3月26向心加速度(导学案)(解析版)

人教版物理选修必修2第五章《曲线运动》

专题5.7 向心加速度

导学案

【学习目标】

1.理解向心加速度的概念.

2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.

3.能够运用向心加速度公式求解有关问题.

【自主预习】

一、感受圆周运动的向心加速度

1．实例分析

(1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受太阳的力是万有引力，方向由地球中心指向_________．

(2)光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．小球受到的力有_____、桌面的________、细线的________．其中________和_________在竖直方向上平衡，合力即细线的拉力总是指向____．

2．结论猜测

一切做匀速圆周运动的物体的合力和加速度方向均指向_______．

二、向心加速度的定义、公式和方向

1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向_______，这个加速度叫作向心加速度．

2．公式：(1)a n＝______；(2)a n＝_______.

3．方向：沿半径方向指向_________，时刻与线速度方向________．

【自主预习答案】

一、1．(1)太阳中心．

(2)光重力、支持力、拉力．重力、支持力、圆心．

2．圆心． 二、1．圆心． 2．(1)v 2

r ；(2)ω2r .

3．圆心，垂直．

【问题探究】

一、向心加速度及其方向

【自学指导一】如图甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.

(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？ (2)地球受到的力沿什么方向？小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？ (3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？

【答案】 (1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化.运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用.

(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、线的拉力作用，合力等于线的拉力，方向沿半径指向圆心.

(3)物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是时刻沿半径指向圆心，即加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动. 【知识深化】对向心加速度及方向的理解 1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变.

2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响.

3.圆周运动的性质：不论向心加速度a n 的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.

【例1】下列关于向心加速度的说法中正确的是( )

A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢

B.向心加速度描述线速度方向变化的快慢

C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的

D.匀速圆周运动是匀变速曲线运动 【答案】 B

【解析】 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A 错，B 正确；向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故C 、D 错误. 二、向心加速度的大小

【自学指导二】(1)匀速圆周运动的速度方向不断发生变化，如图所示，经过Δt 时间，线速度由v A 变为v B ，圆周的半径为r .

试根据加速度的定义式推导向心加速度大小的公式.

(2)结合v ＝ωr 推导可得向心加速度与角速度关系的表达式为：a n ＝________.

(3)有人说：根据a n ＝v 2

r 可知，向心加速度与半径成反比，根据a n ＝ω2r 可知，向心加速度与半径成正比，这

是矛盾的.你认为呢？ 【答案】 (1)如图，

由于A 点的速度v A 方向垂直于半径r ，B 点的速度v B 方向垂直于另一条半径r ，所以∠AOB ＝∠CBD ，故等

腰△AOB 和△CBD 相似，根据对应边成比例可得：r v A ＝AB Δv

，由于时间t 很短，故弦长AB 近似等于弧长»AB ，而弧长»AB ＝v A ·Δt ，所以r v A

＝v A ·Δt Δv ，根据a n ＝Δv Δt 得a n ＝v A 2

r

.

(2)由v ＝ωr ，代入a n ＝v A

2r

可得a n ＝ω2r .

(3)不矛盾.说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾.

【知识深化】1.向心加速度的几种表达式：a n ＝v 2r ＝ω2

r ＝4π2

T 2r ＝ωv .

2.向心加速度与半径的关系(如图所示)

3.向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动

(1)物体做非匀速圆周运动时，加速度不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：a n ＝v 2

r ＝ω2r .

(2)无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度都指向圆心.

【例2】如图所示，一球体绕轴O 1O 2以角速度ω匀速旋转，A 、B 为球体上两点，下列几种说法中正确的是( )

A.A 、B 两点具有相同的角速度

B.A 、B 两点具有相同的线速度

C.A 、B 两点的向心加速度的方向都指向球心

D.A 、B 两点的向心加速度之比为2

1

【答案】 A