激光原理(4)-速率方程

′ ν0 ′ + dν 0 ′ 间隔内的原子数： E2 能级处于表观中心频率 ν 0
′ )dν 0 ′ = n2 g D (ν 0 ′ ,ν 0 )dν 0 ′ n(ν 0
′ −ν 0 ) −[ (ν 0 1 2 m ′ ,ν 0 ) = ( ) 2 e 2 KTν 0 g D (ν 0 ν 0 2π KT
激光器理论
为了揭示相互作用的本质，掌握激光器工作的特性 1.经典理论 以经典电动力学为基础 光场：采用Maxwell方程组描述 原子：电偶极振子 可直观、简单、定性地解释光与物质相互作用的某些现象 2.半经典理论 光场：采用Maxwell方程组描述 原子：采用量子力学描述 可较好地揭示大部分物理现象 NJUPT
光源（ ν ） 0
υz < 0
υz > 0
ν
接收器
光源与接收器间有相对运动，则光接收器接收到 的光波频率会随两者相对运动速度而改变。
= ν ν0
1 + υz / c ≈ ν 0 (1 + υ z / c ) 1 −υz / c
NJUPT
谱线加宽的机理和类型
多普勒加宽（Doppler Broadening）
∆ν H = ∆ν N + ∆ν L << ∆ν D
CO2 激光器：
3 4 ∆ ν ≈ 10 10 Hz 自然线宽： H
非均匀加宽
碰撞线宽： ∆ν L ≈ 49 PKHz / Pa 多普勒线宽： ∆ν D ≈ 60 MHz NJUPT
§5.2 速率方程
NJUPT
激光器理论
为了揭示相互作用的本质，掌握激光器工作的特性
x( t ) = x e
e
γ ——衰减因子（阻尼系数）
NJUPT
谱线加宽的机理
自然加宽（Natural broadening）
g N (ν ,ν 0 ) =
4 最大值： ν ν= = g (ν 0 ,ν 0 ) 0，
( )2 + 4π 2 (ν − ν 0 )2 2
γ
γ
γ 1 线宽：ν = g N (ν ,ν 0 ) ν 0 ± ， g N (ν ,ν 0 ) = 4π 2
1.经典理论 2.半经典理论
3.量子理论（量子电动力学）
NJUPT
① 经典理论。该理论体系的特点，是将激光场看成经典的电磁场而采用麦克 斯韦方程组加以描述，将与激光相互作用的物质体系看成是经典谐振子的集合。 采用这种理论能较好地解决激光场的空间结构和时－空传输特性等，其最成功 之处是建立了光学共振腔理论和激光模式理论。
线形函数取决于各发光粒子中心频率的分布； 归一化后线型函数与单个粒子的线型函数不相同。
NJUPT
综合加宽
两种不同的加宽机制，类似的钟型函数
综合加宽——由均匀加宽和非均匀加宽 同时引起的光源谱线加宽 激光器中，均匀加宽和非均匀加宽同时存在 NJUPT
典型气体激光器谱线宽度数据
He-Ne激光器： 自然线宽： ∆ν N ≈ 10 MHz 碰撞线宽： ∆ν L ≈ 100 300 MHz 多普勒线宽： ∆ν D ≈ 1500 MHz
W12 = B12 ρν
NJUPT
自发辐射、受激辐射、受激吸收几率的修正 1.定义三个单色爱因斯坦系数
A21 (ν ) = A21 g (ν ,ν 0 )
——单色自发辐射跃迁几率
在总自发辐射跃迁几率 A21 中，分配到频 率 处单位频率间隔内的自发辐射跃迁几 率
ν
B21 (ν ) = B21 g (ν ,ν 0 ) B12 (ν ) = B12 g (ν ,ν 0 )
2. 线宽
1 = = g (ν 1 ,ν 0 ) g (ν 2 ,ν 0 ) g (ν 0 ,ν 0 ) 2
∆ν = ν 2 − ν 1
线宽：光谱线的宽度
FWHM = Full width at half maximum 半幅线宽
NJUPT
谱线加宽的机理
自然加宽（Natural broadening） 这种谱线加宽是不可避免的 （1） 经典理论 处于激发态的发光粒子，在自发辐射的发光过程中， 辐射功率不断衰减，导致光谱线有一定宽度。 经典电子理论：原子是一个正电中心和 一个负电中心组成的偶极子 γt − 2 i 2πν 0 t 0
γ 1 ∆ν N = = 2π 2πτ s
∆ν N 2π
2
γ
g N (ν ,ν 0 ) =
∆ν N 2 (ν − ν 0 ) + ( ) 2
洛仑兹型线型函数 NJUPT
谱线加宽的机理
碰撞加宽（Pressure (collisions) broadening ）
碰撞改变了原子的能量状态，相当于缩短了 原子处于激发态的平均寿命，导致光谱线在 自然加宽基础上被进一步加宽 NJUPT
② 半经典理论。该理论体系的特点，是将激光场看作是可用麦克斯韦方程组 描述的经典电磁场，而将与激光发生作用的物质体系看成是服从量子力学规律 的微观粒子（原子、分子、离子或电子）的集合。这种理论能比较好地解决有 关激光与物质体系相互作用过程中的许多重要问题，特别是能正确反映那些与 激光场波动性有关的现象的规律性；这种理论的局限性，是不能反映与激光场 的量子化特性（光子特性）有关的某些现象的规律性，其中包括不能解释与场 的量子起伏和物质体系自发辐射行为有关的现象规律性。半经典理论最成功的 例证，是解决了有关激光振荡与放大过程中的增益饱和、模式牵引、相位锁定 （见激光锁模技术）等基本特性的描述；此外是有关光学媒质在强光作用下的 各种非线性电极化效应的描述。
原子和准单色光辐射场的相互作用 在频率为 ν 的单色辐射场作用下，受激跃迁（吸收与发射）几率：
W21 = B21 g (ν ,ν 0 ) ρ W12 = B12 g (ν ,ν 0 ) ρ
g (ν ,ν 0 )
ρ = N l hν
发自发辐射线型函数 在v处的函数值 N l ——第 l 模式的光子数密度
发光粒子自然加宽 谱线的线型函数
= = B21 g (ν ,ν 0 ) ρν ——单色受激辐射跃迁几率 W21 (ν ) B 21 (ν ) ρν = = B12 g (ν ,ν 0 ) ρν ——单色受激吸收跃迁几率 12 (ν ) ρν W12 (ν ) B
NJUPT
自发辐射、受激辐射、受激吸收几率的修正 2. n2 个原子中单位时间内发生自发跃迁的原子总数
谱线加宽的机理
碰撞加宽（Pressure (collisions) broadening ）
τ L、∆ν L 可直接由实验测得
经验公式：
∆ν L = αP
α
——比例系数
P ——气体总气压
NJUBiblioteka BaiduT
谱线加宽的机理和类型
多普勒加宽（Doppler Broadening） 光波多普勒频移效应是产生非均匀加宽的主要物理因素 光波多普勒频移效应：
∫
−∞
NJUPT
§5.1 谱线加宽与线型函数
1. 线型函数
g (ν ,ν 0 ) g (ν 0 ,ν 0 )
P (ν ) g (ν ,ν 0 ) = 秒 P
自发辐射跃迁几率 按频率的分布函数
1 g (ν 0 ,ν 0 ) 2
∫
+∞ −∞
g (ν ,ν 0 )dν = 1
NJUPT
§5.1 谱线加宽与线型函数
均匀加宽线型函数
∆ν H 2π
2
g H (ν ,ν 0 ) =
∆ν H 2 (ν − ν 0 ) + ( ) 2
1 1 1 ∆ν H = ( + ) = ∆ν N + ∆ν L 2π τ s τ L
一般气体激光器：
NJUPT
非 均 匀 加 宽
气体激光器的非均匀加宽往往只有多普勒加宽
gi (ν ,ν 0 ) = g D (ν ,ν 0 ) ∆ν i = ∆ν D
+∞ dn21 ( ) sp = ∫ n2 A21 (ν )dν −∞ dt
= n2 ∫
+∞ −∞
A21 g (ν ,ν 0 )dν
= n2 A21
谱线加宽对单位时间内自发辐射跃迁的原子数没有影响 3. n2 数 个原子中单位时间内发生受激辐射跃迁的原子总
+∞ dn21 ( ) st = ∫ n2W21 (ν )dν −∞ dt
g D (ν 0 ,ν 0 )
g D (ν 0 ,ν 0 ) 2
∆ν D
0
ν0
高斯型函数 NJUPT
ν
均 匀 加 宽
自然加宽: 由于受激原子在激发态上具有有限 的寿命造成原子跃迁谱线加宽 均匀加宽 碰撞加宽: 由于大量原子（分子）间无规则的 热运动而造成原子跃迁谱线加宽 这两种引起加宽的物理因素对每个原子是等同的 均匀加宽的特点： 所有发光粒子的中心频率不变，且谱线加宽完全一样; 整个光源的谱线中心频率与单个发光粒子的中心频率一致; 归一化后线型函数与单个粒子的线型函数相同。 NJUPT
谱线加宽的机理
碰撞加宽（Pressure (collisions) broadening ） 线型函数：
g L (ν ,ν 0 ) =
洛仑兹型线型函数
∆ν L 2 (ν − ν 0 ) + ( ) 2
2
∆ν L 2π
1 ∆ν L = 2πτ L
平均碰撞时间 τ L ： 任一原子与其他原子发生碰撞的 平均时间间隔 NJUPT
∫
+∞ −∞
′ ρν ′ dν =
∫
+∞ −∞
′ ρ ρδ (ν ′ − ν )dν =
g (ν ′,ν 0 ) ρδ (ν ′ − ν 0 )dν
dn21 ( ) st dt
n2 B21 ∫
+∞ −∞
= n2 B21 g (ν ,ν 0 ) ρ
dn12 ) st = n1 B12 g (ν ,ν 0 ) ρ 同理： ( dt
dn21 dt = A21 n2 sp
单位时间内 n2 个高能态原 子中发生自发跃迁的原子数
W21 ——受激辐射跃迁几率
dn21 dt = W21 n2 st
W21 = B21 ρν
W12 ——受激吸收跃迁几率
dn12 dt = W12 n1 st
③ 全量子理论。本质上是量子电动力学体系，其特点是，将激光场看成是 遵循量子化规律的光子群的集合，将与激光场发生作用的工作物质看成是遵循 量子力学规律的微观粒子的集合，在此基础上进而将两者看成是一个统一的体 系而加以量子理论处理。这种理论体系的主要优点，是它能对涉及到激光与物 质相互作用过程中出现的各种现象与效应，给出严格而又全面的物理描述；其 不足之处，是这种理论的数学处理过程过于繁杂而不便求解。基于全量子理论， 在一定前提下还可派生出一些往往是十分简洁有用的专门理论。如在忽略量子 化激光场的位相特性（或光子数目起伏）的前提下，可简化为速率方程理论， 能非常方便地用它来描述激光的产生、振荡与放大等过程中的粒子数输运和激 光功率方面的动态特性。
激光器理论
3.量子理论（量子电动力学） 光场 原子 量子理论
激光器的严格理论，原则上可解释激光器全部特性 4.速率方程理论 自发辐射、受激辐射、受激吸收几率和爱因斯坦系数 激光器速率方程 量子理论的简化形式 NJUPT
自发辐射、受激辐射、受激吸收几率的基本公式 （简化：仅考虑两个能级的情况）
A21 ——自发辐射跃迁几率
= n2 B21 ∫
+∞ −∞
g (ν ,ν 0 ) ρν dν
NJUPT
原子和准单色光辐射场的相互作用
∆ν ′ ∆ν
在 ∆ν ′ 作不变
g (ν ′,ν )
范围内： 近似看
ρν ′ 表示为 δ
∆ν ′
ρν ′ = 函数形式：
ρδ (ν ′ − ν )
激光光波场准单色 ∆ν ′ 发光粒子线宽：非单色∆ν ′
c
mc 2
2
]
n(ν 0′ )
原子按中心频率
n(ν 0′ )dν 0′
dν 0′
′ ν0
的分布规律
ν0
ν 0′
NJUPT
谱线加宽的机理和类型
多普勒加宽（Doppler Broadening）
多普勒加宽线型函数即原 子数按中心频率的分布函 数
n2 (ν ) g D (ν ,ν 0 ) = n2
g D (ν ,ν 0 )
A21 = = g (ν ,ν 0 ) N l σ 21 (ν ,ν 0 )υ N l W21 nν f 2 A21 W = g (ν ,ν 0 ) N l σ 12 (ν ,ν 0 )υ N l 12 f1 nν
第五章 激光工作物质的增益特性
§5.1 谱线加宽与线型函数
谱线加宽：介质自发辐射光谱中每一条谱线都不是理想单色光， 而是在其中心频率附近呈现某种频率分布。
中心频率：ν 0＝（E
/） h 2 E 1
P (ν ) ——单色自发辐射功率 发光粒子在 ν 处，单位频率间隔内的自发辐射功率 +∞ P ——自发辐射总功率 P = P (ν )dν