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巧用两个因式的积为零解方程
如果两个因式的积为零,则其中必有一个因式为零,应用这个性质解有的一元一次方程,比较简单,下面举例说明.
例1 解方程:13
121=--+x x 解析:原方程化为031)121(=---+x x 即03
121=---x x 逆用乘法分配律,得(x-1)×(0)3121=- ∵03
121≠-, ∴x-1=0,即x=1. 例2 解方程:4
333221+-=+++x x x 解析:原方程化为0)143()132()121(=-++-++-+x x x 即04
13121=-+-+-x x x 逆用乘法分配律,得0)413121()1(=++⨯-x ∵04
13121≠++ ∴x-1=0,即x=1. 例3 若30111=--+--+--≠++c b a x b c a x a c b x :,c b a 解方程(其中x 为未知数,a 、b 、c 为已知数).
解析:原方程化为(
0)1()1()1=---+---+---c b a x b c a x a c b x 即0=---+---+---c
c b a x b c b a x a c b a x 逆用乘法分配律,得 0)111()(=++⨯---c b a c b a x ∵c b a 111++≠0, ∴ x-a-b-c=0. 故x=a+b+c. 本期学习导学
一、学习目标
1. 运用移项、合并、系数化为1的变形步骤解一元一次方程
2. 运用方程解决实际问题,学会如何建立刻画实际问题的数学模型—— 一元一次方程.
二、重点、难点
重点:正确运用移项、合并概念解一元一次方程;运用一元一次方程解实际应用题 难点:熟练地找出应用题目中隐含的相等关系
三、突破重点、难点的方法
1. 注意移项要变号,移项时,常把方程中的未知项都放到方程的左边,把常数项都放到方
程的右边.
2. 合并就是逆向运用分配律,注意只有含相同字母的项才能合并;注意a 的系数是-1,-a
的系数是-1,(见1版的巧用两个因式的积为零解方程)
3. 运用转化的思想方法,将实际问题转化为数学问题,分析其数量关系,利用其中的相等
关系列出方程(见1版的一元一次方程的应用例析和3版的怎样解工件配套问题)。
生活、生产中有许许多多的问题,通过列一元一次方程,解方程就可以轻而易举地加以解决,
下面将常见的几种类型介绍如下
一、人数调配问题
例1 甲、乙两个工程队分别有80人和60人,为了支援乙队,需要从甲队调出一部分人
进乙队,使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人,问从甲队调出的人数应是多少?
由调动后的等量关系;乙队的人数=甲队的人数×2+5,得60+x=2(80-x)+5
解之,得x=35
二、商品销售问题
例2 某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元;而按定价的九
折出售将赚20元,问这种商品的定价是多少元?
解析:由题意,知定价的七五折=进价-25元;定价的九折=进价+20元
由此可见,进价既可以表示为定价的七五折+25元,又可以表示为定价的和折-20元,因此可得等量关系为定价的七五折+25元=定价的九折-20元,故设定价为x 元,则可得方程0.75x+25=0.9x-20.解之,得x=300
三、体积问题
例3 在一个底面半径为5cm 的圆柱体杯子里装有高为6cm 的水,现在杯中放入一颗半径
为3cm 的钢球,问杯子里的水位将升高多少厘米?
解析:由于水位高6cm ,钢球的直径也是6cm,所以钢球可以完全浸入水中,当钢球完全浸入水中时,水升高部分的体积=钢球的体积.
设水位升高xcm ,则水或高部分的体积为x π2
5,又钢球的体积为 3343
π故可得方程334532
ππ⨯=x 解之,得2536=x 四、行程问题
例4 一列火车从车头进隧道到车尾出隧洞共用了10min ,已知火车的速度是50m/min ,隧洞长为1800m ,问这列火车长多少米?
解析:如图,设隧洞长为AB ,火车长为xm.
C
B A
则从图中易知;火车头从进洞前的A 点到出洞后的C 点,共行驶了(4800+x )cm ,用了10min ,因此可得方程4800+x=50010⨯解得x=200
五、新闻报道问题
例5 据《新华日报》消息,巴西医生马廷恩经过10年研究后得出结论:卷入腐败行为的人容易得癌症、心血管病,如果将犯有贪污、受贿罪的580名官员与600名廉洁官员进行比较,可发现,后者的健康人数比前者的健康人数多272人,两者患病(包括致死)的共444人,试问:犯有贪污、受贿罪官员的健康人数占580名官员的百分之几?廉洁官员的健康人数占600名官员的百分之几?从求出的这两个数据说说你的感想?
解析:本题由于文字较长,阅读时要细心认真,不得马虎,要求两种官员的健康人数占统计人数的百分比,应先求在统计中两者健康的人数分别是多少人?设犯有贪污、受贿罪的官员中健康人数为x 人,则患病人数为(580-x)人,这时廉洁官员中健康人数为(x+272)人,患病人数为600-(x+272)人
由题意“两者的患病人数共444人”,得(580-x )+600-(x+272)=444.解之,得x=232,故x+272=504,则有%8484.0600
504%;404.0580232==== 故犯有贪污、受贿罪官员的健康人数占统计人数的40%,而廉洁官员中的健康人数占统计人数的84%.
学生甲:老师,解方程最常用的步骤是什么?
老师:解方程最常用的步骤是移项不论是什么样的方程几乎都要用到移项这个步骤,对于一元一次方程,一般都需要把含未知数的项移到方程的左边,把常数项移到方程的右边,比如,解方程3x+8=4-x 时,你必须考虑的是如何把右边的-x 移到左边,把左边的+8移到右边 学生乙:如何进行移项呢?
老师:具体的操作方法是把方程中的某一项从方程的一边移到另一边
比如把方程3x-5=1中左边的-5移到右边,变为3x=1+5,这就是移项
学生丙:把–5从左边移到右边后怎么变成了+5?
老师:因为移项的根据是运用等式的基本性质;等式两边同时加上或减去同一个数或整式,所得等式仍然成立,所以从方程3x-5=1变为方程3x=1+5,实际上是在原方程3x-5=1的两边同时加上5,即3x-5+5=1+5,得3x=1+5,这样,从方程3x-5=1直接到3x=1+5,我们就称这种变形为移项,可见,移项要变号,移项要变号是一条千古不变的法则,不论是哪一项,也不论从哪一边移到哪一边,所移的项都有要变号,比如把3x+8=4-x 中左边的8移到右边要变号为–8,把右边的-x 移到左边也要变号为+8,即3x+x=4-8.
学生丁:照您所说,3x-2+x-4=0是不是可以变为3x-x-2-4=0?
老师:错了,造成这种错误的原因是你没有真正理解移项的含义,移项是要把方程某一边的项移到等号的另一边,把左国宾移到右边,把右边的移到左边,这才是移项,而你只是把x 移到-2的前面而已,虽然有“移”的动作,但却不是移项,可见,在方程同一边移来移去不是说是移项,根据加法交换律,交换两项的位置是不需要变号的,也不能变号,一变就错了.总之,移项必须是从方程的一边移到另一边,而且该项一旦在另一边落户一定要记住变号.
列一元一次方程解牧童诗歌算题
《增删算法统宗》是清朝数学家梅彀成根据明朝数学家程大位创作的诗题加以改编而成的一部数学名著,共11卷,其中有不少与牧童有关的诗歌算题,这些用生动、雅俗共赏的诗歌来叙述的数学题,让人耳目一新,趣味无穷,一扫数学题目的枯燥无味之感,能提高同学们的探求兴趣,且有助于提高分析、解决问题的能力,现采撷几例,与大家共赏.
(一)林下牧童闹如簇,不知人数不知竹;每人六竿多十四,每人八竿恰齐足.
这首诗中的数学问题是:若干个牧童拿着若干根竹竿在树林里玩耍、戏闹,若每人6根竹竿,则竹竿多余14根;若每人8根竹竿,则恰好分完,问共有多少个牧童和多少根竹竿? 解:设有牧童x 人,则有竹竿(6x+14)根,故可得方程8x=6x+14,解得x=7,所以6x+14=56答:有7个牧童,56根竹竿.