2-3-1提公因式、公式法(一).讲义学生版

板块一：因式分解的基本概念

因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式

分解因式.

因式分解与整式乘法互为逆变形：

()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积

因式分解

式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式

因式分解的常用方法：

提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.

分解因式的一般步骤：

如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式

十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.

注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

②结果一定是乘积的形式；

③每一个因式都是整式；

④相同的因式的积要写成幂的形式.

在分解因式时，结果的形式要求：

①没有大括号和中括号；

②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；

③单项式因式写在多项式因式的前面；

④每个因式第一项系数一般不为负数；

⑤形式相同的因式写成幂的形式.

【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.

⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+

⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++

【例2】 观察下列从左到右的变形：

⑴()()

3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+ 例题精讲

提公因式法、公式法

⑶()2

2261266x xy y x y ++=+；⑷()()22323294a b a b a b +-=-

其中是因式分解的有 （填括号）

板块二：提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

【例3】 分解因式：ad bd d -+；

【例4】 分解因式：2244a a b -+-

【例5】 分解因式：23361412abc a b a b --+

【例6】 分解因式：32461512a a a -+-

【例7】 分解因式：22224()x a x a x +--

【例8】 分解因式：3222524261352xy z xy z x y z -++

【例9】 不解方程组2631

x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．

【例10】 分解因式：2121()()m m p q q p +--+-

【例11】 分解因式：212312n n x y xy z +-(n 为大于1的自然数)．

【例12】 把下列各式进行因式分解：3223224612x y x y x y -+-

【例13】 分解因式：()()23262x a b xy a b +-+

【例14】 分解因式23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-

【例15】 分解因式：346()12()m n n m -+-

【例16】 分解因式：55()()m m n n n m -+-

【例17】 分解因式：()()()2a a b a b a a b +--+

【例18】 分解因式：(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-

【例19】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++

++

【例20】 分解因式：()

()2121510n n

a a

b ab b a +---(n 为正整数)

【例21】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.

【例22】 先化简再求值，()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12

y =．

【例23】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23

x =-.

【例24】 已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333

a a

b

c b c a b c b c a --+-+++-的值.

【例25】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.

【例26】 若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，

应是什么三角形？

1.

分解因式：4325286x y z x y -

2.

分解因式：322618m m m -+-

3. 分解因式：23229632x y x y xy ++

4.

分解因式：2222224x y x z y z z --+

5.

分解因式：232232a b abc d ab cd c d -+-

6.

分解因式：22(1)1a b b b b -+-+-

课后练习