高考数学解题思维方法专题初稿之一
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高考数学解题思维方法专题初稿之一 第一章 数学解题的三个方面
数学解题已成为检验我们是否学好数学的重要手段之一， 如何解答数学试题？怎样就能 提高解题能力？是老师和学生共同关注的焦点问题。当然，该问题并非简单问题，它含有理 解、转化、推理、猜想、证明等多种综合性因素，它需要我们去感悟、思考、总结、反思等 多种思维的积累过程。所以，我们只有热爱数学，喜欢数学，不断激发学习数学的热情， 才 有可能更好地学好数学。本章仅从以下几个方面浅谈一些在数学解题时要注意的问题： 1.数学解题是数学语言的转化过程；2.数学解题是思维的过程；3.通过文体格式 优化解 题过程；3. 运用辩证思维 优化解题过程.。 …
6
)
的图像(如图 4 所示)有且仅有两个公共点,若这两个公共点 的横坐标分别为 、 , ,则下列结论中正确的是 A． tan( C． tan(
O
x
6
) )
B． tan( D． tan(
6 6
) )
（图 4） y
O
6
转化与解：由题意可作图转化，如图 5 所示，即题意可为：直线
1
①
那么下列图形中
②
③
④
(a )
(b )
Байду номын сангаас
(c )
(d )
D. （a）和（d）
可以表示 A * D, A * C 的分别是（ ） A.（a）和（b） B.（b）和（c） C.（b）和（d） 转化与解： 题意可转化为： 已知 A、B、C、D 分别表示下图：
Ａ：竖线
Ｂ： 大矩形
Ｃ：横线
Ｄ： 小矩形
定义：从 A、B、C、D 所代表的图形中任两个重叠组合在一起，用“*”号将选准的对应 字符连结起来表示。 如 A*B 或 B*C 或 C*D 或 D*B 分别表示为题中①②③④， 则 A * D, A * C 表示是(a)(b)(c)(d)图形中的那些图形？因此选 C . 【点评】此题为纯符号语言、图形语言的相互转化．只要观察、理解到位就可做出此题。 4、转化题意隐含的语言表达方式进行解题 由于数学具有抽象、简洁、严谨、统一、形象等特点，所以由数学语言所表述的数学问 题往往有一定的隐含性。 于是可重新叙述含有隐含意义的题意， 使已知问题的表达方式转化 为我们最熟悉、最常见、已解决的问题的表达方式， y 【例 4】.已知直线 y kx( k 0) 与函数 y 2 sin( x
x
y kx(k 0) 和曲线 y 2 sin( x
6
) 在第一象限内相切，且切
2
（图 5）
点的横坐标为 ，在第三象限内相交，其交点的横坐标为 ，则上述结论中正确的是（ 有了以上对题意的转化，就不难解答，由 y 2 cos( x
CD DA ， DG CA 0 ， 【例 1】 在直角平面内有点 A、 B、 C、 D、 G， 其中 B (1,0), C (1,0) ， BG // GA ， | AB | 2 | BC | ，则点 G 的轨迹方程是___________. 转化与解：由题意可作图 1：其几何意义为动点 G 到两定点 y B、C 的距离之和为定数 4，于是由椭圆的定义可求点 G 的轨迹 A x2 y2 G 方程为 1， D B 4 3 O C x 【点评】该题是先将符号语言（向量符号术语）表示的数学 内涵，转化为相应的图形语言（具有明确几何意义的图形）问题， 而后再转化为所需的文字或符号语言来重新叙述题意对应的问题， （图 1 ） 便是所求问题的解答过程或结论。 2.还原转化题意的语言表达方式进行解题 还原转化题意的语言表达方式是指根据题意联想该问题的相关问题或母体问题， 使已知 问题的表达方式转化为我们最熟悉、最常见、已解决问题的表达方式，进而使问题得以解决 的方法。 【例 2】 （2006·全国·理 19）如图 2， l1 , l 2 是互相垂直的异面直线， MN 是它们的公 垂线段，点 A、B 在 l1 上，C 在 l 2 上， AM MB MN （1） 证明：AC⊥NB l2 0 （2） 若 ACB 60 ，求ＮＢ于平面ＡＢＣ所成角的余弦值。 C 转化与解：联想图 3 并比较图 2 和图 3：即题意可转化为：在正 l1 A 棱柱 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中， N
§1.1 数学解题是数学语言的转化过程；
转化题意的几种常见策略
数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言．它们是表达数学问题的主要用语，也是 高考主要考查的内容之一， 高考数学中往往要求考生要有一定的语言表达能力， 能用数学语 言清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程，并在表达中能合乎条理，层次清楚，合乎逻辑， 准确规范地使用名词、术语和数学符号，书写清楚；另一方面还要求能实现文字语言、符号 语言、图形语言的相互转化，所以理解和掌握数学语言的内涵特点是解题的关键。下面仅对 在解题时如何转化题意的数学语言的表达方式从策略上简要归类。 1、直接转化题意的语言表达方式进行解题 直接转化题意的语言表达方式是指用不同的数学语言重新叙述题意， 使已知问题的表达 方式转化为我们最熟悉、最常见、已解决问题的表达方式，进而使问题得以解决的方法。
（1）证明：DC 1 ⊥BC（证明略）
1
M
B
（2）若正棱柱为正方体时，求 BC 与平面 BC 1 D 所成的角的余弦值 这样问题就熟悉多了，由三垂线定理证（1） ，由正三棱锥的性质可求 BC 与平面 BC 1 D 所成的角的余弦值为
(图 2 )
C1
D1 6 。 A1 B 3 【点评】此题做这样的转化，需要有一定的空间想象力和联想力， O C D 事实上，任一立体几何中的如此类似的问题都可转化为正方体内的点、 M A B 线、面间的关系问题，但不一定都能使问题更简化，要根据具体问题再 (图 3 ) 定数学语言转化的方向和必要性。 3.观察转化题意的语言表达方式进行解题 观察转化题意的语言表达方式是指通过观察进行题意的转化， 进而使已知问题得以解决的 方法。 【例 3】定义 A * B, B * C , C * D, D * B 分别对应下列图形：
数学解题已成为检验我们是否学好数学的重要手段之一， 如何解答数学试题？怎样就能 提高解题能力？是老师和学生共同关注的焦点问题。当然，该问题并非简单问题，它含有理 解、转化、推理、猜想、证明等多种综合性因素，它需要我们去感悟、思考、总结、反思等 多种思维的积累过程。所以，我们只有热爱数学，喜欢数学，不断激发学习数学的热情， 才 有可能更好地学好数学。本章仅从以下几个方面浅谈一些在数学解题时要注意的问题： 1.数学解题是数学语言的转化过程；2.数学解题是思维的过程；3.通过文体格式 优化解 题过程；3. 运用辩证思维 优化解题过程.。 …
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的图像(如图 4 所示)有且仅有两个公共点,若这两个公共点 的横坐标分别为 、 , ,则下列结论中正确的是 A． tan( C． tan(
O
x
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) )
B． tan( D． tan(
6 6
) )
（图 4） y
O
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转化与解：由题意可作图转化，如图 5 所示，即题意可为：直线
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①
那么下列图形中
②
③
④
(a )
(b )
Байду номын сангаас
(c )
(d )
D. （a）和（d）
可以表示 A * D, A * C 的分别是（ ） A.（a）和（b） B.（b）和（c） C.（b）和（d） 转化与解： 题意可转化为： 已知 A、B、C、D 分别表示下图：
Ａ：竖线
Ｂ： 大矩形
Ｃ：横线
Ｄ： 小矩形
定义：从 A、B、C、D 所代表的图形中任两个重叠组合在一起，用“*”号将选准的对应 字符连结起来表示。 如 A*B 或 B*C 或 C*D 或 D*B 分别表示为题中①②③④， 则 A * D, A * C 表示是(a)(b)(c)(d)图形中的那些图形？因此选 C . 【点评】此题为纯符号语言、图形语言的相互转化．只要观察、理解到位就可做出此题。 4、转化题意隐含的语言表达方式进行解题 由于数学具有抽象、简洁、严谨、统一、形象等特点，所以由数学语言所表述的数学问 题往往有一定的隐含性。 于是可重新叙述含有隐含意义的题意， 使已知问题的表达方式转化 为我们最熟悉、最常见、已解决的问题的表达方式， y 【例 4】.已知直线 y kx( k 0) 与函数 y 2 sin( x
x
y kx(k 0) 和曲线 y 2 sin( x
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) 在第一象限内相切，且切
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（图 5）
点的横坐标为 ，在第三象限内相交，其交点的横坐标为 ，则上述结论中正确的是（ 有了以上对题意的转化，就不难解答，由 y 2 cos( x
CD DA ， DG CA 0 ， 【例 1】 在直角平面内有点 A、 B、 C、 D、 G， 其中 B (1,0), C (1,0) ， BG // GA ， | AB | 2 | BC | ，则点 G 的轨迹方程是___________. 转化与解：由题意可作图 1：其几何意义为动点 G 到两定点 y B、C 的距离之和为定数 4，于是由椭圆的定义可求点 G 的轨迹 A x2 y2 G 方程为 1， D B 4 3 O C x 【点评】该题是先将符号语言（向量符号术语）表示的数学 内涵，转化为相应的图形语言（具有明确几何意义的图形）问题， 而后再转化为所需的文字或符号语言来重新叙述题意对应的问题， （图 1 ） 便是所求问题的解答过程或结论。 2.还原转化题意的语言表达方式进行解题 还原转化题意的语言表达方式是指根据题意联想该问题的相关问题或母体问题， 使已知 问题的表达方式转化为我们最熟悉、最常见、已解决问题的表达方式，进而使问题得以解决 的方法。 【例 2】 （2006·全国·理 19）如图 2， l1 , l 2 是互相垂直的异面直线， MN 是它们的公 垂线段，点 A、B 在 l1 上，C 在 l 2 上， AM MB MN （1） 证明：AC⊥NB l2 0 （2） 若 ACB 60 ，求ＮＢ于平面ＡＢＣ所成角的余弦值。 C 转化与解：联想图 3 并比较图 2 和图 3：即题意可转化为：在正 l1 A 棱柱 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中， N
§1.1 数学解题是数学语言的转化过程；
转化题意的几种常见策略
数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言．它们是表达数学问题的主要用语，也是 高考主要考查的内容之一， 高考数学中往往要求考生要有一定的语言表达能力， 能用数学语 言清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程，并在表达中能合乎条理，层次清楚，合乎逻辑， 准确规范地使用名词、术语和数学符号，书写清楚；另一方面还要求能实现文字语言、符号 语言、图形语言的相互转化，所以理解和掌握数学语言的内涵特点是解题的关键。下面仅对 在解题时如何转化题意的数学语言的表达方式从策略上简要归类。 1、直接转化题意的语言表达方式进行解题 直接转化题意的语言表达方式是指用不同的数学语言重新叙述题意， 使已知问题的表达 方式转化为我们最熟悉、最常见、已解决问题的表达方式，进而使问题得以解决的方法。
（1）证明：DC 1 ⊥BC（证明略）
1
M
B
（2）若正棱柱为正方体时，求 BC 与平面 BC 1 D 所成的角的余弦值 这样问题就熟悉多了，由三垂线定理证（1） ，由正三棱锥的性质可求 BC 与平面 BC 1 D 所成的角的余弦值为
(图 2 )
C1
D1 6 。 A1 B 3 【点评】此题做这样的转化，需要有一定的空间想象力和联想力， O C D 事实上，任一立体几何中的如此类似的问题都可转化为正方体内的点、 M A B 线、面间的关系问题，但不一定都能使问题更简化，要根据具体问题再 (图 3 ) 定数学语言转化的方向和必要性。 3.观察转化题意的语言表达方式进行解题 观察转化题意的语言表达方式是指通过观察进行题意的转化， 进而使已知问题得以解决的 方法。 【例 3】定义 A * B, B * C , C * D, D * B 分别对应下列图形：