(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用

第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用

第三章 (对应学生用书(文)、(理)30～32页

)

,

1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3

－15x 2

－33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11)

解析：f′(x)＝3x 2

－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．

2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x

－ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e

解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x

－a ，所以a ＝e.

3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π]

解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]．

4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2

＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范

围是________．

答案：(－∞，4]

解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2

在[2，＋∞)上恒成立．

5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大．

答案：10

解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－

2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0

－46x ＋360)＝12(x －10)(x －36)，当00；当10

1. 函数的单调性与导数

在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数；

如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数．

2. 函数的极值与导数

(1) 函数极值的定义

若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的极小值．

若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值．

(2) 求函数极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，

①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f(x0)是极大值．

②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0)是极小值．

3. 函数的最值

(1) 最大值与最小值的概念

如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．

(2) 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

②将函数y＝f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．

4. 生活中的优化问题

解决优化问题的基本思路是：

优化问题®®用导数解决数学问题

®优化问题答案

题型1 导数与函数的单调性

例1已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间；

(2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

(3) 是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

解：(1) 当a＝3时，f(x)＝x3－3x－1，∴ f′(x)＝3x2－3，

令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，

∴ f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)．

(2) f′(x)＝3x 2

－a.

∵ f(x)在实数集R 上单调递增，

∴ f ′(x)≥0恒成立，即3x 2－a≥0恒成立，∴ a ≤(3x 2

)min .

∵ 3x 2

的最小值为0，∴ a ≤0.

(3) 假设存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，

∴ f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a≥3x 2

.

又3x 2

∈[0，3)，∴ a ≥3.

∴ 存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a≥3. 备选变式（教师专享）

(1) 已知函数 f(x)＝12x 2

－mlnx ＋(m －1)x ，当 m≤0 时，试讨论函数 f(x) 的单调性；

(2) 若函数f(x)＝－1

2()x －22＋blnx 在(1，＋∞)上是减函数，求实数b 的取值范围．

解：(1)函数的定义域为()0，＋∞，f ′(x)＝x －m x ＋(m －1)＝x 2

＋（m －1）x －m

x ＝

（x －1）（x ＋m ）

x

.

①当－10，得01， 令f′(x)<0，得－m

∴ 函数 f(x)的单调递增区间是()0，－m 和()1，＋∞，单调递减区间是()－m ，1； ②当m≤－1时，同理可得，函数 f(x)的单调递增区间是()0，1和()－m ，＋∞，单调递减区间是()1，－m .

(2)由f(x)＝－12()x －22＋blnx ，得f′(x)＝－(x －2)＋b

x

，

由题意，知f′(x)≤0即－()x －2＋b

x ≤0在()1，＋∞上恒成立，∴ b≤[]x ()x －2min

， 当x∈()1，＋∞时，[]x ()x －2∈()1，＋∞，∴ b ≤1.

题型2 导数与函数的极值、最值

例2 设函数f(x)＝(x 2＋ax ＋b)e x

(x∈R )． (1) 若a ＝2，b ＝－2，求函数f(x)的极大值； (2) 若x ＝1是函数f(x)的一个极值点． ① 试用a 表示b ；

② 设a ＞0，函数g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4

.若 ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a 的取值范围．

解：(1) ∵ f′(x)＝(2x ＋a)e x ＋(x 2＋ax ＋b)e x ＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x

，

当a ＝2，b ＝－2时，f(x)＝(x 2＋2x －2)e x

，

则f′(x)＝(x 2＋4x)e x

，