可测函数与连续函数

此时
是闭集，并且 沿 连续。由引理 2.1， 作为 上的函数
可以开拓成 上的连续的函数 ，并且
。
定理证毕。
推论 若 是 上几乎处处有限的可测函数，则对任何 ，有 上连
续函数 ，使
，并且
。
定理 2 设 为可测集， 为 上的实函数，如果对任何 ，存在闭集
，使 在 上连续，且
，则 为 上可测。
定理 3 设 为 上的可测集， 是 上几乎处处有限的可测函数，则对任何 ，存在闭集 ，及 上的连续函数 ，使
及,
整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。
的直线，当 的直线，于是 是
三、小结
一方面，可测集上的连续函数是可测的，另一方面，Lusin定理表明， Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近。可测集 上的连续函数一定为可测函 数，但可测函数不一定连续。如Dirichlet函数,Riemann函数都是可测函数但都 不连续。显然，可测函数要比连续函数更加广泛。
(1) 在
。
(2)
。
如果在 E 上
，还可要求
.
证明：由定理 1，有闭集 ，使
，而 是 上的连续函数，
因此问题在于扩张 上的 ，使其在整个空间上连续。
是有界闭集，因此是从一闭区间 个互不相交的开区间而成，设这些开区间是
，使
中去掉有限个或可数多 ，现在我们定义一个函数
此外，当
时，令 的图形是联
及 时，分别联 ,
设
是 Lebesgue 可测集，给定一个可测集 E，存在 E 的一个子集 ，
， 在 上有限，假如对于任意实数
都是可测集，则称 是 上几乎处处有限的的 Lebesgue 可测函数
4、连续函数：
设
， 是定义于 的函数， ，假如
则称 沿 在 连续；假如 沿 内任意一点都连续，则称 沿 连续。 5、预备定理、引理
两两不相交。今定义
则显然 是 R 上的连续函数，它是 f 的开拓。引理得证。 引理 2：设 是可测集 上的简单函数。则对任何 ，有没 的连续的函数
使
证明：不妨设
,其中 都是实数且两两不同。令
,
则
两两不相交且
.现对每一 ，令 是 的闭子集且
此时易知 沿闭集 为 上的函数可以开拓成沿 连续的函数 ，此时
定理 2.2 设 是一个紧集，
是一列沿 连续的函数。若
在 上一致收敛于 ，则 也沿 连续。
定理 2.3（Egoroff） 设 和
都是测度有限的集 上的几乎处
处有限的可测函数。若 在 上几乎处处收敛于 ，则对任何
并且 在 上一致收敛于 。
引理 2.1 设 是 中的闭集，函数 沿 连续，则 可以开拓成
一、基本概念
1、几乎处处：
给定一个可测集 E，假如存在 E 的一个子集 ， 在 上处处成立，则称性质 P 在 E 上几乎处处成立。
，且使得性质 P
2、可测函数：
设
是 Lebesgue 可测集， 是 上的实值函数。假如对于任意实数
都是可测集，则称 是 上的 Lebesgue 可测函数（简称 是 上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数：
上的连续函数 ，并且
=
。
引理 2.2 设 是可测集 上的简单函数。则对任何
续的函数 使
。
有沿 连
二、可测函数和连续的关系
ห้องสมุดไป่ตู้
1、连续函数的可测性
定理1 可测集上的连续函数都是可测函数。
证明: 对任意 ，设
，则由连续性假设，存在x的某邻域 ，
使
。因此，令
，则：
反之，显然有
，因此：
从而：
但 G 是开集（因为它是一族开集这并），而 E 为可测集，故其交 仍
参考文献：
周性伟，实变函数，科学出版社，2007.
江泽坚，实变函数论，高等教育出版社，1994.
戴培良，可测函数与连续函数的关系，常熟理工学院学报，2008 年 2 月。
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连续。由引理 1， 作
引理证毕。
定理 1（Lusin）设 为可测集 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的
，有沿 连续的函数 使
，并且
。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）
证明：不失一般性设 在 上处处有限。
先设 是有限可测集。由定理 2.3，有 上的简单函数列 ,使 。现对每一 ,由引理 2.2，存在沿 连续的函数
可测函数 与连续函 数
实变大作业
2011/4/27
可测函数与连续函数
【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数 与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。
【关键词】：可测函数、连续函数、关系
这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及 其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之 间的关系。
为可测集，即
为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。
但可测函数不一定连续例 例：
可测函数 Dirichlit 函数在 上处处间断
2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性
引理 1：设 F 是 R 中的闭集，函数 f 没 F 连续，则 f 可以开拓成 R 的连续函数 ，并且：
证明：此时
是开集，其中开区间族
，使
，
令 ,
则
并且在
上
。
由于 有界,所以存在
的有界闭子集 ,使得 在 上一致收敛于 并且
。再由定理 2.2， 沿 连续.这样由引理 2.1， 作为 上
的函数可以开拓成沿 连续的函数 。此时 样我们在 有界的条件下证明了定理。
。这
对一般的
，此时对每一整数 ，令
则 都是有界的。从而由上段证明，对每一 ，存在 的闭子集 ,使 沿 连续，并且