第3章 气体的流动过程

Ai ci 常数 vi dA dv dc A v c
——连续性方程
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⑵能量方程
根据稳态稳流的能量方程
1 2 2 q (h2 h1 ) (c2 c1 ) g ( z 2 z1 ) wshaft 2
对于绝热、不作轴功、忽略重力位能的稳态稳流情况
1 2 h c 2 1 2 1 2 h1 c1 h2 c2 2 2 1 2 hi ci 常数 2
⑴流速计算
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①喷管出口速度 对喷管，由能量方程
1 2 1 2 h0 h1 c1 h2 c2 2 2
c2 2(h0 h2 ) 2(h1 h2 ) c12
(h0h2)——绝热焓降，亦称可用焓差 一般喷管进口处的气流速度远小于出口速度(c1 << c2) c2 2(h1 h2 ) 1.414 h1 h2
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小结
稳态稳流、绝热、不作轴功、不计重力位能的管道流动
连续性方程
1 2 h0 hi ci 常数 2
1
dA dv dc A v c
能量方程 过程方程
P dv 1 dP v2 v1 ( 1 ) k ； P2 v k P
滞止——绝热流动时因阻滞作用而达到流速为零的状态 (P0、T0、v0 、c0 =0) 水蒸气的经验值 过热水蒸气 k = 1.3 干饱和水蒸气 k = 1.135 干度为x的湿蒸汽 k = 1.035 + 0.1x
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⑵流量计算
由连续性方程，无论对哪 一个截面质量流率都应相同 在喷管出口截面处 1 经整理可得
1 P2 k ( ) v0 P0
1
P2 k c2 2 P0 v0 [1 ( ) k 1 P0
k 1 k
]
m
A2c2 1 P2 k ( ) A2c2 v2 v0 P0
1 2 h0 h1 c1 2 k 1 T0 P0 k ( ) T1 P 1
解得
h0 P0
T0
v0
解得
滞止状态完全由进口气流初态确定
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⑶过程方程
对于状态连续变化的定比热容理想气体可逆绝热流动 过程 k
Pv 常数
dv 1 dP v k P
水蒸气也借用该式作近似计算 但k不再具有热容比(cp / cv)的含义，为经验值： 过热水蒸气 干饱和水蒸气 干度为x的湿蒸汽 k = 1.3 k = 1.135 k = 1.035 + 0.1x
A2 m
k P0 2 k 1 v0
2 k 1 P2 k P2 k ( ) ( ) P0 P0
（注：教材式8-17错误！）
对于一定的喷管，气流进口状态一定时 流量将仅Βιβλιοθήκη Baidu(P2/P0)而变化
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它们的依变关系如图所示
k k c2,max 2 P0v0 2 RgT0 k 1 k 1
c2随(P2/P0)的变化关系
实际上，P2→0时，比体积v2→∞，
除非喷管出口截面无穷大，否则此流速不可能达到
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③临界流速和临界压力比 ccr=a 缩放喷管 缩放喷管的最小截面处称为喷管的喉部 气流流过缩放喷管在喉部截面处达到当地音速 ——临界流速(ccr) 该截面称为临界截面，截面上的各气流参数相应称为临 界参数：临界压力Pcr、临界流速ccr„„ 临界流速ccr与临界压力Pcr应有以下关系：
§3.1 稳态稳流的基本方程
⑴连续性方程
稳态稳流时，任何一段管道内流进和流出的流体流量 相等 1 2 由于
1 m 2 m Ac m v A1c1 A2 c 2 v1 v2
c1 A1
1 m
1
A2
2 m
2
c2
管道中的一维稳定流动
2
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式中
A——管道的截面积 A1c1 A2 c2 c ——流体在当地的流速 v1 v2 v ——当地的流体比体积 考虑到稳态稳流的特性，对管道的任一截面
第 3章 气体的流动过程
（thermodynamics of one-dimensional steady flow of Gas）
流体在管道中流动时与外界的热交换往往可以忽略， 也不对外输出轴功，而且常可视为稳态稳流装置。以下 本章将主要讨论定比热容理想气体在管道中作绝热稳态 稳流时的热力学状态变化与宏观流动状况（流速、流量） 变化之间的关系
cdc vdP
kP kP
a 2 kPv
管道流动问题中流速c 应为正值，而k、M2也是正值 式中dc与dP反号 气体的流速变化与其压力的变化方向相反 气流加速c↑ 压力P↓ 反之亦然
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dc kPv a 2 dP 1 dP d P 2 2 c kPc kc P kM 2 P dP 2 dc kM P c
k Rg (T0 T2 ) k 1 k 1 k T2 k P2 k 2 RgT0 (1 ) 2 RgT0 [1 ( ) ] k 1 T0 k 1 P0
k 1 k
或
k P2 c2 2 P0 v0 [1 ( ) k 1 P0
]
式中T0、P0、v0为滞止参数，取决于气流的初态
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临界压力比 cr 是喷管流动中从亚音速流动转换到超 音速流动的转折点
超音速流动与亚音速流动是有原则区别的，根据临界 压力比可以计算出气流的压力降低到何值时其流速恰好 就达到了音速，因此临界压力比 cr 是分析气体流动的 一个重要参数
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cr
2 ( k 1
Pcr k c cr 2 P0 v 0 [1 ( ) k 1 P0
k 1 k
]
ccr为当地音速a
两式合并
ccr kPcr vcr
Pcr k 2 P0 v0 [1 ( ) k 1 P0
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k 1 k
] kPcr vcr
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由过程方程
1 k
定义
P0 vcr v0 ( ) Pcr k 1 k 1 Pcr k Pcr k k 2 P0 v0 [1 ( ) ] kP0 v0 ( ) k 1 P0 P0 Pcr cr ——临界压力比 P0
2 [1 crk ] crk k 1 k 2 k 1 cr ( ) k 1
k 1 k 1
Pcr k k 2 P0 v0 [1 ( ) ] kPcr vcr k 1 P0
k 1
气流速度达到当地音速时的压力与滞止压力之比
以上是定比热容理想气体可逆绝热流动过程的分析结论
可见相对管道中的任意两个截面，若气流的焓 h↑，则 流速c↓；反之，若气流的焓h↓，则流速c↑
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令
1 2 h0 h c 2
——滞止焓
滞止焓的物理意义为： 在绝热流动的情况下，流体因阻滞作用而 达到流速为零时所应具有的焓参数最大值 在流道中测定气流温度时滞止效应令所得的结果偏高 滞止状态的参数以下标“0”表示 求解流动问题通常已知进口气流状态(h1,P1,v1,T1,c1) 由
⑴流速改变与压力变化的关系
对于流体可逆流动，过程的技术功可表达为
1 2 dwt vdP dc gdz dwshaft 2
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管道中流动气流不作轴功，忽略重力位能变化
1 2 vdP dc 2
dc v 2 dP c c
0 0 1 2 vdP dc gdz dwshaft 2
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§3.2 音速和马赫数
⑴音速
通常所说的音速指声波在空气中的传播速度 音速不是固定的，与传播介质的物性、热力状态有关 对理想气体音速只与温度有关
a kRg T kPv
对实际气体音速a不仅与温度T有关，还与气体的压力P 或比体积v有关 也借用上式计算水蒸气中的音速 ，其中的k值按前述 经验值选取 流道中气体热力学状态不断变化，沿程不同截面上音 速各不相同，对特定截面一般都强调为“当地音速”
出口流速c2取决于气流的初态及其在喷管 出口截面上的压力P2与滞止压力P0之比 当初态一定时，c2则仅取决于(P2/P0)
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c2随(P2/P0)的变化关系如图示 c1较小时可用喷管进口压力P1代替P0 (P2/P0)=1时，c2=0 气体不会流动 (P2/P0)从1逐渐减小时，c2增大 初期增加较快，以后则逐渐减缓 理论上 当 P2=0时，c2将达到 c2,max
k ) k 1
P2 k c2 2 P0 v0 [1 ( ) k 1 P0
k 1 k
]
临界压力比下气流达到当地音速 ——临界流速
k k ccr 2 P0v0 2 RgT0 k 1 k 1
对给定的定比热容理想气体 （ k值一定 ）， 临界流速 ccr仅取决于滞止参数，或滞止温度T0 由于滞止参数可由初参数确定 临界流速仅取决于进口截面上的气流初参数
扩压管(P↑,c↓)
超音速流 （M<1）
显然，渐缩喷管最多只能将气流加速至音速 要将亚音速气流加速至超音速 喷管截面积应先收缩，后扩大 拉伐尔喷管 ——缩放喷管，亦称拉伐尔喷管
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c=a 拉伐尔喷管
气流在缩放喷管的喉部处达到当地音速
§3.4 喷管(nozzle)计算
通常依据喷管进口处的工质参数(P1、t1)和背压(P2),并 在给定流率的条件下进行喷管的设计计算 设计计算的目的在于确定喷管的形状和尺寸 校核计算的目的则在于预测各种条件下的喷管工作情 况，即确定不同情况下喷管的流量和出口流速
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cr
2 ( k 1
k ) k 1
临界压力比cr仅与气体的热容比k有关 ——仅取决于气体的性质； 对双原子气体k=1.4，临界压力比cr=0.528 对变比热容理想气体——k值应按平均比热容确定； 对水蒸气——k为经验数值而非热容比 如取过热汽的k=1.3，则cr=0.546 干饱和汽k=1.135，则cr=0.577 概括起来，气体的临界压力比cr接近等于0.5
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dA 1 dP dc A k P c
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dP 2 dc kM P c
dA 1 dP dc A k P c
dA dc dc 2 dc 2 M (M 1) A c c c <0
对于亚音速流（M<1） 气体的流速将与管道的截面积作相反方向变化 喷管——渐缩状 扩压管——渐扩状
喷管(P↓,c↑)
亚音速流 （M<1）
扩压管(P↑,c↓)
亚音速流 （M<1）
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对于超音速气流（M>1）
气体的流速将与管道的截面积作同方向变化 扩压管——渐缩状 喷管——渐扩状
dA dc dc 2 dc 2 M ( M 1) A c c c >0
喷管(P↓,c↑)
超音速流 （M<1）
⑵喷管和扩压管
喷管 ——气流通过后能令气流P↓，c↑的管道 扩压管 ——气流通过后能令气流P ↑ ，c ↓ 的管道
⑶流速改变与流道截面积变化的关系
气流速度与压力的反方向变化需通过管道截面积有规 律地变化来促成 根据气体流动的连续性方程及绝热过程方程
dA dv dc A v c dv 1 dP v k P
（任何工质，不论可逆与否）
h0、h1、h2分别取决于喷管进、出口处气流的热力状态 对于定比热容理想气体
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k cp Rg k 1
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h cPT
②初、终状态与流速的关系 对于定比热容理想气体 、可逆绝热流动过程
c2 2(h0 h2 ) 2cP (T0 T2 ) 2
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⑵马赫数
马赫数(M) ——流道中某一截面上的气体流速与当地音速之比
亚音速——气体的流速小于当地音速，M < 1 超音速——气体的流速大于当地音速，M >1
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§3.3 促使流速改变的条件
工程上常有将气流加速或加压的要求。例如： 利用喷管将蒸汽流加速，冲动汽轮机的叶轮作功； 喷气式发动机则利用喷管将气流加速后喷出，产生巨 大的反作用力来推动装置运动 通过扩压管利用气流的宏观运动动能将气流加压 气流的这种加速或扩压过程可以仅利用气流的热力学 状态或运动状态变化来实现，无需借助其它机械设备