六年级分数裂项作业

分数裂项

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本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

1a b

⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)

n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

知识点拨

学习目标

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11a b a b a b a b a b b a

+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】 111111223344556

++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。

【巩固】 111 (101111125960)

+++⨯⨯⨯

【巩固】 2222109985443

++++=⨯⨯⨯⨯

【例 2】 111111212312100++++++++++

【例 3】 111113355799101

++++=⨯⨯⨯⨯

【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭

【巩固】 计算：3245671255771111161622222929

++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】 11111113610152128

++++++=

习题练习

【巩固】计算：111111111

2612203042567290

--------＝

【巩固】11111

104088154238

++++=。

【例 4】计算：

1111 135357579200120032005 ++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 5】

7

4.50.16

1111

18

13153563 13 3.75 3.2

3

⨯+

⎛⎫

⨯+++=

⎪

⎝⎭-⨯

【例 6】计算：

11111 123420 261220420 +++++

【巩固】计算：11111

20082009201020112012

1854108180270

++++= 。

【巩固】计算：11224

26153577

++++=____。

【巩固】计算：1111111

315356399143195

++++++

【例 7】 111123234789

+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】 计算：1111135246357

202224

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】 4444......135357939597959799++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 8】 11111123423453456678978910

+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 9】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++

【例 10】 22222211111131517191111131

+++++=------ .

【巩固】 计算：

2222222

23571512233478++++⨯⨯⨯⨯

【例 11】 5667788991056677889910

+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】 123791117253571220283042

+++++++