线代教案第1章行列式

第1章行列式（共4学时）

一、教学目标及基本要求

1．了解逆序数的概念

2．掌握n阶行列式的定义和行列式的性质

3．掌握行列式的按行（列）展开定理

4．利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值

二、教学内容与学时分配

1．预备知识

2．n阶行列式的定义（2学时）

3．行列式的性质

4．行列式的展开（2学时）

三、教学内容的重点及难点

重点：利用行列式性质及展开计算行列式

难点：行列式的计算技巧

四、教学内容的深化和拓宽

行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际中的应用，或讲稿中部分结论推广

五、思考题与习题

思考题：见讲稿

作业：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5）

六、教学方式与手段

注意行列式定义的引入，应用启发式

讲稿内容

1.1 预备知识

为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的三点

),(),,(),,(332211y x y x y x ，则以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值：.1112

1

3

3

22

11

y x y x y x 这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。下面我们利用线性方程组的求解引入行列式的概念。

设有二元线性方程组

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a

可用消元法来解该方程组。

1222211211222111222)(:)2()1(a b a b x a a a a a a -=-⨯-⨯ 2111122211222112111)(:)1()2(a b a b x a a a a a a -=-⨯-⨯

若0)(21122211≠-a a a a ，则21

1222112111122211222111222211,a a a a a

b a b x a a a a a b a b x --=--=

如果我们定义

bc ad d

c b a -=，

d

c b a 称为二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行

二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。这样一来，二元线性方程组的解可简

单表示为

D

D x D D x 2211,==

其中22

211211a a a a D =

为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式；

2221211a b a b D =

（用方程组的常数项代替系数行列式的第1列）

2

211

11

2b a b a D =

（用方程组的常数项代替系数行列式的第2列）

类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组：

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=+=++33332321

3123232221211

313212111b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ＋

定义32211331231233221133

32

31

23222113

1211

a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==

332112322311312213a a a a a a a a a --- 且0≠D ，则D

D x D D

x D D x 332211,,===

这里的D 是由三行三列组成的三阶行列式，每个ij a 为三阶行列式的一个元素，i 表示行标，j 表示列标，

i 行、j 列的交叉点就是元素ij a 。

前面我们定义了二阶、三阶行列式，要引入)3(>n n 阶行列式，上面的方法显然是不行的，一方面，行列式的阶数增大，等式右边的项数也必增多，写出所有的项数较困难（n 阶行列式右边有!n 项），也没有必要；

另一方面，等式右端每一项的符号何时取正？何时取负？为此，首先介绍，全排列、逆序数等概念。

把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列，简称排列。如3个不同元素3,2,1的所有可能排列有：.312,321,231,213,132,123

n 个不同元素的所有不同排列的个数，称为排列数，通常用n P 表示，如上63=P

如求n 个自然数n ⋅⋅⋅,3,2,1的全排列数!123)1(n n n P n =⋅⋅⋅⋅⋅-=

在!n 个不同排列中，规定某一个排列为标准顺序的排列，一般地，规定从小到大的排列为标准顺序（标准排列或称为自然排列）。

如果在一个排列n j i S S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21中，j i S S >而i S 在j S 的前面，则说它们形成了一个逆序（或反序），一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，用][1n s s t ⋅⋅⋅表示。

如0]123[=t ， 1]132[=t ， 3]321[=t

)(][111小的数的个数后面比s s s s t n =⋅⋅⋅ )(22小的数的个数后面比s s +

⋅⋅⋅+ )(11小的数的个数后面比--+n n s s

)(22大的数的个数前面比s s =)(33大的数的个数前面比s s + ⋅⋅⋅+)(大的数的个数前面比n n s s +

如510013]421365[=++++=t ，或510121]421365[=++++=t

又如).1(2

1

12)2()1(]321)1([-=

++⋅⋅⋅+-+-=⋅⋅⋅-n n n n n n t 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。

定理1 一个排列中，任意两个元素对换排列改变奇偶性。 证明：分相邻对换与非相邻对换两种情形来证明。

情形1：相邻对换.1111m l m l b bab a a b abb a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅

易知经过相邻对换后，11,,,,,l m a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅中的任何两个元素间的逆序个数没有变化，同时b a ,两个元素与元