高中新课标(必修一)函数的奇偶性
新课标人教版必修一函数的奇偶性课件(共14张PPT)
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f ( x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2 x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在 R 上的函数 f ( x), 对任意 x, y R都有
f ( x y) f ( x) f ( y) 1, 且x 0时，f ( x) 1, f (1) 2
(1)求证：f ( x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g ( x) f ( x) 1是奇函数。
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课堂总结：
1：函数奇偶性的定义：
“数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
-2 -1 0
1 2
x
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题型二：利用奇偶性求解析式： 例：已知函数
f ( x) ax2 bx c(2a 3 x 1)
b _________ . 是偶函数，则 a _____,
2a 3 1 解：由题意可得：
a 1 解得：
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变式2：已知函数 f ( x)为奇函数，且当 x
f ( x) x3 2 x 2 1,
0时，
则 f (2) _______
则 f (a) _______
在原点处有定义的 f (0) 0 奇函数：
则 f ( x) _______
3.1.3 高中必修一数学教案《函数的奇偶性》
高中必修一数学教案《函数的奇偶性》教材分析函数的奇偶性是高中数学必修一人教版B版第三章第一单元第三节的内容，是函数的一条重要性质。
教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称，感受奇函数和偶函数的图象特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。
从知识结构上而言，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础，起着承上启下的作用。
学情分析从学生的认知基础来看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，学生刚刚学习了函数的单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。
从学生的思维发展来看，高一学生的思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。
教学目标1、理解函数奇偶性的概念和图像特征，能判断一些简单函数的奇偶性。
2、经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。
3、通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美；通过分组讨论，培养合作交流的精神，学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
教学重点函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。
教学难点对函数奇偶性的概念理解与认识。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习导入初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），关于原点的对称点为（-x，-y）。
例如，（-2，3）关于y轴的对称点（2，3），关于原点的对称点（2，-3）二、学习新知1、偶函数填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征。
不难发现，上述两个函数，当自变量取为相反数的两个值x和-x，对应的函数值相等。
f（-x）= （-x）2 = x2 = f（x）g（-x）= 1|−x| = 1|x|= g（x）一般地，设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f（-x）= f（x）则称y = f（x）为偶函数。
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总之,他们不是老老实实地坐在座位上听讲,而是急不可耐地 挨过上课时间，显然,你已经知道,从上课铃到下课铃的整个 课堂时段中,只有那些高效教师才能保持课堂不被琐事中断, 并且保证学生能够集中注意力。在高效教师的课堂上,没有 一分钟被浪费,没有学生无事可做。也正是因为这个原因,高 效的教师很少遇到有关课堂纪律的问题。 那么,高效教师是如何让整个课堂从头到尾一直保持饱满的 状态呢?他们仔细规划课堂上的每一分钟,以保证没有时间 被浪费;他们仔细规划讲课过程,力求简明扼要(因为他们知 道长时间维持学生的注意力是件很不容易的事。)他们为领 先的学生着想,他们也为后进的学生着想。
奇函数的定义域有什么特征？
奇函数的定义域关于原点对称
理论迁移
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)
; (2)
.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任
意实数，都有
成立.
（1）求f(1)和f(-1)的值；
（2）
确定f(x)的奇偶性.
例3 确定函数
y
-1 o 1
的单调区间.
x
1.3.2 奇偶性 第一课时 函数的奇偶性
f(x)=-f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数，那么怎样定义奇函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇 函数.
思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述？
自变量相反时对应的函数值相反
思考6:函数
是奇函数吗？
偶函数的定义域关于原点对称
知识探究（二）
考察下列两个函数：
(1)
;
(2)
.
y
y
o
高中数学函数的奇偶性(解析版)
1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。
高一数学人必修一课件时函数奇偶性的定义与判定
06
函数奇偶性的深入理解
奇偶性与函数周期性的关系
奇偶性是函数周期性的一种特 殊表现
奇偶性函数必定有周期性，但 周期性函数不一定有奇偶性
奇偶性函数周期性的判断可以 通过观察函数的图像或解析式 来实现
奇偶性函数周期性的应用在解 决实际问题中具有重要意义， 如信号处理、控制系统设计等
奇偶性与函数单调性的关系
反函数法：通过反函数判断其奇偶 性
图像法：通过观察函数图像判断其 奇偶性
02
复合函数法：通过复合函数判断其 奇偶性
04
特殊值法：通过特殊值判断其奇偶 性
06
04
函数奇偶性的性质
奇偶性对函数图像的影响
奇函数：关于原点对称，图像关于y轴对称 偶函数：关于y轴对称，图像关于x轴对称 非奇非偶函数：既不关于原点对称，也不关于y轴对称 奇偶性对函数图像的影响：决定了函数图像的对称性和周期性
奇偶性对函数值的影响
奇函数：f(-x)=-f(x)，函数值关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)，函数值关于y轴对称
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数 奇偶性对函数图像的影响：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关 于y轴对称，非奇非偶函数的图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
奇偶性对函数运算的影响
函数奇偶性的定义 与判定
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目录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 函 数 奇 偶 性 的 定 义 03 函 数 奇 偶 性 的 判 定 方 法 04 函 数 奇 偶 性 的 性 质 05 函 数 奇 偶 性 的 应 用 06 函 数 奇 偶 性 的 深 入 理 解
01
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在解决实际问题中的应用
高中数学必修一 函数的奇偶性
第7课时函数的奇偶性知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，图像关于原点对称的函数叫作奇函数.知识点二函数奇偶性的定义(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作偶函数.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫作奇函数.(3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称.知识点三奇偶性与单调性(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.例1判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1x；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝xx－1；(4)f(x)＝x2－1＋1－x2.反思感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示.(1)画出f(x)的图像；(2)解不等式xf(x)>0.把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图像如图所示.(1)画出在区间[－5,0]]上的图像；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.例3函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式.反思感悟利用函数的奇偶性求函数解析式已知函数f(x)在区间[a，b]上的解析式，求函数f(x)在区间[－b，－a]上的解析式的一般方法：(1)设：设－b≤x≤－a，则a≤－x≤b.(2)求f(－x)：根据已知条件f(x)在区间[a，b]上的解析式可求得f(－x)的解析式.(3)求f(x)：根据函数f(x)的奇偶性来实现函数的解析式在f(x)与f(－x)之间的相互转化.跟踪训练3已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式.跟踪训练4已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.1.下列函数是偶函数的是()A.y ＝xB.y ＝2x 2－3C.y ＝xD.y ＝x 2，x ∈(－1,1]3.已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)等于( )A.－1B.1C.－5D.54.已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x －1，则当x <0时f (x )等于( )A.x ＋1B.x －1C.－x －1D.－x ＋15.定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )<f (b )，则一定可得( )A.a <bB.a >bC.|a |<|b |D.0≤a <b 或a >b ≥0 6.下列函数中奇函数的个数为( )①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5；③f (x )＝x ＋1x ；④f (x )＝1x 2. A.1 B.2 C.3 D.47.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A.f (x )＋|g (x )|是偶函数B.f (x )－|g (x )|是奇函数C.|f (x )|＋g (x )是偶函数D.|f (x )|－g (x )是奇函数8.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A.－13B.13C.12D.－129.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )2>0的解集为( ) A.(－3,0)∪(3，＋∞) B.(－3,0)∪(0,3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(0,3)10.已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________.11.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增加的，求实数a 的取值范围.。
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)首先，画出函数y=-x^2+2|x|+3的图像，然后确定函数的单调区间。
当x≥0时，y=-x^2+2x+3=-(x-1)+4；当x<0时，y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4.因此，在区间（-∞，-1］和［1，+∞）上，函数是增函数；在［-1，1］上，函数是减函数。
需要注意的是，函数单调性是针对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，因此对于区间端点只要函数有意义，都可以带上。
接下来，考虑函数f（x）=x^2+2(a-1)x+2在区间（-∞，4］上是减函数的情况下，求实数a的取值范围。
首先，要充分运用函数的单调性，以对称轴为界线这一特征。
将f（x）=x^2+2(a-1)x+2写成［x+(a-1)］^2-(a-1)^2+2的形式，可以发现其对称轴是x=1-a。
因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3.最后，判断函数f（x）=-2的奇偶性和函数f（x）=(x-1)的奇偶性。
对于第一个函数，其定义域为R，因为f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f（x），因此f（x）为奇函数。
对于第二个函数，其定义域为{x|-1≤x＜1}，不关于原点对称，因此f （x）既不是奇函数，也不是偶函数。
判断函数的奇偶性时，需要先求出函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称。
然后计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）=f（x）或f （-x）=-f（x）之一是否成立。
如果f（-x）与-f（x）的关系不明确，可以考查f（-x）±f（x）是否成立，从而判断函数的奇偶性。
最后，对于函数f（x）=|x|/x，需要判断其奇偶性并确定其在（-∞，+∞）上是增函数还是减函数。
由于f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x），因此f（x）为偶函数。
高中数学必修一教学课件函数的奇偶性 (共17张PPT)
点 A 关于 y 轴的对称点A1 的坐标是 ( x0 , f ( x0 ))
点 A1 在函数 y f ( x) 图像上吗？ 点 A1 坐标还可以表示为 ( x0 , f ( x0 ))
A1
0
A( x0 , y0 )
y f ( x)
f (-x)= f (x) 对于定义域内的任意实数x，都有 f (-x)= f (x)，这样的函数称为偶函数。
三、判断下列函数的奇偶性 例1 ：f ( x) x4 3x2
解 :Q 函数定义域为R，关于原点对称。 又 Q f ( x) ( x)4 3( x)2 x 4 3x 2 f ( x)
f ( x)是偶函数。
2 (1) f ( x ) x , x [3, 2) 例2.
A1
0
A( x0 , y0 ) 探究：如何用数学语言刻画
函数图像关于y轴对称呢？
点 A 关于 y 轴的对称点A1 的坐标是 ( x0 , f ( x0 ))
点 A1 在函数 y f ( x) 图像上吗？
y f ( x)
A1
0
A( x0 , y0 ) 探究：如何用数学语言刻画
函数图像关于y轴对称呢？
解: 函数的定义域是[3, 2)， 不关于原点对称。
f ( x)是非奇非偶函数。
判断函数奇偶性的步骤：
(1)先求定义域，看是否关于f (-x)= f (x)，则函数称为偶函数。 若f (-x)=- f (x)，则函数称为奇函数。
四、归纳小结 1.两个定义
A1
点 A 关于原点对称的坐标 A1 是 ( x0 , f ( x0 )) 点 A1 在函数 y f ( x) 图像上吗？ 点 A1 坐标还可以表示为 ( x0 , f ( x0 ))
新课标必修一：示范教案(3.2 奇偶性)
整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.三维目标1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.重点难点教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究.思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x 2表1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|表2③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f(x)=x 2,x ∈［-1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性.②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数. ③利用函数的解析式来描述.④偶函数的性质：图象关于y 轴对称.⑤函数f(x)=x 2,x ∈［-1,2］的图象关于y 轴不对称；对定义域［-1,2］内x=2，f(-2)不存在， 即其函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立. ⑥偶函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质. 给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则-x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质. 讨论结果:①这两个函数之间的图象都关于y 轴对称. ②x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x 2 9 4 10 1 4 9 表1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|321123表2这两个函数的解析式都满足： f(-3)=f(3);f(-2)=f(2); f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x ，都有f(-x)=f(x).③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. ④偶函数的图象关于y 轴对称. ⑤不是偶函数.⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称. 应用示例思路1例1判断下列函数的奇偶性: （1）f(x)=x 4； （2）f(x)=x 5； （3）f(x)=x+x1； （4）f(x)=21x. 活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)4=x 4=f(x)， 所以函数f(x)=x 4是偶函数.（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)5=-x 5=-f(x), 所以函数f(x)=x 4是奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-x+x-1=-(x+x 1)=-f(x)，所以函数f(x)=x+x1是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=)(12x -=21x =f(x)， 所以函数f(x)=21x 是偶函数. 点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数-x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(-x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数； 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 变式训练2006辽宁高考，理2设f(x)是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数分析:A 中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；B 中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；C 中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；D 中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数. 答案：D例22006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4，则当x ∈(0,+∞)时，f(x)=_______. 活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值. 分析:当x ∈(0,+∞)时，则-x<0. 又∵当x ∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4， ∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x 4. 答案：-x-x 4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值. 变式训练已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2+3x ，求f(x). 解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0；当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则 f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+3x -］=-x 2+3x ，综上所得，f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+.0,,0,0,0,3232x x x x x x x思路2例1判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=x 2,x ∈［-1,2］;（2）f(x)=122--x x x ；（3）f （x ）=42-x +24x -；（4）f （x ）=111122+++-++x x x x . 活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x ∈R ，有2x 1+>2x =|x|≥-x ，则2x 1++x>0.则函数的定义域是R .解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x 2,x ∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.（2）因为它的定义域为{x|x ∈R 且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=122--x x x 既不是奇函数又不是偶函数.（3）∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x ＝±2，即f （x ）的定义域是{－2，2}. ∵f （2）＝0，f （－2）＝0, ∴f （2）＝f （－2），f （2）＝－f （2）. ∴f （－x ）＝－f （x ），且f （－x ）＝f （x ）. ∴f （x ）既是奇函数也是偶函数. （4）函数的定义域是R . ∵f(-x)+f(x)=111111112222+++-++++-+--+x x x x x x x x=)11)(11()1(1)1(1222222++++-+--+++-+x x x x x x x x=)11)(11(121121222222++++-+-+-++---+x x x x x x x x x x=0,∴f （－x ）＝－f （x ）. ∴f （x ）是奇函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等；（2）当f(-x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(-x)＝-f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(-x)＝f(x)且f(-x)＝-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；（4）当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立. 变式训练2007河南开封一模，文10函数f(x)=x 2－2ax+a 在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 分析：函数f(x)=x 2－2ax+a 的对称轴是直线x=a ， 由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值，所以直线x=a 位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝x x f )(=x+xa-2， 下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.设1<x 1<x 2， 则g(x 1)-g(x 2)=(x 1+-1x a 2)-(x 2+-2x a 2)=(x 1-x 2)+(1x a2x a -)=(x 1-x 2)(121x x a-) =(x 1-x 2)2121x x ax x -.∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0.又∵a<1，∴x 1x 2>a.∴x 1x 2-a>0.∴g(x 1)-g(x 2)<0. ∴g(x 1)<g(x 2).∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1， （1）求证：f(x)是偶函数；（2）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数； （3）试比较f(25-)与f(47)的大小.活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f(25-)和f(47)转化为同一个单调区间上的函数值.解：（1）令x 1=x 2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x 1=x 2=-1，得f(1)=f ［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0. ∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数.（2）设x 2>x 1>0，则 f(x 2)-f(x 1)=f(x 1·12x x )-f(x 1)=f(x 1)+f(12x x )-f(x 1)=f(12x x ). ∵x 2>x 1>0，∴12x x >1.∴f(12x x)>0，即f(x 2)-f(x 1)>0. ∴f(x 2)>f(x 1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f(25-)＝f(25).由（2）知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(25)>f(47).∴f(25 )>f(47).点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值. 变式训练2007广东中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x 、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). （1）求f(1)、f(-1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由. 分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=－1，得f(-1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x). 解：（1）∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)， ∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0.∴令x=y=－1时，有f ［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1). ∴f(－1)=0. （2）是奇函数.∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)， ∴令y=－1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)， ∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 知能训练课本P 36练习1、2. ［补充练习］1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=_____.分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1). ∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.∴2［f(1)+f(2)］=-6.∴f(1)+f(2)=-3. 答案：-32.f （x ）=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，定义域为［a －1，2a ］，则a=_________，b=________. 分析：∵偶函数定义域关于原点对称, ∴a －1+2a=0.∴a=31. ∴f （x ）=31x 2+bx+1+b.又∵f （x ）是偶函数，∴b=0. 答案：310 3.2006山东高考，理6已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0). 又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0. ∴f(6)＝0.故选B.答案：B 拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性.探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数； 反比例函数y=xk(k≠0)是奇函数； 一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数； 二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数. 课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 作业课本P 39习题1.3A 组6，B 组3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.习题详解(课本P 32页练习)1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.2.图象如图1-3-2-2所示，图1-3-2-2函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)； 函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数. 4.证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则 f(x 1)-f(x 2)=(-2x 1+1)-(-2x 2+1)=2(x 2-x 1). ∵x 1<x 2，∴x 2-x 1>0.∴f(x 1)>f(x 2). ∴函数f(x)=-2x+1在R 上是减函数. 5.如图1-3-2-3所示，图1-3-2-3从图象上可以发现f （－2）是函数的一个最小值. (课本P 36练习)1.（1）对于函数f （x ）=2x 4+3x 2，其定义域为（－∞,+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=2（－x ）4+3（－x ）2=2x 4+3x 2=f （x ）, 所以函数f （x ）=2x 4+3x 2为偶函数.（2）对于函数f （x ）=x 3－2x ，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=（－x ）3－2（－x ）=－x 3+2x=－（x 3－2x ）=－f （x ）, 所以函数f （x ）=x 3－2x 为奇函数.（3）对于函数f(x)=xx 12+，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=x x -+-1)(2=x x 12+-=－f （x ）,所以函数f(x)=xx 12+-为奇函数.（4）对于函数f(x)=x 2+1，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有 f （－x ）=(-x)2+1=x 2+1=f （x ）, 所以函数f(x)=x 2+1为偶函数.2.f(x)的图象如图1-3-2-4所示，g(x)的图象如图1-3-2-5所示.图1-3-2-4 图1-3-2-5(课本P 39习题1.3)A 组1.（1）函数的单调区间是(-∞,25］,(25,+∞).函数y=f(x)在区间(-∞,25］上是减函数，在区间(25,+∞)上是增函数. （2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数. 图略.2.（1）设0<x 1<x 2，则有f(x 1)-f(x 2)=(x 12+1)-(x 22+1)=x 12-x 22=(x 1-x 2)(x 1+x 2). ∵0<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1+x 2<0. ∴f(x 1)>f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数. （2）设0<x 1<x 2，则有 f(x 1)-f(x 2)=(111x -)-(121x -)=21x 11x -=2121x x x x -.∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0.∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.3.设x 1、x 2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x 1＜x 2. 则y 1－y 2=（mx 1+b ）－（mx 2+b ） =m （x 1－x 2）.∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.当m ＜0时，∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴此时一次函数y=mx+b （m ＜0）在（－∞，+∞）上是减函数. 同理可证一次函数y=mx+b （m ＞0）在（－∞,+∞）上是增函数. 综上所得，当m ＜0时，一次函数y=mx+b 是减函数； 当m ＞0时，一次函数y=mx+b 是增函数.4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-2-6所示，图1-3-2-65.y=502x -+162x-2100=501-(x 2-8100x)-2100=501-(x-4050)2+307 050.由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307 050元.6.图略，函数f(x)的解析式为⎩⎨⎧<-≥+.0),1(,0),1(x x x x x xB 组1.（1）函数f(x)在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g(x)在［2,4］上为增函数. （2）函数f(x)的最小值为－1，函数g(x)的最小值为0.2.设矩形熊猫居室的宽为x m ，面积为y m 2，则长为2330x -m ，那么y=x 2330x-=21(30x-3x 2)=23-(x-5)2+275. 所以当x=5时，y 有最大值275, 即宽x 为5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是275m 2. 3.函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明：设x 1<x 2<0，则-x 1>-x 2>0.∵函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴f(-x 1)<f(-x 2).∵函数f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.(课本P 44复习参考题)A 组1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.2.（1）线段AB 的垂直平分线；（2）以定点O 为原心，以3 cm 为半径的圆.3.属于集合的点是△ABC 的外接圆圆心.4.A={－1,1}，（1）若a=0，则B=∅，满足B ⊆A ；（2）若a=－1，则B={－1}，满足B ⊆A ；（3）若a=1，则B={1}，满足B ⊆A.综上所述，实数a 的值为0,-1,1.5.A∩B={（x,y ）｜⎩⎨⎧=+=0y 3x 0y -2x }={（x,y ）|⎩⎨⎧==0y 0x }={（0,0）}; A∩C={（x,y ）|⎩⎨⎧==3y -2x 0y -2x }=∅； B∩C={（x,y ）｜⎩⎨⎧==+3y -2x 0y 3x }={（x,y ）｜⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5953y x }={（53,59-）}; （A∩B ）∪（B∩C ）={(0,0),(53,59-)}. 6.(1)要使函数有意义,必须|x|-2≥0,即x≤-2或x≥2,所以函数的定义域为{x|x≤-2或x≥2};（2）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≥+≥-,05,02x x 即⎩⎨⎧-≥≥,5,2x x 得x≥2.所以函数的定义域为{x ｜x≥2}；（3）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥-,05||,04x x 即x≥4，且x≠5.所以函数的定义域为{x ｜x≥4，且x≠5}.7.（1）f （a ）+1=111++-aa =12+a ; （2）f （a+1）=)1(1)1(1+++-a a =a a +-2. 8.（1）∵f （－x ）=22)(1)(1x x ---+=2211x x -+，∴f （－x ）=f （x ）. （2）∵f （x 1）=22)1(1)1(1x x -+=221111x x -+=222211x x x x -+=1122-+x x =2211x x -+-,∴f （x 1）=－f （x ）. 9.二次函数f(x)的对称轴是直线x=8k ，则有8k ≤5或8k ≥20.解得k≤40或k≥160，即实数k 的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞).10.（1）函数y=x -2是偶函数；（2）它的图象关于y 轴对称；（3）函数在（0，+∞）上是减函数；（4）函数在（－∞，0）上是增函数.B 组1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9，知共有9名同学参加两项比赛.已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人.2.实数a 的取值范围为{a ｜a≥0}.3.∵（A ∪B ）=（A ）∩（B ）={1，3}，A∩（B ）={2，4}， ∴B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.4.f （1）=1×（1+4）=5;f （－3）=－3×（－3－4）=21;f （a+1）=⎩⎨⎧-<++-≥++.1),3)(1(,1),5)(1(a a a a a a 5.证明：（1）f )2(21x x +=a·221x x ++b =22221b ab b ax x +++=21（ax 1+b ）+21（ax 2+b ）=21［f （x 1）+f （x 2）］，∴f （221x x +）=21［f （x 1）+f （x 2）］. （2）g （221x x +）=（221x x +）2+a·221x x ++b =21（21x +ax 1+b ）+21（22x +ax 2+b ）－41（x 1－x 2）2 =21［g （x 1）+g （x 2）］－41（x 1－x 2）2, ∵－41（x 1－x 2）2≤0, ∴g （221x x +）≤21［g （x 1）+g （x 2）］. 6.（1）奇函数f （x ）在［－b,－a ］上是减函数；（2）偶函数g （x ）在［－b,－a ］上是减函数.7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋1.02578.26-≈1317.8（元）.。
高一函数奇偶性常考知识点
高一函数奇偶性常考知识点函数的奇偶性是高中数学中的一个重要概念，也是函数性质分析中经常出现的题型。
了解函数的奇偶性特点，可以帮助我们简化计算和解题过程。
本文将介绍高一函数奇偶性的常考知识点。
一、函数的奇偶性概念函数的奇偶性是指函数关于坐标原点的对称性。
具体而言，如果对于任意的x，函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则函数f(x)称为偶函数；如果对于任意的x，函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则函数f(x)称为奇函数。
二、奇偶性的性质1. 偶函数的性质- 偶函数关于y轴对称，即图像关于y轴对称；- 偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一个区间；- 偶函数的图像在y轴上对称，即对于图像上的每一点(x, y)，也存在相应的点(-x, y)，在图像上对应的两点关于y轴对称。
2. 奇函数的性质- 奇函数关于原点对称，即图像关于原点对称；- 奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一个区间；- 奇函数的图像关于原点对称，即对于图像上的每一点(x, y)，也存在相应的点(-x, -y)，在图像上对应的两点关于原点对称。
三、计算函数的奇偶性1. 利用函数表达式判断奇偶性- 当函数表达式中只含有偶指数幂的项且系数非零时，函数为偶函数；- 当函数表达式中只含有奇指数幂的项且系数非零时，函数为奇函数；- 当函数表达式中含有奇数个奇指数幂的项且系数非零时，函数既不是偶函数也不是奇函数。
2. 利用函数的性质判断奇偶性- 若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；- 若函数的图像关于y轴对称而不关于原点对称，则函数为偶函数；- 若函数既不关于y轴对称也不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数。
四、常见函数的奇偶性1. 偶函数的例子- 幂函数：y = x^n（n为正整数且为偶数）- 余弦函数：y = cos(x)- 绝对值函数：y = |x|- 常函数：y = k（k为常数）2. 奇函数的例子- 正弦函数：y = sin(x)- 正切函数：y = tan(x)- 反正比函数：y = cot(x)- 倒数函数：y = 1/x（x ≠ 0）五、应用函数的奇偶性在数学题目中有广泛的应用，常见的应用包括：1. 确定函数的对称中心：根据函数的奇偶性，可以确定函数图像的对称中心，帮助我们更好地绘制函数图像；2. 确定函数的性质：根据函数的奇偶性，可以快速判断函数的性质，如极值点、零点等；3. 简化计算过程：根据函数的奇偶性，可以简化函数的计算过程，并帮助我们更快地求解问题。
高中数学必修一-函数的奇偶性
函数的奇偶性知识集结知识元根据奇偶性求值知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲根据奇偶性求值例1.设y=f（x）是定义域为R的偶函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=|x-1|，则f（-1）=（）A．0B．1C．-1D．2例2.已知定义域为R的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，则=（）A．B．C．D．例3.下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=-（x-1）2B．C．f（x）=3|x|D．f（x）=cos x例4.已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则=（）A．2B．C．D．函数的奇偶性中的含参数问题知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲函数的奇偶性中的含参数问题例1.已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋1）．若f（a）＝﹣2，则实数a＝．例2.若f（x）＝2x＋a•2﹣x为奇函数，则a＝．例3.设函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝．根据函数的奇偶性求函数解析式知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲根据函数的奇偶性求函数解析式例1.设f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋）＋1，则f（x）表达式为．例2.'已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，，求f（x）在R上的解析式.'例3.已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，，则f（x）的解析式为．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数奇偶性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.已知一个奇函数的定义域为{-1，2，a，b}，则a+b=（）A．-1B．1C．0D．2例2.已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x，则当x<0时，f（x）的解析式是（）A．f（x）=-x（x+2）B．f（x）=x（x-2）C．f（x）=-x（x-2）D．f（x）=x（x+2）例3.若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（）A．f（x）∙f（-x）>0B．f（x）∙f（-x）<0C．f（x）<f（-x）D．f（x）>f（-x）例4.y=f（x）为奇函数，当x>0时f（x）=x（1-x），则当x<0时，f（x）=______。
人教课标版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案-新版
1.3 第三课时 函数的奇偶性一、教学目标（一）核心素养函数的奇偶性从图形观察开始,发现图象典型特征,猜想出相关结论,通过数据验证,给出证明全过程,最后生成概念.这一过程包含了发现、猜想、证明的数学思维方式,也培育了学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数据分析等数学核心素养.（二）学习目标1.了解奇函数、偶函数的定义2. 运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性3. 结合函数单调性,解决函数的综合问题（三）学习重点1.理解奇函数、偶函数的概念2. 判断函数的奇偶性（四）学习难点函数奇偶性的应用二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）偶函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内____一个x ,都有_______,那么函数()f x 就叫做偶函数.（2）奇函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内____一个x ,都有_______,那么函数()f x 就叫做奇函数.详解:（1）任意,()()f x f x =-;（2）任意,()()f x f x =--2．预习自测（1）作函数,y x y x ==的图象,初步判断函数为奇函数还是偶函数.详解:由图象初步判断y x =为偶函数,y x =为奇函数(二)课堂设计1.知识回顾（1）函数的定义（2）函数的单调性2.问题探究探究一偶函数、奇函数的概念生成=图象,探求对称关系本质●活动①观察函数2y x=,y x师:同学初中数学学习过图形的对称关系,请说出上图的对称关系=函数图象关于y轴对称.生:2y x=,y x=图象的对称关系？师:如何验证2=,y xy x生:可以把图象画在一张白纸上,沿着y轴对折,y轴两边的图象重合.师:作图会有误差的情况出现,有更严谨的验证方法吗？（提示点的坐标）生:可以在图象上取若干个点来验证.师:图象是由点构成的,研究图象对称关系,其实质是研究点的坐标对应关系.因此,我们在图象上取点验证,就涉及到以下几个问题:第一,如何取点？不妨先取部分特殊点（整数点方便计算）:我们由函数解析式,取x为整数时,计算相应y的值,对应整数点(,)x y在图象中的位置进行观察.2y x=:(-1,1),(-2,4),(-3,9),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)=:(-1,1),(-2,2),(-3,3),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)如下表:y x可以发现:(,)x y为坐标的整数点位于函数图象上,且这些整数点在图象上的位置是关于y轴对称.第二,如何验证？这些整数点关于y 轴对称,从“形”上观察:对折后“重合”,即点与点对折后合为一个点.因此在坐标系中这些点不是孤立的,是成对出现的,而且它们的相对位置“远近高低”相同一致.“远近”相同,是指点与y 轴的距离,即横坐标的绝对值x 相等.“高低”一致,高度相等,是指点与x 轴的距离,即纵坐标的绝对值y 相等.从“数”上分析:由表中数据,“远近”相同时,相应整数点横坐标是互为相反数;“高低”一致时,相应整数点纵坐标是相等的.第三,严谨性.刚才我们对部分整数点进行了验证,由特殊到一般的思想,我们可以验证:在图象上任取一点(,)A A A x y 时,图象上有一个点(,)B B B x y 与之对应,当AB 两点的坐标满足0A B x x +=且A B y y =时,它们对折之后才能重合.由A 的任意性,确定了相对应点B 的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于y 轴对称.当AB 两点投影到x 轴时,,A B x x 的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系0A B x x +=,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称.师:由以上探究发现,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.若我们在图象上任意取两个点AB ,若它们的坐标满足0A B x x +=且A B y y =（两点任意、横相反、纵相等）,就可以说该图象关于y 轴对称,我们称这类函数为偶函数.【设计意图】图象的对称实质的研究,让学生更深层次体会函数图象与数量关系的本质联系,进一步加深了函数对应关系这一核心思想的理解.●活动② 偶函数概念的生成师:按照函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的思想,及“两点任意、横相反、纵相等”的原则,能否定义偶函数.生:图象关于y 轴对称的函数为偶函数.师:函数以定义域优先的原则,从数量关系上定义更严谨,参考函数单调性的定义. 生:一般地,函数()y f x =,定义域内任取12,x x ,满足120x x +=且12()()f x f x =时,称()y f x =为偶函数.师:这位同学抓住了“两点任意、横相反、纵相等”的原则,我们在此基础上进行提炼,“任取12,x x 满足120x x +=”可以变形为12x x =-.可把这个关系简化为“x 与x -”,因此我们如下定义偶函数:一般地,函数()y f x =定义域I ,x I ∀∈（x I -∈）都有()()f x f x =-时,那么称()y f x =为偶函数.师:若()y f x =为偶函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？ 生:图象关于y 轴对称.函数的定义域关于(0,0)O 对称.师:这样说可以吗？（1）偶函数图象关于y 轴对称.（2）图象关于y 轴对称的函数是偶函数.（3）偶函数的定义域关于(0,0)O 对称.（4）定义域关于(0,0)O 对称的函数是偶函数.生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在x 轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）函数()f x x =,定义域R 关于原点对称,图象不关于y 轴对称,不正确.【设计意图】图象的对称关系的实质探究,让学生从“形”定性的认识,到 “数”的定量分析;研究图象,就研究其构成元素所有点的坐标关系,由特殊点再到任意点,由函数对应关系的本质,深入到定义域,值域层面研究.整个探究过程由外到内、由形到数、由整体到局部、由特殊到一般的思想,体现了数学概念生成过程趣味横生. ●活动③奇函数的概念生成师:由（4）知,并不是所有的函数都是偶函数,偶函数只是众多函数中较典型的一类.请同学们观察函数y x =,1y x=图象,完成下面两个函数值对应表.师:请观察y x =,1y x =图象,及函数值对应表特征,上图有何对称关系？如何验证？生:y x =,1y x=图象关于原点成中心对称关系,函数图象整体围绕着(0,0)O 旋转0180与原图象重合.师:由上面的推导,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.同学们能总结关于图象关于原点对称的本质关系吗？生:在图象上任取一点(,)A A A x y 时,图象上有一个点(,)B B B x y 与之对应,当AB 两点的坐标满足0A B x x +=且0A B y y +=时,它们对折之后才能重合.由点A 的任意性,确定了相对应点B 的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于原点对称.当AB 两点投影到x 轴时,,A B x x 的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系0A B x x +=,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称,0A B y y +=也说明了值域也有对称关系,即值域关于原点对称.师:我们在图象上任意取两个点AB ,若它们的坐标满足0A B x x +=且0A B y y +=（两点任意、横相反、纵相反）,就可以说该图象关于原点对称,我们称这类函数为奇函数.师:由偶函数定义,及“两点任意、横相反、纵相反”的原则,能否定义奇函数.生:一般地,函数()y f x =定义域I ,x I ∀∈（x I -∈）都有()()(()()0)f x f x f x f x -=-+-=时,那么称()y f x =为奇函数.师:若()y f x =为奇函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？ 生:图象关于原点对称.函数的定义域关于原点对称.师:这样说可以吗？（1）奇函数图象关于原点对称（2）图象关于原点对称的函数是奇函数（3）奇函数的定义域关于原点对称（4）定义域关于原点对称的函数是奇函数生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在x 轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）也可能是偶函数,不正确.师:我们对偶函数、奇函数的定义作了介绍,我们称函数的这类性质为奇偶性.奇偶性是一部分函数的性质,因此我们在判断函数是否奇偶性？第一,图象法.可以从图象特征观察:若图像关于y 轴对称,我们称之为偶函数,否则该函数不是偶函数;若图像关于原点对称,我们称之为奇函数,否则该函数不是偶函数;因此,从奇偶性的角度可以将函数分类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数（简称非奇非偶函数）.第二,定义法.也可以从数量特征观察:首先判定函数定义域是否关于原点对称, 若不对称,则该函数为非奇非偶函数;若对称,再判断()f x 与()f x -关系:如果()()f x f x =-,则该函数为偶函数.如果()()0f x f x +-=,则该函数为奇函数.【设计意图】偶函数的概念生成,为奇函数的概念引入奠定了基础,有共同的思维方式,也有不同的内在体现,让学生对函数奇偶性的概念生成过程,及本质内涵有更深的理解.探究二:函数奇偶性的判断.●活动①定义法判断函数奇偶性.例1 判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）()f x =（2）1()1f x x =- 【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）()f x ={}1不关于原点对称. ()f x ∴为非奇非偶函数（2）1()1f x x =-函数的定义域(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞关于原点对称. 11()()11f x f x x x -===--- ()f x ∴为偶函数 【思路点拨】由定义法判断【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数同类训练:判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）1()1f x x =-（2）()f x = 【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）1()1f x x =-函数的定义域(,1)(1,)-∞⋃+∞不关于原点对称 ()f x ∴为非奇非偶函数（2）()f x =函数的定义域{1}{1}-⋃关于原点对称()()f x f x -=== ()f x ∴为偶函数【思路点拨】定义法灵活运用【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数【设计意图】让学生明确定义法判断函数奇偶性的步骤.●活动②定义法、图象法判断函数奇偶性.例2:判断函数(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性 【知识点】分段函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞关于原点对称.当0x >时,0x -<()()[1()](1)()(0)f x x x x x f x x ∴=---=-+=->当0x <时,0x ->()()[1()](1)()(0)f x x x x x f x x ∴=-+-=--=-<综上所述,()()f x f x -=-,()f x 奇函数.【思路点拨】定义法、用图象法【答案】奇函数同类训练 判断函数2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨--->⎩的奇偶性 【知识点】函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：当0x >时,0x -<22()()2()323()(0)f x x x x x f x x ∴=---+=++=->当0x <时,0x ->22()()2()323()(0)f x x x x x f x x ∴=-----=-+-=-<综上所述,()()f x f x -=-,()f x 奇函数【思路点拨】对于较熟悉的函数,可以作函数图象法判断单调性.【答案】奇函数【设计意图】定义法、图象法灵活运用, 判断函数奇偶性.●活动③利用性质法判断函数奇偶性.例3 判断函数24()f x x x =+奇偶性.【知识点】性质法:对于两个函数在定义域关于原点对称的情形下,函数的奇偶性质,偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）仍为奇（偶）函数;一个奇函数与偶函数的积为奇函数,这样的方法称为性质法.【数学思想】化归思想【解题过程】解：24()f x x x =+函数的定义域R 关于原点对称.记:21()f x x =,函数的定义域R 关于原点对称.211()()()f x x f x -=-=,21()f x x ∴=为偶函数;42()f x x =,函数的定义域R 关于原点对称.422()()()f x x f x -=-=,42()f x x ∴=为偶函数.性质法:24()f x x x =+为偶函数.【思路点拨】函数12()()f x f x 、的定义域必须满足定义域关于原点对称,且12()()f x f x 、定义域的交集为()f x 的定义域也必须关于原点对称,判断各分函数的奇偶性,再判断复合后的奇偶性.【答案】偶函数同类训练 判断35()f x x x x =++奇偶性.【知识点】奇偶性判断【数学思想】化归思想【解题过程】35()f x x x x =++函数的定义域R 关于原点对称35()()()()()f x x x x f x -=-+-+-=- ()f x ∴为奇函数.【思路点拨】可由性质法证明【答案】奇函数【设计意图】在部分题目特别是选择题、填空题判断奇偶性时,性质法方便快捷,但此部分涉及到复合函数定义域的问题,对学生能力要求较高.探究三: 函数综合问题●活动①奇偶函数图象问题例4如图所示为偶函数()f的大小．f与(3)y f x=的局部图象,试比较(1)【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：作()x∈--的图象关于y轴对称的图象．=在[3,1]y f x由图象知(3)(1)>f f【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】(3)(1)>f f同类训练如图所示为奇函数()f的大小．f与(3)y f x=的局部图象,试比较(1)【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：法一:由图象知(3)(1)->-,又()f x是奇函数.f f∴<f ff f f f(3)(3),(1)(1)∴-=--=-,(3)(1)法二:因为()y f x =是奇函数,故由对称性可作出[1,3]x ∈时的图象,由图象知(3)(1)f f <．【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】(3)(1)f f <【设计意图】由于奇函数、偶函数图象的对称性,因而如果知道一个函数是奇函数或偶函数,只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分,得出函数在一部分上的性质和图象,就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象．●活动②函数奇偶性的应用例5若()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()(2)f x x x =-,求函数()f x 的解析式．【知识点】利用奇偶性求解析式【数学思想】转化与化归思想【解题过程】解：法一:()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f x f x ∴-=-,(0)0f =.当0x >时,0x -<,()()(2)f x f x x x ∴=--=+．∴函数()f x 的解析式为(2),0()0,0(2),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.法二:()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f x f x ∴-=-,(0)0f =.令t x =-,若0x <,则0t >,且x t =-.()(2)(0)f x x x x =-<,()(2)f t t t ∴-=-+,即()(2)f t t t -=-+．()(2)f t t t ∴=+,0x ∴>时,()(2)f x x x =+．∴函数()f x 的解析式为(2),0()0,0(2),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.【思路点拨】在未知范围内取值，利用转化到已知范围内的函数解析式求解；也可以用图象对称关系，待定系数法求解析式。
高中数学必修一课件：奇偶性(第1课时)
(5)由x2－1≠0，得x≠±1，
∴f(x)＝
1 x2－1
【分析】 讨论函数的奇偶性首先要确定函数的定义域，如果定义域不关 于原点对称，那么可判定为非奇非偶函数，如果定义域关于原点对称，那么看 f(－x)＝±f(x)(或f(－x)±f(x)＝0)是否成立．
【解析】 (1)f(x)的定义域为R，∀x∈R，都有－x∈R，
且f(－x)＝－x5－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)如图2是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为 __f(_3)_>_f(_1)__．
【解析】 ∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)， ∴f(3)>f(1)．
(3)已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所
有实根之和是( D )
课后巩固
1．函数f(x)＝x2＋ x的奇偶性为( D )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称．
2．【多选题】下列函数中是偶函数的是( AD )
A．y＝x4－3
B．y＝x2，x∈(－3，3]
C．y＝－x－3x
D．y＝x2－1 1
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)( B )
探究2 (1)如果函数图象经过原点，那么此函数不论是奇函数还是偶函数， 其图象与x轴的交点个数必为奇数．如果函数图象不经过原点，那么此函数不论 是奇函数还是偶函数，其函数图象与x轴的交点个数必为偶数．
高中数学-必修一5.2.1函数奇偶性-知识点
高中数学-必修一5.2.1函数奇偶性-知识点1、偶函数：对于定义域内任意实数x，都有f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称；奇函数：对于定义域内任意实数x，都有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。
奇函数若在x=0时有定义，则必有f(0)=0 .2、函数奇偶性的判断：①看定义域是否关于原点对称，若不对称，则非奇非偶，若对称，则进行下一步，②验证f(x)= -f(-x) 还是= f(-x) ，③下结论。
3、f(x)=0既是奇函数，又是偶函数。
4、函数奇偶性的运算法则：（1）加/减法法则：①偶函数±偶函数=偶函数；②奇函数±奇函数=奇函数；③偶函数±奇函数=非奇非偶。
（2）乘/除法法则：①偶函数×/÷偶函数=偶函数；②奇函数×/÷奇函数=偶函数；③偶函数×/÷奇函数=奇函数。
5、常见函数的奇偶性：①一次函数y=kx+b，当b=0时是奇函数，②反比例函数y=k/x是奇函数，③二次函数y=ax2+bx+c，当b=0时是偶函数。
6、对于复合函数f[g(x)]，g(x)称为内函数，f(x)称为外函数，复合函数奇偶性的判断口诀：①内偶则偶，内奇同外；②有偶则偶，无偶则奇。
7、可以通过函数（或函数的某部分）的奇偶性，由f(a)求f(-a)的值。
典例：已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，求f(2)。
解析：令g(x)=x5+ax3+bx ，因为是奇函数，可求得g(-2)= 18，所以g(2)= -18，所以f(2)= -26。
8、根据奇偶性求函数解析式.典例：f(x)为R的奇函数，当x>0时，f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)在x<0时的解析式。
解法：令x<0 ，则-x>0 ，f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1,因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-(-2x2-3x+1)=2x2+3x+1 .9、含参数的函数的奇偶性，需要分类讨论，既可以讨论奇偶性，也可以讨论a 的取值。
函数的奇偶性说课稿
函数的奇偶性说课稿各位老师：大家早上好。
我今天说课的内容是人民教育出版社出版的普通高中标准实验教科书数学必修一第一章第三节第二课时——奇偶性。
下面我将会从教材内容、教学目标、教学方法、教学过程四个方面向大家介绍我对本节课的理解与设计。
不妥之处，敬请指教。
一、教材分析“函数的奇偶性”是新课标人教版《数学1》第一章第三节的教学内容。
学习本节课的内容需要运用到几何中对称的概念。
1.教材的地位和作用“函数的奇偶性”是函数的一条重要性质，从知识结构上看，函数的奇偶性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等内容的基础，在研究各种具体函数的性质，解决各种问题中都有广泛的应用。
2.教学重点和难点重点：奇偶函数形式化的定义。
难点：奇偶函数形式化定义的认识和理解。
用定义判定函数的奇偶性。
二、教学目标分析1.知识与技能：理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法。
2.方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感态度与价值观：在学习中，体验数学的美感，培养善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
三、教学方法分析教法分析：为了更好的把握教学内容的整体性和联系性，在教学中应启发引导，以问题为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的、对学生的数学思维有适度启发的问题，能引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方法。
学法分析：让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。
让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
四、教学过程分析我设置的教学换届分别是概念导入、概括归纳、概念辨析、课堂练习、小结作业等。
人教新课标版数学高一-必修一 1.3.2奇偶性
数学人教A 必修1第一章1．3.2 奇偶性1．了解奇函数、偶函数的定义，明确定义中“任意”两字的意义． 2．了解奇函数、偶函数图象的对称性． 3．会用定义判断函数的奇偶性．1．偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f (x )的定义域内______一个x ，都有f (－x )＝______ f (－x )＝______结论 函数f (x )叫做偶函数 函数f (x )叫做奇函数 图象特征 图象关于______对称 图象关于______对称(1)奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f (－x )与f (x )有意义，则－x 与x 同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．(2)函数f (x )是偶函数对定义域内任意一个x ，有f (－x )－f (x )＝0f (x )的图象关于y 轴对称．(3)函数f (x )是奇函数⇔对定义域内任意一个x ，有f (－x )＋f (x )＝0f (x )的图象关于原点对称．【做一做1－1】 函数y ＝f (x )，x [－1，a ](a ＞－1)是奇函数，则a 等于( )．A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定【做一做1－2】下列条件，可以说明函数y＝f(x)是偶函数的是()．A．在定义域内存在x使得f(－x)＝f(x)B．在定义域内存在x使得f(－x)＝－f (x)C．对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)D．对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)2．奇偶性基本初等函数的奇偶性如下：【做一做2－1】函数y＝x是()．A．奇函数B．偶函数C．奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【做一做2－2】函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__________.答案：1．任意f(x)－f(x)y轴原点【做一做1－1】 C【做一做1－2】D2．奇偶性【做一做2－1】A【做一做2－2】0理解函数的奇偶性剖析：函数f (x )的奇偶性的定义是用f (－x )＝±f (x )来刻画函数f (x )的图象的特征(图象关于原点或y 轴对称)的；函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同．从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的局部性质，而奇偶性是函数的整体性质．只有对函数f (x )的定义域的每一个值x ，都有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，才能说f (x )为偶函数或奇函数；定义中要求“对于函数f (x )的定义域内任意一个自变量x ，都有f (－x )＝f (x ) (f (－x )＝f (x ))”成立，其前提为f (－x )和f (x )都有意义，所以－x 也属于f (x )的定义域，即自变量x 的取值要保持关于原点的对称性，于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集，这是函数存在奇偶性的前提．例如将函数f (x )＝x 2＋1，f (x )＝x 的定义域分别限定为(0，＋)与(－3,3]，那么它们都为非奇非偶函数；函数的奇偶性定义中的等式f (－x )＝－f (x )〔或f (－x )＝f (x )〕是其定义域上的恒等式，而不是对部分x 成立．如：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，|x |≤1，x ＋1，|x |>1，尽管当|x |≤1时，都有f (－x )＝f (x )，但当|x |＞1时，f (－x )≠f (x )，所以它不是偶函数．题型一 判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝x 3－2x ；(3)f (x )＝x 4＋x 2＋1.分析：先求出定义域，再判断f (－x )与f (x )的关系． 反思：判断函数奇偶性的方法： (1)定义法：(2)图象法：如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图象关于原点和y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图象关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．本题(1)容易错解为：由题意得f (x )＝2x 2＋2xx ＋1＝2x ，f (－x )＝－2x ＝－f (x )，则函数f (x )＝2x 2＋2xx ＋1是奇函数．其错误原因是没有讨论该函数的定义域．避免出现此类错误的方法是在讨论函数的奇偶性时，要遵循定义域优先的原则．题型二 利用函数奇偶性作图 【例2】 已知函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，请在坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，并说明作图依据．分析：先证明f (x )是偶函数，再依据其图象关于y 轴对称作图．反思：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．题型三 利用函数的奇偶性求函数的解析式【例3】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (1－x )，求函数f (x )的解析式．反思：(1)若f (x )是奇函数，f (0)有意义，则f (0)＝0；(2)已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．题型四 易混易错题易错点 分段函数奇偶性的判断【例4】 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x 3，x ≥0的奇偶性．答案：【例1】 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数又不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝2x －x 3＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )4＋(－x )2＋1＝x 4＋x 2＋1＝f (x )，所以f (x )是偶函数．【例2】 解：∵f (x )＝1x 2＋1，∴f (x )的定义域为R .又对任意x R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．则f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．【例3】 解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．当x ＞0时，－x ＜0， ∴f (x )＝－f (－x )＝x (1＋x )．当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝－f (0)， ∴f (0)＝0.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x >0，0，x ＝0，x (1－x )，x <0.【例4】 错解：∵当x ＜0时，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )；当x ≥0时，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，∴当x ＜0时，函数f (x )是偶函数；当x ≥0时，函数f (x )是奇函数．错因分析：“当x ＜0时，函数是偶函数；当x ≥0时，函数是奇函数”这种说法是错误的．函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的．因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义进行判断．正解：显然f (x )的定义域关于原点对称．当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3，f (x )＝x 2，于是f (－x )≠±f (x )，故函数f (x )既不是奇函数又不是偶函数．1函数f (x )＝x 4＋x 2( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数2函数y ＝2(1)1x x x ++( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 3若函数f (x )满足()()f x f x -＝1，则f (x )图象的对称轴是( )．A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．不能确定 4已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝21x +，试求f (x )的解析式． 5定义在[－3，－1][1,3]上的函数f (x )是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f (x )的图象． (2)比较f (1)与f (3)的大小．答案：1． B 定义域是R ，f (－x )＝(－x )4＋(－x )2＝x 4＋x 2＝f (x )，所以函数是偶函数． 2． D 定义域是(－，－1)∪(－1，＋)，不关于原点对称，所以函数既不是奇函数又不是偶函数．3． B 由于f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称． 4．解：当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝f (－x )＝21x -+， ∴f (x )＝2,0,12,0,1x x x x ⎧≥⎪⎪+⎨⎪<⎪-+⎩即f (x )＝21x +.5．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．(2)观察图象，知f (3)＜f (1)．。
高中数学必修一(人教版)《3.2.2 奇偶性》课件
[方法技巧] 巧用奇函数、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇 函数、偶函数图象的问题．
提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有 确定的奇偶性．
【对点练清】 1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝2xx2＋＋12x. 解：(1)函数 f(x)的定义域为 R .
就叫做偶函数
就叫做奇函数
续表
图象特点
关于 y轴 对称
关于 原点 对称
定义域特征
关于 原点 对称
奇偶性
如果函数是奇函数或是偶函数，那么称函数f(x)具有 _奇__偶__性___
[微思考] 既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)＝0(x∈R)这一函数吗？ 提 示 ： 不 是 只 有 一 个 ， 有 无 数 个 ， 如 f(x) ＝ 0(x ∈ [ － 1,1]) ， f(x) ＝ 0(x ∈ [ － 2,2])．
x2＋2x＋3，x＜0， 2．已知函数 f(x)＝0，x＝0，
－x2＋2x－3，x＞0，
试判断函数 f(x)的奇偶性．
解：函数 f(x)的定义域为 R ，关于原点对称．
当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3 ＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 当 x＝0 时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)； 当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．
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这是北京的哪座建筑呢?
y x2
y
0
x
y
1 x
y
0
x
y 5x4 6x2 1
y x2
如何用数学语 言表述函数图象 关于y轴对称呢？
y
-1 0 1
x
y f (x)
点A关于原点的对称点A’ 的坐标是_(_−_x_,_−_f_(_x_))____.
y
A(x，f (x))
点A’在函数 y = f (x) 的图象上吗？
思考题:
1.函数
是奇函数,求m
的值. f (x) mx2 (m 1)x
2.有没有既是奇函数又是偶函数的函 数? 并说明理由.
x
所以函f数(x) 2 x 是2 x偶函f数(x。)
f (x) 2 x
(4) f (x) (x 1)2
解：函数
的定义域是R。
因为
f (，x) (x 1)，2 所以，
，f (1) 0 f (1) ，4
因此，f (根1)据 f函(数1)奇f偶(1性) 定 f义(，1)
可以知道函数
，
既不是奇函数也不是f (偶x)函 (数x 。1)2
(1) f (x) x2 1 ；
(2) f (x) 2x
解：函数 f (x) 2x 的定义域是R。 因为对于任意的 x R，都有 f (x) 2(x) 2x f (x) ， 所以函数 f (x) 2x奇函数。
f (x) 2 x(3)
解: 函数
的定义域是R。
因为对于任f (意x)的 2 x R，都有
例4:对于定义在R上的函数 f (x)， 下列判断是否正确？
(1)若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
(2)若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函 数．
• 小结: 1. 体会数学中的对称美. 2.奇函数、偶函数的定义. 3.函数奇偶性的判定方法.
作业： 评价手册P27-28
-1 0 1
x
点A’的坐标还可以表示 为_(−_x_，__f__(−_x_)_)____.
y f (x)
y
点A关于原点的对称点A’ 的坐标是_(_−_x_,_−_f_(_x_))_的图象上吗？
O
点A’的坐标还可以表示 为_(−_x_，__f__(−_x_)_)____.
A(x，f (x))
x
例1:判断函数 y 3x(2 x 2) 是否具 有奇偶性
6
具有奇偶性的函数,其定义域表现在 数轴上有什么特点?
其定义域关于数0对称.
例2:判断下列函数是否具有奇偶 性：
(1) f (x) x2，x [3，1]
(2) f (x) x 1
例3:判断下列函数是否为奇函数或 偶函数：