【精准解析】江苏省盐城市响水中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省盐城市高一下学期期中联考数学试题
高一年级第二学期期中联考数学试题本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷包括1至4页；答题卷1至4页.满分150分.考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）(13i)(2)10z z +-=i z z z =A. B. C. D.1+i 1i -1i -+1i --2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为(1,2)a = (1,1)b =-r (4,5)c = a b c λ-r r λ（ ）A. B. C. D. 114314-114-4113. 已知，，则的值为（ ） π1cos 67α⎛⎫+= ⎪⎝⎭0πα<<sin αA. B. C. D. 111413144. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器4（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这P BC A P 只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）PA. B. C. D.5. 已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足，则与面积比为（ ） 112663OP OB OC OA =++ ACP △BCP A A. 5:6 B. 1:4 C. 2:3 D. 1:26. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ）A. 立方尺B. 立方尺 34475279C. 立方尺 D. 立方尺 342745105597. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则ABC ,,A B C ,,a b c 2220a c ac b ++-=的取值范围为（ ） 2tan cos sin cos 222A C C B B --A. B. 33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥ABCD 2ADC AC .记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）D ABC -,,AC BC AD ,,O M NA. 与平面所成角的范围是 MN BOD ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 三棱锥 D ABC -C. 与所成角的范围是 MN AC ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 三棱锥的外接球的表面积为定值D ABC -二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义i e cos isin x x x =+域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）A. 对应的点位于第二象限2i e B. 为纯虚数πi eC. 的模长等于 14D. 的共轭复数为 πi 3e 1210. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是αβm n （ ）A. 若，，，则m n ⊥m α⊥//n βαβ⊥B. 若，，则m α⊥//n αm n ⊥C. 若，则//,//m m n α//n αD. 若，，则与所成的角和与所成的角相等//m n //αβm αn β11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为αβ4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）A. 每一个直角三角形的面积为54B.3sin 3cos 2βα-=C.3sin 3sin 2βα-=D. ()5os 9c αβ-=12. 在长方体中，，，，动点在平面1111ABCD A B C D -3AB =4BC =15AA =P 内且满足，则（ ）11ADD A 10101AP AD AA λμλμ=+≤≤≤≤，，A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值30λμ1P BCC -B. 当时，0λ=1BP PC +C. 当时，直线与直线恒为异面直线1μ=PD 1CC D. 当时，平面 1λμ+=//BP 11CB D 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. _______________. 2cos 20︒=14. 已知是等腰直角三角形，，是外接圆上一ABC A 90,6A AB AC ∠=︒==S ABC A 点，则的取值范围是_______.()SA SB SC ⋅+ 15. 山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为在地面上的射影为，在地面上再确定一点AB P D （，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为C B C D BC ,A C P 30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为______米．16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，4r =1O 分别为圆柱上、下底面的圆心，O 为球心，为底面圆的一条直径，若为球面2O EF 1O P 和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为PE PF PE PF +PE PF +________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知．sin(π)3cos αα-=（1）若为锐角，求的值； απcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）求值．πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭18. 已知复数z =（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； )22m m --m（2）若在复平面（为坐标原点）内对应的点分别为.求向量在2z 2z +O ,B C OB向量上的投影向量的坐标.OC n 19. 如图，在中，，点为边的中点，ABC A 6,2,60AC BC ACB ==∠=︒D AB ． 14BE BC =（1）求；||CD （2）求的面积．AOD △S 20. 已知△的内角所对的边分别为，且． ABC ,,A B C ,,a b c 2()2sin sin sin sin a b C B c A B--=+（1）求； cos A（2）若△的为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的ABC AD BC AD 最大值．21. 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且ABCDEF ADEF ABCD ，，沿进行翻折，90BAD ADC ︒∠=∠=2,4AB AF EF ED AD CD ======AD 得到的图形如图（2）所示，且.90AEC ︒∠=（1）求二面角的余弦值；C AED --（2）求四棱锥外接球的体积.C ADEF -22. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且S ABC A ,,A B C ,,a b c ． ()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（1）若为锐角三角形，是关于的方程的解，ABC A m x 32cos cosC)0a x S c B b -+=（求的取值范围；m （2）若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动cos cos a B b A =ABC A ,E F ,BC CA （包括端点），为边的中点，且，的面积为．令D AB DE DF ⊥DEF A 1S，求的最小值． 1S p =p2022-2023学年度高一年级第二学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）(13i)(2)10z z +-=i z z z =A.B. C. D.1+i 1i -1i -+1i --【答案】A 2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为(1,2)a = (1,1)b =-r (4,5)c = a b c λ-r r λ（ ）A. B. C. D. 114314-114-411【答案】C3. 已知，，则的值为（ ） π1cos 67α⎛⎫+= ⎪⎝⎭0πα<<sin αA. B. C. D. 11141314【答案】C4. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器4（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这P BC A P 只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）PA. B. C. D.【答案】A5. 已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足，则与面积比为（ ） 112663OP OB OC OA =++ ACP △BCP A A. 5:6B. 1:4C. 2:3D. 1:2【答案】B6. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ） A. 立方尺 B. 立方尺 34475279C. 立方尺 D. 立方尺 34274510559【答案】D 7. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则ABC ,,A B C ,,a b c 2220a c ac b ++-=的取值范围为（ ） 2tan cos sin cos 222A C C B B --A. B. 33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥ABCD 2ADC AC .记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）D ABC -,,AC BC AD ,,O M NA. 与平面所成角的范围是 MN BOD ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 三棱锥 D ABC -C. 与所成角的范围是 MN AC ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 三棱锥的外接球的表面积为定值D ABC -【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义i e cos isin x x x =+域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）A. 对应的点位于第二象限2i e B. 为纯虚数πi eC. 的模长等于 14D. 的共轭复数为πi 3e 12【答案】AD 10. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是αβm n （ ）A. 若，，，则m n ⊥m α⊥//n βαβ⊥B. 若，，则m α⊥//n αm n ⊥C. 若，则//,//m m n α//n αD. 若，，则与所成的角和与所成的角相等//m n //αβm αn β【答案】BD11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为αβ4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）A. 每一个直角三角形的面积为54B.3sin 3cos 2βα-=C.3sin 3sin 2βα-=D. ()5os 9c αβ-=【答案】ACD 12. 在长方体中，，，，动点在平面1111ABCD A B C D -3AB =4BC =15AA =P 内且满足，则（ ）11ADD A 10101AP AD AA λμλμ=+≤≤≤≤ ，，A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值30λμ1P BCC -B. 当时，0λ=1BP PC +C. 当时，直线与直线恒为异面直线1μ=PD 1CC D. 当时，平面1λμ+=//BP 11CB D 【答案】BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. _______________. 2cos 20︒=【答案】##0.51214. 已知是等腰直角三角形，，是外接圆上一ABC A 90,6A AB AC ∠=︒==S ABC A 点，则的取值范围是_______.()SA SB SC ⋅+ 【答案】[0,72]15. 山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为在地面上的射影为，在地面上再确定一点AB P D （，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为C B C D BC ,A C P 30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为______米．【答案】16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，4r =1O 分别为圆柱上、下底面的圆心，O 为球心，为底面圆的一条直径，若为球面2O EF 1O P 和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为PE PF PE PF +PE PF +________．【答案】[4+四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知．sin(π)3cos αα-=（1）若为锐角，求的值； απcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）求值．πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】（1（2）7-【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系列方程求出，再由两角cos ,sin αα和的余弦公式求解即可；（2）根据二倍角的正切公式求解即可.【小问1详解】，()sin παsin α3cos α-==且，为锐角，22sin cos1αα+=α解得，cos α=sin α=所以πππ1cos αcos αcos sin αsin 3332⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭【小问2详解】由（1）可知：，可得 ，sin α3cos α=tan α3=所以， 22tan α233tan2α1tan α194⨯===---所以 31πtan2α14tan 2α7341tan2α14---⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭-18. 已知复数z =（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； )22m m --m （2）若在复平面（为坐标原点）内对应的点分别为.求向量在2z 2z +O ,B C OB 向量上的投影向量的坐标.OC n【答案】（1） ()0,1（2） ,55 ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)利用复数的四则运算以及复数的几何意义，建立方程组进行求解.(2)利用复数的四则运算、复数的几何意义以及投影向量的计算公式进行求解.【小问1详解】因为. z =)()()()22221i 2421i m m m m m m m --=-+-=-+-因为复数在复平面内对应的点在第二象限， )22m m --所以，解得， 2m 4010m m ⎧-<⎨->⎩01m <<即实数m 的取值范围是.()0,1【小问2详解】由题可知， ()22212i 1i 4z +-===212i z +=+则点，，，.()0,1B ()1,2C ()0,1OB = ()1,2OC = 因此. 224,55OB OC n OC OC⋅⎛⎫==⎪⎝⎭ 19. 如图，在中，，点为边的中点，ABC A 6,2,60AC BC ACB ==∠=︒DAB ． 14BE BC =（1）求；||CD （2）求的面积．AOD △S 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据题意得到，结合向量的数量积的运算公式，求得1()2CD CA CB =+ ，即可求解；2||13CD = （2）设，，根据向量的线性运算，求得EO EA μ= CO CD λ= 3(1)4CO CA CB μμ-=+ 及，联立方程组，求得，结合，即可22CO CA CB λλ=+ 63,77λμ==1172ABC S S =⨯⨯A 求解.【小问1详解】解：在中，点D 为边的中点，可得， ABC A AB 1()2CD CA CB =+ 因为，6,2,60AC BC ACB ==∠=︒所以 2222211||(2)(62262cos 60)1344CD CA CB CA CB =++⋅=⋅++⨯⨯⨯︒=所以||CD = 【小问2详解】 解：在中，因为，则， ABC A 14BE BC = 34CE CB = 又因为在上，设，，其中，O AE EO EA μ= CO CD λ= R,R λμ∈∈可得，则， ()CO CE CA CE μ-=- 3(1)(1)4CO CA CE CA CB μμμμ-=+-=+ 又由， 22CO CD CA CB λλλ==+ 所以，解得，所以， ()23124λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩63,77λμ==67CO CD = 所以的面积AOD △111116272722ABC S S A =´=´´´=20. 已知△的内角所对的边分别为，且． ABC ,,A B C ,,a b c 2()2sin sin sin sin a b C B c A B--=+（1）求； cos A （2）若△为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的ABC AD BC AD 最大值．【答案】（1） 14（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理即可得到22212c b a bc+-=答案；（2）求出，再利用二倍角的余弦公式得sin A =8bc =sin sin BAD CAD ∠=∠=案.【小问1详解】 由正弦定理，得，即， 2()2c a b c b a b --=+22212c b a bc +-=故根据余弦定理有. 2221cos 21224A bc c b bc bc a +-===【小问2详解】因为为三角形内角，则由（1）知， A sin A==因为ABC A 1sin2bc A =即，解得， 12bc =8bc =又因为，，所以，所以1,cos 024A BAD CAD A ∠=∠==>()0,A π∈0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 0,24A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以 221cos s in sin ,si s 3n i 8n 2A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠==于是11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么． 1221AD b c ⎛⋅⋅⋅= ⎝所以 AD =≤==b c ==故．AD 21. 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且ABCDEF ADEF ABCD ，，沿进行翻折，90BAD ADC ︒∠=∠=2,4AB AF EF ED AD CD ======AD 得到的图形如图（2）所示，且.90AEC ︒∠=（1）求二面角的余弦值；C AED --（2）求四棱锥外接球的体积.C ADEF -【答案】（1（2 【解析】【分析】（1）作，连接，则，证得平面，得到EM AD ⊥AC AC =CD ⊥ADEF 再证得平面，得到，进而得到就是二面角CD AE ⊥⊥AE CDE AE DE ⊥CED ∠的平面角，在直角中，即可求解；C AED --CDE A（2）取的中点，连接，得到为等腰梯形的外心，取的中点AD 1O 11,O E O F 1O ADEF AC ，连接，证得平面，得到为四棱锥外接球O 1,,,OA OD OE OO 1O O ⊥ADEF O C ADEF -的球心，利用球的体积公式，即可求解.【小问1详解】解：在等腰梯形中，作于，ADEF EM AD ⊥M则，所以 1,3,2AD EF DM AM EM -====AE ==连接，则，AC AC =因为，所以，所以，所以， 90AEC ∠= EC =222ED DC EC +=CD ED ⊥又因为，且，平面，所以平面CD AD ⊥AD ED D = ,AD ED ⊂ADEF CD ⊥，ADEF 又由平面，所以，AE ⊂ADEF CD AE ⊥因为且，平面，所以平面， CE AE ⊥CE CD C ⋂=,CE CD ⊂CDE ⊥AE CDE 又因为平面，所以，AE ⊂CDE AE DE ⊥因为，所以就是二面角的平面角，AE CE ⊥CED ∠C AE D --在直角中， CDE A cos DE CDE CE ∠===所以二面角C AE D --【小问2详解】解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边AD 1O 11,O E O F 1O DEF 1O AFE 形，所以，所以为等腰梯形的外心，11112O D O A O E O F ====1O ADEF 取的中点，连接，可得，AC O 1,,,OA OD OE OO 1//OO CD 因为平面，所以平面，CD ⊥ADEF 1O O ⊥ADEF又因为，所以为四棱锥外接球的球心，OC OA OD OE OF =====O C ADEF -所以球的半径为，所以. R =3344πππ33V R ==⨯=22. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且S ABC A ,,A B C ,,a b c ． ()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（1）若为锐角三角形，是关于的方程的解，ABC A m x 32cos cosC)0a x S c B b -+=（求的取值范围；m （2）若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动cos cos a B b A =ABC A ,E F ,BC CA （包括端点），为边的中点，且，的面积为．令D AB DE DF ⊥DEF A 1S，求的最小值． 1S p =p【答案】（1）m ∈（2） 18+【解析】【分析】（1）由结合三角形面积公式，正弦定理和余()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭弦定理得，由为锐角三角形得出，由是关于的方程π3C =ABC A ππ(,62A ∈m x的解，整理得，根据正切函数的单调32cos cosC)0a x S c B b -+=（m =性及的范围即可求出的取值范围； A m（2）由和得出为正三角形，由的外接圆的直径为cos cos a B b A =π3C =ABC A ABC A 8得出，则，，在BDE 和a b c ===BD AD ==BDE θ∠=090θ︒≤≤︒A ADF 中，由正弦定理表示出和，进而表示出，代入，化简整理，由基本不A DE DF 1S p 等式即可得出最小值． 【小问1详解】在中，由三角形面积公式得， ABC A 1sin 2S bc A =由正弦定理得：， ()2212sin sin 2c a bc A a b A b c ⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭整理得：，由余弦定理得：， 222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==又，故， 0πC <<π3C =因为为锐角三角形，ABC A 所以，，所以， π(0,2A ∈πππ,(0,)32B A B =--∈ππ(,)62A ∈所以 32(ccos b cos )S B C m a += 22(sin cos sin cos )sin S C B B C a A+=⋅ 22sinsin S A a A=⋅ sin b C a===， =+因为， ππ(,62A ∈所以， tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎭， (0,3)故．m ∈【小问2详解】由，得，cos cos a B b A =in 0()s A B -=所以， A B =由（1）得， π3C =所以为正三角形，ABC A所以， π2sin 3a b c R ====因为为边的中点，D AB所以，BD AD ==设，，BDE θ∠=090θ︒≤≤︒在BDE 和ADF 中，A A 由正弦定理得，， ()sin 60sin 120DE BD θ=︒︒-()sin 60sin 30DF AD θ=︒︒+化简得，， ()3sin 60DE θ=︒+()3sin 30DF θ=︒+， ()()11922sin 60sin 30S DE DF θθ=⋅=︒+︒+因为 ()()sin 60sin 30θθ︒+︒+11sin cos 22θθθθ⎫⎛⎫=+⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭2231sin cos sin cos 44θθθθθθ=+++， 1sin 22θ=+所以，1S =则1p S =++22sin (60)sin (30)3[]99θθ︒+︒+=+229sin (60)sin (30)2θθ⎤=︒++︒+⎦+1cos(1202)1cos(602)22θθ-︒+-︒+=++2)θ=118(sin 22θ=++因为，1sin 22θ0>所以118(sin 22θ+18≥+=+当且仅当，即时，等号成立，118(sin 22θ+=sin 21θ=所以最小值为． p 18+。
2019-2020学年江苏省盐城市高一下学期期末考试数学word版有答案(精校版)
第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．过原点且与直线10x y -+=垂直的直线的方程为 ▲ ． 2．在等比数列{}n a 中，12a =，358a a =，则7a 的值为 ▲ ． 3．若向量()=2,1m ，()=4,n λ，且//m n ，则实数λ的值为 ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，若点()3,t 在经过原点且倾斜角为32π的直线上，则实数t 的值为▲ ．5．若过点()1,2P --引圆()()22:1216C x y -+-=的切线，则切线长为 ▲ ．6．用半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为 ▲ ． 7．若角,αβ均为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β的值为 ▲ ． 8．如图，直三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为2，D 为棱11B C 中点，第8题则三棱锥1D A BC -的体积为 ▲ ．9．在ABC ∆中，若()()sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C +++-=，则角A 的值为 ▲ ．10．过点()0,2P 作直线l 与圆122=+y x :O 交于A ，B 两点，若12OA OB ⋅=-，则直线l 的斜率为 ▲ ．11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.13853211 ，，，，，，，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若{}n a 是“斐波那契数列”，则()()22132243a aa a a a --()()22354201720192018a a a aaa --的值为 ▲ ．12．如图，在同一个平面内，OA 与OC 的夹角为α，且2tan =2α， OB 与OC 的夹角为60︒，=2OB OA ，若()1212,OC OA OB R λλλλ=+∈， 则12λλ的值为 ▲ ．13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2A C π-=，a ，b ，c 成等差，则cos B 的值为 ▲ ．14．定义：对于实数m 和两定点M ，N ，在某图形上恰有()n n N *∈个不同的点i P ，使得()1,2,,i i PM PN m i n ⋅==，称该图形满足“n 度契合”.若边长为4的正方形ABCD 中，2BC BM =，3DN NA =，且该正方形满足“4度契合”，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说第12题BACO明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设函数()cos 22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，BC AB ⊥，12AD BC =，点E ，F ，G 分别是PB ，CD ，AB 的中点.（1）求证：AB ⊥EG ； （2）求证：//EF 平面PAD .第16题BACPEDGF如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，M 为边EF 上一点，且满足FM FE λ=，设AB a =，AF b =.（1）若12λ=，试用a ，b 表示FE 和AM ；（2）若1AM AC ⋅=，求λ的值.F第17题如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边BC的三等分处（靠近B点），3BC=百米，BC CD⊥，120ABC∠=，EA=60AED∠=.（1）求ABE∆区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上，求当水管CH最短时的长．A第18题D CB EH如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，以点A 为圆心的圆A ：()()22220x y r r -+=>与圆O 交于B ，C 两点.（1）当r BC 的长； （2）当r 变化时，求AB AC ⋅的最小值；（3）过点()6,0P 的直线l 与圆A 切于点D ，与圆O 分别交于点E ，F ，若点E 是DF 的中点，试求直线l 的方程.设数列{}n a ，{}n b 满足1112n n b a a b a +=+-．（1）若12b =，数列{}n a 的前n 项和2n S n =，求数列{}n b 的通项公式； （2）若()11=0n n a a a <，且11=3b a ，①试用1a 和n 表示n b ；②若20b <，对任意的,i j N *∈，试用1a 表示i j b b -的最大值．高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1．0=+y x 2．4 3．2 4．3- 5．2 6．3 7．38 9．32π 10．15± 11．1 12．3 13．43 14．41-=m 或62<<m 二、解答题：本大题共6小题,共计90分. 15．解（1）x sin sinx sin cosx cos )x (f 26262-+=ππ=6262ππsinx sin -cosx cos ）（6π2x cos +=……………………………………………………4分 所以函数)x (f 的最小正周期为ππ=22……………………………………………………………6分（2）当2π≤≤x 0时，6762πππ≤+≤x 6， 所以当ππ=+6x 2即125π=x 时，函数)x (f 的最小值为1-， 当662ππ=+x 即0=x 时，函数)x (f 的最大值为23……………………………………………14分（如未交待在何处取得最值，各扣2分）16．证明：（1）因为⊥PD 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD所以AB PD ⊥ ……………………………………………………2分 又因为BC //AD ，BC AB ⊥所以AD ⊥AB .又PD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面P AD . ………………………4分⊂AP 平面PAD ，所以PA AB ⊥在PAB ∆中，点G E 、分别是PB 、AB 的中点.所以EG //PA ，从而AB ⊥EG …………………………………………………7分()2由()1证明可知：EG //PA ，⊂AP 平面PAD ，⊄EG 平面PAD所以EG //平面PAD ，同理G F //平面PAD ，G FG EG =所以平面EFG//平面PAD ，………………………………………………10分 又因为⊂EF 平面EFG所以EF ∥平面PAD .………………………………………………14分17．解 ：()1记正六边形的中心为点O ，连结OE OF OA OB 、、、，在平行四边形OFAB 中，AF AB AO +=b a +=，在平行四边形AOEF 中AO FE ==b a +………………4分)b a (b FE AF FM AF AM ++=+=+=2121b a 2321+=……………6分()2若1=⋅AC AM ，)b a (b FE AF FM AF AM ++=+=+=λλ()ba 1++=λλ()b a b a a FE AB BC AB AC +=++=+=+=2……………………………10分又因为211122-=∠=⋅==FAB b a ,b ,a()()()=+⋅++=⋅b a b a AC AM 21λλ()()b a b a ⋅++++231222λλλ 123==λ，所以32=λ…………………………14分 18．()1由题211201==∠=︒EA ,ABC ,BE在E B A Δ中，由E B A BEcos -2AB BE B A AE 222∠⋅+=即B A B A 2++=121所以4=AB 百米………………………………………………………………………………………4分所以323142121=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=ABE n si BE AB S ABE ∆平方百米………………………………6分 ()2记α=∠AEB ，在E B A Δ中，ABE sin AE in s AB ∠=α,即23214=αsin ， 所以72117722=-==αααsin cos ,sin …………………………………………………12分 当DE CH ⊥时，水管长最短 在ECH Rt ∆中，απαπαπsin cos cos sin sin HEC sin CE CH 322322322-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∠==7百米………16分 19．解 ：（1）当r =2时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+2242222y )x (y x得，3,2B ⎛ ⎝⎭3,,2C ⎛ ⎝⎭7=BC ………………………4分 （2）由对称性，设)y -,x C )y ,x B 0000（、（，则42020=+y x所以20202y )（x AC AB --=⋅………………………………………………………………6分 )x ()（x 202042---=21220--=)x (因为220<<x -，所以当10=x 时，AC AB ⋅的最小值为2-……………………………8分 （3）取EF 的中点G ，连结OF AD OG 、、，则AD//OG 则64===PG PD OP AP OG AD ，从而r OG 23=，不妨记t GF 22EG DE 2===，t PD 6= 在OFG Rt ∆中222FG OG OF +=即22t 23r 2+⎪⎭⎫⎝⎛=2①_.__._ 在ADP Rt ∆中222DP AD AP +=即()2264t r 2+=② 由①②解得5102=r ……………………………………………………………………14分 由题直线 的斜率不为0，可设直线 的方程为：6+=my x ，由点A 到直线 的距离等于r 则510216022=+-⨯m |-m |，所以3±=m ，从而直线 的方程为063=-±y x ………16分 20．解()1由题{}n a 的前n 项和2n S n =，令1=n 得11=a ，,n 2=得421=+=a a S 2 所以32=a ，所以21-=+n n b b ，得42+-=n b n …………………………………………………2分 ()2由()11=0n n a a a <得212a a =，所以,a b a a b n n 21111-+=+即(),a b a a -b n n 1111-=+ 又因为02111≠=-a a b ，所以{}1a b n -构成等比数列，从而n n n a a a a b 1111122=⋅=-- 所以112a a b n n +=…………………………………………………………………………………8分()3由题20b <，则02121<+a a 得0211<<-a ………………………………………………10分 从而11121122a a |a |b n n <+-=--且{}12-n b 单调递增； 112122a a |a |b n n >+=且{}12-n b 单调递减……………………………………………………14分 从而2462112531b b b b a b b b b n n <<<<<<<<<<<<- ，所以对任意*∈N j ,i j i b b -的最大值为1211222a a b b -=-……………………16分。
2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝m （m ﹣1）+mi 为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．1或﹣1D ．﹣1或02．下列说法正确的是（ ） A ．圆锥的轴垂直于底面B ．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C ．球面上不同的三点可能在一条直线上D ．棱台的侧面是等腰梯形3．设e →为单位向量，|a →|=2，当a →，e →的夹角为π3时，a →在e →上的投影向量为（ ）A ．−12e →B ．e →C ．12e →D ．√32e →4．已知复数z =i 20231+2i （i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若α∈(0，π2)，sin(α−π3)=13，则cos α的值为（ ） A ．2√6+16B ．2√6−16C ．2√2+√36D ．2√2−√366．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DD 1的中点为Q ，过A ，Q ，B 1三点的截面是（ ）A ．三角形B ．矩形C ．菱形D ．梯形7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C +c sin B ＝a ，b ＝6，则a+2b sinA+2sinB=（ ）A ．4B ．6C ．4√2D ．6√28．若sinα1+tanα=43，则|sin α|+|cos α|＝（ ）A ．√173B ．2√23C ．3D ．13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ，b ，c 是3条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法不正确的有（ ） A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若a 与b 垂直，b 与c 垂直，则a 与c 垂直C ．若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a 与b 一定是异面直线D ．若a ，b 与α所成的角均为π2，则a ∥b10．设z 是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若z ∈R ，则z ∈R B ．若z z =|z |，则|z |＝1 C ．若z =z ，则z ＝|z |D ．若z +z =0，则z |z|=i11．密位制是度量角的一种方法，把一个周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”．若（sin α﹣cos α）2＝2sin αcos α，则角α可取的值用密位制表示正确的是（ ） A ．12—50B ．2—50C ．13—50D ．32—5012．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，（sin A +sin B ）2＝（2sin B +sin C ）sin C ，且sinA ＞√33，则下列结论正确的是（ ）A ．c ﹣a ＝a cos CB ．a ＞cC ．c ＞aD ．C ＞π3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1﹣i ）＝2i ，则z 的虚部为 ．14．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形较长的对角线的长度为 ．15．若α∈(−π2，0)，tan α2=sinα2−cosα，则tan α＝ ．16．在△ABC 中，G 满足GA →+GB →+GC →=0→，过G 的直线与AB ，AC 分别交于M ，N 两点．若AM →=mAB →(m ＞0)，AN →=nAC →(n ＞0)，则3m +n 的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量OA →=(0，−6)，OB →=(8，0)，OC →=(x ，y)． （1）若A ，B ，C 三点共线，求实数x ，y 满足的关系； （2）当x ＝﹣1时，判断∠ACB 是否为钝角，并说明理由．18．（12分）（1）已知−π2＜α＜0，化简：√1−sinα1+sinα+1−cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α；（2）已知sinπ+α+β2=2√55，tan β2=17，α，β∈（0，π），求α+β2的值． 19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsinA =asin(B +π3)． （1）求角B 的大小；（2）若a ＝3，c ＝2，求b 和sin （A ﹣C ）的值．20．（12分）如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都等于2，E ，F ，G 分别为B 1C 1，A 1B 1，AB 的中点．（1）求证：平面A 1C 1G ∥平面BEF ； （2）求C 1G 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．21．（12分）已知向量a →=(3，1)，b →=(−1，−2)，c →=(4，1)． （1）若(a →+kc →)⊥(a →+b →)，求实数k ；（2）设d →满足(d →−c →)∥(a →−b →)，且|d →−c →|=1，求d →的坐标．22．（12分）如图，某小区有一块空地△ABC ，其中AB ＝50，AC ＝50，∠BAC ＝90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘△AEF ，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且∠EAF =π4． （1）若BE =10√2，求EF 的值；（2）为节省投入资金，小池塘△AEF 的面积需要尽可能的小．设∠EAB ＝θ，试确定θ的值，使得△AEF 的面积取得最小值，并求出△AEF 面积的最小值．2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝m （m ﹣1）+mi 为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．1或﹣1D ．﹣1或0解：因为z 是纯虚数，所以{m(m −1)=0m ≠0，解得m ＝1．故选：B ．2．下列说法正确的是（ ） A ．圆锥的轴垂直于底面B ．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C ．球面上不同的三点可能在一条直线上D ．棱台的侧面是等腰梯形解：对于A ，由圆锥的结构特征可知：圆锥的轴垂直于底面，故A 正确； 对于B ，六棱柱的两个相对侧面也是互相平行的面，故B 错误；对于C ，球面上不同三点可构造出一个球的截面圆，可知三点不共线，故C 错误； 对于D ，棱台的侧棱长可以不相等，则侧面不是等腰梯形，故D 错误． 故选：A ．3．设e →为单位向量，|a →|=2，当a →，e →的夹角为π3时，a →在e →上的投影向量为（ ）A ．−12e →B ．e →C ．12e →D ．√32e →解：由题意可知：a →⋅e →=2×1×12=1，则a →在e →上的投影向量为a →⋅e →|e →|e →|e →|=e →，故选：B ．4．已知复数z =i 20231+2i （i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：因为z =i 20231+2i =−i 1+2i =−i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−2−i 5=−25−15i ，所以z 对应点的坐标为(−25，−15)，所以z 在复平面内对应的点位于第三象限． 故选：C ．5．若α∈(0，π2)，sin(α−π3)=13，则cos α的值为（ ） A ．2√6+16B ．2√6−16 C ．2√2+√36D ．2√2−√36解：∵α∈(0，π2)，∴α−π3∈（−π3，π6），∵sin(α−π3)=13，∴cos （α−π3）=√1−19=2√23，∴cos α＝cos[（α−π3）+π3]＝cos （α−π3）cos π3−sin （α−π3）sinπ3=2√23×12−13×√32=2√2−√36． 故选：D ．6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DD 1的中点为Q ，过A ，Q ，B 1三点的截面是（ ）A ．三角形B ．矩形C ．菱形D ．梯形解：如图所示，取C 1D 1的中点P ，连接PQ 、PB 1、AB 1、AQ 和DC 1， P ，Q 分别是C 1D 1，DD 1的中点，故PQ ∥C 1D ，且PQ =12C 1D ， AB 1∥C 1D ，故PQ ∥AB 1，PQ =12AB 1，故A ，B 1，P ，Q 四点共面， 故四边形AB 1PQ 是过A ，Q ，B 1三点的截面，且四边形AB 1PQ 是梯形． 故选：D ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C +c sin B ＝a ，b ＝6，则a+2b sinA+2sinB=（ ）A ．4B ．6C ．4√2D ．6√2解：因为b cos C +c sin B ＝a ，所以由正弦定理可得sin B cos C +sin C sin B ＝sin A ，又sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ，所以sin B cos C +sin C sin B ＝sin B cos C +cos B sin C ，即sin C sin B ＝cos B sin C ， 又C 为三角形内角，sin C ≠0， 所以sin B ＝cos B ，即tan B ＝1， 因为B ∈（0，π），所以B =π4， 因为b ＝6，由正弦定理可得a sinA =b sinB=√22=6√2，则a+2b sinA+2sinB=6√2sinA+2×6√2sinBsinA+2sinB=6√2．故选：D ． 8．若sinα1+tanα=43，则|sin α|+|cos α|＝（ ）A ．√173B ．2√23 C ．3D ．13解：因为sinα1+tanα=sinαcosαcosα+sinα=43，设sin α+cos α＝t （t ≠0），则sinαcosα=t 2−12，所以t 2−12t =43，t 2−83t −1=0，即(t −3)(t +13)=0，所以t =−13或t ＝3（舍），所以sinαcosα=t 2−12=−49＜0， |sinα|+|cosα|=√(sinα−cosα)2=√(sinα+cosα)2−4sinαcosα=√173．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ，b ，c 是3条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法不正确的有（ ） A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若a 与b 垂直，b 与c 垂直，则a 与c 垂直C ．若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a 与b 一定是异面直线D ．若a ，b 与α所成的角均为π2，则a ∥b解：对于A ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，所以A 正确；对于B ，若a 与b 垂直，b 与c 垂直，则a 与c 可能相交、平行或异面，所以B 错误； 对于C ，若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a 与b 可能异面，也可能平行，所以C 错误； 对于D ，若a ，b 与α所成的角均为π2，则a ⊥α，b ⊥α，可得a ∥b ，所以D 正确．10．设z 是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若z ∈R ，则z ∈R B ．若z z =|z |，则|z |＝1 C ．若z =z ，则z ＝|z |D ．若z +z =0，则z |z|=i解：设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，但a ，b 不同时为0，则z =a −bi ，可得|z|=|z|=√a 2+b 2， 对于A ：若z ＝a +bi ∈R ，则b ＝0，故z =a ∈R ，A 正确； 对于B ：∵z ⋅z =(a +bi)(a −bi)=a 2+b 2=|z|2， 若zz =|z|，则|z |2＝|z |，解得：|z |＝1或|z |＝0（舍），B 正确； 对于C ：若z =z ，即a +bi ＝a ﹣bi ，解得b ＝0， 故z ＝a （a ≠0），则|z |＝|a |，可得|z|=|a|={a =z ，a ＞0−a =−z ，a ＜0，C 不正确；对于D ：z +z =0，则（a +bi ）+（a ﹣bi ）＝0，解得a ＝0， 即z 为纯虚数，此时|z|=|z|=|b|，b ≠0，故z|z|=z |z|=bi |b|={i ，b ＞0−i ，b ＜0，D 不正确．故选：AB ．11．密位制是度量角的一种方法，把一个周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”．若（sin α﹣cos α）2＝2sin αcos α，则角α可取的值用密位制表示正确的是（ ） A ．12—50B ．2—50C ．13—50D ．32—50解：因为（sin α﹣cos α）2＝2sin αcos α，即sin 2α﹣2sin αcos α+cos 2α＝2sin αcos α， 即4sin αcos α＝1，所以sin2α=12， 所以2α=π6+2kπ，k ∈Z ，或2α=5π6+2kπ，k ∈Z ， 解得α=π12+kπ，k ∈Z 或α=5π12+kπ，k ∈Z ． 对于A ，密位制12—50对应的角为12506000×2π=5π12，符合题意；对于B ，密位制2—50对应的角为2506000×2π=π12，符合题意； 对于C ，密位制13—50对应的角为13506000×2π=9π20，不符合题意； 对于D ，密位制32—50对应的角为32506000×2π=13π12，符合题意．12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，（sin A +sin B ）2＝（2sin B +sin C ）sin C ，且sinA ＞√33，则下列结论正确的是（ ）A ．c ﹣a ＝a cos CB ．a ＞cC ．c ＞aD ．C ＞π3解：由正弦边角关系知：（a +b ）2＝（2b +c ）c ，则a 2+2ab +b 2＝2bc +c 2，所以a 2+b 2﹣c 2＝2b （c ﹣a ），而cos C =a 2+b 2−c 22ab＞0，则c ﹣a ＝a cos C ，A 正确；由上知：c−a a＞0，即c ＞a ，B 错误，C 正确；由c ﹣a ＝a cos C 知：sin C ﹣sin A ＝sin A cos C ，则sin A =sinC 1+cosC =2sin C 2cos C22cos 2C 2=tan C 2＞√33，又0＜C ＜π2，故0＜C 2＜π4，则π6＜C 2＜π4，即π3＜C ＜π2，D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1﹣i ）＝2i ，则z 的虚部为 1 ． 解：由题设，z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i−22=i −1，故z 的虚部为1． 故答案为：1．14．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形较长的对角线的长度为 2√3 ．解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C ′B ′∥x ′轴， 所以在原图形中对应的线段CB 平行于x 轴且长度不变，点C ′和B ′在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O ′B ′的2倍， 则OB =2O ′B ′=2√12+12=2√2，BC ＝B ′C ′＝1，所以A （1，0）， C(−1，2√2)，|AC|=√(−1−1)2+(2√2−0)2=2√3， 故原图形较长的对角线长为2√3． 故答案为：2√3．15．若α∈(−π2，0)，tan α2=sinα2−cosα，则tan α＝ −√3 ．解：因为tan α2=sinα2−cosα，所以sin α2cosα2=2sin α2cos α22−cosα， 又因为α∈(−π2，0)，sin α2≠0，所以2−cosα=2cos 2α2，即2﹣cos α＝1+cos α， 所以cosα=12，又因为α∈(−π2，0)， 所以α=−π3，tanα=−√3． 故答案为：−√3．16．在△ABC 中，G 满足GA →+GB →+GC →=0→，过G 的直线与AB ，AC 分别交于M ，N 两点．若AM →=mAB →(m ＞0)，AN →=nAC →(n ＞0)，则3m +n 的最小值为 43+2√33． 解：∵GA →+GB →+GC →=0→，∴G 为△ABC 的重心，且AB →=1m AM →，AC →=1nAN →，∴AG →=13AB →+13AC →=13m AM →+13n AN →，且M ，G ，N 三点共线，∴13m+13n=1，且m ＞0，n ＞0，∴3m +n =(3m +n)⋅(13m +13n )=1+mn +n3m +13≥43+2√33， 当且仅当m n=n 3m，即n =√3m 时取等号，∴3m +n 的最小值为：43+2√33． 故答案为：43+2√33． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量OA →=(0，−6)，OB →=(8，0)，OC →=(x ，y)． （1）若A ，B ，C 三点共线，求实数x ，y 满足的关系； （2）当x ＝﹣1时，判断∠ACB 是否为钝角，并说明理由． 解：（1）因为OA →=(0，−6)，OB →=(8，0)，OC →=(x ，y)， 所以AB →=OB →−OA →=（8，6），BC →=OC →−OB →=（x ﹣8，y ）， 若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥BC →， 所以8y ＝6（x ﹣8），即3x ﹣4y ﹣24＝0；（2）x ＝﹣1时，OC →=（﹣1，y ），CA →=OA →−OC →=（1，﹣6﹣y ），CB →=（9，﹣y ）， 若∠ACB 是否为钝角，则CA →⋅CB →=9+y （6+y ）＜0且﹣y ﹣9（﹣6﹣y ）≠0， 此时y 不存在，故∠ACB 不可以为钝角．18．（12分）（1）已知−π2＜α＜0，化简：√1−sinα1+sinα+1−cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α；（2）已知sinπ+α+β2=2√55，tan β2=17，α，β∈（0，π），求α+β2的值． 解：（1）因为−π2＜α＜0，则cos α＞0，sin α＜0，1﹣sin α＞0，所以√1−sinα1+sinα+1−cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α=√(1−sinα)21−sin 2α+2sin 2α+2sinαcosα2cos 2α+2sinαcosα=|1−sinα||cosα|+2sinα(sinα+cosα)2cosα(cosα+sinα)=1−sinαcosα+sinαcosα=1cosα． （2）因为α，β∈（0，π），即有0＜α+β2＜π，而sin π+α+β2=cos α+β2=2√55， 因此0＜α+β2＜π2，sin α+β2=√1−cos 2α+β2=√55，tan α+β2=sin α+β2cosα+β2=√55255=12， 于是tan(α+β)=2tan α+β21−tan 2α+β2=2×121−(12)2=43，又tanβ2=17， 则tan(α+β2)=tan[(α+β)−β2]=tan(α+β)−tan β21+tan(α+β)tan β2=43−171+43×17=1， 而0＜α+β2＜π2，0＜α2＜π2，即有0＜α+β2＜π， 所以α+β2=π4．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsinA =asin(B +π3)． （1）求角B 的大小；（2）若a ＝3，c ＝2，求b 和sin （A ﹣C ）的值． 解：（1）因为bsinA =asin(B +π3)，由正弦定理得sinBsinA =sinAsin(B +π3)=12sinAsinB +√32sinAcosB ，即12sinAsinB =√32sinAcosB ， 又A ∈（0，π），所以sin A ≠0， 所以12sinB =√32cosB ，即tanB =√3， 又因为B ∈（0，π），所以B =π3；（2）在△ABC 中，由余弦定理及a ＝3，c ＝2，B =π3， 得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝7，故b =√7，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc=√714， 又A ∈（0，π），所以sinA =√1−cos 2A =3√2114，cosC =b 2+a 2−c 22ab=2√77， 又C ∈（0，π），所以sinC =√1−cos 2C =√217，所以sin(A −C)=sinAcosC −cosAsinC =3√2114×2√77−√714×√217=5√314． 20．（12分）如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都等于2，E ，F ，G 分别为B 1C 1，A 1B 1，AB 的中点．（1）求证：平面A 1C 1G ∥平面BEF ； （2）求C 1G 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．解：（1）证明：∵E ，F 分别为B 1C 1，A 1B 1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF；（2）在平面ABC内，过点G作GH⊥BC，垂足为H，连接C1H，如图所示：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴CC1⊥平面ABC．又GH⊂平面ABC，∴CC1⊥GH．又BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面BCC1B1，∴GH⊥平面BCC1B1，∴∠GC1H即为C1G与平面BCC1B1所成的角．∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长为2，G为AB中点，∴BG＝1，∠GBH＝60°，∵∠BHG＝90°，∴BH=12，GH=√32，∵CC1⊥BC，CH=32，CC1＝2，∴C1H=√CH2+CC12=√(32)2+22=52，又GH⊥C1H，∴C1G=√GH2+C1H2=√(32)2+(52)2=√7，sin ∠GC 1H =GHC 1G =√327=√2114，故C 1G 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√2114． 21．（12分）已知向量a →=(3，1)，b →=(−1，−2)，c →=(4，1)． （1）若(a →+kc →)⊥(a →+b →)，求实数k ；（2）设d →满足(d →−c →)∥(a →−b →)，且|d →−c →|=1，求d →的坐标． 解：（1）因为向量a →=(3，1)，b →=(−1，−2)，c →=(4，1)，则a →+kc →=(3，1)+k(4，1)=(4k +3，k +1)，a →+b →=(3，1)+(−1，−2)=(2，−1)， 因为(a →+kc →)⊥(a →+b →)，所以(a →+kc →)⋅(a →+b →)=2×(4k +3)−1×(k +1)=7k +5=0， 解得k =−57；（2）设d →=(x ，y)，由题意，a →−b →=(3，1)−(−1，−2)=(4，3)，d →−c →=(x −4，y −1)， 由于(d →−c →)∥(a →−b →)，且|d →−c →|=1，则{3(x −4)=4(y −1)√(x −4)2+(y −1)2=1，解得{x =245y =85或{x =165y =25．因此d →=(245，85)或d →=(165，25)．22．（12分）如图，某小区有一块空地△ABC ，其中AB ＝50，AC ＝50，∠BAC ＝90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘△AEF ，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且∠EAF =π4． （1）若BE =10√2，求EF 的值；（2）为节省投入资金，小池塘△AEF 的面积需要尽可能的小．设∠EAB ＝θ，试确定θ的值，使得△AEF 的面积取得最小值，并求出△AEF 面积的最小值．解：（1）由题意可得BC =√AB 2+AC 2=50√2，设∠EAB ＝θ∈（0，π4），则∠F AC =π4−θ，∠AFC =π2+θ， 在△EAB 中，由余弦定理AE 2＝AB 2+BE 2﹣2AB •BE •cos ∠ABE ， 则AE 2＝502+（10√2）2﹣2×50×10√2×√22=1700，即AE ＝10√17，由正弦定理可得BE sin∠EAB =AEsin∠ABE ，可得sin ∠EAB =BE⋅sin∠ABE AE =10√2×√221017=√1717，即sin θ=√1717，θ∈（0，π4），可得cos θ=√1−sin 2θ=4√1717，在△ACF 中，sin ∠F AC ＝sin （π4−θ）＝sin π4cos θ﹣cos π4sin θ=√22×4√1717−√22×√1717=3√3434， sin ∠AFC ＝sin （π2+θ）＝cos θ=4√1717，由正弦定理CF sin∠FAC =AC sin∠AFC， 可得CF =AC⋅sin∠FAC sin∠AFC =50×3√34344√1717=75√24，故EF ＝BC ﹣BE ﹣CF ＝50√2−10√2−75√24=85√24．故 EF 的值85√24； （2）设∠EAB ＝θ∈（0，π4），则∠AEB =3π4−θ，∠AFC =π2+θ，由正弦定理AB sin∠AEB =AEsin∠ABE ，可得AE =AB⋅sin∠ABE sin∠AEB =50×√22sin(3π4−θ)=25√2sin(3π4−θ)， 在△ACF 中，由正弦定理AF sin∠ACF =ACsin∠AFC ，可得AF =AC⋅sin∠ACF sin∠AFC =50×√22sin(π2+θ)=25√2cosθ， 故△AEF 的面积S △AEF =12 AE •AF sin ∠EAF =12×25√2sin(3π4−θ)×25√2cosθ×√22=62522(√22cosθ+√22sinθ)cosθ=625sinθcosθ+cos 2θ=1250sin2θ+cos2θ+1=12502sin(2θ+π4)+1， ∵θ∈（0，π4），∴2θ+π4∈（π4，3π4），∴√22＜sin （2θ+π4）≤1， ∴S △AEF =1250√2sin(2θ+π4)+1≥1250√2+1=1250（√2−1），当且仅当sin （2θ+π4）＝1，即θ=π8时，等号成立， 故△AEF 面积的最小值1250（√2−1）．。
江苏省响水中学2019-2020学年高一数学下学期期中考试试题含答案
江苏省响水中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题考生注意：1.本试题分第I 卷和第II 卷，共4页。
2.满分150分，考试时间为120分钟。
第I 卷 选择题（共60分）一、 选择题（每题5分，计70分）1. ︒︒+︒︒75sin 15sin 75cos 15cos 的值为( )A.1B.0C. -0.5D.0.52.已知3tan -=α，则α2tan 的值为（ ）A ．3-B ．3C ．33-D ．33 3.圆()()44222=-++y x 与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离4.在ABC △内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知62=a ，c =60A ∠=︒，则C ∠的大小为（ ）A ．π4或3π4B ．6π或65πC ．6πD ．π45.已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数a 的值为( )A ．2或1B ．1-C ．1D ．2-或16.直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ）A ．2B ．1-C ．0D ．17.已知△ABC 的顶点A(0,0),B(0,2),C(-2,2)，则其外接圆的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=8.已知,αβ为锐角，()55cos ,2tan -=+=βαα，则tan β=( )A ．2B ．211C ．43D ．129.已知()0,απ∈，536sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πα，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ26sin （ ） A ．2425B ．2425-C ．725-D ．72510.在圆M ：224410x y x y +---=中，过点N(1,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．76B ．712C ．24D ．611.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tanC cos cos c B A =+，若2,7==a c ，则b 的值为（ ）A ．3B ．1C ．2D12.若方程22412+-=-+k kx x 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛-41,43B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-41,43C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,21D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-41,21第II 卷 非选 题（共90分）二、填空题 13.若1sin cos 3αα+=，则=α2sin __________． 14.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a ,b ,c ,若A:B:C=1:2:3，则a :b :c = ． 15.函数()326cos 2sin +⎪⎭⎫⎝⎛++=x x x f π的最小值是____________． 16.已知点A(0,2)，O(0,0)，若圆()()12:22=+-+-a y a x C 上存在点M ，使3=⋅MO MA ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________．三、解答题（17、18题每题10分，19、20、21题每题12分，22题14分计80分） 17.根据所给条件求直线的方程：（1）直线经过点(-2,0)，倾斜角的正弦值为1010；（2）与直线30x +=平行且被圆()(22612x y -+-=所截得的弦长为6.18. 已知()1411cos ,734sin -=+=βαα，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0,πβα.（1）求()βα+2cos 的值； （2）求β的值.19.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别是a ,b ,c ，且c a A 223,45=︒=∠. ()1求sin C 的值；()2若3=a ，求ABC ∆的面积．20.已知直线0148:,043:21=+++=+a y ax l y x l 且12l l //．圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的纵坐标为58-，圆心C 在直线1l 上.（1）求直线12,l l 之间的距离； （2）求圆C 的标准方程； （3）若直线l 经过点()2,2且与圆C 交于,P Q 两点，当△CPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．21．如图所示，某小区内有一扇形绿化带OPQ ，其半径为2m ，圆心角为3π.现欲在扇形弧上选择一点C 将该绿化带分割成两块区域，拟在△OPC 区域内种植郁金香，在△OCQ 区域内种植薰衣草.若种植郁金香的费用为3千元/m 2，种植薰衣草的费用为2千元/m 2，记COP θ∠=，总费用为W 千元．（1）找出W 与θ的函数关系； （2）试探求费用W 的最大值．22.已知圆C ：()()43222=-+-y x .（1）求经过点()5,2且与圆C 相切的直线方程；（2）设直线:l y x n =+与圆C 相交于A,B 两点．若2=⋅CB CA ，求实数n 的值；（3）若点M 在以()2,-a a N 为圆心，以1为半径的圆上，距离为4的两点P ,Q 在圆C 上，求MQ MP ⋅的最小值.参考答案一、选择题二、填空题13． 14． 15．2 16． 二、解答题17．（本题5+5=10分）解：（1）由题可知该直线的斜率存在，设直线的倾斜角为α，则1010sin =α， ∴,10103sin 1cos 2=-=αα ∴,31cos sin tan ==ααα ∴直线方程为023=+-y x （2）设直线方程为02=+-m y x∵弦长为6 ∴弦心距3912=-=d ,∴13326-=⇒=+-=m md 或7-=m∴直线方程为012=--y x 或072=--y x18．(本题5+5=10分) 解：（1）∵734sin ,2,0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈απβα， ∴71sin 1cos 2=-=αα， ∵()()1411cos ,,0-=+∈+βαπβα，∴()()1435sin 1sin 2=+-=+βαβα ∴()()()9871sin sin cos cos 2cos -=+-+=+βααβααβα （2）()()()23sin cos cos sin sin sin =+-+=-+=αβααβααβαβ 又∵⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ ∴3πβ= []3,02:3:198-19．（本题6+6=12分） 解：（1）由正弦定理可得：CA c a sin sin =， ∴223sin sin =C A ， ∴3123222sin =⨯=C （2）∵,3=a ∴a c <=2，∴,322sin 1cos 2=-=C C ∴(),624sin cos cos sin sin sin +=+=+=C A C A C A B ∴21226242321sin 21+=+⨯⨯⨯==B ac S 20．（本题2+5+5=12分） 解：（1）∵两条线平行，∴6483=⇒⨯=⨯a a ，∴216910=+=d（2）∵,01043:2=++y x l ∴⎪⎭⎫⎝⎛--58,56A ，∴过A 与l 2垂直的直线为4x-3y=0 ∴⇒⎩⎨⎧=+=-043034y x y x 圆心为(0,0)，半径为2，∴圆C 的标准方程为422=+y x （3）∵PCQ PCQ CQ CP S CPQ ∠=∠⋅⋅=∆sin 2sin 21， ∴当1sin =∠PCQ 时，面积最大.此时，圆心到直线的距离为2 ∴直线方程为2=x 或2342+=x y . 21．（本题5+7分）解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=∆∆3,0,3sin 4sin 623πθθπθOCQ OCP S S W（2）∵θθθπθcos 32sin 43sin 4sin 623+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=∆∆OCQ OCP S S W ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθcos 73sin 7272 ∴设 73sin ,72cos ==ϕϕ即 3323 tan >=ϕ ∴()3,sin 72πϕϕθϕϕθ+<+<+=W ，∵26πϕπ<<，∴当2πϕθ=+时，费用的最大值为72千元.22.（本题2+6+6分） 解：（1）5=y（2）∵2cos 4cos =∠=∠⨯⨯=⋅ACB ACB CB CA CB CA∴ 60ACB ︒=∠即圆心到直线的距离为3 ∴163232+=⇒=+-=n nd 或16+-=n .（3）∵()41422--≥-=⋅NC MC ∴当NC 最小时，MQ MP ⋅最小 ∵()2927232)2(222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--+-=a a a NC∴当27=a 时，NC 取得最小值为223，此时⋅最小为2323-.。
江苏省盐城市2020版高一下学期期中数学试卷A卷
江苏省盐城市2020版高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·咸阳期末) 下列各角中与﹣终边相同的是（）A . ﹣B .C .D .2. （2分） (2018高一下·宁夏期末) 已知，则（）A .B .C .D .3. （2分）在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=﹣3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=﹣b），则a=（）A . ﹣24B . 35.6C . 40.5D . 404. （2分）(2019·赣州模拟) 在某次自主招生中，随机抽取90名考生，其分数如图所示，若所得分数的众数，中位数，平均数分别为，，，则，，的大小关系为（）A .B .C .D .5. （2分）(2012·四川理) 如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·潍坊模拟) 若将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数，若且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一下·嘉兴期末) 已知圆的半径为10，则60°的圆心角所对的弧长为（）A . πB . πC .D .9. （2分）(2020·广西模拟) 从年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取人作为样本，则该样本中获得或等级的学生人数为（）A . 55B . 80C . 90D . 11010. （2分）在ABC中，tanA=,cosB=，则tanC的值是（）A . -1B . 1C .D . 211. （2分）从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）若将函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x+1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·南京期末) 定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为________．14. （1分） (2019高一上·太原月考) 如图所示程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是________15. （1分）对于函数f（x）= 给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x=π+2kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值﹣1；③该函数的图象关于x= +2kπ（k∈Z）对称；④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤其中正确命题的序号是________．（请将所有正确命题的序号都填上）16. （1分）一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，2，…59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）已知角θ的终边在射线y=2x（x≥0）上．（1）求tanθ的值；（2）求的值．18. （5分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．19. （5分）为了参加师大附中第23届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1（单位：米）．（Ⅰ）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（Ⅱ）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a的值．20. （5分）某同学在画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象时，列表如下：xωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）020﹣2（1）请将上表数据补全，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，]上的最大值M，最小值N，并求M N的值．21. （15分） (2018高一上·江津月考) 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意，都有f(· )＝f（）＋f（），且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.（1）证明： (x)是偶函数；（2）证明： (x)在(0，＋∞)上是增函数；（3）解不等式 (2 －1)<2.22. （10分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知向量 =（2cosx，t）（t∈R）， =（sinx﹣cosx，1），函数y=f（x）= • ，将y=f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象且y=g（x）在区间[0， ]内的最大值为．（1）求t的值及y=f（x）的最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 g（﹣）=﹣1，a=2，求BC边上的高的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
2019～2020学年度学年度江苏省盐城市响水中学高一第1学期期中数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度江苏省盐城市响水中学高一第一学期期中数学试题一、单选题1.已知全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,2,3U M N ===则U C M N ⋂= ( ) A.{}2 B.{}3 C.{}2,3,4 D.{}0,1,2,3,4【试题答案】B【试题解答】先求M 的补集,再与N 求交集.∵全集U ＝{0,1,2,3,4},M ＝{0,1,2}, ∴∁U M ＝{3,4}. ∵N ＝{2,3}, ∴(∁U M )∩N ＝{3}. 故选:B .本题考查了交、并、补集的混合运算,是基础题.2.若全集{}0,1,2,3U =且{}0,2U C A =,则集合A 的真子集共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【试题答案】C【试题解答】根据{}0,2U C A =求出集合A ,再求真子集即可由全集{}0,1,2,3U =且{}{}0,21,3U C A A =⇒=,则集合A 的真子集共有2213-=个, 故选:C本题考查由补集求原集的运算,集合真子集个数的求法,属于基础题3.已知函数22(2)5y x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A.2a ≤-B.2a ≥-C.6a ≤-D.6a ≥-【试题答案】B【试题解答】二次函数()2225y x a x =+-+的对称轴为2x a =-；∵该函数在()4,+∞上是增函数；∴24a -≤,∴2a ≥-,∴实数a 的取值范围是[)2,-+∞,故选B.4.已知集合{}|13A x x =≤≤,(){}|ln 2B x y x ==-,则A B =I ( ) A.[)1,2 B.()1,2C.()1,3D.(]1,3【试题答案】A【试题解答】先求集合B 中的x 的取值范围,再根据交集运算求解即可(){}|ln 2B x y x ==-Q ,∴{}2B x x =<,则A B =I [)1,2故选:A本题考查集合的交集运算,属于基础题5.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x ≥时,()22f x x x =-,则当0x <时,函数()f x 的解析式为( ) A.22x x -+ B.22x x --C.22x x +D.22x x -【试题答案】B【试题解答】当0x <时,由0x ->,所以得到()f x -解析式,利用奇函数的性质得到()()f x f x =--,从而得到答案.当0x ≥时,()22f x x x =-当0x <时,0x -> 所以得到()22f x x x -=+因为()f x 是定义域为R 的奇函数, 所以()()22f x f x x x =--=--,故选:B.本题考查根据奇函数的性质求分段函数的解析式,属于简单题.6.三个数20.320.3,log 0.3,2a b c === 之间的大小关系是 ( )A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.b a c <<【试题答案】D【试题解答】利用指数函数的性质、对数函数的性质确定20.320.3,log 0.3,2a b c ===所在的区间,从而可得结果.由对数函数的性质可知22log 0.3log 10b =<=, 由指数函数的性质可知000.31,21a c <==,b ac ∴<<,故选D.本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题,属于难题.解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ )；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.函数()ln 6f x x x =+-的零点必定位于下列哪一个区间( ) A.()1,2 B.()2,3C.()3,4D.()4,5【试题答案】D【试题解答】根据零点存在定理进行判断即可由零点存在定理,()150f =-<,()()()2ln 240,3ln330,4ln 420f f f =-<=-<=-<()5ln510f =->,故()()450f f ⋅<,函数零点位于()4,5 故选:D本题考查函数零点存在定理的使用,属于基础题8.函数()()log 01a f x x a =<<在[],2a a 上的最大值与最小值之差为12,则a 等于( )A.14B.12【试题答案】A【试题解答】由对数函数特点判断函数为减函数,再根据减函数特点表示出最大值与最小值,作差即可求解()()log 01a f x x a =<<,()0,1a ∈Q ,()log a f x x ∴=为减函数,()()min 2log 2a f x f a a ∴==,()()max log a f x f a a ∴==,则()()112log log 2log 22a a af a f a a a -=-==,解得14a = 故选:A本题考查由对数函数增减性求解具体参数,属于基础题9.设定义在[]22-,上的奇函数()f x 在区间[]0,2上单调递减,若()()20f m f m +->,则实数m 的取值范围( ) A.(),1-∞ B.[)0,1C.[]0,1D.(]0,1【试题答案】B【试题解答】先将不等式结合奇函数定义变形成()()2f m f m >-,再结合增减性和函数定义域求解即可由题可知,()f x 在[]22-,单调递减,又()f x 为奇函数,故()()20f m f m +->⇒ ()()2f m f m >-,结合减函数定义和函数定义域,则有[][]2,222,22m m m m ⎧∈-⎪-∈-⎨⎪<-⎩,解得[)0,1m ∈故选:B本题考查由函数奇偶性和单调性解不等式,属于中档题10.设()()132,2log 21,2x xe xf x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()()2f f =( ) A.3B.2C.1D.0【试题答案】B【试题解答】先求内层函数()2f ,将所求值代入分段函数再次求解即可()()2332log 21log 31f =-==,则()()()02122ff f e==⨯=本题考查分段函数具体函数值的求法,属于基础题11.若不等式210x ax ++≥对于一切(]0,2x ∈恒成立,则a 的最小值是( ) A.0B.-2C.52-D.-3【试题答案】B【试题解答】可将不等式210x ax ++≥转化成1x a x+≥-,结合对勾函数的增减性即可求解(]0,2x ∈Q ,2110x ax x a x∴++≥⇔+≥-,由对勾函数性性质可知,当()0,1,x ∈()1f x x x =+为减函数,当()12x ,∈时,()1f x x x=+为增函数,故()()min 1112f x f ==+=,即2a -≤恒成立,2a ≥-,故a 的最小值为-2 故选:B本题考查一元二次不等式在某区间恒成立的解法,转化为对勾函数是其中一种解法,也可分类讨论函数的对称轴,进一步确定函数的最值与恒成立的关系,属于中档题 12.函数()()313,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是( ) A.()0,1 B.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭【试题答案】C【试题解答】函数要满足减函数,则每个对应区间都应是减函数,再结合分界点处建立不等式即可求解由题可知,()()313,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩是(),-∞+∞上的减函数,则需满足()310013113log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⨯+≥⎩,解得11,63a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭本题考查由函数的增减性求解参数范围,易错点为忽略分界点处不等式的建立问题,属于中档题二、填空题13.100lg 2log 25+=_____________. 【试题答案】1【试题解答】结合对数的运算性质和对数的化简式即可求解2210010lg2log 25lg2log 5lg2lg5lg101+=+=+==故答案为:1本题考查对数的运算性质,对数化简式的应用,属于基础题 14.函数()()3log 11f x x x =++-的定义域是_____________. 【试题答案】()(]1,11,2-U【试题解答】根据分式、二次根式和对数函数性质求解即可由表达式()()3log 11f x x x =++-可知,函数的定义域应满足01010x x ≥-≠⎨⎪+>⎩,解得()(]1,11,2x ∈-U ,故答案为:()(]1,11,2-U本题考查具体函数的定义域的求法,属于基础题15.函数11142x xy ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(]1,2x ∈-上的值域为________________. 【试题答案】3,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭【试题解答】结合换元法,将指数型函数转化为二次函数,再结合具体定义域求解值域即可21111114222x xx x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(]1,2x ∈-Q ,11,224x⎛⎫⎡⎫∴∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭,即1,24t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,则()21y f t t t ==-+,对称轴为12t =,则2min 111312224y f ⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()2max 22213y f ==-+=,3,34y ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭故答案为:3,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭本题考查指数型函数值域的求法,换元法的应用,二次函数在指定区间值域的求法,属于中档题16.已知函数230(){log 0xx f x x x ≤=f 且关于 x 的方程()0f x x a ++=有且只有一个实根,且实数 a 的取值范围是_____. 【试题答案】a≤-1【试题解答】关于x 的方程f(x)+x+a=0有且只有一个实根⇔y=f(x)与y=﹣x-a 的图象只有一个交点,结合图象即可求得.关于x 的方程f(x)+x+a=0有且只有一个实根⇔y=f(x) 与y=﹣x-a 的图象只有一个交点,画出函数的图象如右图, 观察函数的图象可知当-a≥1时,y=f(x)与y=﹣x-a 的图象 只有一个交点,即有a≤-1. 故答案为a≤-1本题主要考查了指数函数、对数函数的图象性质,但要注意函数的图象的分界点,考查利用图象综合解决方程根的个数问题.三、解答题17.已知幂函数()()21*m m f x x m N -+=∈的图像经过点()2,8.(1)试确定m 的值 ；(2)求满足条件()()1f a f a >-的实数a 的取值范围. 【试题答案】(1)2m =；(2)1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【试题解答】(1)将()2,8代入指数函数表达式即可求解； (2)由(1)可得函数()3f x x =,再由函数的增减性解不等式即可(1)将()2,8代入()21m m f x x -+=得()21228mm f -+==,即213m m -+=解得2m =,(-1舍去)；(2)()3f x x =,函数为增函数,则()()11f a f a a a >-⇔>-,1,2a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭本题考查幂函数解析式的求法,根据幂函数增减性解不等式,属于基础题 18.已知集合{}|25A x x =-≤≤,{}|127B x m x m =+≤≤+. (1)若1m =,求A B U ；(2)若A B A ⋃=,求实数m 的取值范围.【试题答案】(1)[]2,9A B =-U ；(2)()[],63,1-∞---U . 【试题解答】(1)根据并集运算求解即可；(2)由A B A ⋃=可判断B A ⊆,再根据B =∅和B ≠∅两种情况求解即可(1)当1m =时,集合{}|29B x x =≤≤,则[]2,9A B =-U ； (2)由A B A B A ⋃=⇒⊆,可分为B =∅和B ≠∅两种情况； 当B =∅时,127m m +>+,解得(),6m ∈-∞-；当B ≠∅时,12712275m m m m +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩,解得[]3,1m ∈-- 综上所述,()[],63,1m ∈-∞---U本题考查集合的并集运算,根据集合的包含关系求解参数,属于基础题 19.已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠,且()()421f f -=. (1)求使81f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值； (2)若()()()11g x f x f x =+--,试判断函数()g x 的奇偶性. 【试题答案】(1)4x =或2x =-； (2)见解析.【试题解答】(1)由()()421f f -=可求得2a =,再由81f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得82x x-=,进一步求解x 即可；(2)先判断函数的定义域,再结合奇偶函数的判定性质证明即可；(1)由()()4212f f a -=⇒=, ∴81f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可化82x x-=,∴4x =或2x =-,均符合. (2)∵()21log 1xg x x+=-,()1,1x ∈-定义域关于原点对称, ∴()()2log 10g x g x -+==,因此()g x 是奇函数.本题考查对数型函数的性质,复合型函数奇偶性的证明,属于基础题20.已知()()2122322x x a a f x x R ++⋅+-=∈+,且函数()f x 满足()()f x f x -=-. (1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性,并加以证明. 【试题答案】(1)12a =； (2)见解析. 【试题解答】(1)可结合奇函数性质()00f =求解参数a ；(2)函数()21212121x x xf x -==-++,结合单调性定义进一步求解即可；(1)函数()f x 的定义域为R ,又()f x 满足()()f x f x -=-, ∴()()00f f -=-,即()00f =,解得12a =. (2)当12a =时,()11222121222121x x x x xf x ++--===-+++在R 上为增函数, 证明如下:设12x x <,得12022x x <<,则()()()()()1212121212222212121212121x x x x x x x x f x f x ----=-=++++, ∴()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,∴()f x 在定义域R 上为增函数.本题考查由奇函数性质求解具体参数值的问题,函数增减性的证明,属于中档题 21.某公司共有60位员工,为提高员工的业务技术水平,公司聘请专业培训机构进行培训.培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加员工支付200元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费.若参加培训的员工人数不超过30人,则培训机构收取每位员工每人培训费800元；若参加培训的员工人数超过30人,则每超过1人,人均培训费减少20元.设公司参加培训的员工人数为x 人,此次培训的总费用为y 元. (1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)请你预算:公司此次培训的总费用最多需要多少元？【试题答案】(1)21000,030201600,3060x x y x x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩； (2)此次培训的总费用最多需要32000元.【试题解答】(1)根据题意,确定人数30人为分界点,列出具体分段函数表达式即可； (2)分别求解两分段函数对应的最大值即可,其中二次函数可结合配方法求解；(1)当030x ≤≤时,1000y x =；当3060x <≤时,2201600y x x =-+. 故21000,030201600,3060x x y x x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩. (2)当030x ≤≤时,100030000y x =≤元,此时30x =；当3060x <≤时,()2220160020403200032000y x x x =-+=--+≤元,此时40x =.综上所述,公司此次培训的总费用最多需要32000元.本题考查分段函数的实际应用,分段函数最值在对应区间的求法,属于基础题22.已知二次函数()2f x ax bx c =++,且函数()f x 的图像经过()02,和()2,2.(1)若函数()f x 在区间[],21m m +上不单调,求实数m 的取值范围；(2)若()11f =,且函数()f x 在区间[],1t t +上有最小值2,求实数t 的值；(3)设()()2g x f x =-+,且()11g =,是否存在实数(),m n m n <,使函数()g x 定义域和值域分别为[],m n 和[]6,6m n ,如果存在,求出m 、n 的值；如果不存在,说明理由.【试题答案】(1)01m <<； (2)2t =或1t =-；(3)0n =,4m =-.【试题解答】(1)由函数()f x 的图像经过()02,和()2,2可得2b a =-,代入()f x 可求得对称轴,由函数()f x 在区间[],21m m +上不单调建立不等式即可求解；(2)结合(1)求出函数表达式为()222f x x x =-+,对称轴为1x =,再讨论区间[],1t t +与对称轴的关系即可；(3)根据()11g =,可得()()222111g x x x x =-+=--+≤,进一步判断16n ≤,结合函数()g x 的对称轴1x =可判断()g x 在[],m n 为增函数,由增函数性质可得()()66g m m g n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解出,m n 即可；(1)()f x Q 经过()02,和()2,2,将两点代入化简可得2c =,2b a =-,则()222f x ax ax =-+,函数对称轴为1x =,又函数()f x 在区间[],21m m +上不单调,故121m m <<+,解得01m <<；(2)()11f =Q ,()222f x x x ∴=-+,对称轴为1x =,分情况讨论:当1t ≤时,即1t ≥时,()f x 在[],1t t +上为增函数,()f x 的最小值为()2222f t t t =-+=,解得2t =,符合题意；当11t +≤时,即0t ≤时,()f x 在[],1t t +上为减函数,()f x 的最小值为()2112f t t +=+=,解得1t =-,符合题意；当11t t <<+,即01t <<时,函数最小值为()11f =,不符合题意,舍去；综上所述,2t =或1t =-.(3)由()11g =,可得()()222111g x x x x =-+=--+≤,∴61n ≤时,16n ≤,()g x ∴在[],m n 上为增函数,若满足题设条件的m ,n 存在,则()()66g m m g n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即224040m m n n ⎧+=⎨+=⎩,解得0m =或4-,0n =或4-,又m n <Q ,4,0m n ∴=-=∴存在0n =,4m =-满足条件.本题考查二次函数的基本性质,根据函数单调性求解参数,函数在某区间的最值求解参数范围,由函数的增减性求解具体参数值,属于难题。
江苏省响水中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题
（2）当 x k,1, k 0 时， f (x) 的值域为集合 B，若 x B 是 x A 成立的充分不必要条件，求
实数 k 的取值范围．
18．已知函数 f (x) 满足 f (x) + 2 f 1 = 3x .
x
（1）求函数 f (x) 的解析式； （2）判断函数 f (x) 在 (0, + ) 上的单调性，并用定义证明.
）
A． 1 1
ab
B． 2a−b 1
C． ac2 bc2
D．
1
a
3
1 2
b
11．已知正数 a 、 b 满足 a + 2b = 1 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． ab 的最小值是 1
8
B． 2a + 4b 的最小值是 2 2
C． 1 + 1 的最小值是 4 2
ab
D．
a2
+
4b2
的最小值是
2
24
2
若函数 f (x) 在区间[1，2]上单调，则 m 1或 m 2
2
2
∴实数 m 的取值范围为 (− ,2 4,+) ．
--------------------------------------------4 分
（2） f ( x) = x2 − mx + m2 + 2m − 3 = (x − m)2 + m2 + 2m − 3 ，对称轴为 x = m ，
A． y = x +1
B． y = 2x
C． y = x −1
D． y = x 2
2．设 a,b,c, d R ，且 a b,c d ，则下列结论正确的是（ ）
江苏省盐城市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷B卷
江苏省盐城市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）给出以下结论：①互斥事件一定对立.②对立事件一定互斥.③互斥事件不一定对立.④事件A与B 的和事件的概率一定大于事件A的概率.⑤事件A与B互斥，则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个2. （2分）口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）当输入x=﹣1，y=20时，如图中程序运行后输出的结果为（）A . 3； 43B . 43；3C . ﹣18；16D . 16；﹣184. （2分） 2016年山西八校联考成绩出来之后，李老师拿出甲、乙两个同学的6次联考的数学成绩，如表所示．计甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）姓名/成绩123456甲125110868313292乙10811689123126113A . ＞，甲比乙成绩稳定B . ＞，乙比甲成绩稳定C . ＜，甲比乙成绩稳定D . ＜，乙比甲成绩稳定5. （2分）某学校在校学生2 000人，为了学生的“德、智、体”全面发展，学校举行了跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步人数a b c登山人数x y z其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参与登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则应从高三年级参与跑步的学生中抽取（）A . 15人B . 30人C . 40人D . 45人6. （2分） (2018高一下·江津期末) 一组数据从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为（）A . 9B . 4C . 3D . 27. （2分） (2017高二上·湖北期中) 已知过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，若，则点P的轨迹方程是（）A .B . x2+（y﹣1）2=1C .D . x2+（y﹣1）2=28. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股方圆图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股方圆图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（）.A . 322B . 332C . 342D . 35210. （2分）某单位购买10张北京奥运会某场足球比赛门票，其中有3张甲票，其余为乙票．5名职工从中各抽1张，至少有1人抽到甲票的概率是A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）若圆C以抛物线y2=4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是________12. （1分）(2017·聊城模拟) 如图是一个程序框图，则输出的S的值是________13. （1分） (2018高一下·枣庄期末) 一组样本数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，已知这组数据的平均数与中位数均为，则其方差为________．14. （1分）用秦九韶算法求多项式f（x）=5x6﹣3x5+3.6x4﹣7.2x3﹣10.1x2+7x﹣3.5，当x=3.7的值，其中乘法的运算次数与加法的运算次数之和是________三、解答题 (共5题；共70分)15. （15分）(2018·辽宁模拟) 经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？16. （15分）(2017·成都模拟) 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100]（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分恰好有一人在[40，50）的概率．17. （15分）已知：，设．（1）求n的值；（2）写出f（x）的展开式中所有的有理项；（3）求f（x）的展开式中系数最大的项．18. （15分） (2015高二下·营口期中) 对某个品牌的U盘进行寿命追踪调查，所得情况如下面频率分布直方图所示．（1）图中纵坐标y0处刻度不清，根据图表所提供的数据还原y0；（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个U盘，寿命为1030万次之间的应抽取几个；（3）从（2）中抽出的寿命落在1030万次之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为1020万次，一个寿命为2030万次”的概率．19. （10分） (2019高二上·安徽月考) 已知圆：，点， .（1）若线段的中垂线与圆相切，求实数的值；（2）过直线上的点引圆的两条切线，切点为，若，则称点为“好点”.若直线上有且只有两个“好点”，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共70分)15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、。
江苏省盐城市2019-2020学年高一下学期期末数学试题(解析版)
【解析】
【分析】
由两直线平行时满足的条件，列出关于a的方程，解方程即可求得a的值,
【详解】因为直线 与直线 平行，
所以有 ，解得 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
5.在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y（单位：百元）与当天的平均气温x（单位：℃）之间有如下数据：（）
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1.已知集合 ， ，则集合 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据交集的定义计算即可.
【详解】因为集合 ， ，故 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题.
【答案】
【解析】
【分析】
设球半径为 ，求出球和圆柱的体积，可得剩下的水的体积，从而得比值．
【详解】设球半径为 ，则球体积为 ，圆柱体积为 ，
剩下水的体积为 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查圆柱与球的体积，掌握圆柱与球的体积公式是解题关键．
15.已知点 在圆 上，点 ， 为 的中点， 为坐标原点，则 的最大值为________ .
2.某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、1000、800（单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n为（）
A. 108B. 96C. 156D. 208
【答案】C
2019-2020学年度第二学期期中考试 高一数学试卷及答案
一、选择题：(本题共10小题，每题4分，共40分．每题有且只有一个正确答案) 1．下列命题正确的是（ ）A ．终边与始边重合的角是零角B ．终边与始边都相同的两个角一定相等C ．小于90的角是锐角D ．若120α=-，则α是第三象限角 2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A ．200，20 B ．200，10C ．100，10D ．100，203．下列区间中是使函数sin()4y x π=+单调递增的一个区间是（ ）A ．2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]π-，0D ．42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．已知扇形的半径为1，中心角为30°，关于弧长l 与扇形面积S 正确的结果为（ ） A ． 12l π=B ． 3l π=C ． 6S π=D ． 12S π=5．下列既是偶函数又是以π为周期的函数（ ）A ．cos y x =B ．sin(2)2y x π=-C ．2sin()2y x π=+D ．32cos(2)2y x π=+6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A ．110B ．15C ．310D ．257．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学（平行班）试题球至多有一个白球”中的哪几个( )A ．①③B ．②③C ． ①②D ．①②③8．将函数4cos(2)5y x π=+的图像上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式是（ ）A ．4cos(4)5y x π=+B ．4sin(4)5y x π=+C ．4cos(4)5y x π=-D ．4sin(4)5y x π=-+9．已知1sin cos 8αα=-，且344ππα<<，则cos sin αα+的值等于（ ）A ．32 B ．32- C ．34 D ．34- 10．任意ABC ∆中，给出下列4个式子，其中为常数的是（ ） ①sin()sin A B C ++；②cos()cos A B C ++；③sin(22)sin 2A B C ++； ④cos(22)cos 2A B C ++；A ．①②B ． ②③C ． ③④D ．①④二、填空题：(本题共5小题，每题4分，共20分．)11．在半径为1的圆O 内任取一点A ，则12OA <的概率为_____________.12．如果sin 0tan 0θθ><，，那么角θ所在象限是_____________. 13．已知1cos(75)6α︒+=，则sin(15)α︒-=_____________. 14．为了科普“新型冠状病毒”相关知识，增强中学生预防意识，某中学随机抽取30名学生参加相关知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m ，众数为n ，平均数为x ，则m ，n ，x 的大小关系为 .(用“<”连接)15．已知函数2()sin cos f x x x a =++，a R ∈，若对区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上任意x ，都有()1f x ≤成立，则实数a 的取值范围_____________.三、解答题：(本题共5小题，每题12分，共60分．) 16．化简计算：（1）已知tan 2x =，计算221sin 2cos x x+；（2）化简sin()cos()cos(2)cos()2πααπαππα+---+17．已知函数()sin()24x f x π=+.（1）写出函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间263ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域.18．下表数据为某地区某种农产品的年产量x (单位:吨)及对应销售价格y (单位:千元/吨) ．（1）若y 与x 有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程．（2）若该农产品每吨的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，利用上问所求的回归方程，预测当年产量为多少吨时，年利润Z 最大?（参考公式：回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，1122222212n n n x y x y x y nx y b x x x nx +++-=+++-，a y bx =-） 19．高老师需要用“五点法”画函数()sin()(00)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，，在一个（1） 请同学们帮助高老师写出表格中的两个未知量a 和b 的值，并根据表格所给信息写出函数解析式（只需在答题卡的相应位置填写答案，无需写出解析过程）；（2） 将()y f x =图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()g x 图像，求()y g x =距离原点O 最近的对称中心.20．空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染.一环保人士记录了某地2020年某月10天的AQI 的茎叶图如图所示.(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算)(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.一、选择题：（4分⨯10=40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DABDBDCCAB2019-2020学年度第二学期期中考试 高一数学（平行班）试题答案二、填空题：（4分⨯5=20分） 11.14； 12. 第二象限； 13. 16； 14. n <m <x ； 15. 14⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 三、解答题：（12分⨯5=60分）16.解：（1）222222221sin cos tan 15==sin 2cos sin 2cos tan 26x x x x x x x x ++=+++ （2）=cos (cos )cos (cos )0αααα---=原式17.解：（1）要求()f x 的单调递增区间，只需满足22()2242x k k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：344()22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间344()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，. （2）因为263x ππ-≤≤，所以762412x πππ≤+≤，又因为7sin sin sin 6122πππ<<，所以函数()f x 在区间7612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，18.解：（1）由所给数据计算得()()()552113,50,123,10i i i i i x y x x y y x x====--=--=∑∑，代入公式解得12.3,86.9b a =-=，所以ˆ12.386.9yx =-+．（2）因为年利润2(12.386.9)13.112.373.8Z x x x x =⋅-+-=-+，所以当x =3时,年利润Z 取得最大值，故预测当年产量为3吨时,年利润Z 大．19.解：（1）131212a b ππ==，，有表格所给数据可知52A ω==，，因此函数解析式可以确定为()5sin(2)f x x ϕ=+，再将点(5)3π，带入函数得：=2()6k k Z πϕπ-+∈，又因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()5sin(2)6f x x π=-.（2）由题意的()5sin(2)6g x x π=+，令2()6x k k Z πππ+=+∈，解之得5()122k x k Z ππ=+∈，即对称中心为5(0)()122k k Z ππ+∈，， 当50(0)12k π=，对称中心为，，当1(0)12k π=--，对称中心为，，因此距离坐标原点最近的对称中心为(0)12π-，．20.解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为410＝25，估计该月空气质量优良的概率为25，从而估计该月空气质量优良的天数为30×25＝12.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4； 为中度污染的共1天，记为b ；为重度污染的共1天，记为c .从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，a 4)，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共15个.其中空气质量等级恰好不同的结果有(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共9个.9 15＝3 5.所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为。
江苏省盐城市响水中学2019-2020学年高一数学下学期学情分析考试题(二)(含解析)
江苏省盐城市响水中学2019-2020学年高一数学下学期学情分析考试题〔二〕试〔含解析〕第一卷〔选择题〕一、选择题〔本大题共8小题 , 每道题5分 , 共40分．在每道题所给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项正确的 , 请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上〕 1. 设集合{}22,0,2,{|20}A B x x x =-=--=,那么A B ⋂=〔 〕A. ∅B.C. {}0D. {}2-【答案】B 【解析】试题分析 : 由已知得 , {}21B =-，, 故{}2A B ⋂= , 选B ． 考点 : 集合的运算．2. 以下选项中 , 表示的是同一函数的是〔 〕 A. ()()()22,f x x g x x ==B. ()()()22,2f x x g x x ==-C. ()(),0,,0x x f x g t t x x ≥⎧==⎨-<⎩D. ()()211,1f x x x g x x =+⋅-=-【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的定义 , 从函数的定义域、值域、对应关系方面入手即可选出正确答案. 【详解】选项A : 函数()f x 的定义域为全体实数 , 而函数()g x 的定义域为全体非负实数 , 故这两个函数不是同一函数 ;选项B : 虽然两个函数的定义域和值域相同但是它们的对应关系不同 , 故这两个函数不是同一函数 ;选项C : 根据绝对值性质可知 : ()f x x = , 两个函数定义域和值域相同 , 对应关系也相同 , 故这两个函数是同一函数 ;选项D : 函数()f x 的定义域为{}1x x ≥ , 函数()g x 的定义域为{1,x x ≥或1x ≤-} , 故这两个函数不是同一函数. 应选 : C【点睛】此题考查了同一函数的判断 , 考查了求函数的定义域和值域 , 属于基础题. 3. 函数12()log (1)f x x =-的定义域为〔〕A. (1,2)B. (1,2]C. (1,)+∞D. [2,)+∞【答案】B 【解析】要使函数()f x 有意义 , 那么()12log 10x -≥ , 那么011,12x x <-≤∴<≤ , 故函数的定义域是(]1,2 , 应选B. 4. 已知α、β为锐角 , 1cos 7α=, ()53sin 14αβ+= , 那么sin β=〔 〕 A.12B.22 C.32D.55【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系计算出sin α、()cos αβ+的值 , 然后利用两角差的正弦公式可求得sin β的值. 【详解】α、β为锐角 , 那么02πα<<, 02πβ<<, 那么0αβ<+<π ,所以 , ()()211cos 1sin 14αβαβ+=±-+=±, 243sin 1cos 7αα=-=且sin 0β>.①假设()11cos 14αβ+=, 那么()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦531114339314714798=⨯-⨯=-, 不合乎题意 ;②假设()11cos 14αβ+=-, 那么()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦531114331471472⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ , 合乎题意. 综上所述 , 3sin 2β=. 应选 : C.【点睛】此题考查利用两角差的正弦公式求值 , 解答的关键就是对()cos αβ+的正负进行分类讨论 , 考查计算能力 , 属于中等题.5. 一个单位有职工800人 , 其中具有高级职称的160人 , 具有中级职称的320人 , 具有初级职称的200人 , 其余人员120人.为了解职工收入情况 , 决定采用分层抽样的方法 , 从中抽取容量为40的样本.那么从上述各层中依次抽取的人数分别是 〔 〕 A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7C. 8,15,12,5D.8,16,10,6 【答案】D 【解析】试题分析 : 由题意 , 得抽样比为40180020= , 所以高级职称抽取的人数为1160820⨯= , 中级职称抽取的人数为13201620⨯= , 初级职称抽取的人数为12001020⨯= , 其余人员抽取的人数为1120620⨯= , 所以各层中依次抽取的人数分别是8人 , 16人 , 10人 , 6人 , 应选D ． 考点 : 分层抽样． 【方法点睛】分层抽样满足〞每层中抽取的个体数量样本容量＝本层的总个体数量总体数量〞 , 即〞1212n nnN N N===或1212::::::n n n N N N =〞 , 据此在已知每层间的个体数量或数量比 , 样本容量 , 总体数量中的两个时 , 就可以求出第三个．6. 在△ABC 中 , AD 为BC 边上的中线 , E 为AD 的中点 , 那么EB =A. 3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144+AB ACD. 1344+AB AC【答案】A 【解析】 【分析】分析 : 首先将图画出来 , 接着应用三角形中线向量的特征 , 求得1122BE BA BC =+ , 之后应用向量的加法运算法那么-------三角形法那么 , 得到BC BA AC =+ , 之后将其合并 , 得到3144BE BA AC =+ , 下一步应用相反向量 , 求得3144EB AB AC =- , 从而求得结果.【详解】根据向量的运算法那么 , 可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+ , 所以3144EB AB AC =- , 应选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题 , 涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法那么、共线向量的表示以及相反向量的问题 , 在解题的过程中 , 需要认真对待每一步运算.7. 在长方体1111ABCD A BC D -中 , 底面ABCD 是边长为4的正方形 , 13AA = , 那么异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为〔 〕 A.225B.35C.255D.235【答案】A 【解析】 【分析】作出图形 , 连接BD 、1A D , 推导出11//BD B D , 可得出异面直线1A B 与11B D 所成角为1A BD ∠或其补角 , 然后利用余弦定理求出1cos A BD ∠ , 即可得解.【详解】如以下列图所示:连接BD 、1A D , 在长方体1111ABCD A BC D -中 , 11//BB DD 且11BB DD = ,∴四边形11BB D D 为平行四边形 , 11//BD B D ∴ ,所以 , 异面直线1A B 与11B D 所成角为1A BD ∠或其补角 , 由勾股定理可得22115A B AA AB =+= , 同理可得42BD = , 15A D = ,由余弦定理得222111122cos 25A B BD A D A BD A B BD +-∠==⋅.因此 , 异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为225. 应选 : A.【点睛】此题考查异面直线所成角的余弦值的求解 , 考查计算能力 , 属于中等题.8. 函数()y f x =是定义域为R 的偶函数 , 当0x ≥时 , 5sin ,0142()11,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩ , 假设关于x 的方程2[()]()0(,)f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同实数根 , 那么实数a的取值范围是〔〕A.59,24⎛⎫-⎪⎝⎭B.9,14⎛⎫--⎪⎝⎭C.599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.59,11,24⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】【分析】可求得()551sin()424fπ== , 作函数的图象 , 利用数形结合思想结合函数图象 , 设()t f x= , 方程20t at b++=的两个根为12,t t , 分1255144t t=<<，和1250114t t<≤<<，两类情况进行讨论即可．【详解】当0x≥时 ,5sin,0142()11,14xx xf xxπ⎧⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+>⎪⎪⎝⎭⎩,函数()y f x=是定义域为R的偶函数 ,又()551sin()424fπ== ,所以画出函数()y f x=的图象 ,设()t f x= ,那么方程2[()]()0f x af x b++=可转化为20t at b++= ,设方程20t at b++=的两个根为12,t t ,依题意观察图像可知 :()1假设1255144t t=<<， , 故1295()42t at+=-∈， ,故59()24a ∈--，; ()2假设1250114t t <≤<<， , 故129(1)4t a t +=-∈， , 故9(1)4a ∈--，; 应选 : C ．【点睛】此题考查了利用函数的性质求函数方程与零点问题 , 同时考查了数形结合思想．属于中档题.二、多项选择题 : (本大题共4小题 , 每道题5分 , 共20分．在每道题给出的四个选项中 , 有多项符合题目要求．全部选对的得5分 , 局部选对的得3分 , 有选错的得0分 ,请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上．) 9. 〔多项选择〕以下各式中值为12的是〔 〕 A. 2sin 75cos 75︒︒B. 212sin12π-C. sin 45cos15cos 45sin15︒︒-︒︒D. tan 20tan 25tan 20tan 25︒+︒+︒︒【答案】AC 【解析】 【分析】依次计算每个选项得到答案.【详解】A. 12sin 75cos 75sin150sin 302︒︒=︒=︒=, 正确 ; B. 2312sin cos1262ππ-==, 不正确 ; C. 1sin 45cos15cos 45sin15sin 302︒︒-︒︒=︒= , 正确 ; D. tan 20tan 25tan 4511tan 20tan 25︒+︒︒==-︒⋅︒, 故tan 20tan 25tan 20tan 251︒+︒+︒︒= , 不正确.应选 : AC .【点睛】此题考查了三角恒等变换 , 意在考查学生的计算能力和转化能力.10. 已知A , B , C 表示不同的点 , l 表示直线 , α , β表示不同的平面 , 那么以下推理正确的选项是〔 〕A. ∈A l , A α∈ , B l ∈ , B l αα∈⇒⊂B. l α⊄ , A l A α∈⇒∉C. A α∈ , ∈A l , l l A αα⊄⇒⋂=D. A α∈ , A β∈ , B α∈ ,B AB βαβ∈⇒=【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面的基本性质 , 可判定A 正确 ; 由直线与平面的位置关系 , 可判定B 不正确 , C 正确 ; 由平面的基本性质 , 得到AB αβ= , 可判定D 正确.【详解】由点A , B , C 表示不同的点 , l 表示直线 , α , β表示不同的平面 , 对于A 中 , 由∈A l , A α∈ , B l ∈ , B α∈ , 根据平面的基本性质 , 可得l α⊂ , 所以是正确的 ;对于B 中 , 由,l A l α⊄∈ , 根据直线与平面的位置关系 , 那么A α或A α∈ , 所以不正确 ;对于C 中 , 由A α∈ , ∈A l , l α⊄根据直线与平面的位置关系 , 那么l A α= , 所以正确 ; 对于D 中 , 由,AA αβ , ,B B αβ∈∈ , 根据平面的基本性质 , 可得AB αβ= , 所以是正确的.应选 : ACD.【点睛】此题主要考查了以平面的基本性质 , 以及直线与平面的位置关系为背景的命题的真假判定 , 着重考查推理与论证能力.11. 对于ABC ∆ , 有如下判断 , 其中正确的判断是〔 〕 A. 假设sin 2sin 2A B = , 那么ABC ∆为等腰三角形 B. 假设A B > , 那么sin sin A B >C. 假设8a = , 10c = , 60B ︒= , 那么符合条件的ABC ∆有两个D. 假设222sin sin sin A B C +< , 那么ABC ∆是钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】对于 A , 根据三角函数的倍角公式进行判断 ; 对于 B , 根据正弦定理即可判断证明 ; 对于C , 利用余弦定理即可得解 ; 对于D , 根据正弦定理去判断即可． 【详解】在ABC ∆中 ,对于A , 假设sin 2sin 2A B = , 那么22A B =或22A B π+= , 当A ＝B 时 , △ABC 为等腰三角形 ; 当2A B π+=时 , △ABC 为直角三角形 , 故A 不正确 ,对于B , 假设A B > , 那么a b > , 由正弦定理得sin sin a b A B= , 即sin sin A B >成立．故B 正确 ;对于C , 由余弦定理可得 : b ＝22181028102+-⨯⨯⨯＝84 , 只有一解 , 故C 错误 ; 对于D , 假设222sin sin sin A B C +< , 由正弦定理得222a b c +< ,∴222cos 02a b c C ab+-=< , ∴C 为钝角 , ∴ABC ∆是钝角三角形 , 故D 正确 ;综上 , 正确的判断为选项B 和D ． 应选 : BD ．【点睛】此题只有考查了正弦定理 , 余弦定理 , 三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用 , 考查了转化思想 , 属于中档题．12. 在平面直角坐标系xOy 中 , 圆C 的方程为2240x y x +-=.假设直线()1y k x =+上存在一点P , 使过P 所作的圆的两条切线相互垂直 , 那么实数k 的取可以是() A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】AB 【解析】 【分析】先得到P 的轨迹方程为圆 , 与直线()1y k x =+有交点 , 得到k 的范围 , 得到答案. 【详解】222240(2)4x y x x y +-=∴-+=P 所作的圆的两条切线相互垂直 , 所以P , 圆点C , 两切点构成正方形22=PC 即22(2)8x y -+=P 在直线()1y k x =+上 , 圆心距220221k k d k-+=≤+计算得到2222k -≤≤ 故答案选AB【点睛】此题考查了圆的切线问题 , 通过切线垂直得到P 的轨迹方程是解题的关键.第Ⅱ巻〔非选择题〕三、填空题〔本大题共4小题 , 每道题5分 , 共计20分．不需要写出解答过程 , 请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．〕13. 已知幂函数()y f x =的图象过点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭, 那么(16)f 的值为_________． 【答案】14【解析】 【分析】根据题意可设()mf x x = , 利用()y f x =的图象过点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭求得m , 即可确定()f x ,进而求(16)f 即可.【详解】解 : 根据题意可设()mf x x =因为()y f x =的图象过点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ , 所以122m⎛⎫= ⎪⎝⎭, 解得12m =-. 所以()12f x x-= ,所以()()11422211616224f ---====.故答案为 : 14.【点睛】此题主要考查幂函数的定义 , 属于基础题.14. 在棱长为1的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中 , 点E 是棱B 1B 的中点 , 那么三棱锥D 1－DEC 1的体积为____.【答案】16【解析】 【分析】首先根据题意 , 画出几何图形 , 之后将三棱锥的顶点和底面转换 , 利用等积法求得结果. 【详解】根据题意 , 画出图形 , 如下列图 :结合正方体的性质 , 以及椎体的体积公式 , 可以求得 :1111111111326D DECE D DC V V DD D C BC --==⨯⨯⨯⨯= ,故答案是 : 16.【点睛】该题考查的是有关椎体体积的计算问题 , 涉及到的知识点有等级法求三棱锥的体积 , 椎体体积公式 , 属于简单题目.15. 已知两个变量x 、y 之间具有线性相关关系 , 4次试验的观测数据如下 :x3 4 5 6y2.5 3 44.5经计算得回归方程y bx a =+的系数0.7b = , 那么a =_________． 【答案】0.35 【解析】 【分析】利用平均数求出样本中心点的坐标 , 将其代入回归直线方程即可. 【详解】解 : 由题意得 : 3456 4.54x +++== , 2.534 4.53.54y +++==.所以 , 样本中心点坐标为()4.5,3.5 ,因为回归方程为0.7y x a =+ , 样本中心点在回归直线上 , 所以 , 3.50.7 4.5a =⨯+ , 解得 : 0.35a =. 故答案为 : 0.35.【点睛】此题考查了线性回归方程系数的求法 , 在线性回归分析中 , 样本中心点在回归直线上 , 属于基础题.16. A , B 是半径为1的圆周上的定点 , P 为圆周上的动点 , APB ∠是锐角 , 大小为β．那么PAB △的面积的最大值为_________．〔用含有β的表达式表示〕【答案】1sin sin 22ββ+ 【解析】 【分析】由正弦定理得22sin ABr β== , 所以2sin AB β= ; 设h 为APB △在AB 边上的高 , 那么12ABPSAB h =⋅⋅ , 当P 在AB 的中垂线上时 , h 取得最大值 , 此时ABP S △最大 , 求解即可.【详解】解 : 根据题意画出图 , 由题知 : 圆的半径为1r = , ,0,2APB πββ⎛∠⎫=∈ ⎪⎝⎭,由正弦定理得22sin ABr β== , 所以2sin AB β= , 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以sin 0,cos 0ββ>>. 设h 为APB △在AB 边上的高 , 那么12ABPS AB h =⋅⋅ , 当P 在AB 的中垂线上时 , h 取得最大值 , 此时ABP S △最大.取AB 的中点C , 过C 作AB 的垂线〔必过圆心〕 , 交圆于点D , 取圆心为O ,那么222221sin cos 2AB OC OA AC r ββ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.=1+cos CD OC OD OC r β=+=+ ,()()max max 1112sin 1cos 222ABP SAB h AB CD ββ=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅+ 1sin sin cos sin sin 22βββββ=+=+故答案为 : 1sin sin 22ββ+. 【点睛】此题考查了三角形的面积的计算、正弦定理的应用 , 考查了三角函数的化简 , 考查了计算能力 , 属于中档题.三、解答题〔本大题共6小题 , 共计70分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答 , 解答应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤．〕17. 在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ， , 3cos 254A B b π===，， ,〔1〕求a 的值 ; 〔2〕求sin C . 【答案】〔1〕85a =〔2〕7210【解析】 【分析】〔1〕先利用同角三角函数的关系求得4sin 5A =, 再利用正弦定理可得结果 ; 〔2〕根据三角形内角和定理 , 利用诱导公式 , 结合〔1〕 , 由两角和的正弦公式可得结果 , 【详解】〔1〕因为3cos 254A B b π===，， ,所以4sin 5A =, 2sin ,2B = 由正弦定理可得 ,24sin sin 252a b a A B =⇒=85a ∴=; 〔2〕[]sin sin ()sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+423272··525210=+=. 【点睛】此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用 , 属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具 , 其常见用法有以下几种 : 〔1〕知道两边和一边的对角 , 求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕 ; 〔2〕知道两角与一个角的对边 , 求另一个角的对边 ; 〔3〕证明化简过程中边角互化 ; 〔4〕求三角形外接圆半径.18. 设平面向量(cos ,sin ),(cos 23,sin ),(0,1),a x x b x x c x R ==+=∈. 〔1〕假设a c ⊥ , 求cos 2x 的值 ;〔2〕假设函数()(2)f x a b c =⋅- , 求函数f(x)的最大值 , 并求出相应的x 值． 【答案】〔1〕1 ; 〔2〕5 【解析】 【分析】〔1〕由a c ⊥ , 得到sin 0a c x ⋅== , 再由余弦的倍角公式 , 即可求解． 〔2〕根据向量的数量积的运算和三角恒等变换的公式 , 化简得()4cos()16f x x π=++ ,再根据三角函数的性质 , 即可求解．【详解】〔1〕由题意知 , 向量a c ⊥ , 即0a c ⋅= , 即sin 0a c x ⋅== , 又由2cos 212sin 1x x =-=．〔2〕因为()(2)123cos 2sin 4cos()16f x a b c x x x π=⋅-=+-=++ ,故当2,6x k k Z ππ+=∈ , 即2,6x k k Z ππ=-∈时 , ()f x 有最大值 , 最大值是5．【点睛】此题主要考查了向量的数量积的运算 , 以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用去 , 其中熟记向量的数量积的运算公式和三角恒等变换的公式求得函数的解析式是解答的关键 , 着重考查了运算与求解能力 , 属于基础题．19. 如下列图 , 在四棱锥P ABCD -中 , 平面PAB ⊥平面ABCD , AD BC ∥ , 且12AD BC =, 90ABC ∠=︒．〔Ⅰ〕求证 : PA BC ⊥ ;〔Ⅱ〕假设E 为PB 的中点 , 求证 : AE 平面PCD ．【答案】〔Ⅰ〕见解析 ; 〔Ⅱ〕见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕线线垂直先求线面垂直 , 即BC ⊥平面PAB , 进而可得PA BC ⊥ ; 〔Ⅱ〕连接D 与PC 的中点F , 只需证明AEDF 即可．【详解】〔Ⅰ〕因为90ABC ∠=︒ , 所以BC AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD , 且平面PAB ⋂平面=ABCD AB , 所以BC ⊥平面PAB ． 因为PA ⊂平面PAB , 所以PA BC ⊥． 〔Ⅱ〕证明 : 取PC 中点F , 连接DF , EF ． 因为E 为PB 中点 , 所以EF BC ∥ , 且12EF BC =． 因为AD BC ∥ , 且12AD BC = ,所以ADEF , 且AD EF = , 所以四边形AEFD 为平行四边形． 所以AEDF ．因为AE ⊄平面PCD , DF ⊂平面PCD , 所以AE平面PCD ．【点睛】此题考查立体几何证明 , 线线垂直一般通过线面垂直证明 , 线面平行只需在面内找到一个线与已知线平行即可 , 题目中出现中点一般也要在找其他中点连接 , 属于较易题目．20. 某网站举行〞卫生防疫〞的知识竞赛网上答题 , 共有120000人通过该网站参加了这次竞赛 , 为了解竞赛成绩情况 , 从中抽取了100人的成绩进行统计 , 其中成绩分组区间为[)80,90 , []70,80 , [)90,100 , 其频率分布直方图如下列图 , 50,60 , [)60,70 , [)请你解答以下问题 :〔1〕求m的值 ;〔2〕成绩不低于90分的人就能获得积分奖励 , 求所有参赛者中获得奖励的人数 ;〔3〕根据频率分布直方图 , 估计这次知识竞赛成绩的平均分〔用组中值代替各组数据的平均值〕.m=〔2〕6000人〔3〕76分【答案】〔1〕0.03【解析】【分析】〔1〕由频率分布直方图的性质 , 列出方程 , 即可求解 ;〔2〕由频率分布直方图 , 求得成绩在[]90,100之间的频率 , 即可求得所有参赛者中获得奖励的人数 ;〔3〕根据频率分布直方图的平均数的计算公式 , 即可求得平均分的估计值.【详解】〔1〕由频率分布直方图的性质 , 可得()100.0050.020.040.0051m ⨯++++= , 解得0.03m =.〔2〕由频率分布直方图 , 可得成绩在[]90,100之间的频率为100.0050.05⨯= , 所以可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为1200000.056000⨯=人. 〔3〕根据频率分布直方图的平均数的计算公式 ,可得平均分的估计值为550.05650.2750.4850.3950.0576⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.【点睛】此题主要考查了频率分布直方图的应用 , 其中解答中熟记频率分布直方图的性质 , 平均数的计算公式和频率的计算方法是解答的关键 , 着重考查了推理与运算能力. 21. 某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神 , 大力开展〞青山绿水〞工程 , 造福于民.为此 , 当地政府决定将一扇形〔如下列图〕荒地改造成市民休闲中心 , 其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所 , 其余区域〔阴影局部〕改造为景观绿地〔种植各种花草〕.已知该扇形OAB 的半径为200米 , 圆心角60AOB ∠=︒ , 点Q 在OA 上 , 点,M N 在OB 上 , 点P 在弧AB 上 , 设POB θ∠=.〔1〕假设矩形MNPQ 是正方形 , 求tan θ的值 ;〔2〕为方便市民观赏绿地景观 , 从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道PS 和PT 〔宽度不计〕 , 使PS OA ⊥ , PT OB ⊥ , 其中PT 依PN 而建 , 为让市民有更多时间观赏 , 希望PS PT +最长 , 试问 : 此时点P 应在何处 ？说明你的理由.【答案】〔1〕矩形MNPQ 是正方形时 , 33tan 2θ-=〔2〕当P 是AB 的中点时 ,PS PT +最大【解析】试题分析 : 〔1〕因为四边形PQMN 是扇形的内接正方形 , 所以cos sin tan 60QMOP MN PN OP θθ-===︒, 注意到sin QM PN OP θ== , 代入前者就可以求出tan θ. 〔2〕由题设可由200sin 200sin(60)PS PT θθ+=+︒- ,060θ︒<<︒ , 利用两角差的正弦和辅助角公式把PS PT +化成200sin(60)PS PT θ+=+︒的形式 , 从而求出PS PT +的最大值.解析 : 〔1〕在Rt PON ∆中 , 200sin PN θ= , 200cos ON θ= , 在Rt OQM ∆中 , 200sin QM PN θ== , 200sin 2003=sin ,tan 6033QM OM θθ==︒所以MN ON OM =-2003200cos sin 3θθ=-, 因为矩形MNPQ 是正方形 , MN PN ∴= , 所以2003200cos sin 200sin 3θθθ-= , 所以2003(200+)sin 200cos 3θθ= , 所以1333tan =233+313θ-==+ ． 〔2〕因为,POM θ∠=所以60POQ θ∠=︒- ,200sin 200sin(60)PS PT θθ+=+︒-31200(sin cos sin )22θθθ=+-13200(sin cos )200sin(60)22θθθ=+=+︒ , 060θ︒<<︒．所以+60=90θ︒︒, 即=30θ︒时 , PS PT +最大 , 此时P 是AB 的中点．答 : 〔1〕矩形MNPQ 是正方形时 , 33tan 2θ-=;〔2〕当P 是AB 的中点时 , PS PT +最大．22. 在平面直角坐标系xOy 中 , 已知(1,1),(2,1),(,)A B C m n ---为三个不同的定点.以原点O 为圆心的圆与线段,,AB AC BC 都相切. 〔Ⅰ〕求圆O 的方程及,m n 的值 ;〔Ⅱ〕假设直线:()l y x t t R =-+∈与圆O 相交于,M N 两点 , 且12OM ON ⋅=- , 求t 的值 ;〔Ⅲ〕在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q , 使得对圆O 上任意一点P , 都有(PA PQλλ=为常数) ？假设存在 , 求出点Q 的坐标及λ的值 ; 假设不存在 , 请说明理由.【答案】〔Ⅰ〕221x y +=,1,m =- 3n = ; 〔Ⅱ〕22t =± ; 〔Ⅲ〕见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据直线与圆相切 , 圆心到直线的距离等于半径求解 ; 〔Ⅱ〕用坐标表示向量积 , 再联立直线与圆方程 , 消元代入向量积求解 ; 〔Ⅲ〕假设A 、P 的坐标 , 根据两点距离公式与PA PQλ=建立等式 , 再根据A 、P 分别满足直线和圆的方程化简等式 , 最后根据等式恒成立的条件求解.【详解】〔Ⅰ〕由于圆O 与线段AB 相切 , 所以半径1r =. 即圆O 的方程为221x y +=. 又由题221x y +=与线段AC 相切 , 所以线段AC 方程为1x =-.即1m =-. 故直线BC 的方程为(1)3210n x y n ++-+=.由直线BC 和圆O 相切可得 :2121(1)9n n -=++ ,解得3n =或1n =-.由于,A C 为不同的点 , 所以3n =.江苏省盐城市响水中学2019-2020学年高一数学下学期学情分析考试题（二）（含解析）〔Ⅱ〕设11(,)M x y , 22(,)N x y , 那么121212OM ON x x y y ⋅=+=-. 由22,1,y x t x y =-+⎧⎨+=⎩可得222210x tx t -+-= , 2248(1)0t t ∆=--> , 解得22t -<<.所以212121,2t x x t x x -+==. 故222221212121211()()()22t t y y x t x t x x x x t t t t --=-+-+=-++=-+=. 所以22212121111222t t x x y y t --+=+=-=-.所以212t =.故22t =±.〔Ⅲ〕设00(,),(,)Q x y P x y . 那么22(1)(1)PA x y =+++ , 2200()()PQ x x y y =-+-.假设在直线AO 上存在异于A 的定点Q , 使得对圆O 上任意一点P ,都有(PA PQλλ=为常数),等价于222200(1)(1)()()x y x x y y λ+++=-+-对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立.即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-.整理得222222220000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=. 因为点Q 在直线AO 上 , 所以00x y =. 由于P 在圆O 上 , 所以221x y +=.故222200(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[2,2]x y +∈-恒成立.所以202220220,320.x x λλλ⎧+=⎨--=⎩显然0λ≠ , 所以021x λ=-. 故22230λλ--= ,江苏省盐城市响水中学2019-2020学年高一数学下学期学情分析考试题（二）（含解析）- 21 - / 21 因为0λ> , 解得2λ=或1λ=.当1λ=时 , (1,1)Q -- , 此时,Q A 重合 , 舍去. 当2λ=时 , 11(,)22Q -- , 综上 , 存在满足条件的定点11(,)22Q -- , 此时2λ=. 【点睛】此题考查直线与圆的综合应用.主要知识点有 : 点到直线的距离公式及应用 , 向量数量积的坐标表示 , 两点距离公式.。
江苏省盐城市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷(I)卷
江苏省盐城市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·广东模拟) 已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=ex ， x＜ln3}，则A∪B=（）A . （﹣1，3）B . （﹣1，0）C . （0，2）D . （2，3）2. （2分）在△ABC中，A:B:C=1:2:3，则A:B:C等于（）A . 1:2:3B . 3:2:1C . 1::2D .3. （2分）在各项均为正数的等比数列中,公比．若, ,数列的前项和为,则当取最大值时,的值为（）A . 8B . 9C . 8或9D . 174. （2分）已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2015的值是（）A . 2 012×2 013B . 2 014×2 015C . 2 0142D . 2 013×2 0145. （2分） (2015高二上·安阳期末) 已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b2+c2﹣bc=4，则△ABC的面积的取值范围是（）A . （， ]B . （0， ]C . （， ]D . （，）7. （2分）设为等比数列的前n项和，已知，，则公比q=（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）在△ABC 中，，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分）远望灯塔高七层，红光点点倍加增，只见顶层灯一盏，请问共有几盏灯？答曰：（）A . 64B . 128C . 63D . 12710. （2分） (2018高一下·通辽期末) 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）A .B .C .D .11. （2分）(2016·海南模拟) 等比数列{an}中，a3a5=64，则a4=（）A . 8B . ﹣8C . 8或﹣8D . 1612. （2分）已知函数的零点分别为，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）二次函数y=x2﹣4x+3在y＜0时x的取值范围是________．14. （1分）(2017·太原模拟) 已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为________．15. （1分） (2016高一上·江北期中) 已知函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是________．16. （1分） (2017高一下·淮安期末) 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高三上·烟台期中) 如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．18. （10分）已知等差数列{an}是递增数列，且不等式x2﹣6x+8＜0的解集为{x|a2＜x＜a4}．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an+ ，求数列{bn}的前n项的和Sn．19. （10分） (2019高一上·宜昌期中) 某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查，得到每月利润（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：14712229244241196（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述与的变化关系，并说明理由，，，；（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.20. （10分） (2018高二下·邯郸期末) 如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度.（2）求的值.21. （10分） (2019高二上·佛山月考) 为数列的前项和，已知，．（1）求；（2）记数列的前项和为，若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．22. （15分） (2016高一上·厦门期中) 已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2tx在区间[﹣1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数m的取值范围（注：相等的实数根算一个）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
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江苏省响水中学2019~2020学年度春学期高一年级期中考试数学试题考生注意：1.本试题分第I 卷和第II 卷，共4页.2.满分150分，考试时间为120分钟.第I 卷选择题（共60分）一、选择题（每题5分，计70分）1.cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒的值为（ ） A. 1 B. 0C. -0.5D. 0.5【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式，直接计算，即可求出结果.【详解】()1cos15cos75sin15sin 75cos 1575cos(60)2︒︒+︒︒=︒-︒=-︒=. 故选：D.【点睛】本题主要考查逆用两角差的余弦公式求三角函数值，属于基础题型. 2.已知tan 3α=tan2α的值为（ ）A. 33 C. 3-3【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式求解即可. 【详解】22tan 23tan 231tan ααα-===-故选：B【点睛】本题主要考查了正切的二倍角公式，属于基础题.3.圆()()22244x y ++-=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆的方程得出圆心坐标和半径，求出圆心距，比较圆心距与半径之和的关系，即可得出结果.【详解】因为圆()()22244x y ++-=的圆心为()12,4O -，半径为12r =；圆22(2)(1)9x y -+-=的圆心为()22,1O ，半径为23r =； 则12125O O r r ===+.所以两圆外切. 故选：C.【点睛】本题主要考查判断两圆位置关系，属于基础题型.4.在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a，b ，c ，已知a =c =3A π∠=，则C ∠的大小为（ ） A.π4或3π4B.6π或56πC.6πD.π4【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦定理sin sin a c A C =求得1sin 2C =，再根据a c >知A C >可得答案.【详解】由正弦定理sin sin a c AC =sin sin 3C=，得1sin 2C =，因为a c =>=，所以3C A π<=，所以6C π=.故选：C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，根据a c >得到A C >，这样避免增解，属于基础题.5.已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A .1B. 1-C. 2-或1D. 2或1【答案】D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112a a a -+-⨯-=-+， 解得1a =-，舍去． 综上可得：1a =-. 故选A ．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7.已知ABC 的顶点()0,0A ，()0,2B ，()2,2C -，则其外接圆的方程为（ ） A. 22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】先设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果. 【详解】设ABC 的外接圆的方程为222()()x a y b r -+-=， 因为ABC 的顶点()0,0A ，()0,2B ，()2,2C -，所以222222222(2)(2)(2)a b r a b r a b r ⎧+=⎪+-=⎨⎪--+-=⎩，解得11a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，因此22(1)(1)2x y ++-=即为所求圆的方程. 故选：A.【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型. 8.已知,αβ为锐角，()tan 2,cos ααβ=+=，则tan β=（ ） A. 2 B.211 C.43D.12【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系与商的关系求出tan()2αβ+=-，再利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】因为,αβ为锐角，所以(0,)αβπ+∈.因为cos()αβ+=，所以sin 5)(αβ+==， 因此tan()2αβ+=-.因为tan 2α=，所以 tan()tan 224tan tan[()]1tan()tan 143αβαβαβααβα+---=+-===++-.故选：C.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，考查了两角差的正切公式，解题的关键是熟练掌握三角函数恒等变换公式.属于中档题. 9.已知()0,απ∈，3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.2425B. 2425-C. 725-D.725【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式和二倍角公式将sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为212sin 6πα+⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入数据即可求解. 【详解】212sin 33sin 2sin +2cos +2cos 26266ππππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=-=++ ⎝⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭因为3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以237sin 2126525πα⎛⎫⎛⎫-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式和二倍角公式，属于基础题.10.在圆M ：224410x y x y +---=中，过点N (1，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. B. C. 24 D. 6【答案】A 【解析】【分析】先求得圆的圆心和半径，易知最长弦为直径，最短弦为过点()1,1与AC （直径）垂直的弦，再求得BD 的长，可得面积.【详解】由224410x y x y +---=可得：22(2)(2)9x y -+-=， 故圆心为(2,2)，半径为3r =，由N ()1,1为圆内点可知，过N (1，1)最长弦为直径，即AC =6 而最短弦为过()1,1与AC 垂直的弦，圆心(2,2)到()1,1的距离：d ==所以BD==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：A【点睛】本题考查了直线与圆，圆的方程，圆的几何性质，面积的求法，属于中档题.11.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tanC cos cos c B A =，若2c a ==，则b 的值为（ ）A. 3B. 1C. 2【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sin tan C C C =，结合sin 0C ≠，可求得tan C =()0,C π∈，可求C ，从而根据余弦定理可求b 的值．【详解】∵tan cos cos c C B A =， ∴由正弦定理可得：)()sin tan sin cos sin cos C C A B B A A B C =++=，∵sin 0C ≠，∴可得tan C = ∵()0,C π∈， ∴3C π=，∵c =2a =，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得2174222b b =+-⨯⨯⨯， 可得2230b b --=，∴解得3b =，1b =-（负值舍去）． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，两角和的正弦公式，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，属于中档题.12.若方程122kx k =-+有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A. 31,44⎛⎫-⎪⎝⎭B. 31,44⎛⎤-⎥⎝⎦C. 11,24⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,24⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】方程)0y y ≥=表示半圆、直线21y kx k =-+过定点()2,1B ，数形结合知当直线在直线BD 、BC 之间(包含直线BD )时与半圆有两个交点，求出两直线的斜率即可求得k 的范围.【详解】方程122kx k =-+有两个相异21kx k =-+有两个不同的实根，0y =≥即()2204y x y +=≥表示以()0,0为圆心、2为半径的半圆，直线()2121kx k x y k -+=-+=过定点()2,1B ，如图所示，当直线在直线BD 、BC 之间(包含直线BD )时与半圆有两个交点， 因为直线BC 24231BC BC BC k k =⇒=-+，又()11224BC k ==--， 所以31,44k ⎛⎤- ⎥⎝⎦∈.故选：B【点睛】本题考查函数图象的交点与方程的根、直线与圆的位置关系、直线的定点，将方程的根转化为函数图象的交点是解题的关键，属于中档题.第II 卷非选择题（共90分）二、填空题 13.1sin cos 3θθ+=，则sin 2θ=___________． 【答案】89- 【解析】试题分析：由1sin cos 3θθ+=两边平方，得112sin cos 1sin 29θθθ+=+=，所以8sin 29θ=-．考点：倍角公式．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ：B ：C =1：2：3，则a ：b ：c =______． 【答案】3：： 【解析】 【分析】通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出a 、b 、c 的比即可. 【详解】∵A+B+C=π，A ：B ：C=1：2：3， ∴A=30°，B=60°，C=90°，由正弦定理可知：a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC=．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和，基本知识的考查． 15.函数()sin 2cos 236f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的最小值是____________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两角和的正弦、余弦公式化简函数解析式为正弦型函数，根据正弦函数的范围即可求得函数()f x 的最小值. 【详解】()11sin 2sin 23sin 2322f x x x x x x =-+=++ sin 233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]sin 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，()min 2f x ∴=.故答案为：2【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，属于基础题.16.已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________. 【答案】[0,3] 【解析】 【分析】设(),M x y ，利用3MA MO ⋅=，可得M 的轨迹方程以()0,1为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：设(),M x y ，因为A (0，2)，O (0，0)，所以(,2)MA x y =--，(,)MO x y =--. 因为3MA MO ⋅=，所以()()()()23x x y y --+--=，化简得：22(1)4x y +-=，所以M 点的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()22:21C x a y a -+-+=上， 所以两圆必须相交或相切.所以13≤≤，解得03a ≤≤.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为：[0,3]. 故答案为：[0,3].【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.三、解答题（17、18题每题10分，19、20、21题每题12分，22题14分计80分） 17.根据所给条件求直线的方程：（1）直线经过点(-2，0)（2）与直线30x -+=平行且被圆()(22612x y -+=所截得的弦长为6.【答案】（1）320x y -+=或320x y ++=（2）10x -=或70x --= 【解析】 【分析】（1）由正弦值求得正切，即为所求直的斜率k ，利用点斜式即可得出；（2）根据平行关系可设直线方程0x m +=，再根据垂径定理列等量关系，求参数m .【详解】解：（1）由题可知该直线的斜率存在，设直线的倾斜角为α，则sin α=，∴cos α==∴sin 1tan ,cos 3ααα==± ∴直线方程为320x y -+=或320x y ++=.（2）设直线方程为0x m +=∵弦长为6∴弦心距d ==∴1d m ==⇒=-或7m =-∴直线方程为10x --=或70x -=【点睛】本题考查直线的点斜式方程，考查两直线平行的性质，直线与圆的位置关系，属于基础题18.已知()11sin 14ααβ=+=-，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求()cos 2αβ+的值； (2)求β的值. 【答案】（1）7198-（2）3πβ= 【解析】 【分析】(1)根据角度关系有cos(2)cos cos()sin sin()αβααβααβ+=+-+，再分别求解其中的三角函数值求解即可.(2)根据()sin sin βαβα=+-展开求解得sin 2β=，再根据0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求解即可.【详解】解：(1)∵,0,,sin 2παβα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，∴1cos 7α==，∵()()110,,cos 14αβπαβ+∈+=-，∴()sin αβ+== ∴71cos(2)cos cos()sin sin()98αβααβααβ+=+-+=-(2)()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+=又∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴3πβ=【点睛】本题主要考查了三角恒等变换求解三角函数值与角度的问题，需要根据题意确定合适的和差角公式，并根据同角三角函数值的关系以及角度范围求解所求角的正余弦.属于中档题.19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且45,2A a ∠=︒=. （1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）1sin 3C =（2）12【解析】 【分析】（1）由正弦定理即可算出；（2）先算出cos C ，然后算出sin B ，然后利用1sin 2S ac B =算出答案即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：sin sin a A c C=，∴sin sin A C =，∴21sin3C ==（2）∵3,a =∴c a =，∴cos 3C ==∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=∴11sin 322S ac B ==⨯=【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形和求三角形的面积，考查了学生的计算能力，属于基础题.20.已知直线12:340,:8140l x y l ax y a +=+++=且12l l //.圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A的纵坐标为85-，圆心C 在直线1l 上. （1）求直线12,l l 之间的距离； （2）求圆C 的标准方程；（3）若直线l 经过点)2且与圆C 交于,P Q 两点，当△CPQ 的面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2（2）224x y +=（3）x =342y x =+ 【解析】 【分析】（1）由两直线平等求得a ，然后由平行线间距离公式得距离．（2）求出A 点坐标，可得过A 与2l 垂直的直线方程，由此可得圆心坐标，得圆半径，从而得圆方程； （3）利用1sin 2sin 2CPQ S CP CQ PCQ PCQ ∆=⋅⋅∠=∠知2PCQ π∠=时，面积最大.从而圆，从而求得直线方程． 【详解】解：（1）∵两条线平行， ∴3846a a ⨯=⨯⇒=，直线2l 方程为68200x y ++=，即34100x y ++=，∴2d ==（2）∵2:34100,l x y ++=由834()1005x +⨯-+=得65x =-，∴68,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设过A 与l 2垂直的直线方程为430x y m -+=，684()3()055m ⨯--⨯-+=，0m =， ∴过A 与l 2垂直的直线方程为430x y -=，∴4300,3400x y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，∴圆心为(0，0)，半径为2r ==，∴圆C 的标准方程为224x y += （3）∵1sin 2sin 2CPQ S CP CQ PCQ PCQ ∆=⋅⋅∠=∠， ∴当sin 1PCQ ∠=，即2PCQ π∠=时，面积最大.此时，圆心到直线的距离为2，显然直线2x =满足题意，当直线l 斜率存在时，设方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k --+=，由22221k k -=+，解得2k =，直线方程为22(2)y x -=-，即232y x =+.∴直线l 的方程为2x =或2342y x =+． 【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，考查直线与圆位置关系，考查直线与圆相交问题中三角形面积最值．求平行线间距离时，两直线方程中,x y 的系数分别相同，在求直线方程时要分类讨论，分直线的斜率存在和不存在两种情形，求直线与圆相交的弦长时常常用几何方法求解．21.如图所示，某小区内有一扇形绿化带OPQ ，其半径为2m ，圆心角为3π.现欲在扇形弧上选择一点C 将该绿化带分割成两块区域，拟在△OPC 区域内种植郁金香，在△OCQ 区域内种植薰衣草.若种植郁金香的费用为3千元/2m ，种植薰衣草的费用为2千元/2m ，记COP θ∠=，总费用为W 千元.（1）找出W 与θ的函数关系； （2）试探求费用W 的最大值. 【答案】（1）6sin 4sin ,0,33W ππθθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）费用的最大值为27 【解析】【分析】（1）求出三角形面积后可得费用W ；（2）由两角差正弦公式展开化简函数式，然后利用辅助角公式求得最大值． 【详解】解：（1）22132sin 22sin 6sin 4sin ,0,21323323OCP OCQ W S S πππθθθθθ∆∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯⨯-=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭⎝⨯⎭⨯（2）∵326sin 4sin 6sin 4(sin cos cos sin )333OCP OCQ W S S πππθθθθθ∆∆⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭4sin θθ=+θθ⎫=⎪⎪⎭，设cos ϕ=sin ϕ=，ϕ为锐角，tan ϕ=>(,)62ππϕ∈，∴(),3W πθϕϕθϕϕ=+<+<+，∵62ππϕ<<，∴当2πθϕ+=时，费用的最大值为.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，考查两角和与差的正弦公式，考查辅助角公式，解题关键是列出函数关系式，本题属于中档题． 22.已知圆C ：()()22234x y -+-=.（1）求经过点()2,5且与圆C 相切的直线方程；（2）设直线:l y x n =+与圆C 相交于A ，B 两点，若2CA CB ⋅=，求实数n 值； （3）若点M 在以(),2N a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为4的两点P ，Q 在圆C 上，求MP MQ ⋅的最小值.【答案】（1）5y =；（2）1n =+或1n =；（3）32-【解析】 【分析】（1）点()2,5就在圆上，且与圆心横坐标一样，则可直接写出切线方程；（2）由数量积的运算可得cos ACB ∠，则60ACB ∠=︒，进而可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离可得实数n 的值；（3）利用向量的几何运算可得()22414MP MQ MC NC ⋅=-≥--，求出NC 的最小值，即可得MP MQ ⋅最小值.【详解】解：（1）因为()()2222534-+-=，则点()2,5就在圆C 上，故点()2,5就是切点，又圆心为()2,3 则切线斜率为0，所以经过点()2,5且与圆C 相切的直线方程5y =； （2）∵cos 4cos 2CA CB CA CB ACB ACB ⋅=⨯⨯∠=∠=1cos 2ACB ∴∠=，又0180ACB ≤∠≤， ∴60ACB ∠=︒，则圆心到直线的距离为2sin 603⨯=∴1d n ===或1n =；（3）∵()()()2MP MQ MC CP MC CQ MC CP CQ MC CP CQ ⋅=+⋅+=++⋅+⋅()22414MC NC =-≥--，∴当NC 最小时，MP MQ ⋅最小，∵NC ==∴当72a =时，NC 取得最小值为2，此时MP MQ ⋅最小为231422⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查圆和向量相结合的最值问题，是中档题.。