第三章 平稳时间序列分析1

即 (1 1 B p B p ) xt t
将 ( B) 1 1 B 2 B2 p B p ，称为自回归
系数多项式。 则中心化AR(p)模型可简记为
( B) xt t
4、AR模型平稳性判别


判别原因 AR模型虽是常用的平稳序列的拟合模型之 一，但并非所有的AR模型都是平稳的 判别方法，除时序图及自相关图法外，还有 特征根判别法 平稳域判别法
本章内容

方法性工具 ARMA模型 （AR MA ARMA ） 平稳序列建模 序列预测
3.1 方法性工具

差分运算 延迟算子 线性差分方程
1、差分运算

一阶差分
p阶差分 k步差分
xt xt xt 1
p xt p1 xt p1 xt 1


非齐次线性差分方程的通解 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方 程的特解之和Zt z z z
t t t
线性差分方程在时间序列分析中很有用，某些时间序列模型及 自协方差或自相关函数本身就是线性差分方程，而线性差分方程 的特征根的性质，对平稳性的判定也很重要。
3.2 ARMA模型的性质
1 i 2 2
1 3 2 2
1
1 3 2
2 0.5,2 1 1.5,2 1 0.5
作业
P98 习题三 3、4 实验1理论（sas简介及数据集创建）
xt （ （ t 1 xt 1 ） p xt p ）
则变换yt=xt-μ称为中心化变换。
（相当于将整个非中心化序列进行了常数μ的平移。）
3、自回归系数多项式

引进延迟算子 xt 1 xt 1 p xt p t
(1 B p B p ) xt t
1 2 1 12 42
2
1 12 42
2
{1 , 2 2 1，且 2 1 1}
例3.1续 平稳性判别 (1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
模 型
(1) (2) (3) (4)
不相等实数根时
t zt c11 c2 t2 c p tp
有相等实根时(设有d个相等实根)，则
t zt (c1 c2t cd t d 1 )1 cd 1td 1 c p tp
有复根时，复根必共轭出现
a bi re it （r a 2 b 2 , arccos
保证最高阶数为p p 0 2 E ( ) 0 , Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t E ( x ) 0, s t 保证残差白噪声 s t
保证t期的随机干扰与过 去s期的序列值无关
特别地、当φ 0=0时，称为中心化AR(p)模型
【例3.1】考察如下四个模型的平稳性
(1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
(4) xt xt 1 0.5xt 1 t
例3.1平稳序列时序图（1）（3）
(1) xt 0.8xt 1 t
（较适合低阶AR模型，如1,2阶）

平稳域判别

平稳域—使特征根都在单位圆内的AP(p)的系数 集合，即 {1 ,2 ,, p 特征根都在单位圆内 }
AR(1)模型判断平稳性的条件
xt xt 1 t，即xt xt 1 t

特征根判别
特征方程为 0 特征根为 所以若AR(1)平稳，必有
齐次线性差分方程的解
zt a1 zt 1 a2 zt 2 a p zt p 0

齐次线性差分方程特征方程
p a1p1 a2p2 a p 0

特征方程的根称为特征根(至少有p个非零 根)，记作 1 , 2 ,, p

齐次线性差分方程的通解
zt r t (c1eit c2eit ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c3t3 c ptp
a ） r
非齐次线性差分方程的解

非齐次线性差分方程的特解 使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解 z t
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t )

k xt xt k
2、延迟算子


延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘 以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时 间向过去拨了一个时刻。 记B为延迟算子，有
xt p B xt , p 1
p
延迟算子的性质：

B0 1
B(c xt ) c B( xt ) c xt 1 ,
k步差分
i 0
k xt xt k (1 B ) xt
k
3、线性差分方程

线性差分方程
对序列{xt，t=±1,±2,…}
zt a1 zt 1 a2 zt 2 a p zt p h(t )

齐次线性差分方程
zt a1 zt 1 a2 zt 2 a p zt p 0
上次课内容
平稳性的图检验法？ 时序图检验、自相关图检验 纯随机性（白噪声）检验法？ Q检验法(卡方检验) 时序图检验原理： 时序图应该呈现序列值始终在一个常数附近随机 波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征。 自相关图检验原理： 自相关系数会很快地衰减为零。 Q检验法的检验原理： 一个平稳序列短期延迟的序列值间无显著相关性， 则长期延迟间一般更不存在。
2、AR(P)序列中心化变换

则x t (1 1 ... P ) 1 x t 1 2 x t 2 p x t p t （ （ t 1 x t 1 ） p x t p ）
目的是将非中心化的AR(p)转化为中心化AR(p)。 0 令 1 1 p
| || | 1

平稳域判别 平稳域为 { | 1 1}
AR(2)模型判断平稳性的条件
xt 1 xt 1 2 xt 2 t，即xt 1 xt 1 2 xt 2 t

特征方程为
2 1 2 0

平稳域

特征根
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
例3.1非平稳序列时序图（2）（4）
(2) xt 1.1xt 1 t
(4) xt xt 1 0.5xt 1 t
AR模型平稳性判别方法

特征根判别


AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在 单位圆内（特征根|λi|<1） 根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性 质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式 的根都在单位圆外(Ф (u)=0的根|ui|>1)
c为任意常数
B( xt yt ) xt 1 yt 1
B n xt xt n
n n
i (1 B ) ( 1) n C n Bi i 0
，
用延迟算子表示差分运算

p阶差分
p xt (1 B) p xt (1) p C ip xt i
p

1
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
(4) xt xt 1 0.5xt 1 t
平稳域判别 结论
平稳 非 平稳 平稳 非 平稳
特征根判别
1 0.8
1 1.1
1 i 2
0.8
1.1
2 0.5,2 1 0.5,2 1 1.5

AR模型（Auto Regression Model）
MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）


一、AR模型
1、定义：具有如下结构的模型称为p阶自回归 模型，简记为AR(p) xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t