向量问题之极化恒等式
向量专题之极化恒等式课件-高三数学一轮复习
4、已知直角三角形 ABC 中， A 90 ，AB=2，AC=4，点 P 在以 A 为圆心且与边 BC 相切的圆上，则 PB PC 的最大值为（ ）
A． 16 16 5 5
B． 16 8 5 5
C． 16 5
D． 56 5
【解析】设 BC 中点为
D ，则
PB
PC
2
PD
1
2
BC
PD
2
1 20
向量专题之极化恒等式
【知识梳理】
一、极化恒等式及其推论：
1、极化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推导：
ab ab
2 2
2
a
2
a
2
2ab b
2
2ab b
ab
1 4
ab
2
ab
2
（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．
【典例精讲】
平面向量数量积的值
【例 3】如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E, F 是 AD 上两个三等分点，BA CA 4 ，BF CF 1 ，则 BE CE 的值是
．
A
E F
B
D
C
【解析】设
BD
x
，
DF
y
由极化恒等式得
BA CA
AB
AC
2
AD
2
BD
9y2
x2
4
，
BF
CF
PD
2
5，
4
4
又因为
PD max
AD
r
5 4 9 ， 55
专题11向量极化恒等式
专题11 向量极化恒等式平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- 三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=-,AB a AD = 证明：不妨设利用极化恒等式求数量积的定值【变2】3．在边长为1的正三角形等于．利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤利用极化恒等式求数量积的最值利用极化恒等式求数量积的最值(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；【素养落地】本题充分考查了向量运算，做出中点，利用极化恒等式可秒杀此类问题观想象、数学运算的核心素养A ．44B ．229．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，A ．34-（2022·福建莆田一中高三模拟）10．如图，在ABC 中A ．1B ．2（2022·海口一模）11．设,A B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点A ．[1,3]-B ．[1,3]（2022四川南充高三开学摸底联考）12．已知直线l ：10x y +-=14．正方体1ABCD A B -意两点之间的线段称为球的弦PM PN ⋅的取值范围是 (2022·镇海中学模拟)15．在面积为2的ABC 中，E ，F 2PC PB BC ⋅+ 的最小值是 .16．已知向量,a b 及实数t 满足a b t + （2022南京29中模考）17．在ABC 中，点E F ，分别是线段参考答案：所以13(,)62AD=--，AE故答案为：13 184．B【分析】根据条件建立坐标系，5．C【分析】利用极化恒等式求解即可.【详解】2,()PA PB PO PA PB PC +=∴+⋅ 取OC 中点D ，由极化恒等式得,PO PC ⋅ 又2||0PD =，∴()PA PB PC +⋅ 的最小值为故选:C.6．1358-【分析】取MN 的中点P 得PN则1CH =，又2BC =，所以∠因为4AC =，所以由正弦定理得：1sin 4A =()66,0BC C =∴ ，,)故选【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，方法，属于基础题.12．A【分析】由题意直线l过圆心2则2OC OB OC OB ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭ 又OM ≤ON ＋NM ＝12AD 当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号．所以OC OB ⋅的最大值为设球心为O,则当弦MN的长度最大时，由向量线性运算可知()()⋅=++PM PN PO PO ONOM2=+⋅+⋅+⋅N PO M ONPO PO O OM O()2=+⋅++⋅OMPO PO ON OM ON-的棱长为2，则球的半径为正方体ABCD A B C D18． 15 3【分析】根据题意可得1O B =易得OAB 是等边三角形，所以设四边形ABOC 对角线的交点为由极化恒等式得PA PO ⋅ ()214PB PC PB PC ⎡⋅=+⎢⎣。
向量极化恒等式
向量极化恒等式极化恒等式：a ·b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－⎝⎛⎭⎫a －b 22.变式：a ·b ＝(a ＋b )24－(a －b )24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |24. 如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－MB →2.例 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78解析 设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n .根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1.联立解得n 2＝58，m 2＝138. 因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78. 即BE →·CE →＝78. (2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．答案 [0,2]解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0,2]． 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．1．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC答案 D解析 如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE .根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2.又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则| PD →|≥|P 0D →|恒成立，必有DP 0⊥AB .因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC .2.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB →的最大值是________．答案 2解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC →·OB →＝OM →2－14. 因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32， 当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号． 所以OC →·OB →的最大值为2.。
向量极化恒等式
2 EF
AF
2
21
，选
A。
16
4．（2017 年新课标Ⅱ）已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则
PA PB PC 的最小值是
A． 2
B． 3 2
C． 4 3
D． 1
解：记 BC 中点为点 D ， AD 中点为点 E ，则
PA
PB PC
题型二：利用极化恒等式求解两向量不同起点，但可转化为两
同起点向量的数量积问题
例 2．（2016 年江苏）如图，在 ∆ABC 中， D 是边 BC 的中点， E, F 是 AD 上的两个三等
分点， BA CA 4, BF CF 1 ，则 BE CE
。
解：由极化恒等式：
BA
，其中 D 为 BC
4
中点，此时 AB AC 的值只依赖于 AD 的值，向量数量积的问题转化为两点间距离问题，
难度大大降低。
2、两向量不同起点时，考虑转化为同起点两向量数量积。如例 2 中求解 BE ⋅CE ，两
向量同终点不同起点，但经转化后 BE CE EB EC 同起点，亦可利用极化恒等式求解。
1 4
AB
，且对于边
AB
上
任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C 则（
）
A． ABC=90 B． BAC=90 C． AB AC D． AC BC
解：记
AB
中点为点
H
， BC
中点为点
M
，则
PB PC
2 PM
2 BM
，注意到
BM
2
为定
值，即 P 为 P0 时 PM 最小时，故 MP0 AB, CH AB CA CB ，选 D。
微专题6 极化恒等式、投影向量
微专题6 极化恒等式、投影向量极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.(2)在平行四边形PMQN 中，O 是对角线交点，则： ①PM→·PN →＝14[|PQ →|2－|NM →|2](平行四边形模式)； ②PM→·PN →＝|PO →|2－14|NM →|2(三角形模式).类型一 投影向量的应用由投影与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积.例1 已知|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a 在向量e 上的投影向量是________；向量e 在向量a 上的投影向量是________. 答案 －2e －18a解析 由|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3， 向量a 在向量e 上的投影数量：|a |cos 23π＝－2， 向量e 在向量a 上的投影数量：|e |cos 23π＝－12， 故向量a 在向量e 上的投影向量：－2e ， 向量e 在向量a 上的投影向量：－12×a |a |＝－18a .训练1 (1)已知向量a 与b 的夹角为34π，且|a |＝2，|b |＝3，则a 在b 方向上的投影向量与投影向量的长度分别是( ) A.23b ，2 B.23b ，－2 C.－23b ， 2D.－23b ，－2(2)已知向量a ＝(1，2)，A (6，4)，B (4，3)，b 为向量AB →在向量a 上的投影向量，则|b |＝________. 答案 (1)D (2)455解析 (1)设a 在b 方向上的投影向量为λb (λ∈R )， 则a ·b ＝λb ·b ， 故λ＝a ·b b 2＝|a |cos 34π|b |＝－23.故a 在b 方向上的投影向量为－23b ，a 在b 方向上的投影向量的长度为|a | cos 34π＝－ 2. (2)AB→＝(－2，－1)， 由投影公式可知|b |＝|AB→·a ||a |＝|－2×1＋（－1）×2|5＝455.类型二 利用极化恒等式求向量的数量积利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤： (1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.例2 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.BA →·CA →＝4，BF→·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________.(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 (1)78 (2)32解析 (1)设BD ＝DC ＝m ， AE ＝EF ＝FD ＝n ， 则AD ＝3n .根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1， 联立解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78. 即BE→·CE →＝78. (2)连接EG ，FH 交于点O (图略)， 则EF→·FG →＝EO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，GH→·HE →＝GO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34， 因此EF→·FG →＋GH →·HE →＝32. 训练2 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB→·AC →＝________.(2)如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________.答案 (1)－16 (2)4解析 (1)因为M 是BC 的中点， 由极化恒等式得AB→·AC → ＝|AM →|2－14|BC →|2＝9－14×100＝－16. (2)取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，因AB ＝4，AE ＝2，∠BAC ＝60°，故BE ⊥AE ，所以BE ＝2 3.在△DEB 中，FN 綊12BE ， 所以FN ＝3， 故BF→·DE →＝2FB →·FD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫FN →2－14DB →2＝2(3－1)＝4. 类型三 利用极化恒等式求数量积的最值(范围)(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.例3 (1)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________.(2)(2022·济南调研)在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC →2的最小值为________. 答案 (1)214 (2)23 解析 (1)法一(极化恒等式法)连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD →2－BD →2，又AD ＝12|AB →＋AC →|＝52，故AB→·AC →＝254－BD →2＝254－14BC →2， 又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →)max ＝214. 法二(坐标法)以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图，则A (0，3)，C (c ，0)，B (b ，2)， 则AB→＝(b ，－1)，AC →＝(c ，－3) 从而(b ＋c )2＋(－4)2＝52， 即(b ＋c )2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤（b ＋c ）24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立. (2)取BC 中点O ，PB→·PC →＝PO →2－14BC →2⇒PB →·PC →＋BC →2＝PO →2＋34BC →2≥2PO→2·34BC →2＝3|PO→||BC →|，当且仅当PO ＝32BC 时等号成立. ∵PO ≥12h ，∴3|PO →||BC →|≥32h |BC →|＝3S △ABC ＝23，∴PB →·PC →＋BC →2的最小值为2 3.训练3 (1)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM→·PN →的取值范围是________.(2)如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB →的最大值是________.答案 (1)[0，2] (2)2解析 (1)由正方体的棱长为2， 得内切球的半径为1， 正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径. 设内切球的球心为O ，则PM→·PN →＝PO →2－ON →2＝|PO →2|－1. 由于P 为正方体表面上的动点， 故|OP |∈[1，3]， 所以PM→·PN →∈[0，2]. (2)如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC→·OB →＝OM →2－14＝|OM →|2－14. 因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32， 当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号. 所以OC→·OB →的最大值为2.一、基本技能练1.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 A解析 由极化恒等式得a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.2.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC→·DC →＝( )A.－9B.21C.－21D.9答案 D解析 AB→·AD →＝|AO →|2－14|BD →|2＝－7，∴14|BD →|2＝16，BC →·DC →＝|CO →|2－14|BD →|2＝25－16＝9.3.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF→＝2FO →，则FD →·FE →＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO→|＝13. 法一 FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二 由极化恒等式得FD→·FE →＝FO →2－14DE →2＝19－1＝－89. 4.已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最大值是( )A.92B.2C.32D.34答案 B解析 如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，由极化恒等式可得PD →·PC →＝PE →2－EC →2＝|PE →|2－12， 所以当P 与A (B )重合时，|PE→|＝52最大，从而(PD →·PC →)max ＝2. 5.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C.2 D.22答案 C解析 由极化恒等式(a －c )·(b －c ) ＝14[(a ＋b －2c )2－(a －b )2]， ∵(a －c )·(b －c )＝0， 所以(a ＋b －2c )2＝(a －b )2， 故c 2＝(a ＋b )·c ， 又因为|a |＝|b |＝1，a ⊥b ， ∴|a ＋b |＝2，于是|c |2≤|a ＋b ||c |＝2|c |， ∴|c |≤ 2.6.已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值为( ) A.1 B.2 C.2 D.22 答案 A解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 与直线x －y ＋2＝0垂直时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1. 故选A.7.已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( ) A.－14 B.－13 C.－12 D.－1答案 C解析 ∵P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB→)·PC →＝2PO →·PC →， 取OC 中点D (图略)，由极化恒等式得，PO→·PC →＝|PD →|2－14|OC →|2＝|PD →|2－14， 又|PD →|2min＝0，∴(P A →＋PB→)·PC →的最小值为－12. 8.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( ) A.－2 B.－32 C.－43 D.－1 答案 B解析 取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，取AD 的中点E ，连接PE .由△ABC 是边长为2的等边三角形，E 为中线AD 的中点得AE ＝12AD ＝32， 则P A →·(PB→＋PC →) ＝2P A →·PD →＝2(|PE →|2－|EA →|2) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤|PE →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫322≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－34＝－32，当且仅当|PE→|＝0时，取等号，∴P A →·(PB→＋PC →)的最小值为－32. 9.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________.答案 1解析 取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，则AO ＝12x ，∴DE→·DA →＝|DO →|2－14|AE |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1.10.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则P A →·PB →的最小值为________.答案 16解析 设AB 的中点为M ，则P A →·PB →＝PM →2－MA →2＝|PM →|2－9， 所以要求P A →·PB→的最小值，只需求|PM →|的最小值， 显然当点P 为线段MC 与圆的交点时，|PM→|取得最小值，最小值为|MC |－2. 在△AMC 中，由余弦定理得|MC |2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49， 所以|MC |＝7，所以|PM →|的最小值为5， 则P A →·PB→的最小值为16. 11.在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2解析 取MN 的中点为P ，由极化恒等式得CM→·CN →＝|CP →|2－14|MN |2＝|CP →|2－12. 当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM→·CN →的最小值为32； 当M 与A (或N 与B )重合时，|CP→|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM→·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2. 12.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________. 答案 [－9，0]解析 如图，取CD 的中点G ，连接OG ，MO ，CO ，得OG ⊥CD ，MA→·MB →＝|MO →|2－14|BA →|2＝|MO →|2－16， ∵|OC→|≥|OM →|≥|OG →|， ∴7≤|OM→|≤4，∴MA→·MB →∈[－9，0]. 二、创新拓展练13.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A.2B.3C.6D.8答案 C解析 如图，由已知OF ＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE→|2－14|OF →|2＝|PE →|2－14，∵当P 在椭圆右顶点时，|PE →|2有最大值，|PE →|2max＝254， ∴OP→·FP →的最大值为6. 14.(多选)已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.PB→·PC →＝PD →2－DB →2 B.存在点P ，使|PD →|<|P 0D →| C.P 0C →·AB →＝0 D.AC ＝BC 答案 AD解析 如图所示，取BC 的中点D ，连接PD ，根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，所以|PD →|≥|P 0D →|，A 正确；B 错误；故由点P 为边AB 上任意一点知：点D 到边AB 上点的距离的最小值为|DP 0→|，从而DP 0⊥AB ，∴P 0C →·AB →≠0，C 错误；取AB 的中点E ，则由P 0B ＝14AB 知，CE ∥DP 0，故CE ⊥AB ，于是AC ＝BC ，D 正确.15.在半径为1的扇形中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于P ，则OP →·BP →的最小值为________. 答案 －116解析 取OB 的中点D ，作DE ⊥AB 于点E ，连接PD ，则OP→·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，易知|PD →|∈⎣⎡⎦⎤|DE →|，|AD →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32， 则OP→·BP →＝PD →2－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，12，故所求最小值为－116. 16.如图，在平面四边形ABCD 中，AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°，∠ABC ＝90°，则BD→·BC →的最大值为________.答案1解析取CD的中点E，连接EA，EB，∵AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∴AE⊥CD，DE＝AD sin 60°＝3，由∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，且AC为直径，则BD→·BC→＝|BE→|2－|ED→|2＝|BE→|2－(3)2≤|AC→|2－3＝22－3＝1，所以BD→·BC→的最大值为1.。
高中数学极化恒等式专题习题含答案(图片版)
向量之极化恒等式专题一、极化恒等式原理：代数原理：22()()4a b a b ab +--=向量原理：22()()4a b a b a b +--⋅=ABDC 中有如下向量关系：2222()()44AB AC AB AC AD CB AB AC +---⋅==即：平行四边形临边对应的向量的数量积等于和对角线平方与差对角线平方之差的四分之一在ABC 中有如下向量关系：2222222222()()41=444414AB AC AB AC AD CB AE CB AB AC AE CBAB AC AE CB+----⋅===-⇒⋅=-即：在三角形中相邻两边所在向量的数量积等于相应中线的平方与四分之一对边平方之差。
极化恒等式构建了向量的数量积和几何图形之间的关系，对高考中向量的一类问题可以起到“秒杀”的作用。
备注：ABDC 中还有一组关系22222()AD CB AB AC +=+ ,同学们可以自行推导。
二、极化恒等式秒杀一类向量题赏析：例1.已知Rt ABC ∆的斜边AB 的长为4，设P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是例2.如图，圆O 为Rt ABC ∆的内切圆，已知03,4,90AC BC C ==∠=，过圆心O 的直线l 交圆于,P Q 两点，则BP CQ ⋅的取值范围是例3.已知点,A B 分别在直线1,3x x ==上，4OA OB -= ,当OA OB +取得最小值时，OA OB ⋅的值为例4.在Rt ABC ∆中，090,3,4,ACB AC AB ∠===若点,A B 分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，OA OC ⋅的最大值是例5.已知,A B 为椭圆2214x y +=的一条动弦，且经过原点，M 为直线34150x y --=上的一个动点，则MA MB ⋅的最小值为例6.在锐角ABC 中，已知3B π∠=，2AB AC -= ，则AB AC ⋅ 的最值范围是例7.在平面上，2121,1AB AB AP AB AB +===⊥21<的取值范围是例8.已知向量c b a ,,()()0,12=-⋅-===c b c a-的取值范围是Ans ：7.⎥⎦⎤⎝⎛227，8..[]17,1-7+，三、牛刀小试1.在ABC 中，M 是BC 的中点，3,10,AM BC AB AC ==⋅=则2.设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则（）A.090ABC ∠= B.090BAC ∠= C.AB AC = D.AC BC=3.如图，已知直线AB 与抛物线24y x =交于点,.A B M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅，则下列一定成立的是（）A.0C M AB ⊥B.00,C M l l C ⊥其中为抛物线过点的切线C.00C A C B⊥ D.012C M AB =4.在正ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=5.已知,a b 是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0a c b c -⋅-= ，则c的最大值是6.设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧 APB 上（如图所示），则PC PD ⋅的取值范围是7.（2012苏模拟）在ABC 中，点,E F 分别是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF上，若ABC 的面积为2，则2PC PB BC ⋅+ 的最小值是8.如图，在半径为1的扇形AOB 中，060AOB ∠=，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值为9.如图放置的边长为1的正方形ABCD 顶点分别在x 轴，y 轴的正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为10.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为11.点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC ⋅的取值范围是12.若平面向量b a ,满足23a b -≤，则b a ⋅的最小值是13.已知B A ,是单位圆上的两点，O 为圆心，且32π=∠AOB ，MN 是圆O 的一条直径，点O 在圆内，且满足())10(1<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ⋅的取值范围是14.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()PA PB PC +⋅的最小值为Ans ：1.16- 2.D 3.B4.2155.26.[]16,07.328.161-9.210.211.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2112.49-13.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,4314.21-。
平面向量的极化恒等式及其应用
平面向量的极化恒等式及其应用2AB22AC2BC2则动点P的轨迹一定通过ABC的------A.外心B.内心C.重心D.垂心平面向量的极化恒等式及其应用一、极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。
证法1（向量法）：设 $AB=a,AD=b$，则$AC=a+b,DB=a-b$，$AC+DB=2(a+b)=2(AB+AD)$。
证法2（解析法）：证法3（余弦定理）：推论1：由 $AC+DB=2(AB+AD)$ 知，$2AO+2OB=2(AB+AD)$，即 $AB+AD=2(AO+OB)$。
推论2：$a\cdot b=\dfrac{1}{4}(a+b)^2-\dfrac{1}{4}(a-b)^2$，即 $AB\cdot AD=AO-OB$。
推论3：在 $\triangle ABC$ 中，$O$ 是边 $BC$ 的中点，则 $AB\cdot AC=AO-OB$，即极化恒等式的几何意义。
二、平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。
AC+DB=2(AB+AD)$。
三、三角形中线的一个性质AB+AC=2(AO+OB)$。
推论1：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-OB$。
推论2：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-BC$。
应用】已知点 $P$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $AB$ 上中线 $CD$ 的中点，则 $\dfrac{PA+PB}{PC^2}=-\dfrac{1}{2}$。
四、三角形“四心”的向量形态1.$O$ 是平面上一定点，$A,B,C$ 是平面上不同的三点，动点 $P$ 满足 $\dfrac{AP}{AB}+\dfrac{AP}{AC}=\infty$，则动点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的外心 $O$，即$OP=OA+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}+\mu\cdot\overrighta rrow{AC}$，$\lambda,\mu\in\mathbb{R}$。
极化恒等式
极化恒等式
1极化恒等式的推导：
(如图，有向量OA与向量OB,两向量之和为OD,其中E为AB,OD的中点) 2使用条件：共起点内积
3适用于：平面向量，空间向量
3使用方法：找斜边中点，再使用公式代入
4
例1：
解析：取BC的中点E，AD的中点为F
=
−→
−
⋅
−→
−
OC
OB
2
2−→
−
-
−→
−
EC
OE
=2
−→
−
OE
-
2
2
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
由三角形两边和大于第三边可以得到：
OE ≤OF+EF
OF 为直角三角形OAD 的中线，所以OF=2
1 EF=1
所以：−→−⋅−→−OC OB 的最大值为2
例2：
我们在此题的基础上增加一点难度：求−→−⋅−→−PD
PC 的最小值和最大值 解答：根据“极化恒等式”的方法，我们找到斜边CD 的中点O 点，则 −→−⋅−→−PD PC =22−→−-−→−OD
PO 其中OD=1
故我们只需要判断PO 的最大值与最小值
根据三角形两边和大于第三边，我们得到：
1）PO ≤AP+AO 2）PO+AO ≥AO
(其中AP=1,AO=5)
所以PO 的最大值为（5+1），最小值为（5-1）
故：−→−⋅−→−PD
PC 的最大值为（5+25），最小值为（5+25）。
极化恒等式公式向量
极化恒等式公式向量
【极化恒等式公式向量简介】
极化恒等式公式向量，是指在向量空间中，满足极化恒等式的一类向量。
极化恒等式，是线性代数中一种非常重要的恒等式，广泛应用于各种数学问题的求解。
对于n 维向量空间，极化恒等式公式向量具有n+1 个线性无关的向量。
通过这些向量，我们可以构建出一个n 维的线性空间，进一步研究向量空间的性质和结构。
【极化恒等式公式向量的性质】
极化恒等式公式向量具有以下几个重要性质：
1.线性无关：极化恒等式公式向量是线性无关的，这意味着它们不能通过线性组合得到零向量。
2.正交：极化恒等式公式向量是正交的，即它们之间的内积为零。
正交性使得极化恒等式公式向量可以被广泛应用于求解线性方程组和构建线性变换。
3.满秩：极化恒等式公式向量组成的矩阵是满秩的，这意味着它们可以被用于表示一个可逆的线性变换。
【极化恒等式公式向量的应用】
极化恒等式公式向量在许多领域都有广泛的应用，例如：
1.求解线性方程组：极化恒等式公式向量可以被用于求解线性方程组。
通过高斯消元法或列文逊- 逆平方根法等算法，可以将线性方程组表示为极化恒等式公式向量的线性组合，从而求解方程组的解。
2.构建线性变换：极化恒等式公式向量可以被用于构建线性变换。
例如，
在量子力学中，极化恒等式公式向量被用于表示哈密顿算符，从而描述系统的动力学行为。
3.研究向量空间：极化恒等式公式向量在研究向量空间的性质和结构方面具有重要意义。
例如，通过极化恒等式公式向量，可以研究向量空间的维数、基、秩等概念。
二级结论专题6 平面向量
二级结论专题6平面向量二级结论1：极化恒等式【结论阐述】（1）极化恒等式：()()2214⎡⎤⋅=+--⎣⎦a b a b a b ；（2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形ABCD 中，()2214AB AD AC BD ⋅=- ，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14；（3）极化恒等式三角形模型：在ABC 中，M 为边BC 中点，则；2214AB AC AM BC ⋅=- .说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）､最值､范围等问题.【典例指引1】（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）1．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅uur uur的值是_______.【典例指引2】2．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【针对训练】（2022·山东日照市·高三二模）】3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8,5,3,2AB AD CP PD AP BP ===⋅= ，则AB AD⋅ 的值是（）A ．44B ．22C ．24D ．72（2022·河北武强中学高三月考）4．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB AD ⋅=－7，则BC DC ⋅的值是________．（2022·全国福建省漳州市高三期末）5．在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-== 为BC 的三等分点，则·AE AF =A ．89B ．109C ．259D ．269（2022·海南海口·二模）6．在正三角形ABC 中，点,E F 是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，若三角形ABC 的面积为2，则2+PC PB BC ⋅的最小值是___________（2022•南通期末）7．在面积为2的ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+uu u r uu r uu u r 的最小值是______.（天津高考）8．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为_________．二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件【结论阐述】设O 为ABC ∆所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（1）O 为ABC ∆的外心()()()02sin aOA OB OC OA OB AB OB OC BC OA OC AC A⇔===⇔+⋅=+⋅=+⋅= .（如图1）（2）如图2，O 为ABC ∆的重心⇔OA OB OC ++=0.（3）如图2，O 为ABC ∆的垂心⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅.（4）如图3，O 为ABC ∆的内心sin sin sin aOA bOB cOC A OA B OB C OC ⇔++=⇔⋅+⋅+⋅=00 .说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究.【典例指引1】9．在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（）A ．满足||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B ．满足0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C ．满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的垂心D ．满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅= ，则ABC 为等边三角形【典例指引2】10．已知,,,O A B C 是平面上的4个定点，,,A B C 不共线，若点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【针对训练】11．在△ABC 中，=3AB ，=4AC ，=5BC ，O 为△ABC 的内心，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．23B ．34C ．56D ．3512．已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心13．设G 为ABC 的重心，若=2AB，BC =，=4AC ，则AG BC ⋅=___________14．设O 为ABC 的外心，若=4AB，BC =，则BO AC ⋅=___________.15．设I 为ABC 的内心，若=2AB，BC =，=4AC ，则AI BC ⋅=___________二级结论3：奔驰定理【结论阐述】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别记作A S ，B S ，C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=.②O 是ABC ∆的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔0aOA bOB cOC ++=.③O 是ABC ∆的外心::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20A B C S S S A B C A OA B OB C OC ⇔=⇔⋅+⋅+⋅=.④O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan A B C S S S A B C =⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.【典例指引1】（2022·四川西昌·高二期末）16．在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【典例指引2】17．设G 是△ABC 重心，且(56sin )(40sin )(35sin )0A GA B GB C GC ++=，则B ∠=_________．【针对训练】一､单选题18．若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足()OP OC CB CA λ=++（R λ∈），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心19．若O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若点P 满足2OB OC OP += +λAP(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心20．已知O 是平面内一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()()0,,λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞⎪⎝⎭AB ACOP OA AB AC 则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心21．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭=+，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．重心B ．内心二､多选题（2022·重庆实验外国语学校高一期中）22．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，内心为Q ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB AB⋅= B ．GA GB GA GC GB GC⋅=⋅=⋅ C ．0HA HB HC ++= D ．若A P Q 、、三点共线，则存在实数λ使||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2022·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）23．点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC 的重心．B ．若0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC 的内心．C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 是ABC 的外心．D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC 的垂心．三､填空题24．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的________(填序号）．①内心②垂心③重心④外心参考答案：1．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==- （）（），因此22513,82FD BC == ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．2．B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯-=-，故选：B ．3．B【分析】以{},AB AD 为基底分别表示出,AP BP ，再利用平面向量数量积的运算律即可解出．【详解】因为3CP PD =，所以14AP AD DP AD AB =+=+ ，1344BP AP AB AD AB AB AD AB =-=+-=- ，而2AP BP ⋅=，所以，13244AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：2213582216AB AD -⋅-⨯= ，即22AB AD ⋅= ．故选：B ．4．9【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用AB AD ⋅=()()AO OB AO OD +⋅+ ,求出||||4OB OD == ，再利用()()BC DC BO OC DO OC ⋅=+⋅+，运算可求出结果.【详解】在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3,5,0OA OC OB OD ==∴+=若7AB AD ⋅=- ，则()()AO OB AO OD +⋅+ 2AO AO OD AO OB OB OD =+⋅+⋅+⋅ 22()AO OA OD OB OB =+⋅+- 223OB =- 7=-，216OB ∴= ，||||4OB OD ∴== ，()()BC DC BO OC DO OC ∴⋅=+⋅+ 2BO DO BO OC OD OC OC =⋅+⋅+⋅+= 222()4BO OC BO OD OC -+⋅++=- 2059++=.故答案为：9【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算，考查了转化思想和运算能力，属于中档题.5．B【详解】试题分析：因为AB AC AB AC +=- ，所以AB AC ⊥ ，以点A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立直角坐标系，设()()2,00,1AB AC ==，，又E F ，为BC 的三等分点所以，4122,,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以412210,,33339AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若AB AC AB AC +=- ，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点，则()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21123333AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22225210(14)099999AC AB AB AC =++⋅=++= ,故选B ．6【分析】取BC 中点D ，由题意，计算得2BC =ABC ，数形结合可知，PD 的最小值为PBC △的高4BC ，利用向量的基底表示与线性运算将问题转化为2222113+=+·+=+224PC PB BC PD BC PD BC BC PD BC ⋅-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代值计算.【详解】取BC 中点D ，由正ABC 的面积为2，221πsin 2233ABC S BC BC ∴=⋅⋅=⇒=，ABC 的高为πsin3h BC =⋅=，数形结合得，PD 的最小值为PBC △的高，即12PD h ≥=，所以22316PD BC ≥ ，所以2211+=+·+22PC PB BC PD PD BC BC ⋅-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222221333815854416431632PD BC BC PD BC BC -+=+≥+⨯⨯ .故答案为：27．【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得2sin PB PC BPC⋅=∠，由平面向量数量积的运算可得2cos sin BP PC P CB B PC∠=∠⋅uu u r uu r ，由余弦定理结合基本不等式可得244cos sin BP B C BP C C -∠∠≥，进而可得242cos sin PC P BPC BP B CBC ⋅-∠∠+≥uu u r uu r uu u r ，令()42cos (),0,sin x f x x x π-=∈，利用导数求得()f x 的最小值后即可得解.【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半，所以2ABC PBC S S = ，又2ABC S = ，所以11sin 2PBC S PB PC BPC ==⋅⋅∠ ，因此2sin PB PC BPC⋅=∠，所以2cos cos sin BPCPB PC BP PC B PC P C B ∠⋅⋅∠∠⋅==uu u r uu r ；又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC44cos s 22cos in PB PC PB PC BP BPCBPCC ≥⋅-⋅-∠=∠∠，当且仅当PB PC =时，取等号；所以22cos 44cos 42cos sin sin sin BPC BPC BP PC PB BC CBPC BPC BPC∠-∠-∠++∠∠≥=∠⋅uu u r uu r uu u r ，令=∠x BPC ，42cos ()sin xf x x-=，()0,x π∈；又2222sin (42cos )cos 24cos ()sin sin x x x xf x x x---'==，由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2x >，所以03x π<<；所以()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；所以min()23f x fπ⎛⎫==⎪⎝⎭因此2PC PB BC⋅+uu u r uu r uu u r的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.8．16132【分析】可得120BAD∠= ，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x，则点()1,0N x+（其中05x≤≤），得出DM DN⋅关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN⋅的最小值.【详解】AD BCλ=，//AD BC∴，180120BAD B∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC ABλλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=-⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BC C=∴，,∵3,60AB ABC=∠=︒，∴A的坐标为3,22A⎛⎝⎭,∵又∵16AD BC=,则5,22D⎛⎝⎭，设(),0M x，则()1,0N x+（其中05x≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅ 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.9．ABCD【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC ，用向量的数量积和运算律判断D 即可.【详解】解：对于A ，因为||||||OA OB OC ==，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC ++=得：2ND NA =- ，所以||:||2:1AN ND = ，所以N 是ABC 的重心，故B正确；对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得：()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅= ，所以AC PB ⊥；同理可得：AB PC ⊥，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由()0||||AB AC BC AB AC +⋅=得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC =；由12||||AB AC AB AC ⋅=得：1cos 2A =，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．10．A【分析】设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，进而结合题意得2AP AD λ= ，再根据向量共线判断即可.【详解】解：根据题意，设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，因为点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中Rλ∈所以，()2OP OA AP AB AC AD λλ-==+= ，即2AP AD λ=，所以，点P 的轨迹为ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过ABC 的重心.故选：A11．C【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.【详解】由AO AB BC λμ=+得()()AO OB OA OC OB λμ=-+- ，则()()1++=0OA OB OC -λλ-μμ，因为O 为△ABC 的内心，所以++=0BC OA AC OB AB OC，从而()()1::5:4:3λλμμ--=，解得712λ=，14μ=，所以56λμ+=.故选：C.12．C【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P 轨迹.【详解】因为AB AB为AB 方向上的单位向量，AC AC为AC方向上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，由AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭，可得AB AC OP OA AB ACλ⎛⎫⎪-=+⎪⎝⎭，即AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为BAC ∠的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：C.13．4【分析】由G 为ABC 的重心，易得()1=,3AG AB AC + 又=BC AC AB -，结合数量积运算律即可得到结果.【详解】由已知可得ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，因为G 为ABC 的重心，所以()22+1===+,3323AB AC AG AF AB AC ⋅=BC AC AB -，∴()()()()22111=+==164=4333AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅⋅--- ，故答案为：414．2-【分析】根据条件和几何意义，将BO AC转化为相应的向量投影即可求解.【详解】如图，设D ､E 分别为,AB BC 的中点，则,OD AB OE BC ⊥⊥，所以()BO AC BO BC BA BO BC BO BA =-=- cos cos BO BC OBC BO BA OBA=∠-∠2211=··==222BE BC BA BD BC BA --- ,故答案为：-2.15．6-【分析】利用向量的数量积运算求解或根据投影的几何意义求解.【详解】解法1：不难发现，ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID IE IF r ===，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD BF r ==，从而2AD r =-，CF r =，易证=AE AD ，=CE CF ，所以2AE r =-，CE r =，故224AE CE r AC +=+==，从而1r ，23AD r =-=()AI BC AI AC AB AI AC AI AB ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos AI AC IAC AI AB IAB=⋅⋅∠-⋅⋅∠()26AE AC AD AB AD AC AB AD =⋅-⋅=-==-故答案为:6-解法2：按解法1求得ABC 的内切圆半径1r ，由图可知AI 在BC1，所以)16AI BC ⋅=⨯-故答案为:6-16．B【分析】利用三角形面积公式，推出点O 到三边距离相等。
2021--平面向量--高考极化恒等式在向量问题中的应用
高考极化恒等式在向量问题中的应用大招系列一、秒杀公式的讲解：1.极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式：2214a b a b a b2.极化恒等式几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即：2214a b AD AB AD AB 或2214a b AC BD平行四边形模式：2214AB AD和对角线差对角线或2214AB AD AC BD3. 极化恒等式的三角形模式：在ABC 中，记M 为BC 的中点，则2214AB AC AM DB二、以例讲法典型类题 1 〖例1〗(2012浙江文)在ABC 中，M 是BC 的中点，3AM ，10BC ，则AB AC.〖例2〗(2007天津文)在ABC 中，2AB ，3AC ，D 是边BC 的中点，则AD BC.〖例3〗点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 的底面1111A B C D 上一点，则PA PC的取值范围是 ；〖例4〗(2015新课标1)已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y 上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF，则0y 的取值范围是.A ,33 .B ,66 .C ,33 .D ,33〖例5〗(2010福建文数)若点O 和点F 分别为椭圆22143x y 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为.A 2 .B 3 .C 6 .D 8〖例6〗已知A ，B 是圆221x y 上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB 的面积最大时，则2AO AP AP 的最大值是.A 1 .B 0 .C 18 .D 12〖例7〗(2017新课标Ⅱ理)已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC的最小值是.A 2 .B 32 .C 43.D 1〖例8〗(2010全国Ⅰ理)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB的最小值为( )．.A 4 .B 3 .C 4 .D 3〖例9〗(2013浙江理)设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB，且对于边AB 上任一点P ， 恒有00PB PC P B P C，则( )．.A 90BAC .B 90BAC .C AB AC .D AC BC高考数学讲义 新华教育 张老师：150****2680〖例10〗(2016江苏)如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA， 1BF CF ，则BE CE的值是 ▲ .〖例11〗(2020天津)如图，在四边形ABCD 中，60B，3AB ，6BC ，且AD BC ，32AD AB ，则实数 的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ，则DM DN的最小值为 .NMDCBA高考数学讲义 新华教育 张老师：150****2680『强化练习』在Rt ABC 中，2CA CB ,M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN ，CM CN的取值范围是 ；正方体1111ABCD A B C D 的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面积上的动点，当弦MN 最大时，PM PN的最大值为 ；(2011上海理)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ，则AB AD；(2010福建理数)若点O 和点(2,0)F 分别为双曲线2221x y a (0a )的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为( ).A 3 .B3 .C 7,4 .D 7,4(2018天津理数)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ，AD CD ，120BAD ，1AB AD ． 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为.A 2116 .B 32 .C 2516.D 3 E DCBA。
极化恒等式在向量问题中的应用专题
极化恒等式正在背量问题中的应用博题之阳早格格创做阅读以下资料：.两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。
示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1） ()222222bb a a b a DBDB +⋅-=-== （2）（1）（2）二式相加得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 论断：仄止四边形对付角线的仄圆战等于二条邻边仄圆战的二倍.思索1：如果将上头（1）（2）二式相减，能得到什么论断呢？b a ⋅＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式对付于上述恒等式，用背量运算隐然简单说明.那么鉴于上头的引例，您感触极化恒等式的几许意思是什么？ 几许意思：背量的数量积不妨表示为以那组背量为邻边的仄止四边形的“战对付角线”与“好对付角线”仄圆好的41.即：[]2241DB AC b a -=⋅（仄止四边形模式）思索：正在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中面），此M图1恒等式怎么样表示呢？ 果为AM AC 2=，所以2241DB AMb a -=⋅（三角形模式） 例 1.(2012年浙江文15)正在ABC ∆中，M 是BC 的中面，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____.解：果为M 是BC 的中面，由极化恒等式得：2241BC AMAC AB -=⋅=9-10041⨯= -16【小结】正在使用极化恒等式的三角形模式时，闭键正在于与第三边的中面，找到三角形的中线，再写出极化恒等式. 目标检测.________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ⋅解：与AB 的中面D ，连结CD,果为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的沉心，O 正在CD 上， 且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB （也可用正弦定理供AB ） 又由极化恒等式得：果为P 正在圆O 上，所以当P 正在面C 处时，3||max =PD 当P 正在CO 的延少线与圆O 的接面处时，1||min =PD 所以]6,2[-∈⋅PB PA【小结】波及数量积的范畴或者最值时，不妨利用极化恒等式将多变量转化成单变量，再用数形分离等要领供出单变量的范畴、最值即可. 目标检测例3.（2013浙江理7）正在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定面，谦脚014P B AB =，且对付于边AB 上任一面P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅.则( )AB CMA. 90ABC ∠=B. 90BAC ∠=C.AB AC = D.AC BC =目标检测 课后检测ABC ∆中，60BAC ∠=若2AB =，BC =，D 正在线段AC 上疏通，DA DB ⋅的最小值为AB 是圆O 的直径,AB 少为2,C 是圆O 上同于,A B 的一面,P 是圆O 地圆仄里上任性一面,则()PA PB PC +⋅的最小值为（ ）A. 14- B. 13- C. 12- D.1-3．正在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，假如P ABC ∆地圆仄里内一面，且2AP =，则PB PC ⋅的最大值为4． 若面O 战面(2,0)F -分别是单直线2221(0)x y a a-=>的核心战左核心，面P 为单直线左收上任性一面则OP FP ⋅的与值范畴是. 5．正在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知面P 是ABC ∆内一面，则)(PB PA PC +⋅的最小值是.B A 、是单位圆上的二面，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，面C 正在圆内，且谦脚)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ⋅的与值范畴是（）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21B ．[)1,1-C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,43D ．[)0,1-ABC∆边少等于3，面P 正在其中接圆上疏通，则PB AP ⋅的与值范畴是（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,218．正在钝角ABC ∆中，已知3B π=，2AB AC -=，则AB AC ⋅的与值范畴是．。
平面向量之极化恒等式及其应用
平面向量的极化恒等式及其应用一. 极化恒等式的由来极化恒等式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅2241b a b a b a . 推论：如图在ABD ∆中，O 是边BD 的中点，则()()()22222222114414AB AD AB AD AB AD AC BDAO OB AO BD⎡⎤⋅=+--=-⎢⎥⎣⎦=-=- 极化恒等式的几何意义.亦即向量数量积的第二几何意义.二. 典型案例分析例1、在ABC ∆中，M 是BC 的中点，103==BC AM ，，则AB AC =____________.变式1-1（2007年天津文科15改）在ABC ∆中，D 是BC 的中点, 3,4AD BC ==，则AB AC =____________.变式1-2（2011年上海第11题）在正三角形ABC ∆中，D 是BC 上的点，13==BD AB ，,则AB AD =________215例2：已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA PB的取值范围是___________________.变式练习2-1在直角中，，斜边上有异于端点两点的两点，且，则AE AF 的取值范围是 ▲ ．变式练习2-2如图，在半径为1的扇形AOB 中，60=∠AOB ,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP 最小值为______________ . 21变式练习2-3（2013浙江理7）在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ≥，则 A. 2π=∠ABC B. 2π=∠BAC C. AC AB = D. BC AC =ABC ∆2,23AB AC ==BC B C 、E F 、=1EF 11[,9)4[1,13]变式练习2-4如图，在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，=3a ，S 为ABC ∆的面积，圆O 是ABC ∆的外接圆，P 是圆O 上一动点，当3cos cos S B C +取得最大值时，PA PB ⋅的最大值为_______. . 332+变式练习2-5如图，AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则OP AP ⋅的最小值为( ) B A ．1- B ．81- C ．41-D ．21-变式练习2-6如图， ABC ∆是边长为1的正三角形， 是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是_________.P C变式2-7平面上三个向量,,OA OB OC ,满足1,3,1OA OB OC === , 0OA OB ⋅=,则CA CB ⋅的最大值是__________. 3变式2-8在矩形ABCD 中,2,1,AB BC E ==为BC 的中点,若F 为该矩形内(含边界)任意一点,则AE AF 的最大值为______变式2-9已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB ⋅的取值范围是 ． [9,0]-92变式2-10已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则CM CN ⋅的取值范围是（ ） A A ． B ． C ． D ．变式2-11已知在ABC ∆中，4,2,,AB AC AC BC D ==⊥为AB 的中点，点P 满足11a AP AC AD a a-=+，则()+PA PB PC ⋅的最小值为________. 258-变式2-12已知正方形ABCD 的边长为6,点,E F 分别在边,AD BC 上，且,DE EA =2CF FB =，如果对于实数λ，在正方形ABCD 的四条边上（不含顶点）有且仅有 2个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=,则实数λ的取值范围是____________. 13,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭,A B O O 120AOB ∠=C AB A B 、MN O 3[,0)4-[1,1)-1[,1)2-[1,0)-变式2-1（2010福建文11题）若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8变式2-2（2013浙江理7）在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ≥，则A. 2π=∠ABC B. 2π=∠BAC C. AC AB = D. BC AC =变式2-3 已知点()()1,0,1,0A m B m -+ ，若圆22:88310C x y x y +--+=上存在一点P使得0PA PB ⋅=，则正实数m 的最小值为_______________ 4变式2-4 若直线02=+-y x 与圆()()433:22=-+-y x C 相交于B A ,两点，则CA CB⋅=___________.变式2-5 （2013年北京市朝阳区高三数学二模）已知点P 是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的底面1111D C B A 上一点，则PA PC ⋅的取值范围是____________. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 .变式 2-6 如图，在半径为1的扇形AOB 中，60=∠AOB ,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅最小值为______________ 21.变式2-7已知双曲线1322=-y x 的左顶点1A ，右焦点2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅的最小值为__________ —2变式2-8 已知抛物线2:4C x y 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点.设直线l 是抛物线的切线，且//,l MN P 为l 上一点，则PM PN 的最小值为____-14。
向量_极化恒等式
1极化恒等式第一种写法：已知#…a ,#…b ,则#…a ⋅#…b =⒧#…a +#…b ⒭2−⒧#…a −#…b ⒭24第二章写法：已知M 是AB 的中点,则# …OA ⋅# …OB =|# …OM|2−|# …MA|2=|# …OM|2−14|# …AB|2极化恒等式两种写法,常用的是第二种,用于解决向量的数量积求值范围问题,一般情况下,如果AB 的长度是固定的,那么在处理# …OA ⋅# …OB 时,常用极化恒等式将其转化为|# …OM|2的函数,至于其他用法,熟练之后自然会具体问题具体分析1.【2012浙江理数T15】在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则# …AB ⋅# …AC−16# …AB ⋅# …AC =⒧# …AM +# …MB⒭⋅⒧# …AM +# …MC ⒭=⒧# …AM +# …MB⒭⋅⒧# …AM −# …MB⒭=|AM|2−|MB|2=−162.【2016江苏T13】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,# …BA⋅# …C A =4,# …BF⋅# …C F =−1,则# …BE ⋅# …C E的值是78记|BD|=x ,|DF|=y ,則4=# …BA ⋅# …C A =|AD|2−|BD|2=9y 2−x 2−1=# …BF ⋅# …C F =|DF|2−|BD|2=y 2−x 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x 2=138y 2=58从而# …BE ⋅# …C E =|DE|2−|BD|2=4y 2−x 2=783.【2018天津理数T8】如图,在平面四边形ABC D 中,AB⊥BC ,AD⊥C D,∠BAD =120∘,AB =AD =1.若点E 为边C D 上的动点,则# …AE ⋅# …BE 的最小值为A.2116B.32C.2516D.3A取AB 中点F ,则# …AE ⋅# …BE =|# …EF|2−|# …AF|2当EF ⟂C D 时,|# …EF|取得最小值54,比时# …AE ⋅# …BE 取得最小值2116,选A4.【2013浙江理数T7】设△ABC ,P 0是边AB 上一定点,满足# …P 0B =14# …AB ,且对于边AB 上任一点P ,恒有# …PB ⋅# …PC ⩾# …P 0B ⋅# …P 0C ,则A.∠ABC =90∘ B.∠BAC =90∘C.AB =ACD.AC =BCD取AB,BC的中点D,E.则# …PB⋅# …PC=(# …PE+# …EB)⋅(# …PE−# …EB)=|PE|2−|EB|2⩾|P0E|2−|EB|2,所以|PE|⩾|P0E|,则必有P0E⟂AB,从而C D⟂AB,所以AC=BC,选择D5.【2017全国2卷理数T12】已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则# …PA⋅⒧# …PB+PC⒭的最小值是A.−2B.−32C.−43D.−1B取BC中点M,取AM中点N,则# …PA⋅(# …PB+# …PC)=2# …PA⋅# …PM=2⒧PN2−MN2⒭⩾−2MN2=−32,当PN重合时取到,所以所求最小值是−32,选择B6.【2020天津T15】如图,在四边形ABC D中,∠B=60∘,AB=3,BC=6,且# …AD=λ# …BC,# …AD⋅# …AB=−32,则(1)实数λ的最小值为(2)若M,N是线段BC上的动点,且|# …MN|=1,则# …DM⋅# …DN的最小值为A DB M N C(1)16(2)132# …AD⋅# …AB=λ# …BC⋅# …AB=−9λ=−32,所以λ=16.取MN中点E,则# …DM⋅# …DN=|DE|2−|MN|24当DE⟂BC时,取到最小值13 2.7.【2005江苏T18】在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM =2,则# …OA ⋅⒧# …OB +# …OC ⒭的最小值为−2设|OM|=x ,则# …OA ⋅(# …OB +# …OC )=2# …OA ⋅# …OM =−2x(2−x)⩾−2,取等条件是x =1,故所求最小值为−28.【2012安徽理数T14】若|2#…a −#…b |⩽3,则#…a ⋅#…b 的最小值是−98#…a ⋅#…b =|2#…a +#…b |2−|2#…a −#…b |28⩾−|2#…a −#…b |28⩾−989.在平行四边形ABC D 中,AD =√2,AB =2.若# …BF =# …FC ,则# …AF ⋅# …DF72# …AF ⋅# …DF =(# …AB +# …BF)⋅(# …AB −# …BF)=|AB|2−|BF|2=7210.已知△ABC 中,AB =8,BC =10,AC =6,P 在平面ABC 内,且# …PB ⋅# …PC =−9,则|# …PA|的取值范围是[1,9]解析11.正方体ABC D −A 1B 1C 1D 1的棱长为2,MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）,P 为正方体表面上的动点,当弦MN 的长度最大是,# …PM ⋅# …PN 的取值范围是[0,2]解析12.在面积为2的平行四边形ABC D中,点P为直线AD上的动点,则# …PB⋅# …PC+# …BC2的最大值是2√3设M为BC的中点,由题意,# …PB⋅# …PC+BC2=PM2−14BC2+BC2=PM2+34BC2⩾√3⋅PM⋅BC⩾√3⋅2S△PBC=2√3.取等条件为PM=√32BC且PM⟂BC.故所求最小值为2√313.在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=60∘,C为弧AB的动点,AB与OC交于点P,则# …OP⋅# …BP的最小值是−1 16解析14.已知正四面体ABC D的棱长为2,P是以棱BC为直径的球面上一动点,则# …PA⋅# …PD的最大值是A.1+√2B.3C.2+√2D.2(√2+1)D取AD中点E,BC中点F,则# …PA⋅# …PD=|PE|2−|AE|2=|# …PF+# …FE|2−1⩽(|# …PF|+|# …FE|)2−1=(1+√2)2−1=2+2√2,选D15.【成都七中23届高三上一诊模拟T16】已知A(2cos15∘,2sin15∘),O(0,0),且|# …OB|=|# …OC|=2,则# …AB⋅# …AC的取值范围[−2,16]如图方法1极化恒等式记M为BC的中点,由极化恒等式可知:# …AB⋅# …AC=# …AM2−# …BM2,易知OM⊥BC,所以# …BM2=# …OB2−# …OM2所以# …AB⋅# …AC=# …AM2−# …BM2=# …AM2+# …OM2−# …OB2=# …AM2+# …OM2−# …OA2由余弦定理可知# …AM 2+# …OM 2−# …OA 2=2|# …MA|⋅|# …MO|cos ∠AMO =2# …MA ⋅# …MO记D 为OA 的中点,再由极化恒等式可知2# …MA ⋅# …MO =2 # …MD 2−# …OD 2因为B ,C 是圆上任意两点(可重合)所以|# …MD|∈[0,3]所以−2⩽# …AB ⋅# …AC ⩽16方法2投影暂无16.【乐山市21届一诊T10】已知△ABC 是边长为2的等边三角形,点P 是△ABC 所在平面的内的一点,且BP =1,则当# …AP ⋅# …C P 取得最小值时,# …BP ⋅# …BC 的值是A.√3B.√32C.−√3D.−√32A 方法1建系建系如图A(0,√3),B(−1,0),C (1,0),设P(−1+cos θ,sin θ)# …AP ⋅# …C P =⒧−1+cos θ,sin θ−√3⒭(−2+cos θ,sin θ)=3−2√3sin ⒧θ+π3⒭当且仅当θ=π6+2kπ时取等,代入# …BP ⋅# …BC =√3方法2向量转换# …AP⋅# …C P=⒧# …AB+# …BP⒭⋅⒧# …C B+# …BP⒭=# …AB⋅# …C B+# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …C B+# …BP2=2√3+1+# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …C B下求# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …BP⋅# …C B的最小值# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …BP⋅# …C B=−2# …BM⋅# …BP=−2|# …BM|⋅|# …BP|cos∠PBM=−2√3cos∠PBM⩾−2√3,当∠PBM=0时取得最小值,代入# …BP⋅# …BC=√3方法3极化恒等式# …AP⋅# …C P=# …PM2−14# …AC2=# …PM2−1⩾3−2√3,当P在线段BM与圆B的交点P′时,取得最小值,代入# …BP⋅# …BC=√3。
高中数学课件-向量极化恒等式
答案:(2)2
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→
→
→
(3)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点.·=4,·=-1,
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→
则·的值为
.
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→
解析:(3)设 BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则 AD=3n.根据向量的极化恒等式,有·=||2→
→
答案:(1)C
C.
(2)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1,A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑
→
→
动,则·的最大值是
.
解析:(2)如图,取 BC 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MN,ON,
→
→
→
→
→
2
则·=|| -.因为 OM≤ON+NM=AD+AB=,当且仅当 O,N,M 三点共线时取等号,所
2
2
2
→
→
→
→
|| =9n -m =4,·=|| -|| =n2-m2=-1.联立解得 n2= ,m2= ,
→
→
→
→
2
2
→
→
因此·=|| -|| =4n -m =,即·=.
答案:(3)
→
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→
cos ∠BAD=-||=-,得||=1,因此λ=
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→
依题意得 AD∥BC,∠BAD=120°,由 · =| || |·
→
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→
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→
专题2 极化恒等式与向量隐圆
专题2 极化恒等式与向量隐圆知识点1 极化恒等式极化恒等式：2214a ba b a b，我们再之前提到两个向量的数量积，有两个方案，一是知道模和夹角，二是知道两个向量的坐标，极化恒等式的出现，使得向量的数量积有了第三种方案，就是利用中线的平方差，这样无需任何角度和坐标，完全靠长度平方差来解决，向量完全靠模长化解决数量积问题，联想我们学习的极坐标，所谓“极化”，就是完全模长化，这个完全模长化的恒等式就叫极化恒等式.在ABC △中，若AM 是ABC △的BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：()()1212AM AC AB BM AC AB ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM 是ABC ∆的中线，则()22222AB AC AM BM +=+.定理2 在ABC ∆中，若M 是BC 的中点，则有22221.4AB AC AM BC AM BM ⋅=-=- 【例1】（2014•新课标II ）设向量a ，b 满足a b +=a b -=a b ⋅等于（ ） A ．1B ． 2C ．3D ．5【例2】（2020•新课标Ⅰ）设a ，b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -= ．【例3】（2022•北京）在△ABC 中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为△ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是( ) A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【例4】（2020•天津）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB =-，则实数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN 的最小值为 ．【例5】（2016•江苏卷）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点E ，F 是AD 的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-则BE CE ⋅= .【例6】（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，BC AB ⊥，CD AD ⊥，︒=∠120BAD ，1==AD AB ．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（ ） A ．2116B ．32C ．2516D ．3【例7】（2016•浙江卷）已知向量,2,1,,==b a b a 若对任意单位向量e ，均有a e b e ⋅+⋅≤则a b ⋅的最大值是 .【例8】（2017•全国II 卷）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC⋅+的最小值是（ ） A ．2-B ．23-C ．34-D ．1-【例9】（2022•重庆期末）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA MB ⋅的值可能为( )A ．32B ．52C ．3D ．72【例10】（2022•淮安月考）如图，在ABC ∆中，6BC =，D ，E 是BC 的三等分点，且4AD AE ⋅=，则()A ．2133AE AB AC =+B ．1122AD AB AE =+ C ．4AB AC ⋅=- D ．2228AB AC +=同步训练1.（2022•雨花区开学）已知正方形ABCD 的对角线长为2，EF 是它的内切圆一条弦，点P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，当弦EF 的长度最大时，PE PF ⋅不可能为( ) A ．0B ．13C ．12D ．232.（2022•房山区开学）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，AB 为圆M 的直径，若点P 为圆M 上一动点，则PA PC ⋅的取值范围为( ) A ．[0，4]B ．[1-，3]C ．[2-，4]D ．[3-，1]3.（2022•南关区期末）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，24AB CD ==，AD BC ==E 为CD 的中点，F 为线段BC 上的点，则EF BF ⋅的最小值是( )A ．0B ．95-C ．45-D ．14.（2022•思明区月考）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE EA =，2CF FB =．点P 在正方形ABCD 的边上，且16PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．65.（2022•资阳期末）如图，在等腰直角ABC ∆中，斜边为4BC =，M ，N 为BC 上的动点，且1MN =，则AM AN ⋅取值范围为( )A ．15[4B ．C ．15[,6]4D ．[4，6]6.（2022•万州区开学）在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是 ．7.（2022•黄浦区开学）如图，ABC ∆中，4AC =，2BC =，ACB ∠为钝角，M 、N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ACB ∠= ．8.（2022•青岛期末）设点P 是边长为2的ABC △三边上的一动点，则()PA PB PC ⋅+的取值范围是 ． 9.（2018•浙江联考）如图，在等腰梯形ABCD 中，2=AB ，4=CD ，5=BC ，点E ，F 分别为AD ,BC 的中点．如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，那么λ的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛--209,45B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-411,209C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--41,209D ．511,44⎛⎫- ⎪⎝⎭知识点2 向量的隐圆问题第一类 极化恒等式向量乘积型：PA PB λ=定理 平面内，若B A ，为定点，且PA PB λ=,则P 的轨迹是以AB 中点M 为圆心，241AB +λ为半径的圆． 证明 由PA PB λ=，根据极化恒等式可知，λ=-2241AB PM ，所以λ+=241AB PM ，P 的轨迹是以M 为圆心241AB +λ为半径的圆． 【例11】（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，)012(，-A ，)60(，B ，点P 在圆O ：5022=+y x 上，若20PA PB ≤，则P 的横坐标范围是 ．【例12】已知)32(，A ，)36(-，B ，P 在0343=+-y x 上，若满足20AP BP λ+=的P 有2个，则λ的取值范围是 ．第二类 与向量模和矩形相关构成隐圆如图，在矩形ABCD 中，若对角线AC 和BD 交于点O ，P 为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①2222PA PC PB PD ；① .PA PCPB PD4⎭根据极化恒等式2a b a b +⎛⎫⋅= ⎪⎝，可得224AC PA PC PO PB PD ⋅=-=⋅ 推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等．【例13】（2008•浙江卷）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ，则||c 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．【例14】（2013•重庆卷）在平面内，12AB AB ⊥，121OB OB ==，12AP AB AB =+若12OP ，则OA 的取值范围是（ ）A ．0,⎡⎢⎣⎭B. ,⎝⎦C. ,⎝D. ,⎝【例15】（2012•江西卷）在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PB PC +等于（ ） A ．2B ．4C ． 5D ． 10【例16】(2022•岳麓区月考)已知向量a 、b 、c 满足3a ，2b ，1c ，且(c)(c)0a b ，则a b-的取值范围是 _ .【例16】（2022•安徽模拟）已知||||2a b ==，||1c =，()()0a c b c --=，则||a b -的取值范围是（ ）A ．11]B ．C ．11]D ．第三类 与向量模和向量数量积构成隐圆【例17】（2022•绍兴期中）已知平面向量a ，b ，c 满足对任意x R ∈都有||||a xb a b -≥-，||||a xc a c -≥-成立，||||1a c b c -=-=，||3a b -=，则||a 的值为（ ）A ．1B C ．2D ．7 【例18】（2022•山东月考）已知向量a ，b ，c ，其中||2a b -=，||1a c -=，b 与c 夹角为60︒，且()()1a b a c --=-．则||a 的最大值为 ．【例19】（2018•浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则||a b -的最小值是( )A 1B 1C ．2D ．2【例20】（2016•四川）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．494C D同步训练10.（2022•海淀开学）已知a ，b 是单位向量，0a b ⋅=，若||1a b c ++=，则||b c -的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[11]C ．1-1]D ．11]+11.（2022•浙江月考）已知向量,,a b c 满足||1,20,2||||a a b c a c b =+=-=-，则向量c b -与a 夹角的最大值是( ) A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 12.（2022•沙坪坝区期末）已知圆22(1)4C x y ++=，过点(0,)M m 的直线交圆于A ，B 两点，下列说法正确的是( )A ．当1m =时，||AB 的最小值是 B ．当m 时，||AM 的取值范围是[22+C ．当2m =时，MA MB ⋅为定值D ．当m =-||2||AB AM =时，120ACB ∠=︒13.（2016•四川）已知正三角形ABC 的边长为ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．494C D 14.（2022•祁东县期末）已知向量a ，b ，c 满足||3a =，||1b =，||7a b -=，||2||c c a =-．设()m tb t R =∈，则( )A ．||m c -B ．||m c -的最小值为2C ．||m c -的最大值为2D ．||m c -无最大值15.（2022•南京模拟）已知O 为坐标原点，向量,,OA OB OC ，满足||||||1OA OB OC ===，()()0OA OB OB OC -⋅-=，若||4OP =，则||PA PB PC ++的取值范围是( )A ．[11，13]B ．[8，11]C ．[8，13]D ．[5，11]16.（2022•仙游期中）已知向量,,a b c 满足：||1,()(),(2)a a c b c a a b =-⊥-⊥-，若37||2b =，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n +等于（ ）A ．32B C D 17.（2022•宝山区开学）已知a ，b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足||2c a b --=，则||c 的范围为（ ）A ．[1，1B ．[2，2C ．D ．[3-，3+18.（2022•礼泉县开学）已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且||3CP =，则()PC PA PB ⋅+的取值范围为 ．19（2022•门头沟期末）已知向量,,a b c ，满足||2a =，||3b a b =⋅=，若2(2)()03c a c b -⋅-=，则||b c -的最小值是（ ）A ．2B ．23+C ．1D ．220.（2022•长沙月考）在平面上，12OB OB ⊥，12|||2MB MB ==12OP OB OB =+．若||1MP <，则||OM 的取值范围是 ．21.（2022•浙江期中）已知a ，b 是两个单位向量，与a ，b 共面的向量c 满足2()0c a b c a b -+⋅+⋅=，则||c 的最大值为（ ）A ．B ．2CD ．122.（2022•余姚期中）设平面向量,,a b c 满足||1a =，||2b =，1a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则|2|a c -的最大值为（ ）A B C D ．223．（2022•浙江模拟）设a b c ，，为平面向量，||||2a b ==，若(2)()0c a c b -⋅-=，则c b ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．94C ．174D ．524．（2022•苏州月考）已知平面向量a ，b ，c 满足||3a =，||2b =，a ，b 的夹角等于6π，且()()0a c b c --=，则||c 的取值范围是 ．25．（2022•昆山月考）已知平面向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，(2)a a b ⊥-，(2)()0c a c b --=，则||c 的最大值与最小值的和为 ．。
向量极化恒等式
向量极化恒等式向量极化恒等式极化恒等式：a·b＝2－2.变式：a·b＝－，a·b＝－.如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2.例(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．·＝4，·＝－1，则·的值为________．答案解析设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4，·＝2－2＝n2－m2＝－1.联立解得n2＝，m2＝.因此·＝2－2＝4n2－m2＝.即·＝.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是________．答案[0,2]解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O，则·＝2－2＝2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，所以·∈[0,2]．利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．1．已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则()A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC答案D解析如图所示，取AB的中点E，因为P0B＝AB，所以P0为EB的中点，取BC的中点D，则D P0为△CEB的中位线，DP0∥CE.根据向量的极化恒等式，有·＝2－2，·＝2－2.又·≥·，则||≥||恒成立，必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC.2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．答案2解析如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则·＝2－.因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号．所以·的最大值为2.。
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极化恒等式
例:
例1在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则=⋅AC AB _______. 16-
同类题目：
1.设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上（如图所示），则PD PC ⋅的取值范围是________. []16,0
判断能否运用极化恒等式
（是否为共起点的向量积）
（向量平行四边形的和差对角线长度是否可求）
求出对应模长带入公式求解
()
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅22)(41b a b a b a 即2
222224141BC AM BM AM BC AD b a -=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅
2.如图，在半径为1的扇形AOB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则BP OP ⋅的最小值为______.16
1-
3.点P 是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的底面1111D C B A 上一点，则PC PA ⋅的取
值范围是_______.⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡121，
4.正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PN PM ⋅的最大值为_______.2
5.如图放置的边长为1的正方形ABCD顶点分别在x轴，y轴正半轴（含原点）滑动，则OC
OB 的最大值为_______.2。