0，y ＝1代入得ln x 0＝2，即x 0＝e 2，k ＝1x 0＝1e 2，所以a ＝－1e 2，所以当a ≥－1e 2时，直线y ＝－ax ＋1与y ＝ln x 的图象只有一个交点，即f (x )只有一个零点，故a 的最小值为－1e2.5．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝e xx －kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,2) B.⎝⎛⎭⎫0，e24 C ．(0，e) D ．(0，＋∞)解析：选B 由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程e xx －kx ＝0只有一个根，即方程e x x 2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝e xx2的图象与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝(x －2)e x x 3，由g ′(x )>0，得x >2或x <0；由g ′(x )<0，得0<x <2，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值为g (2)＝e 24，且x →0时，g (x )→＋∞；x →－∞时，g (x )→0；x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e 24，故选B.6．(2018·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78 D ．－38 解析：选C 因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.7．(2018·长沙模拟)对于满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 总有两个不同的零点，则a ＋b －ca的取值范围是( ) A ．1，74 B ．(1,2] C ．[1，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意对方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有Δ＝b 2－4ac >0，于是c <b24a ，从而a ＋b －c a >a ＋b －b 24a a ＝1＋b a －14⎝⎛⎭⎫b a 2，对满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b 恒成立．令t ＝ba ，因为0<b ≤3a ，所以0<t ≤3. 因为－14t 2＋t ＋1∈(1,2]，所以a ＋b －c a>2.8．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1<f (x 1)<x 2，则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：选D 由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，又x1<f(x1)<x2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的实根个数不可能为5，故选D.9．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝e2x－ax2＋bx－1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．若f(1)＝0，f′(x)是f(x)的导函数，函数f′(x)在区间(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是() A．(e2－3，e2＋1) B．(e2－3，＋∞) C．(－∞，2e2＋2) D．(2e2－6,2e2＋2) 解析：选A由f(1)＝0，得e2－a＋b－1＝0，所以b＝a－e2＋1，又f′(x)＝2e2x－2ax＋b，令g(x)＝2e2x－2ax＋b，则g′(x)＝4e2x－2a，因为x∈(0,1)，所以4<4e2x<4e2.当a≥2e2时，g′(x)<0，函数g(x)在(0,1)内单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当a≤2时，g′(x)>0，函数g(x)在(0,1)内单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当2<a<2e2时，若0<x<12lna2，则g′(x)<0，若12lna2 <x<1，则g′(x)>0，所以函数g(x)在⎝⎛⎭⎫0，12lna2内单调递减，在⎝⎛⎭⎫12lna2，1内单调递增，所以g(x)min＝g12lna2＝a－a lna2＋b＝2a－a lna2－e2＋1.令h(x)＝2x－x lnx2－e2＋1＝2x－x ln x＋x ln 2－e2＋1(2<x<2e2)，则h′(x)＝－ln x＋1＋ln 2，当x∈(2,2e)时，h′(x)>0，h(x)为增函数，当x∈(2e,2e2)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，所以h(x)max＝h(2e)＝2e－e2＋1<0，即g(x)min<0恒成立，所以函数g(x)在(0,1)内有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g(0)＝2＋a－e2＋1>0，g(1)＝2e2－2a＋a－e2＋1>0，解得e2－3<a<e2＋1. 综上所述，a的取值范围为(e2－3，e2＋1)．10．(2017·太原一模)设[x]表示不小于实数x的最小整数，如[2.6]＝3，[－3.5]＝－3.已知函数f(x)＝([x])2－2[x]，若函数F(x)＝f(x)－k(x－2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则实数k的取值范围是() A．－52，－1∪[2,5) B．－43，－1∪[5,10) C．－1，－23∪[5,10) D．－43，－1∪[5,10) 解析：选C由题意知，f(x)＝([x])2－2[x]＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x∈(－1，0]∪(1，2]，－1，x∈(0，1]，3，x∈(2，3]，8，x∈(3，4].令F(x)＝0，得f(x)＝k(x－2)－2，作出函数y＝f(x)和y＝k(x－2)－2的图象如图所示．若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则函数y ＝f (x )和y ＝k (x －2)－2的图象在(－1,4]上有2个交点，结合图象可得，k P A ＝5，k PB ＝10，k PO ＝－1，k PC ＝－23，所以实数k 的取值范围是－1，－23∪[5,10)．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜0，⎪⎪⎪⎪12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11) 解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，由根的分布得出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，1－a ＋b ＜0，4－2a ＋b ＞0，画出可行域如图所示，目标函数z ＝3a ＋b 经过⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4－2a ＋b ＝0的交点A (3,2)时取得最大值11，经过B (1,0)时取得最小值3.故3a ＋b 的取值范围为(3,11)．12．(2018·广东五校协作体第一次诊断)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，e] B ．(1，e] C.⎝⎛⎦⎤1＋1e ，e D.⎣⎡⎦⎤1＋1e ，e 解析：选C 令f (x 1)＝a －x 1，则f (x 1)在x 1∈[0,1]上单调递减，且f (0)＝a ，f (1)＝a －1.令g (x 2)＝x 22e x 2，则g ′(x 2)＝2x 2e x 2＋x 22e x 2＝x 2e x 2(x 2＋2)，且g (0)＝0，g (－1)＝1e ，g (1)＝e.若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，即f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)＝a －x 1的最大值不能大于g (x 2)的最大值，即f (0)＝a ≤e ，因为g (x 2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g (x 2)∈⎝⎛⎦⎤0，1e 时，有两个x 2使得f (x 1)＝g (x 2)．若存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)的最小值要比1e 大，所以f (1)＝a －1>1e ，所以a >1＋1e ，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1＋1e ，e . 二、填空题13．若对任意的实数a ，函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．答案：(－∞，0)解析：由f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b ＝0，得(x －1)ln x ＝a (x －1)－b . 设g (x )＝(x －1)ln x ，h (x )＝a (x －1)－b ，则g ′(x )＝ln x －1x ＋1，因为g ′(x )＝ln x －1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，且g ′(1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，当x ＞1时，g ′(x )＞0，所以g (x )在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，又g (1)＝0，所以函数g (x )的大致图象如图所示．易知h (x )＝a (x －1)－b 的图象是恒过点(1，－b )的直线，当－b ＞0，即b ＜0时，易知对任意的实数a ，直线h (x )＝a (x －1)－b 与函数g (x )的图象始终有两个不同的交点，即函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点；当b ＝0时，若a ＝0，则h (x )＝0，其图象与函数g (x )的图象只有一个交点，不满足；当－b＜0，即b ＞0时，由图易知，不满足对任意的实数a ，直线h (x )＝a (x －1)－b 与函数g (x )的图象始终有两个不同的交点．综上可知，b ＜0.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x ＋1，－1<x ≤0，x ，0<x ≤1，与g (x )＝a (x ＋1)的图象在(－1,1]上有2个交点，若方程x －1x＝5a 的解为正整数，则满足条件的实数a 的个数为________． 答案：1解析：在同一坐标系中作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.由x －1x ＝5a ，可得x 2－5ax －1＝0，设h (x )＝x 2－5ax －1，当x ＝1时，由h (1)＝1－5a －1＝0，可得a ＝0，不满足题意；当x ＝2时，由h (2)＝4－10a －1＝0，可得a ＝310，满足题意；当x ＝3时，由h (3)＝9－15a －1＝0，可得a ＝815，不满足题意．又函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件的实数a 的个数为1.15．若函数f (x )＝x 2＋2x－a ln x (a >0)有唯一的零点x 0，且m <x 0<n (m ，n 为相邻整数)，则m ＋n ＝________.答案：5解析：令y 1＝x 2＋2x ，y 2＝a ln x (a >0)，则y 1′＝2x －2x 2，y 2′＝ax(a >0)．∵函数f (x )＝x 2＋2x －a ln x (a >0)有唯一的零点x 0，∴函数y 1＝x 2＋2x ，y 2＝a ln x 的图象有公切点(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧2x 0－2x 2＝ax 0，x 20＋2x 0＝a ln x⇒x 20＋2x 0－2⎝⎛⎭⎫x 20－1x 0ln x 0＝0. 构造函数g (x )＝x 2＋2x－2⎝⎛⎭⎫x 2－1x ln x (x >0)，则g (1)＝3，g (2)＝4＋1－2×⎝⎛⎭⎫4－12ln 2＝5－7ln 2，欲比较5与7ln 2的大小，可比较e 5与27的大小， ∵e 5>27，∴g (2)>0，又g (e)＝e 2＋2e －2⎝⎛⎭⎫e 2－1e ＝－e 2＋4e <0，∴x 0∈(2，e)，∴m ＝2，n ＝3， ∴m ＋n ＝5.16．已知函数f (x )＝x 2－x ln x －k (x ＋2)＋2在12，＋∞上有两个零点，则实数k 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎦⎤1，910＋ln 25解析：f (x )＝x 2－x ln x －k (x ＋2)＋2在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上有两个零点，即关于x 的方程x 2－x ln x ＋2＝k (x ＋2)在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上有两个不相等的实数根．令g (x )＝x 2－x ln x ＋2，所以当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，直线y ＝k (x ＋2)与函数g (x )＝x 2－x ln x ＋2的图象有两个不同的交点．设直线y ＝k 0(x ＋2)与函数g (x )＝x 2－x ln x ＋2，x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞的图象相切于点(x 0，y 0)，g ′(x )＝2x －ln x －1，则有⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝2x 0－ln x 0－1，k 0(x 0＋2)＝x 20－x 0ln x 0＋2，由此解得x 0＝1，k 0＝1.令h (x )＝g ′(x )＝2x －ln x －1，则h ′(x )＝2－1x ，且x ≥12，所以h ′(x )≥0，故h (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，h (x )≥h ⎝⎛⎭⎫12＝ln 2＞0，所以g (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，g ⎝⎛⎭⎫12＝94＋12ln 2，作出y ＝g (x )的大致图象，如图所示，当直线y ＝k (x ＋2)经过点⎝⎛⎭⎫12，94＋12ln 2时，k ＝910＋ln 25.又当直线y ＝k (x ＋2)与g (x )的图象相切时，k ＝1.结合图象可知，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，910＋ln 25.。
1271_2023年新高考数学一轮复习核心考点习题：七种零点问题(原卷版)_0
七种零点问题方法技巧1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象公共点的个数来判断.3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数k 的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.5.函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6.对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =；（2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n == ；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n == 与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、L 、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++ .能力拓展题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间一、单选题1．（2022·河南河南·三模（理））若实数a ，b ，c 满足13log 4a =，37b =，2ln c c=，则（）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．a c b <<D ．b a c<<2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数1()2ln 3f x x x=--的零点所在的区间为（）ln 20.693,ln 3 1.099,ln 5 1.609≈≈≈（）A ．3,4（）B ．4,5（）C ．5,6（）D ．8,9（）3．（2022·北京密云·高三期末）心理学家有时使用函数()()1e kt L t A -=-来测定在时间()t min 内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率k 所在区间为（）A ．1(0,20B ．11(,)2015C ．11(,)1510D ．1(,1)104．（2022·河南焦作·一模（理））设函数()23xxf x =+的零点为0x ，则0x ∈（）A ．()4,2--B ．()2,1--C ．()1,2D ．()2,45．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）已知2log 3a =，函数()e ln 4=+-xf x x 的零点为b ，()3212g x x x x =--的极小值点为c ，则（）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f b f c f a >>D ．()()()f c f a f b >>6．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题7．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）函数4()e 1x f x a x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为1-，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭唯一的极大值点0x ．则下列说法正确的有（）A ．1a =B ．03,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．03,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．()01f x <8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x =的定义域为R ，如果存在常数()0T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“类周期函数”，T 为函数()y f x =的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是（）A ．函数()xf x -=3是“类周期函数”B ．函数()3f x x =是“类周期函数”C ．如果函数()cos f x x ω=是“类周期函数”，那么“k ωπ=，Z k ∈”D ．如果“类周期函数”()y f x =的“类周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数9．（2021·江西·模拟预测）已知实数1m n <<，设方程()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--=的两个实数根分别为1212,()x x x x <，则下列结论正确的是（）A ．不等式()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--<的解集为12(,)x xB ．不等式()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--<的解集可能为空集C ．121x m x n <<<<D ．121m x n x <<<<三、填空题10．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是___________．(写出所有正确命题的编号)①在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件；②函数2(1)1y x x x =+<-的最大值是1+③若命题“x R ∃∈，使得2(3)10ax a x +-+≤”是假命题，则19a <<；④若函数2()(0)f x ax bx c a =++>，(1)2af =-，则函数()f x 在区间(0,2)内必有零点．11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2e xf x ax x =+-，且2a >-，()f x '为()f x 的导函数，下列命题：①存在实数a ，使得导函数()f x '为增函数；②当0a >时，函数()f x 不单调；③当21a -<≤-时，函数()f x 在R 上单调递减；④当1a =时，函数()f x 有极值．在以上命题中，正确的命题序号是______．12．（2021·福建·三明一中高三学业考试）已知函数()23x f x x =--的零点()()0,1x k k k Z ∈+∈，则k =__________．13．（2022·全国·高三专题练习）已知a ，b 均为正实数，且满足21log 2aa ⎛⎫⎪=⎝⎭，122log bb =，则下面四个判断：①n 0()l a b ->；②21b a -<；③11a b->-；④22log 0log a b >>.其中一定成立的有__（填序号即可）.14．（2020·湖南邵阳·三模（理））在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使()00f x x =，那么我们称该函数()f x 为“不动点”函数，给出下列函数：①()224f x x x =+-；②()22,132,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩③()()21xf x e x =+-；④()ln f x ax x a =--（01a <<）；⑤()2f x x x =+；其中为“不动点”函数的是_________.（写出所有满足条件的函数的序号）15．（2020·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝1＋x －22x ＋33x ，g (x )＝1－x ＋22x －33x ，若函数F (x )＝f (x ＋3)g (x －4)，且函数F (x )的零点均在[a ，b ](a <b ，a ，b ∈Z )内，则b －a 的最小值为________.四、解答题16．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知函数22()e x f x ax -=-（e 为自然对数的底数，R a ∈）.(1)若1a =-，求证：()'f x 在区间()0,1内有唯一零点；(2)若()f x 在其定义域上单调递减，求a 的取值范围.17．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知函数()22()33e (0)22xa af x x x x ax x =-+-+->.(1)讨论()f x 的导函数()f x ¢零点的个数；(2)若()f x 的最小值为e ，求a 的取值范围.题型二：方程法判断零点个数一、单选题1．（2022·福建福州·三模）已知函数()2cos 1xf x x π=+，以下结论中错误的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 有无数个零点C ．()f x 的最小值为12-D ．()f x 的最大值为12．（2022·北京·模拟预测）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2022·安徽·芜湖一中一模（理））声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为1()sin sin 22f x x x =+，则下列叙述正确的是（）A ．2x π=为()f x 的对称轴B ．3,02π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的对称中心C ．()f x 在区间[]0,10上有3个零点D ．()f x 在区间57,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数()||y f x x =-零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题5．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数()1x f x x+=，则（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在()0,+∞上单调递减D ．()f x 有两个零点6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(sin cos )sin cos f x x x x x =+⋅-，下列说法正确的是（）.A ．()f x 是周期函数B ．若12()()2f x f x +=，则122k x x π+=（k Z ∈）C ．()f x 在区间[,]22ππ-上是增函数D ．函数()()1g x f x =+在区间[0,2]π上有且仅有一个零点7．（2022·全国·高三专题练习）若()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程()f g x x =⎡⎤⎣⎦有实数解，则下列式子中可以为()g f x ⎡⎤⎣⎦的是（）A ．22x x +B ．1x +C ．cos xe D ．ln(||1)x +8．（2022·全国·高三专题练习（理））关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小值为1-C ．()f x 在[2,2]ππ-上有4个零点D ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增三、填空题9．（2022·福建·模拟预测）已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.10．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知函数()23,0,1,01x x m x f x mx x x ⎧++≤⎪=⎨+->⎪+⎩有3个零点，则实数m 的取值范围为______．四、解答题11．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()()2e xf x ax x a =-+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当102a <<时，证明()f x 在R 上有且仅有两个零点.12．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））已知函数()()3211132f x ax a x =+-.(1)当3a =时，判定()f x 的零点的个数；(2)是否存在实数a ，使得当(),2x ∈-∞时，()0f x ≤恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.题型三：数形结合法判段函数零点个数一、单选题1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函数()1,0ln ,0x a x f x x x a x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，则下列关于函数()f x 的描述中，其中正确的是（）．①当0a =时，函数()f x 没有零点；②当02a <<时，函数()f x 有两不同零点，它们互为倒数；③当2a =时，函数()f x 有两个不同零点；④当2a >时，函数()f x 有四个不同零点，且这四个零点之积为1．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（）A ．0m >且0n >B ．0m <且0n >C ．01m <<且0n =D ．10m -<<且0n =3．（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数()2ln ,02,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，若()()g x f x a =-有4个零点，则实数a的取值范围是（）A ．()0,1B ．(]0,1C ．[]0,1D ．[)1,+∞4．（2022·河南河南·三模（理））函数()112e e 1x xf x x --=---的所有零点之和为（）A ．0B ．2C ．4D ．6二、多选题5．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中k ∈N ；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有()()11f x f x -=-+，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（）A ．()f x 是以2为周期的周期函数B ．点()3,0-是函数()f x 的一个对称中心C ．()()202120222f f +=-D ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点三、填空题7．（2022·四川·成都七中三模（文））已知函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则函数()ln(1)y f x x =--的零点个数是______个．8．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））下面四个命题：①已知函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则()30f =；②存在负数k ，使得()lg 2f x x kx =--恰有3个零点；③已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则15a =；④设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.01，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为0.1其中真命题的序号为___________.9．（2022·四川成都·二模（文））定义在R 上的奇函数f （x ）满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =．则函数()()27x g x f x -=-的所有零点之和为______．10．（2022·全国·高三专题练习）已知()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：（1）若0k =，则()f x 有两个零点；（2）0k ∃<，使得()f x 有一个零点；（3）0k ∃<，使得()f x 有三个零点；（4）0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论的序号是__．四、解答题11．（2022·北京·高三学业考试）给定集合(,0)(0,)D =-∞+∞ ，()f x 为定义在D 上的函数，当0x <时，24()4xf x x =+，且对任意x D ∈，都有___________．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使()f x 存在且唯一确定．条件①：()()1f x f x -+=；条件②：()()1f x f x -⋅=；条件③：()()1f x f x --=．解答下列问题：（1）写出(1)f -和(1)f 的值；（2）写出()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（3）设()()()g x f x m m =-∈R ，写出()g x 的零点个数．12．（2021·河北·高三阶段练习）已知函数()()23cos sin 022πf x ωx ωx ωx ω⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若先将函数()f x 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将其图像向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求方程()lg 10g x x --=在()0,∞+上根的个数.13．（2021·辽宁·高三阶段练习）已知函数21()cos cos (0)22f x x x x πωωωω⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若先将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()|lg |y g x x =-在(0,)+∞上的零点个数．题型四：转化法判断函数零点个数一、单选题1．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2022·全国·()()1,1ln 1,1x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，则函数()()2g x f f x ⎡⎤⎣⎦=-的零点个数为（）A ．3B ．4C ．2D ．13．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中）已知函数1,0,()ln(),0,x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则函数2()()y f x mf x m =-+的零点个数不可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·辽宁沈阳·高三阶段练习）对于任意正实数,,m n p ，关于x 的方程2112x xpmx mx n e e ---+=+的解集不可能是（）A ．{}1B ．{}0,2C ．{}0,1,2D ．∅二、多选题5．（2022·江苏无锡·高三期末）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+6．（2022·全国·高三专题练习）定义域和值域均为[],a a -（常数0a >）的函数()y f x =和()yg x =图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解三、填空题7．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x =24x x -，则方程()2f x x =-解的个数为___________.8．（2021·全国·模拟预测）已知函数()21,0,ln ,0,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若直线y kx =与函数()f x 的图象交于A ，B 两点，且满足OA OB =，其中O 为坐标原点，则k 值的个数为___________.四、解答题9．（2021·全国·高三专题练习）证明：函数()()3log 1f x x =+的图象与()2log g x x =的图象有且仅有一个公共点．10．（2020·安徽·淮南市第五中学高三阶段练习（理））已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-（1）求(1)f ，(2)f -的值；（2）求()f x 的解析式并画出函数的简图；（3）讨论方程()f x k =的根的情况.题型五：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数一、单选题1．（2022·广东韶关·二模）已知直线0l y kx k =>：（）既是函数()21f x x =+的图象的切线，同时也是函数()()ln 1pxg x x p R x =+∈+的图象的切线，则函数()g x 零点个数为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．1或22．（2022·天津·高三专题练习）设函数()lg ,0sin ,04x x x f x x x πωπ+>⎧⎪=⎨⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有5个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A ．1317,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．17,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1319,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数()()2e 2e x xf x a a x =+--有两个零点，则a 的取值范围为（）A ．()1,0-B ．()0,1C．(D ．()1,e 二、多选题4．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）已知函数f (x )＝sin(|cos x |)＋cos(|sin x |)，则以下结论正确的是（）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )是最小正周期为2π的偶函数C ．f (x )在区间(0,2π上单调递减D ．方程1()2f x x =恰有三个不相等的实数根5．（2021·湖北恩施·高三开学考试）已知函数()12cos f x x x x =+-，则以下说法正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(0,)+∞上单调递增C ．当0x ≤时，()1f x ≤-D ．方程()0f x =有且只有两个实根6．（2022·全国·高三专题练习）函数()()()2210log 0xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则下列说法正确的有（）A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数B ．对于任意实数a ，不等式()()21f a f a +≥-恒成立C ．若12x x ≠，且()()12f x f x =，则120x x +<D ．方程()()0f x f x --=有3个不相等实数解三、解答题7．（2022·江西南昌·二模（文））已知函数()()2110,2xf x e ax x x a --->=∈R .(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若1a >，证明：方程()0f x =有且仅有一个正根.8．（2022·河北·模拟预测）已知函数()12f x x=.(1)请研究函数()()sin g x f x x =-在[)(]2π,00,2πx ∈-⋃上的零点个数并证明；(2)当0x >时，证明：()()112e xf x f x ++>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.9．（2022·全国·高三专题练习）设a 为实数，函数2()()||(1)f x x a x a a a =-+---.(1)若(0)1f，求a 的取值范围；(2)讨论()f x 的单调性；(3)当2a >时，讨论()||f x x +在R 上的零点个数.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin e xf x x ax =++.(1)若0a =，求函数()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数；(2)当[)0,x ∈+∞时都有()1f x ≥，求实数a 的取值范围.题型六：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围一、单选题1．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）．A ．13B ．1CD ．22．（2022·湖南岳阳·三模）已知函数2()lg ()6a f x x x x =+-，若不等式()0f x >有且仅有2个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．(lg3,lg 2)--B ．(lg3,lg 2]--C ．(lg 2,lg3)D ．[lg 2,lg3)3．（2022·山西·模拟预测（文））已知函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩若函数()2y f x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．()3,4-C ．(3,6)-D ．(3,)-+∞二、多选题4．（2021·辽宁·东北育才学校二模）一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间C ．若函数()f x m =1(,0]4m ∈-D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”三、填空题5．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e 9e 42x a a xf x x x --=++--有零点，则实数=a ___________.6．（2022·四川·石室中学三模（文））若函数()()()221f x x xax b =-++的图象关于直线2x =对称，且直线y k=与函数()f x 的图象有三个不同的公共点，则实数k 的值为______．四、解答题7．（2021·辽宁·东北育才学校二模）已知二次函数()y f x =满足以下条件：①经过原点(0,0);②R x ∀∈，()(2)f x f x =-;③函数()1y f x =+只有一个零点(1)求二次函数()y f x =的解析式；(2)若函数()||||e 12()e 1x x f g x -+=-与()||()2e 142x h x t t =⋅-+-的图象有两个公共点，求实数t 的取值范围.题型七：利用函数的交点（交点个数）求参数一、单选题1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数()1,0,ln ,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩（0a >且1a ≠），若函数()()y f f x a=-的零点有5个，则实数a 的取值范围为（）A ．2a =B ．ln 21a ≤<或12a <<C ．0ln 2a <≤或12a <<或2a =D ．ln 21a ≤<或2a =2．（2022·山东济宁·二模）已知函数(),0ln ,0x x f x a x x ≤⎧=⎨>⎩，若函数()()()g x f x f x =--有5个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．()e,0-B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(),e -∞-D ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，对x ∀∈R ，都有()()31f x f x -=+恒成立，当[]0,2x ∈时，()212f x x =，当0k >时，若函数()f x 的图象和直线()4y k x =+有5个交点，则k 的取值范围为（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题4．（2022·福建莆田·三模）已知函数231,1()41613,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+-≥⎪⎩，函数()()g x f x a =-，则下列结论正确的是（）A ．若()g x 有3个不同的零点，则a 的取值范围是[1,2)B ．若()g x 有4个不同的零点，则a 的取值范围是()0,1C ．若()g x 有4个不同的零点()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则344x x +=D ．若()g x 有4个不同的零点()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则34x x 的取值范围是137,42⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·辽宁鞍山·二模）已知函数()()22log ,(02)813,2x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若()f x a =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且满足1234x x x x <<<，则下列命题正确的是（）A ．01a <<B ．12922,2x x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭C ．12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭D．)122x x ⎡+∈⎣三、填空题6．（2022·贵州毕节·三模（文））已知函数()()1sin 02f x x x ωωω=>在[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围为__________．7．（2022·福建宁德·模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()22e 24x f x x a a =-+-.若()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则实数a 的值为___________.8．（2022·全国·三模（理））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x +是偶函数，当01x ≤≤时，()()2log 1f x x =-+．设()()()g x f x f x =+，若关于x 的方程()20g x mx --=有5个不同的实根，则实数m 的取值范围是__________．9．（2022·新疆昌吉·二模（文））已知函数()()216249,111,19x x x f x f x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()()f x m m R =∈有三个不同的实根，则m 的取值范围为______．四、解答题10．（2022·北京密云·高三期中）已知函数2()ln(21)f x x x ax =+-.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值；(3)请直接写出函数()f x 的零点个数.。
专题13 函数的零点的问题(解析版)
专题13 函数的零点的问题一、题型选讲题型一 函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．例2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax ＋b ，a ，b ∈R . 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．例3、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba 的值；题型二 函数零点个数证明与讨论函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。
例4、(2017南通一调）已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R .(1) 当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2) 若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3) 若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．例5、（2016南通一调）已知函数f (x )＝a ＋x ln x (a ∈R )．(1) 求f (x )的单调区间；(2) 试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．题型三 函数零点问题的不等式的证明函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围以及证明零点方面的不等问题时，这些问题时要用到这三者的灵活转化。
数形结合法破解含参函数的零点问题
1)
可初步做 出 判 断,严 格 的 证 明 需 借 助 于 二 阶
导数。
(
责任编辑
徐利杰)
+∞ 上
2
单调 递 增,当 x→ - ∞ 时,
图4
x)
→+∞ ,其 图 像 如 图
g(
4 所示。 依 题 意 知,直 线 y =a (
x -1)与
几何意 义 是 过 点 (
1,
0)的 动
函 数 y =2
l
nx 的 图 像 在
例 3
x)→0,当 x → + ∞ 时,
g(
1
该 方 程 在 0,
上 无 解,其
x)的 图
g(
像有唯一的公共
对数的底数,
若 f(
1)=0,函 数 f (
x)在 区 间
点。因 为 两 条 函 数
解析:
由 f(
1)=e-a-b-1=0,得 b=
好 相 反,所 以 由 数
(
内有零点,
求 a 的取值范围。
0,
1)
e-a -1。 当 x ∈ (
0,
1)时,
x )=e f(
x
ax - (
e-a-1)
解题篇 经典题突破方法
高二数学 2022 年 7-8 月
数形结合法破解含参函数的零点问题
■ 河南省郑州中原一中实验学校
含参函数的零点问题 是 高 中 数 学 的 重 要
题型,
在考 试 中 常 常 处 于 小 题 甚 至 是 大 题 的
压轴位置,
其 一 般 形 式 为:
已 知 函 数 y=f(
x,
在区间I 上有 ※ 个(
函数与导数重点题型01：含参函数单调性、极值、零点问题研究
重点题型一：含参函数的单调性、极值、最值及零点问题【问题分析】含参函数的单调性、极值点及零点问题，在高考中考查频次非常高，主要考查利用分类讨论来研究函数单调性和由函数极值、最值及零点求解参数范围。
此类问题难度较大，经常出现在试卷T20或T21，属于高考压轴题型。
该题型主要考查考生的分类讨论思想、等价转化思想。
解决此类问题的本质就是确定函数定义域上的单调性，基本思想就是“分类讨论”，解题的关键就是参数“分界点”的确定。
所以，要解决好此类问题，首先要明确参数“分界点”，其次确定在参数不同的分段区间上函数的单调性，进而可以确定函数的极值点、最值及零点，达到解题目的。
图1-1 含参函数问题解题思路【知识回顾】图1-2 函数f (x )单调性、极值、最值及零点关系图特别提醒：1.函数f (x )单调性、极值、最值及零点必须在函数定义域内研究，所以解决问题之前，必须先确定函数的定义域。
2.函数f (x )的极值点为其导函数变号的点，亦即导函数f ′(x )的变号零点。
3.函数f (x )的极值点为函数单调区间的“分界点”，经过极大值点函数由增变减，经过极小值点函数由减变增。
函数f(x)的单调性函数f(x)的极值点导函数f ′(x)的变号零点函数f(x)的最值确定分界点有影响分类讨论函数单调性参数导函数f ′(x)值/f ′(x )=0的根函数f(x)4. 函数f (x )单调区间不能写成并集，也不能用“或”连接，只能用逗号“，”或“和”连接。
【“分界点”确认】参数对导函数f ′(x )的值符号有影响，就必须根据参数对导函数的影响确定参数“分界点”，然后在进行分类讨论函数的单调性。
常见的“分界点”确认方法如下： 1.观察法：解决问题的过程中，我们会发现导函数形式比较简单的情况下，我们可以通过观察直接确定参数的“分界点”,例如：当导函数f ′(x )的值与y =x 2+a 函数有关，可以直接观察得到：当a ≥0时，y ≥0；当a <0时，y =0有两个根x 1=−√−a,x 2=√−a,当x ∈(−∞,−√−a)∪(√−a,+∞)时，y >0,当x ∈(−√−a,√−a)时，y <0.所以我们可以根据常见函数的性质及其之间的不等关系，通过直接观察确定“分界点”，常见函数性质及其之间的关系如下： ①x 2≥0 (x ∈R ), 完全平方式不小于0 ②tanx >x >sinx (0<x <π2)③e x ≥x +1 (x ∈R ),仅当x =0时，等号成立e x =x +1 ④lnx ≤x −1 (x >0),仅当x =1时，等号成立lnx =x −1 ⑤lnx <x <e x (x >0) ⑥a x >0 (x ∈R )2.由二次函数引发的“分界点”当函数f (x )求导后，导函数f ′(x )值符号由一个含参的二次函数（二次三项式）决定，一般可以从两个方面进行“分界点”的确定：（1）通过二次函数（一元二次方程）的∆判别式进行“分界点”的确定. 对于一个二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0): ① {a >0∆≤0⟹y ≥0或{a <0∆≤0⟹y ≤0.② {a >0∆>0⟹二次函数有两个零点（或二次方程y =0有两个不同实根）x 1,x 2(x 1<x 2),x 在两根之外函数大于0，两根之内函数小于0.③ {a <0∆>0⟹二次函数有两个零点（或二次方程y =0有两个不同实根）x 1,x 2(x 1<x 2),x 在两根之外函数小于0，两根之内函数大于0. 特别提醒：当二次函数有两个零点时，需要确定两个零点是否在函数定义域之内，若不在需要舍弃. （2）由二次函数零点分布（一元二次方程实根分布）进行“分界点”确定设x 1,x 2(x 1<x 2)是二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的两个零点（一元二次方程ax 2+bx +c =0(a >0)的两个根），则x 1,x 2的分布情况与二次函数系数之间的关系如下（k,k 1,k 2∈R,k 1<k 2）：零点分布函数图像等价条件x 1<x 2<k{∆>0f (k )>0−b 2a<kk <x 1<x 2{∆>0f (k )>0−b 2a>kx 1<k <x 2f (k )<0k 1<x 1<x 2<k 2{∆>0f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<−b 2a<k2 x 1,x 2中仅有一个在（k 1，k 2）内\f (k 1)∙f (k 2)<0或f (k 1)=0，k 1<−b2a <k 1+k 22或f (k 2)=0，k 1+k 22<−b2a <k 2或{∆=0k 1<−b 2a<k 2当二次函数定义域受限，可以根据上表情况进行“分界点”确认，进而进行分类讨论。
专题14 利用导数研究函数零点问题(解析版)
专题14利用导数研究函数零点问题一．函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴(或直线y k =)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.二．利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．三．利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()a g x =)后，将原问题转化为()y g x =的值域(最值)问题或转化为直线y a =与()y g x =的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．专项突破一判断函数零点的个数一、单选题1．函数()23322f x x x =-+-所有零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由题可知，2x ≠±，且233()()()22f x x f x x -=--+=--，故函数()f x 为定义域上的偶函数，且(0)0f =，当0x >，且2x ≠时，233()22f x x x =-+-，23()2(2)f x x x '=---当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且(0)0f =，故函数()f x 在区间(0,2)上无零点，当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当2x →时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，故函数()f x 在区间(2,)+∞上必存在一点0x ，使得0()0f x =，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上有1个零点，又函数()f x 为定义域上的偶函数，则函数()f x 在区间(,2)-∞-上有1个零点，又(0)0f =，所以函数()f x 共有3个零点.故选：C.2．已知函数()31ln 01203x x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()1g x f x x =--的零点个数为（）A ．1B ．0C ．3D ．2【解析】当0x >时，1ln 10x x x +--=，得ln 1x =，即e x =，成立，当0x ≤时，312103x x +--=，得31103x x -+=，设()3113g x x x =-+，()0x ≤，()()()21110g x x x x '=-=+-=，得1x =-或1x =（舍），当(),1x ∈-∞-时，()0g x ¢>，函数()g x 单调递增，当()1,0x ∈-时，()0g x ¢<，函数()g x 单调递减，所以1x =-时，函数取得最大值，()5103g -=>，()010g =>，()350g -=-<，根据零点存在性定理可知，()3,1x ∈--，存在1个零点，综上可知，函数有2个零点.故选：D3．函数()e ln 1xf x x x x =---的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】()()()()()1e 1111e e 1e 11e x xxx x x x x f x x x x x x x x+-+⎛⎫'=+--=+-+-= ⎪⎝⎭，令()e 1x h x x =-，,()0x ∈+∞，则()e e 0x xh x x =+>'，故h (x )在(0,)+∞上单调递增，∵()010h =-<，()1e 10h =->，∴存在唯一的()00,1x ∈，使得()0 0h x =，即00 e 10xx -=，即001e x x =，00ln x x =-，∴当00x x <<时，()00h x <，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x x >时，()00h x >，()0f x '>，()f x 单调递增，∴()0min 000000()e ln 1011xf x f x x x x x x ==--=+---=，∴函数()e ln 1xf x x x x =---的零点个数为1．故选：B ．4．已知()e,a ∈+∞，则函数()ln e x f x a x ax x =+-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】函数()ln e x f x a x ax x =+-定义域为(0,)+∞，求导得：()(1)(e )xa f x x x'=+-，令()e xa g x x=-，0x >，显然()g x 在(0,)+∞上单调递减，而e a >，()1e 0a g a =-<，(1)e>0g a =-，则存在0(1,)x a ∈，使得0()0g x =，即00e x ax =，当00x x <<时，()0>g x ，()0f x '>，当0x x >时，()0g x <，()0f x '<，因此，()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，0max 000000()()ln e (ln 1)0x f x f x a x ax x a x x ==+-=+->，而11111e e e (ln 1ln 110aaaf a a a a a a a a a=+-=-+-<-+-<，则存在101(,)x x a ∈使得1()0f x =，即()f x 在0(0,)x 上存在唯一零点，又()(ln e )a f a a a a =+-，令()ln e ,e x h x x x x =+->，1()1e 0x h x x'=+-<，则()h x 在(e,)+∞上单调递减，e x ∀>，e 2()(e)1e e 1e e 0h x h <=+-<+-<，于是得()0f a <，则存在20(,)x x a ∈使得2()0f x =，即()f x 在0(,)x +∞上存在唯一零点，综上得：函数()ln e x f x a x ax x =+-的零点个数为2.故选：C 5．已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关【解析】令()()321103f x x a x x =-++=，得()3231x a x x =++.令()3231x y x x =++，2y a =，只需看两个图像的交点的个数.()()()()()22232222223121121103311x x x x x x x x y x x x x ++-+++'=⨯=⨯>++++所以()3231x y x x =++在R 上单调递增.当x →-∞时，y →-∞；当x →+∞时，y →+∞；所以2y a =与()3231x y x x =++有且只有一个交点.故选：A6．已知()f x 为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()1F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．0或2【解析】构造函数()()1g x xf x =+，其中0x ≠，则()()()g x f x xf x ''=+，当0x ≠时，()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x.当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'，此时，函数()g x 单调递减，则()()01g x g >=；当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，此时，函数()g x 单调递增，则()()01g x g >=.所以，当0x <时，()()()110xf x F x f x x x +=+=<；当0x >时，()()()110xf x F x f x x x+=+=>.综上所述，函数()F x 的零点个数为0.故选：A.二、填空题7．设函数()f x 满足()()3229f x f x x x +-=-，则函数()()()3g x f f x =+的零点个数为______.【解析】因为()()3229f x f x x x +-=-①，所以()()3229f x f x x x -+=--②，①×2-②，得()32339f x x x =-，即()323f x x x =-，则()()23632'=-=-f x x x x x ，当2x >，或0x <时()0f x '>，)f x 单调递增，当02x <<时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的极小值为()24f =-，极大值为()00f =，因为()323f x x x =-的零点为0或3，所以由()()()30g x f f x =+=，得()30f x +=或()33f x +=，即()3f x =-或()0f x =，因为()f x 的极小值为()24f =-，极大值为()00f =，所以方程()3f x =-有3个不同的实数解，又()0f x =有2个不同的实数解，所以()()()3g x f f x =+的零点个数为5.8．已知函数1e ,0,()2e ln ,0,x x x f x x x x +⎧≤=⎨⎩＞则函数()()1g x f x =-零点的个数为___________【解析】0x ≤时，1()(1)x f x x e +¢=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减；10-<≤x 时，()0f x '>，()f x 递增；则1x =-时，()f x 取极小值也是最小值(1)1f -=-；0x >时，()2(1ln )f x e x ¢=+，10x e<<时，()0f x '<，()f x 递减；1x e >时，()0f x '>，()f x 递增；则1=x e 时，()f x 取极小值也是最小值12f e 骣琪=-琪桫，综上所述，可作出()f x 图象，在作两条直线1y =±，结合图象可知，()f x 与1y =±有4个交点.三、解答题9．已知函数()1e 1xx f x x +=--.(1)求曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；(2)判断函数f （x ）的零点的个数，并说明理由.【解析】(1)由()()()212e e 031(1)x x x f x f x f x x +''=-⇒=+⇒=--，而()02f =，所以该函数在点（0，f （0））处的切线方程为：23(0)320y x x y -=-⇒-+=；(2)函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由（1）可知：()22e (1)xf x x '=+-，当(,1)x ∞∈-时，()0,()f x f x '>单调递增，因为22111(2)(0)(e )22(03e 3f f --=-⋅=-<，所以函数在(,1)x ∞∈-时有唯一零点；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，因为5245(2)()(e 3)(e 9)04f f =-⋅-<，所以函数在(,1)x ∞∈-时有唯一零点，所以函数f （x ）有2个零点.10．设函数()2(21)(21)ln(),f x a x a x a R =-++-∈.（1）讨论()f x 在定义域上的单调性；（2）当0a ≥时，判断()f x 在[1-，1]2-上的零点个数．【解析】（1）由题意，函数()2(21)(21)ln()f x a x a x =-++-的定义域为(,0)-∞，可得221()2a f x a x+'=+，①当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 在(,0)-∞上是减函数；②当0a >时，22212()212()2a a x a af x a x x+++'=+=，则当221(,2a x a+∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当221(2a x a+∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以函数()f x 在221(,)2a a +-∞-上单调递增，在221(,0)2a a+-上单调递减；（2）①当0a =时，函数()ln()f x x =-，令ln()0x -=，解得1x =-，故()f x 在[211,]--上有一个零点；②当0a >时，因为22112()21221022a a a a-++-=>，则2121[1,](,0)22a a +--⊆-，即()f x 在[1-，1]2-上单调递减，又(1)30f a -=-<，21()2(21)202f a a ln -=--+<，所以函数()f x 在[211,]--上没有零点．11．已知函数()sin f x x ax =+，其中[]0,x π∈．（1）当12a =-时，求()f x 的极值；（2）当1a ≥时，求()f x 的零点个数．【解析】（1）当12a =-时，()1sin 2f x x x =-，[]0,x π∈，求导得()1cos 2f x x '=-，[]0,x π∈，令()0f x '=，得3x π=，当0,3x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>；当,3x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<．∴()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，∴当3x π=时，()f x 取得极大值36f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，无极小值；（2）()cos f x x a '=+，[]0,x π∈，当1a ≥时，∵1cos 1x -≤≤，∴()0f x '≥，∴()f x 在区间[]0,π上单调递增，∴()()00f x f ≥=，故()f x 只有一个零点0．12．已知函数()22ln f x x a x =-,()222ln 2g x x x =-+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时,判断()()g x f x -的零点个数．【解析】(1)()22a f x x x '=-()22x a x-=,故当0a ≤时,()0f x '≥,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a >时,令()0f x '>,得x >所以函数()f x 在)+∞上单调递增,令()0f x '<,得x <所以函数()f x 在(上单调递减,综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a >时,函数()f x 在)+∞上单调递增,在(上单调递减.(2)设()()()F x g x f x =-=2ln 22ln 2x x -+-,则()21F x x'=-,令()0F x '=,解得2x =,当()0,2x ∈时,()0F x '>；当()2,x ∈+∞时,()0F x '<；故()F x 最大值为()20F =，所以()()g x f x -有且只有一个零点2.13．已知()()2e 2ln xf x x a x x =-+(1)当e a =时，求()f x 的单调性；(2)讨论()f x 的零点个数．【解析】(1)因为e a =，0x >，()()2e e 2ln xf x x x x =-+所以()()()()()2e 22e 2e e 12e 2e x xx x f x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10f '=令()e e x g x x x =-，()()2e 1e 0xg x x x'=++>，所以()g x 在()0,+∞单增，且()10g =，当()0,1∈x 时()e e 0xg x x x =-<，当()1,x ∈+∞时()ee 0x g x x x=->，所以当()0,1∈x 时()0f x ¢<，当()1,x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增(2)因为()()()2ln 2ln e e 2ln e 2ln 0x x x x f x a x x a x x +=⋅-+=-+=令2ln t x x =+，易知2ln t x x =+在()0,+∞上单调递增，且R t ∈，故()f x 的零点转化为()()2ln e2ln e 0x xt f x a x x at +=-+=-=即e t at =，R t ∈，设()e t g t at =-，则()e t g t a '=-，当0a =时，()e tg t =无零点；当0a <时，()e 0tg t a '=->，故()g t 为R 上的增函数，而()010g =>，11e 10a g a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g t 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，若(),ln t a ∈-∞，则()0g t '<；()ln ,t a ∈+∞，则()0g t '>；故()()()min ln 1ln g t g a a a ==-，若e a =，则()min 0g t =，故()g t 在R 上有且只有一个零点；若0e a <<，则()min 0g t >，故()g t 在R 上无零点；若e a >，则()min 0g t <，此时ln 1a >，而()010g =>，()()22ln 2ln 2ln g a a a a a a a =-=-，设()2ln h a a a =-，e a >，则()20a h a a-'=>，故()h a 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20h a h >=->即()2ln 0g a >，故此时()g t 在R 上有且只有两个不同的零点；综上：当0e ≤<a 时，0个零点；当e a =或0a <时，1个零点；e a >时，2个零点；14．已知函数()[]21sin cos ,0,2f x x x x ax x π=++∈.(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；(2)当0a >时，讨论()f x 的零点个数.【解析】(1)当0a =时，函数()[]sin cos ,0,f x x x x x π=+∈，可得()sin cos sin cos f x x x x x x x =+-='.当x 在区间[]0π,上变化时，()f x '，f （x ）的变化如下表：x 00,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2π,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭π()f x '0+0-f （x ）极小值1极大值2π -1所以()f x 的单调增区间为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭；()f x 的单调减区间为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由题意，函数()[]21sin cos ,0,2f x x x x ax x π=++∈，可得()()cos cos f x ax x x x a x =+=+'当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,]π上恒成立，所以[0,]x π∈时，()0f x '≥，所以()f x 在[0,]π上单调递增.又因为()01f =，所以f （x ）在[0,]π上有0个零点.当01a <<时，令()0f x '=，可得cos x a =-.由10a -<-<可知存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得0cos x a =-，所以当0[0,)x x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()01f =，0()1f x >，()2112f a ππ=-，①当21102a π->，即221a π<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点.②当21102a π-≤，即220a π<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点.综上可得，当220a π<≤时，()f x 有2个零点；当22a π>时，()f x 有0个零点.15．已知函数()()()e 12e xxaf x a x a =+---∈R (1)求函数()f x 的单调区间.(2)若(,2]a ∈-∞，求函数()f x 在区间(,2]-∞上的零点个数.【解析】(1)由题意，得()()()()e 1e e 1,e e x x xx xa a f x a x +-=---='∈R当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,ln )a -∞，单调递增区间为(ln ,)a +∞；(2)由（1）可知当0a ≤时，()0f x '>在(,2]-∞上恒成立，所以()f x 在(,2]-∞上单调递增.因为()()22221010,2e 2e 20e e a f a f a a ⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理知，函数f 在(,2]-∞上有1个零点，当02a <≤时，若(,ln )x a ∈-∞，则()0f x '<，若(ln ,2]x a ∈，则()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,2]a 上单调递增，可得()()()()min ln 11ln f x f a a a ==--，①当1a =时，min ()0f x =，此时()f x 在(,2]-∞上有1个零点②当01a <<时min ()0f x <，因为当x →-∞时()()22,2e 20e af x f a ∞→+=+->，所以此时()f x 在(,2]-∞上有2个零点③当12a <≤时，min ()0f x >，此时()f x 在(,2]-∞上无零点.综上，当0a ≤或1a =时，()f x 在(,2]-∞上有1个零点，当01a <<时()f x 在(,2]-∞上有2个零点，当12a <≤时()f x 在(,2]-∞上无零点.16．已知函数()()e ,xf x ax a R =-∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)讨论()f x 在()0,+∞上的零点个数．【解析】(1)因为()e xf x ax =-，则'()f x e x a =-，当0a ≤时，'()f x 0<，此时()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令'()f x 0=，可得ln x a =，则当(),ln x a ∈-∞时，'()f x 0>，()f x 单调递增，当()ln ,x a ∈+∞时，'()f x 0<，()f x 单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减.(2)当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，又()01f =-，故当()0,x ∈+∞时，()1f x <-，故此时()f x 在()0,+∞无零点；当01a <≤时，ln 0a <，故()f x 在)0,+∞单调递减，同0a ≤时，此时()f x 在()0,+∞无零点；当1a >时，ln 0a >，故()f x 在()0,ln a 单调递增，在()ln ,a +∞单调递减，()()()ln ln 1f x f a a a ≤=-，若ln 10a -<，即1e a <<时，()ln 0f a <，故()f x 在()0,+∞无零点；若ln 10a -=，即e a =时，()ln 0f a =，此时()f x 在()0,+∞有一个零点ln a ；若ln 10a ->，即e a >时，()ln 0f a >，又因为()010f =-<，故()f x 在()0,ln a 上一定存在一个零点；又因为2ln ln a a >，且()2ln 0f a <，故()f x 在()ln ,2ln a a 上也一定存在一个零点；下证()2ln 0f a <：()()22ln 2ln 2ln ,e f a a a a a a a a =-=->，令2ln ,e y x x x =->，则'y 20xx-=<，即2ln y x x =-在()e,∞+单调递减，故2ln e e 2e 0y <-=-<，即2ln 0,(e)x x x -<>故()()2ln 2ln 0,e f a a a a a =-.故当e a >时，()f x 有两个零点.综上所述：当e a <时，()f x 在()0,+∞无零点；e a =时，()f x 在()0,+∞有一个零点ln a ；e a >时，()f x 有两个零点.专项突破二由函数零点个数求参数一、单选题1．若函数()2ln 2,02,0x x x f x x x a x ->⎧=⎨++≤⎩有且只有2个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．01a <<B ．01a <≤C ．01a ≤≤D ．01a ≤<【解析】根据题意，0x >时，()ln 2(0)f x x x x =->，此时()12f x x'=-()120f x x -'=>时，102x <<;()120f x x -'=<时，12x >,所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减0x >时，()1ln 2102max f x f ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上无零点从而0x ≤时，()f x 有2个零点，根据二次函数的性质可得()4400100a a f ∆=->⎧∴≤<⎨≥⎩，故选：D.2．若函数3()12f x x x a =-+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,8)-∞-B ．(,8)-∞C ．[16,16]-D ．(16,16)-【解析】3()12f x x x a =-+，2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-.令()0f x '=，解得12x =-，22x =.(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 为增函数，(2,2)x ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，(2,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()(2)16f x f a =-=+极大值，()(2)16f x f a ==-+极小值.因为函数3()12f x x x a =-+有三个不同的零点，等价于方程()0f x =有三个不同的根.所以160160a a +>⎧⎨-+<⎩，解得1616a -<<.故选：D3．若关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，则a 的取值范围是（）A ．1(,e-∞B ．1(,)e -∞C ．1(0,]e D ．1(0,e【解析】由ln 0x ax -=，得ln x a x=（0x >），令ln ()(0)xf x x x =>，所以关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，等价于函数()f x 的图像与直线y a =有两个交点，由ln ()(0)x f x x x =>，得'21ln ()(0)xf x x x -=>，当0x e <<时，'()0f x >，当x e >，'()0f x <，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，所以max ln 1()()e f x f e e e===，当x e >时，()0f x >，所以当10a e<<时，函数()f x 的图像与直线y a =有两个交点，所以a 的取值范围是1(0,)e，故选：D4．若函数()ln x f x a x e a =++有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(,)e +∞B ．(,2)e -∞-C ．(,)e -∞-D ．(2,)e +∞【解析】因为函数()ln xf x a x e a =++有两个零点，定义域为()0,∞+；所以方程ln 0x a x e a ++=在()0,∞+上有两不等实根，显然0a ≠即方程ln 11x x a e +-=在()0,∞+上有两不等实根，令()ln 1xx g x e +=，则直线1=-y a 与曲线()ln 1xx g x e +=在()0,∞+上有两不同交点；因为()()211ln 1ln 1x x x xe x e x x x g x e e -+--'==，令()1ln 1h x x x=--，则()2110h x x x '=--<在()0,∞+上显然恒成立，因此()1ln 1h x x x=--在()0,∞+上单调递减，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，所以()ln 1xx g x e +=单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，所以()ln 1xx g x e +=单调递减；因此()()max 11g x g e ==，又当1x e >时，()ln 10x x g x e +=>；当10x e <<时，()ln 10xx g x e +=<，所以为使直线1=-y a 与曲线()ln 1xx g x e +=在()0,∞+上有两不同交点，只需110a e<-<，解得a e <-.故选：C.5．设函数()()ln ,0e 1,0xx x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x b =-有两个零点，则实数b 的取值范围是（）A ．()0,1B ．[)0,1C ．[]0,1D ．[]{}20,1e-⋃-【解析】当0x >时，函数()ln f x x =单调递增；当0x ≤时，()()e 1xf x x =+，则()()e 20x f x x ='+=时，2x =-，所以当2x <-时，()0f x '<，20x -<≤时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,0-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为()22e f --=-，作出函数()f x的图象如图：因为函数()y f x b =-有两个零点，所以函数()y f x =与y b =有两个交点，所以当[]{}20,1e b -∈⋃-时函数()y f x =与y b =有两个交点，所以实数b 的取值范围为[]{}20,1e -⋃-.故选：D.6．已知函数()1e xf x x a -=+-有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()2e ,0-D ．()2e ,-+∞【解析】由题意，函数()1e xf x x a -=+-的定义域为R ，令()0f x =，即1e 0x x a -+-=，即()1e xa x =+⋅，设()()1e x g x x =+⋅，可得()()()e 1e 2e x x xg x x x '=++⋅=+⋅，当2x <-时，()0g x '<，当2x >-时，()0g x '>，所以()g x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,)-+∞上单调递增.又()212e g -=-，作出简图，如图所示，要使得函数()1e xf x x a -=+-有两个零点，只需y a =与()()1e xg x x =+⋅的图像有两个交点，所以210e a -<<，即实数a 的取值范围是210ea -<<.故选：A.7．已知函数()2e ln x f x a x x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e 2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(,2e)-∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()2e ln x f x a x =-有两个极值点，所以()()2e ln 1xf x a x '=-+有两个相异的零点，即ln 12e xx a +=有两个交点，令()()ln 1,0,ex x g x x +=∈+∞，则()()()1ln 1,0,e xx x g x x -+'=∈+∞，令()()()1ln 1,0,h x x x x =-+∈+∞，则()2110h x x x'=--<恒成立，所以()h x 在()0,x ∈+∞上递减，且()()11ln1101h =-+=，所以()0,1x ∈时，()0h x >；()1,x ∈+∞时，()0h x <；所以()0,1x ∈时，()0g x '>；()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()0,1x ∈时，()g x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()g x 单调递减；()()max ln1111e e g x g +===，又当x →+∞时，()ln 10e x x g x +=→；0x →时，()ln 1e xx g x +=→-∞；所以当ln 12e xx a +=有两个交点时，则有102a e<<，即102e a <<，所以函数()2e ln x f x a x x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是102ea <<，故选：A 8．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）【解析】令()()()22e e 0=--=x xf x x x a ，所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x ，令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x ，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增；当,()0x ∈+∞时，()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减，所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '<，所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-<，所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =，所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e =，令()x x k x e =，则()1xx e xk -='，当(,1)x ∞∈-时，()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e ≤=，所以()x xk x e=与y a =的部分图象大致如图所示，由图知10a e<<，故选：A ．9．函数()()()1e 21xf x a x x =---有两个零点，则a 的取值范围为（）A ．()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U B ．321,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()320,14e ,⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．324e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()0f x =得(21)(1)e x x a x -=-，令()e (21)x g x x =-，则()e (21)x g x x '=+，∴当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>，()g x ∴在1(,)2-∞-上单调递减，在1(2-，)∞+上单调递增，作出()g x 与(1)y a x =-的函数图象如图所示：设直线(1)y a x =-与()g x 的图象相切，切点为00(,)x y ，则()()()00000001e 1e 21xx y a x y x a x ⎧=-⎪=-⎨⎪=+⎩，解得00x =，01y =-，1a =，或032x =，3202e y =，324e a =，()f x 有两个不同的零点，()g x ∴(1)a x =-的函数图象有两个交点，01a ∴<<或324e a >，即()320,14e ,a ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选：C ．10．已知()()()212()12e 1ex x f x x a x a --=-+++恰有三个不同的零点，则实数a 的范围为（）A ．()0,1B ．()1,1-C ．()0,e D ．()1,0-【解析】由()()()()21212e 1e 0x x f x x a x a --=-+++=，得()()2111e e e x x x a x x ----=-，即()()11e1e0x x x x a --⎡⎤--+=⎣⎦．令()1e x g x x -=-，则()11e x g x -'=-，令()11e 0x g x -'=-=可得1x =，当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，当()1,+∈∞x 时，()0g x '<，∴()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()g 10x g ≤=，即()1e 0x g x x -=-=仅有唯一的解1x =．依题意，方程()11e 0x x a --+=有两个不同的解，即1y a =+与1ex x y -=有两个不同的交点，令()1ex x h x -=，则()11e x xh x --'=，易得()h x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调速减，()()11h x h ≤=，画出()h x 的草图观察图象可得01110a a <+<⇒-<<，故选：D ．二、多选题11．已知()e xf x x ax b -=--（）A ．若24eb >，则()0,a ∞∃∈+，使函数()y f x =有2个零点B ．若24e b >，则(),0a ∃∈-∞，使函数()y f x =有2个零点C ．若240e b <<，则()0,a ∞∃∈+，使函数()y f x =有2个零点D ．若240e b <<，则(),0a ∃∈-∞，使函数()y f x =有2个零点【解析】令()0f x =，则e xx ax b =+，所以设()e x x g x =，则()1e x xg x ='-当1x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减()g x 在1x =处取得极大值()11eg =当x 趋向于-∞时，()g x 趋向于-∞；当x 趋向于+∞时，()g x 趋向于0又()2ex x g x -''=，()20g ''=且当2x <时，()0g x ''<；当2x >时，()0g x ''>所以，2x =是函数()g x 的拐点，()222e g =，()212e g '=-所以()g x 在2x =处的切线方程为()2122ey x -=--，即2214e e y x =-+如图所示，ACD 正确，B 错误，故选：ACD12．已知函数()ln f x x x a =--有两个零点1x 、2x ，则下列说法正确的是（）．A ．1a >B ．121x x >C ．121x x <D ．122x x +>【解析】由()0f x =可得ln a x x =-，令()ln g x x x =-，其中0x >，所以，直线y a =与曲线()y g x =的图象有两个交点，()111x g x x x-'=-=，令()0gx '=，可得1x =，列表如下：x()0,11()1,+∞()g x '-+()g x 减极小值1增作出函数y a =与()y g x =的图象如下图所示：由图可知，当1a >时，函数y a =与()y g x =的图象有两个交点，A 对；121212ln ln 2x x x xx x -+<<-，其中12x x ≠，且1x 、2x 均为正数.先证明121212ln ln 2x x x x x x -+<-，其中120x x >>，即证()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令121x t x =>，()()21ln 1t p t t t -=-+，其中1t >，则()()()()222114011t p t t t t t -'=-=>++，所以，函数()p t 在()1,+∞上为增函数，当1t >时，()()10p t p >=，所以，当120x x >>时，121212ln ln 2x x x xx x -+<-，接下来证明：1212ln ln x x x x --120x x >>，即证12ln x x <=，令1t =>，即证12ln t t t <-，令()12ln h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中1t >，则()222212110t t h t t t t -+'=--=-<，所以，函数()h t 在()1,+∞上为减函数，当1t >时，()()10h t h <=，所以，当120x x >>时，1212ln ln x x x x ->-由已知可得1122ln ln x x ax x a -=⎧⎨-=⎩，两式作差可得1212ln ln x x x x -=-，所以，12121ln ln x x x x -=-，1212121ln ln 2x x x xx x -+<=<-，故121x x <，122x x +>，B 错，CD 都对.故选：ACD.13．已知函数35,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()2g x f x x a =+-有3个零点，则实数a 可能的取值有（）A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】函数()()2g x f x x a =+-有3个零点，即方程()2f x x a +=有3个不同的实根，即函数()2y f x x =+与y a =的图象有3个不同的交点，令()()2h x f x x =+=33,02ln 2,0x x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，当0x ≤时，()()()233311h x x x x '=-=+-，当10x -<<时，()0h x '<，当1x <-时，()0h x '>，所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，故当0x ≤时，()()max 12h x h =-=，又()00h =，当x →-∞时，()h x →-∞，当0x >时，()2ln 2h x x x =+在()0,∞+上递增，又1220e e h ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，()h x →+∞，如图，作出函数()h x 的大致图像，结合图像可知，要使函数()2y f x x =+与y a =的图象有3个不同的交点，则a 的范图为02a ≤＜.故选：CD.14．已知函数()()ln 1f x x x a x x =+-+在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a 的取值可以为（）A ．－1B ．2C ．3D ．4【解析】()()ln 1ln 1a f x x x a x x x x a x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭，设()ln 1a g x x a x =+-+则在1x >上，()y f x =与()y g x =有相同的零点.故函数()f x 在区间()1,+∞内没有零点,即()g x 在区间()1,+∞内没有零点，()221a x ag x x x x-'=-=，当1a ≤时，()20x ag x x -'=>在区间)1,+∞上恒成立,则()g x 在区间()1,+∞上单调递增.所以()()110g x g >=>，显然()g x 在区间()1,+∞内没有零点.当1a >时,令()0g x '>，得x a >，令()0g x '<，得1x a <<所以()g x 在区间()1,a 上单调递减增.在区间(),a +∞上单调递增.所以()()ln 2g x g a a a ≥=+-设()()ln 21h a a a a =+->，则()()11101a h a a a a-=-=<>所以()h a 在()1,+∞上单调递减,且()()3ln 310,4ln 420g g =->=-<所以存在()03,4a ∈，使得()00h a =，要使得()g x 在区间()1,+∞内没有零点，则()ln 20g a a a =+->，所以()013,4a a <<∈，综上所述，满足条件的a 的范围是()03,4a a <∈由选项可知：选项ABC 可使得()g x 在区间()1,+∞内没有零点，即满足题意.故选：ABC15．已知函数()()()1e 21xf x a x x =---在(,1)-∞上有两个不同的零点，则实数a 可能取到的值为（）A ．1-B ．14C ．12D ．1【解析】令()0f x =，即()()1e 210xa x x ---=，所以()e 211x x a x -=-，因为函数()f x 在(,1)-∞上有两个不同的零点，设()()e 211x x g x x -=-，则y a =与()y g x =在(,1)-∞上有两个不同的交点，因为()()()()()()()222e 23e 21e 21e 2111x x x xx x x x x g x x x ⎡⎤--+⋅---⎣⎦'==--，令()0g x '=，则10x =，232x =，因为在(,1)-∞上，e 0x >，()210x ->，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()()max 01g x g ==，且当0x <时，()0g x >；当1x →时，()g x →-∞，因为y a =与()y g x =在(,1)-∞上有两个不同的交点，所以01a <<，根据选项，符合条件的为B ，C ，故选：BC 三、填空题16．已知函数()2e e xf x x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围是___________.【解析】由2e e 0x x a -=，得21e x a x -=.设()21e xg x x -=，则()()1e 2xg x x x -'=-.当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,2x ∈时，()0g x '>，当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,2上单调递增，在区间()2,+∞上单调递减，又()()400,2eg g ==，故函数()21e xg x x -=的图象如图所示：故当40e a <<时，函数()2e e xf x a =-有三个零点，即40,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.17．已知函数(2),1()ln(1)2,1x x x f x x x x +≤⎧=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x a =-有四个零点，则实数a 的取值范围是______________.【解析】因为函数()()g x f x a =-有四个零点，所以方程()()0g x f x a =-=有4个不同的解，所以函数()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，①当1x >时，()ln(1)2f x x x =--+，则1112()1111x xf x x x x -+-'=-==---，当12x <<时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)上递增，在(2,)+∞上递减，所以当1x >时，()f x 有最大值(2)ln1220f =-+=，当1x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞②当1x ≤时，2()(2)(1)1f x x x x =+=+-，当1x =-时，()f x 有最小值1-所以()f x 的图象如图所示由图可知，当10a -<<时，函数()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，所以实数a 的取值范围是(1,0)-18．已知函数()()e sin 0xf x a x x =->有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．【解析】因为函数()()e sin 0,0xf x a x x a =->>有两个零点，所以方程()e sin 00,0xa x x a -=>>有两个根，所以()2,2Nx k k k πππ∈+∈，所以方程e sin xa x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，设e ()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，所以2e sin cos e ()sin x xx x g x x-'=，令()0g x '=可得e sin cos e 0x x x x -=，化简可得24x k ππ=+，N k ∈，所以当22,N 4k x k k πππ<<+∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当22,N 4k x k k ππππ+<<+∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9((44g a g ππ<<时，直线y a =与函数e()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，的图象有且仅有两个交点，944a ππ<<时，函数()()e sin 0xf x a x x =->()0a >有两个零点，故答案为：944e e )ππ．19．若函数()ln e 1xf x x ax =--+不存在零点，则实数a 的取值范围是______.【解析】因为函数()ln e 1xf x x ax =--+不存在零点，所以方程ln e 10x x ax --+=无实数根，所以方程ln e ln e xx ax -+=无实数根，即方程ln e 1x x a x-+=无实数根，故令()()'2ln e 1e e ln ,x x x x x xg x g x x x -+-+-==，令()e e ln ,0x x h x x x x =-+->，故()'1e 0xh x x x=--<恒成立，所以，()h x 在()0,∞+上单调递减，由于()10h =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x >，即()'0g x >，当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()'0g x <，所以函数()g x 在()0,1x ∈上单调递增，在()1,x ∈+∞上单调递减，所以()()max 11e g x g ==-，所以，当方程ln e 1x x a x-+=无实数根时，1e a >-即可.所以，实数a 的取值范围是()1e,+-∞四、解答题20．已知函数()ln 1xf x m x =-+．(1)求()f x 的导函数；(2)若()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求m 的取值范围．【解析】(1)因为()ln 1xf x m x =-+，所以()()()()221111l ln 1n 1x x x x x f x x x ++-'==++-(2)由（1）知()()211ln 1x x f x x +-'=+，因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ln 0x -≥，所以()()211ln 01x x f x x +-'=>+，从而()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 12ln 223f x f m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，()()max 1f x f m ==-．因为()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，所以02ln203m m -≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得2ln 203m -≤≤．21．已知函数()ln R kf x x k k x=--∈，(1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e)内无零点，求k 的取值范围．【解析】(1)()ln k f x x k k R x =--∈ ，，(1,e)x ∈，221()k x k f x x x x+'∴=--=-（Ⅰ）当1k -≤，即1k ≥-时，10x k x +≥->()0f x '∴<，()f x ∴在(1,e)单调递减（Ⅱ）当e k -≥，即e k ≤-时，e 0x k x +≤-<()0f x '∴>，()f x ∴在(1,e)单调递增（Ⅲ）当1e k <-<，即e 1k -<<时，当1x k <<-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当e k x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减综上所述，（Ⅰ）当1k ≥-时，()f x 在(1,e)单调递减（Ⅱ）当e k ≤-时，()f x 在(1,e)单调递增（Ⅲ）当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减(2)由（1）知：当1k ≥-时，()()10f x f <=即()0f x <，()f x ∴在(1,e)无零点，当e k ≤-时，()(1)0f x f >=即()0f x >，()f x ∴在(1,e)无零点当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减()(1)0,(1,)f x f x k ∴>=∈-，()(e)1,(,e)ekf x f k x k >=--∈-∴只需(e)10e k f k =--≥即可，即1(11e k -≤-，1e11e 1ek ∴≤=--，ee 1ek ∴-<≤-综上所述，e(,][1,)1ek ∈-∞-+∞- 22．已知函数()3226185=--+f x x x x .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()g x f x a =+至多有两个零点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)依题意：()()()261218631'=--=-+f x x x x x ，故当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，当()1,3x ∈-时，()0f x '<，当()3,x ∈+∞时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(),1-∞-，()3,+∞，单调减区间为()1,3-；(2)令()0g x =，得()a f x -=.∵()115f -=，()349=-f ，结合f (x )单调性，作出f (x )图像：。
例谈含参数函数的零点个数问题
关于函数零点个数的讨论是高考数学的重要内容之一， 函数零点问题就是对应方程的根的问题，若 求 函 数 零 点 的 个
数，一般要将函数零 点 转 化 为 方 程 的 解，再 由 方 程 的 解 转 化
为两个新函数的图像的交点，掌握函数零 点 个 数 问 题 的 解 决
数 ｆ（ｘ）有两个零点。 解法二：（１）（２）略 （３）求函数 ｆ（ｘ）在 （１，ｅ２）上 零 点 个
数求方程 ｆ（ｘ）＝０（２ａ２ｌｎｘ－ｘ２＝０）在（１，ｅ２）上 根 的 个 数 求函数ｙ＝２ａ２（ａ＞０）与ｙ＝ｘ２／ｌｎｘ 图像交点的问题。
令 ｇ（ｘ）＝ｘ２／ｌｎｘ，则 ｇ′（ｘ）＝ｘ（２ｌｎｘ－１）／（ｌｎｘ）２，令
方法，对于解决这类题目有一定的帮助，本 文 将 从 一 道 题（临
夏中学高三年级２０１８～２０１９学年度 第 一 学 期 期 中 考 试 理 科 卷２１题）出发，给出 两 种 解 法，通 过 分 析 比 较 得 出 最 容 易 掌 握的方法。
题目：已知函数 ｆ（ｘ）＝２ａ２ｌｎｘ－ｘ２（ａ＞０）。（１）当ａ＝ １时，求曲线 ｆ（ｘ）在 点 （１，ｆ（１））处 的 切 线 方 程；（２）求 函 数 ｆ（ｘ）的 单 调 区；（３）讨 论 函 数 ｆ（ｘ）在 区 间 （１，ｅ２）上 零 点 的 个 数 （ｅ≈２．７１８… ）。
方程根的问题，进而转化为一个常函数与 一 个 不 含 参 数 的 函 数图像的交点问题，接下来的解题过程就 变 成 画 函 数 图 像 的 问题。
２．在画函数 ｇ（ｘ）图 像 时，在 考 虑 开 区 间 的 端 点 处 时 用 了逼近的思想。
３．数形结合，直观判断。根据参数范围确定两个 函 数 图 像 的 交 点 个 数 ，进 而 确 定 函 数 的 零 点 个 数 。
含参函数求零点个数问题
所以这种方式先在演草纸上试一下，看硬分离出的函数是否简洁，再决定是否应用该方 式。当然，这种方式还经常会碰到端点出极值不可求问题，这样就要借助罗必塔法则来就极 值最值了。
（二） 分离成两个函数，其中一个含参一个不含参（软分离）
y = f (x)(含参数m）
令原函数等于
0，对函数进行化简，分离成两个函数，
形式）
Ⅰ 证明：
；（对 lnx 来说，我们需要记住几个特殊的切线，并且要求会证明，方便
我们在后面做题的时候实现快速做题或者提供灵感和答案）
Ⅱ 若 ,讨论函数 的零点个数．
【参考答案】 Ⅰ 证明：设函数
,
,,
由
,得 ,当
时,
；当 时,
,
所以函数在区间 内是增函数,在区间
内是减函数,所以
,即
．
Ⅱ 解法一：借助已知的结论： x2 − x ≥ x −1 ≥ ln x ，可以得到，当 a=1 时有一个交点，a＞1
y
= g(x)
，其中一个
要含参数，一个不含参数，讨论两个函数在参数的作用下有交点个数的情况。
软分离的好处就是分离出的两个函数可以根据需要进行选择，能够选择出相对熟悉，易求 导、求解的函数来处理问题，难点就是两个函数的切点很多时候是方程好列解难求。
在这种分离函数的时候，含参的函数最好是直线（含参的话就是平行线或过定点的旋转直 线），这样就可以通过求切线的方式找出边界值。
（一） 直接分离出参数（硬分离）
y = m(参数）
这种分离是把参数完完全全的分离出来，变成
y
=
f
(x)
的形式。由于 y=m 是一条平行
于 x 轴的直线，所以对 f (x) 图像的要求就不是很高（只要求单调性和渐进线，不要求函数图
谈含参函数零点问题的解题策略
谈含参函数零点问题的解题策略摘要：含参函数零点问题一直是高考热点和难点，全国卷中常常均导数压轴题形式出现，对大部分学生而言有一定的难度。
本文主要针对此类问题举例说明两种方法：直接法和参变分离法，让学生有迹可循，进而达到落实数学核心素养的目的。
关键词：直接法参变分离法导数零点问题含参函数导数及其应用一直是高考的重点与难点，尤其是含参函数的零点问题[1-3]，一般以基本初等函数为载体，考察函数的单调性，函数的零点存在性定理及指数函数、幂函数、对数函数的增长速度，难度较大，解题时要熟练运用导数与函数单调性的关系，注重函数与方程化归、分类讨论及数形结合等思想方法的应用。
针对导数压轴题中的含参函数零点问题，本文将用两道例题来说明两种常用方法：直接法和参变分离法，例一是已知零点情形求参数范围，例二是直接求解函数零点个数，其中例一选自2018年全国卷理科Ⅱ卷21题第二问，例二选自2018年广一模理科21题第一问。
直接法是通过对参量进行分类讨论直接分析所求函数的单调性、极值、最值和极限，大致确定函数的图象进而分析函数的零点个数。
参变分离法则是利用函数与方程思想把参数和变量进行分离，得到一个不含参的函数和常函数，通过分析不含参函数的大概走势，进而确定不含参函数与常函数交点个数，从而解决原函数的零点问题。
在采用这两种方法求解时，我们利用极限思想降低计算复杂度。
虽然在高中数学没有涉及极限的计算方法，但是人教A版选修2-2中提到了极限的思想，所以我们根据指数函数、幂函数、对数函数增长速度来求一些简单函数的极限来确保函数在某些区间满足零点存在性定理。
本文将通过对这两道例题讨论分析说明两种求解方法，让学生有迹可循，进而达到落实数学核心素养的目的。
例1（2018全国理科Ⅱ卷21）已知函数．若在只有一个零点，求．方法一：直接法解析：当时，不满足题意.当时，，令令 .当时，即当，单调递增，又即在单调递增，又不满足题意.当时，即当，当时，单调递减；当时，单调递增.当时，即单调递增，不满足题意.当时，即又时，增长速度远远大于增长速度，所以，又使得又增长速度远远大于增长速度，所以在只有一个零点，又，解得方法二：参变分离法解析：在只有一个零点，即方程在只有一个解，即方程在只有一个解.即函数和函数在只有一个交点.当时，单调递减；当时，单调递增. ，又时，增长速度远远大于增长速度，所以，所以函数和函数在只有一个交点， =例2（2018广一模理科21）已知函数 .讨论的导函数零点的个数；解析：定义域为方法一：直接法令，故在上单调递增，，又当时，有且只有一个零点，所以当时，即时，只有一个零点；当时，即时，有两个零点.当时，没有零点，只有一个零点.所以当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点.方法二：参变分离法方程在解的个数，即方程在解的个数，即函数和函数在交点个数.在单调递增，，又当时，和有且只有一个交点，故当时，即时，只有一个零点；当时，即时，有两个零点.当时，和没有交点，只有一个零点.所以当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点.通过上述两个例题的详细解析，我们可以直观感受到两种方法的特点。
专题含参函数的零点问题
专题含参函数的零点问题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--含参函数的零点问题含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用．例1已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R)，g (x )＝⎩⎨⎧f ?x ?， x ≥0，f ′?x ?， x <0.若方程g (f (x ))＝0有4个不等的实根，则a 的取值范围是________．例2(1) 若关于x 的方程|x 4－x 3|＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________．(2) 已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________．思维变式题组训练1. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －1， x ≥2，2， 1≤x <2.若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则实数a 的取值范围为________．2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1e x ， x ≥a ，－x －1， x <a ，g (x )＝f (x )－b .若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )＝⎝ ⎛ x －1， 1≤x <2，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， x ≥2，如果函数g (x )＝f (x )－k (x －3)恰有2个不同的零点，那么实数k 的取值范围是________.4. 已知k 为常数，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x ＋1， x ≤0，|ln x |， x >0，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________．强化训练1. 若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为________．2. 若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 有解，则实数k 的取值范围是________．3. 已知直线y ＝mx (m ∈R)与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， x ≤0，12x 2＋1， x >0的图象恰有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．5. 已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝－x 2＋2x ，若函数g (x )＝f (x )－a |x －1|在区间[0,4]上有4个零点，则实数a 的取值范围是________．6. 已知关于x 的方程x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0有唯一解，则实数a 的值为________．7. 若函数y ＝ln x ＋x 2的图象与函数y ＝3x －b 的图象有3个不同的交点，则实数b 的取值范围是________．8. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4， x ≤0，e x －5， x >0，若关于x 的方程|f (x )|－ax －5＝0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为________．9. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ k x －1， x ≤0，ln x ， x >0，若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为________．10. 设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数．当x ∈(0,2]时，f (x )＝1－?x －1?2，g (x )＝⎩⎨⎧ k ?x ＋2?，0<x ≤1，－12， 1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________.。
函数零点问题讲义(主要是含参函数)高三数学二轮专题复习
函数的零点问题（主要是含参函数）一、函数的零点 1、函数零点的概念对于函数(),y f x x D =∈，我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点．2、函数的零点与方程的根之间的联系1）函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．2）函数()()()F x f x g x =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与()y g x =的图象有交点；3）函数()()F x f x a =-有零点⇔方程F （x ）=0有实数根⇔函数()y f x =与y a =的图象有交点⇔{|()}a y y f x ∈=，其中a 为常数. 3、二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点)0二、零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点.要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果单调，那么“一定”没有零点（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。
如果单调，则一定小于0. 三、二分法 1、二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2、用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ； ③计算f (c )；a ．若f (c )=0，则c 就是函数的零点；b ．若f (a )·f (c )<0，则令b =c (此时零点x 0∈(a ，c ))； c ．若f (c )·f (b )<0，则令a =c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a −b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④. 【速记口诀】定区间，找中点；中值计算两边看， 同号丢，异号算，零点落在异号间．()()0f a f b ⋅<()f x ()f x ()f x ()()0f a f b ⋅>()f x ()f x ()f x (),a b ()()f a f b ⋅()f x ()()f a f b ⋅重复做，何时止，精确度来把关口． 四、函数零点的判定方法1、定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数()y f x =必须在区间[a ，b ]上是连续的，当()()f a f b ⋅0<时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．2、方程法：判断方程()0f x =是否有实数解．3、图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如()()()f x g x h x -=，作出()y g x =和()y h x =的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点.五、判断函数零点个数的方法1、解方程法：令f (x )=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．2、零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．3、数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 六、函数零点的应用问题1、已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 2、已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3、借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．若直接比较函数零点的大小，方法如下：①求出零点，直接比较大小； ②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小. 七、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)有关的零点分布设方程ax 2＋bx ＋c =0(a ＞0)的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点横坐标，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）八、一元三次方程根与系数的关系设方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0（a ≠0）的三个根分别为x 1、x 2、x 3．原方程化为320b c dx x x a a a+++=．∵ x 1、x 2、x 3是方程的三个根， ∴32123()()()b c dx x x x x x x x x aaa +++=---． 整理，得：3232123121323123()()b c dx x x x x x x x x x x x x x x x x x a a a+++=-+++++-，比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：123121323123,,b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=-++==- ．【题模1】：定义法解决函数零点问题 【讲透例题】1、已知函数()f x 的图象是不间断的，并有如下的对应值表：那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2 2、设函数⎩⎨⎧-∈-+∞∈-=)1,1(,2),1[,22)(2x x x x x x f ，求函数41)(-=x f y 的零点3、函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．4、已知函数（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值； （2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。
含参二次函数最值单调性零点问题.
龙文教育1对1个性化教案教导处签字：日期： 年 月 日学生 蒋伊楠 学 校番禺中学年 级高三教师 赵爱民授课日期 2012.4.3 授课时段 10:00-12:00课题 二次函数相关考点重点 难点 重点:.二次函数在高考是常见考点.难点: 含参二次函数的最值零点等综合性问题. 教 学 步 骤 及 教 学 内 容一. 关于二次函数考点模型在高考中的情况分析. 二. 基本知识互动. 直接写出函数)86(log 221+-=x x y 的单调递增区间:三. 例题讲解. 四. 提高练习. 五. 小结本次内容. 六. 作业.课后评价一、学生对于本次课的评价O 特别满意O 满意O 一般O 差二、教师评定1、学生上次作业评价O好O较好O一般O差2、学生本次上课情况评价O 好O 较好O 一般O 差作业布置教师留言教师签字：家长意见家长签字：日期：年月日上节课知识点深入(2011年高考山东文科10)函数2sin 2xy x =-的图象大致是( )小结此类题型的解题思维.一.关于二次函数考题模型在试题中出现情况分析:二基本知识点互动.1.讲述一元二次方程根的分布,图象和充要条件.2.二次函数最值问题.3.常见二次型函数值域浅谈.直接说出求下列函数的值域的方法.（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x 21-; (3)y=1e 1e +-x x . 4）y=4-223x x -+; (5)y=x+x4;(6)y=4)2(122+-++x x .三.例题分析;例.1 已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.例2：已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R . （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值.四.提高练习:1.对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；2. 20．已知函数f （x ）=ax2+bx+c （a ≠0）满足f （0）=0，对于任意x ∈R 都有f （x ）≥x ，且，令g （x ）=f （x ）-|λx-1|（λ＞0）． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）研究函数g （x ）在区间（0，1）上的零点个数．五.小结内容. 六.作业.1.若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝_______2. 已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称．求f (x )的解析式3.已知函数f(x)的定义域为(0,)，且对任意的正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(4)=1．（1）求证：f(1)=0；（2）求：1 () 16 f；（3）解不等式：f(x)+f(x-3)≤1．4..如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是( )A. 12B.33C.32D. 31. f (1)＝f (－1)得 a ＝0.2. ∵f (x )的图像与h (x )的图像关于A (0,1)对称，设f (x )图像上任意一点坐标为B (x ，y )，其关于A (0,1)的对称点B ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋x 2＝0，y ＋y ′2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y .∵B ′(x ′，y ′)在h (x )上，∴y ′＝x ′＋1x ′＋2. ∴2－y ＝－x －1x＋2.∴y ＝x ＋1x .即f (x )＝x ＋1x.4.（1）令x =4，y =1，则f (4)=f (4×1)=f (4)+f (1)，f (1)=0．（2）f (16)=f (4×4)=f (4)+f (4)=2，f (1)=1(16)16f ⨯=1()16f +f (16)=0，1()16f = -2． （3）设x 1、x 2＞0，且x 1＞x 2，于是12()xf x ＞0，1112222()()()()x xf x f x f f x x x ==+ ＞2()f x ，∴f (x )为(0,)+∞上的增函数．又f (x )+f (x -3)=f [x (x -3)]≤1=f (4)，∴0,30,(3)4x x x x ⎧⎪-⇒⎨⎪-⎩＞＞≤3＜x ≤4．1）(1)(12)(1)(1)f kf kf k k -=-+==-=-，1133(2.5)(0.5)()44f f k k k==⋅-=-；（2）当[2,3]x ∈时，2[0,1]x -∈，11()(2)(2)(4)f x f x x x k k=-=--， 当[2,0]x ∈-时，2[0,2]x +∈，()(2)(2)f x kf x k x x =+=+，当[3,2]x ∈--时，4[1,2]x +∈，22()(2)(4)(4)(2)f x kf x k f x k x x =+=+=++，2(4)(2),[3,2)(2),[2,0)()(2),[0,2]1(2)(4),(2,3]k x x x k x x x f x x x x x x x k⎧++∈--⎪+∈-⎪⎪∴=⎨-∈⎪⎪--∈⎪⎩，由k <0知二次函数()f x 在[3,2]--上递增，在[2,1]--上递增，在[1,0]-上递减，在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，在[2,3]上递增，又函数在点(2,(2)),(0,(0)),(2,(2))f f f --处是连续的，所以()f x 在[3,1]--上单调递增，在[1,1]-上单调递减，在[1,3]上单调递增；（3）由（2）知，对[3,3]x ∈-，()f x 的最大值在1(1)(3)f k f k-=-=-和中取，()f x 的最小值在2(3)(1)1f k f -=-=-和中取，①若k <-1，则21k -<-，110k k->>->， 2min max ()(3),()(1)f x k f f x k f ∴=-=-=-=-；②若-1<k <0，则21k ->-，11k k -<<-，min max 1()1(1),()(3)f x f f x f k∴=-==-=；③若k =-1，则max ()f x =1(1)(3)f f =-=，min ()f x =1(3)(1)f f -=-=。
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含参函数的零点问题
含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用．
例1已知函数f (x )＝x 2
＋ax (a ∈R)，g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x
， x ≥0，
f ′x ， x <0.
若方程g (f (x ))＝
0有4个不等的实根，则a 的取值范围是________．
例2(1) 若关于x 的方程|x 4
－x 3
|＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________．
(2) 已知函数f (x )＝x 2
＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝
g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________．
思维变式题组训练
1. 已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
2x －1， x ≥2，
2， 1≤x <2.
若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则
实数a 的取值范围为________．
2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x －1e
x ， x ≥a ，
－x －1， x <a ，
g (x )＝f (x )－b .若存在实数b ，使得函数g (x )
恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________．
3. 已知函数f (x )＝⎝ ⎛
x －1， 1≤x <2，
2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ， x ≥2，如果函数g (x )＝f (x )－k (x －3)恰有2
个不同的零点，那么实数k 的取值范围是________.
4. 已知k 为常数，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2x ＋1
， x ≤0，
|ln x |， x >0，
若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有
且只有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________．
强化训练
1. 若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为________．
2. 若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 有解，则实数k 的取值范围是________．
3. 已知直线y ＝mx (m ∈R)与函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
， x ≤0，12x 2
＋1， x >0
的图
象恰有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．
4. 已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．
5. 已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝－x 2＋2x ，若函数g (x )＝f (x )－a |x －1|在区间[0,4]上有4个零点，则实数a 的取值范围是________．
6. 已知关于x 的方程x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0有唯一解，则实数a 的值为________．
7. 若函数y ＝ln x ＋x 2的图象与函数y ＝3x －b 的图象有3个不同的交点，则实数b 的取值范围是________．
8. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
－4， x ≤0，
e x
－5， x >0，
若关于x 的方程|f (x )|－ax －5＝
0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为________．
9. 已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
k x －1， x ≤0，
ln x ， x >0，
若关于x 的方程f (f (x ))＝0
有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为________．
10. 设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数．当x ∈(0,2]时，f (x )＝1－
x －1
2
，g (x )
＝⎩⎨⎧
k x ＋2，0<x ≤1，－1
2， 1<x ≤2，
其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f (x )
＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________.。