人教A版高中数学必修五新课标同步导学第课时课后练习(1)

第2章 2.1 第1课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知数列的通项公式：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＋1 (n 为奇数)，

2n －2 (n 为偶数)，则a 2·a 3等于(

) A ．70 B ．28

C ．20

D ．8

解析： a 2＝2×2－2＝2

a 3＝3×3＋1＝10

a 2·a 3＝20.故选C.

答案： C

2．已知a n ＝n 2＋n ，那么( )

A ．0是数列中的项

B ．20是数列中的项

C ．3是数列中的项

D ．930不是数列中的项

解析： 令n 2＋n ＝0，得n ＝0或n ＝－1，∵n ∉N *，故A 错．

令n 2＋n ＝20，即n 2＋n －20＝0，∴n ＝4或n ＝－5(舍)，

∴a 4＝20.故B 正确．

令n 2＋n ＝3，即n 2＋n －3＝0.

∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C 错．

令n 2＋n ＝930，即(n ＋31)(n －30)＝0，

∴n ＝30或n ＝－31(舍)，∴a 30＝930，故D 错．

答案： B

3．设数列2，5，22，11，…则25是这个数列的( )

A ．第6项

B ．第7项

C ．第8项

D ．第9项

解析： 该数列通项公式为a n ＝3n －1. 令3n －1＝25，得n ＝7.

答案： B

4．数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )

A ．a n ＝(－1)n n 2

2n －1 B ．a n ＝(－1)n n (n ＋1)2n －1

C ．a n ＝(－1)n

n 2

2n ＋1 D ．a n ＝(－1)n n 3－2n 2n －1 解析： 分子为1、4、9、16、…、n 2.分母为1、3、5、7、…、(2n －1)，又奇数项为负，偶数项为正，故选A.

答案： A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．数列35，12，511，37

，…的一个通项公式是________． 解析： 数列可写为：35，48，511，614

，…， 分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，

分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，

故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2

. 答案： n ＋23n ＋2

6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项． 解析： 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0.

解得n ＝10或n ＝52

(舍)． ∴a 10＝0.08.

答案： 10

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知有限数列45，910，1617，2526，…，m 2

m 2＋1

(m ≥7)． (1)指出这个数列的一个通项公式；

(2)判断0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？

解析： (1)由观察知数列的通项公式不是m 2

m 2＋1

. 又∵数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n 的关系式为(n ＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，

∴通项公式的分母可以为(n ＋1)2＋1.

∴数列的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2

(n ＋1)2＋1

(n ＝1,2，…，m －1)． (2)由(1)知数列的通项公式a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1，不妨设0.98是这个数列的第n 项，即(n ＋1)2

(n ＋1)2＋1＝0.98，解得n ＝6∈N *，

∴0.98是数列中的第6项．

8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.

(1)数列中有多少项是负数？

(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．

解析： (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1

∵n ∈N *，∴n ＝2,3.

∴数列有两项是负数．

(2)方法一：∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94

， 可知对称轴方程为n ＝52

＝2.5. 又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为

22－5×2＋4＝－2.

方法二：设第n 项最小，

由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1

， 得⎩⎪⎨⎪⎧

n 2－5n ＋4≤(n ＋1)2－5(n ＋1)＋4，n 2－5n ＋4≤(n －1)2－5(n －1)＋4. 解这个不等式组得2≤n ≤3，

∴n ＝2,3，

∴a 2＝a 3且最小，

∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)如图所示，有n (n ≥2)行(n ＋1)列的士兵方阵：

(1)写出一个数列，用它表示当n 分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的士兵人数；

(2)说出(1)中数列的第5,6项，用a 5，a 6表示；

(3)若把(1)中的数列记为{a n }，求该数列的通项公式a n ；

(4)求a10，并说明a10所表示的实际意义．

解析：(1)当n＝2时，表示士兵的人数为2行3列，人数为6；当n＝3时，表示3行4列，人数为12，依此类推，故所求数列为6,12,20,30，….

(2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示的是7行8列，故a5＝42，a6＝56.

(3)根据对数列的前几项的观察，归纳、猜想数列的通项公式．

项：6＝2×3,12＝3×4,20＝4×5,30＝5×6

↓↓↓↓

序号：1 23 4

因此a n＝(n＋1)(n＋2)．

(4)由(3)知a10＝11×12＝132，a10表示11行12列的士兵方阵中士兵的人数．