线段角的轴对称性教案
2.4线段、角的轴对称性(第2课时线段垂直平分线的判定)(教学课件)-八年级数学上册(苏科版)
正方形， A ， B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的
方格纸中，找出格点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，则满足条件的格点 C
有(
C )
A. 3个
B. 5个
C. 6个
D. 8个
分层练习-基础
4. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，如果 DB ＝ DA ，那么点 D 在线
两个工厂到货场C的距离相等，试在下图中作出点C.
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C.
如下图, 点C即为所求.
B
A
a
概念归纳
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，
所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
随堂练
1.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
＝，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的
垂直平分线.
注意：不可以只证明一个点
在直线上，就说过该点的直
线是线段的垂直平分线.
概念归纳
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以
利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
(1)分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为
半径画弧，两弧相交于点C、D；
(2)过C、D两点作直线，
直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图所示
概念归纳
易错警示
作线段AB的垂直平分线时，必须以大于
AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相
线段.角的轴对称性1学案
L P O B A 线段.角的轴对称性<1>
【探究】
任务一、
操作（1）在一张薄纸上任画一条线段AB ，折纸，
使两个端点重合，你发现了什么？ （2）在折痕上任取一点P ，连接PA 、PB ，再沿原折痕重新折叠，
有什么结论，请与同学交流。
归纳
1、线段是轴对称图形，线段的
2、线段垂直平分线上的点
任务二、
1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗？为什么？ 变式:如图，直线MN 表示一条小河的河边，一牧民在点A 处放马，现在要到河边去饮马，然后回到帐篷点B 处 （A.B 在小河两旁），问在何处饮水，才能使他所走的路最短？在图中作出表示饮马处的C 点。
·A
M ------------------------------N
·B
R
N M
F E Q P O
B A F
D G
E C B A 2、滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.
3、在△ABC 中，BC=7，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G 。
求△AEG 的周长。
4、已知：如图，点P 在∠AOB 内，且点P 与M 关于OA 对称，PM 交OA 于Q ，点P 与N 关于OB 对称，PN 交OB 于R ，连接ＭN 、OP 、OM 、ON ，若MN=10㎝，ＯＰ=6㎝，求△ＯＭＮ与△ＰＥＦ的周长。
C
B
A。
1.4线段、角的轴对称性(1)教案
教案1．4线段、角的轴对称性(1)【学习目标】：1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质.【重点难点】：线段中垂线的性质和判定【预习指导】：自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要问题1：线段是轴对称图形吗？为什么问题2线段的对称轴是什么？问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。
分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系?课堂活动活动一对折线段问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿例题：P18 例1这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿【典题选讲】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，.求DC的长【学习体会】：【课堂练习】：1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？2.在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N,若CD=5厘米，求ΔPMN 的周长.3、滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.C BA（ 编写者：李晓红）· BO A。
线段、角的轴对称性
线段、角的轴对称性—知识讲解责编：陆海霞【学习目标】1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、线段的轴对称性1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点二、角的轴对称性1.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB2.角平分线的画法角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.【典型例题】类型一、线段的轴对称性1、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．19【变式】（2015•黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．类型二、角的轴对称性3、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对AB AC ，则△ABD与△ACD的面积之比为（）【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:34、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．5、如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.。
2.4线段,角的轴对称性(1)教案-2022-2023学年苏科版八年级数学上册
2.4 线段，角的轴对称性（1）教案-2022-2023 学年苏科版八年级数学上册一、教学目标1.理解线段的定义和性质。
2.掌握线段的构造方法。
3.了解角的定义和性质。
4.掌握角的构造方法。
5.理解轴对称的概念。
6.掌握用折纸法进行轴对称构造的方法。
二、教学重难点1.理解轴对称和线段的定义和性质。
2.掌握线段和角的构造方法。
三、教学准备1.教材《苏科版八年级数学上册》。
2.讲台、黑板、彩色粉笔。
3.直尺、圆规。
四、教学过程1. 导入新知教师可以用一个实际生活中的例子引入本节课的内容。
例如，可以讲述如何用直尺和圆规来构造一个等腰三角形，然后向学生提问：你们觉得用直尺和圆规还可以用来做什么？2. 线段的定义和性质教师向学生介绍线段的定义和性质，并在黑板上示意绘制一个线段。
教师可以通过引导学生观察线段的两个端点、长度等特点，让学生了解线段的基本概念和性质。
3. 线段的构造方法教师向学生介绍线段的构造方法，并通过实际操作展示如何用直尺来构造一个给定长度的线段。
教师可以让学生跟随操作，自己尝试构造不同长度的线段，并与同桌讨论结果。
4. 角的定义和性质教师向学生介绍角的定义和性质，并在黑板上示意绘制一个角。
教师可以通过引导学生观察角的顶点、两条边等特点，让学生了解角的基本概念和性质。
5. 角的构造方法教师向学生介绍角的构造方法，并通过实际操作展示如何用直尺和圆规来构造一个给定角度的角。
教师可以让学生跟随操作，自己尝试构造不同角度的角，并与同桌讨论结果。
6. 轴对称的概念教师向学生介绍轴对称的概念，并在黑板上示意绘制一个轴对称的图形。
教师可以通过引导学生观察轴对称图形的特点，让学生了解轴对称的基本概念和性质。
7. 用折纸法进行轴对称构造教师向学生介绍用折纸法进行轴对称构造的方法，并通过实际操作展示如何用折纸法构造一个轴对称的图形。
教师可以让学生跟随操作，自己尝试构造不同的轴对称图形，并与同桌讨论结果。
8. 拓展练习教师布置一些拓展练习题，让学生独立完成，并在课堂上互相讨论、解答。
初中数学《线段、角的轴对称性》教案
初中数学《线段、角的轴对称性》教案教学课题：1.4线段、角的轴对称性(一)教学时刻（日期、课时）：教材分析：学情分析：教学目标：1.经历探究线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特点，进展空间观念；2 .探究并把握线段的垂直平分线的性质；3.了解线段的垂直平分线是具有专门性质的点的集合；4 在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地摸索和表达，提高演绎推理能力。
探究并把握线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线是具有专门性质的点的集合教学预备《数学学与练》集体备课意见和要紧参考资料页边批注加注名人名言苏州市第二十六中学备课纸第页教学过程一．新课导入问题1：线段是轴对称图形吗？什么缘故？探究活动：活动一对折线段问题1：按要求对折线段后，你发觉折痕与线段有什么关系？问题2：按要求第二次对折线段后，你发觉折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？二．新课讲授结论：1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(投影)例题：例1P21(投影)这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易明白得，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读明白题目吗？题中已知哪些条件？要说明如何样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？依照图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？问题2：观看点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线加注名人名言苏州市第二十六中学备课纸第页一．巩固练习P23 习题1、2、3二．小结结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合这节课你学到了什么？页边批注加注名人名言板书设计作业设计事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
《线段、角的轴对称性》教案 (同课异构)2022年苏科版
2.4 线段、角的轴对称性〔1〕教材：义务教育教科书·数学〔八年级上册〕3.3代数式的值〔2〕教学内容年级学科七年级数学教学课时共 2 课时第 2 课时课型新授教学目标1．能读懂计算程序图〔框图〕，会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序，初步感受“算法〞的思想。
2. 在计算代数式的值的过程中，感受数量的变化及其联系。
教学重点会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序,初步感受“算法〞的思想.教学难点会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序,初步感受“算法〞的思想.教学准备多媒体教学过程二次备课输入8800×(1+3.9%×2) >10000 输出是否一、问题 小明的爸爸存入3年期的教育储蓄8800元〔3年期教育储蓄的年利率为3.9%，免缴利息税〕，到期后本息和〔本金与利息的和〕自动转存2年期的教育储蓄，像这样至少要储蓄几次才能使本息和超过10 000元。
请你用如以下列图的程序，用计算器帮小明的爸爸算一算。
〔引导学生讨论交流，继而组织学生阅读课本的计算框图，并向学生说明设计计算框图的标准要求〕 一、例题研究 1〕按计算程序计算并填写下表：〔程序—代数式—求值〕 师生共同操作“做一做〞输入10003 87输出三、归纳总结1．如果先给你计算程序，第一步把计算程序要表达的代数式表示出来。
第二步实质在做求代数式值的工作。
2．如果给你代数式让你设计计算程序，只要严格按照有理数混合运算的运算顺序再结合设计计算框图的标准要求来设计。
3．通过本节课的学习你收获了哪些？还有什么疑问？四、课堂作业T78 T2/ T3板书设计教学反思。
2.4-2 线段和角的轴对称性
用直尺、圆规作已知线段垂直平分线的一般步骤： 活动3 画一画 回顾作法：
1.分别以A 、B为圆心， 1 大于 AB长为半径画弧；
2
M
A
2. 两弧相交于点M、N；
B
3.过点M、N作直线.
∴直线MN即为线段AB 的 垂直平分线.
N
活动4
再画画 如图，任意三角形ABC，边AB、BC的 垂直平分线 l1 、 l2交于点O
.
画板 Z J G 反 共
P
A
B
在线段垂直平分线外， 不存在到线段两端距 离相等的点.
定理： 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直 平分线上.
数量关系 位置关系
P
A B
推理格式:
∵ PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
如图，点MN为直线l上两点，且满足 l MA=MB，NA=NB
GO
M B
完成以下填空：
A
∵MA=MB， N AB ∴点M在线段 的垂直平分线上． (理由是 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上 又∵ NA=NB ， ∴点N在线段AB的垂直平分线上． ∴直线MN是线段AB的 垂直平分线 ． (理由是 两点确定一条直线 )
)
活动2
l
回顾、发现
如图，已知直线l 是线段AB的垂直平分线
作PO平分∠APB
1 2
共线
∵PO平分∠APB ∴ ∠1=∠2 在△POA和△POB中 PO=PO ∠1=∠2 PA=PB ∴△POA≌△POB(SAS) ∴∠AOP=∠BOP, OA=OB 又∵A、O、B三点共线 ∴∠AOP + ∠BOP=180° ∴∠AOP =90° ∴ PO⊥AB 又∵OA=OB ∴ PO垂直平分AB 即P在线段AB垂直平分线上
2.4《线段、角的轴对称性(1)》教学课件
探究新知
在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考： 线段是轴对称图形吗？
A
B
线段是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么?
l 1 2 B
A
B
A
O
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
探究归纳
想一想
1．如图，在线段AB的垂直平分线l上任意 找一点P，连接PA、PB，PA与PB相等吗？
小试身手
1．利用网格线画线段P在公路旁设一个公交车的停车站，停车 站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站的距离 相等？ B村
A村
公路 P
课堂小结
说说你本节课你有什么收获？
课后作业
P57习题2.4，分析第1～4题的解法， 任选2题写出过程.
解：不相等.
l Q 1 A O
P 2
B
如图，在线段AB的垂直平分线l外任
取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q，
连接QB． 根据“线段的垂直平分线上的点到
线段两端点的距离相等”，因为点Q在
AB的垂直平分线上，所以QA＝QB． 于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB． 因为三角形的两边之和大于第三边， 所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
l P
证明你的结论．
2．像这样的点P还有吗？为什么？
1 A 2 O B
定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
因为点P是线段AB的垂直平分线上的点，所以PA＝PB ．
l P
1 A
2 O
B
探究证明
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 为什么？请你画出图形，试着说明.
2.4线段、角的轴对称性(2)教案 2022--2023学年苏科版八年级数学上册
2.4 线段、角的轴对称性（2）教案一、教学目标1.理解线段的轴对称性概念，并能够判断线段是否具有轴对称性；2.掌握角的轴对称性概念，并能够判断角是否具有轴对称性；3.能够运用轴对称性的知识解决相关问题。
二、教学重点1.理解线段的轴对称性概念；2.掌握角的轴对称性概念。
三、教学内容3.1 线段的轴对称性3.1.1 概念引入在上节课我们学习了线段的概念，今天我们将进一步探讨线段的性质。
请同学们回顾一下，如果一条线段可以沿着某条直线旋转180度后能够重合，我们就称这条线段具有轴对称性。
请大家思考，如何判断一条线段是否具有轴对称性？3.1.2 判断方法线段的轴对称性可以通过观察来判断。
我们可以找一根铅笔或者尺子，将线段的中点作为旋转的中心点，然后将线段旋转180度后尝试对折，如果能够完全重合，说明线段具有轴对称性；反之，则不具有轴对称性。
3.1.3 深化理解请同学们思考以下问题：•线段的中点在轴对称性中起到了什么作用？•如果一条线段有多个对称轴，那么它是否具有轴对称性？3.2 角的轴对称性3.2.1 概念引入角是由两条射线共同确定的形状。
我们知道，线段具有轴对称性，那么角是否也具有轴对称性呢？请思考一下。
3.2.2 判断方法角的轴对称性可以通过观察来判断。
我们可以找一张纸，将角的顶点与纸的一个端点重合，然后将纸沿着角的边旋转180度后尝试对折，如果能够完全重合，说明角具有轴对称性；反之，则不具有轴对称性。
3.2.3 深化理解请同学们思考以下问题：•角的顶点在轴对称性中起到了什么作用？•如果一个角有多个对称轴，那么它是否具有轴对称性？四、教学设计4.1 概念讲解通过黑板演示和讲解，向学生介绍线段和角的轴对称性的概念及判断方法。
引导学生思考相关问题，并与学生进行互动讨论。
4.2 实践练习让学生分成小组，互相配对进行实践练习。
每个小组准备一张纸和一支铅笔或尺子，根据老师提供的线段和角的图形，判断其是否具有轴对称性，并给出相应的理由。
2.4线段、角的轴对称性(1)说课稿-苏科版八年级数学上册
2.4 线段、角的轴对称性（1）说课稿-苏科版八年级数学上册一、教材分析本节课是苏科版八年级数学上册中的第2.4节，主要介绍线段和角的轴对称性。
通过本节课的学习，学生将掌握线段和角的轴对称定义、判断和绘制轴对称图形的方法。
在前面的学习中，学生已经学习了线段和角的基本概念和性质，理解了线段和角的度量和运算方法。
通过本节课的学习，可以进一步加深对线段和角的理解，并通过绘制轴对称图形的练习，提高学生的问题解决能力和几何思维能力。
二、教学目标知识与技能目标：1.理解线段的轴对称定义及其性质；2.理解角的轴对称定义及其性质；3.掌握判断线段和角是否具有轴对称的方法；4.能够根据已知条件绘制具有轴对称性的图形。
过程与方法目标：1.注重观察和思考，培养学生的几何思维和推理能力；2.引导学生通过实例分析和讨论，理解轴对称性的概念和特点；3.鼓励学生进行合作学习和探究，培养团队合作意识和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：1.培养学生的观察力和细致心思，培养学生对几何学习的兴趣和热情；2.培养学生的合作精神和团队意识，鼓励学生互帮互助，共同进步。
三、教学重点与难点教学重点：1.线段的轴对称性及其判断方法；2.角的轴对称性及其判断方法；3.绘制具有轴对称性的图形。
教学难点：1.引导学生理解轴对称的概念和特点；2.培养学生观察和分析问题的能力。
四、教学过程与方法引入新知：1.利用实例引入轴对称的概念，例如一把剪刀、一个图形等，让学生观察并发现其中的特点；2.引导学生分析并总结轴对称的特点，例如镜面对称；3.引入线段和角的轴对称性的概念，让学生讨论并理解。
讲解与练习：1.通过示例和图形，讲解线段的轴对称性，并引导学生掌握判断线段是否具有轴对称性的方法；2.通过示例和图形，讲解角的轴对称性，并引导学生掌握判断角是否具有轴对称性的方法；3.组织学生进行练习，巩固判断线段和角是否具有轴对称性的能力。
拓展与应用：1.引导学生思考如何绘制具有轴对称性的图形；2.组织学生进行绘制图形的练习，培养他们的几何思维和创造力；3.引导学生分析和讨论绘制图形的方法和策略。
线段、角的轴对称性(一)
E
A 0 D B
生活中的数学 如图，在架设电线杆时， 如图，在架设电线杆时，为了确保 它与地面垂直， 它与地面垂直，一般在它的某一处用 两根同样长的绳子固定在地面上， 两根同样长的绳子固定在地面上，只 要使底部D上在BC BC的 要使底部D上在BC的 A 中点处， 中点处，电线杆就 与地面垂直了, 与地面垂直了,你 能说明理由吗？ 能说明理由吗？
A D B E G F C
●本节课你还有哪些疑问? 本节课你还有哪些疑问?
线段、 线段、角的轴对称性
一、情境创设： 情境创设： 如图， 三点表示三个村庄， 如图，A,B,C 三点表示三个村庄，为了解决 村民子女就近入学问题，计划建一所小学， 村民子女就近入学问题，计划建一所小学， 要使学校到三所村庄的距离相等.请你当一回 要使学校到三所村庄的距离相等 请你当一回 设计师，在图中确定学校的位置， 设计师，在图中确定学校的位置，你能办到 吗？ A B
.
.
.C
■你对线段有哪些认识? 你对线段有哪些认识?
A B
线段是轴对称图形． 线段是轴对称图形．它有两条 对称轴，分别为:线段的中垂线, 对称轴，分别为:线段的中垂线, 线段本身所在的直线. 线段本身所在的直线.
如图,已知: 如图,已知:直线CD是线段AB的垂直 平分线, 是直线CD上任一点, CD上任一点 平分线,点M是直线CD上任一点,连结 MA、MB,则MA=MB， MA、MB,则MA=MB，你能说明理 由吗？ 由吗？ C
M A 0 D B
结论
线段的垂直平分线上的点到这条线 线段的垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等． 段两个端点的距离相等．
C A
M B N
0
是线段AB AB的垂直平分线上的点 ∵点M是线段AB的垂直平分线上的点
八上 1.4 线段、角是轴对称性(1)
1.4 线段、角是轴对称性（1） 教案班级 姓名 学号教学目标：1、线段、角的轴对称的性质的掌握；2、线段的垂直平分线的作法，性质的掌握；3、角平分线的作法、性质的掌握教学重点：探索并掌握线段的垂直平分线的性质教学过程：教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合教学过程：一、情境创设：如图，A ,B ,C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划建一所小学，要使学校到三所村庄的距离相等.请你当一回设计师，在图中确定学校的位置，你能办到吗？相信通过本课的学习，你就会轻易的解决这个问题新授：1、让学生准备一张薄纸，在这薄张上任意画一条线段AB ，折纸，使两端点重合，你发现了什么？ 学生通过动手和讨论得到结论：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2练习：如图，直线l ⊥AB ，垂足为C ，CA =CB ，点M 在l 上，那么 .你还能得出一个更一般的结论吗？结论： 线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等A B C例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端点的距离相等吗？为什么？思考题：如图1，已知线段AB，你能否利用圆规找一点Q，使点Q到A、B的距离相等，观察点Q是否在直线l上？老师巡视，给予个别辅导最后给出肯定答案：即：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3、用尺规作图法作线段的垂直平分线在总结上一题的基础上，老师给出作图过程和作图方法，学生在理解的基础上模仿，掌握用尺规作图作线段的垂直平分线的方法.师生共同总结：如果直线l是线段AB的垂直平分线，那么，若点P在l上，则PA=PB；若QA==QB，则点Q在l上.由此，可得到：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合二、例题示范：例2、如图10.2.2，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE ＝6，求△BCE的周长．图10.2.2。
2.4线段、角的轴对称性(3)教学设计
让学生感受角平分线点的共性，几何画板的一般性图形验证，较好地进行了图形证明．
指导学生活动．
练习：课本P55练习．
延伸：在平面内确定一点M，使它到AB、AC的距离相等且MB＝MC．
这题是线段垂直平分线性质和角平分线性质的综合应用．
借助网格画线段的垂直平分线和角平分线有利于学生明确其区别，也有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．
小结
1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．
2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系，你能举例说明这种内在的联系吗？
动手操作，验证猜想，描述发现，明确结论．
在操作中感知角的轴对称性，培养口头表达能力．
实践探索三
角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．
学生独立思考、积极探究．方法不一，具体如下：
总结
角平分线上的点有什么特点？
讨论后共同小结：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
实践探索四
如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？
2.4 线段、角的轴对称性 第1课时 苏科版数学八年级上册课件
2 . 4 线段、角的轴对称性 练习
1. 利用网格画线段 PQ 的垂直平分线 ：
l
解：如图所示.
2 . 4 线段、角的轴对称性 2. 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什
么地方，才能使 A、B 两村到车站的距离相等?
2 . 4 线段、角的轴对称性
解：如图所示，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线l， 直线l交公路于点 C，则点C就是汽车站的位置，此时 A， B 两村到车站的距离相等.
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利 用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
一是作垂直，证平分； 二是取中点，证垂直.
2 . 4 线段、角的轴对称性
例1 已知：如图2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直 平分线 l1、l2 相交于点 O.
求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上. 证明：连接 OA、OB、OC. ∵点O在AB 的垂直平分线l1 上， ∴ OA＝OB
2 . 4 线段、角的轴对称性 于是，我们得到如下定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等.
2 . 4 线段、角的轴对称性 几何语言
如图， ∵点A 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ AB＝AC.
2 . 4 线段、角的轴对称性 易错提醒
线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是 它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的 对称轴.
A. 2
B. 4
(C )
C. 6
D. 8
2 . 4 线段、角的轴对称性
方法点拨
利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，是 一种常用的解题方法. 本题中解题的关键是利用线段垂 直平分线的性质将BC 的长转化为线段 AE＋EC 的长，即可求解.
线段、角的轴对称性
第04讲线段、角的轴对称性【学习目标】1、理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2、了解线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。
【基础知识】1．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C 在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．【考点剖析】一．角平分线的性质（共6小题）1．（2021秋•焦作期末）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜5B．PQ＞5C．PQ≥5D．PQ≤52．（2021秋•渑池县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．83．（2021秋•锡山区期末）如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是．4．（2021秋•石城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．（1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长．5．（2021秋•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为cm2．6．（2022春•丹徒区月考）如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．二．线段垂直平分线的性质（共7小题）7．（2021秋•高青县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（）A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm8．（2021秋•江都区期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（）A．40°B．44°C．48°D．52°9．（2022•工业园区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝°；（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．10．（2021秋•鼓楼区校级月考）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC＝15，求△AEG的周长．11．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）如果BC＝8，求△DAF的周长．12．（2022•建湖县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，若AC＝5cm，BC＝12cm，则△ACD的周长为cm．13．（2022•宿城区校级开学）如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝．【过关检测】一、单选题1．（2020·江苏八年级月考）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）A ．三条角平分线的交点B ．三边中线的交点C ．三边上高所在直线的交点D ．三边的垂直平分线的交点2．（2021·江苏八年级期中）如图所示，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AB BD ⊥于点B ，点E 是BD 的中点，连接AE ，CE ，则AE 与CE 的大小关系是（ ）A ．AE CE <B ．AE CE =C ．AE CE >D ．2AE CE =3．（2021·江苏八年级专题练习）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）的交点．A ．三角形三边垂直平分线的交点B ．三角形三条高的交点C ．三角形三条中线的交点D ．三角形三条角平分线的交点4．（2021·江苏泰州中学附属初中八年级月考）如图，在ABC 中，34A ∠=︒分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧分别相交于点M 、N ，直线MN 与AC 相交于点E ．过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，CD 与BE 相交于点F ．若BD CE =，则BFC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．107︒C ．108︒D ．124︒5．（2021·江苏八年级专题练习）如图，在ABC 中，45,ABC AD BE ∠=︒,分别为,BC AC 边上的高，,AD BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：①BF AC =；②FCD DAC ∠=∠；③CF AB ⊥；④若2BF EC =，则FDC △周长等于AB 的长．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③④C ．①③D ．②③④二、填空题6．（2020·南京市金陵汇文学校八年级开学考试）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF =AC ，则∠ABC =___________°．7．（2021·江苏八年级期中）如图，△ABC 中，边BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 、D ，AC ＝5，△AEC 的周长为12，则AB ＝___．8．（2021·江苏八年级期中）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于D ，交BC 于E ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ；③作射线BF 交AC 于G ．如果AB ＝9，BC ＝12，△ABG 的面积为18，则△CBG 的面积为_____．9．（2019·江苏）如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD = 6 ，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为__________．10．（2019·江苏苏州·八年级月考）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，O 为ABC 的两角平分线的交点，且10cm AB =，8cm BC =，6cm CA =，则点O 到边AB 的距离为__________．三、解答题11．（2018·江苏）作图题：（1）在图1中，画出CDE △关于直线AB 的对称图形C D E '''．（2）在图2中，已知AOB ∠和C 、D 两点，在AOB ∠内部找一点P ，使PC PD =，且P 到AOB ∠的两边OA 、OB 的距离相等．12．（2018·苏州市吴江区青云中学八年级月考）作图题：（1）近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点P ，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站P 必须符合下列条件：①到两公路OA 、OB 的距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定P 点的位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）如图，先将ABC 向下平移3个单位得到111A B C △，再以直线l 为对称轴将111A B C △翻折得到222A B C △，请在所给的方格纸中依次作出111A B C △和222A B C △．13．（2019·江苏）已知，如图，在△ACB 中，∠C =90°．（1） 作∠B 的平分线BD 交AC 于点D ．（要求尺规作图，保留痕迹）（2） 过点D 作斜边AB 的垂线段，垂足为点E ． （要求尺规作图，保留痕迹）（3） 求证：CD =ED ．第04讲线段、角的轴对称性【学习目标】2、理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2.4线段、角的轴对称性(1)(2)
_________________________________．的周，厘米，的垂直平分线．．如图，要在公路旁设一个公交车的停车站，停车站应设在什么地方，，边BC的垂直平分线分别交AB、AC于点2.4线段、角的轴对称性（2）课型：新授课主备人：董兰审核人：凌林授课时间：2014.9二次备课【学习目标】1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．【学习重点】利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．【学习难点】灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．【预习作业】1．线段的垂直平分线上的点_____________________________________．2．到线段两端距离相等的点，在_________________________________．3．如图．∵QA＝QB．∴____________________________．4．到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点5．如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F∵点P是AB边垂直平线上的一点∴_____ =_________ （）．同理，PB=______．∴______ = ______（等量代换）．∴点P在AC的垂直平分线上．（到线段两端距离相等的点,在这条线段的______________________）∴AB，BC，AC的垂直平分相交于同一点．6．有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处）你能根据图形用符号语言表示你发现的结论吗？在线段的垂直平分线上的点都具有同一个性质而毫无例外；反之，具有这一性质的点都在这条线段的垂直平分线上而无一遗漏。
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教案1．4线段、角的轴对称性(2)
【学习目标】：
1、让学生经历角的折叠过程探索角的对称性，并发现角平分线的性质和判定点在一个角的平分线上的方法；
2、使学生会运用角平分线的性质定理解决生活中的相关问题；
3、培养学生实践探索的科学习惯；
4、在“操作—探究—归纳—说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力.
【重点难点】：角平分线的性质和判定
【预习指导】：
1、在一张薄纸上任意画一个角（∠AOB ）,折纸，使两边OA 、OB 重合，你发现折痕与∠AOB 有什么关系？
结论：
2、在∠AOB 的内部任意取折痕上的一点P ，分别画点P 到OA 和OB 的垂线段PC 和PD,再沿原折痕重新折叠，由此你能发现角平分线上的点有什么性质?
结论： 几何符号： ∵
∴
3、反之，如果一个角内一点具备到这个角两边的距离相等，那么这个点的位置有何特征？ 结论： 几何符号： ∵
∴
【典题选讲】：
例1、任意画∠O ，在∠O 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA=OB ，过点A 画OA 的垂线，过点B 画OB 的垂线，设两条垂线相交于点P ，点O 在∠APB 的平分线上吗？为什么?
例2、已知:如图,在ΔABC 中.O 是∠B 、∠C 外角的平分线的交点，那么点O 在∠A 的平分线上吗？为什么？
F A O B
P
【学习体会】：
【课堂练习】：
1、 画一画：已知∠AOB 和C 、D 两点，请在图中标出一点E ，使得点E 到OA 、OB 的距离相等，而且E 点到C 、D 的距离也相等.
2、 已知：在ΔABC 中，D 是BC 上一点,DF ⊥AB 于E,DE ⊥AC 于F,且DE=DF. 线段AD 与EF 有何关系?并说明理由.
3、 已知：在∠ABC 中，D 是∠ABC 平分线上一点,E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE=DF. 试判断∠BED 与∠BFD 的关系，并说明理由.
（ 编写者：李晓红） O B
A
C D
· ·
A C。