第2讲：等差数列进阶
高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和讲义(含解析)-高三全册数学教案
第二节 等差数列及其前n 项和突破点一 等差数列的基本运算[基本知识]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝n a 1＋a n 2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、填空题1．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________． 答案：32．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为________． 答案：143．已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－8，则该数列的公差是________． 答案：44．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，S 100＝10 000，则S n ＝________. 答案：n 2[典例感悟]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋da 1＋2d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n －4＋3n －72＝n 3n －112.[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{a n }中，a 1与d 是最基本的两个量，一般可设出a 1和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 和前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ，在两个公式中共涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．[针对训练]1．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( )A ．10B ．30C ．40D ．20解析：选B 法一：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差为d 的等差数列，∵a 3＝2，a 9＝12，∴6d ＝a 99－a 33＝129－23＝23，∴d ＝19，a 1515＝a 33＋12d ＝2.故a 15＝30.法二：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.2．(2018·信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．( )A.53 B ．32 C.43D ．54解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.3．(2018·菏泽二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足a 1＋a 2＝10，S 5＝40.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.突破点二 等差数列的性质及应用[基本知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.(8)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (9)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n. [基本能力]1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：依题意，得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(a 2＋a 8)＋(a 4＋a 6)＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：742．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________． 答案：23．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________．答案：26[全析考法]考法一 等差数列的性质[例1] (1)(2019·武汉模拟)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1＝2a 3－3，则S 9＝( )A ．25B ．27C ．50D ．54(2)(2019·莆田九校联考)在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，a 1＝2a 3－3＝2a 1＋4d －3， ∴a 5＝a 1＋4d ＝3，S 9＝9a 5＝27.(2)因为a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2 019＝10. 由等差数列的性质可知，a 1 010＝a 1＋a 2 0192＝5，a 2＋a 2 018＝a 1＋a 2 019＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝10＋5＝15.故选B. [答案] (1)B (2)B [方法技巧]利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m ，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n a 1＋a n 2＝n a 2＋a n －12(n ，m ∈N *)等． [提醒] 一般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是a m －n＋a m ＋n ＝2a m .考法二 等差数列前n 项和最值问题等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[例2] (2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． [解] (1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)法一：(二次函数法)由(1)得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 法二：(通项变号法) 由(1)知a n ＝2n －9，则S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－8n .由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －9≤0，2n －7≥0，∴72≤n ≤92， 又n ∈N *，∴n ＝4，此时S n 的最小值为S 4＝－16. [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)二次函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . [集训冲关]1.[考法一]设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则S 153a 5等于( )A ．15B ．17C ．19D ．21解析：选A 因为S 9＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝3a 8，即3a 5＝a 8.又S 15＝a 1＋a 2＋…＋a 15＝15a 8，所以S 153a 5＝15a 8a 8＝15.2.[考法一]在项数为2n ＋1的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B ∵等差数列有2n ＋1项，∴S 奇＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝n a 2＋a 2n2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 偶S 奇＝n n ＋1＝150165＝1011，∴n ＝10. 3.[考法二]等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，请问：数列前多少项和最大？解：法一：∵a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值． 法二：∵a 1＝25，S 17＝S 9， ∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. 从而S n ＝25n ＋n n －12(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169. 故前13项之和最大．突破点三 等差数列的判定与证明[典例] (2019·济南一中检测)各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1a n ＋a n ＋22＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)证明：依题意，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2＋1a n＝2a n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3＝2a 8＝15，所以1a 3＝5，1a 8＝10，所以1a 8－1a 3＝5＝5d ，即d ＝1，所以1a n ＝1a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2，故a n ＝1n ＋2.(2)由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝12·1n ＋2n ＋3＝12( 1n ＋2－1n ＋3 )，故S n ＝12( 13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3)＝n6n ＋3. [方法技巧]等差数列的判定与证明方法 方法 解读适合题型定义法 对于数列{a n }，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题定中的判问题前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列[提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[针对训练](2019·沈阳模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－6，∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n n －12d ＝7n －3n 2.(2)由(1)知S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6，2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4， 若存在正整数n 使得S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列， 则－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5， ∴存在n ＝5，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列．。
小学数学等差数列进阶课件(四年级)奥数
知识链接 杯赛常见挂法——公式逆用
知识链接
基本公式要熟练： 末项＝首项＋(项数－1)×公差 项数＝(末项－首项)÷公差＋ 1 和＝(首项＋末项)×项数÷2 特殊公式要记牢 1+2+3+…+（n－）+n+(n-1）＋…＋3＋2＋1＝n×n＝n2 1＋3
＋5＋…＋(2n－1)＝n2
新数列、新方法 差等差数列——转化为等差数列 双重数列——分开计算 公式逆用——会估算 重点例题：例1、例2、例3
=13×13+（3+36）×12÷2 =169+234 =403
知识链接 双重数例——分开计算
例题（五）（★ ★ ★ ★ ）
数例：1,2,4，7，11,16…的第500个数是多少？
1=1 2=1+1 4=1+1+2 7=1+1+2+3 11=1+1+2+3+4 …
第500个数是：1+（1+2+3+…499）
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学而思四年级奥数等差数列进阶PPT
第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4 第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。。。。 第n个数：1+1+2+3+4+5+…+(n-1)
第101个数为：1+1+2+3+4+5+。。。++（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6
作业为课后练习1,2,3,4 5，6 加油！
谢谢 再见
101=20402
练习：8个连续自然数的和是164，其中最 小的数是多少？
求和速算
例1.计算： 1+3+5+7+9= 1+3+5+7+9+11= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+......+99+100= 练习1：2+4+6+8+10+12+......+98+100= 练习2：99+97+95+93+91+......+3+1= 拓展练习1：5+10+15+20+......95+100=
数列：第2讲等差数列
等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示，即 ＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或 ＝d (n ∈N ＋)．2．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________．3．等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝ .①{a n }成等差数列⇔ a n ＝pn ＋q ，其中p ＝ ，q ＝ ，点(n ，a n )是直线 上一群孤立的点．②单调性：d ＞0时，{a n }为 数列；d ＜0时，{a n }为 数列；d ＝0时，{a n }为 ．4．等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .其推导方法是 ．(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧+1n n a ，a 时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧+ 1n n a ，a 时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．5．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．6．等差数列的性质(1)a m －a n ＝ d ，即d ＝a m －a n m －n . (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋ ；若2m ＝p ＋q ，则有 a m＝a p＋a q(p，q，m，n∈N*)．(3)若{a n}，{b n}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pa n}，{a n＋q}，{a n±b n}也为数列，且公差分别为，，.(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n，a n＋m，a n＋2m，…为等差数列，公差为md.(5)等差数列的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.(6)若等差数列的项数为2n，则有S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝a na n＋1.(7){a n}为等差数列，S n为前n项和，则S2n－1＝(2n－1)a n；{b n}为等差数列，S′n为前n项和，则S′2n－1＝(2n－1)b n，a nb n＝S2n－1S′2n－1.(8)等差数列{a n}前m项与后m项的和等于m(a1＋a n)．练习题1等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()A．1 B．2 C．3 D．42已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则其前10项的和为() A．100 B．210 C．380 D．4003等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S3＝()A．－1 B．－13 C.13D．14在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.5已知递增的等差数列{}a n满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝________.6.在等差数列{a n}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a n；(2)已知a6＝10，S5＝5，求S n；7.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝100，则S 11＝________；8.设数列{}a n ，{}b n 都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________；9.若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )A ．8B ．12C ．16D ．2411.含2n ＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和(非零)之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于( )A ．－65B ．－35C ．65D ．3513．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．2314．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( )A.94B.32C.53 D ．415．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．616．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.17．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)当n 为何值时，S n 取得最大值；(2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值．18 已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项a n；(2)若数列{b n}满足b n＝S nn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下求数列{|101－b n|}的前n项和T n.等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示，即 ＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或 ＝d (n ∈N ＋)．2．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________．3．等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝ .①{a n }成等差数列⇔ a n ＝pn ＋q ，其中p ＝ ，q ＝ ，点(n ，a n )是直线 上一群孤立的点．②单调性：d ＞0时，{a n }为 数列；d ＜0时，{a n }为 数列；d ＝0时，{a n }为 ．4．等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .其推导方法是 ．(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧+ 1n n a ，a 时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧+1n n a ，a 时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．5．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．6．等差数列的性质(1)a m －a n ＝ d ，即d ＝a m －a n m －n . (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋ ；若2m ＝p ＋q ，则有 a m ＝a p ＋a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(3)若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n ＋q }，{a n ±b n }也为 数列，且公差分别为 ， ， .(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md .(5)等差数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…为等差数列，公差为n 2d .(6)若等差数列的项数为2n ，则有S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. (7){a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；{b n }为等差数列，S ′n 为前n 项和，则S ′2n －1＝(2n －1)b n ，a n b n ＝S 2n －1S ′2n －1. (8)等差数列{a n }前m 项与后m 项的和等于m (a 1＋a n )．【答案】1．差 常数 公差 a n －a n －1 a n ＋1－a n2．等差中项3．a 1＋(n －1)d ①d a 1－d y ＝dx ＋(a 1－d )②单调递增 单调递减 常数列4．(1)n （a 1＋a n ）2 na 1＋n （n －1）d 2倒序相加法 (2)≥0 ≤0 ≤0 ≥06．(1)(m －n ) (2)a n 2(3)等差 pd 1 d 1 d 1±d 21 等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5.又a 4＝7，∴d ＝a 4－a 3＝2.故选B .2 已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则其前10项的和为( )A ．100B ．210C ．380D ．400解：在等差数列{a n }中，∵a 2＝7，a 4＝15，∴d ＝a 4－a 22＝4，a 1＝a 2－d ＝3，∴S 10＝10×3＋10×92×4＝210.故选B .3 等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 3＝( )A ．－1B ．－13 C.13 D ．14 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解：因为a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝37，所以a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝74，故填74.5 已知递增的等差数列{}a n 满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.解：∵{}a n 是等差数列，a 1＝1，a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝()1＋d 2－4得d 2＝4，又{}a n 是递增数列，∴d ＞0.∴d ＝2，a n ＝2n －1.故填2n －1.6.在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝33，a 45＝153，求a n ；(2)已知a 6＝10，S 5＝5，求S n ；解：(1)解法一：设首项为a 1，公差为d ，依条件得⎩⎨⎧33＝a 1＋14d ，153＝a 1＋44d ， 解得⎩⎨⎧a 1＝－23，d ＝4.∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27.解法二：由d ＝a n －a m n －m ，得d ＝a 45－a 1545－15＝153－3330＝4， 由a n ＝a 15＋(n －15)d ，得a n ＝4n －27.(2)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解得a 1＝－5，d ＝3.∴S n ＝－5n ＋n （n －1）2·3＝32n 2－132n .7.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝100，则S 11＝________；7.解：(1)S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝1100.故填1100. 8.设数列{}a n ，{}b n 都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________；8.因为数列{}a n ，{}b n 都是等差数列，所以数列{}a n ＋b n 也是等差数列．故由等差中项的性质，得()a 5＋b 5＋()a 1＋b 1＝2()a 3＋b 3，即a 5＋b 5＋7＝2×21，解得a 5＋b 5＝35.故填35.9.若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；9.∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝36，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝124，a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝160，即a 1＋a n ＝40.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝20n ＝780，解得n ＝39.故填39.10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )A ．8B ．12C ．16D ．2410.解：在等差数列中，S 3＝3a 2＝6⇒a 2＝2.∴3d ＝a 5－a 2＝6⇒d ＝2.所以a 9＝a 5＋4d ＝16.故选C .11.含2n ＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和(非零)之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n11.解：∵S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n （a 2＋a 2n ）2，a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B .12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于() A ．－65 B ．－35 C ．65 D ．3512.解：由⎩⎨⎧a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －（6a 1＋15d ）＝27 得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9， 解得a 1＝35.故选D .13．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．2313.解：a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10（a 1＋10）2＝70，解得d ＝23.故选D .14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( ) A.94 B.32 C.53 D ．414.解：设S 2＝x ，则S 4＝4x ，因为S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，所以S 6－S 4＝5x ，即S 6＝9x ，所以S 6S 4＝9x 4x ＝94.故选A . 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．615.解法一：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，公差d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.又S m ＋1＝(m ＋1)a 1＋（m ＋1）m 2＝3，①，a m ＋1＝a 1＋m ＝3.将a 1＝3－m 代入①得m 2－5m ＝0，解得m ＝5或0(舍去)．解法二：设S n ＝an 2＋bn ，通过题意建立并解方程组获解．故选C .16．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.解：∵S 2＝a 3，∴a 1＋a 2＝a 3，又{a n }为等差数列．∴a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d .∴d ＝a 1＝12.∴a 2＝a 1＋d ＝1.S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝14n (n ＋1)．故填1；14n (n ＋1)． 17．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)当n 为何值时，S n 取得最大值；(2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值．18 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c ，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下求数列{|101－b n |}的前n 项和T n . 解：(1)由等差数列的性质得，a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，又公差大于零，即a 4＞a 3，所以a 3＝9，a 4＝13. 易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n ， 所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. 解法一：所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．。
小学四年级奥数竞赛班作业第2讲：等差数列进阶
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3
四．杯赛演练：
13.（希望杯）
(2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011) 2008 __________
14.（希望杯）小兰将连续偶数 2、4、6、8、10、12、14、16、…逐个相加，得结果 2012。
验算时发现漏加了一个数，那么，这个漏加的数是
4100 所以不能被 5 整除的数的和是：20100-4100=16000
8. 解析：此数列为双重数列，第 1 个为 1+4+7+…+43，项数为（43-1）÷3+1=15 ，
第 2 个为 3+6+9+…+45，项数为（45-3）÷3+1=15，
原式=（1+4+7+…+43）+（3+6+9+…+45）
7.在1 ~ 200 这二百个自然数中，所有不能被 5 整除的数的和是（
）
8.计算：1＋3＋4+6+7+9+…＋43+45=(
)。
9. 6 和 26 之间插入三个数，使它们每相邻两个数的差相同，这三个数的和是（
）。
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2
三．超常挑战：
10.王芳大学毕业找工作，他找了两家公司，都要求签工作五年合同，年薪开始都是一万元， 但两个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪 1000 元，乙公司答应每半年加薪 300 元。 以五年计算，王芳应聘#43;6+8+…+90=2070，多了 58
15. 解析：第 n 个雕塑由 3n 块巧克力构成， 故由 2013 块巧克力构成的是第 2013÷3=671 个雕塑。
北师大版高中数学必修《等差数列》PPT模版教学2
若数列an已知首项 a1 且满足 an－an－1＝d(n∈ N*，n≥2，d 为常数)或 an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常 数)，则数列an为等差数列．
可见，等差数列的意义用符号语言表示， 即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数 列的递推公式．
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版 教学2
你知道吗？
例如：判断下列数列是否为等差数列，如果不
是，请说明理由．
(1)
1,
1 3
,
1 3
,
1,
5 3
;
(2)1, 2, 3, 4, 5;
(3)6,6,6,6,6；
(4)0,1,3,5,7；
[点评] 等差数列的定义要求从第2项起，每项与其前一项 的差等于同一个常数，本题易把第(4)问中的数列判断成 是等差数列．
24
424
an 2 3n 1 an 3 2n 1
an an
1896 4n 1 1 1 n 1
24
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an 2 3n 1 an 3 2n 1
an an
1896 4n 1 1 1 n 1
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版下表所示：
年份
第1年年底 第2年年底 第3年年底 第4年年底
绿化覆盖率
22.2
23.8
25.4
27.0
（单位：%）
如果以后几年继续依此速度发展绿化，那么到第几年
年年底该区绿化覆盖率可超过35.0%？
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第二讲：等差数列及其前n项和
第二讲：等差数列及其前n 项和知识体系：一、等差数列1、等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
定义的表达式为1,n n a a d d +-=为常数。
2、等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
3、等差数列的通项公式及其变形： 通项公式：，其中1a 是首项，d 是公差。
通项公式的变形：(),n m a a n m d n m =+-≠注意：等差数列通项公式的应用：（1）由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可知： ① 已知等差数列的首项和公差，可以求得这个数列的任何一项； ② 已知1,,,n a d n a ,这四个量中的任意三个，可以求得另一个量；（2）由等差数列通项公式变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项。
4、等差数列和一次函数的关系由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-可得1()n a dn a d =+-，如果设1,p d q a d ==-那么n a pn q =+，其中p ，q 是常数。
当p ≠0时，（n ，a ）在一次函数y=px+q 的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。
当p=0时，n a q =，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x 轴的直线（或x 轴）上的均匀排开的一群孤立的点。
等差数列的单调性：当d ＞0时，数列{}n a 为递增数列；当d ＜0时，数列{}n a 为递减数列；当d =0时，数列{}n a 为常数列； 二、等差数列的前n 和：1、等差数列的前n 项和：等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+； 等差数列前n 项和公式与函数的关系：由1(1)2n n n S na d -=+可得21()22n d dS n a n =+-，设1,22d da b a ==-，则有2n S an bn =+。
学而思四年级奥数等差数列进阶(课堂PPT)
先来后到
题型1：找规律
(1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( ) (2) 0 , 5 ,10 ,15 ,20 ,( ), ( ). (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( ), ( ).
题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （ห้องสมุดไป่ตู้）写出该数列的后5项。
方法2：补项：补上2+5+8+…+38使原式成为一个 连续的自然数列，分别求和得260，820，所以原 式=820-260=560
方法3：合并，将原数列中从3，4开始，每两个连 续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个 新的数列1+7+13+…+79,求和得560
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练习5计算 2+3+7+8+12+13+17+18+…+32+33+ 37+38
练习1： 2,5,8,11,14......32,35. 练习2： 10,20,30,40......1100 练习3: 99,97,96,95......2,1
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等差数列我们要学些啥？
分为四种类型：（1） 先来后到 （2） 点兵点将 （3） 对号入座 （4） 求和速算
又一波精彩内容马上呈现。各位看官， 且听我一一讲来！
【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之 间差是定值。
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点兵点将，对号入座 【例题1】在数列5,9,13,17…145中，问 （1）这个数列中第20个数是多少？ （2）85是这个数列的第几个数？ （3）这个数列一共有几项？ （4）将数列中所的数加起来，和是多少？ 解1）根据通项公式知：a20=5+（20-1）×4=81 （2）根据项数公式可知n=(85-5) ÷ 4+1=21 (3)根据项数公式可知n=(145-5) ÷ 4+1=36 (4)根据求和公式知：和=(5+145) ×36 ÷2=2700
学而思四年级奥数等差数列进阶PPT
第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4 第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。。。。 第n个数：1+1+2+3+4+5+…+(n-1)
第101个数为：1+1+2+3+4+5+。。。++（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6
【技巧总结】 求公差，计算两项之间有几个公差！ 公式应用：通项公式： 第n项=首项+（项数n-1）×公差
项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1
练习1：一个等差数列是6、13、20、
27、…678 (1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？（3）这个数列共有几 项
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209 (2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89 （3）项数=（末项-首项）÷公差+1 =（678-6）÷7+1=672÷7+1=96+1=97
技巧总结：先求数列项数 =（末项-首项）÷公差+1 再代入求和公式：（首项+末项）×项数÷2
第2讲 等差数列
知识归纳一、等差数列的概念1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列．2．等差中项：如果三数a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，即A ＝a ＋b2.二、等差数列的通项公式等差数列{a n }的通项a n ＝a 1＋(n －1) d ＝a m ＋(n －m )d.推导方法：累加法a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. 三、等差数列的前n 项和公式 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d. 推导方法：倒序相加法． 四、用函数观点认识等差数列 1．a n ＝nd ＋(a 1－d)(一次函数)．2．S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n(常数项为零的二次函数)．五、等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列，证明一个数列为等差数列，一般用定义法；(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)通项公式法：a n ＝kn ＋b(k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (5){a n }是等差数列⇔{S nn }是等差数列．六、等差数列的性质 1．下标和与项的和的关系在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋a n ；若2m ＝p ＋q ，则有 a p ＋a q ＝2a m ，(p ，q ，m ，n ∈N *)． 2．任意两项的关系在等差数列{a n }中，m 、n ∈N *，则a m －a n ＝(m －n)d 或a m ＝a n ＋(m －n)d 或a m －a nm －n＝d. 3．在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md.等差数列的依次n 项和也构成一个等差数列，即S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，……第2讲 等差数列为等差数列，公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列，下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列．4．设等差数列{a n}的公差为d，那么(1)d>0⇔{a n}是递增数列，S n有最小值；d<0⇔{a n}是递减数列，S n有最大值；d＝0⇔{a n}是常数数列．(2)数列{λa n＋b}仍为等差数列，公差为λd.(3)若{b n}，{a n}都是等差数列，则{a n±b n}仍为等差数列．(4)项数为n的等差数列中，n为奇数时，S奇－S偶＝a n+12，S奇S偶＝n＋1n－1.S n＝na中＝na n+12.n为偶数时，S偶－S奇＝n2d.(5)若{a n}与{b n}为等差数列，且前n项和分别为S n与S′n，则a mb m＝S2m－1S′2m－1.误区警示1．用a n＝S n－S n－1求a n得到a n＝pn＋q时，只有检验了a1是否满足a n，才能确定其是否为等差数列，前n项和是不含常数项．．．．．的n的二次函数时，{a n}才是等差数列．2．在讨论等差数列{a n}的前n项和S n的最值时，不要忽视n是整数的条件及含0项的情形．3．如果p＋q＝2r(p、q、r∈N*)，则a p＋a q＝2a r，而不是a p＋a q＝a2r.方法技巧一、函数思想等差数列的通项是n的一次函数，前n项和是n的二次函数，故有关等差数列的前n项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．[例1]已知数列{a n}为等差数列，且a3＝5，a5＝11，则a n＝__________.二、等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.[例2]有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16，第二个与第三个数的和为12，求这四个数．典例讲练等差数列的通项已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{ab n }是( ) A ．等差数列且公差为5 B ．等差数列且公差为6 C ．等差数列且公差为8 D ．等差数列且公差为9①在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18②已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n }是等差数列，则a 11等于( )A.0B.16C.13D.12等差数列的前n 项和①等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66②设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S nn }的前n项和，求T n .①已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A. 12B ．1C ．2D ．3②已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d<0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5>S 6 B ．S 5<S 6 C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6等差数列性质的应用已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m>1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，S 2m －1＝39，则m 为( ) A ．10 B ．19 C ．20D ．39①等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 12＝30，则S 13的值是( ) A ．130 B ．65 C ．70D ．75②在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＋a 9＝π4，则tan(a 4＋a 6)等于( )A. 3 B ．－1 C ．1D.33有关等差数列的最值问题等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列前多少项的和最小？①若数列{a n }(n ∈N *)的首项为14，前n 项的和为S n ，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y －2＝0上，那么下列说法正确的是( )A ．当且仅当n ＝1时，S n 最小B ．当且仅当n ＝8时，S n 最大C ．当且仅当n ＝7或8时，S n 最大D ．S n 有最小值，无最大值②已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21综合应用设{a n }是一个公差为d(d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 1、a 2、a 4成等比数列．(1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．①数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11②设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝ k ＝1nb k ，证明：S n <1.课堂巩固1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．452．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．53．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝9，S 3＝15，则数列{a n }的通项a n ＝( ) A ．2n －3 B ．2n －1 C ．2n ＋1 D ．2n ＋34．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5.设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.136.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．187.已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ．10 B ．16 C ．20D ．248.已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6D ．49.设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( ) A ．22 B ．21 C ．20D ．1910.已知方程(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|＝A.1B.34C.12D.3811.已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m)y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( ) A.921 B.1021 C.1121D.202112.设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.13.已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：记A(m ，n)表示第m 行的第n 个数，则A(21,12)＝________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …14.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .15.已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( ) A ．－2或－3 B ．2或3 C ．－2 D ．316.已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P(1，a n )，点Q(2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．117.数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.18.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且 b n －1＋b n ＋1＝2b n (n≥2)． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝b na n ，求数列{c n }的前n 项和T n .19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.18B.13C.19D.31020．将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组{14,16,18,20,22,24}，则2010位于第( )组． A ．30 B ．31 C ．32D ．3321．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1033B ．2057C ．1034D ．205822．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i<4?B ．i<5?C ．i≥5?D ．i<6?23．已知函数f(x)＝sinx ＋tanx.项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d≠0.若f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 27)＝0，则当k ＝______时，f(a k )＝0.24．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．25．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．1.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22D ．442．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( )A ．64B ．72C ．54D ．以上都不对 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．94．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为 A ．3 B ．－1 C ．2 D ．3或－15．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( ) A ．16 B ．11 C ．－11 D ．±116．在函数y ＝f(x)的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝2x ＋1B ．f(x)＝4x 2C ．f(x)＝log 3xD ．f(x)＝⎝⎛⎭⎫34x7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b 2的值为________．8．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 9．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …………2826那么10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f(x)＝3x 2－2x 的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的第n 项和T n .11.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 212．设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是( )A.S 15a 15B.S 9a 9C.S 8a 8D.S 1a 113．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A.1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升14．若数列{x n }满足x n －x n －1＝d ，(n ∈N *，n≥2)，其中d 为常数，x 1＋x 2＋…＋x 20＝80，则x 5＋x 16＝________.15．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .。
2 第2讲 等差数列及其前n项和
24
解：(1)设等差数列{an}的公差为 d， 由 S4＝4S2 得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得 d＝2a1， 又 a1＝1，所以 d＝2， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)． (2)am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180 可化为 10am＋45d＝20m＋80＝180. 解得 m＝5.
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第七章 数 列
9
常见误区 1．当公差 d≠0 时，等差数列的通项公式是 n 的一次函数；当公差 d＝0 时， an 为常数． 2．注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”．
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第七章 数 列
10
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列
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第七章 数 列
21
1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a4＋S5
＝2，S7＝14，则 a10＝( )
A．18
B．16
√C．14
D．12
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第七章 数 列
22
解析：设{an}的公差为 d，由a71a＋1＋3d7＋ ×2 56ad1＝＋154×2 4d＝2，可得6aa1＋1＋31d3＝d＝2，2，解 得ad1＝＝2－，4，所以 a10＝－4＋9×2＝14，选 C.
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第七章 数 列
25
等差数列的判定与证明
已知数列{an}中，a1＝14，其前 n 项和为 Sn，且满足 an＝2S2nS－2n 1(n≥2)． (1)求证：数列S1n是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．
2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和讲义理(含解析)新人教A版
第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A.－3B.－52C.－2D.－4解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15， 解得d ＝－4. 答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析 在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0，∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5. 答案 S 5考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A.9B.10C.11D.15解析 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4. 法二 等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7， ∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log 318 D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2， 解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ， 由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)A (2)30考点二 等差数列的判定与证明 典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列. 【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式. 解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23.＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三 等差数列的性质及应用 多维探究角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， 由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45， 所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3， ∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质， ∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8. ∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A 考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？ 解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0， 因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2). 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2nλ. (2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2， 所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大.规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值. ①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110[思维升华]1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n 项和S n ＝An 2＋Bn 及通项a n ＝pn ＋q 来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. [易错防范]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100B.99C.98D.97解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1， 所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. 答案 C2.(2019·淄博调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S 9＝( )A.1B.－1C.2D.12 解析 由于S 11S 9＝11a 69a 5＝119×911＝1. 答案 A 3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A.10B.20C.30D.40解析 依题意，11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ， ∴{x n }是等差数列.又x 1＋x 2＋…＋x 20＝20（x 1＋x 20）2＝200. ∴x 1＋x 20＝20，从而x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.答案 B4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65. ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.4或5 解析 由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4， 即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112， 所以S n 取最大值时的n 为5.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 107.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析 将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，1a n ＋1－1a n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111. 答案 1118.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析 依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案 200三、解答题9.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解 设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k ， 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明 由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析 令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269. 答案 B12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( ) A.154B.158C.237D.3 解析 由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A13.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 13014.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝13，a 5＝9， ∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3） ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.新高考创新预测15.(多填题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝________，公差d ＝________.解析 由{a n }为等差数列，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S 55－S 44＝2，∴d 2＝2⇒d ＝4，又S 2＝S 6⇒2a 1＋4＝6a 1＋6×52×4⇒a 1＝－14. 答案 －14 4。
2024届高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件
(2)解：由已知有 a72＝a4·a9，设等差数列{an}的首项为 x，由(1) 知其公差为 1，
证明：由题意可知，数列{ Sn}的首项为 a1，设等差数列{ Sn} 的公差为 d，
则 d＝ S2－ S1＝ a1＋a2－ a1＝ a1， 所以 Sn＝ S1＋( S2－ S1)＋( S3－ S2)＋…＋( Sn－ Sn－1) ＝ a1＋(n－1) a1＝n a1， 即 Sn＝a1·n2，
所以 an＝aS1n，－nS＝ n－11＝，(2n－1)a1，n≥2， 当 n＝1 时，(2×1－1)a1＝a1， 所以 an＝(2n－1)a1， 所以 an＋1－an＝2a1，所以数列{an}是以 a1 为首项，2a1 为公差 的等差数列.
①当
a1>0，d<0
am≥0， 时，满足am＋1≤0
的项数 m 使得 Sn 取得最
大值为 Sm(当 am＋1＝0 时，Sm＋1 也为最大值)；
a8＋a10＝80，则 a7－12a8＝(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80， ∴a6＝16，又 a6＋a8＝2a7，∴a7＝21a6＋12a8，即 a7－12a8＝
12a6＝8，故选 C. 答案：C
【题后反思】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列， 公差为2d.
尖子名师-2 等差数列进阶
【例2】(★★★) 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米。 板块二:中项定理的应用 已知去时用了4天，回来时用了3天。问：学校距离百花山多少千米？ 【例4】(★★★★) 已知一个等差数列的前15项的和为450,前21项之和为819。请问：这个 数列的公差是多少？首项是多少？
3 求和公式： 3. (1) 和＝(首项＋末项)×项数÷2 (2) 和＝中间相×项数 和 中间相×项数 4. 考点：首尾配对思想
【例1】(★★) 在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。写出插入的5 个数。 19 91
【例3】(★★★) 把248表示成8个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少？
2
?
……
……
?
【超常大挑战】 (★★★★) 有37个人排成一行一次报数，第一个人报1，以后每人报的数都是把前 一个人报的数加3.报数的过程中有一个人报错了，把前一个人报的数 减3报了出来，最后这37个人报的数加起来恰好等于2011.那么是第____ 个报数的人报错了。 个报数的人报错了
1. 基本定义 1 基本定义、公式 公式 2. 两大求和公式 (1) 和＝(首项＋末项)×项数÷2 和 (首项＋末项)×项数÷2 (2) 和＝中间相×项数 3. 考点： 考点 (1) am到an之间有(m－n)个公差 (2) 中间项＝和÷项数
第1项 第2项 第15项 第21项
?
……
……
?
1
【拓展】(★★★★) 已知一个等差数列的前15项的和为450, 前20项之和为750。请问：这个 数列的公差是多少？首项是多少？
第1项 第2项 第15项 第20项
【例5】(★★★★) 在一次考试中, 第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列, 总分 是609. 小桐桐发现自己的分数算少了, 找老师更正以后, 加了21分. 这时 他们的成绩还是一个等差数列.请问:小桐桐正确的分数是多少?
第2节 等差数列--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第二节等差数列课标解读考向预测1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.预计2025年高考将会从以下两个角度来考查：(1)等差数列及其前n 项和的基本运算与性质；(2)等差数列的综合应用，可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查，难度中档.必备知识——强基础1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第012项起，每一项与它的前一项的差都等于02同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母03d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2，n ∈N *)．(2)等差中项：若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有2A ＝04a ＋b ．提醒：在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{a n }成等差数列⇔a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝05a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝06na 1＋n （n －1）2d ．3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋07(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，则①等间距抽取a p ，a p ＋t ，a p ＋2t ，…，a p ＋(n －1)t ，…为等差数列，公差为td ；②等长度截取S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等差数列，公差为m 2d ；③算术平均值S 11，S 22，S 33，…为等差数列，公差为d2.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }(其中p ，q 为常数)也是等差数列．1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．若{a n }与{b n }为等差数列，且前n 项和分别为S n 与T n ，则a m b m ＝S 2m －1T 2m －1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的前n 项和S n 是项数为n 的二次函数．()(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(3)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n （a m ＋a n ＋1－m ）2.()(4)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 与a n 不可能相等．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)(2023·福建福州质检)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝()A ．10B ．20C ．25D ．30答案C解析等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.故选C.(2)(北师大版选择性必修第二册2.2练习3(2)改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a6＝2且S5＝30，则S8＝() A．31B．32 C．33D．34答案B解析解法一：由S5＝5a3＝30，得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝8（a1＋a8）2＝8（a3＋a6）2＝8×（6＋2）2＝32.故选B.解法二：设等差数列{a n}的公差为d，1＋5d＝2，a1＋5×42d＝30，1＝263，＝－43，∴S8＝8a1＋8×72d＝8×263－28×43＝32.故选B.(3)(2022·全国乙卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．答案2解析由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.(4)(人教A选择性必修第二册4.2.2例8改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．答案820解析设第n排的座位数为a n(n∈N*)，数列{a n}为等差数列，其公差d＝2，则a n＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20（a1＋a20）2＝20×（22＋60）2＝820.(5)已知数列{a n}为等差数列，a2＋a8＝8，则a1＋a5＋a9＝________．答案12解析a1＋a9＝a2＋a8＝2a5＝8，则a5＝4，所以a1＋a5＋a9＝3a5＝12.考点探究——提素养考点一等差数列基本量的运算例1(1)已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a1＝1，a3＝5，S n＝64，则n＝() A．6B．7C．8D．9答案C解析公差d＝a3－a12＝5－12＝2，又S n＝64，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n＋n(n－1)＝n2＝64，解得n＝8(负值舍去)．故选C.(2)(2024·皖南八校开学考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＋a5＝－10，S6＝－42，则S10＝()A．6B．10C．12D．20答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，因为a3＋a5＝2a1＋6d＝－10，S6＝6a1＋15d＝－42，解得a1＝－17，d＝4，所以S10＝10a1＋45d＝－170＋45×4＝10.故选B.(3)已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7＝()A．13B．14C．15D．16答案C解析设等差数列{a n}的公差为d，因为S4＝24，S9＝99，所以a1＋4×32d＝24，a1＋9×82d＝99，即a1＋3d＝12，1＋4d＝11，1＝3，＝2，所以a7＝a1＋6d＝3＋12＝15.故选C.【通性通法】等差数列基本量运算的思想方法方程思想等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可通过方程组达到“知三求二”整体思想当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解等价转化思想运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程【巩固迁移】1．(2023·陕西部分名校高三下仿真模拟)在等差数列{a n}中，a3＋a7＝a8＝16，则{a n}的公差d ＝()A．83B．3C ．103D ．4答案A解析因为a 3＋a 7＝a 8＝2a 5＝16，所以a 8－a 5＝3d ＝8，则d ＝83.故选A.2．(2023·湖南名校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 7－a 11＝4，则S 5＝()A ．15B ．20C ．25D ．30答案B解析设等差数列{a n }的公差为d ，则2(a 1＋6d )－(a 1＋10d )＝a 1＋2d ＝4，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5×4＝20.故选B.考点二等差数列的性质及其应用(多考向探究)考向1等差数列项的性质例2(1)(2024·九省联考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＋a 7＝6，a 12＝17，则S 16＝()A ．120B ．140C ．160D ．180答案C解析因为a 3＋a 7＝2a 5＝6，所以a 5＝3，所以a 5＋a 12＝3＋17＝20，所以S 16＝（a 1＋a 16）×162＝8(a 5＋a 12)＝160.故选C.(2)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 9＝3(a 3＋a 5＋a m )，则m ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6答案C解析因为S 9＝9a 5，所以9a 5＝3(a 3＋a 5＋a m )，所以a 3＋a 5＋a m ＝3a 5，即a 3＋a m ＝2a 5，所以m ＝7.故选C.【通性通法】等差数列项的性质的关注点关注点一项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n＝a p ＋a q关注点二等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质关注点三项的性质常与等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2相结合【巩固迁移】3．(2024·河南杞县模拟)已知项数为n 的等差数列{a n }的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n ＝()A ．48B ．36C ．30D ．26答案B解析由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝10，a n ＋a n －1＋…＋a n －5＝110，两式相加得6(a 1＋a n )＝120，所以a 1＋a n ＝20，又n （a 1＋a n ）2＝360，所以n ＝36.故选B.4．(多选)(2023·山东淄博调研)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各项为定值的是()A ．a 7B ．a 8C ．S 13D ．S 15答案AC解析由题意知a 2＋a 8＋a 11＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＋a 1＋10d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7是定值，∴S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7，是定值．故选AC.考向2等差数列前n 项和的性质例3(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15＝()A ．35B ．42C ．49D ．63答案B解析解法一：由题意知，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，∴S 15－21＋7＝28，∴S 15＝42.故选B.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2S 1010＝S 55＋S1515，∴S 15＝42.故选B.(2)已知等差数列{a n }的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A ．28B ．29C ．30D ．31答案B解析设等差数列{a n }共有2n ＋1项，则S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，该数列的中间项为a n ＋1，又S 奇－S 偶＝a 1＋(a 3－a 2)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2n ＋1－a 2n )＝a 1＋d ＋d ＋…＋d ＝a 1＋nd ＝a n ＋1，所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝319－290＝29.【通性通法】熟练掌握等差数列前n 项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合理运用．【巩固迁移】5．(2024·安徽蚌埠二中阶段考试)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2018，S20202020－S 20142014＝6，则S 2023＝________．答案8092解析，设其公差为d ，则S 20202020－S 20142014＝6d ＝6，所以d ＝1，所以S 20232023＝S 11＋2022d ＝－2018＋2022＝4，所以S 2023＝8092.6．(2023·广东湛江模拟)有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n .若a n b n ＝2n －13n ＋1，则S 11T 11＝________；若S n T n ＝2n －13n ＋1，则a 5b 4＝________．答案11191722解析若a n b n ＝2n －13n ＋1，则S 11T 11＝11a 611b 6＝2×6－13×6＋1＝1119.若S n T n ＝2n －13n ＋1＝2n 2－n 3n 2＋n，则可设S n ＝(2n 2－n )k ，T n ＝(3n 2＋n )k ，所以a 5＝S 5－S 4＝45k －28k ＝17k ，b 4＝T 4－T 3＝52k －30k ＝22k ，所以a 5b 4＝1722.考向3等差数列前n 项和的最值问题例4在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15.求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．解解法一(函数法)：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53，S n ＝20n ＋n （n －1）2·＝－56n 2＋1256n ＋312524.因为n ∈N *，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.解法二(邻项变号法——利用单调性)：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53，a n ＝20＋(n －＝－53n ＋653.因为a 1＝20>0，d ＝－53<0，所以数列{a n }是递减数列．由a n ＝－53n ＋653≤0，得n ≥13，即a 13＝0.当n ≤12时，a n ＞0；当n ≥14时，a n ＜0.所以当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×130.解法三：(邻项变号法——利用性质)：由S 10＝S 15得S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，所以5a 13＝0，即a 13＝0.又d ＝a 13－a 113－1＝－53，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×130.【通性通法】求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法【巩固迁移】7．(多选)(2023·济宁模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和是S n ，已知S 14>0，S 15<0，则下列说法正确的是()A ．a 1>0，d <0B ．a 7＋a 8>0C ．S 6与S 7均为S n 的最大值D ．a 8<0答案ABD解析因为S 14>0，S 15<0，所以S 14＝14×（a 1＋a 14）2＝7(a 1＋a 14)＝7(a 7＋a 8)>0，即a 7＋a 8>0，因为S 15＝15×（a 1＋a 15）2＝15a 8<0，所以a 8<0，所以a 7>0，所以等差数列{a n }的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a 1>0，d <0，S 7为S n 的最大值．故选ABD.8．(2024·陕西省洛南中学高三月考)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 2＝35，a 2＋a 3＋a 4＝39，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．答案7解析解法一：设数列{a n }的公差为d ，a 1＋d ＝35，2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3（a 1＋2d ）＝39，解1＝19，＝－3，则S n ＝19n ＋n （n －1）2×(－3)＝－32n 2＋412n ＋168124.又n ∈N *，∴当n ＝7时，S n 取得最大值．解法二：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝39，∴a 3＝13，∴2a 3－S 2＝(a 3－a 2)＋(a 3－a 1)＝3d ＝－9，解得d ＝－3，则a n ＝a 3＋(n －3)d ＝22－3n ，－3n ≥0，－3（n ＋1）≤0，解得193≤n ≤223，又n ∈N *，∴n ＝7，即数列{a n }的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当S n 取得最大值时，n ＝7.考点三等差数列的判定与证明例5(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解选择条件①③⇒②.已知数列{a n}是等差数列，a2＝3a1，设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，所以d＝2a1.因为S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1，所以S n＝n a1(a1>0)，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)．所以数列{S n}是等差数列．选择条件①②⇒③.已知数列{a n}是等差数列，数列{S n}是等差数列，设数列{a n}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，因为数列{S n}是等差数列，所以S1＋S3＝2S2，即a1＋3a1＋3d＝22a1＋d，化简整理得d＝2a1.所以a2＝a1＋d＝3a1.选择条件②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，设数列{S n}的公差为d，所以S2－S1＝d，即4a1－a1＝d.所以a1＝d2，S n＝S1＋(n－1)d＝nd，所以S n＝n2d2.所以a n＝S n－S n－1＝2d2n－d2(n≥2)．又a1＝d2也适合该通项公式，所以a n＝2d2n－d2(n∈N*)．a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列．【通性通法】等差数列的判定与证明的常用方法判定方法定义法对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1通项公式法对任意n∈N*，都满足a n＝pn＋q(p，q为常数)前n项和公式法对任意n∈N*，都满足S n＝An2＋Bn(A，B为常数)证明方法定义法对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1【巩固迁移】9．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)设{a n}的公差为d.∵{a n}为等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13.1＋d＝5，1＋3d＝13，1＝1，＝4，∴a n＝4n－3.(2)由(1)知，S n＝n＋n（n－1）2×4＝2n2－n，假设存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列．由S1＋k＋S3＋3k＝2S2＋2k，得1＋k＋15＋3k＝26＋2k，解得k＝1.∴S n＋kn＝2n2＝2n，当n≥2时，2n－2(n－1)＝2，为常数，∴数列{S n＋kn}为等差数列．故存在常数k＝1，使得数列{S n＋kn}为等差数列．课时作业一、单项选择题1．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为()A ．7B ．5C ．3D ．1答案D解析∵{a n }，{b n }为等差数列，∴{2a n －3b n }为等差数列，设其公差为d ，则d ＝2a n ＋1－3b n＋1－2a n ＋3b n ＝2(a n ＋1－a n )－3(b n ＋1－b n )＝2d 1－3d 2＝1.故选D.2．(2024·辽宁六校期初考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝20，则S 15＝()A ．150B ．120C ．75D ．60答案D解析由等差数列的性质可知a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝5a 8＝20，所以a 8＝4，S 15＝15（a 1＋a 15）2＝2a 8×152＝15a 8＝60.故选D.3．(2023·陕西宝鸡模拟)已知首项为2的等差数列{a n }的前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，则a n ＝()A ．3n －2B ．3n －1C ．3n ＋1D ．3n ＋2答案B解析由题意，n ∈N *，在等差数列{a n }中，首项a 1＝2，设公差为d ，前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，∴－a 1＋a 2＋…－a 29＋a 30＝15d ＝45，解得d ＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)，即a n ＝3n －1(n ∈N *)．故选B.4．(2023·重庆一诊)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S8S 16＝()A ．18B ．19C ．13D ．310答案D解析解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题设，S 4S 8＝4a 1＋6d 8a 1＋28d ＝13，可得a 1＝52d ，所以S8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝310.故选D.解法二：由题意知S 8＝3S 4，又S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，且S 8－S 4＝2S 4，故S 12－S 8＝3S 4，故S 12＝6S 4，S 16－S 12＝4S 4，得S 16＝10S 4，所以S 8S 16＝310.故选D.5．数列{a n }和{b n }是两个等差数列，其中ak b k (1≤k ≤5)为常值，若a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3＝()A ．64B ．128C ．256D ．512答案B解析由已知条件可得a 1b 1＝a 5b 5，则b 5＝a 5b 1a 1＝96×192288＝64，因此b 3＝b 1＋b 52＝192＋642＝128.故选B.6．(2024·漳州检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，记b n ＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2且b n ＋1－b n ＝2，则S 31＝()A ．171B ．278C ．351D ．395答案C解析由b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3－(a n ＋a n ＋1＋a n ＋2)＝a n ＋3－a n ＝2，得a 1，a 4，a 7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a 2，a 5，a 8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a 3，a 6，a 9，…是首项为3，公差为2的等差数列，所以S 31＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(a 2＋a 5＋…＋a 29)＋(a 3＋a 6＋…＋a 30)＝1×11＋11×10×22＋2×10＋10×9×22＋3×10＋10×9×22＝351.故选C.7．在等差数列{a n }中，a 1＝－9，a 5＝－1.记T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，则数列{T n }()A ．有最大项和最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项和最小项答案B解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－9，a 5＝－1，∴a 5＝－9＋4d ＝－1，则d ＝2.∴a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11.令a n ＝2n －11≤0，得n ≤5.5.∴当n ≤5时，a n <0；当n ≥6时，a n ≥1>0.∵T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，∴T 1＝－9，T 2＝63，T 3＝－315，T 4＝945，T 5＝－945.当n ≥6时，a n ≥1，∴T n <0，且T n ＋1<T n <0.∴数列{T n }有最大项T 4，无最小项．故选B.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，均有S 6≤S n 成立，则a 17a 9的最小值为()A ．2B ．52C ．3D ．113答案D解析由题意知，S 6是等差数列{a n }的前n 项和中的最小值，必有a 1<0，公差d >0，当a 6＝0时，有S 5＝S 6，S 5，S 6是等差数列{a n }的前n 项和中的最小值，此时a 6＝a 1＋5d ＝0，即a 1＝－5d ，则a 17a 9＝a 1＋16d a 1＋8d ＝11d 3d ＝113.当a 6<0，a 7≥0，此时a 6＝a 1＋5d <0，a 7＝a 1＋6d ≥0，即－6≤a 1d <－5，则a 17a 9＝a 1＋16d a 1＋8d ＝a 1d ＋16a 1d ＋8＝1＋8a 1d ＋8，又－6≤a 1d <－5，所以2≤a1d ＋8<3，即13<1a 1d ＋8≤12，则83<8a 1d ＋8≤4，所以113<1＋8a 1d ＋8≤5，所以a 17a 9的最小值为113.故选D.二、多项选择题9．(2024·湖南长郡中学月考)已知数列{a n }的通项公式a n3n ＋b ，1≤n ≤8，2n －3，n ≥9，b ∈Z ，则下列说法正确的是()A ．当{a n }递减时，b 的最小值为3B ．当{a n }递减时，b 的最小值为4C ．当b ＝20时，{a n }的前n 项和的最大值为57D ．当b{|a n |}为递增数列答案BCD解析a 8＝－3×8＋b ＞a 9＝－2×9－3⇒b ＞3，∵b ∈Z ，∴b 的最小值为4，∴A 错误，B 正确；当b ＝20时，数列{a n }的前6项为正，第7项开始往后为负，∴前6项和最大，S 6＝6×（17＋2）2＝57，∴C 正确；当n ≥9时，a n ＜0，|a n |＝2n ＋3，数列{|a n |}递增，当1≤n ≤8时，易知数列{a n }递减，当b，a 1＞0，a 2＜0，且数列{|a n |}1|<|a 2|，8|<|a 9|，∴数列{|a n |}递增，∴D 正确．故选BCD.10．(2023·河北邯郸模拟)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则下列说法正确的是()A ．若a 1＝a 5，则a 1＝a 2＝…＝a nB ．若a 5>a 3，则S 1<S 2<…<S nC．若a3＝2，则a21＋a25≥8D．若a4＝8，a8＝4，则S12＝66答案ACD解析设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝a5，所以a1＝a1＋4d，所以d＝0，则a1＝a2＝…＝a n，故A正确；因为a5>a3，所以a1＋4d>a1＋2d，所以d>0，{a n}为递增数列，但S1<S2<…<S n 不一定成立，如a1＝－2，a2＝－1，a3＝0，S1＝－2，S2＝－3，S3＝－3，故B不正确；因为a21＋a25≥＝2a23＝8，当且仅当a1＝a5＝2时取等号，故C正确；4＝a1＋3d＝8，8＝a1＋7d＝4，＝－1，1＝11，则a12＝a4＋8d＝8－8＝0，得S12＝a1＋a122×12＝66，故D正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·上海奉贤统考一模)已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝15，a4＝1，则a12＝________．答案14解析∵{a n}为等差数列，∴设首项为a1，公差为d，又a7＋a9＝15，a4＝1，a1＋14d＝15，1＋3d＝1 1＝－318，＝138，∴a12＝a1＋11d＝－318＋11×138＝14.12．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．答案3n2－2n解析数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…，数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n＝1＋6(n－1)＝6n－5.故其前n项和S n＝n（a1＋a n）2＝n（1＋6n－5）2＝3n2－2n.13．(2024·浙江余姚中学质检)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6>S7>S5，则满足S n S n＋1<0的正整数n的值为________．答案12解析由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝13（a1＋a13）2＝13a7<0，S12＝12（a1＋a12）2＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足S n S n＋1<0的正整数n的值为12.14．(2023·昆明诊断)已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝4，a n ＋2－a n ＝(－1)n ＋3，则数列{a n }的前10项和为________．答案90解析由题意，当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝－1＋3＝2，所以数列{a 2n －1}是首项为2，公差为2的等差数列，所以a 2n －1＝2＋2(n －1)＝2n ；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝1＋3＝4，所以数列{a 2n }是首项为4，公差为4的等差数列，所以a 2n ＝4＋4(n －1)＝4n .设数列{a n }的前10项和为S 10，则S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝(a 1＋a 3＋…＋a 9)＋(a 2＋a 4＋…＋a 10)＝5×（2＋10）2＋5×（4＋20）2＝90.四、解答题15．(2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S nn＋n ＝2a n ＋1.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．解(1)证明：因为2S nn＋n ＝2a n ＋1，即2S n ＋n 2＝2na n ＋n ，①当n ≥2时，2S n －1＋(n －1)2＝2(n －1)a n －1＋(n －1)，②①－②得，2S n ＋n 2－2S n －1－(n －1)2＝2na n ＋n －2(n －1)a n －1－(n －1)，即2a n ＋2n －1＝2na n －2(n －1)a n －1＋1，即2(n －1)a n －2(n －1)a n －1＝2(n －1)，所以a n －a n －1＝1，n ≥2且n ∈N *，所以{a n }是以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a 4＝a 1＋3，a 7＝a 1＋6，a 9＝a 1＋8，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 4a 9，即(a 1＋6)2＝(a 1＋3)(a 1＋8)，解得a 1＝－12，所以a n ＝n －13，所以S n ＝－12n ＋n （n －1）2＝12n 2－252n －6258，所以，当n ＝12或n ＝13时，(S n )min ＝－78.16．(2023·全国乙卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝11，S 10＝40.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解(1)设等差数列的公差为d ，2＝a 1＋d ＝11，10＝10a 1＋10×92d ＝40，1＋d ＝11，a 1＋9d ＝8，1＝13，＝－2，所以a n ＝13－2(n －1)＝15－2n .(2)因为S n ＝n （13＋15－2n ）2＝14n －n 2，令a n ＝15－2n >0，解得n <152，且n ∈N *，当n ≤7时，则a n >0，可得T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝14n －n 2；当n ≥8时，则a n <0，可得T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(a 8＋…＋a n )＝S 7－(S n －S 7)＝2S 7－S n ＝2×(14×7－72)－(14n －n 2)＝n 2－14n ＋98.综上所述，T n n －n 2，n ≤7，2－14n ＋98，n ≥8.17．(2023·江西九所重点中学高三下第二次联考)已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (4－x )，且函数f (x )在[2，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 2018)，则{a n }的前2023项和是()A ．8092B ．4046C ．2023D ．0答案B解析因为函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (4－x )，于是函数y ＝f (x )的图象关于直线x＝2对称，数列{a n }是公差不为0的等差数列，则数列{a n }是单调数列，又函数f (x )在[2，＋∞)上单调，由f (a 6)＝f (a 2018)得a 6＋a 2018＝4，所以{a n }的前2023项和是a 1＋a 20232×2023＝a 6＋a 20182×2023＝4046.故选B.18．(2023·海口诊断)在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6与a 8互为相反数，S n 为{|a n |}的前n 项和，T n ＝nS n ，则T n 的最小值是________．答案6解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 6＋a 8＝0，a 2＝－5，a 1＋12d ＝0，1＋d ＝－5，1＝－6，＝1，∴a n＝－6＋(n－1)×1＝n－7.由a n≥0得n≥7，由a n≤0得1≤n≤7，∴当1≤n≤7时，S n＝－(a1＋a2＋…＋a n)＝－n（－6＋n－7）2＝－n（n－13）2；当n≥8时，S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋a9＋…＋a n)＝2S7＋(a1＋a2＋…＋a n)＝42＋n（n－13）2，∴当1≤n≤7时，T n＝nS n＝－n2（n－13）2.对于函数y＝－x3－13x22，y′＝－3x2－26x2，当1≤x≤7时，y′＞0，∴y＝－x3－13x22在[1，7]上单调递增，∴当1≤n≤7时，T1＝6为最小值；当n≥8时，T n＝nS n＝42n＋n2（n－13）2，对于函数y＝42x＋x3－13x22，y′＝42＋3x2－26x2，当x≥8时，y′＞0，∴函数y＝42x＋x3－13x22在[8，＋∞)上单调递增，∴当n＝8时，T8＝176为最小值．综上所述，T n的最小值是6.19．(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{a n}的公差为d，且d>1.令b n＝n2＋na n，记S n，T n分别为数列{a n}，{b n}的前n项和．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{a n}的通项公式；(2)若{b n}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.解(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，又T3＝b1＋b2＋b3＝2d＋62d＋123d＝9d，∴S3＋T3＝6d＋9d＝21，即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝12(舍去)，∴a n＝a1＋(n－1)d＝3n.(2)∵{b n}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即12a2＝2a1＋12a3，∴＝6da2a3＝6d（a1＋d）（a1＋2d）＝1a1，即a21－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d，∵d>1，∴a n>0，又S99－T99＝99，由等差数列的性质知，99a 50－99b 50＝99，即a 50－b 50＝1，∴a 50－2550a 50＝1，即a 250－a 50－2550＝0，解得a 50＝51或a 50＝－50(舍去)．当a 1＝2d 时，a 50＝a 1＋49d ＝51d ＝51，解得d ＝1，与d >1矛盾，无解；当a 1＝d 时，a 50＝a 1＋49d ＝50d ＝51，解得d ＝5150.综上，d ＝5150.。
2.2.1等差数列第二课时课件(人教B版必修5)
课堂互动讲练
考点突破 等差数列性质的应用 例1 等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11 ＝36，求a5＋a8. 【分析】 解答本题既可以用等差数列的性 质，也可以用等差数列的通项公式．
【解】 法一：根据题意设此数列首项为a1， 公差为d，则： a1＋d＋a1＋2d＋a1＋9d＋a1＋10d＝36， ∴4a1＋22d＝36,2a1＋11d＝18， ∴a5＋a8＝2a1＋11d＝18. 法二：由等差数列性质得：
(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为_递__增__数列； d<0⇔{an}为_递__减__数列；d＝0⇔{an}为_常__数列.
(6)设{an}是公差为 d 的等差数列，那么 an＝am an－am
＋_(_n_－__m__)d_或 d＝__n_－__m__ (m，n∈N＋)． 本性质是通项公式的推广，通常适用于“已知 等差数列某一项(或某几项)，求数列中另一项” 这类题目． 应用性质应注意，n 与 m 的大小关系是不确定 的，当 n≤m 时，性质仍然成立．
知新益能
1．等差中项 (1)若 a，b，c 成等差数列，则 b 称为 a 与 c 的
a＋c 等差中项，且 b＝___2___； (2)a，b，c 成等差数列是 2b＝a＋c 的_充__要__条件；
(3)用递推关系 an＋1＝12(an＋an＋2)给出的数列也 是等差数列，an＋1 称为_a_n_，__a_n_＋_2_的等差中项．
【解】 (1)法一：设等差数列的等差中项为a, 公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d， 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24. 化简得d2＝16，于是d＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
第二讲 等差数列
第二讲 等差数列知识要点1．若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为未项，数列中的个数称为项数，从第二项开始，后项与前项之，后项与前项的差称为公差。
例如： 、3、5、7、9、…97、99、 首项末项 每两个数之间相差为2，即公差为2。
共有51个数，即项数为51。
2．需要牢记的公式（1）未项=首项+（项数-1）×公差，根据此公式，又可推出： 首项=末项-（项数-1）×公差项数=（末项-首项）÷公差+1（2）数列和=（首项+末项）×项数÷2典型例题例1 已知等差数列7，20，23，26，29，32，…，它的第25项是什么？107是它的第几项？例2 已知等差数列7，12，17，…，127，132，问这个等差数列共有多少项？1011例3 某剧院里共有25排座位，从第一排座位开始，以后每一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位？例4 （2+4+6+...+100）-（1+3+5+ (99)例5 （1）11+13+15+17+…+2007（2）计算1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋108＋107－106－105＋104＋103－102－101例6 下面方阵中所有数的和是1900 1901 1902 1903 (1949)1901 1902 1903 1904 (1950)1902 1903 1904 1905 (1951)1948 1949 1950 1951 (1997)1949 1950 1951 1952 (1998)随堂小测1．已知等差数列2，7，12，17，22，……，求这个数列的第25项是什么？57项呢？2．求等差数列9，15，21，27，…，303中一共有多少项？3．有一堆粗细均匀的圆木，堆成下图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层，这堆圆木共有多少根？…… …… …… …… ……4．101+104+107+110+…+896+8995．200-198+188-186+…+8-66．999个队员参加交际舞会，每两个人握一次手，他们握了多少次手？7．下面的数的总和是2000 2001 2002 (2049)2001 2002 2003 (2050)2048 2049 2050 (2097)2049 2050 2051 (2098)…… …… …… ……8．从401到1000的整数中，被8除余数为1的数有多少个？课后作业1．求等差数列10，18，26，…的第50项是多少？2．6，12，18，……186中一共有多少项？3．某剧院有50排座位，后一排比前一排多3个座位，最后一排有180个座位，这个剧院一共有多少个座位？4．4+8+10+14+16+……+94+98+1005．1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+88+89-906．求1至100以内所有不能被5或7整除的数的和。
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等差数列进阶
1. 1+2+3+……2014+2015+2014+……+3+2+1
2. 1+4+7+…+100=（）
3.已知数列4、1、8、2、12、3、16、4、…，问:这个数列中第100 个数是（）。
4.等差数列，求和：3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30＝。
5.木材仓库堆放一批粗细均匀的圆木，最下面一层放了15 根，以后每向上堆一层就减少1 根，最上面一层放了6 根.这批圆木共有（）根。
6.刘老师开的饭馆生意兴隆，第一天赚了200 元钱，第二天赚了300 元钱，之后每天都比前一天多赚100 元，那么第11 天可以赚（）元。
7.在1 ~ 200 这二百个自然数中，所有不能被5 整除的数的和是（）
8.计算：1＋3＋4+6+7+9+…＋43+45=( )。
9.6 和26 之间插入三个数，使它们每相邻两个数的差相同，这三个数的和是（）。
10.王芳大学毕业找工作，他找了两家公司，都要求签工作五年合同，年薪开始都是一万元，但两个公司加薪的方式不同。
甲公司承诺每年加薪1000 元，乙公司答应每半年加薪300 元。
以五年计算，王芳应聘哪个公司工作收入更高？
11.小青蛙沿着台阶往上跳，每跳一次都比上一次升高4 厘米，它从离地面10 厘米处开始跳，这一处称为小青蛙的第一次落脚点，那么它的第100 个落脚点正好在台阶尽头的亭子内，这个亭子高出地面多少厘米？
12.100 个连续的自然数按从小到大的顺序排列，取出其中第1 个数、第3 个数、第5 个数… 第99 个数，把取出的数相加，得到的结果是5400，则这100 个连续自然数的和是多少？
13. (2005 + 2006 + 2007 + 2008 + 2009 + 2010 + 2011) ÷ 2008 =
14.小兰将连续偶数2、4、6、8、10、12、14、16、…逐个相加，得结果2012。
验算时发现漏加了一个数，那么，这个漏加的数是。
15. 在一个神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由3 块巧克力组成，第二个雕塑由6 块巧克力组成，第三个雕塑由9 块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都比前一个多3 块巧克力，那么第（）个雕塑恰好由2013 个
巧克力组成？
答案：
1. 解析：原式=2015×2015=4060225
2. 解析：项数：（100-1）÷3+1=34
和：（1+100）×34÷2=1717
3.解析：观察数列：4、1、8、2、12、3、16、4、…
4,8,12,16，……奇数项数列
1,2,3,4，……偶数项数列
第100 个数是偶数项数列的第50 个数，
因为偶数项数列是从1 开始的自然数列，所以是50。
4.解析：提公因数，数列中所有数字都是3 的倍数
和＝3×1 ＋3×2 ＋3×3 ＋3×4 ＋3×5 ＋3×6 ＋3×7 ＋3×8 ＋3×9 ＋3×10
＝3×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）
＝3×55
＝165
5.解析：最上面一层放了6 根，最下面一层放了15 根，
每两层差一根，所以一共有15 - 6 +1 = 10 层，原木一共(6 +15) ⨯10 ÷ 2 =105 根。
6.解析：第11 天比第1 天多赚：（11－1）×100 ＝1000（元），
第11 天：200＋1000＝1200（元）。
7. 解析：1 ~ 200 总和：(1+ 200)⨯ 200 ÷ 2 = 20100
能被5 整除的数的和：
200
5 +10 +15 + 20 +
=(5 + 200)⨯40 ÷ 2
= 4100
所以不能被5 整除的数的和是：20100-4100=16000
8. 解析：此数列为双重数列，第1 个为1+4+7+…+43，项数为（43-1）÷3+1=15 ，
第2 个为3+6+9+…+45，项数为（45-3）÷3+1=15 ，
原式=（1+4+7+...+43）+（3+6+9+ (45)
=（1+43）×15÷2+ （3+45）×15÷2
=330+360
=690
9. 解析：在6 和26 之间插入三个数，那么共有4 个相邻差，即公差为（26-6）÷4=5 ，
所以插入的三个数是11、16、21，和为11+16+21=48
10. 解析：甲公司五年之内王芳得到的收入为：10000+11000+12000+13000+14000=60000（元），
乙公司五年之内王芳得到的收入为：（5000+5300 ）+（5600+5900 ）+……+
（7400+7700）=63500（元）。
所以王芳应聘乙公司工作收入更高。
11. 解析：亭子距地面高度为：10+（100-1）×4=406 （厘米）
12. 解析：第2 个数比第1 个数大1，
第4 个数比第3 个数大1，
……
偶数位置的数的和比奇数位置的数的和大50
总和：5400+（5400+50）=10850
13. 解析：2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008×7, 所以原式= 2008×7÷2008=7
14. 解析：2+4+6+8+…+90=2070，多了58
15. 解析：第n 个雕塑由3n 块巧克力构成，
故由2013 块巧克力构成的是第2013÷3=671 个雕塑。