2013年全国高中数学联赛试题及参考答案
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
=
±
1 2
8.
247 256
.
ab
=
1 4
5
9
18 247
P
=
1−
29
=
. 256
9.
{an}
a1 = 2, an = 2(n + an−1), n = 2, 3, . . .
a1 = 2, a2 = 2(2 + 2) = 8 n 3
an − 2an−1 = 2n, an−1 − 2an−2 = 2(n − 1).
3 6
AB
=
√
3 6
,
P
M
=
√ MH2
+
PH2
=
√
1 12
+2
=
53 6
√ r = 2/6
r
OK
MH 1
√
=
2−r
PO
=∼ ∠KP O =
PM
=, 5
5.
[0, π)
sin 12x = x
4.
x>1
| sin 12x| 1 < x
[0, 1] 3π < 12 < 4π
sin 12x
3/2
2
4
√
6.
f (x)
盘的所有不同可能铺法的数目是 Tn ．下面的图是 n 3 时的两种不同的铺法：
a）求 T10 ；并且 b）求 T2013 的个位数．
2013
0
8
(B )
1. 3 4.
3c4 c = 3, 4 √
2. i = −1
34
c c2 > 43 − 33 > 22,
2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准
2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各 题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。
2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本 评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
一．选择题（本题满分30分，每小题5分）1．已知集合2{|2100},{|121}A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-．当A B =∅时，实数m 的取值范围是（ ）．(A) . 24m << (B). 2m <或4m > (C). 142m -<< (D)．12m <-或4m > 1. (B).2．过原点的直线l交双曲线xy =-P 、Q 两点，其中点P 在第二象限，将下半平面沿x 轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ 的最短长度是（ ）． (A). (B). (C).(D)．4 2. (D)．3．设,,a b c 均为非零复数，令12w =-+，若a b c b c a ==，则a b c a b c +--+的值为（ ）． (A) . 1 (B). w ± (C). 21,,w w (D)．21,,w w -3. (C).4．设()f x 是(0,)+∞上的单调函数，且对任意(0,)x ∈+∞，都有2[()log ]6f f x x -=．若0x 是方程'()()4f x f x -=的一个解，且*0(1,)()x a a a N ∈-∈，则a 的值为（ ）． (A) . 1 (B). 2 (C). 3 (D)．44. (B)． 5．2+，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（ ）．(A) . 30 (B). 33 (C). 36 (D)．39 5. (C)．6．已知实数,x y 满足2217()30160x y xy +--=．最大值是（ ）．(A) . 7 (B)(C).(D)．3 6. (A) .二．填空题（本题满分30分，每小题5分） 7．若222,2222aba ba b c a b c ++++=++=，则2c 的最大值是 ．7.43. 8．长方体1111ABCD A BC D -中，14,3AB AA AD ===，则异面直线1A D 与11B D 的距离为 ．8..9．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，斜率为1且过点(,0)M b 的直线与椭圆交于A 、B 两点．设O 为坐标原点，若32cot 5OA OB AOB ⋅=∠，则该椭圆的方程是 ． 9.141622=+y x . 10．将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有 种．10. 4212.11．已知函数21,0,()(1)1,0,x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩设方程()f x x =在区间(0,]n 内所有实根的和为n S ，则数列{1nS }的前n 项和= ．11.12+n n .12．数列{n a }中，11221(2)n n n aa a n n n---=++≥，则此数列的通项公式n a = ．12.1(1)(21)n n a n +=+-. 三．解答题13．设关于x 的方程210x mx --=有两个实根,()αβαβ<，函数22()1x mf x x -=+. （1）求()()f f ααββ+的值；（2）判断()f x 在区间(,)αβ的单调性，并加以证明；（3）若,λμ均为正实数，证明：|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++.13. 解: (Ⅰ)∵,αβ是方程210x mx --=的两个根， ∴,1m αβαβ+==-，∴2222()1()1()m f αααβαβααααβααβα--+-====+-- ，∴()1f αα=，同理可得()1f ββ= ∴()()2f f ααββ+=， ………………（5分）（Ⅱ）∵222222(1)2()()()(1)(1)x mx x x f x x x αβ----'=-=-++， 当(,)x αβ∈时，()0f x '>，∴()f x 在(,)αβ上单调递增． ………………………（10分）（Ⅲ）∵()0λαμβμβααλμλμ+--=>++，()0λαμβλαββλμλμ+--=<++， ∴λαμβαβλμ+<<+ ∴由（Ⅱ）可知，()()()f f f λαμβαβλμ+<<+， 同理()()()f f f μαλβαβλμ+<<+， ∴|()()||()()|f f f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++， ……………………………（15分） 由（Ⅰ）可知，1()f αα=，1()f ββ=，1αβ=-，∴11|()()|||||||f f βααβαβαβαβ--=-==-，∴|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++． ……………………（20分）14.已知数列{n a }满足2113,(,n n n a a a na n N λλ*+==-+∈为实数）． （1）若2n a n ≥恒成立，求λ的取值范围；（2）若λ=-2，求证：121112222n a a a +++<---． 14. 解: (Ⅰ)当2=n 时，由2622a λ=+≥⨯得2λ≥-，即2n a n ≥时，2λ≥-. …………………………（5分）下面证明当2λ≥-时，2n a n ≥.当2=n 时，222a ≥⨯成立；设当(2)n k k =≥时，2k a k ≥成立；则当1n k =+时，()()221()2221(1)21k k k k k a a ka a a k k k k k λλ+=-+=-+≥-=+-≥+，故对所有2n ≥，2n a n ≥成立.当1=n 时，1231⨯≥=a 成立， 故对所有*N n ∈，2n a n ≥成立.综上，λ的取值范围是2λ≥-. ……………………………（10分）（Ⅱ）当2-=λ时， ()02244221>-≥-≥--=-+n n n n n a na na a a （2n ≥）， 1111212121212121---=-⋅≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤-⋅≤-∴n n n n a a a （3n ≥）， …………………（15分） 12111222n a a a +++---211111222n -≤+++⋅⋅⋅+11222n -=-<. ……………（20分） 15．如图，锐角△ABC 中，AB<AC,且点D 和E 在边BC 上，满足BD=CE.若在△ABC 内存在点P满足PD||AE 且∠PAB=∠EAC ，证明: ∠PBA=∠PCA.15.证明:如图,作平行四边形ABFC 和平行四边形ABGP ，则AC FB =，ACE FBD ∠=∠，又BD CE =， 故AEC FDB ∆≅∆，BDF AEC ∠=∠，所以//FD AE ，又//PD AE ，则P 、D 、F 三点共线. ……（因此，BFP BFD EAC BAP ∠=∠=∠=∠=∠故B 、G 、F 、P 四点共圆，FBG FPG BAP EAP CAP ∠=∠=∠+∠=∠,AP BG AC BF ==,故APC BGF ∆≅∆，……（故ABP BPG BFG ACP ∠=∠=∠=∠. ……（16.设点P 为圆2212C xy +=：上的动点，过点P作x 轴的垂线，垂足为Q .MQ PQ =. （1）求点M 的轨迹的方程；（2）过直线2x =上的点T 作圆C 2的两条切线，设切点分别为A 、B ，若直线AB 与（1）中的曲线C 2交于两点C 、D ，求||||CD AB 的取值范围. 16.解：(Ⅰ)设点()M x y ,MQ PQ =，得()P x ，由于点P 在2212C x y +=：上，A所以2222x y +=，即M 的轨迹方程为2212x y +=. ………………（5分） （Ⅱ）设点(2)T t ,，1122(,)()A x y B x y ''''，,，则AT ，BT 的方程为112x x y y ''+=，222x x y y ''+=， 又点(2,)T t 在AT 、BT 上，则有：1122x ty ''+=①，2222x ty ''+=②， ……………………（10分） 由①、②知AB 的方程为：22x ty +=，设点1122()()C x y D x y ,，,，则圆心O 到AB 的距离24d t=+，则222224||224t AB r d t +=-=+；……………………（15分）又由222212x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=， 于是12248t y y t +=+，12248y y t -=+，∴222122428||1||4t t t CD y y +⋅+=+-=，于是2222||(8)2||(4)4AB t t CD t t ++=++，设24t s +=，则4s ≥，于是3233||6326321||AB s s CD s s s+-==+-， 设11(0]4m m s =∈，,，于是3||1632||AB m m CD =+-，……………………（20分） 设3()1632f m m m =+-，2()696f m m '=-，令()0f m '=，得14m =.，得()f m 在1(0]4,上单调递增，故()(12]f m ∈,.，即||||CD AB 的范围为2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. …………………………………………（25分）。
2013全国数学联赛试题及答案2
AC sin ADC sin APE ， CD sin CAD sin EPF BD BD sin BFD sin PFA AP ， 由于 = EF BF sin BDF sin PAF PF
1= SPAE AP PE sin APE BD AC SPFE PF PE sin EPF EF CD
n 1
于任意正整数 n ，都有 S2n 1 bn 2
2
n(u v) 。
2 r 2 (u v )
取 n 2r (u v), r Z 时， S2n 1 2 平方数。 综上所述，结论成立。
r 2 (u v)2 2r
2
(u v )
r (u v) 都是完全
k
因此，我们取的 2k 个整数满足要求。 原题证明：对于任意正整数 2 n 2k ，都存在正整数 2 r k ，使得 2r 1 n 2r ，由引 理存在 2r 个整数它们都不是 n 的倍数，使得任意将它们分为两组都会有一组中有若干个数 之和是 n 的倍数。 再任意添加 2k 2r 个大于 n 的正整数，则得到满足题意的 2k 个整数。
蕴
秀
斋
2013 年全国高中数学联赛二试参考解答
1、 AB 是圆 的一条弦， P 是 AB 上一点， E , F 在线段 AB 上，满足 AE EF FB ， 射线 PE, PF 分别与 交于 C , D 。求证： EF CD AC BD 。
P w A E F B
证明：由正弦定理
证明：令 bn S2n 1 ，则 b1 S1 a1 u v ，由已知
bn 1
2013年高中数学联赛四川预赛试题及参考答案
．
n 1
（10 分） ，
，故 cn n 3
Tn 1 30 2 31 3 32 3Tn
n 3n1 ， n 3n ，
n
1 31 2 32 3 33
2
于是 2Tn 1 3 3
3
n 1
3n 1 n3 n 3n ， 2
15、已知点 B(0,1) ，P、Q 为椭圆
2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 3 页 (共 8 页)
16、若实数 x0 满足 f ( x0 ) x0 ，则称 x x0 为 f ( x) 的不动点． 已知函数 f ( x) x ax bx 3 ，其中 a, b 为常数．
（20Байду номын сангаас分）
16、若实数 x0 满足 f ( x0 ) x0 ，则称 x x0 为 f ( x) 的不动点． 已知函数 f ( x) x ax bx 3 ，其中 a, b 为常数．
10、①④
11、635
三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分） 13、已知函数 f ( x) sin
x 3 sin x sin( x ) ( 0) 的最小正周期是 ．
π 2
π 2
求 f ( x) 在 [ , ] 上的最大值与最小值． 解： f ( x)
π 2
π π π ．求 f ( x) 在 [ , ] 上的最大值与最小值． 2 8 4
2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 2 页 (共 8 页)
14、已知函数 f ( x)
x3 3x * ，数列 {xn } 满足： x1 2 ， xn1 f ( xn ) (n N ) ， 2 3x 1
2013年全国高中数学联赛试题及其解答
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素 的和为 。 解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值 为 。 解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为 。 解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆 的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。
2013年全国高中数学联赛A卷一试真题+答案
8.
已知数列 an 共有 9 项，其中 a1
a9
1 ，且对每个 i 1,2,,8，均有 ai1
ai
2,1,
1 2
，则这样的
数列个数为__________.
二、解答题
9. 给定正整数列 xn 满足 Sn 2Sn1, n 2,3, ，这里 Sn x1 x2 xn .证明：存在常数 C 0 ，
6
3
V 1 3 2 6 ， S 3 3 1 1
34
12
4
2
2
2
3 6
2
3 2
3 ，故 r
2
；
6
1
5、
4
b 1 一次函数区间端点取最值，故
，由于 a b 2 1 a 2 b2 2ab 1 ，
a b 1
6、 232 323
且 a 2 b2 2ab ，故 4ab 1 ab 1 ，取“=”时， a b 1 ；
y1 y2 4
2；
3、11
cos A cosB C cos B cos C sin B sin C cos A sin A ，所以 sin A 11cos A ，
10 10 tan A sin A 11；
cos A
2
4、
V 1 Sr ，其中 r 为内切球半径， S 为表面积，根据数据可算出，
5. 设 a, b 为实数，函数 f x ax b 满足：对任意 x 0,1，有 f x 1.则 ab 的最大值为________.
6. 从1,2,,20 中任取 5 个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.
7. 若实数 x, y 满足 x 4 y 2 x y ，则 x 的取值范围是__________.
2013年全国高中数学联赛A卷一试真题+答案 Word版可编辑
2013年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,.则集合B 中所有元素的和为__________.2. 在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则=⋅∆∆OFB OFA S S __________.3. 在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin =，C B A cos cos 10cos =，则A tan 的值为__________.4. 已知正三棱锥ABC P -底面边长为1，高为2，则其内切球半径为 .5. 设b a ,为实数，函数()b ax x f +=满足：对任意[]1,0∈x ，有()1≤x f .则ab 的最大值为________.6. 从20,,2,1 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.7. 若实数y x ,满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是__________.8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1 ∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列个数为__________.二、解答题9. 给定正整数列{}n x 满足 ,3,2,21=≥-n S S n n ，这里n n x x x S +++= 21.证明：存在常数0>C ，使得 ,2,1,2=⋅≥n C x nn .10. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为12222=+by a x ()0>>b a ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q 、R 满足11PA QA ⊥，22PA QA ⊥，11PF RF ⊥，22PF RF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11. 求所有的正实数对()b a ,，使得函数()b ax x f +=2满足：对任意实数y x ,，有()()()()y f x f y x f xy f ≥++.答案：1、5- 代元素检验，2-、3-满足条件，故和为5-；2、2 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,4y y B ，故0416212221=++y y y y ，821-=y y ，()0,1F ，24222121==⋅=⋅∆∆y y y OF y OF S S OFB OFA ；3、11 ()10sin 10cos sin sin cos cos cos cos AA CBC B C B A +-=+-=+-=，所以A A cos 11sin =， 11cos sin tan ==AAA ； 4、62 Sr V 31=，其中r 为内切球半径，S 为表面积，根据数据可算出， 12624331=⨯⨯=V ，()32363212134322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯+=S ，故62=r ； 5、41 一次函数区间端点取最值，故⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤11b a b ，由于121222≤++⇒≤+ab b a b a ，且ab b a 222≥+，故4114≤⇒≤ab ab ，取“=”时，21==b a ； 6、323232 20个数选5个共有520C 种情况，5个数全不相邻共有516C 种情况（插空法），故至少有两个 相邻的概率为3232321520516=-C C ；7、{}[]20,40 由题意0≥≥y x ，令0≥-=y x m ，0≥=y n ，故22n m x +=，等式可化为m n n m 2422=-+，即()()52122=-+-n m ，故n m ,为圆上的点，且0≥m ，0≥n ，再根据几何意义，x 为满足等式的点()n m ,到坐标原点的距离的平方，算出∈x {}[]20,40 ；8、491 由于119892312==⨯⨯⨯a a a a a a a a ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+21,1,21i i a a ，故每一个比值在选取数值时，选21-的 比值个数为偶数，结合8个比值成绩为1，可知选21-的个数与选2的个数必相同，故整体分为 3类：①全选1，1种选法；②2个21-，2个2，4个1，4202628=⨯C C 种； ③4个21-，4个2，7048=C 种；综上，共有491704201=++种选法，故由491个数列；9、证明：2≥n 时，12-≥n n S S 等价于121-+++≥n n x x x x ， 下面我们对常数141x C =用数学归纳法证明n n C x 2⋅≥； 当1=n 时，24111⨯≥x x 显然成立；2=n 时，2x 211241⨯=≥x x 也成立； 当3≥=k n 时，假设kk C x 2⋅≥成立，有121-+++≥n n x x x x 可得k k x x x x +++≥+ 211()k C C C x 222321⋅++⋅+⋅+≥ ()k C 2222322++++= 12+⋅=k C 成立，故由数学归纳法可得nn C x 2⋅≥成立.10、证明：令22b a c -=，则()0,1a A -，()0,2a A ，()0,1c F -，()0,2c F .设()00,y x P ，()11,y x Q ，()22,y x R ，其中()010220220≠=+y by a x ，由11PA QA ⊥，22PA QA ⊥可知，()()0010111=+++=⋅y y a x a x P A Q A ，()()0010122=+--=⋅y y a x a x P A Q A ，两式相减可得()0201=+x x a ，即01x x -=，反代可解得02201y a x y -=，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02200,y a x x Q ； 同理可解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02200,y c x x R ，故02y b QR =，由于(]b y ,00∈，所以b QR ≥. 11、解：由题意，0>a ，0>b ，()()()()b ay b ax b y x a b xy a ++≥++++2222；①取0=x ，不等式化为()()0222≥-+-b b y ab a 恒成立，故100202≤<⇒⎩⎨⎧≥-≥-b b b ab a ； ②取x y -=，不等式化为()()0222242≥-+--b b aby yaa 恒成立，故1002<<⇒>-a a a ，此时，仍需满足()0222222222≥-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---b b a a b a a a ab y a a 恒成立，故022222≥-+--b b a a b a ， 化简得022≤-+b a ；综上，不等式成立可推出022,10,10≤-+<<≤<b a a b ；同时，由不等式可得()()()()()()()()()22222222222bb axy y xab a xy aa bay b ax b y x a b xy a -+++-+-=++-++++，其中xy y x 222≥+，在推出条件下，可得 故(){}22,10,10,≤+≤<<<b a b a b a . ()()()()()()()()()()()02211222222222222≥---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-++-+-≥++-++++b a a b a b xy a a b b axy xy ab a xy a a bay b ax b y x a b xy a。
2013年全国高中数学联赛山东赛区预赛参考答案及评分标准
2013年全国高中数学联赛山东赛区预赛参考答案及评分标准一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）1．函数()4cos cos2y x x x R =+∈值域是____________________． 【解析】令[]cos 1,1t x =∈-，则()[]22133,5y t =+-∈-．2．已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值是____________________．【解析】令cos sin z i θθ=+，由1z =得：1z z =， 故22112cos 13z z z z z z z z z θ-+=-+=-+=-≤，当且仅当cos 1θ=-即1z =-时取等号，因此21z z -+的最大值是3．【法二】2221313132424z z z z ⎛⎫⎛⎫-+=-+≤-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1z =-时取等号，故21z z -+的最大值是3．3．如图，在⊿ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点,M N ，,AB mAM AC nAN ==，则m n +的值是____________________．【解析】()1222m nAO AB AC AM AN =+=+， 由M 、O 、N 三点共线得：122m n+=，∴2m n +=．【法二】直线MON 是⊿ABC 的割线，由梅涅劳斯定理得：1AM BO CNMB OC NA=，即111n m -=-，∴2m n +=． 4．如果关于x 的不等式1x a x x +<++的解集是R ，则实数a 的取值范围是____________________． 【解析】令0x =时，有1a <即11a -<<；令1x =-时，有11a -+<即02a <<，故0a <<1；当0a <<1时，{}max ,1x a x x +<+，故1x a x x +<++总成立，ONMCBA因此实数a 的取值范围是()0,1．5．已知正数,,a b c 满足4a b abc +=，则a b c ++的最小值是____________________． 【解析】由已知得：14c a b =+，故146a b c a b a b++=+++≥， 当且仅当1,2a b ==时取等号，因此a b c ++的最小值是6．6．已知对x R ∀∈，()2log sin cos 2a x x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是____________________．【解析】当1a >时，有222sin 41x a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，由于函数22sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭无上界，故不可能恒成立， 当01a <<时，有222sin 41x a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤，若222sin 41x a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤恒成立，则212a ≤，∴02a <≤， 综上，实数a的取值范围是0,2⎛ ⎝⎦． 7．已知{}{},,,,,,,AB C a b c d e A B a b c ==，c A B C ∈，则符合上述条件的{},,A B C 共有____________________组．【解析】如右图，集合AB C 可分为7个互不相交的区域，分别记为1234567,,,,,,I I I I I I I ．已知7c I ∈，元素,a b 属于4I 、7I 中的某一个区域，共有4种可能，元素,d e 属于1I 、2I 、3I 、5I 、6I 中的某一个区域，各有5种可能，共有25种可能， 因此符合条件的{},,A B C 共有100组．8．已知函数()f x ，对x R ∀∈，有()()131********4f x f +=-=， 则()2013f =____________________．【解析】由已知得：()()11110051006224f f =-+=+， ()()1310071100624f f =+=+=， I7I 6I 5I 4I 3I 2I 1()()112013*********2f f =+==+． 9．用五种不同颜色给三棱台ABC DEF -六个顶点涂色， 要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色， 则不同的涂色方法有____________________种． 【解析】当六个顶点使用三种颜色涂满时，A 、B 、C 三点的涂色方法共有3560A =种，这时，点D 、E 、F 只有两种涂色方法， 故共有352120A ⨯=种涂色方法；当六个顶点使用四种颜色涂满时，A 、B 、C 、D 三点的涂色方法共有45120A =种，这时，点E 、F 只有三种涂色方法，故共有453360A ⨯=种涂色方法；当六个顶点使用五种颜色涂色涂完时，先用五种颜色涂不同的五点的涂色方法有56720A =种，这时，余下的那一点只有两种涂色方法，共有5621440A ⨯=种涂色方法；综上知，满足题意的所有不同的涂色方法共有1920种．10．假设实数,b c 满足221b c +=，且()sin cos f x ax b x c x =++的图像上存在两条切线垂直，则实数a 的取值范围是____________________．【解析】由已知得：()()()sin f x ax x ax x φφ=+=++，()()'cos f x a x φ=++，其中sin ,cos c b φφ==，若()sin cos f x ax b x c x =++的图像上存在两条切线垂直，则存在实数12,x x 使得：()()12cos cos 1a x a x φφ++++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，（*） 即()()()()21212cos cos cos cos 10a a x x x x φφφφ++++++++=⎡⎤⎣⎦，从而()()212cos cos 40x x φφ∆=+-+-≥⎡⎤⎣⎦，∴()()12cos cos 2x x φφ+-+≥， 又()()12cos 1,cos 1x x φφ+≤+≤，∴()()12cos cos 2x x φφ+-+≤， 故()()()()1212cos cos ,cos cos 1x x x x φφφφ+=-+++=-， 于是（*）式化为20a =，解得0a =，因此实数a 的取值范围是{}0．DABECF二、解答题（本大题共4个小题，前两个小题各15分，后两个小题各20分，共70分） 11．（本小题满分15分）如图所示， 在长方体1111ABCD A BC D -中， 已知11,2,AD AB AA c ===，若对角线1BD 上存在一点P 使得11PB PC ⊥， 求实数c 的取值范围．【解析】以点D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．则()()()()1111,2,0,1,2,,0,2,,0,0,B B c C c D c ，设()11,2,D P D B c λλλλ==-， 则()()11,22,,1,22,PC c PB c λλλλλλ=--=--，∴()()()()222211122940PC PB c c λλλλλλ=--+-+=+5-+=，由()2281161160c c ∆=-+5=-≥，解得：104c <≤，因此实数c 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦． 12．（本小题满分15分）已知椭圆22143x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ， 求该平行四边形面积的最大值．【解析】由已知得：122FF =，如图所示， 由于四边形ABCD 是椭圆的内接四边形， 所以原点O 是其对称中心，且122ABCDABF F SS =四边形()()121121222AF F AF B AF F BF F S S S S ∆∆∆∆=+=+()122A B A D F F y y y y =+=-，当直线AD 的斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理得：()2222344120k x k x k +-+-=，由韦达定理得：22228412,3434A D A D k k x x x x k k-+==++，∴()()()()()2222222221441434A D A D A D A D k k y y kx x k x x x x k +⎡⎤-=-=+-=⎣⎦+，∴26ABCDA D Sy y =-==<，当直线AD 的斜率不存在时，易得：331,,1,22A D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴26ABCDA D S y y =-=，综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是6． 【法二】求出()2212134k AD k+=+，再求出AD与BC 间的距离d =，亦可解出．13．（本小题满分20分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1*n n S a n N =-∈． ⑴ 试求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 设11111n n n c a a +=++-，求证：列{}n c 的前n 项和125n P n >-． 【解析】⑴ ∵()1*n n S a n N =-∈，∴111n n S a ++=-，作差得：()11*2n n a a n N +=∈， 又当1n =时，112a =，故()1*2n n a n N =∈． ⑵ 由已知得：当1n =时，11225P =>-，结论成立， 当2n ≥时，12231111111111111n n n P a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1221221121111112112111111311ni n n n i n a a a a a a a =++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 111222422112213412134121i n n ni n i n i i +++==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++1+ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ ()()212221221212112341213415n n n n +⎛⎫≥+-++1+>+-++=- ⎪---⎝⎭，结论也成立， 综上知，对*n N ∀∈，125n P n >-都成立．14．（本小题满分20分）已知,,n a b 均为正整数，且n a b =+，p 是一素数，,,n a b 的p 进制表示分别为0s s siiiiiii i i n n p a a p b b p====,=,=∑∑∑，其中0,,1,0,1,2,,i i i n a b p i s ≤≤-=，用[]x 表示不超过x 的最大整数，用A 表示集合A 中元素的个数，证明：⑴ 若00,0,1,2,,si i ii n d p di s ==,≥=∑，且对整数()0j j s ≤≤有()1i i i i ji jd p p p <<≤-∑∑，则()1s i j ii j i ji j n d p p p p -=<⎡⎤=≤-⎢⎥⎣⎦∑∑；⑵ p β!!!n a b ，1p β+!!!n a b {},0,1,2,,i i i i a b n i s β⇔=+>=．【证明】⑴ ∵()()()12111jj j p p pp p p p p --=-+-++-+，∴()11j i i jp p p <-=-∑，∴()()()111iiiijijiiii i j i ji j i ji ji ji jjjjji jd p d p p p d p pd p p nd p p p p p p <=<==-=+-+-+-=≤==+∑∑∑∑∑∑，∴i j i j i jn d p p -=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑． ⑵ 不会做．。
江苏省2013年全国高中数学联赛初赛题与答
设 a 有 m 个数字，b 有 n 个数字，由已知得 m＋n＝4．
如果 m＜2，那么 n≥3，但在 31 年后，a 是 2 位数，这与题意不符．
由对称性，知 n 也不小于 2，从而 m＝n＝2． 设按照题中要求顺序排列的平方数依次为 x2 和 y2，0＜x＜y， 则 y2＝x2＋3l3l，即(y－x)(y＋x)＝31×101．
由于 f ′(x)＝2－πsinπx ，f ′′(x)＝－π2cosπx．
当 x∈(0，12)时，f ′′(x)＝－π2cosπx＜0，当 x∈(12，1)时，f ′′(x)＝－π2cosπx＞0， 所以 f ′(x)在区间[0，12]上单调减，在区间[12，1]上单调增． 因为 f ′(0)＝f ′(1)＝2 和 f ′(12)＝2－π＜0， 所以存在 α 和 β， 0＜α＜12＜β＜1， 使得 f ′(α)＝f ′(β)＝0，f ′(x)＜0 当且仅当 x∈(α，β)． …………………… 10 分
2013 年全国高中数学联赛初赛参考答案 第 1 页 共 5 页
2013 年江苏省高中数学竞赛初赛试题与解答
冯惠愚 2013.05.
又解：由已知，2a＝b＋c2sinA＝sinB＋sinC4sinA2cosA2＝2sinB＋2 CcosB－2 C2cosB＋2 C＝cosB－2 C．
所以，tanB2tanC2＝13tanB＋2 C＝1t－anBt2a＋nB2ttaannC2C2≥21－ttaannB2B2ttaannC2C2＝ 3B＋C≥230＜A≤3．
y
椭圆 E2：x92＋y2＝1 交于点 A 和 C，E1 的左顶点为 B，
A
B
D
O
x
E2 的右顶点为 D (如图)．若四边形 ABCD 是正方形，
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。
2013年全国高中数学联赛(B卷)参考答案
(1, 0)
−→ −−→
−→ −−→ √
OA · OB = −4, |F A| − |F B| = 4 3
−→ −−→ FA · FB
A(x1, y1), B(x2, y2)
x1
=
y12 4
,
x2
=
y22 4
A, B
−4
=
−→ OA
·
−−→ OB
=
x1x2
+
y1y2
=
1 16
(y1y2
)2
+
y1y2.
Tn
n=3
8
a) T10
b) T2013
Tn
30
T1 = 1
T2 = 5
n3
2×n
2×3
2 × k, (k = 1, 2, 3)
Tn
Tn−1, Tn−2, Tn−3
Tn = Tn−1 + 4Tn−2 + 2Tn−3.
a)
T3 = T2 + 4T1 + 2 = 11
241, T7 = 655, T8 = 1793, T9 = 4895, T10 = 13377
3 (6 − x2) + (6 − y2) + (6 − z2) = 24,
√ 6 − x2 + 6 − y2 + 6 − z2 2 6.
√
x=y=z=
30 3
u
√ 26
u
xyz
x2
10 3
a, b
√√√
a+ b a+b
u 6 − x2 + (6 − y2) + (6 − z2) = 6 − x2 + 2 + x2.