解二面角问题三种方法(习题及答案)
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
空间几何二面角解题技巧练习
空间几何二面角解题技巧练习作者: 日期:知识点：二面角的求法一、思想方法求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点•直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。
常用的方法有以下几种：方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。
方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线P A 、PB,连接AB,根据三垂线定理 、例题：例1 •在棱长为1的正方体 AC 1中，（1）求二面角A B 1D 1 C 的大小;例2 •如果二面角丨 的平面角是锐角，点P 到，，1的距离分别为2「2,4,4「2,求二面角的大小.（垂面法）。
例3 .在正方体 A C 1中,E 是BC 中点,F 在A A 1上,且A 1F : FA= 1 : 2,求平面 B E F 与底面 A 1B 1C 1D 所成的二面 角•方法四（投影面积法 角为，则S z =Sco s 或 方法五（异面直线法 ,, 2 2 2 2 ）一个平面 上的图形面积为S,它在另一个平面 上的投影面积为 S'，这两个平面的夹 s /c O s =-・S =n, C D =d,则有 A B =m+n + d -2mncos ,故 cos = 在已知二面角两个面上两点间距离说明：原来的公式中 理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角2 2 2 2 =m+n + d 2mnc o s .但二面角可以取钝钝角 方法六（空间向量法）如图5,设n1,n 2,是二面角相交成角，AC B D 分别在、上，且与棱垂直•若AC =m,BD m n d AB） 2mn （即丨AB|）的情况下，可以用此公式来求 •），故根据A 、E 的位置情况公式是 AB ,故只需取“-”号得出公式（1 ）• l 的两个半平面的法向量，其方向一个指向内 侧,另 一个指向外侧，则二面角的平面角 =arccos 締。
二面角习题及答案
二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
DPCABEDBASC解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25a r c t a n M R N =∠4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
专题6：理科高考中的二面角问题(解析版)
专题6：理科高考中的二面角问题（解析版）求二面角二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==， 即arccosm n m nθ⋅=；如果θ是钝角，则cos cos m nm nθϕ⋅=-=-， 即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=-⎪⎝⎭.1．如图所示，AE ⊥平面ABCD ，四边形AEFB 为矩形，//BC AD ，BA AD ⊥，224AE AD AB BC ====．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）23【分析】（1）根据//BF AE ，//BC AD ，从而证明平面//BCF 平面ADE ，从而//CF 平面ADE 。
（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。
【详解】OABOABl（1）∵四边形ABEF 为矩形//BF AE ∴又BF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE//BF ∴平面ADE又//BC AD ，同理可得：//BC 平面ADE又BF BC B ⋂=，BF ，BC 平面BCF ∴平面//BCF 平面ADE 又CF 平面BCF//CF ∴平面ADE（2）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，()2,0,4F(0,4,0)AD ∴=,(2,2,0)CD =-,(0,2,4)CF =-设(,,)x y z =n 是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩ 令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩(2,2,1)n ∴=又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||n AD n AD n AD ⋅∴==⋅∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23.【点睛】此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。
二面角的多种求法
二面角的多种求法1.概念法例1：如图所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。
求二面角A BC D --的大小。
分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。
根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。
又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。
可以求出32AE =，3DE =3AD =。
根据余弦定理知：22222233)372cos 243232AE DE ADAED AE DE+-+-∠==-⨯⨯⨯即二面角A BC D --的大小为7arccos4π-。
例2：如图所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角A PD C --的大小。
解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。
由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。
即AE PD ⊥。
由于CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：2PC =3PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到63CE =。
由此可以得到：63AE CE ==，又2AC =。
由余弦定理：222222133cos 22223AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅即：23AEC π∠=。
2.空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
例3：如图所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE ，点F 在平面α内，点C 在平面β内。
求二面角F DE C --的大小。
分析：过点C 作辅助线CA 垂直于DE ，作CB 垂直于平面β于点B 。
解二面角问题三种方法(习题和答案)
C AD A A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义.在二面角的棱上取一点.过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线.两射线所成的角就是二面角的平面角.这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角.当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图.立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形.画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中.∠APB=∠BPC=∠CPA=600.求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的.如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD .∠ACB=600.现沿对角线BD 将其折成才600的二面角.则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直.对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线.则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4.过BC 的一个平面与AA 1交于D .若AD =3.求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之.能用定义法来找二面角的平面角的.一般是图形的性质较好.能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体.正三棱柱.正方体.以及一些平面图形.正三角形.等腰三角形.正方形.菱形等等.这些有较好的一些性质.可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角.通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角.再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直.来找到二面角的平面角的方法。
利用传统方法解决二面角问题(五大题型)(解析版)
利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：三垂线法题型三：射影面积法题型四：垂面法题型五：补棱法【方法技巧与总结】二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角α-l -β的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角(当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可)．法二：三垂线法在面α或面β内找一合适的点A ，作AO ⊥β于O ，过A 作AB ⊥c 于B ，则BO 为斜线AB 在面β内的射影，∠ABO 为二面角α-c -β的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A ，作AO ⊥β于O ；②过点(与①中是同一个点)做交线的垂线；即过A 作AB ⊥c 于B ，连接BO ；③计算：∠ABO 为二面角α-c -β的平面角，在Rt △ABO 中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos θ=S 射S 斜=S △A 'B 'C 'S △ABC，如图2)求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．【典型例题】题型一：定义法1.(2024·高一·江西宜春·期末)如图(1)，六边形ABCDEF 是由等腰梯形ADEF 和直角梯形ABCD 拼接而成，且∠BAD =∠ADC =90°，AB =AF =EF =ED =2,AD =CD =4，沿AD 进行翻折，得到的图形如图(2)所示，且∠AEC =90°.(1)求证：CD ⊥平面ADEF .(2)求二面角C -AE -D 的余弦值；【解析】(1)在等腰梯形ADEF 中，作EM ⊥AD 于M ，则DM =AD -EF 2=1,AM =3,EM =3，可得AE =3+9=23，连接AC ，则AC =42，因为∠AEC =90°，可得EC =25，由ED 2+DC 2=EC 2，可得CD ⊥ED ，且CD ⊥AD ,AD ∩ED =D ，AD ,ED ⊂平面ADEF ，所以CD ⊥平面ADEF .(2)由(1)可知CD ⊥平面ADEF ，且AE ⊂平面ADEF ，可得CD ⊥AE ，且CE ⊥AE ，CE ∩CD =C ，CE ,CD ⊂平面CDE ，可得AE ⊥平面CDE ，且DE ⊂平面CDE ，可得AE ⊥DE ，又AE ⊥CE ，可知∠CED 就是二面角C -AE -D 的平面角，在Rt △CDE ，可得cos ∠CDE =DE CE =225=55，所以二面角C -AE -D 的余弦值为55.2.(2024·高一·全国·随堂练习)如图，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径AB =2，点C 在AB上，且∠CAB =30°，点D 为AC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面POD(2)求二面角P -AC -O 的正弦值．【解析】(1)证明：连接PC ，则PC =PA ，因为点D 为AC 的中点，所以PD ⊥AC ，因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB =90°，所以AC ⊥BC ，因为O 为AB 的中点，D 为AC 的中点，所以OD ‖BC ，OD =12BC ，所以OD ⊥AC ，因为PD ∩OD =D ，PD ,OD ⊂平面POD ，所以AC ⊥平面POD ，(2)由(1)知PD ⊥AC ，OD ⊥AC ，所以∠PDO 为二面角P -AC -O 的平面角，因为PO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ，所以PO ⊥OD ，因为∠ACB =90°，∠CAB =30°，AB =2，所以BC =12AB =1，所以OD =12BC =12，所以在Rt △POD 中，sin ∠PDO =OP PD =22+14=223,所以二面角P -AC -O 的正弦值为2233.(2024·高一·河南商丘·阶段练习)如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB =2 . 求：(1)求二面角B -PA -C 的大小．(2)求二面角A -PD -C 的大小.(3)求二面角B -PD -A 的大小的正弦值．【解析】(1)∵PA ⊥平面ABCD ，AB ，AC ⊂面ABCD ,∴PA ⊥AB ,PA ⊥AC ,∴∠BAC 为二面角B -PA -C 的平面角，又∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC =45°，即二面角B -PA -C 的大小为45°；(2)作PD 的中点E ,PC 的中点F ,连接AE ,EF ,AF ,∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂面ABCD ,∴PA ⊥AD ,∵PA =AB ，∴△PAD 为等腰直角三角形，∵E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD ,又∵PA ⊥CD ,AD ⊥CD ,PA ,AD ⊂平面PAD ,且PA ∩AD =A ,∴CD ⊥平面PAD ,∴CD ⊥PD ,∵E ,F 分别为PD 和PC 的中点，∴EF ⊥PD ,∴∠AEF 为二面角A -PD -C 的平面角，∵EF ⎳CD ,∴EF ⊥平面PAD ,∴EF ⊥AE ,∴∠AEF =90°,即二面角A -PD -C 的大小为90°；(3)连接BE ,BD ,∵PB =AP 2+AB 2=22,BD =AB 2+AD 2=22,∴PB =BD ,∴BE ⊥PD ,∴∠AEB 二面角B -PD -A 的大小的平面角，又∵PA ⊥AB ,AB ⊥AD ,AP ,AD ⊂平面PAD ,且PA ∩AD =A ,∴AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥AE ,∵PD =2AP =22,∴ED =12PD =2,∴BE =BD 2-ED 2=6,∴sin ∠AEB =AB BE=63 ,即二面角B -PD -A 的大小的正弦值63.题型二：三垂线法1.(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC .(1)证明：平面PBC⊥平面PAC；(2)设AB=PC=2，AC=1，求二面角B-PA-C的余弦值．【解析】(1)证明：∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，∵PC∩AC=C，且PC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.(2)过C作CM⊥PA于M，连结BM，∵BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC，∵BC∩CM=C，且BC，CM⊂平面BCM，∴PA⊥平面BCM，又BM⊂平面BCM，∴PA⊥BM，∴∠BMC为二面角B-PA-C的平面角，在Rt△BMC中，∵CM=25，BC=3，∴BM=45+3=195，则cos∠BMC=MCBM=25195=21919，∴二面角B-PA-C的余弦值为21919．2.(2024·高一·江苏南京·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°，E为PC中点．(1)证明：AC⊥面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值．【解析】(1)证明：设AC与BD交于点O，连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点，所以EO⎳PA，又因为PA⊥底面ABCD，且BD、AC⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，PA⊥AC，又因为EO⎳PA，所以EO⊥BD，EO⊥AC，AC∩BD=O，所以EO⊥底面ABCD，又四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，则EO⊥AC，BD⊥AC，且EO∩BD=O，EO，BD⊂平面BED，所以AC⊥平面BED；(2)过O作OF⊥AB于F，连接EF，由(1)知OE⊥底面ABCD，且FO、AB⊂底面ABCD，所以OE⊥AB，OE⊥FO，又EO∩FO=O，EO、FO⊂平面EOF，所以AB⊥平面EOF，又EF⊂平面EOF，所以AB⊥EF，即∠EFO为二面角E-AB-C的平面角，因为底面ABCD为菱形，AB=1，∠ABC=60°，所以△ABC是边长为1的等边三角形，则AO=12，FO=12sin60°=34，又PA=2，则EO=12PA=22，在直角三角形EOF中，EF=11 4，则cos∠EFO=FOEF=3311，所以sin∠EFO=22211，故所求二面角的正弦值为222 11．3.(2024·高二·江苏南京·阶段练习)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=4，E为AD的中点．(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；(2)求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．【解析】(1)由题意，因为四边形ABCD为菱形，所以DA=DC.连接AC.因为∠ADC=60°，所以△ADC为等边三角形，从而CA=CD.在△ADC中，E是AD的中点，所以CE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以CE⊥PA.∵PA∩AD=A，PA⊂面PAD，AD⊂平面PAD，CE⊄面PAD，∴EC⊥平面PAD.又CE⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAD(2)由题意及(1)得，在平面PAD中，过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接CM.因为EC⊥平面PAD,PD⊂平面PAD，所以EC⊥PD.又EM∩CE=E, EM⊂平面EMC,CE⊂平面EMC，所以PD⊥平面EMC.又CM⊂平面EMC，所以PD⊥CM，从而∠EMC是二面角APDC的平面角．在Rt△EMD中，ED=2,∠ADP=45°，所以EM=MD= 2.在Rt△CMD中，MD=2，CD=4，所以CM=CD2-MD2=14.在Rt△CME中,CE=23,sin∠EMC=CECM =2314=427,所以二面角APDC的平面角的正弦值为42 7.题型三：射影面积法1.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小．【解析】因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，所以ΔPCD在平面PBA上的射影为ΔPAB．设平面PBA与平面PCD所成二面角为θ，所以cosθ=SΔPABSΔPCD=12a212a⋅2a=22，所以θ=45°．故平面PBA与平面PCD所成二面角的大小为45°．2.(2024·新疆和田·高一校考期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．(1)证明：AB⊥平面PAD；(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．【解析】(1)证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB ⊥AD ，∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩底面ABCD =AD ，∴由面面垂直的性质定理得，AB ⊥平面PAD ；(2)(法一)由题意，△PBD 在面PAD 上的射影为△PAD ．设AD =a ，则S △PAD =34a 2，△PBD 中，PD =a ，BD =2a ，PB =2a ，∴S △PBD =12×a ×2a 2-a 24=74a 2，∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的余弦值为37，∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值为23=233．(法二)如图所示：取PD 中点E ，连接AE ,BE .设AD =a ，则BD =PB =2a ，所以AE ⊥PD ,BE ⊥PD ,所以∠AEB 是平面PAD 与平面PDB 所成的二面角的平面角，在Rt △AEB 中，AE =32a ,AB =a ,∠BAE =π2,所以tan ∠AEB =AB AE =a 32a =23=233.3.(2024·高一课时练习)直角三角形ABC 的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成30°和45°角，则这个直角三角形所在的平面与平面α所成的锐二面角的余弦值为．【答案】64【解析】过点C 作CD ⊥平面α，垂足为D ，连接AD ,BD ，∵AD ,BD ,AB ⊂平面α，则CD ⊥AD ,CD ⊥BD ,CD ⊥AB ，设CD =h >0，不妨设AC ，BC 分别与平面α成30°和45°角，则BC =2h ,AC =2h ,AD =3h ,BD =h ，过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，连接ED ，∵CD ⊥AB ，CE ∩CD =C ，CE ,CD ⊂平面CDE ，则AB ⊥平面CDE ，且DE ⊂平面CDE ，∴DE ⊥AB ，即所求二面角的平面角为∠CED ，由△ABC 的面积可得S △ABC =12AB ⋅CE =12AC ⋅BC ，由△ABD 的面积可得S △ABD =12AB ⋅DE =12AD ⋅BD ，∵cos ∠CED =DE CE =S △ABD S △ABC =12AD ⋅BD 12AC ⋅BC =3h ⋅h 2h ⋅2h =64，故所求锐二面角的余弦值为64．故答案为：64.题型四：垂面法1.(2024·高一·云南玉溪·期末)如图，三棱锥P -ABC 的底面△ABC 是等腰直角三角形，其中AB =AC =PA =PB =2，平面PAB ⊥平面ABC ，点E ，N 分别是AB ，BC 的中点．(1)证明：EN ⊥平面PAB ；(2)求二面角C -PB -A 的余弦值．【解析】(1)证明：因为三棱锥P -ABC 的底面是等腰直角三角形，且AB =AC =2，所以AB ⊥AC ，又点E ，N 分别是AB ，BC 的中点，故EN ∥AC ，故EN ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AB ，EN ⊂平面ABC ，故EN ⊥平面PAB ．(2)如图，取PB 的中点为F ，连接AF ，CF ，因为PA =PB =AB =2，所以AF ⊥PB ，AF =3．又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AB ，AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABC ，故AC ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，故AC ⊥PB ，AC ∩AF =A ，AC ,AF ⊂平面ACF ，故PB ⊥平面ACF ，CF ⊂平面ACF ，故PB ⊥CF ，则∠CFA 即为所求的角，于是tan ∠CFA =CA AF =23，cos ∠CFA =217，所以二面角C -PB -A 的余弦值为217．2.(2024·高一·安徽芜湖·期末)如图，在三棱台ABC -DEF 中，∠ACB =90°，BF ⊥AD ，BC =2，BE =EF =FC =1．(1)求证：平面BCFE ⊥平面ABC ；(2)若直线AE 与平面BCFE 所成角为π3，求平面DEC 和平面ABC 所成角的正切值．【解析】(1)取BC 中点为O ，连接FO ,∵BE =EF =FC =1，BC =2，所以BO =OC =FC =1,故∠BFO =∠OBF ,∠CFO =∠COF =∠FCO ,由三角形内角和可得∠BFO +∠CFO =90°,故BF ⊥FC ，又∵BF ⊥AD ,AD ,FC ⊂平面ADFC ,AD ,FC 为相交直线，∴BF ⊥平面ADFC ，AC ⊂平面ADFC ,∴BF ⊥AC又∵∠ACB =90°,即BC ⊥AC ,BF ∩BC =B ,BF ,BC ⊂平面BCFE ,∴AC ⊥平面BCFE ，AC 在平面ABC 内，∴平面BCFE ⊥平面ABC(2)由(1)知直线AE 与平面BCFE 所成角为∠AEC ，∴AC EC=3，由于AE =AF =BC 2-FC 2=3,∴AC =3设平面DEC 和平面ABC 的交线为l ，由于AB ⎳平面DEC ，AB ⊂平面ABC ，所以l ∥AB ，过点E 作EG ⊥BC 于G ，又(1)知平面BCFE ⊥平面ABC ，且两平面的交线为BC ，EG ⊂平面BCFE ,∴EG ⊥平面ABC ，l ∈平面ABC ，所以EG ⊥l ，且EG =EB 2-BC -EF 2 2=32,再过点G 作GK ⊥l 于K ，连接EK ，GK ∩EG =G ,GK ,EG ⊂平面EGK ，所以l ⊥平面EGK ，EK ⊂平面EGK ,故l ⊥EK ，∵∠EKG 即为所求角,BG =12,GC =32,GK =GC ⋅sin ∠BCK =32sin ∠BCK =32sin ∠B =32×313=9213∵tan ∠EKG =EG EK =32×2139=399题型五：补棱法1.(2024·山东淄博·高一统考期末)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为棱BB 1、BC 的中点．(1)证明：直线DN ⎳平面AMD 1；(2)设平面AMD 1与平面ABCD 的交线为l ，求点M 到直线l 的距离及二面角D 1-l -C 的余弦值．【解析】(1)证明：取CC 1的中点E ，连接DE 、NE 、ME ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⎳CC 1且BB 1=CC 1，∵M 、E 分别为BB 1、CC 1的中点，则BM ⎳CE 且BM =CE ，故四边形BCEM 为平行四边形，则ME ⎳BC 且ME =BC ，又因为AD ⎳BC 且AD =BC ，则ME ⎳AD 且ME =AD ，故四边形ADEM 为平行四边形，则DE ⎳AM ，∵DE ⊄平面AMD 1，AM ⊂平面AMD 1，∴DE ⎳平面AMD 1，因为AB ⎳C 1D 1且AB =C 1D 1，故四边形ABC 1D 1为平行四边形，则BC 1⎳AD 1，∵N 、E 分别为BC 、CC 1的中点，则NE ⎳BC 1，则NE ⎳AD 1，∵NE ⊄平面AMD 1，AD 1⊂平面AMD 1，∴NE ⎳平面AMD 1，∵DE ∩NE =E ，DE 、NE ⊂平面DEN ，所以，平面DEN ⎳平面AMD 1，∵DN ⊂平面DEN ，∴DN ⎳平面AMD 1.(2)延长D 1M 、DB 交与点P ，连接AP ，则直线AP 即为直线l ，因为BB 1⎳DD 1且BB 1=DD 1，M 为BB 1的中点，则PM PD 1=PB PD =BM DD 1=12，故点B 为PD 的中点，M 为PD 1的中点，在△ABP 中，AB =2，BP =BD =22，∠ABP =135°，由余弦定理可得AP2=AB2+BP2-2AB⋅BP cos135°=20，则AP=25，cos∠BAP=AB2+AP2-BP22AB⋅AP =255，则sin∠BAP=1-cos2∠BAP=55，过点D在平面ABCD内作DF⊥直线AP，垂足为点F，连接D1F，sin∠DAF=sin90°-∠BAP=cos∠BAP=255，所以，DF=AD sin∠DAF=455，∵DD1⊥平面ABCD，l⊂平面ABCD，∴DD1⊥l，∵DF⊥l，DF∩DD1=D，DF、DD1⊂平面DD1F，∴l⊥平面DD1F，∵D1F⊂平面DD1F，∴D1F⊥l，故二面角D1-l-C的平面角为∠D1FD，且D1F=DD21+DF2=655，故点M到直线l的距离为355，cos∠D1FD=DFD1F =23，因此，二面角D1-l-C的平面角的余弦值为23.2.(2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC.(1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空：⊥，则三棱锥P-ABC为“鳖臑”；(2)如图，已知AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC=90°.(i)证明：平面ADE⊥平面PAC；(ii)设平面ADE与平面ABC交线为l，若PA=23，AC=2，求二面角E-l-C的大小.【解析】(1)因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；即△PAB，△PAC为直角三角形；若BC⊥AB，由AB∩PA=A，AB,PA⊂平面PAB，可得：BC⊥平面PAB；所以BC⊥PB，即△ABC，△PBC为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；同理，可得BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC，都能满足四个面都是直角三角形；故可填：BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC；(2)(i)证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD，又AD⊥PB，PB∩BC=B，PB,BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴PC⊥AD，又AE⊥PC，AE∩AD=A，AD,AE⊂平面ADE，∴PC⊥平面ADE，又PC⊂平面PAC，∴平面ADE⊥平面PAC.(ii)由题意知，在平面PBC中，直线DE与直线BC相交.如图所示，设DE∩BC=F，连结AF，则AF即为l.∵PC⊥平面AED，l⊂平面AED，∴PC⊥l，∵PA⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴PA⊥l，又PA∩PC=P，PA,PC⊂平面PAC，∴l⊥平面PAC，又AE,AC⊂平面PAC，∴AE⊥l，AC⊥l.∴∠EAC即为二面角E-l-C的一个平面角.在△PAC中，PA⊥AC，PA=23，AC=2，∴PC=4，又AE⊥PC，∴AE=AP×ACPC =23×24=3，∴cos∠EAC=AEAC =32，∴∠EAC=30°，∴二面角E-l-C的大小为30°.3.(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设PC =2AB =4，求二面角E -l -C 大小的取值范围.【解析】(1)∵EF ⎳AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ⎳平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以EF ⎳l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以l ⎳平面PAC ；(2)设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连接DE ，FB ，如图：由(1)知，BD ⎳AC ，而AC ⊥BC ，所以BD ⊥BC ，所以PC ⊥平面ABC ，所以PC ⊥BD ，而PC ∩BC =C ，所以BD ⊥平面PBC ，又FB ⊂平面PBC ，所以BD ⊥BF ，所以∠FBC 就是二面角E -l -C 的平面角，因为PC =2AB =4，点F 是PC 的中点，所以FC =12PC =AB =2，故tan ∠FBC =FC BC =AB BC =1cos ∠ABC ，注意到0<∠ABC <π2，所以0<cos ∠ABC <1，所以tan ∠FBC >1，因为0<∠FBC <π2，所以∠FBC ∈π4,π2 ，所以二面角E -l -C 大小的取值范围为π4,π2.【过关测试】1.(2024·高一·广西玉林·阶段练习)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90°,2AB =2BC =CC 1=2，D 是棱CC 1的中点，(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值.【解析】(1)证明：因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，2BC=CC1=2，D是棱CC1的中点，所以BC=CD=C1D=B1C1=1，BB1=2，∠BCD=∠B1C1D=90°，所以BD2=BC2+CD2=2,B1D2=C1D2+B1C21=2，所以BD2+B1D2=4=BB21，所以BD⊥B1D，因为BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，因为BB1∩BC=B，BB1,BC⊂平面BB1C1C，所以AB⊥平面BB1C1C，所以B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D，因为AB∩BD=B，AB,BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD；(2)因为B1D⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以B1D⊥AD，因为BD⊥B1D，平面AB1D∩平面BB1C1C=B1D，所以∠ADB就是平面AB1D与侧面BB1C1C所成的平面角，因为AB⊥平面BB1C1C，BD⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BD，在Rt△ADB中，AB=1,BD=2，则tan∠ADB=ABBD=12=22，所以平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值为2 2 .2.(2024·高一·河南商丘·阶段练习)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F为棱AA1的两个三等分点．(1)求证：CE∥平面BDF；(2)求二面角C1-BD-F的余弦值．【解析】(1)如图，连接AC交BD于点O，连接OF．在△ACE中，O为AC的中点，F为AE的中点，所以OF∥CE，又平面BDF，OF⊂平面BDF，所以CE∥平面BDF．(2)连接C1O，C1F，A1C1．在正方体中，BD⊥AC，AA1⊥BD，AC∩AA1=A，AC,AA1⊂平面A1AC 所以BD⊥平面A1AC，而OF，OC1均在平面A1AC内，所以BD⊥OF，BD⊥OC1，所以∠FOC1是二面角C1-BD-F的平面角．因为正方体的棱长为3，所以AC=32，AO=322，AF=1，由勾股定理得FO=3222+12=222，C1O=322 2+32=362，C1F=(32)2+22=22．在△FOC1中，由余弦定理得cos∠FOC1=FO2+C1O2-C1F22FO⋅C1O=-3333，所以二面角C1-BD-F的余弦值为-33 33．3.(2024·高一·山东淄博·阶段练习)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，点E在棱PD上，且CE⊥PD．(1)证明：平面PBD⊥平面ACE；(2)证明：OE⊥PD(3)求二面角D-AC-E的余弦值【解析】(1)∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，且BD∩PO=O，BD,PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBD，即平面PBD⊥平面ACE；(2)连接OE，则平面ACE∩平面PBD=OE，由(1)知AC ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，则AC ⊥PD ，又∵CE ⊥PD ，CE ∩AC =C ,CE ,AC ⊂平面ACE ，∴PD ⊥平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，∴PD ⊥OE ，即OE ⊥PD ．(3)由于AC ⊥平面PBD ，OE ⊂平面PBD ，则AC ⊥OE ，又AC ⊥OD ，且平面EAC ∩平面DAC =AC ，OE ⊂平面EAC ，OD ⊂平面DAC ，故∠DOE 为二面角D -AC -E 的平面角；在菱形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，则△ABC 是等边三角形，而O 为AC ，BD 的中点，则OD =OB =3，又OP =2，∴PD =22+3 2=7，故OE =OP ⋅OD PD =237=2217，∴cos ∠DOE =OE OD =22173=277，即二面角D -AC -E 的余弦值为277．4.(2024·高一·陕西西安·阶段练习)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，E ，F 分别为A 1B ，A 1C 的中点，D 为B 1C 1上的点，且A 1D ⊥B 1C .(1)求证：平面A 1FD ⊥平面BCC 1B 1；(2)若三棱柱所有棱长都为a ，求二面角A 1-B 1C -C 1的平面角的正切值.【解析】(1)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴BB 1⊥A 1D ，∵A 1D ⊥B 1C ，B 1C ∩BB 1=B 1，B 1C ,BB 1⊂平面BCC 1B 1，∴A 1D ⊥平面BCC 1B 1，又A 1D ⊂平面A 1FD ，∴平面A 1FD ⊥平面BCC 1B 1；(2)因为三棱柱所有棱长都为a，则△A1B1C1为等边三角形，A1D⊥平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以A1D⊥B1C1，所以D为B1C1的中点，过点D作B1C垂线，垂足为H，连接A1H，∵A1D⊥B1C，DH⊥B1C，A1D∩DH=D，A1D,DH⊂平面A1DH，∴B1C⊥平面A1DH，又A1H⊂平面A1DH，所以B1C⊥A1H，则∠A1HD是二面角A1-B1C-C1的平面角，A1D⊥平面BCC1B1，DH⊂平面BCC1B1，所以A1D⊥DH，∴A1D=32a，DH=22B1D=24a，tan∠A1HD=A1DDH=6，故二面角A1-B1C-C1的平面角的正切值为6．5.(2024·高一·广东云浮·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°，E为PC中点．(1)证明：PA⎳平面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值．【解析】(1)设AC与BD交于点O连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点，所以EO∥PA，又因为PA⊄平面BED，EO⊂平面BED，所以PA ⎳平面BED ；(2)过O 作OF ⊥AB 于F ，连接EF ，因为PA ⎳OE ，且PA ⊥平面ABCD所以OE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以OE ⊥AB ，又EO ∩FO =O ，EO ,OF ⊂平面EOF ，所以AB ⊥平面EOF ，又EF ⊂平面EOF ，所以AB ⊥EF ，即∠EFO 为二面角E -AB -C 的平面角，由EO =12PA =22，△ABC 是边长为1的等边三角形，即FO =12sin60°=34，在直角三角形EOF 中，EF =114，即cos ∠EFO =FO EF =3311，sin ∠EFO =1-cos 2∠EFO =22211．所以所求二面角的正弦值为22211．6.(2024·高一·山东枣庄·阶段练习)如图，E 是直角梯形ABCD 底边AB 的中点，AB =2DC =2BC ，将△ADE 沿DE 折起形成四棱锥A -BCDE .(1)求证：DE ⊥平面ABE ；(2)若二面角A -DE -B 为60°，求二面角A -DC -B 的余弦值.【解析】(1)在直角梯形ABCD 中，易知DC ⎳BE ，且DC =BE ，所以四边形BCDE 为平行四边形，又∠EBC =90°，AB =2DC =2BC ，E 是AB 的中点，所以四边形BCDE 是正方形，从而DE ⊥EB ，也即DE ⊥EA ，因此，在四棱锥A -BCDE 中，EB ∩EA =A ，EB ,EA ⊂平面ABE ，所以DE ⊥平面ABE ；(2)由(1)知，∠AEB 即二面角A -DE -B 的平面角，故∠AEB =60°，又AE =EB ，可得△AEB 为等边三角形；设BE 的中点为F ，CD 的中点为G ，连接AF ,FG ,AG ，从而AF ⊥BE ，FG ⎳DE ，于是AF ⊥CD ，FG ⊥CD ，AF ∩FG =F ，AF ,FG ⊂平面AFG ，从而CD ⊥平面AFG ，AG ⊂平面AFG ，因此CD ⊥AG ；所以∠AGF 即所求二面角A -DC -B 的平面角.由(1)中DE ⊥平面ABE ，且FG ⎳DE ，从而FG ⊥平面ABE ，AF ⊂平面ABE 所以FG ⊥AF ，设原直角梯形中，AB =2DC =2BC =2a ，则折叠后四棱锥中AF =32a ，FG =a ，从而AG =AF 2+FG 2=72a 于是在Rt △AFG 中，cos ∠AGF =FG AG=277；即二面角A -DC -B 的余弦值为277.7.(2024·高一·北京怀柔·期末)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2．(1)证明：CD 1⎳平面A 1BD ；(2)证明：BD ⊥平面A 1AC ；(3)求二面角A 1-BD -A 的正弦值．【解析】(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，A 1D 1⎳BC 且A 1D 1=BC ，∴A 1BCD 1为平行四边形，∴A 1B ⎳CD 1，∵CD 1⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ∴CD 1⎳平面A 1BD ；(2)∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AA 1⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴AA 1⊥BD ，∵正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又∵AA 1⊂平面A 1AC ，AC ⊂平面A 1AC ，AA 1∩AC =A ，∴BD ⊥平面A 1AC ；(3)∵在正方形ABCD 中，设AC ∩BD =O ，连接A 1O ，∴AC ⊥BD ，AO ⊥BD ，∵△A 1BD 中，A 1B =A 1D =22，△A 1BD 为等腰三角形，∴A 1O ⊥BD ，∴∠A 1OA 即为二面角A 1-BD -A 的平面角，∵在Rt △A 1AO 中，AA 1=2,AO =2,∴A 1O =6，∴sin ∠A 1OA =A 1A A 1O=63，即二面角A 1-BD -A 的正弦值为63.8.(2024·高一·广西·期末)如图，四棱锥P -ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =∠BCD =π2，AB =BC =2，PA =BD =4，过点C 作直线AB 的平行线交AD 于F ，G 为线段PD 上一点．(1)求证：平面PAD ⊥平面CFG ；(2)求平面PBC 与平面PDC 所成二面角的余弦值．【解析】(1)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，因为∠BAD =π2，所以AB ⊥AD ，因为PA ∩AD =A ，PA 、AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为CF ⎳AB ，所以CF ⊥平面PAD ，因为CF ⊂平面CFG ，所以平面CFG ⊥平面PAD ；(2)连结AC ，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，连接DE ，如图，PA ⊥平面ABCD ，AD 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AD ，PA ⊥AC ，因为∠BAD =∠BCD =π2，AB =BC =2，PA =BD =4，由勾股定理得：AD=BD2-AB2=23，则∠ADB=30°，同理可得CD=23，∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，AC=CD=23，同理可得：PB=PA2+AB2=25，PC=PA2+AC2=27，PD=PA2+AD2=27，在△BCP中，由余弦定理得：cos∠BCP=BC2+CP2-PB22BC⋅CP=4+28-2087=327，则CE=BC cos∠BCP=627，BE=BC2-CE2=197，在△CDP中，由余弦定理得：cos∠PCD=PC2+CD2-DP22PC⋅CD=12+28-2823×47=327，在△CDE中，DE2=CE2+CD2-2CE⋅CD cos∠PCD=3628+12-2×627×23×327=757，因为CE2+DE2=12=CD2，所以DE⊥PC，所以∠BED是平面PBC与平面PDC所成二面角的平面角，由余弦定理得：cos∠BED=BE2+DE2-BD22BE⋅DE=197+757-162×197×757=-35795．9.(2024·高一·辽宁葫芦岛·期末)如图，在多面体ABCDEF中，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3．(1)在线段FC上确定一点H，使得平面BDH⎳平面AEF；(2)设G是线段EC的中点，在(1)的条件下，求二面角A-HG-B的大小．【解析】(1)H为线段FC的中点．证明如下：在菱形ABCD中，连接AC与BD交于点O，于是O为AC中点，在△AFC中，OH为中位线，所以OH⎳AF，因为OH⊂平面BDH，AF⊄平面BDH，所以AF⎳平面BDH，又因为四边形BDEF是矩形，BD⎳EF，因为BD ⊂平面BDH ，EF ⊄平面BDH ，所以EF ⎳平面BDH ，又AF ，EF ⊂平面AEF ，且AF ∩EF =E ，所以平面AEF ⎳平面BDH ．(2)分别取EF ，HG ，OC 中点M ，N ，P ，连接MO ，MA ，MC ，NP ，NO ，NA ，于是，N 为线段MC 中点，易知，在矩形BDEF 中MO ⊥BD ，菱形ABCD 中AC ⊥BD ，且MO ∩AC =O ，MO ，AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥平面AMC ．又GH 为△CEF 的中位线，故GH ⎳EF ，且BD ⎳EF ，所以GH ⎳BD ．所以GH ⊥平面AMC ．又AN ，ON ⊂平面AMC ，所以GH ⊥AN ，GH ⊥ON ．所以∠ANO 为二面角A -HG -B 的平面角．由已知，平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD =BD ，MO ⊂平面BDEF ，且MO ⊥BD ，可得MO ⊥ABCD ．又NP 为△CMO 的中位线，所以NP ⎳MO ，且NP =12MO =32，所以NP ⊥平面ABCD ，进而NP ⊥AP ．在菱形ABCD 中，AO =3，PO =32，AP =AO +PO =332．在直角△NPA 中，tan ∠NAP =NP AP=33，所以∠NAP =π6．在直角△NPO 中，tan ∠NOP =NP OP=3，所以∠NOP =π3，所以，∠ANO =∠NOP -∠NAP =π6．即二面角A -HG -B 的大小为π6．10.(2024·高一·贵州毕节·期末)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，且AB =3,AD =2，侧面PAD 是等腰三角形，且PA =PD =2，侧面PAD ⊥底面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面PCD ；(2)求侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的正弦值.【解析】(1)证明：在△APD 中，AD =2,PA =PD =2∴AD 2=AP 2+DP 2∴AP ⊥DP又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ,AD ⊥CD ,CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面APD ，又AP ⊂平面APD ，∴CD ⊥AP ，又CD ∩DP =D ，CD ,DP ⊂平面PCD ，∴AP ⊥平面PCD .(2)取AD 的中点为M ，连接PM ，∵PA =PD ，所以PM ⊥AD又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ，PM ⊂面PAD ，∴PM ⊥平面ABCD又BC ⊂平面ABCD ，∴PM ⊥BC ，过点M 作MG ⊥BC ，垂足为G ，连接PG ，又PM ∩MG =M ，PM ,MG ⊂平面PMG ，∴BC ⊥平面PMG ，又MG ⊂平面PMG ，PG ⊂平面PMG ，∴BC ⊥MG ,BC ⊥PG ，∴∠PGM 为侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的平面角，在直角△PMG 中，PM =12AD =1,MG =3，∴PG =10，∴sin ∠PGM =PM PG =110=1010，即侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的正弦值为1010.11.(2024·高一·内蒙古包头·期末)如图，已知AB 是圆的直径，且AB =4,PA 垂直圆所在的平面，且PA =3,M 是弧AB 的中点．(1)求点A 到平面PBM 的距离；(2)求二面角A -BM -P 的正弦值．【解析】(1)设点A 到平面PBM 的距离为d ，由题意知BM ⊥AM ，因为PA ⊥平面MAB ，BM ⊂平面MAB ，所以BM ⊥PA ，又AM ∩PA =A ,AM ,PA ⊂平面PAM ，则BM ⊥平面PAM ，又PM ⊂平面PAM ，所以BM ⊥PM ，由V A -PBM =V P -ABM ，得13S △PBM ⋅d =13S △ABM ⋅PA ，12PM ⋅BM ⋅d =12AM ⋅BM ⋅3，即17d =62，故d =63417，所以点A 到平面PBM 的距离为63417；(2)由(1)得BM ⊥AM ，BM ⊥PM ，所以∠PMA 即为二面角A -BM -P 的平面角，因为AB =4，M 是弧AB 的中点，所以MA =MB =22，因为PA ⊥平面MAB ，AM ⊂平面MAB ，所以AM ⊥PA ，则PM =9+8=17，则sin ∠PMA =PA PM =317=31717，所以二面角A -BM -P 的正弦值为31717．12.(2024·高一·辽宁·期末)如图1，在等腰直角△ABC 中，∠C =π2，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，F 为线段CD 上一点(不含端点)，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，连接A 1C ，A 1B ，得到四棱锥A 1-BCDE ，如图2所示，且A 1F ⊥CD ．(1)证明：A 1F ⊥平面BCDE ；(2)若直线A 1E 与平面BCDE 所成角的正切值为155，求二面角A 1-BD -C 的平面角的正切值．【解析】(1)证明：因为∠C =π2，且DE ∥BC ，所以DE ⊥AD ，所以DE ⊥A 1D ,DE ⊥DC ，又因为A 1D ∩CD =D ，且A 1D ,CD ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥平面A 1DC ，因为A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F ，又因为A 1F ⊥CD ，CD ∩DE =D 且CD ,DE ⊂平面BCDE ，所以A 1F ⊥平面BCDE ．(2)如图所示，连接EF ，因为D ,E 分别是AC 与AB 的中点，可得A 1D =CD =DE ，又因为A 1F ⊥平面BCDE ，所以直线A 1E 与平面BCDE 所成的角为∠A 1EF ，由直线A 1E 与平面BCDE 所成角的正切值为155，即tan ∠A 1EF =155，设DF=x，则A1F=A1D2-DF2=A1D2-x2，EF=DE2+DF2=A1D2+x2，所以tan∠A1EF=A1FEF=A1D2-x2A1D2+x2=155，解得A1D=2x，即F为CD的中点，过F作FO⊥BD，垂足为O，因为A1F⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，所以A1F⊥BD，又因为A1F∩OF=F，且A1F,OF⊂平面A1OF，所以BD⊥平面A1OF，因为A1O⊂平面A1OF，所以A1O⊥BD，所以二面角A1-BD-C的平面角为∠A1OF，由BC=4x，CD=2x，则BD=BC2+CD2=25x，所以OF=12⋅CD⋅BCBD=255x，因为A1F=A1D2-x2=3x，所以tan∠A1OF=A1FOF=152．13.(2024·高一·安徽宣城·期末)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为2的等边三角形．(1)若AB=22，求直线AB和CD所成角的余弦值；(2)若点E在棱AD上，AE=13AD且三棱锥A-BCD的体积为4，求二面角E-BC-D平面角大小的正弦值．【解析】(1)分别取BC、AC的中点M、N，连接OM，ON，MN，因为О为BD中点，所以MO∥CD，MN∥AB且MO=12CD,MN=12AB，所以异面直线AB和CD所成角(或为邻补角)即为∠OMN，因为AB=AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，因为△OCD是边长为2的等边三角形，所以BO=DO=2，MN=12AB=2，MO=12CD=1，又因为平面ABD⊥平面BCD，AO⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面BCD，因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，由OC=OD，得△AOC≌△AOD，得AC=AD=AB=22．在直角三角形△AOC中，则ON=12AC=2，在△MON中，根据余弦定理得，cos∠OMN=MN2+MO2-ON22MN⋅MO =(2)2+1-(2)22×2×1=24或cos∠OMN=122=24所以直线AB和CD所成角的余弦值为2 4．(2)过点E作EN∥AO交BD于N．过点N作NM∥CD交BC于点M，连接ME，因为EN∥AO且AO⊥BD，所以EN⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，EN⊂平面ABD，所以EN⊥平面BCD，因为BC⊂平面BCD，所以EN⊥BC，在△BCD中，因为OB=OD=OC，所以BC⊥CD，因为NM∥CD，所以MN⊥BC，因为MN∩EN=N，MN,EN⊂平面MNE，所以BC⊥平面MNE，因为ME⊂平面MNE，所以BC⊥ME，所以∠EMN为所求的二面角E-BC-D的平面角，因为S△BCD=12BD⋅CD⋅sin∠BDC=12×4×2×32=23，因为V A-BCD=13S△BCD⋅OA=13×23⋅OA=4，所以OA=23，又因为AE=13AD，EN∥AO，所以ENAO=DEDA=23，得EN=23OA=433，因为NM ∥CD ，所以MN CD=BN DB =46=23，因为CD =2，所以MN =43．又EN =433，所以3MN =EN ．所以tan ∠EMN =EN MN =3，所以sin ∠EMN cos ∠EMN =3，得sin ∠EMN3=cos ∠EMN ，因为sin 2∠EMN +cos 2∠EMN =1，sin ∠EMN >0，所以解得sin ∠EMN =32．所以二面角E -BC -D 平面角大小的正弦值为32.14.(2024·高一·福建福州·期末)如图，四棱锥P -ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为正方形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点.(1)求证：DM ⊥PC ；(2)在线段PB 上是否存在一点Q 使得MQ ⎳平面PNC ，存在指出位置，不存在请说明理由.(3)求二面角B -PC -N 的正弦值．【解析】(1)∵△PAD 为正三角形，N 为AD 中点，∴PN ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PN ⊂平面PAD ，∴PN ⊥平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN ⊥DM ，在正方形ABCD 中，易知△DAM ≌△CDN ，∴∠ADM =∠DCN ，而∠ADM +∠MDC =90°，∴∠DCN +∠MDC =90°，∴DM ⊥CN ，∵PN ∩CN =N ，PN ,CN ⊂平面PNC ，∴DM ⊥平面PNC ，∵PC ⊂平面PNC ，∴DM ⊥PC ．(2)存在，当BQ =14BP时MQ ⎳平面PNC ，取BE 的四等分点E (靠近B )，取BP 的四等分点Q (靠近B )，连接ME 、EQ 、MQ ，则QE ⎳PC ，QE ⊄平面PNC ，PC ⊂平面PNC ，所以QE ⎳平面PNC ，由BM DC=BE DN =12，所以△MBE ∽△CDN ，所以∠EMB =∠DCN ，又∠EMB +∠MEB =90°，∠DCN +∠NCB =90°，所以∠NCB =∠MEB ，所以ME ⎳NC ，ME ⊄平面PNC ，NC ⊂平面PNC ，所以ME ⎳平面PNC ，又ME ∩QE =E ，ME ,QE ⊂平面MEQ ，所以平面MEQ ⎳平面PNC ，MQ ⊂平面MEQ ，所以MQ ⎳平面PNC ，即当BQ =14BP时MQ ⎳平面PNC .(3)取DC 的中点F ，连接BF 交NC 于点G ，过点G 作GH ⊥PC 交PC 于点H ，连接BH ，则DF ⎳BM 且DF =BM ，所以四边形DFBM 为平行四边形，所以BF ⎳DM ，又DM ⊥平面PNC ，所以BF ⊥平面PNC ，PC ⊂平面PNC ，所以BF ⊥PC ，又GH ∩BF =G ，GH ,BF ⊂平面GHB ，所以PC ⊥平面GHB ，BH ⊂平面GHB ，所以PC ⊥BH ，所以∠BHG 为二面角B -PC -N 的平面角，因为△BCF ∽△CGF ，所以BC CG =CF FG =BF CF，又CG =BC ⋅CF BF =255，所以FG =55，BG =455，又△CGH ∽△CPN ，所以CG CP =GHPN ，又CN =22+12=5，PN =22-12=3，PC =5 2+3 2=22，即25522=GH 3，所以GH =3010，所以BH =30102+4552=142，所以sin ∠BHG =BG BH =455142=47035，故二面角B -PC -N 的正弦值为47035.。
高二数学二面角专项练习题及参考答案(精品)
高二数学二面角专项练习题及参考答案班级_____________姓名_____________一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。
三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角 例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，求B-PC-D 的大小。
四、投影面积法:一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/SS .例4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
五、补形法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下： [基础练习]1． 二面角是指 （ ） A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )A 5B 20C 210 D225 4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=26， 则弧度数为3的二面角是（ ） A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ，则有（ ） A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθC S △ABC =S △A1B1C1·sinθD S △ABC =S △A1B1C1·cosθ7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥l ，B 为垂足，A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M 所成角为β，二面角M-l-N 的 大小为γ，则有 （ ）A.sinα=sinβsinγB.sinβ=sinαsinγC.sinγ=sinαsinβ D 以上都不对AB C DAB M NP l C1A1B1D8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。
二面角习题含详细答案
又AP⊥PC，PB∩PC=P， ∴AP⊥平面PBC①.…………………………………………2分 又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC. 又AC⊥BC，AP∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC①.
又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.…………………4分
(2)∵PA⊥PC,且PA⊥PB，
∴∠BPC是二面角D-AP-C的平面角②. 由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC， ∴sin∠BPC= BC 2 . ……………………………………8分
通过分析条件，鉴别已知角是否为二面角的 平面角，否则就需利用垂直关系作辅助线得 到其平面角. 证明且点明某平面角是所求二面角的平面角. 把角放在三角形内求值，要注意的是二面角 的范围.
作图
定性
求解
【典例训练】
1.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，
则二面角B-PA-C的大小为( )
证明
求值
【想一想】找二面角的平面角的方法有哪些？
提示：(1)垂面法：由二面角的平面角的定义，只需作与棱垂 直的平面，则该平面与两半平面所成交线构成的角就是二面角 的平面角. (2)平移法：先分别在两半平面内找一条垂直于棱的射线，然 后平移到一起找到二面角的平面角.
【规范解答】线面垂直的综合应用
【典例】(12分)如图所示，已知三
(A)90°
(B)60°
(C)45°
(D)30°
2.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分 SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角
E-BD-C的大小.
【解析】1.选A.∵PA⊥平面ABC,BA，CA⊂平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.
二面角问题求解方法大全
五法求二面角一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AMB --的大小。
练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P ADE —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
(1)证明：直线EE 1//平面FCC 1； (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。
练习2如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A BD A A 1 B DCC 1 B 1解二里角问题之阳早格格创做（一）觅找有棱二里角的仄里角的要领战供解.（1）定义法：利用二里角的仄里角的定义，正在二里角的棱上与一面，过该面正在二个半仄里内做笔曲于棱的射线，二射线所成的角便是二里角的仄里角，那是一种最基原的要领.要注意用二里角的仄里角定义的三个“主要特性”去找出仄里角，天然那种找出的角要有好处办理问题.底下举几个例子去道明.例1：如图，坐体图形V －ABC 的四个里是齐等的正三角形，绘出二里角V －AB －C 的仄里角并供出它的度数.例2：正在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，供二里角A-PB-C 的余弦值. 那样的典型是很多的，如下列几讲便是利用定义法找出去的：1、正在正圆体ABCD －A1B1C1D1中，找出二里角B －AC －B1的仄里角并供出它的度数. 2、．边少为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对付角线BD 将其合成才600的二里角，则A 、C 之间的距离为.（菱形二条对付角线互相笔曲，对付合后的一条对付角线成二条线段仍皆笔曲于另一条对付角线，则所成的角是二里角的仄里角）3、正三棱柱ABC —A1B1C1的底里边少是4，过BC 的一个仄里与AA1接于D ，若AD=3，供二里角D―BC―A 的正切值.总之，能用定义法去找二里角的仄里角的，普遍是图形的本量较佳，不妨较快天找到谦脚二里角的仄里角的三个主要特性.而且不妨很快天力用图形的一些条件去供出所央供的.正在罕睹的几许体有正四周体，正三棱柱，正圆体，以及一些仄里图形，正三角形，等腰三角形，正圆形，菱形等等，那些有较佳的一些本量，不妨通过它们的本量去找到二里角的仄里角.至于供角，常常是把那角搁正在一个三角形中去供解.由图形及题手段已知条件去供那个三角形的边少大概者角，再用解三角形的知识去供解.（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其顺定理去道明线线笔曲，去找到二里角的仄里角的要领.那种要领闭键是找笔曲于二里角的里的垂线.此要领是属于较时常使用的.例3：如图，正在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥仄里ABC ，PA=AB ，AC=BC=1，∠ACB=900，M 是PB 的中面.(1)供证：BC ⊥PC ，(2)仄里MAC 与仄里ABC 所成的二里角的正切. 例4：如图，已知△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为仄里ABC 中的一面，SA ⊥仄里ABC ，AM ⊥SB 于M ，AN ⊥SC 于N,(1)供证仄里SAB ⊥仄里SBC (2)供证∠ANM是二里角A －SC －B 的仄里角.原题可变形为：如图，已知△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为仄里ABC 中的一面，SA ⊥仄里ABC ，∠ACB ＝600，SA ＝AC ＝a ，(1)供证仄里SAB ⊥仄里SBC (2)供二里角A －SC －BC 的正弦值.正在使用三垂线找仄里角时，找垂线注意应用已知的条件战有闭笔曲的判决战本量定理，按三垂线的条件，一垂线笔曲二里角的一个里，另有笔曲于棱的一条垂线.且二垂线相接，接面正在二里角的里内.（3）垂里法：做一与棱笔曲的仄里，该垂里与二二里角二半仄里相接，得到接线，接线所成的角为二里角的仄里角.那闭键正在找C B M A P N K A B CM N SA l D C α β A lBC α β E BD 与二里角的棱笔曲且与二二里角二半仄里皆有接线的仄里. 例5：如图正在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底里ABC ，AB ⊥BC ，DE 笔曲仄分SC 且分别接AC 、SC 于D 、E ，又SA ＝AB ，SB ＝BC ，供二里角E －BD －C 的度数.如图，βα⊂⊂BD AC ,，α与β所成的角为600，l AC ⊥于C ，l BD ⊥于B ，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝2，供A 、B 二面间的距离. （二）觅找无棱二里角的仄里角的要领战供解. 无棱的二里角普遍是只已知一个共面，但是二个里的接线没有知讲.若要找出二里角的仄里角，则需要根据公理2大概公理4去找出二里角的棱，化为有棱二里角问题，再按有棱二里角的解法解题.那种主要有二类：一类是分别正在二个里内有二条曲线没有是同里又没有是仄止的二里角（二条正在共一仄里内且没有服止）.那么延少那二条线有一接面，根据公理2，那面正在二里角的棱上，连大众面战那面便是二里角的棱；另一类是分别正在二个里内有二条曲线是仄止的二里角.那由曲线战仄里仄止的判决战本量定理知那曲线战里仄止，所以曲线仄止于二里角的二个里的接线.由公理4，可知那二条曲线仄止于二里角的棱.所以过大众面做一条曲线仄止于那二曲线，那么所做的曲线是二里角的棱. 例6：如图，△ABC 正在仄里上的射影为正△AB1C1，若BB1=21，CC1=AB1=1，供仄里ABC 与仄里AB1C1所成钝角二里角的大小.变式：1. 如图,正在底里是曲角梯形的坐体图S－ABCD 中，∠ABC ＝900，SA ⊥底里ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝0.5，供里SCD 与里 A B C S DA BC B 1 C 1 A B CD SSBA 所成二里角的仄里角的正切值.2. 如图，正在所给的空间图形中ABCD 是正圆形，PD ⊥里ABCD ，PD ＝AD.供仄里PAD 战PBC 所成的二里角的大小.3. 如图，斜三棱柱ABC －A1B1C1的棱少皆是a ，侧棱与底里成600角，正里BCC1B1⊥里ABC ，供仄里AB1C1与底里ABC 所成的二里角的大小.解闭于二里角问题 二里角是坐体几许中最要害的章节.二里角中的真量概括了线里笔曲，三垂线定理及其顺定理战同里曲线所成角等较多的知识面，是下考的热面战易面.正在归纳时，若不妨带领教死举止对付解二里角的问题举止商量战归纳，对付普及教死的数教思维要领是有助闲的，对付普及教死机动使用所教的也有很要害的效率.为此尔对付那圆里举止归纳，以供教教战教习参照.（一）对付原真量举止思索时，必须弄浑二个观念：（1）什么是二里角，怎么样表示？而二里角的大小是不妨用它的仄里角去度量，二里角的仄里角是几度，便道那个二里角是几度.（2）什么是二里角的仄里角，怎么样表示？那一观念特天要害，要不妨很快天反应出二里角的仄里角是以二里角的棱上任性一面为端面，正在二个里内分别做笔曲于棱的二条射线，那二条射线所成的角.，C A B DPA C D BA 1E C 1B二里角的仄里角的定义三个主要特性是：过棱上任性一面；分别正在二个里内做射线；射线笔曲于棱.明黑那一面对付于不妨做出大概找出二里角的仄里是很闭键.正在脑子里要能设念出二里角仄里角的图形.如图，0∈a，OA⊂α，OB⊂β,OA⊥a，OB⊥a.（二）觅找有棱二里角的仄里角的要领战供解.觅找战供做二里角的仄里角是解二里角问题的闭键，那也是个易面.正在从图形中做出二里角的仄里角时，要分离已知条件去对付图形中的线线、线里战里里的位子闭系先举止分解，决定有哪些是仄止、笔曲的大概者是特殊的仄里图形，而后使用那些的有闭本量战二里角的仄里角的定义举止找出二里角的仄里角.所以解闭于二里角问题需要有很佳的对付线线、线里战里里的位子闭系的分解推断本领.而正在供做二里角的仄里角的要领主要有三种：定义法、三垂线法、垂里法.至于正在供解有闭仄里角的问题时，那仄里角常常是正在三角形中，所以常要用到解曲角三角形战斜三角形的知识，那包罗正弦战余弦定理的知识，也会用到其余的仄里几许知识.（1）定义法：利用二里角的仄里角的定义，正在二里角的棱上与一面，过该面正在二个半仄里内做笔曲于棱的射线，二射线所成的角便是二里角的仄里角，那是一种最基原的要领.要注意用二里角的仄里角定义的三个“主要特性”去找出仄里角，天然那种找出的角要有好处办理问题.底下举几个例子去道明.V B A C D 例1：如图，坐体图形V －ABC 的四个里是齐等的正三角形，绘出二里角V －AB －C 的仄里角并供出它的度数.分解：由图可知，所供的二里角的棱是AB ，二个里是里V AB 战里CAB.由已知可知那是一个正四周体，各个里是齐等的正三角形，根据二里角的仄里角的定义，咱们可利用正三角形的本量去找出仄里角，与AB 边上的中面D ，连结VD 战CD.则∠VDC 是所供二里角的仄里角.可设正三角形的边少为a ，用解三解形的知识供出VD ＝CD ＝a 23，正在△VDC 中，利用余弦定理可供得cos ∠VDC=1/3，∴∠VDC ＝arccos1/3评注：正在原题中主假如利用已知条件中的特殊条件战二里角仄里角的定义去找出所央供的仄里角.正在供解时利用的是仄里几许解三角形的知识.那也便是把坐体图形的问题转移为仄里几许的问题的数教思维..例2：正在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，供二里角A-PB-C 的余弦值.分解：所供二里角的棱是PB ，二个里为里PBA 战里PBC.用二里角的仄里角的定义找出仄里角，正在二里角的棱PB 上任与一面Q ，正在半仄里PBA 战半仄里PBC 上做QM ⊥PB ，QN ⊥PB ，则由定义可得∠MQN 即为二里角的仄里角.设PM=a,则正在Rt ∆PQM 战Rt ∆PQN B A A 1 B 1 C C 1 D D 1 A B C N M P QAA1 B D C C 1B 1 中可供得QM=QN=23a ；又由∆PQN ≅∆PQM 得PN=a,故正在正三角形PMN 中MN=a,正在三角形MQN 中由余弦定理得cos ∠MQN=1/3，即二里角的余弦值为1/3.那样的典型是很多的，如下列几讲便是利用定义法找出去的：1、如图，正在正圆体ABCD －A1B1C1D1中，找出二里角B －AC －B1的仄里角并供出它的度数.2、．边少为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对付角线BD 将其合成才600的二里角，则A 、C 之间的距离为.（菱形二条对付角线互相笔曲，对付合后的一条对付角线成二条线段仍皆笔曲于另一条对付角线，则所成的角是二里角的仄里角） 3、正三棱柱ABC —A1B1C1的底里边少是4，过BC 的一个仄里与AA1接于D ，若AD=3，供二里角D―BC―A 的正切值.总之，能用定义法去找二里角的仄里角的，普遍是图形的本量较佳，不妨较快天找到谦脚二里角的仄里角的三个主要特性.而且不妨很快天力用图形的一些条件去供出所央供的.正在罕睹的几许体有正四周体，正三棱柱，正圆体，以及一些仄里图形，正三角形，等腰三角形，正圆形，菱形等等，那些有较佳的一些本量，不妨通过它们的本量去找到二里角的仄里角.至于供角，常常是把那角搁正在一个三角形中去供解.由图形及题手段已知条件去供那个三角形的边少大概者角，再用解三角形的知识去供解.（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其顺定理去道明线线笔曲，去找到二里角的仄里角的要领.那种要领闭键是找笔曲于二里角的里的垂线.此要领是属于较时常使用的. 例3：如图，正在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥仄里ABC ，PA=AB ，AC=BC=1，∠ACB=900，M 是PB 的中面.(1)供证：BC ⊥PC ，(2)仄里MAC 与仄里ABC 所成的二里角的正切. C B M A P NK分解：第1小题较简朴.第2小题，瞅察图形中的线里位子闭系，已知PA ⊥仄里ABC ，M 是PB 的中面，若正在△PAB 中与AB 的中面N ，则很快创造MN ⊥仄里ABC ，做KN ⊥AC ，连MK ，则由三垂线定理可得MK ⊥AC ，所以∠MKN为所供的二里角的仄里角.而供其正切值，正在Rt △MNK 中供出MN 战KN ，而供MN 战KN ，只需正在△PAB 战△ABC 中便可供出，进而供出其正切值为2.评注：原题用定义法较易以真止，但是由图可找到二里角一个里的垂线.进而做棱的垂线，由三垂线定理道明是所要找的仄里角.闭键找到MN 那条垂线.例4：如图，已知△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为仄里ABC 中的一面，SA ⊥仄里ABC ，AM ⊥SB 于M ，AN ⊥SC 于N,(1)供证仄里SAB ⊥仄里SBC (2)供证∠ANM 是二里角A －SC －B 的仄里角.分解：由图战题意可得BC ⊥仄里SAB ，进而可得证仄里SAB ⊥仄里SBC ，而要证二里角A －SC －B 的仄里角是∠ANM ，从已知条件AM ⊥SB 于M,由二个仄里笔曲的本量可得AM ⊥仄里SBC ，又有AN ⊥SC ，所以由三垂线顺定理可得MN ⊥SC ，进而道明黑∠ANM 是二里角A －SC －BC 的仄里角.评注：原题提供了使用怎么样从一系列的笔曲闭系中去逐步找到二里角的一个里的垂线，再由三垂线的定理道明所要找的仄里角.A B C MN S原题要特天注意的是那条垂线没有是正在火仄上的，所以瞅察分解图时要注意多使用有闭定理去推断.原题可变形为：如图，已知△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为仄里ABC 中的一面，SA ⊥仄里ABC ，∠ACB ＝600，SA ＝AC ＝a ，(1)供证仄里SAB ⊥仄里SBC (2)供二里角A －SC －BC 的正弦值.解第2小题的第一步是按例4搞出二里角的仄里角，而后利用各个曲角三角形供出AN 战AM 的少.总之，正在使用三垂线找仄里角时，找垂线注意应用已知的条件战有闭笔曲的判决战本量定理，按三垂线的条件，一垂线笔曲二里角的一个里，另有笔曲于棱的一条垂线.且二垂线相接，接面正在二里角的里内.（3）垂里法：做一与棱笔曲的仄里，该垂里与二二里角二半仄里相接，得到接线，接线所成的角为二里角的仄里角.那闭键正在找与二里角的棱笔曲且与二二里角二半仄里皆有接线的仄里. 例5：如图正在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底里ABC ，AB ⊥BC ，DE 笔曲仄分SC 且分别接AC 、SC 于D 、E ，又SA ＝AB ，SB ＝BC ，供二里角E－BD －C 的度数. 分解：由题意战图，可得SC ⊥仄里BDE ，则SC ⊥DB ，又SA ⊥仄里ABC ，则SA ⊥DB ，进而得BD ⊥仄里SAC.所以BD ⊥DC ，BD ⊥DE ，则∠DEC 是二里角的仄里角.央供它的度数，可正在Rt △SAC 战△DEC 中供，先供出∠SCA 的度数.设SA ＝a ，正在图A B CS DA l D C α β A lBC α β E BD 的曲角三角形中供出SB ＝BC ＝2a ，AC ＝3a ，故得到∠SCA ＝300，进而得到∠DEB ＝600. 评注：原题的笔曲闭系很多，怎么样利用佳那些闭系？那需解题的目标要精确才搞使用佳那些闭系.从那些笔曲闭系很简单便判决BD ⊥仄里SAC ，而BD 是二里角的的棱，所以仄里SAC 是二里角的垂里，由二里角的仄里角的定义便找到了∠EDC 是所供二里角的仄里角.它的应用比圆：如图，βα⊂⊂BD AC ,，α与β所成的角为600，l AC ⊥于C ，l BD ⊥于B ，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝2，供A 、B 二面间的距离. 由题意要应用二里角的度数，要找出它的仄里角，可过C 做CE ∥DB ，且CE ＝DB ，连AE ，则很简单得到l ⊥里ACE ，∠ACE 是二里角的仄里角，为了供AB ，连BE ，正在△ACE 中由余弦定理供出AE ，正在Rt △AEB 中可供出AB 的少.总之要会使用此法，对付线线、线里、里里的笔曲闭系要有很佳的推断本领，才搞找到解的思路.（三）觅找无棱二里角的仄里角的要领战供解.无棱的二里角普遍是只已知一个共面，但是二个里的接线没有知讲.若要找出二里角的仄里角，则需要根据公理2大概公理4去找出二里角的棱，化为有棱二里角问题，再按有棱二里角的解法解题.那种主要有二类：一类是分别正在二个里内有二条曲线没有是同里又没有是仄止的二里角（二条正在共一仄里内且没有服止）.那么延少那二条线有一接面，根据公理2，那面正在二里角的棱上，连大众面战那面便是二里角的棱；另一类是分别正在二个里内有二条曲线是仄止的二里角.那由曲线战仄里仄止的判决战本量定理知那曲线战里仄止，所以曲线仄止于二里角的二个里的接线.由公理4，可知那二条曲线仄止于二里角的棱.所以过大众面做一条曲线仄止于那二曲线，那么所做的曲线是二里角的棱. 例5：如图，△ABC 正在仄里上的射影为正△AB1C1，若BB1=21，CC1=AB1=1， A BC B 1 C 1供仄里ABC 与仄里AB1C1所成钝角二里角的大小.分解：所供的二里角只各一个大众面A ，瞅察图可知二里角的二个里内BC 战B1C1共里但是没有服止，所以若延少它们必接于一面D ，由公理2知，面D 正在二里角的棱上.所以连AD 便找到棱.接着是找出二里角的仄里角.由图形的本量知，C1D=2B1C1=2，A1C1＝1，∠AC1B ＝600，用正弦定理大概余弦定理皆可供出∠C1AD ＝900，再由三垂线定理得∠CAC1为二里角的仄里角，而后正在Rt △CAC1中可供得∠CAC1＝450. 评注：原题是属于第一类的问题.延少二条曲线接于一面进而得到棱，再用三垂线法找二里角的仄里角.此题可形成： 如图,正在底里是曲角梯形的坐体图S －ABCD 中，∠ABC ＝900，SA ⊥底里ABCD ，SA＝AB ＝BC ＝1，AD ＝0.5，供里SCD 与里SBA所成二里角的仄里角的正切值.由图可知二里角有一个大众面S ，但是正在二里中的AB 战CD 共里且没有服止，所以延少接于面E.再由题意道明BC ⊥仄里SAB ，SB ⊥SE ，由三垂线定理可知∠BSC 是所供的二里角.正在Rt △SBC 中可供得正切值为22.例6：如图，正在所给的空间图形中ABCD 是正圆形，PD ⊥里ABCD ，PD ＝AD.供仄里PAD 战PBC 所成的二里角的大小.分解：由图知二里角有一个大众面P ，正在二里内的AD 战BC 是共里且仄止，所以AD ∥仄里PBC ，由曲线战仄里仄止的本量知，过AD 的仄里PAD 与仄里仄里PBC 的接线（即为二里角的棱）与AD 仄止，所以过P 做PE ∥AD ，则PE 为二里DA B C B 1 C 1 A B C D E S C A B D E P角的棱.由题意PD ⊥里ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥PE ，又可证得CD ⊥仄里PAD ，由三垂线定理可得∠CPD 为所供二里角的仄里角.正在Rt △CPD 中可供得∠CPD ＝450.评注：原题是属于第二类的问题.二里角有一个共面，正在分别二里内的二条曲线仄止，则仄止于棱.找出二里角的棱后，再用三垂线法找二里角的仄里角. 例7：如图，斜三棱柱ABC －A1B1C1的棱少皆是a ，侧棱与底里成600角，正里BCC1B1⊥里ABC ，供仄里AB1C1与底里ABC 所成的二里角的大小.分解：此题A 是二里角的一个大众面.又正在二里的BC 战B1C1仄止，故过面A 做AE ∥BC ，则AE 为二里角的棱.怎么样找仄里角是原题的易面.果为各棱少皆相等，所以正里是菱形，底里是正三角形.又正里BCC1B1⊥里ABC ，过C1做C1D ⊥BC ，由二仄里笔曲的本量得C1D ⊥里ABC ，侧棱与底里成600角，所以∠C1CD ＝600，由此可得D 为BC 的中面.连AD 得AD ⊥BC ，进而AD ⊥AE ，由三垂线定理得∠C1AD 为二里角的仄里角，正在Rt △C1AD 中可供得∠C1AD ＝450.评注：原题除了要找棱中，用三垂线法找仄里角时，闭键正在能分解已知条件的效率，去找垂线，战利用曲线战仄里所成的角去推算出面D 为BC 的中面，进而可用三垂线法找出仄里角. 总之，无棱的二里角按二类的要领找出棱，转移为有棱的二A C D B A 1E C 1里角问题去解.从上头几个例题的分解战介绍的要领中，不妨瞅出，二里角问题不妨概括较多知识面，不妨概括有闭的仄止、笔曲的闭系.用到的定理险些是咱们所教坐几的知识.所以要有较扎真的前提知识才搞够对付付得了那类问题.正在估计圆里要用到解三角形的知识，要会正在图中有闭的三角形中供出所需的边大概角，而后常常归纳正在一个三角形中去供出末尾的截止.总的，解那类题，找仄里角是闭键的一步，要注意使用题中的条件分解图形，而后用有闭的要领找出仄里角，估计时要分解所央供的量是可由图中的哪些仄里图形去逐步去供出.。
二面角习题及答案
二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
AB解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2 过 N 作 NR ⊥BD于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中， ∴ 58BD BC CD CE =⋅=∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25arctanMRN =∠ 4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
【高考数学二轮复习-经典微专题】第55讲 结构分析须到位,多法破解二面角-解析版
第55讲 结构分析须到位，多法破解两面角知识与方法二面角的求法,对空间图形的结构分析必须到位,通常通过平面角求解,但如何得到平面角,技巧性很强,可以有多种破解之法.（1）定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面中作棱的垂线,得出平面角,在相应的平面图形中计算求出.（2）三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线,用三垂线定理或其逆定理作出平面角,在直角三角形中计算求出.（3）垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,二面角的平面角所在的平面与棱垂直.(4)射影法:利用面积射影公式cos S S θ=射影截面求解,其中θ为平面角的大小.（5）向量法:建立适当的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量.然后代人向量夹角公式求出两法向量的夹角θ,则两个平面的二面角的平面角为()πθ-或θ.对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法.典型例题【例1】如图所示,在三棱锥A BCD -中,90,ABC BCD CDA ∠=∠=∠=︒AC =6BC CD ==.设点A 在底面BCD 上的射影为E .(1)求二面角A BD C --的余弦值.（2）设点G 在棱AC 上,且2CG GA =,试求二面角C EG D --的平面角的余弦值.【解析】(1)由已知可得AB BD AD ===.如图,设O 为BD 的中点,则,AO BD CO BD ⊥⊥.故BD ⊥平面AOC .∴AOC ∠即为二面角A BD C --的平面角,且平面BCD ⊥平面AOC .∴顶点A 在底面BCD 上的射影E 必在OC 上,故CE BD ⊥.由已知得OC AO AC ===则cos AOC ∠=. ∴二面角A BD C --的余弦值为3-（2）【解法1】(定义法）由(1)的解答过程知OD ⊥平面AEC 过点O 作OF EG ⊥,垂足为F ,连接DF .见图.由三垂线定理易证DF EG ⊥.故OFD ∠即为二面角C EG D --的平面角.由已知可得6AE =,则2AE AG AC =⋅.故EG AC ⊥,则2CGOF ==又OD =,则DF =故cos OFD ∠=, ∴二面角C EG D --. 【解法2】(向量坐标法)由（1)的解答过程知BCDE 为正方形,如图所示建立空间直角坐标系.则(0,0,0),E (0,6,0),D (0,0,6),A (6,0,0),B (6,6,0)C ,可得(2,2,4)G .则(0,6,0),ED =(2,2,4)EG =易知平面CEG 的一个法向量为(6,6,0)BD =-,设平面DEG 的一个法向量为(,,1)x y =n ,由0,n ED n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(2,0,1)=-n∴cos,,||||BD BD BD ⋅〈〉==n nn即二面角C EG D --的平面角的余弦值为5.【例2】如图所示,在几何体ABCDE 中,四边形ABCD 是矩形,,AB BEC ⊥平面,BE EC ⊥2,AB BE EC ===,G F 分别是线段,BE DC 的中点.（1）证明:GF//平面ADE .(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.【解析】 (1)【解法1】（立体几何证法一)如图所示,取AE 的中点H ,连接,HG HD ,又G 是BE 的中点,∴//GH AB 且12GH AB =. 又F 是CD 的中点,∴12DF CD =. 由四边形ABCD 是矩形得//,AB CD AB CD =.∴//GH DF 且GH DF =. 从而四边形HGFD 是平行四边形,∴//.GF HD ,HD ADE ⊂平面,GF ADE ⊂/平面//GF ADE 平面.【解法2】（立体几何证法二）如图所示，取AB 的中点M ,连接,MG MF ,又G 是BE 的中点,可知//GM AE ,又,AE ADE ⊂平面,GM ADE ⊂/平面//.GM ADE ∴平面在矩形ABCD 中,由,M F 分别是,AB CD 的中点得//MF AD ,又,AD ADE ⊂平面,MF ADE ⊂/平面//MF ADE ∴平面.又,GM MF M ⋂=,GM GMF ⊂平面,MF GMF ⊂平面∴//,GMF ADE 平面平面GF GMF ⊂平面， ∴//.GF ADE 平面【解法3】(向量坐标法)如图所示,以B 为原点建立空间直角坐标系,则(0,0,2),A (0,0,0),B (2,0,0),E (2,2,1),F (2,2,2),D (1,0,0)G ,经计算可求得平面ADE 的一个法向量为(1,1,1)=-n ,又(1,2,1),GF =0n GF ∴⋅=,则//.GF ADE 平面（2）【解法1】(立体几何通解一:二面角转化为平面角)如图所示,延长,AF BC 交于点H ,连接EH ,则EH 是所求二面角的棱,AB ⊥平面BEC .//AB FC ,则FC BEC ⊥平面，作CI EH ⊥,垂足为I ,连接FI ,则FI EH ⊥.在CEH ∆中,由已知得2,CE =CH =135ECH ∠=︒,由余弦定理知2222cos EH CE CH CE CH ECH =+-⋅∠,得EH =11sin22CEH S CE CH ECH EH CI ∆=⋅∠=⋅,得CI =∵F 是线段DC 的中点,∴11,2CF AB FI ==∴=∴在Rt CFI ∆中,cos CIF ∠=23CI FI = 即平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.【解法2】（立体几何通解二:从另一角度把二面角转化为平面角) 如图所示,取线段AB 的中点H ,连接,,HG HC CG .由已知有//,HG AE HG ⊂/平面,AEF //HG AEF ∴平面,同理可得,//HC AEF 平面,则平面CHG 与平面BEC 所成锐二面角即为所求二面角,由CG 为二面角H CG B --的棱,作BO CG ⊥,垂足为点O ,连接HO ,则,HO CG ⊥HOB ∴∠为所求二面角的平面角.由,90,~OGB EGC BOG CEG BGO CGE ∠=∠∠=∠=︒∆∆,易得OB =,且OH =2cos 3OB HOB OH ∴∠== 即平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.【解法3】(立体几何通解三:射影法)由图可知,AEF ∆中,AE=EF =3.AF =由余弦定理,cos AEF ∠=得sin AEF ∠=1sin 32AEF S AE EF AEF ∆=⋅∠=.易得122BCE S BE CE ∆=⋅=. 由已知,BCE ∆是AEF ∆在平面BCE 上的射影. 设所求二面角的平面角为θ,则2cos 3BCE AEF S S θ∆∆==.即平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23. 【解法4】(向量坐标法)如图所示,在平面BEC 内,过B 点作//,BQ EC ,BE CE ⊥BQ BE ∴⊥,又∵,AB BEC ⊥平面 ,,AB BE AB BQ ∴⊥⊥以B 为原点,分别以,,BE BQ BA 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则(0,0,2),A (0,0,0),B (2,0,0),E (2,2,1)F∵,AB BEC ⊥平面平面(0,0,2)BA ∴=为平面BEC 的法向量.设(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量,又(2,0,2),(2,2,1)AE AF =-=-.由0220,220,0n AE x z x y z n AF ⎧⎫⋅=-=⎪⎪⎨⎬+-=⋅=⎪⎪⎩⎭取2z =得(2,1,2)=-n . 从而BA 42cos ,323||||BA BA ⋅〈〉===⨯n n n∴平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.【例3】如图所示,弧AEC 是半径为a 的半圆,AC为直径,点E 为弧AC 的中点,点B 和点C 为线段AD 的三等分点,平面AEC 外点F 满足,FB FD ==FE =.（1）证明:EB FD ⊥.(2)已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点,23FQ FE =,23FR FB =.求平面BED 与平面RQD 所成的二面角的正弦值.【解析】 (1)证明:∵E 为弧AC 的中点,,AB BC AC =为直径,∴EB AB =.2222226),EF a a BF BE EB FB ==+=+∴⊥又∵,BF BD B EB ⋂=∴⊥平面BDF . 又∵,FD BDF ⊂平面EB FD ∴⊥.(2) 【解法1】向量坐标法).如图所示,以B 为圆心，为BE 为x 轴正方向，BD 为y 轴正方向,过B 作平面BEC 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系.由此得(0,0,0),B (0,,0),C a (0,2,0)D a ,(,0,0)E a .∵,FB FD ==,BC CD a ==,FC BD ∴⊥2,FC a == (0,,2)F a a .∵22,33FQ FE FR FB ==. ∴20,,,33a a R ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,0,0,33RQ BE a ⎛⎫== ⎪⎝⎭520,,33a a RD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设平面RQD 的一个法向量为1(,,)x y z =n ,则1122(,,),0,00,335252(,,)0,,03333a RQ x y z ax a a n RD x y z ay az ⎧⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪⎝⎭⎩n 则052x y z =⎧⎨=⎩ 取2y =,则5z =,得1(0,2,5)=n ,显然平面BED 的一个法向量为2(0,0,1)=n . 设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos θ⋅===n n n n ,则sin 29θ== ∴平面BED 与平面RQD所成的二面角的正弦值为29.【解法2】（定义法）如图所示，过点D 作//HD QR ∵2,3FQ FE =2,3FR FB =//,QR EB ∴//HD EB ∴ 又∵D ∈平面BED ⋂平面RQD ,HD ∴为平面BED 与平面RQD 的交线.∵,BD RD ⊂平面,BDF EB ⊥平面BDF ,HD ∴⊥,BD HD RD ⊥∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角.,FB FD ==BC CD a ==,cos BC FBC BF ∴∠===sin 5FBC ∠= 在BDR ∆中,由23FR FB =,知13BR FB ==. 由余弦定理,得RD =3a ==由正弦定理,得sin sin BR RD RDB RBD =∠∠,得332sin aRDB=∠,解得sin RDB ∠=∴平面BED 与平面RQD所成的二面角的正弦值为29.强化训练1.如图所示,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,,AE AD =ABC ∆是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,6PO DO =. （1）证明:PA ⊥平面PBC ; （2）求二面角B PC E --的余弦值.【解析】(1)设,由题设可得, 因此,从而又,故.平面.(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如答图所示的空间直角坐标系.由题设可得.设是平面的法向量,则可取由知是平面的一个法向量,记, 则. 二面角的余弦值为DO a=,,.632PO a AO a AB a PA PB PC ======222PA PB AB +=.PA PB ⊥222PA PC AC +=PA PC ⊥PA ∴⊥PBC O OE y OE 551-O xyz -()()10,1,0,0,1,0,,00,0,22E A C P ⎛⎫⎛-⋅ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭31EC ,,0,EP 0,1,.222⎛⎫⎛⎫∴=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),,m x y z =PCE 0,0,0,10.2y z m EP m EC y -=⎫⋅=⎪⎬⋅=⎪⎭-=∣3,1,.3m ⎛=- ⎝()10,1,2AP ⎛= ⎝⎭PCB AP =n 25cos ,5m m m ⋅==n n m ∴B PC E --52.如图所示，点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心,点,E F 分别是,AD BC 的中点,沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D AC B --.(1)求EOF ∠的大小.（2）求二面角E OF A --的平面角的正切值.【解析】【解法1】(1)如答图所示.过点作,垂足为,过 点作,垂足为,则二面角为直二面角,.又在中,,.(2)(立体几何定义法)如答图所示,过点作垂直的延长线于点,连接.二面角为直二面角,平面平面,交线为552-E EG AC ⊥G F FH AC ⊥H EG FH GH ===D AC B --22()EF EG GH HF ∴=++22222EG GH HF EG GH EG HF GH HF =+++⋅+⋅+⋅222EG GH HF =++28212=++=EOF 2OE OF ==2221cos .12022OE OF EF EOF EOF OE OF ∠∠+-∴===-∴=⋅552-G GM FO MEM D AC B --∴DAC ⊥BAC .AC又平面,由三垂线定理,得. 就是二面角的平面角.在中,， 二面角.【解法2】(1)(向量坐标法)如答图所示,建立空间直角坐标系 则. （2）设平面的法向量为,由得解得 又平面的法向量为. 二面角.,EG AC EG ⊥∴⊥.BAC GM OF ⊥EM OF ⊥EMG ∠∴E OF A --Rt EGM 190,12EGM EG GM OE ∠====tan EG EMG GM∠∴==∴E OF A --553-O xyz -()()1,1,2,0,2,0OE OF =-=1cos ,,120.2OE OF OE OF EOF OE OF∠⋅∴==-∴=OEF ()11,,y z =n 110,0OE OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 10,0,y y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩0,2y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩11,0,2n ⎛∴=- ⎝⎭AOF ()12212120,0,1,cos ,3⋅=∴==-n n n n n n n ∴E OF A --3.如图所示,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面,2,,ABC AB BC CA PA D E ===分别是棱,AB AC 上的动点,且AD CE =.当三棱锥P ADE -的体积最大时,平面PDE 与平面PCB 所成的二面角的正弦值为().C.14D.12【解析】设,则, 当且仅当时取等号,即此时都为中点.取的中点为,连接交于点,如答图所示.易证为所求二面角的平面角,在中,,即. 【答案】.4.如图所示,边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于,C D 的点.（1）证明:平面AMD ⊥平面BMC ,（2）当三棱锥M ABC -的体积最大时,求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值.1,PA AD x ==()213223122P ADE ADE x x V S h x x -+-⎛⎫=⋅=-= ⎪⎝⎭1111x x x x ====D E 、BC H AH DE G 554-HPG ∠PGH2,,cos 2214GH PH PG HPG ∠===∴=sin 14HPG ∠=C【解析】（1）由题设知,平面平面,交线为. 平面平面,故. 为上异于的点,且为直径, 又平面.而平面,故平面平面.（2）以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如答图 所示的空间直角坐标系.当三棱锥体积最大时,为的中点.由题设得, ,设是平面的法向量, 则即可取. 是平面的法向量,因此. 平面与平面.CMD ⊥ABCD CD ,BC CD BC ⊥⊂,ABCD BC ∴⊥CMD BC DM ⊥M CD ,C D DC .DM CM ∴⊥,BC CM C DM ⋂=∴⊥BMC DM ⊂AMD AMD ⊥BMC D DA x 555-D xyz -M ABC -M CD ()()()()(0,0,0),2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1,(2,1,1)D A B C M AM =-()()0,2,0,2,0,0AB DA ==(),,x y z =n MAB AM 0AB 0,n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n 20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩()1,0,2=n DA MCD DA525cos ,DA ,sin ,55n DA DA ⋅===n n n ∴MAB MCD。
二面角的计算(方法加经典题型)
二面角的求法（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。
注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。
注：点O 在二面角内，用垂面法。
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ SA 图3 α βO B lO图5β α l C B A例题讲解 1、（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面,,ABCD PD CD E =是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。
（I ）求证：//PA 平面EDB ； （II ）求证：PB ⊥平面EFD ；（III ）求二面角P BC D --的大小。
2、 如图1-125，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值。
（三垂线定理法）3．在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小的余弦值；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小 的正切值。
18、（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明⊥AE 平面PCD ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值．O 1A 1C 1D 1B 1DCBAA B CD PE。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A B DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题(一)寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数.例2：在三棱锥P —ABC 中，APB=BPC=CPA=600,求二面角A-PB —C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的:1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
(菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的,一般是图形的性质较好,能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质,可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解.由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2)三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
解答二面角问题的三种措施
备考指南理能力.结合实例进行探讨.一、利用定义法一般地，在二面角的棱上选取一点，垂直于棱的射线，的平面角.面角的平面角；角形，根据正余弦定理、例1.如图1，四棱锥S -底面ABCD ，AD =2,DC =SD 点，∠ABM =60°，求二面角S -图1解：过B 点作BF ⊥AM ，过AC ，如图2所示，因为SD ⊥底面ABCD ，所以∠ADS =∠ADC =90°，因为DC =SD =2，所以Δ所以AC =AS ，因为AM ⊥SC ,GF ⊥AM ，中点，的中位线，点G 为AS 的中点，S -AM -B 的平面角，SA =AC =6,BM =2,3，=BF =3，GF 2+BF 2-GB 22GF ∙BF =，-B 的余弦值为最重要的一步便是找到二面角首先要根据二面角的平面角、AMB 及其棱AM ；然后在两BF ,GF ，则∠GFB 即为所求二将问题转.首先需根据题目中给出的来建立空间直角坐标系；然后求m 、n ；再根<m ,n >=m ∙n |m |∙|n |；最后还需根据.P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =120°，PA =AD =1,AB苏其亮54备考指南=2，M 、N（1）（2）解：（线为x 、y 则A N 12则 CM 设m则{令x 1设n则{n n 令x 2cos <直线为x 要先根据题意寻找垂其与二面然后根据平面几何知识，三角形的性质、平行四边形即可解题.棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面垂直平分AC 、SC ，且交AC 、SC =BC ，求二面角E -BD -C 的、DB ，E 是SC 中点，SBC 的中线，则BE ⊥SC ，⋂DE =E ，BE 、DE ⊂平面BDE ，，所以SC ⊥BD .，BD ⊂平面ABC ，、SA ⊂平面SAC ，，平面BDE =DE ，平面SAC ⋂平⊥DC ，E -BD -C 的平面角，，所以SA ⊥AB ,SA ⊥AC ，2,SB =BC =22，AC =23,∠ACS =30°，所以∠EDC =60°，-C 的大小为60°..，DE 垂直平分AC 、SC ，即可.再在直角三角形SAB 、SAC 、即可解题.向量法、垂面法都是解答二面向却比较便捷，能有效.甘肃省白银市靖远县第一中学）55。
求解二面角的四种基本方法
求解二面角的四种基本方法高中数学学习过程中，求解二面角是高考理科高考的必考题型，多种角度，多种方法处理这类问题是一项重要的基本能力，是落实数学核心素养培养的基本方法，在教学过程中有必要对本类型习题进行详尽的介绍和广泛的探索，提升本类问题的处理方式和方法，是多种知识交汇，处理问题的能力的体现，本文根据近年高考题与模拟题中的常见题型，对常用的处理方法进行探究和总结，希望能够找到本类题型的常见处理方法，帮助学生建立良好的处理策略.一、利用定义求解例1. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，23AC =，12A A BD ==,E 为1BD 中点.求二面角E DC A --的余弦值.分析 过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，则EFO ∠是二面角E OC A --的平面角.解答过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，∵1DD ⊥面ABCD ，1//OE DD ，∴OE ⊥面ABCD .∴EFO ∠是二面角E OC A --的平面角.∵1112OE DD ==，3OF =，∴7EF =，217cos EFO ∠=. 故二面角E DC A --的余弦值为217. 说明 二面角是规则图形的面与面之间的角是，采用二面角的定义，直接做出角，利用边长的长度关系找到二面角的平面角之间的边长长度关系，进而求解二面角大小.变式训练1 （2019年天津高考题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，D C O A B求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.二、利用面积面积射影求解例2. 在三棱锥中P ABC -，,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，若DE ABC ⊥∆面，2PBC ABC S ∆∆=S ，则二面角P BC A --的大小为______.分析 易证DE ∥PA ，则PA ABC ⊥面，则PBC ∆的射影为ABC ∆，此时宜采用“面积射影法”. 解答 设二面角为θ，因为,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，则可得=MD ME DP EA，所以DE ∥PA .又因为DE ABC ⊥面，所以PA ABC ⊥面.因为cos ABC PBC S θ∆∆=S 222==45θ=o . 说明 当题目中涉及斜面三角形面积和相应射影三角形面积时，可采用“面积射影法”求二面角的大小.变式训练2 在等腰直角ABC ∆中，1AB BC ==，M 为AC 的中点，沿BM 把ABC ∆折成二面角，折后A 与C 的距离为62，则二面角C —BM —A 的大小为________. 三、利用三正弦定理求解 例3. （2012年全国新课标卷）在直三棱柱ABC A B C '''-中，12AC BC AA '==，D 是棱AA '的中点，DC BD '⊥.（1）证明：DC BC '⊥；（2）求二面角A BD C ''--的大小.分析 考察面BDC '内的直线DC '，易求90BDC '∠=o ，即2sin 1θ=；取A B ''的中点N ，则C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角，且1sin 2C DN '∠=，即11sin 2θ=，最后代入公式即可求出二面角的大小.解答 因为DA C ''∆和DAC ∆均为等腰直角三角形，所以DC DC '⊥.又因为DC BC '⊥，所以DC DBC '⊥面，从而DC DB '⊥，即2sin sin 901θ==o ；取A B ''的ME D CB A P B B'A'C'A DN中点N ，连接DN ，则C N A B '''⊥.又因为AA C N ''⊥，所以C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角.设2AA a '=，则AC BC a ==，因为2C N a'=，2D C a '=，即11sin sin 2C N C DN CD θ''=∠==.由12sin sin sin θθθ=得1sin 2θ=，又据题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=o .说明 当其中一个半平面内的一条直线与另一个半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出时，可采用“三正弦定理法”.变式训练3 已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在平面α内，且60∠=︒POB .若直线PO 与平面β所成的角为45°，则二面角AB αβ--的正弦值为______.四、利用空间向量求解例4. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.分析 建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.解答 (1) 略.（2）在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==， 据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 利用中点坐标公式可得：333,344F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：()()13333,,330223333,,,,002222m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()3,1m =u r ，333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 此时4cos ,53552EF m EF m EF m ⋅===⨯⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ===u u u r u r .说明 空间向量方法是处理空间中两平面所成角比较通用的方法，建系也是Dz C 1A 1B 1C B A本节要注意的一个重点，合理建系才能比较容易、准确的找到各点坐标，求解法向量，在求解过程中应该充分重视，准确掌握好求解法向量的基本步骤，进一步提升步骤的严谨性，科学性，另，在求解过程中要注意判断二面角是锐角还是钝角，以方便对余弦值的正负进行判断. 解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.变式训练4 已知四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o，AB=PA=2，E ．F 分别为BC ．PD 的中点.求平面PAE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.（参考答案：3；2. 23π；6 4. 217）。
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CA DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。
此方法是属于较常用的。
例3：如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，P A=AB ，AC=BC=1，∠ACB=900，M 是PB 的中点。
(1)求证：BC ⊥PC ，(2)平面MAC 与平面ABC 所成的二面角的正切。
例4：如图，已知△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为平面ABC 外的一点，SA ⊥平面ABC ，AM ⊥SB 于M ，AN ⊥SC 于N,(1)求证平面SAB ⊥平面SBC (2)求证∠ANM 是二面角A －SC －B 的平面角.本题可变形为：如图，已知△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为平面ABC 外的一点，SA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝600，SA ＝AC ＝a ，(1)求证平面SAB ⊥平面SBC (2)求二面角A －SC －BC 的正弦值.在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。
且两垂线相交，交点在二面角的面内。
C B M A P N K A B C M N SA l D C α β A lBC α βE B D （3）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与两二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。
这关键在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面。
例5：如图在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC 且分别交AC 、SC 于D 、E ，又SA ＝AB ，SB ＝BC ，求二面角E －BD －C 的度数。
如图，βα⊂⊂BD AC ,，α与β所成的角为600，l AC ⊥于C ，l BD ⊥于B ，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝2，求A 、B 两点间的距离。
（二）寻找无棱二面角的平面角的方法和求解。
无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。
若要找出二面角的平面角，则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。
这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行）。
那么延长这两条线有一交点，根据公理2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。
这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。
由公理4，可知这两条直线平行于二面角的棱。
所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。
A BC S D例6：如图，△ABC 在平面上的射影为正△AB 1C 1，若BB 1=21，CC 1=AB 1=1，求平面ABC 与平面AB 1C 1所成锐角二面角的大小。
变式：1. 如图,在底面是直角梯形的立体图S －ABCD 中，∠ABC ＝900，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝0.5，求面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角的正切值。
2. 如图，在所给的空间图形中ABCD 是正方形，PD ⊥面ABCD ，PD ＝AD 。
求平面PAD 和PBC 所成的二面角的大小。
3. 如图，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC ，求平面AB 1C 1与底面ABC 所成的二面角的大小。
A BC B 1 C 1 AB C D S C A B D P A D B A 1E C 1BVB AC D解关于二面角问题二面角是立体几何中最重要的章节。
二面角中的内容综合了线面垂直，三垂线定理及其逆定理和异面直线所成角等较多的知识点，是高考的热点和难点。
在总结时，若能够引导学生进行对解二面角的问题进行探究和总结，对提高学生的数学思想方法是有帮助的，对提高学生灵活运用所学的也有很重要的作用。
为此我对这方面进行总结，以供教学和学习参考。
（一）对本内容进行思考时，必须弄清两个概念：（1）什么是二面角，如何表示？而二面角的大小是可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.（2）什么是二面角的平面角，如何表示？这一概念特别重要，要能够很快地反应出二面角的平面角是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角。
，二面角的平面角的定义三个主要特征是：过棱上任意一点；分别在两个面内作射线；射线垂直于棱。
明白这一点对于能够作出或找出二面角的平面是很关键。
在脑子里要能想象出二面角平面角的图形。
如图，0∈a ，OA ⊂α，OB ⊂β,OA ⊥a ，OB ⊥a 。
（二）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
寻找和求作二面角的平面角是解二面角问题的关键，这也是个难点。
在从图形中作出二面角的平面角时，要结合已知条件来对图形中的线线、线面和面面的位置关系先进行分析，确定有哪些是平行、垂直的或者是特殊的平面图形，然后运用这些的有关性质和二面角的平面角的定义进行找出二面角的平面角。
所以解关于二面角问题需要有很好的对线线、线面和面面的位置关系的分析判断能力。
而在求作二面角的平面角的方法主要有三种：定义法、三垂线法、垂面法。
至于在求解有关平面角的问题时，这平面角通常是在三角形中，所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知识，这包括正弦和余弦定理的知识，也会用到其它的平面几何知识。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
分析：由图可知，所求的二面角的棱是AB ，两个面是面VAB 和面CAB 。
由已知可知这是一个正四面体，各个面是全等的正三角形，根据二面角的平面角的定义，我们可利用正三角形的性质来找出平面角，取AB 边上的中点D ，连结VD 和CD 。
则∠VDC 是所求二面角的平面角。
可设正三角形的边长为a ，用解三解形的知识求出VD ＝CD ＝a 23，在△VDC 中，利用余弦定理可求得cos ∠VDC=1/3，∴∠VDC ＝arccos1/3 评注：在本题中主要是利用已知条件中的特殊条件和二面角平面角的定义来找出所要求的平面角。
在求解时利用的是平面几何解三角形的知识。
这也就是把立体图形的问题转化为平面几何的问题的数学思想。
.例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
分析：所求二面角的棱是PB ，两个面为面PBA 和面PBC 。
用二面角的平面角的定义找出平面角，在二面角的棱PB 上任取一点Q ，在半平面PBA 和半平面PBCA 1B 1C 1D 1 A B C N M P QA A 1B DC C 1 B 1上作QM ⊥PB ，QN ⊥PB ，则由定义可得∠MQN 即为二面角的平面角。
设PM=a,则在Rt ∆PQM 和Rt ∆PQN 中可求得QM=QN=23a ；又由∆PQN ≅∆PQM 得PN=a,故在正三角形PMN 中MN=a,在三角形MQN 中由余弦定理得cos ∠MQN=1/3，即二面角的余弦值为1/3。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。