量子力学期末试题及答案

（11）
⎛−i⎞
1⎜ ⎟
ψ1
=
2
⎜ ⎜
⎝
2 ⎟;
i
⎟ ⎠
ψ2 =
⎛1⎞
1
⎜⎟ ⎜ 0 ⎟;
2
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎛i⎞
1⎜ ⎟
ψ3
=
2
⎜ ⎜
⎝
2⎟
−
i
⎟ ⎠
（12）
Lˆ x 满足的本征方程为
相应的久期方程为 将其化为
ℏ 2
⎛ ⎜
⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0 ⎞ ⎛ c1 ⎞
⎛ c1 ⎞
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
c2
c1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
c1
⎞ ⎟
0 − i⎟ ⎜ c2 ⎟ = λ ⎜ c2 ⎟
i
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
iℏ
−λ −
0
2
iℏ
−λ
− iℏ = 0
2
2
0
iℏ
−λ
2
（8） （9）
λ3 − ℏ 2λ = 0
（10）
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
En
=
−
µe4 2ℏ2
1 n2
，
n = 1,2,3,⋯
（1）
将 t = 0 时的波函数写成矩阵形式
利用归一化条件
ψ
(
x,
0)
=
⎛ ⎜
⎜
1 3
ϕ
2
(
x
)
+
2 3
ϕ3
(
x
)
⎞ ⎟
⎟
⎜ ⎜⎝
−
2 3
ϕ1
(
x
)
⎟ ⎟⎠
（2）
∫ c
2
∞ −∞
dx
⎛ ⎜⎜⎝
1 3
ϕ
* 2
(
x)
+
2 3
ϕ
* 3
(
x
)
=
⎛1
⎜ ⎝
1 ×
1
+
1 7
×
1 4
+
2 7
×
1⎤ 9 ⎥⎦
=
161µe4 − 504ℏ2
ℏℏ 自旋 z 分量的可能取值为 , − ，相应的取值几率为
22
（5） （6）
W
⎛ ⎜
sz
⎝
=
ℏ 2
,
0
⎞ ⎟
⎠
=
1 7
+
2 7
=
3 ;W 7
⎛ ⎜
sz
⎝
=
−
ℏ 2
,
0
⎞ ⎟ ⎠
=
4 7
自旋 z 分量的平均值为
sz
(0)
ψ1
=
2
⎜ ⎜
⎝
2 ⎟;
1
⎟ ⎠
ψ2 =
⎛1⎞
1 2
⎜ ⎜ ⎜⎝
0
⎟ ⎟
;
− 1 ⎟⎠
⎛1⎞
1⎜
⎟
ψ3
=
2
⎜− 2
⎜ ⎝
1
⎟ ⎟ ⎠
（17）
五、（20 分） 由两个质量皆为 µ 、角频率皆为 ω 的线谐振子构成的体系，
加上微扰项 Wˆ = − λ x 1 x 2 （ x 1 , x 2 分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论
二. （20 分） 质量为 m 的粒子在如下一维势阱中运动 (V0 > 0)
（7） （8） （9）
⎧∞.
V (x ) = ⎪⎨− V0 ,
⎪⎩0,
x<0 0≤ x≤a x>a
若已知该粒子在此势阱中有一个能量 E = − V0 的状态，试确定此势阱的宽度 a 。 2
解 对于 − V0 < E < 0 的情况，三个区域中的波函数分别为
(
x
)
⎟⎜
⎟⎠
⎜ ⎝
1 7
ϕ
2
(
x
)
+
2 7
ϕ
3
(
x
)
⎞ ⎟
⎟
（4）
−
4 7
ϕ1
(
x
)
⎟ ⎟ ⎠
能量的可能取值为 E1, E2, E3 ，相应的取值几率为
能量平均值为
W
(
E1,
0)
=
4 7
;W
(
E2
,
0)
=
1 7
;W
(
E3
,
0)
=
2 7
E
(0)
=
4 7
E1
+
1 7
E2
+
2 7
E3
=
−
µe4 2ℏ2
⎡4 ⎢⎣ 7
对于基态而言， n1 = n2 = n = 0 ， f0 = 1，体系无简并。
（1） （2） （3） （4）
（5）
利用公式
可知
ϕm x ϕn
1⎡
=
α
⎢ ⎣
n
δ 2
m,n−1
+
n
+ 2
1δ
m,n
+1
⎤
⎥ ⎦
E0(1) = ψ 0 Wˆ ψ 0 = 0
∑ ∑ E
(2
0
)
=
fn n≠0 α =1
ψ0
Wˆ ψ nα ψ nα E00 − En0
一、（20 分）已知氢原子在 t = 0 时处于状态
ψ
(
x,
,
0)
=
1 3
ϕ2
(x)
⎛ ⎜ ⎝
1⎞ 0⎟⎠
−
2 3
ϕ1(x)
⎛ ⎜ ⎝
0⎞
1
⎟ ⎠
+
2 3
ϕ3
(
wenku.baidu.comx)
⎛ ⎜ ⎝
1 0
⎞ ⎟ ⎠
其中，ϕn (x) 为该氢原子的第 n 个能量本征态。求能量及自旋 z 分量的取值概率
与平均值，写出 t > 0 时的波函数。 解 已知氢原子的本征值为
其中，
⎧ψ1(x) = 0 ⎪⎨ψ 2 (x) = Asin(kx + δ ) ⎪⎩ψ 3 (x) = B exp(−αx)
k=
2m(E +V 0 ) ; ℏ
2m E α= ℏ
利用波函数再 x = 0 处的连接条件知，δ = nπ ， n = 0,1,2,⋯ 。
在 x = a 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
2α 2
− E2(1)
整理之， E2(1) 满足
( ) −
E2(1)
3
+
λ2 α4
E2(1)
=
0
于是得到第二激发态能量的一级修正为
E
(1)
21
=
λ −α2
;
E2(12) = 0;
E2(13)
=
λ α2
1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
（6）
（7） （8） （9） （10） （11）
（12）
（13） （14）
解 在 L2 与 Lz 表象下，当轨道角动量量子数 l = 1时， m = 1, 0, −1，显然，算
符 Lˆx 、 Lˆy 与 Lˆz 皆为三维矩阵。
由于在自身表象中，故 Lˆz 是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是
有
⎛1 0 0 ⎞
Lˆz
=
⎜ ⎜
0
0
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
（1）
相应的本征解为
（3）
而
Lˆ± lm = ℏ l (l +1) − m (m ±1) l, m ±1
（4）
当 l = 1, m = 1, 0, −1时，显然，算符 Lˆx 、 Lˆy 的对角元皆为零，并且，
1, −1 Lˆx 1,1 = 1, −1 Lˆy 1,1 = 0
1,1 Lˆx 1, −1 = 1,1 Lˆy 1, −1 = 0
ψ pˆn ϕ = ψ n n ϕ
而投影算符 pˆn 的共軛算符 pˆn+ 的矩阵元为
ψ
pˆn+ ϕ
=ψ
�pˆn* ϕ
= ⎡⎣ ϕ
pˆn ψ
*
⎤⎦ =
{ϕ n
}*
*
*
n ψ = ⎣⎡ ϕ n ⎦⎤ ⎣⎡ n ψ ⎦⎤ = ψ n
nϕ
显然，两者的矩阵元是相同的，由 ψ 与 ϕ 的任意性可知投影算符 pˆn
E20 = 3ℏω,
ψ 0 = ϕ0 ( x1 )ϕ0 ( x2 ) ψ11 = ϕ0 ( x1 )ϕ1 ( x2 ) ψ12 = ϕ1 ( x1 )ϕ0 ( x2 ) ψ 21 = ϕ2 ( x1 )ϕ0 ( x2 ) ψ 22 = ϕ0 ( x1 )ϕ2 ( x2 ) ψ 23 = ϕ1 ( x1 )ϕ1 ( x2 )
Wˆ ψ 0
显然，求和号中不为零的矩阵元只有
ψ 0 Wˆ ψ 23
= ψ 23 Wˆ ψ 0
λ =−
2α 2
于是得到基态能量的二级修正为
E0(2)
=
E00
1 − E20
λ2 4α 4
λ2ℏ =−
8µ 2ω 3
第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为
W11 − E2(1) W21 W31
W12
9
+
2 9
+
4⎞
9
⎟ ⎠
c
2
=
7 9
c
2
于是，归一化后的波函数为
−
2 3
ϕ1*
(
x
)
⎞ ⎟⎟⎠
⋅
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
1 3
ϕ
2
(x
−
)+
2 3 ϕ1
2 3
(x
ϕ3
)
(
x
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
（3）
ψ (x,0) =
9
⎛ ⎜
⎜
1 3
ϕ2
(
x
)
+
2 3
ϕ
3
(
x
)
⎞ ⎟
⎟
=
⎛ ⎜
⎜
7⎜ ⎜⎝
−
2 3
ϕ1
证明 对 x 分量有
( )�ˆj × �ˆj = ˆjy ˆjz − ˆjz ˆjy =iℏˆjx x
同理可知，对 y 与 z 分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。
投影算符 pˆn = n n 是一个厄米算符，其中，{ n } 是任意正交归一的完备本
征函数系。 证明 在任意的两个状态 ψ 与 ϕ 之下，投影算符 pˆn 的矩阵元为
求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为
mxn
1⎡
=
α
⎢ ⎣
n
δ 2
m , n −1
+
n+1 ⎤
2
δ m,n+1 ⎥ ⎦
式中， α =
µω 。 ℏ
解 体系的哈密顿算符为
Hˆ = Hˆ 0 + Wˆ
其中
( ) ( ) Hˆ 0
=
1 2µ
pˆ12 + pˆ 22
x pˆ ψ x' n
x'
=
−∞
−∞
k
∞
∞
( ) ( ) ∑ ∫ ∫ dxψ
* m
(
x
)
xψ
k
(
x
)
dx
'ψ
* k
x'
pˆ ψ x' n
x'
=
k −∞
−∞
∑ ( ) xmk pˆ x kn
k
四、（20 分） 在 L2 与 Lz 表象中，在轨道角动量量子数 l = 1的子空间中，分
别计算算符 Lˆx 、 Lˆy 与 Lˆz 的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。
ψ 2 (a) = ψ 3 (a)
ψ
' 2
(a
)
=
ψ
' 3
(a
)
得到
Asin(ka + nπ ) = B exp(−αa) Ak cos(ka + nπ ) = −Bα exp(− αa)
于是有
（1） （2） （3） （4）
此即能量满足的超越方程。
当E
=
−
1 2
V
0
时，由于
（6） 故
tan(ka) = − k
⎟ ⎟
=
λ
⎜ ⎜
c2
⎟ ⎟
0 ⎟⎠ ⎜⎝ c 3 ⎟⎠
⎜⎝ c 3 ⎟⎠
（13）
ℏ
−λ
0
2
ℏ −λ
2
ℏ =0
2
ℏ
0
−λ
2
（14）
λ3 − ℏ 2λ = 0
（15）
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
（16）
⎛1⎞
1⎜ ⎟
−∞
∞
∞
( ) ∫ ∫ dxψ
* m
(
x
)
x
dx 'δ x ' − x pˆ xψ n ( x ) =
−∞
−∞
∞
∞
( ) ( ) ∫ ∫ dxψ
* m
(
x
)
x
dx 'δ x ' − x pˆ ψ x' n x ' =
−∞
−∞
∞
∞
( ) ( ) ∫ ∫ ∑ dxψ
* m
(
x
)
x
dx'
( ) ψ
* k
x' ψ k
是厄米算符。
( ) ( ) ∑ ∑ { } 利用
ψ
* k
x' ψk (x) = δ
x' − x 证明 ( xpˆ x )mn =
xmk ( pˆ x )kn ，其中， ψ k ( x) 为
k
k
任意正交归一完备本征函数系。
证明
∞
∫ ( xpˆ x )mn =
d xψ
* m
(
x
)
xpˆ xψ
n
(
x
)
=
α
⎛
tan
⎜ ⎜
⎝
mV 0 ℏ
⎞
a
⎟ ⎟
⎠
=
−
mV 0 ℏ = −1 mV 0 ℏ
（5）
mV 0 ℏ
a
=
nπ
−π 4
(n = 1, 2 ,3 , ⋯ )
最后得到势阱的宽度
（7）
a
=
⎛ ⎜
n
−
1
⎞ ⎟
πℏ
⎝ 4 ⎠ mV 0
（8） 三、（20 分） 证明如下关系式 （1）任意角动量算符 �ˆj 满足 �ˆj × �ˆj = iℏ�ˆj 。
只有当量子数 m 相差 ±1时矩阵元才不为零，即
1, −1 Lˆx 1, 0
= 1, 0 Lˆx 1, −1 = 1, 0 Lˆx 1,1 =
1,1 Lˆx 1, 0
=
ℏ 2
1, 0
Lˆy
1, −1
=
1,1 Lˆy
1, 0
=−
iℏ 2
1, −1 Lˆy
1, 0
=
1, 0
Lˆy
1,1
=
iℏ 2
（5） （6）
2．德布罗意关系是粒子能量 E、动量 P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：
E= hν , p= h / λ 。 3．根据波函数的统计解释， ψ (x, t) 2 dx 的物理意义为：粒子在 x—dx 范围内的几率 。
于是得到算符 Lˆx 、 Lˆy 的矩阵形式如下
Lˆx =
ℏ 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0⎞ 1 ⎟⎟ ; 0 ⎟⎠
Lˆy =
ℏ 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
0 i 0
−i 0 i
0⎞
−i
⎟ ⎟
0 ⎟⎠
Lˆ y 满足的本征方程为
（7）
ℏ
⎛0 ⎜
⎜i
2
⎜ ⎝
0
相应的久期方程为
将其化为
−i
0
⎞ ⎟
⎛ ⎜
=
3 7
×
ℏ 2
+
4 7
×
⎛ ⎜ ⎝
−
ℏ 2
⎞ ⎟ ⎠
=
ℏ −
14
t > 0 时的波函数
⎛
⎜
ψ
(
x,
t)
=
⎜ ⎜
⎜⎜⎝
1 7ϕ2
(
x ) exp
⎡ ⎢⎣
−
i ℏ
E2
t
⎤ ⎥⎦
+
2 7ϕ3
(
x)
exp
⎡ ⎢⎣
−
i ℏ
E3t
⎤ ⎥⎦
⎞ ⎟
⎟
−
4 7ϕ1
(
x
)
exp
⎡ ⎢⎣
−
i ℏ
E1t
⎤ ⎥⎦
⎟ ⎟⎟⎠
+ 1 µω 2 2
x12
+
x
2 2
Wˆ = −λ x1x2
已知 Hˆ 0 的解为
E
0 n
=
(n +1)ℏω
ψ nα (x1, x2 ) = ϕ n1 (x1 )ϕ n2 (x2 )
其中
n1, n2 , n = 0,1,2,⋯ α = 1,2,3,⋯, fn
将前三个能量与波函数具体写出来 E00 = ℏω; E10 = 2ℏω,
W22
−
E
(1)
2
W32
W13
W23 = 0
W33
−
E
(1)
2
其中
W11 = W22 = W33 = W12 = W21 = 0
W13 = W31 = W23 = W32 = −
λ 2α 2
将上式代入（10）式得到
− E2(1) 0 λ
− 2α 2
0 − E2(1)
λ −
2α 2
λ −
2α 2
λ
−
=0
Lz = ℏ; Lz = 0; Lz = −ℏ;
⎛1⎞
ψ1
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0⎟⎠
⎛0⎞
ψ0
=
⎜ ⎜
1 ⎟⎟
⎜⎝ 0⎟⎠
⎛0⎞
ψ −1
=
⎜ ⎜
0 ⎟⎟
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
对于算符 Lˆx 、 Lˆy 而言，需要用到升降算符，即
（2）
( ) Lˆx
=
1 2
Lˆ+ + Lˆ−
( ) Lˆy
=
1 2i
Lˆ+ − Lˆ−