第一节二重积分的概念及性质教案

第九章 重积分第一节 二重积分的概念及性质一．二重积分的概念 1．引例引例1 曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z =所表示的曲面，如图9—1所示，这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。

图9—1 图9—2 图9—3解 对于平柱体的体积底面积高⨯=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下(1)分割把区域D 任意划分成n 个小闭区域nσσσ∆∆∆,,,21，其中iσ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积。

在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。

这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。

(2)近似在每一个小闭区域iσ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，iσ∆为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。

i i i f V σηξ∆≈∆),((3)求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值∑=∆≈∆=ni i i i f V V 1),(σηξ(4)取极限将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。

即∑=→∆=ni i i i f V 10),(lim σηξλ其中λ表示这n 个小闭区域iσ∆直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。

引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。

解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度⨯=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片nσσσ∆∆∆,,,21，其中iσ∆表示第i 个小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。

(2)近似在每一个小薄片iσ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i ηξρ为其密度，当iσ∆很小时，认为小薄片是均匀的，则i i i σηξρ∆),(近似代替第i 个小薄片的质量。

即i i i m σηξρ∆≈∆),((3)求和这n 个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值∑=∆≈∆=ni i i i m m 1),(σηξρ(4)取极限将薄片D 无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。

即∑=→∆=ni i i i m 10),(lim σηξρλ其中λ表示这n 个小薄片iσ∆直径中最大值的直径。

2．二重积分的概念定积分与曲边梯形的面积有关。

上面例子抛开其几何意义和物理意义，单纯地从数学结构角度来考虑，那就是二重积分。

定义 设),(y x f z =是有界闭区域D 上的有界函数（1）将闭区域D 任意分成n 个小闭区域nσσσ∆∆∆,,,21，其中iσ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积。

（2）在每个iσ∆上任取一点),(i i ηξ，作乘积ii i f σηξ∆),(（i =1，2，…，n ）（3）并作和∑=∆ni iiif 1),(σηξ（4）如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分，记作⎰⎰Dd y x f σ),(即=⎰⎰Dd y x f σ),(∑=→∆ni iiif 1),(lim σηξλ.其中),(y x f 叫做被积函数，σd y x f ),(叫做被积表达式，σd 叫做面积元素，x 与y 叫做积分变量，D 叫做积分区域，∑=∆ni iiif 1),(σηξ叫做积分和。

【注意】在二重积分的定义中对闭区域D 的划分是任意的，若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭区域iσ∆的边长j x ∆和k y ∆，则=∆i σj x ∆ky ∆，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素σd 记作dxdy ，从而=⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰Ddxdy y x f ),(其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素。

3．二重积分的几何意义若0),(≥y x f ，函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分表示为以D 为底面，),(y x f 为曲顶的曲顶柱体的体积；若0),(≤y x f ，表示柱体在xoy 面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数； 若函数),(y x f 在闭区域D 上既有正的，又有负的，则二重积分表示在xoy 面的上、下方的柱体体积的代数和。

4．二重积分存在性如果被积函数),(y x f 在积分区域D 上连续，那末二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(必定存在。

二．二重积分的性质性质1 被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。

即σσd y x f k d y x kf DD⎰⎰⎰⎰=),(),(性质2（线性性） 有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和。

即σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD),(),()],(),([⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±推论 设α、β为常数，则σβσασβαd y x g d y x f d y x g y x f DDD),(),()],(),([⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±性质3（可加性） 若闭区域D 被有限条曲线分成为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和（21D D D =）。

σσσd y x f d y x f d y x f D D D),(),(),(21⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=性质4 若在D 上1),(=y x f ，σ为D 的面积，则σσσ==⋅⎰⎰⎰⎰DDd d 1推论 σσσA d A d A DD==⎰⎰⎰⎰性质5（不等式性） 若在D 上，),(),(y x g y x f ≤，则σσd y x g d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤),(),(【特别地】),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-，则σσd y x f d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤),(),(性质6 （有界性） 设M 、m 分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ为D 的面积，则σσσM d y x f m D≤≤⎰⎰),(性质7（二重积分的中值定理） 设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ使得σηξσ⋅=⎰⎰),(),(f d y x f D第二节 二重积分的计算法用定义计算二重积分是相当困难的事，而且非常麻烦，本节探讨行之有效的计算方法和技巧。

一．直角坐标系中的计算方法用不等式)()(21x y x ϕϕ≤≤，b x a ≤≤来表示的区域，其中函数)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[b a 上连续，如图9—4所示，称为X —型区域；用不等式)()(21y x y ψψ≤≤，d y c ≤≤来表示的区域，其中函数)(1y ψ、)(2y ψ在区间],[d c 上连续，如图9—5所示，称为Y —型区域。

注意 X —型或Y —型区域，如果经过该区域内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于x 轴(或y 轴)的直线，且此直线交区域的边界不超过两点。

图9—4 图9—5 图9—6 图9—71．X —型区域D 上的二重积分的计算法 对X —型区域D⎩⎨⎧≤≤≤≤bx a x y x )()(21ϕϕ 选x 为积分变量，],[b a x ∈，任取子区间],[],[b a dx x x ∈+。

设)(x A 表示过点x 且垂直x 轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，如图9—6所示，则曲顶柱体体积V 的微元dV 为dx x A dV )(=那么曲顶柱体体积V 为⎰=ba dx x A V )(由图9—6知，该截面是一个以区间)](),([21x x ϕϕ为底，以曲线),(y x f z =（x 固定）为曲边的曲边梯形，其面积为⎰=)()(21),()(x x dy y x f x A ϕϕ则曲顶柱体体积为⎰⎰=ba x x dx dy y x f V ]),([)()(21ϕϕ故二重积分的计算法为⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=bax x dx dy y x f ]),([)()(21ϕϕ⎰⎰=)()(21),(x x bady y x f dx ϕϕ2．Y —型区域D 上的二重积分的计算法 对Y —型区域D⎩⎨⎧≤≤≤≤dy c y x y )()(21ψψ 如图9—7所示，选取y 为积分变量，则用垂直于y 轴的平面去截曲顶柱体，类似以上的方法可得曲顶柱体的体积⎰⎰=dc y y dy dx y x f V ]),([)()(21ψψ故二重积分的计算法为⎰⎰⎰⎰=d cy y Ddy dx y x f d y x f ]),([),()()(21ψψσ⎰⎰=dcy y dx y x f dy )()(21),(ψψ由此可得，二重积分的计算采取的方法是化为两次定积分法来计算。

若区域D 为X —型，则先把x 看成常量，对y 进行积分，它的积分限一般是x 的函数。

然后在对x 进行积分，它的积分限是常数。

若区域是D Y —型，则先把y 看成常量，对x 进行积分，它的积分限一般是y 的函数。

然后在对y 进行积分，它的积分限是常数。

这种先一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，称为累次积分法。

3．累次积分上下限的确定方法把二重积分化为累次积分，其关键是依据所给出的积分区域D ，确定其属于什么类型，定出两次定积分的上下限，上下限的确定法如下（1）在xy 平面上画出曲线所围成的区域D （2）积分限的确定若区域是X —型区域，则先把区域D 投影到x 轴上，得到区间],[b a ，则区域D 的最左点a 和最右点b 就是x 的积分下限和上限。

在],[b a 上任意取一点x ，过x 画一条与y 轴平行的直线，与区域D 的边界曲线交点为)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=。

如果)()(21x x ϕϕ≤，那么下部边界曲线)(1x ϕ和上部边界曲线)(2x ϕ就是y 的积分下限和上限，如图9—8所示。

若区域是Y —型，则先把区域D 投影到y 轴上，得到区间],[d c ，则区域D 的最下点c 和最上点d 就是y 的积分下限和上限。

在区间],[d c 上任意取一点y ，过y 画一条与x 轴平行的直线，与区域D 的边界曲线交点为)(1x y ψ=，)(2x y ψ=。

如果)()(21x x ψψ≤，那么左部边界曲线)(1x ψ和右部边界曲线)(2x ψ就是x 的积分下限和上限，如图9—5所示。