第21讲-正弦定理和余弦定理-2021年新高考数学一轮专题训练含真题及解析

形状为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解析】 (1)由c<cos A，得sin C<cos A，
b
sin B
又 B∈(0，π)，所以 sin B>0，
所以 sin C<sin Bcos A，
即 sin(A＋B)<sin Bcos A，
所以 sin Acos B<0，
因为在三角形中 sin A>0，所以 cos B<0，
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C
＝csin A
cos A＝b2＋c2－a2； 2bc
cos B＝c2＋a2－b2； 2ac
cos C＝a2＋b2－c2 2ab
2.S△ABC＝12absin
C＝1bcsin 2
A＝1acsin 2
B＝abc＝1(a＋b＋c)·r(r 4R 2
(2)∵(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，
∴由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即 b2＋c2－a2＝bc.
所以 cos A＝b2＋c2－a2＝1， 2bc 2
又 A∈(0，π)，所以 A＝π. 3
(3)因为 a2＋b2－c2＝2abcos C，且 S△ABC＝a2＋b42－c2，
a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见 变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝ a ，sin B＝ b ，sin C＝ c ；
2R
2R
2R
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
是三角形内切圆的半径)，并可由此
计算 R，r.
3.在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A
解的个数
一解
[微点提醒] 1.三角形中的三角函数关系
bsin A<a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
a≤b 无解
Hale Waihona Puke Baidu
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
即 B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形. (2)由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即 sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即 A＝π，
2 ∴△ABC 为直角三角形.
规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角
得 tan A＝－ 3，又 0<A<π，
所以 A＝2π. 3
由余弦定理，得 28＝4＋c2－4c·cos 2π. 3
即 c2＋2c－24＝0，解得 c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝π，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π.
2
6
1AB·ADsinπ
故△ABD 与△ACD 面积的比值为2
需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
考点二 判断三角形的形状
【例 2】 (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若c<cos A，则△ABC 为( ) b
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
(2)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的
第 21 讲-正弦定理和余弦定理
一、 考情分析
1.掌握正弦定理、余弦定理. 2.能解决一些简单的三角形度量问题.
二、 知识梳理
1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
a ＝ b ＝ c ＝2R sin A sin B sin C
所以
S△ABC＝2abc4os
C＝1absin 2
C，所以
tan
C＝1.
又 C∈(0，π)，故 C＝π. 4
规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已
知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定
理进行判断.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，
A.π
B.π
C.5π
D.2π
6
3
6
3
(3)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若△ABC 的面积为a2＋b2－c2，则 C＝( ) 4
A.π 2
【解析】
B.π
C.π
D.π
3
4
6
(1)由正弦定理，得 sin B＝bsin C＝
6× 3 2＝
2，
c
3
2
结合 b<c 得 B＝45°，则 A＝180°－B－C＝75°.
三、 经典例题
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C＝60°，b＝ 6，c＝3，则 A＝
________.
(2)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则 A＝( )
为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可 能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 考点三 和三角形面积、周长有关的问题 角度 1 与三角形面积有关的问题 【例 3－1】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin A＋ 3cos A＝0，a＝2 7， b＝2. (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积. 【解析】(1)由 sin A＋ 3cos A＝0 及 cos A≠0，
(3)sinA＋B＝cosC；(4)cosA＋B＝sinC.
2
2
2
2
2.三角形中的射影定理 在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A> sin B⇔cos A<cos B.