2018年四川广安市中考数学试卷(含解析)

2018年四川省广安市初中毕业、升学考试
数学
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018四川广安，题号1，分值：3）-3的倒数为（） A.3 B.1
3
. C.-1
3
. D.-3.
【答案】C.
【解析】乘积为1的两个数互为倒数.由-3×(-1
3)=1，可知-3的倒数为-1
3。

故选C. 【知识点】倒数的定义. 2．（2018四川广安，题号2，分值：3）下列运算正确的是（） A.(b 2)3=b 5 B.x 3÷x 3=x C.5y 3·3y 2=15y 5D.a+a 2=a 3 【答案】C.
【解析】因为.(b 2)3=b 6，所以A 错误；因为x 3÷x 3=x 3-3=0，所以B 错误；
因为5y 3·3y 2=15y 3+2=15y 5，所以C 错误；因为a 与a 2不能合并，所以D 错误.
【知识点】同底数幂乘法，幂的乘方. 3．（2018四川广安，题号3，分值：3）近年来，国家重视精准扶贫，收效显著，据统计约有65000000人脱贫，
把65000000用科学记数法表示，正确的是（ ） A.0.65×108 B.6.5×107 C.6.5×108 D.65×106 【答案】B.
【解析】65000000=6.5×107. 【知识点】科学记数法. 4．（2018四川广安，题号4，分值：3）下列图形中，主视图为①的是（ ）
第4题图 【答案】B.
【解析】A 的主视图是等腰梯形，B 的主视图是矩形，C 的主视图是等腰梯形，D 的主视图是等腰三角形. 【知识点】几何体的三视图. 5．（2018四川广安，题号5，分值：3）下列说法正确的是（） A.为了解我国中学生课外阅读的情况，应采用全面调查的方式. B.一组数据1，2，5，5，5，3，3的中位数和众数都是5. C.抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”.
D.若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定. 【答案】D.
【解析】由于全国中学生的数量较大，应采用抽样调查，所以A 错误；
将这组数据按从小到大重新排列为1，2，3，3，5，5，5，则众数是5，中位数是3，所以B 错误； 抛掷一枚硬币100次，“正面朝上”的次数不确定，所以C 错误；
一组数据的方差越小，这组数据越稳定.由0.03＜0.1，知甲组数据比乙组数据稳定，所以D 正确. 【知识点】方差 6．（2018四川广安，题号6，分值：3）已知点P （1-a ，2a+6）在第四象限，则a 的取值范围是（） A.a ＜-3 B.-3＜a ＜1C.a ＞-3D.a ＞1
【答案】A.
【解析】由第四象限的符号特征为（+，-）， 得1-a ＞0，2a+6＜0， 解得a ＜-3.
【知识点】象限内的符号特征，不等式 7．（2018四川广安，题号7，分值：3）抛物线y=(x-2)2-1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（） A.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 【答案】D. 【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到y=(x-2)2-1. 【知识点】二次函数图像的平移 8．（2018四川广安，题号8，分值3）下列命题中：①如果a ＞b ，那么a 2＞b 2 ②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等
④关于x 的一元二次方程ax 2
+2x+1=0有实数根，则a 的取值范围是a ≤1 其中真命题的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A.
【解析】当a=1，b=-2时，a ＞b ，则a 2＜b 2，所以①错误； 等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，所以②错误； 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，所以③正确；
由关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有实数根，可知22
-4a ≥0，且a ≠0， 解得a ≤1，且a ≠0.所以④错误. 则真命题的个数是1个.
【知识点】切线长定理，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的判定 9．（2018四川广安，题号9，分值3）如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.2
3π-2√3 B.2
3π-√3 C.4
3π-2√3 D.4
3π-√3
第9题图 【答案】C.
【思路分析】首先连接AC ，再结合菱形的性质及圆的知识得△ABO 是等边三角形，可知∠AOC=120°，进而根据勾股定理求出AC ，然后根据扇形的面积公式和菱形的面积公式计算，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积-菱形的面积得出答案即可.
【解题过程】如图所示.连接AC ，交BD 于点D ， ∵四边形OABC 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AO=AB ，AC=2AD ，BO=2DO. ∵AO=BO ， ∴AO=BO=AB ，
∴△ABO 是等边三角形，则∠AOB=60°，同理∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°.
∵AO=2，DO=1， 在Rt △ADO 中，AD=√3. 可知BO=2，AC=2√3， ∴S 扇形AOC =
120π×22360
=43
π，S 菱形OABC =1
2
×2×2√3=2√3.
则阴影部分的面积= S 扇形AOC -S 菱形OABC =4
3π-2√3.
第9题图
【知识点】菱形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质 10．（2018四川广安，题号10，分值3）已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P 出发，沿其边
界顺时针匀速运动一周，设点M 运动的时间为x ，线段PM 的长度为y ，表示y 与x 的函数图像大致如图所示，则该封闭图形可能是（）
第10题图
【答案】A.
【思路分析】逐各分析各选项的运动过程，再与图像相比较得出答案. 【解题过程】
A.等边三角形，点M 在开始与结束的两边上是直线变化，点M 在对边时，MP 先减小再增大. 在点A 的对边上时，设等边三角形的边长为a ， y=(√3
2(3
2，a ＜x ＜2a ，符合题干图形.
B.点M 在开始与结束的两边上是直线变化，在中间两边，MP 的长先减小再增加，又减小再增加，与图像反映的
运动不一致；
C.点M 在开始和结束的两边上是直线运动，但是不对称，所以与图像运动不一致；
D.点M 在圆上运动，MP 的长度，先增加至直径，后减小至0，与图像不一致. 【知识点】函数图像
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 11．（2018四川广安，题号11，分值：3）要使√x +1有意义，则实数x 的取值范围是____. 【答案】x ≥-1.
【解析】由题意可知，x+1≥0，解得x ≥-1. 【知识点】函数自变量取值范围 12．（2018四川广安，题号12，分值：3）一个n 边形的每个内角的等于108°，那么n=____. 【答案】5.
【解析】根据多边形的内角和公式可知(n-2)×180°=108n ， 解得n=5.
【知识点】多边形的内角和
13．（2018四川广安，题号13，分值：3）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=____度.
第13题图
【答案】120°.
【解析】过点B作BF⊥AB，
∴∠ABF=90°.
∵AB⊥AE，
∴AE∥BF.
∵CD∥AE，
∴CD∥BF.
∵∠BCD=150°，
∴∠CBF=180°-∠BCD=30°.
则∠ABC=∠ABF+∠CBF=120°.
【知识点】平行线的性质
14．（2018四川广安，题号14，分值：3）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=____.
第14题图
【答案】2.
【解析】过点E作ED⊥OA，于点D.
∵EF∥CO，
∴∠EFA=∠AOC=∠AOE+∠BOE=30°.
∵∠AFE是△OEF的外角，
∴∠OEF=∠AEF-∠AOE=15°=∠AOE，
∴OF=EF.
∵OE是∠AOC的平分线，CE⊥OB，EG⊥OA，
∴EG=CE=1.
在Rt△EFG中，∠EFA=30°EG=1，
∴EF=2EG=2，
即OF=2.
【知识点】角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质
15．（2018四川广安，题号15，分值：3）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有____.
①abc＞0②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3
③2a+b=0④当x＞0时，y随x的增大而减小
第15题图
【答案】①②③.
【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下，
∴a＜0.
∵二次函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0.
∵x=-b
＞0，
2a
∴b＞0，
∴abc＜0.
则①正确；
由二次函数图像与x轴的交点横坐标为3，对称轴x=1，
则另一个点的横坐标为2×1-3=-1，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3.
∴②正确；
=1，
∵对称轴为x=-b
2a
则2a+b=0.
∴③正确；
∵二次函数图像的开口向下，对称轴为x=1，
∴当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小.
∴④错误.
故正确的有①②③.
【知识点】二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程
16．（2018四川广安，题号16，分值：3）为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的奖金蛋，检查员将这些金蛋按1-2018的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖的金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置又按1-1009编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是____.
【答案】1024.
【思路分析】
第一次取出的单号的蛋，剩下的序号是2的倍数，第二次取出后，剩下的蛋的序号为4的倍数，第三次取出后，剩下的蛋的序号为8的倍数，依次下去就可以求出最后一只蛋的序号.
【解题过程】第一次取出的单号的蛋，剩下的序号是2的倍数，因为原来有2018枚，所以剩下1009枚；
第二次取出后，剩下的蛋的序号为22=4的倍数，剩下504枚；
第三次取出后，剩下的蛋的序号为23=8的倍数，剩下252枚；
第四次取出后，剩下的蛋的序号为24=16的倍数，剩下126枚；
第五次取出后，剩下的蛋的序号为25=32的倍数，剩下63枚； 第六次取出后，剩下的蛋的序号为26=64的倍数，剩下31枚； 第七次取出后，剩下的蛋的序号为27=128的倍数，剩下15枚； 第八次取出后，剩下的蛋的序号为28=256的倍数，剩下7枚； 第九次取出后，剩下的蛋的序号为29=512的倍数，剩下3枚； 第十次取出后，剩下的蛋的序号为210=1024的倍数，剩下1枚； 即1024×1=1024. 【知识点】探究规律.
三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18，19，20小题各6分，共23分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2018四川广安，题号17，分值：5）计算：
(1
3
)−2+|√3−2|−√12+6cos30°+(π−3.14)0 【思路分析】先根据(1
3)−2=9，|√3−2|=2-√3，√12=2√3，cos30°=√32
，(π−3.14)0=1，再计算即可.
【解题过程】原式=9+2-√3-2√3+6×√3
2+1，……………………………………………………3分 =11-3√3+3√3+1，………………………………………………………………………………..4分 =12……………………………………………………………………………………………….5分 18．（2018四川广安，题号18，分值：6）先化简，再求值：
a a+1
÷(a −1−
2a−1a+1
)并从-1，0，1，2四个数中，选
一个合适的数代入求值.
【思路分析】首先根据分式的加减法计算括号内的，再计算分式的乘法，并将a 的值代入计算即可. 【解题过程】原式=a
a+1÷(a 2−1
a+1−2a−1a+1
)……………………………………………………..1分
=a a+1÷a 2−2a a+1……………………………………………………………………………………2分
=a
a+1∙
a+1
a(a−2)…………………………………………………………………………………….3分
=
1
a−2
……………………………………………………………………………………………4分
由题意可知a+1≠0，a ≠0，a-2≠0，所以a ≠-1，a ≠0，a ≠2，
当a=1时，原式=-1…………………………………………………………………………6分 【知识点】分式的化简求值 19．（2018四川广安，题号19，分值：6）如图，四边形ABCD 是正方形，M 为BC 上的点，连接AM ，延长
AD 至点E ，使得AE=AM ，过点E 作EF ⊥AM ，垂足为F. 求证：AB=EF.
第19题图
【思路分析】结合正方形的性质可知∠EAM=∠AMB ，∠AFE=∠B ，再根据“AAS ”证明△AEF ≌△MAB ，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案.
【解题过程】∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B=90°，AD ∥BC ，………………………………………………………………………1分
∴∠EAM=∠AMB………………………………………………………………………………2分
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°=∠B…………………………………………………………………………3分
∵AE=AM，
∴△AEF≌△MAB，…………………………………………………………………………5分
∴AB=EF………………………………………………………………………………………6分
【知识点】正方形的性质，全等三角形的性质和判定
20．（2018四川广安，题号20，分值：6）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图像与反比例函数y2=k
x
（k为常数，
k≠0）的图像交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA，已知OC=2，tan∠AOC=3
2
，B（m，-2）. （1）求一次函数和反比例函数的解析式.
（2）观察图像直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围.
第20题图
【思路分析】对于（1），先根据三角函数求出AC，可知点A的坐标，再代入反比例函数关系式，求出关系式即可，然后求出点的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式.
对于（2），结合点A，B的坐标，根据一次函数的图像在反比例函数图像的上方，判断范围即可.
【解题过程】在Rt△AOC中，OC=2，
可知tan∠AOC=AC
OC =3
2
，则AC=3.
∴点A（2，3）……………………………………………………………………………………1分∵点A在反比例函数y2=k
x
的图像上，
∴k=6，
则反比例函数的关系式为y2=6
x
…………………………………………………………………2分
∵点B在反比例函数y2=6
x
的图像上，
∴-2=6
m
解得m=-3，
∴点B（-3，-2）………………………………………………………………………………3分
∵点A，B在一次函数y1=kx+b的图像上，得{2k+b=3,
−3k+b=−2.
解得k=1，b=1，
所以一次函数的关系式为y1=x+b……………………………………………………………..4分
（2）当x＞2或-3＜x＜0时，y1＞y2…………………………………………………………..6分
【知识点】
四、实践应用题（本大题共4小题，第21小题6分，第22，23，24小题各8分）
21．（2018四川广安，题号21，分值：6）某校为了解节能减排、垃圾分类等知识，从该校2000名学生中随机抽
取了部分学生进行调查，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将调查结果绘制以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的学生共有____人，估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有____人.
（2）“非常了解”的4人中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人参加环保知识竞赛，请用画树状图的或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率.
第21题图
【思路分析】对于（1），先根据“了解”的学生人数÷所占的百分比=总人数求出答案，再根据扇形统计图求出“不了解”的学生数所占的百分比，然后根据样本估计总体的思想估计总体“不了解”的学生数所占的百分比，即可估计答案；
（2）列表得出所有可能出现的结果，及符合条件的结果，再根据概率公式得出答案.
【解题过程】（1）“了解”的人数为11人，占22％，所以本次调查的学生共有11÷22％=50（人）……………………………………………………………………………………..1分
由统计图可知“不了解”的学生占总数的1-40％-22％-8％=30％，所以，该校2000名学生中“不了解”的人数约为2000×30％=600（人）…………………………………….2分
（2）
所有结果出现的可能性相同，一共有12种结果，符合条件的有2种，所以抽到2名男生的概率2
12
=
1
6
…………………………………………………………………………………6分
【知识点】统计图，样本估计总体的思想，列表法求概率
22．（2018四川广安，题号22，分值：8）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元，若卖出的数量相同，销售量总额将比去年减少20％.
（1）求今年A型车每辆车的售价.
（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A，B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？
【思路分析】对于（1），先设今年的售价为x元，并表示去年的售价，再根据卖出的数量相同列出分式方程，求出解即可.
对于（2），设购进A型车m辆，可表示B型车(45-m)辆，再根据B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍列出不等式，求出m的取值范围，再列出利润y与m的关系式，并根据一次函数的性质讨论极值即可.
【解题过程】（1）设今年的售价为x元，则去年的的售价为(x+400)元，根据题意，得
60000 x+400=6000×(1−20%)
x
…………………………………………………………………………..2分
解得x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解………………………………………………………………3分
所以今年A型车每辆的售价为1600元.
（2）设购进A型车的数量为m辆，则购进B型车(45-m)辆，最大利润为y，根据题意可知
45-m≤2m，
解得m≥15.
则15≤m≤45………………………………………………………………………………….4分
y=(1600-1100)m+(2000-1400)(45-m)=-100m+27000…………………………………………6分
∵-100＜0，
∴y随m的增大而减小，……………………………………………………………………..7分
即当m=15时，y最大=25500元.
所以，应购进A型车15辆，B型车30辆，最大利润为25500元………………………..8分
【知识点】分式方程的应用，一次函数的应用
23．（2018四川广安，题号23，分值：8）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速.如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上，一辆汽车由东向西均速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s，问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？
（观测点C离地面的距离忽略不计，参照数据：√2=1.41，√3=1.73）
第23题图
【思路分析】首先根据特殊角的三角形求出AD，BD，进而求出AB，再根据路程÷时间求出速度，最后与限速16m/s比较得出答案.
【解题过程】根据题意可知∠ACD=60°，∠BCD=45°，CD=200m，
，…………………………………………………………………1分
在Rt△ACD中，tan60°=AD
CD
即AD
=√3,
200
则AD=200√3……………………………………………………………………………………3分
，
在Rt△BCD中，tan45°=BD
CD
=1，
即BD
CD
则BD=200，………………………………………………………………………………………5分
∴AB=AD-BD=200(√3-1)=200×0.73=146……………………………………………………6分
由A处行驶到B的时间为10s，所以，速度为146÷10=14.6m/s,………………………7分
∵14.6m/s＜16m/s，
∴没有超过该路段限制的速度……………………………………………………………8分
【知识点】解直角三角形的应用
24．（2018四川广安，题号24，分值8）下面有4张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
（1）画一个直角边为4，面积为6的直角三角形.
（2）画一个底边为4，面积为8的等腰三角形.
（3）画一个面积为5的等腰直角三角形.
第24题图
【思路分析】对于（1），根据面积公式求出两条直角边即可画出图形；
对于（2），根据面积公式求出底边上的高，再画出图形即可；
对于（3），根据面积公式求出直角边，即可画出图形；
对于（4）根据腰长为2√2不成立，可知以2√2为底边，再求出底边上的高，可画出图形.
【解题过程】如图所示.（1）直角边为4，3的直角三角形；………………………….2分
（2）底边为4，底边上的高为4的等腰三角形；………………………………………..4分
（3）直角边为√10的等腰直角三角形；…………………………………………………..6分
（4）底边为2√2，底边上的高为3√2的等腰三角形……………………………………8分
第24题答图
【知识点】勾股定理，三角形的面积
五.推理论证题（本题1个题目，共9分）
25.（2018四川广安，题号25，分值：9）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上的一点，PC切⊙O 于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.
（1）求证：∠PCA=∠ABC.
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若cos∠P=4
，CF=10，求BE的长.
5
第25题图
【思路分析】对于（1），首先根据切线的性质可知∠PCA+∠ACO=90°，再根据直径所对的圆周角是直角得∠CAO+∠ABC=90°，并由等边对等角得∠ACO=∠CAO，最后根据等角的余角相等解答.
对于（2），先根据等角的三角函数值相等求出CH，FH，再设CO=5x，CD=4x，可知DO=3x，再表示出DF，然后根据两个角相等的两个三角形相似得出△AFD∽△CFH，可表示出AD，再根据AD+DO=5x求出x的值，进而求出AB，进而说明△CHF∽△AEB，并根据对应边成比例求出答案.
【解题过程】（1）证明：
∵PC 是⊙O 的切线，
∴CO ⊥PC ，
即∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°…………………………………………………………………………1分
∵CO=AO ，
∴∠ACO=∠CAO ，
即∠PCA+∠CAO=90°…………………………………………………………………………2分
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAO+∠ABC=90°，………………………………………………………………………3分
∴∠PCA=∠ABC …………………………………………………………………………………4分
（2）解：∵∠P+∠POC=90°，∠POC+∠FCH=90°，
∴∠P=∠FCH ，
∴cos ∠FCH=cos ∠P=45.
∵AE ∥PC ，
∴∠CHF=90°.
∵CF=10，cos ∠FCH=CH CF =45，
∴CH=8.
在Rt △CFH 中，FH=6…………………………………………………………………………5分
在Rt △CDO 中，cos ∠DCO=CD CO =45， 设CD=4x ，CO=5x ，则DO=3x ，
可知DF=4x-10.
∵∠AFD=∠CFH ，∠ADF=∠CHF ，
∴△AFD ∽△CFH ，
∴AD CH =DF FH .
∵CH=8，DF=4x-10，FH=6，
∴AD=43(4x-10)，………………………………………………………………………………6分 则AD+DO=5x ，
即43(4x-10)+3x=5x ，
解得x=4，
∴AB=40………………………………………………………………………………………7分
∵∠A=∠FCH ，∠CHF=∠E=90°，
∴△CHF ∽△AEB ，…………………………………………………………………………..8分
∴CF AB =FH BE .
∵CF=10，AB=40，FH=6，
∴BE=24………………………………………………………………………………………9分
六．拓展探索提（本题共一个题，共10分）
26.（2018四川广安，题号26，分值：10）如图，已知抛物线y=12x 2+bx+c 与直线y=12x+3相较于A ，B 两点，交x 轴于C ，D 两点，连接AC ，BC ，已知A （0，3），C （-3,0）.
（1）求出抛物线的解析式.
（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB −MD |的值最大，并求出这个最大值.
（3）点P 为y 轴右侧抛物线上的一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，是否存在点P ，使得以APQ 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
第26题图
【思路分析】对于（1），将点AC 的坐标代入关系式，求出b ，c 的值即可；
对于（2），先确定要求|MB −MD |就是求出|MB −MC |的值最大，即可确定点M 的位置，然后求出点B 的坐标，即可求出最大值；
对于（3），先确定△ABC 是直角三角形，直角边的比为13，再根据题意确定点P ，并构造Rt △APE ，并根据两直角边的比为13，求出点P 的坐标. 【解题过程】（1）∵抛物线y=12x 2+bx+c 经过点A （0，3），C （-3，0）， ∴{c =3,12
×(−3)2−3b +c =0.................................................................................................1分 解得{b =52,c =3.
...........................................................................................................................2分 ∴抛物线的解析式为y=12x 2+52x+3…………………………………………………………3分 （2）根据二次函数的对称性可知MD=MC ，要求|MB −MD |的值最大，就是求|MB −MC |的值最大，由三角形两边之差小于第三边，得当点B ，C ，M 在同一条直线上时，|MB −MD |的值最大…………………………………………………………………………………….4分
由一次函数和二次函数交于A ，B 两点，得
12x 2+52x+3=12
x+3， 解得x=-4或0，
当x=-4时，y=1，
即点B （-4，1）……………………………………………………………………………...5分
∵点C （-3，0），
∴BC=√(−4+3)2+(1−0)2=√2，
所以最大值为√2……………………………………………………………………………….6分
第26题答图
（3）∵点B （-4，1），点A （0，3），点C （-3，0），
∴AB=√20，BC=√2，AC=3√2，…………………………………………………………………7分 则AB 2=BC 2+AC 2，
∴△ABC 是直角三角形，解∠C=90°,BC AC =13……………………………………………………8分 设点P 的坐标为（a ，12a 2+52a+3），过点P 作PE ⊥y 轴，于点E.
PE=a 或-a ，AE=12a 2+52a 或-12a 2-52a ，
当a 12a 2+52a =13或a 1
2a 2+52a
=3时，可知△APQ 和△APE 相似，即△APQ 和△ABC 相似， 解得a=1或a=-13
3（舍）……………………………………………………………………….9分
所以点P 的坐标为（1，6）…………………………………………………………………..10分
第26题答图。