群论(1)第二章

D(R)构成变换R的表示矩阵，D(G)构成群的另外 一个表示
例

坐标变换R，

完备函数基{fa(xi)}，线性算符群PG与G同构

D(R)构成变换R的表示矩阵，D(G)构成群的另 外一个表示

群G不变的线性空间V RV=V
0 RÃi = Ãi = m X
Ãj Dji Fra Baidu bibliotekR)
00 SÃi = Ãi =
可以由不可约表示出发，构建任意可约表示。
完全可约表示的扩展

不能进一步约化的表示称为不可约表示，对应表示空 间没有群G不变的真子空间 一般地，完全可约表示矩阵可以变换为不可约表示的 直和
即 相应地 V = V1 © V2 © ¢ ¢ ¢ © Vn

2.2.3幺正表示

设D(G)是群G在内积空间V上的表示，且D(R) 是为V上的幺正矩阵，则D(G)称为G的幺正表 示。


恒等表示：令群中每个元素都对应1，得到的 表示称为恒等表示，或平庸表示。 正则表示，每个有限群必有的非平庸真实表示。
变换群的线性表示


线性空间V的一组正交完备基矢量{ei, i=1,2…m} 例：三维空间{x,y,z}，本征波函数{ψi} 如果V是群G不变的，则有 m X 0 R 2 G; RÃi = Ãi = Ãj Dji (R)
m X j=1
Ãj [D(R)D(S)]jk
(1)G与D(G)建立了对应关系 (2)对应关系的性质由变换 群的性质与基矢量的选取决 定
RS -> D(R)D(S)=D(RS) D(G)构成群G在线性空间V上 的表示，V也称为D(G)的表 示空间
例1：平面转动群的二维表示

平面转动R，逆时针转theta角
m X
trM =
i=1
Mii
tr[M1 M2 ¢ ¢ ¢ Mn ] = tr[M2 ¢ ¢ ¢ Mn M1 ]
关于群的表示

恒元的表示矩阵为单位矩阵，互逆元素的表示 矩阵互为逆矩阵。

若D(G)与G同构，则为真实表示；若同态，则 称为非真实表示，若干群元对应同一个表示矩 阵。
思考：如果一个群元有几个表示矩阵会怎样？

可以推广为

若群G的表示空间V(n+m维)可以分解为w(n维)和w’(m维) 的直和，且w和w’都是群G不变的，即对任意R ∈G，有 Rw=w，Rw’=w’，则群G在表示空间V上的表示D(G)是完 全可约的。 此时，可以选取一组合适的基（相似变换）

使w中矢量y，w’中矢量z有如下形式
n行
m行

j=1

将展开系数组成矩阵，即为R的表示矩阵D(R) 得到G对应的矩阵集合D(G)
群G:{R,S,…} vs 矩阵集合D(G):{D(R),D(S),….}
RÃi =
(RS)Ãk =
m X j=1 m X
Ãj Dji (R);
Ãj Djk (RS)
SÃk =
m X l=l
Ãi Dik (S);
X
j
¡1 Áj Sji

可以验证，V2也是群G不变的，V2上的表示D’ 与V1上的表示D等价。（V1和V2等价）
D3群可以视为正三角形顶点的变换
C A B
F变换
B A A C B变换
D变换
B A B C
C
B
C
A
B
C
A
D3群的一个表示
z A
y B
C
x
D3群的另一个表示
y A
x C B
表示D1和D2等价
使可约表示D的所有表示矩阵有如下形式
n列 m列 n行 m行
例：D3群的一个表示，可约？
z A
y B
C x
例. D3群的另一个表示，可约？
y A
x C B
表示空间 V3 (x; y; z) = V2 (x; y) © V1 (z)
表示D1和D2等价
可以找到相似变换矩阵S，使得D2=S-1D1S，即 D1=SD2S-1
R^1 = e1 D11 (R) + e2 D21 (R) + e3 D31 (R) = cos µ^1 + sin µ^2 e ^ ^ ^ e e R^2 = e1 D12 (R) + e2 D22 (R) + e3 D32 (R) = ¡ sin µ^1 + cos µ^2 e ^ ^ ^ e e R^3 = e1 D13 (R) + e2 D23 (R) + e3 D33 (R) = e3 e ^ ^ ^ ^
集合D(G)构成群
j=1
=R
m X i=1
Ãi Dik (S) =
m m XX i=1 j=1
Ãj Dji (R)Dik (S) =
m X j=1
Ãj [D(R)D(S)]jk
D(RS)=D(R)D(S) 乘积的表示等于表示的乘积 D(R-1)=D-1(R) 互逆群元素的表示互为逆矩阵
群G: {E, R, S, R-1, S-1, RS……} 集合D(G):{D(E), D(R), D(S), D-1(R), D-1(S), D(R)D(S)……}
8 <1 DRR (S) = : 0
Â(S) =
X
R
8 <g DRR (S) = : 0
if S = E if S 6= E
例：D3群正则表示 8
<1 : 0 DP R(S) =
if P = T = SR if P 6= SR
E D F A
X SR = T =
P 2G
群元 D D D D D D


D1也是可约表示 根本原因 V3 (x; y; z) = V2 (x; y) © V1 (z)
逆向思维


有群G不变的两个线性空间w(n维)和w’(m维)，则有两 表示空间上的群表示C(G)和B(G) 将两线性空间直和，得到更高维(n+m)的线性空间

群G即有n+m维的可约表示

该表示的表示空间为V=w+w’

选取合适的基→做适当的相似变换

D’(R)具有可约表示的特有形式
µ S D(R)S =
¡1
C(R) N(R) 0 B(R)
¶

这一过程成为表示的约化，相似变换矩阵S也 称为约化矩阵
完全可约
w和w’是线性空间V的线性子空间，若对x∈V， 可以找到y ∈ w，z ∈ w’，并可唯一的将x表 示为 x=y+z 则称V是其线性子空间w和w’的直和，记为
j=1 m X
Ãj Dji (S)
j=1



有群G在V上的表示D(G)，V也称为表示空间 恒等表示和正则表示 表示的扩充，例：空间转动R
PRfa(x) = fa(R x) =
b ¡1
X
fb (x)Dba(R)
2.2 等价表示，幺正表示，不可约表示
2.2.1 等价表示 若D(R)是群G的一个表示，S为任意非奇异同 阶方阵，则{D’(R)=S-1D(R)S,R∈G}给出群G的 相同维表示，这两个表示D和D’称为等价表示， D(G) ' D0(G) 记作 。 如果D和D’互为等价表示，则有 Det D(R)=Det D’(R), 判断两表示是否 等价的充要条件 XD(R)=XD’(R) 若D为G的有限维表示，则Det D(R)给出群G 的一个一维表示，称为行列式表示。

定理1：幺正表示若可约，则完全可约，且可 约化为不可约幺正表示的直和。 定理2：任何有限群的非幺正表示都等价于一 个幺正表示。


推论1：只需要研究不等价不可约的幺正表示。
不可约幺正表示 表示 幺正表示 不可约幺正 表示的直和
完全可约

推论2：互逆元素的特征标互为复共轭，自逆 元素的特征标为实数。
常见的等价表示(1)

线性空间V群G不变， 另一组基 同一表示空间的，通过相似变换相联系的两组 基给出互为等价的两个表示

常见的等价表示(2)

线性空间V1群G不变，有表示D(G)

存在V1到另一线性空间V2的一对一满映射 SV1=V2，S-1V2=V1，即有
Ái = X
j
Ãj Sji ; Ãi =

X X=
R2G
X F1(R)R; Y =
S2G
F2(S)S;
群代数


为线性空间定义矢量的乘法，并要求线性空间 对乘法封闭，满足分配律，这样的线性空间称 为代数。 为群空间定义乘法：数与数作普通数的乘法， 群元之间按群元素乘法规则相乘，这样的群空 间构成群代数。 ! Ã Ã !
X X XY =
R2G
2.3舒尔引理

2.3.1舒尔第一引理： 设群G在有限维向量空间VA和VB上有不可约 表示DA和DB，对任意R∈G，若有将VA映入VB 的线性变换满足 M为dB×dA矩阵，则有 (1)当表示DA和DB不等价时，必有M=0； (2)当M≠0时，表示DA和DB必等价。
2.3.2舒尔第二引理 D(R)为群G在内积空间V上的不可约表示，若有 V上有变换M，对任意R∈G，满足 D(R)M=MD(R) 则有，M=mE 其中E为单位矩阵，m为常数。 即若D(G)为不可约表示，则只有常数矩阵与所 有群元表示矩阵同时对易。 推论1：若M不是常数矩阵，则D(G)可约。 推论2：阿贝尔群的不可约表示均为1维。
¡1 RiHRi = H ) RiH = HRi
HRiù = RiHù = ERiù
有
X Ri ù =
º
ú Dº¹(Ri )
即得到了对称变换群的一种表示，m个基矢构成 对应的表示空间。
2.1.2 正则表示
群函数：如果对于群G的每一个元素R，都有 一个确定的数F(R)与之对应，这样的以群元作 为自变量的函数称为群函数。 例：Dmn(R)，X(R) 群空间：取有限群群元作为基，他们的所有复 线性组合构成一个线性空间，称为群空间，维 数为群阶g。 群元素的任意线性组合都是群空间的一个矢量。
cos µ ¡ sin µ 0 D(R) = @ sin µ cos µ 0 A 0 0 1
0
1
可以验证，D(R)构成平面转 动群的真实表示。（练习）
例2：

系统哈密顿量H，本征值E的能级m重简并
Hù = Eù; ¹ = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; m
G = fRi g
系统的对称变换构成群
，有
可约表示的形式
若V中有一个群G不变的真子空间w，可以选取一组合适的基

使w中矢量有如下形式，w和V-w中的矢量彼此正交
m行 n-m行

使可约表示D的所有表示矩阵有如下形式，
m列 n-m列 m行 n-m行

C(R)也是群的表示，表示空间为w 一个表示可约，其等价表示同样可约
表示的约化和约化矩阵
列 行 E =D D= F F= E A= B B= C C= A
B
C E
P ¤ DP R(S)
D
F A B C
类似可写出群元A的正则表示矩阵（作 业），由此得出D3群的正则表示。
2.1.3表示的扩充

以{xi}为基矢量构成群G: {R}不变的线性空间

若线性空间{fa}对与群G同构的线性算符群 PG: {PR}不变，则有
F1 (R)R XX
S2G R2G S2G
F2 (S)S
= =
F1 (R)F2 (S)(RS) o X ¡1 F1 (R)F2 (R T ) T = F3 (T )T
T 2G
XnX
R2G
T 2G
正则表示
X SR = T =
P 2G

P ¤ DP R(S)
S看做对矢量R的变换，群空间为群的不变线性空间 展开系数构成表示矩阵 求和式只有一项
通过变换群元表示的定义建立对应关系
RÃi =
m X
Ãj Dji (R);
Ãj Djk (RS)
SÃk =
m X i=1
Ãi Dik (S);
j=1 m X
R -> D(R) S -> D(S)
(RS)Ãk =
j=1
=R
m X i=1
Ãi Dik (S) =
m m XX i=1 j=1
Ãj Dji (R)Dik (S) =


同一群元在两个表示中的特征标相等 可以找到相似变换矩阵S，使得D2=S-1D1S

思考：二表示等价的原因。
2.2.2可约、不可约表示和幺正表示

若线性空间V（ n维）是群G不变的，则群G可 有n维表示D(G)，线性空间V称为表示空间。 RV=V，R ∈G 若V中存在群G不变的真子空间w（m维,m<n）， 即对任意r∈w, R ∈G, 有R r ∈w， Rw=w， R ∈G 则称表示D为可约表示。
第二章 群的线性表示理论
群的线性表示，正则表示 等价表示；可约不可约表示；幺正表示 舒尔引理，表示的约化 正交定理，特征标表 物理应用，直积表示

2.1群的线性表示
2.1.1线性表示定义 若行列式不为0（非奇异）的 m×m 矩阵构 成的群D(G)，与已知群G同构或者同态，则 D(G)称为群G的一个m阶表示，简称表示。 D(G)中与群元素R对应的矩阵D(R)称为R在表 中D(G)中的表示矩阵。D(R)的迹trD(R)称为元 素R在表示D(R)中的特征标，记为X(R)。
8 <1 DP R(S) = : 0 if P = T = SR if P 6= SR
这样的矩阵构成群，与G同构，构成群G的g维表示，称 为正则表示，表示空间为群空间。
正则表示的特征标

对角元
DRR (S) =
8 <1 : 0
if R = SR if R 6= SR
if S = E if S 6= E