第五章 导数(数学分析-河南师范大学,李文林)

lim
Δx0
x
0 (x0
1
Δx)


1
x
2 0 处不可导. 证: 因为
y |x|
f(
x)
f(
0)
x0
x x

1 1
, ,
x x
0 0
o
极限 lim f(x) f(0) 不存在，所以 f (x) 在 x 0 处不可导. x0 x 0
g 2
(
t

t
0
)

g
t0
这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。
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切线问题
设曲线的方程为 f (x) ，Lp 为过曲线上两点 P0 (x0, y0 ) 与 P( x, y) 的割线，
则 L p 的斜率为
kp

f(x) f(x0) x x0
y
如图 (d51) 当点 P( x, y) 沿着曲线趋近
P0 (x0 , y0 ) 时，割线 Lp 就趋近于点 P0 (x0 , y0 )
处的切线， k p 趋近于切线的斜率 K ，因此切
线的斜率应定义为
o
K

lim
x x0
f(x) x
f(x0 ) x0
（2）
上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容
y f (x)
N
M

x0
T
xx
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2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
例4
证明 函数
f(x)

xsin
1 x
,
x

0
y

0
,
x0
1
x
不可导点
在 x 0 处不可导
证明 由于极限
lim f(x) f(0) ， x0 x 0
不存在,所以 f(x) 在 x 0 处不可导.
o
1/π
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二、导数的定义 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理 意义，单从数量关系上看它们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变 化的快慢程度，即都反映了函数的变化率
lim f(x) f(x 0) xx0 x x0
（3）
定义 1、设函数 y f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，若极限
limΔy Δ x0 Δx
lim Δ x0
f ( x0
Δx) f(x0 Δx
)

f(x0 )
（4）
所以，导数是函数增量△y 与自变量增量△x 之比 y 的极限，这个增量比称 x
为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数 f (x0 ) 则为 f 在 x0 处关于 x 的变化率，它能够近似描绘函数 y f (x) 在点 x0 附近的变化性态。
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变速运动物体的速度问题 在中学里我们学过平均速度 s ， 平均速度只能使我们对物体在一段时间
t 内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭
速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道 时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握 火箭飞行速度的变化规律。
lim f(x) f(x0 )
x x0
x x0
存在，则称函数 f 在点 x0 可导，并称该极限为函数 f 在点 x0 处的导数，
f (x 0 ) ,
y |xx0 ,
dy dx |xx0 ,
df dx |xx0
等.
若上述极限不存在，则称 f 在点 x0 不可导。
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注：令 x x0 x ， y f ( x0 x) f ( x0) ，则（3）式可改写为
S t
(
0
t0
)
（1）
按照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下：
因为自由落体运动的运动方程为： s 1 gt2 , t [0 ,T]， 2
按照上面的公式
t0 t
t
v(t) lim s s0 tt0 t t0

lim
1 2
g t2

1 2
g
t
2 0
t t0
t t0

lim
tt0
不过瞬时速度的概念并不神秘， 它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛
顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短
的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似
代替称为“以匀代不匀”。 设物体运动的路程是时间的函数 S(t) ，则在 t0 到
t 这段时间内的平均速度为
v

S(t) S(t0 t t0
)
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可以看出 t 与 t0 越接近，平均速度 v 与 t0 时刻的瞬时速度越接近，当
t 无限接近 t0 时，平均速度 v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在
t0 时刻的瞬时速度， 即物体在 t0 时刻的瞬时速度为
v
(
t0
)

lim
t t0
S
(
t) t
第五章 导 数
教学要求：
1. 熟练掌握导数的四则运算法则; 2. 熟练掌握反函数复合函数求导法则; 3. 熟记基本初等函数与常见的初等函
数的导数表达式; 4. 了解高阶导数的定义和高阶导数的
运算法则,包括高阶导数的莱布尼兹 公式 5. 掌握导数和微分的基本应用。
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第 五 章 导数与微分 §1 导数概念 在第一章我们研究了函数，函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但 是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因 变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即 将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞 行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻 的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。
例 1 求函数 f (x) x 2 在点 x 1 处的导数，并求曲线在点（1，1）处的
切线方程。
解：由定义求得
f(1)
lim
f(1Δx)
f(1)
lim(1 Δx)2
1
Δ x0
Δx
Δ x0
Δx
lim 2Δx Δx2 lim(2 Δx) 2
Δ x0
Δx
Δ x 0
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由此知道抛物线 y x 2 在点（1，1）处
的切线斜率为 所以切线方程为
k f(1) 2
y 1 2(x1)
即
y 2x 1.
例2
求函数
y 1 x
在
x0 0
处
的导数
解 根据导数的定义
1 1
f
(x 0
)

lim
Δx0
x0

Δx Δx
x0 lim x0 x0 Δx Δx0 Δxx0 (x0 Δx)