奈奎斯特稳定判据

s平面
F (s)平面
Cs顺时针
示意图 CF 顺时针
s平面
Cs顺时针
F (s)平面
示意图 CF 顺时针
在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线
CS的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点 的数目，就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少 次；反过来，根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次 数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的信息。
满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开 环频率特性Gk(j)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向 做一条曲线CS包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特
路径。如下图所示。它可分为三部分：
Ⅰ
0
e j
Cs
Ⅲ Ⅱ
① 正虚轴： s j 0
F(S)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。
s平面 A B C
2 F
1.5
1
G
E
0.5
2
H
1
b
D
0H -0.5
D
GF E
CS顺时针
-1 A
C
-1.5
B -2
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
同理，当围线CS的内域只包含P个极点时， CF应逆时针包围原 点P次，或者说， CF顺时针包围原点－P次。
2. 围线CS只包围零点不包围极点
如图所示围线CS包围一个零点z=-2，考察因子(s+2)幅角a，当 变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(S)平 面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于-360°。
A BC
s平面
H
D
2 a 1
GFE
CS顺时针
2
1.5
1
0.5
0
D
-0.5
E G A
-1
C
-1.5
-2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)， CF应顺
时针包围原点Z次。
3. 围线CS只包围极点不包围零点
这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点 ，则当变点s沿CS 顺时针绕行一周时，因子(s+0)-1的幅角-b将变化360°。映射到
1 GH
1 Gk
……………..(c)
显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的 阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式：
n
(s zi )
F(s)
i 1 n
。式中， zi , p j 为F(s)的零、极点。
(s pj)
j 1
由 (a)、(b)及(c)式可以看出：
F(s)的极点为开环传递函数的极点； F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
1
(
s1
zi
)
j
1
(
s1
p
j
)
s1 p j e j(s1 p j )
s1 p j
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
j1
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
i1
j1
Im S平面
• Re
Im
•
F(s)
(s)
[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P 个极点，且开环频率特性曲线对(－1，j0)点包围的次数为N， （N > 0顺时针，N < 0 逆时针），则闭环系统在右半平面的极 点数为：Z = N + P。若Z = 0 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。
[柯西幅角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS 包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封 闭曲线CS移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线CF将以顺
时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。
若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点； 若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点； 若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。
F (s) F (s2 ) F (s1)
(s2 zi ) (s2 p j ) (s1 zi ) (s1 p j )
0 180 (45 135) 90
现考虑S平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS 。 当变点s沿CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面 上也映射出一条封闭曲线CF 。在S平面上，用阴影线表示的区域， 称为CS的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始 终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封 闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS 。
F(s)平面 Re
[例]设：F(s) s 2 ，则s平面上
s
d点s （-1，j1），映射到F(s)平
面上的点 d为f （0，-j1），计算如下：
F( j) 2 j ，当 1， 1时，F (1 j) 1 j j
j
1 j
向量的幅值为
F(1 j) 1 j j 1 1 j
F(s) F(s2 ) F(s1)
im1(s2
zi )
n
( s2
j1
p j )
im1(s1
zi )
n
( s1
j1
p j )
[例]设：F(s) s 2 ，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从
s
(-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-
j1)到(-1，-j0) ，相角的变化为：
5.4.2 奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特当年就是巧妙地应用了幅角原理得到了奈奎斯特稳 定判据。设系统结构图如图所示
Gk (s) G(s)H (s)
(s) G(s) 1 G(s)H(s)
令： G(s) M1(s) , H (s) M 2 (s)
N1 ( s)
N2 (s)
R(s)
C(s)
G(s)
H (s)
现考虑S平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一
个向量来表示，即当
m
K (s1 zi )
F (s1)
i 1 n
(s1 p j )
j 1
m
m
F(s1)
K
F (s1) e jF (s1)
i1 n
s1 zi e j(s1zi )
K i1
n
s1 zi
m
n
e j
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4. 围线CS包围Z个零点和P个极点 由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺 时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。
这就是所谓幅角原理。
2
F
s平面
1.5
A
B
C
1
E
0.5
H
2 1
D
0
HG A
D
-0.5
G
F
E
-1
CS顺时针
-1.5
C
-2
B
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
射；
③ 以 s = j 代入F(s)，令从－∞→0 ，得第三部分的映射。
得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 N = Z－P，式 中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。
若已知P，并能确定N，可求出Z = N + P 。当Z = 0时，
系统稳定；否则不稳定。
第2个问题：如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并 将它和开环频率特性Gk(j)相联系？
如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根 据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的
次数应为：
N = F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数
= 闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数
当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是
式中-zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点， -pj( j=1,2,…,n)为F(s)的极点。
函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个S平面上变化，对
于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一
个值与之对应。
[例]设：F(s) s 2 ，则s平面上
s
d点s （-1，j1），映射到F(s)平
向量的相角为 F (s1) (s1 zi ) (s1 p j ) 45 135 90
若取ds点为(-1，j0) 则在F(s)平面的向量的
幅值为1
向量的相角为－180°
s平面
ds(1, j1)
2 1
F (s)平面
df (0, j1)
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也 将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS 决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有
F平面 Im Gk平面
4
4
3
3
2
2
F平面 原点 1
1 Gk平面原点
-2
-1 0 =1∞ 2
345
Re
-2
-1
0
12
3
4
5
Gk平面 -1
-1
(-1,j0)
= 0
点 -2 -2
-3 -3
-4 -4
根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈 奎斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳 定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。
面上的点 为d f(0，-j1),见下图：
ds (1, j1)
s平面
2 1
F (s)平面
d f (0, j1)
F( j) 2 j ，当 1， 1时，F (1 j) 1 j j
j
1 j
F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。S平面上的每一点 依照所给的函数关系，将映射到F(s)平面上的相应点。其中S平 面上的全部零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映 射到F(s)平面上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点 之外的普通点，映射到F(s)平面上是除原点之外的有限远点。
5.4 奈奎斯特稳定判据
5.4.1 辐角原理 5.4.2 奈奎斯特稳定判据 5.4.3 系统含有积分环节时奈奎斯特稳定
判据的应用 5.4.4 奈奎斯特稳定判据应用举例
5.4.1 辐角原理
对于一个复变函数
F (s) K (s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
② 右半平面上半径为无穷大的半圆： s R e j，R ，从 22
③ 负虚轴： s j 0
F(s)平面上的映射是这样得到的：
① 以 s = j 代入F(s)，令 从0→∞变化，得第一部分的映射； ② 以 s=R·ej 代入F(s)，令R→∞， : ，得第二部分的映
22
因子项(s+0) 的幅角b在变点s沿CS绕
行一周后的变化也等于0°。
于是，映射到F(S)平面上，当变点 F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应 等于0°。这表明，围线CF此时不包
围原点。
b
GF E
CS顺时针
2
1.5
F ( s)平面
G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1
A
-1.5
-2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分的映射关于实轴的对称。
②F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线 F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。 ③F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就 是Gk(s)在右半平面的极点数。
1. 围线CS既不包围零点也不包围极点
如图所示，在S平面上当变点s沿围 线CS按顺时针方向运动一周时，我 们来考察F(S)中各因子项的幅角的变
化规律。
s平面
A
2
1 a
H
1
BC
D
23
现以图中未被包围的零点-2为例。
当变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)
的幅角a的变化为0°。
同理，对未被包围的极点也是一样，
奈奎斯特所构造的的F(s)＝1＋Gk(s)，Gk(s)为开环传递函数。
因此，有以下三点是明显的：
①由Gk(j)可求得F(j) ，而Gk(j)是开环频率特性。
奈奎斯特路径的第Ⅰ部分的映射是Gk(j)曲线向右移1； 第Ⅱ部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高， 所以当s=∞·ej 时， Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母阶数=分子 阶数，则Gk(s)→K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。
则开环传递函数为：Gk
(s)
M1(s)M 2 (s) N1(s)N2 (s)
闭环传递函数为：(s) M1N2 M1M 2 N1N2
…………… (a) …………… (b)
将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：
F (s) M1M 2 N1N2 N1 N 2
1 M1 M2 N1 N2
对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是 不稳定的。对于上面讨论的复变函数 F(s)＝1＋Gk(s)，其零点恰 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的 个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，
则闭环系统是稳定的。
奈奎斯特为了应用柯西幅角原理研究闭环系统的稳定性， 因此设想：