初中培优竞赛含详细解析 第3讲 整 式

初中数学竞赛专题3——整式（1）

1.（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、绝对值、选择题）

【标准答案】1#0#1#4#B

已知a，b，c都是整数，m=|a+b|+|b−c|+|a−c|，那么（）A. m一定是奇数 B. m一定是偶数

C. 仅当a，b，c同奇或同偶时，m是偶数

D. m的奇偶性不能确定

【分析】|a|与a的奇偶性相同，所以m与(a+b)+(b−c)+(a−c)=2(a+b−c)同为偶数.

【答案】B

【技巧】把握奇偶性与绝对值的关系，从本质入手进行判断. 本题也可以按各数的奇偶性来分类讨论最后整合.

【易错点】分类讨论时容易遗漏可能出现的情况而导致出错.

2. （1、2）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）

【标准答案】2#0#1#4#C

若x3+x2+x+1=0，则 x−27+x−26+⋯+x−1+1+x+⋯+x26+x27的值是（）A. 1 B. 0 C. -1 D. 2

【分析】由x3+x2+x+1=0得x2+1x+1=0，由于x2+1>0，故x=−1，

所以x−27+x−26+⋯+x−1+1+x+⋯+x26+x27=−1 .

【答案】C

【技巧】根据题目所给等式求出x的值，再代值计算.

【易错点】将x=-1代入时，一定注意-1的奇数次方和偶数次方的个数，否则易错.

3. (3、4)（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）

【标准答案】3#0#1#4#D

已知m2=n+2,n2=m+2，m≠n，则m3−2mn+n3的值为（）

A. 1

B. 0

C. -1

D. -2

【分析】两式相减得m2−n2=n−m=m+n m−n，因为m≠n，所以m+n=−1.

m3−2mn+n3=n+2m−2mn+m+2n=2m+n=−2.

【答案】D

【技巧】利用条件等式进行降次处理，逐步求值.

4. （1、2）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）

【标准答案】4#0#4#1998

设m2+m−1=0，则m3+2m2+1997=_______.

【分析】因为m2+m−1=0，所以m2+m=1 .则m3+2m2+1997=m m2+m+

m+1997=m1+m+1997=m2+m+1997=1998.

【答案】1998

【技巧】运用整体代换进行降次求值.

5. (3、4)（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）

【标准答案】5#0#4#5

当m=2n 时，多项式am3+bm+1的值是0，则多项式4an3+bn+51

2

= _________.

【分析】依题意得 a(2n)3+b2n+1=8an3+2bn+1=0 ，故4an3+bn=−1

2

. 则

4an3+bn+51

2=−1

2

+51

2

=5 .

【答案】5

【技巧】整体代换求解是整式求值常用的技巧和方法.

6. (3、4)（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）

【标准答案】6#0#4#26#-28

已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则x3−(1+m+n+ab)x2+(m+ n)x2004+(ab)2005= ________.

【分析】由条件可得m+n=0, ab=-1 , x=±3 , 代入就可以求解.

【详解】由题意知m+n=0, ab=-1 , x=±3 ,

∴ x3−1+m+n+ab x2+m+n x2004+ab2005= x3−1 = 26或-28 .

【技巧】根据相反数、倒数、绝对值等相关知识列式代值计算.

7.(3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、解答题）

【标准答案】7#0#0

已知a2+4a+1=0，且

a4−ma2+I

2a3+ma2+2a

= 3，求m的值.

【分析】因为a2+4a+1=0 ,所以a4+1=(a2+1)2−2a2=14a2. 代入求解. 【详解】由a2+4a+1=0得a2+1=−4a ,则a4+1=(a2+1)2−2a2=14a2.

由a4−m22+1

2a3+mx2+2a

= 3得(14−m)a2=3[2a(a2+1)+ma2]，

即14−m=3m−8，m=19

2

⋅

【技巧】在于将题目中的条件进行灵活变形，然后代入求解.

【易错点】代数式变形时不要出错.

8. (3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）

【标准答案】8#0#0

已知m，n为自然数，且满足12+92+92+22+m2=n2，求m, n的值.

【分析】依题意得(n+m)(n−m)=167=1×167，而m，n为自然数，故n+m=167, n−m=1，最后求解.

【详解】(n+m)(n−m)=167=1×167，而m，n为自然数，故n+m=167,n−m=1，解得：m=83, n=84. 答：m、n的值分别为83、84.

【技巧】利用平方差公式展开，很方便解决.

【易错点】将167拆分的时候容易出错.

9. (3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）