第一节二重积分的概念及性质教案

第九章 重积分

第一节 二重积分的概念及性质

一．二重积分的概念 1．引例

引例1 曲顶柱体的体积

设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z =

所表示的曲面，

如图9—1所示，

这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。

图9—1 图9—2 图9—3

解 对于平柱体的体积底面积高⨯=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下

(1)分割

把区域D 任意划分成n 个小闭区域n

σσσ∆∆∆,,,2

1

，其中i

σ∆表示第i 个小闭区域，

也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。

(2)近似

在每一个小闭区域i

σ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，i

σ∆为底的平顶柱体

的体积i i i f σηξ∆),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。

i i i f V σηξ∆≈∆),(

(3)求和

这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值

∑=∆≈∆=n

i i i i f V V 1),(σηξ

(4)取极限

将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即

∑=→∆=n

i i i i f V 10

),(lim σηξλ

其中λ表示这n 个小闭区域i

σ∆直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区

域中任意两点间的距离）。

引例2 平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数

),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。

解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度⨯=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下

(1)分割

将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片n

σσσ∆∆∆,,,2

1

，其中i

σ∆表示第i 个

小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。

(2)近似

在每一个小薄片i

σ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i ηξρ为其密度，当i

σ∆很小时，认

为小薄片是均匀的，则i i i σηξρ∆),(近似代替第i 个小薄片的质量。即

i i i m σηξρ∆≈∆),(

(3)求和

这n 个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值

∑=∆≈∆=n

i i i i m m 1

),(σηξρ

(4)取极限

将薄片D 无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。即

∑=→∆=n

i i i i m 10

),(lim σηξρλ

其中λ表示这n 个小薄片i

σ∆直径中最大值的直径。

2．二重积分的概念

定积分与曲边梯形的面积有关。上面例子抛开其几何意义和物理意义，单纯地从数学结构角度来考虑，那就是二重积分。

定义 设),(y x f z =是有界闭区域D 上的有界函数

（1）将闭区域D 任意分成n 个小闭区域n

σσσ∆∆∆,,,2

1

，其中i

σ∆表示第i 个小闭

区域，也表示它的面积。

（2）在每个i

σ∆上任取一点),(i i ηξ，作乘积i

i i f σηξ∆),(（i =1，2，…，n ）

（3）并作和∑=∆n

i i

i

i

f 1

),(σηξ

（4）如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分，记作

⎰⎰D

d y x f σ),(

即

=⎰⎰D

d y x f σ),(∑=→∆n

i i

i

i

f 1

),(lim σηξλ

.

其中),(y x f 叫做被积函数，σd y x f ),(叫做被积表达式，σd 叫做面积元素，x 与y 叫做积分变量，D 叫做积分区域，∑=∆n

i i

i

i

f 1

),(σηξ叫做积分和。

【注意】在二重积分的定义中对闭区域D 的划分是任意的，若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭区域i

σ∆的边长j x ∆和k y ∆，则=∆i σj x ∆k

y ∆，因此在直角坐

标系中，有时也把面积元素σd 记作dxdy ，从而

=⎰⎰D

d y x f σ),(⎰⎰D

dxdy y x f ),(

其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素。

3．二重积分的几何意义

若0),(≥y x f ，函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分表示为以D 为底面，),(y x f 为曲顶的曲顶柱体的体积；

若0),(≤y x f ，表示柱体在xoy 面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数； 若函数),(y x f 在闭区域D 上既有正的，又有负的，则二重积分表示在xoy 面的上、下方的柱体体积的代数和。

4．二重积分存在性

如果被积函数),(y x f 在积分区域D 上连续，那末二重积分⎰⎰D

d y x f σ),(必定存在。

二．二重积分的性质

性质1 被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。即

σσd y x f k d y x kf D

D

⎰⎰⎰⎰=),(),(

性质2（线性性） 有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和。即

σσσd y x g d y x f d y x g y x f D

D

D

),(),()],(),([⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±