群论(1)第二章

群论-群论基础

物理学中的群论 ——群论基础 主讲翦知渐

群论教材教材与参考书 教材： 自编 参考书群论及其在固体物理中的应用 参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）

群论-群论基础 第章群论基础 第一章 群的基本概念和基本性质 §1.1 集合与运算 §1.2群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 13 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 16 §1.7 对称群 §1.8 置换群

§1.1集合与运算抽象代数的基本概念 1集合 抽象代数研究的对象 什么都不是，所以什么都是 集合的直乘： C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的 C A表示“ 一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即： , a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={a A}B b b}则集合 1 C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。

定义设是两个集合若有种规则使得2映射 定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为 就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → B f ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。对应规则函数对应规则：函数

满射 单射 一一映射 逆映射：f -1 恒等映射：e 变换恒等映射： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若 f 是一一映 射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质： f f -1= f -1f = e

2.第二章群论自测练习

第二章 群论 自测练习 一、概念解释 1. 置换 2. 群的方程定义 ３群的公理化定义 ４. 群的阶 ５.循环群 6. 群的指数 二、判断题 1．对于群G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。 2.任何一个子群都同一个变换群同构。 3． 设1H ,2H 均为群Ｇ的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） ４. 群G 的不变子群N 的不变子群Ｍ未必是G 的不变子群。（ ) 5.4S 的置换??? ? ??=34124321π是一个4—循环置换。 ６. 群G 中元素a 的逆元存在,但不一定唯一。 三、选择题 １. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。 A. ),(+N Ｂ. ),(+Q C. ),(*+Z ， 其中是非零整数集合 Ｄ． ),(+C 2. 设e 是群G 的单位元,b a ,是G 的两个元素，则( )。 A. 111)(---=b a ab B. 222)(---=b a ab Ｃ. 若e a =2，则1-=a a D.ba ab = 3.精确到同构, 4阶群有( )个。 A. 1 B. ２ C. 3 D. 4 ４. 以下结论正确的是 （ )。 A.全体非零整数对普通乘法作成一个群 B.全体奇数对普通加法作成一个群 Ｃ.实数域上全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群 D.、实数域上行列式等于１的全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群 5. 若,H K 分别是群G 的20１1阶， 2012阶子群, 则K H 是群G 的( ） 。 A.１阶子群 B.２0１1阶子群 C.2０12阶子群 D.２01１?2０１2阶子群 6． 以下结论正确的是 ( )。 A ．无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限 B.无限群中至少有一个无限阶元

群论 第一章

第一章第一章 抽象群概论 §1 什么是群什么是群？？群公理 不同元素的集合不同元素的集合，，赋予一定的合成规则赋予一定的合成规则（（称为群称为群““乘法乘法””—— 加、乘、对易子等对易子等）。）。满足下列满足下列条件条件（（群公理群公理）） ： （1）封闭性 i g 和G g j ∈，则G g g g k j i ∈=?； （2）结合律 )()(k j i k j i g g g g g g ??=??； （3）存在唯一的单位元素e （或E ）G ∈ ，对任一元素j g 有j j j e g g e g ?=?=； （4）对每一元素有逆元对每一元素有逆元，，对i g 有 1 ?i g ，使e g g i i =??1 。 阶 —— 群元的个数群元的个数：：阶有限为有限群阶有限为有限群；；阶无穷为无限群阶无穷为无限群。。无限群又分无限离散和无限连续无限群又分无限离散和无限连续。。 注：1. 乘法不可对易乘法不可对易，，即i j j i g g g g ?≠?。若可对易若可对易，，则称为阿贝尔称为阿贝尔（（Abel ）群。 2. 若G c b a ∈,,，则G 中包含p l k c b a ,,（其中p l k ,,为整数为整数））。 例1．复数1，i ，-1，-i 组成四阶群组成四阶群。。 四阶循环群 —— 由一个元素由一个元素，，i （或-i ）出发出发，，由它及其幂由它及其幂次次生成整个群G ，称为循环群称为循环群。。循环群必是阿贝尔群环群必是阿贝尔群。。n 阶循环群可表为{23,,...n a a a a e =}。 例2．所有实数组合所有实数组合，，加法运算下成群加法运算下成群。。全体正实数在乘法运算下成连续群全体正实数在乘法运算下成连续群。。 例3．定轴转动定轴转动：：Π<Θ≤20，)2(SO 无限连续群无限连续群。。特例 —— 转角为m 倍n π ?2=构成n 阶群n C ；定点转动定点转动（（三维空间转动三维空间转动）） ：),,(γβαR ，)3(SO 群。 例4．两矩阵 ?? 1001....1001在矩阵乘法下成群在矩阵乘法下成群。。 例5．所有非奇异n 阶矩阵阶矩阵（（n n ×，detA 0≠）在矩阵乘法下成群在矩阵乘法下成群。。 例6．若K 为正整数为正整数。。K 个正整数0，1，2…K 1?在加法模K 下成群下成群（（钟群钟群）） 。 加法模K ：()/l m K +的余数的余数。。 例7．若P 为大于1的素数的素数，，则P 1?个整数1，2…P 1?在乘法模P 下成群下成群。。 乘法模P ：/lm P 的余数的余数。。 阶3≤n 的群必是循环的群必是循环群群。 循环群必是阿贝尔群循环群必是阿贝尔群，，但反之不真但反之不真。。如四阶V 群：{}c b a e ,,,满足;c ba ab == ;a cb bc == ;b ac ca == 222a b c e ===。 c b a ,,称为二阶元称为二阶元，，即若e a k =，则k 为a 的阶的阶。。 V 群是最低阶的非循环群群是最低阶的非循环群，，物理上对应于Lorentz 时空变换群时空变换群：：e —— 恒等变换恒等变换；；a —— 空

北大.群论.讲义.王宏利.第一章习题

1.1 证明：只有一个三阶群。 1.2 证明：两个子群的交集为子群。 1.3 证明：有两个四阶群，并且都是阿贝尔群。 1.4 生成矩阵群，它的两个元素是：?? ??????????-0110,0110，此群的阶是多少，共有多少个共轭类。 1.5 试问下列三个矩阵在矩阵乘法下是否组成一个群： ????? ???????=????????????=????????????=0010000110000100,0100001000011000,1000010000100001B A E 。 至少需要添加几个矩阵才能构成群，求出这些增加的矩阵，以及群的共轭类。 1.6 考虑下列六个函数的集合： x x x f x x f x x f x x x f x x f x x f /)1()( );1/(1)( ;/1)(); 1/()( ;1)( ;)(654321-=-==-=-==， 定义两个函数的合成运算为把一个函数替换到另一个中，如))(())((3535x f f x f f =。证明该集合在此合成法则下是一个群，且该群与正三角对称性群（二面体群）D 3群同构。 1.7 设C i 为群中一个类，C i *为C i 中元素的逆的集合，证明C i *也是一个类。 1.8 求出下列置换的逆， ???? ??=64821753876543211p ，??? ? ??=34718652876543212p ， 并验证1112121)(---=p p p p 。 1.9 找出三阶对称群S3的所有子群，并指出哪个子群是不变子群，哪个子群是 含元素（123）的循环群。 1.10求6阶循环群的所有不变子群，以及其对应的商群。 1.11用两个元素A 和B 生成一个群使得它仅仅遵从关系式A 2＝B k =(AB)2=E, 式中 k 是大于1的有限整数。 1.12求D 3群的自同构群，它是内自同构群吗？ 1.13设群只有一个阶为2的元素h ，证明：对任意g ∈G ，有gh=hg 。 1.14在D 4群中，取子群},,,{321r r r e G =，},{2a e G =，证明：214G G D S ?=。

群论第一章‘作业’

1． G 是实数对(a,b ),a ≠0的集合，在G 上定义乘法(a,b )?(c,d )=(ac,ad +b )。证明G 是群。 2． 证明所有的2维转动 (cos θsin θ?sin θcos θ),θ∈,0,2π) 构成群。 3． 证明：上三角矩阵 (1α01),α∈R 在矩阵乘法下构成群。 4． 在偶数阶群G 中，方程g 2=1总有偶数个解。 5． 设G 是一个半群。如果 i) G 中含有左单位元e ，即,?g ∈G,ea =a , ii) G 中每个元素a 都有左逆a ?1，使得a ?1a =e ， 试证G 是群。 6． 令G 是半群。如果对任意a,b ∈G ，方程xa =b 和方程ay =b 在G 内有解，则G 是群。 7． 设A,B 是群G 的两个子群。试证：AB ≤G 当且仅当 AB =BA 。 8． 如果R 是群G 对于子群A 的右陪集代表元系，则R ?1是群G 对于A 的左陪集代表元系。 9． 群G 的指数为2 的子群一定是G 的正规子群。 10． 证明群G 的中心C(G)是正规子群。 11． G 是实数对(a,b ),a ≠0的集合，在G 上定义乘法(a,b )?(c,d )=(ac,ad +b )。试证 K =*(1,b )|b ∈R +是G 的正规子群，且G K ??R ?。这里R 是实数集合，R ?是非零实数的乘法群。 12． 证明正实数乘法群和实数加法群同构。 13． N ?G 。证明映射 π:G →G N ?,π(g )=gN =g? 是同态映射，并求同态核ker π。 14． 试求群SU (3)={U|U ?U =1,det U =1;U jk ∈C,j,k =1,2,3.}的中心。 15． 设f:G →H 是群同态。证明：如果g ∈G 是有限阶元素，则f (g )的阶整除g 的阶。 16． 如图，正四面体有哪些对称轴？写出正四面体对称群T 中的所有元素，并按图中的顶点编号给出其置换表示。 17． 给出正三角形对称群D 3对于其3阶子群的左诱导表 示。 18． G =K ?H,N H =*(1K , )| ∈H +?H,N K = *(k,1H )|k ∈K +?K ，证明（1）N H ?G ，（2）N K ?G ，（3）N K N H =G 。 19． 给出正方形对称群D 4的所有元素，并找出其所有的共轭等价类。 20． 在D 4群中，记所有的纯转动构成的子群为R ；绕某一个对角线（如BD ）转1800为a ，子群*e,a +记做M 。证明D 4?R ?S M 。 21． 如图所示，玩具的两个圆盘可以各自绕中心旋转。求这个玩具的变换群，作它的置 换表示。说明是否可以变成下面的两种图样；如果可以，按什么步骤可以做到。 1 2 3 44

第2章 群论

第二章群论 群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。 在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是： 一、群在的定义及其基本性质七、循环群； 二、单位元、逆元、消去律；八、子群； 三、有限群的另一定义；九、子群的陪集； 四、群的同态；十、不变子群、商群； 五、变换群；十一、同态与不变子群。 六、置换群； §2.1 群的定义 ●课时安排约1课时 ●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35 群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。 定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件: （1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。 （2）（G，·）有左单位元，且G 中每个元有左逆元； （3）（G，·）有右单位元，且G 中每个元有右逆元； （4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。 定义：对 a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。 例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。 例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。 例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。 习题选讲：P38 1，3 ●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。 ●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。 ●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。 ●布置作业 P35 1，3（2） ●教学辅导