创新设计数学人教B必修4：第一章 基本初等函数Ⅱ 综合检测 含解析
2019_2020学年高中数学第一章基本初等函数(Ⅱ)章末综合检测(一)新人教B版必修4
心角α＝
2r ＝
2.
r
13
π－x
5．对于函数 y＝sin 2
，下面说法中正确的是( )
A．函数是最小正周期为π的奇函数
B．函数是最小正周期为π的偶函数
C．函数是最小正周期为 2π的奇函数
D．函数是最小正周期为 2π的偶函数
13π －x
π－x
解析：选 D.y＝sin 2
＝sin 6π＋ 2
π－x ＝sin 2 ＝cos x.
3
6
kπ－π，kπ＋π
从而 f(x)的单调递增区间为
3
6 (k∈Z)．
19．(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一个
π 对称中心是( ，0)．
8
(1)求φ；
(2)求函数 y＝f(x)的单调增区间．
π 解：(1)因为( ，0)是函数 y＝f(x)的图象的对称中心，
所以 sin α＝－
1－cos2α＝－2
2 ，
3
sin α
所以 tan α＝
＝－2 2.
cos α
π 8．将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横
10
坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
2x－π A．y＝sin 10
1π x－
π
2π
－ ，0
0，
解：(1)因为 y＝cos x 在 3 上为增函数，在 3 上为减函数，
2π
1
所以当 x＝0 时，y 取最大值 1；x＝ 时，y 取最小值－ .
3
2
1 － ，1 所以 y＝cos x 的值域为 2 .
数学人教b版必修4：第一章 基本初等函数ⅱ 综合检测 含解析
综合检测(一)第一章基本初等函数(Ⅱ)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共计50分，请把答案填在题中的横线上)1．在“①160°；②480°；③－960°；④1 530°”这四个角中，属于第二象限角的是( )A．①B．①②C．①②③D．①②③④【解析】∵480°＝360°＋120°，－960°＝－3×360°＋120°，∴①②③均是第二象限角．又1 530°＝4×360°＋90°，④不是第二象限角．【答案】 C2．点P从(1,0)点出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点坐标为( )A．(12，32) B．(－32，－12)C．(－12，－32) D．(－32，12)【解析】设∠POQ＝θ，则θ＝π3 .又设Q(x，y)，则x＝cos π3＝12，y＝sinπ3＝32.【答案】 A3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A.15B.75C．－15D．－75【解析】r＝(3a)2＋(－4a)2＝－5a.∴sin α＝－4a－5a＝45，cos α＝3a－5a＝－35，∴sin α＋cos α＝45－35＝15.【答案】 A4．(2013·郑州高一检测)对于函数y＝sin(132π－x)，下列说法中正确的是( )A．函数是最小正周期为π的奇函数B．函数是最小正周期为π的偶函数C．函数是最小正周期为2π的奇函数D．函数是最小正周期为2π的偶函数【解析】y＝sin(132π－x)＝sin(π2－x)＝cos x，故D项正确．【答案】 D5．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．【答案】 A6.图1(2013·陕西师大附中高一检测)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图1所示，则( )A．ω＝2，φ＝π6B．ω＝1，φ＝－π6C．ω＝1，φ＝π6D．ω＝2，φ＝－π6【解析】由图可知T＝4(712π－π3)＝π.又T＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y＝sin(2x＋φ)，代入点(π3，1)，得sin(23π＋φ)＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝－π6 .【答案】 D7．函数y＝2cos(2x－π3)＋1在区间[－π4，π4]上的值域为( )A．[1－3，1＋3] B．[1－3，3] C．[－1,3] D．[－1,1＋3]【解析】∵－π4≤x≤π4，∴－5π6≤2x－π3≤π6，∴－32≤cos(2x－π3)≤1，∴1－3≤2cos(2x－π3)＋1≤3，故选B. 【答案】 B8．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( )A．－2 2 B．2 2。
2017-2018学年高中数学人教B版必修4：阶段质量检测一 基本初等函数Ⅱ 含解析 精品
阶段质量检测（一） 基本初等函数（Ⅱ）(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．y ＝sin x3是( )A ．周期为6π的奇函数B ．周期为π3的奇函数C ．周期为6π的偶函数D ．周期为3π的偶函数解析：选A y ＝sin x 3为奇函数，T ＝2π13＝6π，故选A.2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18D ．36解析：选C ∵l ＝αr ，∴6＝1×r . ∴r ＝6.∴S ＝12lr ＝12×6×6＝18.3．若－π2＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B ∵－π2＜α＜0，∴tan α<0，cos α＞0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限．4．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B ∵角θ的终边过(4，－3)， ∴cos θ＝45.∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.5．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )解析：选B 取x ＝0，则y ＝1，排除C 、D ；取x ＝π2，则y ＝0，排除A ，选B.6．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得12cos α＝6sin α，即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4且x ≠0， ∴π2－x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4且π2－x ≠π2， 即π2－x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4， 当π2－x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2时，y ≥1； 当π2－x ∈⎝⎛⎦⎤π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x 变为x ＋π3.∴y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.9.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋BA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )A ．A ＝3，T ＝2πB ．B ＝－1，ω＝2C ．T ＝4π，φ＝－π6D ．A ＝3，φ＝π6解析：选C 由题图可知T ＝2⎝⎛⎭⎫4π3＋2π3＝4π， A ＝12(2＋4)＝3，B ＝－1.∵T ＝4π，∴ω＝12.令12×4π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 10．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称C ．把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数 解析：选C 当x ＝π3时，2x ＋π3＝π，f (x )＝sin π＝0，不合题意，A 不正确；当x ＝π4时，2x ＋π3＝5π6，f (x )＝sin 5π6＝12，B 不正确；把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，C 正确；当x ＝π12时，f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π2＝1，当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin 2π3＝32＜1，在⎣⎡⎦⎤0，π6上f (x )不是增函数，D 不正确．11.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－7π12，5π12B.⎣⎡⎦⎤－7π12，－π12C.⎣⎡⎦⎤－π4，π6D.⎣⎡⎦⎤11π12，17π12解析：选D 由图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫512π，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×512π＋φ＝2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z)，取k ＝1，即得选项D. 12．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：选B 摩天轮转轴离地面高160－1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P离地面的高度h (米)与时间t (分钟)的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．arctan33＋arcsin ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 解析：∵arctan 33＝π6，arcsin ⎝⎛⎭⎫－12＝－π6， ∴arctan 33＋arcsin ⎝⎛⎭⎫－12＝0. 答案：014．已知sin(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－23，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：25515．已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝1和y ＝2所得的线段长分别为m ，n ，则m ，n 的大小关系是________．解析：∵两条直线所截得的线段长都为y ＝tan ωx (ω＞0)的最小正周期，∴m ＝n ＝πω.答案：m ＝n16．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为______． 解析：根据题意得g (x )＝2sin ωx ，又y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π4上为增函数，∴T 4≥π4，即ω≤2，所以ω的最大值为2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝12， 求cos (3π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－4π)cos (θ＋2π)cos (3π＋θ)＋cos (－θ)的值．解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ，所以sin θ＝－12. 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8. 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4， 因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z.∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调增区间为 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.19．(本小题满分12分)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值． (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12， 所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)试求ω的值．(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z.因为0＜ω＜1，所以k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，x ∈[－π，π]． 列表如下，则函数f (21．(本小题满分12分)已知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1. (1)f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换而来？(2)求f (x )的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值．解：(1)将函数y ＝sin x 图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y ＝3sin x 的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝3sin 2x 的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1的图象． (2)最小正周期T ＝π，由2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得对称轴方程为x ＝π8＋k π2(k ∈Z)．当2x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π8＋k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝2π，所以ω＝1， 易知B ＞0，又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，且－π2＜φ＜π2，得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1. (2)因为函数f (kx )＝2sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3＋1的周期为2π3， 又k ＞0，所以k ＝3.令t ＝3x －π3，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，如图：sin t ＝s 在t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3上有两个不同的解必须满足s ∈⎣⎡⎭⎫32，1，所以方程y ＝f (kx )(k ＞0)在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时恰好有两个不同的解必须满足m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。
高中数学人教B版必修4阶段质量检测(一) 基本初等函数(Ⅱ) Word版含解析
阶段质量检测（一）基本初等函数（Ⅱ）(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．＝是( )．周期为π的奇函数．周期为的奇函数．周期为π的偶函数．周期为π的偶函数解析：选＝为奇函数，＝＝π，故选.．弧度的圆心角所对的弧长为，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )．．．．解析：选∵＝α，∴＝×.∴＝.∴＝＝××＝.．若－＜α＜，则点( α，α)位于( )．第二象限．第一象限．第三象限．第四象限解析：选∵－＜α＜，∴α<，α＞，∴点( α，α)位于第二象限．．已知角θ的终边过点(，－)，则(π－θ)＝( )．－．－解析：选∵角θ的终边过(，－)，∴θ＝.∴(π－θ)＝－θ＝－.．函数＝－，∈[π]的大致图象是( )解析：选取＝，则＝，排除、；取＝，则＝，排除，选.．已知α＋α α－α)＝，则α－αα的值是( )．－．．－解析：选由α＋α α－α)＝，得α＝α，即α＝，所以α－αα＝α αα＋α)＝αα＋)＝.．函数＝的值域为( )．(－∞，－]∪[，＋∞)．[－]．[－，＋∞)．(－∞，]解析：选∵∈且≠，∴－∈且－≠，即－∈∪，当－∈时，≥；当－∈时，≤－，∴函数的值域是(－∞，－]∪[，＋∞)．．将函数＝的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式为( )．＝．＝．＝．＝解析：选将函数＝的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，即将变为，即可得＝，然后将其图象向左平移个单位，即将变为＋.∴＝＝..已知函数＝(ω＋φ)＋＞，ω＞，φ＜的周期为，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )．＝－，ω＝．＝，＝π．＝π，φ＝－．＝，φ＝解析：选由题图可知＝＝π，＝(＋)＝，＝－.∵＝π，∴ω＝.令×＋φ＝，得φ＝－.．设函数()＝，则下列结论正确的是( )．()的图象关于直线＝对称．()的图象关于点对称．把()的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象．()的最小正周期为π，且在上为增函数解析：选当＝时，＋＝π，()＝π＝，不合题意，不正确；当＝时，＋＝，()＝＝，不正确；把()的图象向左平移个单位，得到函数＝＝＝，是偶函数，正确；当＝时，＝＝，当＝时，＝＝＜，在上()不是增函数，不正确．。
高中数学人教B版必修四分层测评 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 分层测评2 Word版含答案
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.－25π6的角是()A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【解析】因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角.【答案】 D2.若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是() A.4 cm2 B.2 cm2C.4π cm2D.2π cm2【解析】r＝l|α|＝42＝2(cm)，S＝12lr＝12×4×2＝4(cm2).【答案】 A3.圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是()A.π2cm 2 B.3π2cm2C.π cm2D.3π cm2【解析】15°＝π12，则S＝12|α|r2＝12×π12×62＝3π2(cm2).【答案】 B4.下列说法不正确的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π C.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关. 【答案】 D5.集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界).故选C.【答案】 C 二、填空题6.把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π)的形式是________. 【解析】 法一：－570°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫570×π180rad＝－196πrad ， ∴－196π＝－4π＋56π.法二：－570°＝－2×360°＋150°， ∴－570°＝－4π＋56π. 【答案】 －4π＋56π7.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.【解析】 由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r ＝(π－2)rr ＝π－2(rad)， 扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2). 【答案】 π－2 2(π－2) 三、解答题 8.已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π)的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π). 【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9. 9.已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S 的最大值.【解】 (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎨⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，r ＝10，则α＝l r ＝2(rad).故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ， 故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100， 故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[能力提升]1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12B.2倍C.13D.3倍【解析】 设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为lr ，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍. 【答案】 D2.已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。
高中数学必修4(人教B版)第一章基本初等函数(2)1.2知识点总结含同步练习题及答案
tan [α + (2k + 1)π] = tan α
例题： 求下列各三角函数值：（1）sin 19π ；（2）cos(−1755∘ )；（3）tan 13π ．
3 19π π π √3 解：（1）sin ； = sin(6π + ) = sin = 3 3 3 2
（3）tan
3
（2）cos(−1755∘ ) == cos(45∘ − 5 × 360 ∘ ) = cos 45∘ =
13π π π = tan(4π + ) = tan = √3； 3 3 3
√2 ； 2
π 13π )；（2）cos(−420 ∘ )；（3）tan(− )． 4 6 π π √2 解：（1）sin(− ) = − sin( ) = − ； 4 4 2 1 （2）cos(−420 ∘ ) = cos(420 ∘ ) = cos(60∘ + 360 ∘ ) = cos 60∘ = ； 2 13π 13π π π √3 （3）tan(− ． ) = − tan = − tan( + 2π) = − tan = − 6 6 6 6 3
叫做 α 的正弦，记作 sin α ，即 sin α = 数、正弦函数和正切函数． 三角函数在各象限的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
y r x r y x x y
sin cos tan
+ + +
+ − −
− − +
− + −
特殊角的三角函数值
角α 弧度 正弦 余弦 正切
0∘ 0 0 1 0
180 ∘ π 0 −1 0
270 ∘ 3π 2 −1 0
2013-2014学年高中数学人教B版必修四单元测评第一章基本初等函数ⅡWord版含解析
单元测评 基本初等函数(Ⅱ)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．半径为π cm ，圆心角为π3的角所对的弧长是( ) A.π3 cm B.π23 cmC.2π3 cmD.2π23 cm解析：l ＝α·r ＝π3×π＝π23(cm)，故选B. 答案：B2．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A 的值是( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：因为cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，所以cos A ＝12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12.答案：B3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝12，则sin α＝( )A.55 B ．－55 C ．±55 D ．－255解析：由题意知tan α＝sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以sin α＝－55.答案：B4．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一条对称轴是直线x ＝－5π12；②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22；③若α，β均是第一象限的角，且α＞β，则sin α＞sin β.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，所以x ＝－5π12不是f (x )的一条对称轴，①错误；由f (x )＝min{sin x ，cos x }的图像可得f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，②正确；当α＝390°，β＝60°时，满足α＞β，但sin α＜sin β，③错误．故选B.答案：B5．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )解析：由题意，y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数解析式为y ＝cos x ＋1，向左平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)＋1，向下平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)，利用特殊点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0变为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，0，知选A.答案：A6．将函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53 D ．2解析：函数f (x )向右平移π4得到函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，因为此时函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0， 所以sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0，即ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ωπ2＝k π， 所以ω＝2k ，k ∈Z ，所以ω的最小值为2，选D. 答案：D7．在[0,2π]上满足sin x ≥32的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 解析：由图像知在[0,2π]上，若sin x ≥32，则π3≤x ≤2π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.故选C.答案：C8．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则f (x )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：作出函数y ＝4sin(2x ＋1)与函数y ＝x 的图像，如图，观察图像可知，两个函数有三个交点，故选D.答案：D9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( ) A ．－12B.32C ．－32 D.12解析：因为f (x )的最小正周期是π，且f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.故选B.答案：B10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫π24＝( )A ．2＋ 3B . 3 C.33 D ．2－ 3解析：由图像可知，此正切函数的周期等于2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2.从题图中知，图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.再由图像过定点(0,1)，可得A ＝1. 综上可知f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝__________. 解析：由周期公式得T ＝2π2＝π. 答案：π12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的一部分图像如图所示，如果A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则此函数的解析式为__________．解析：由图像知，A ＝2，b ＝2，T 4＝5π12－π6＝π4，由T ＝2πω得ω＝2，根据2×π6＋φ＝π2，得φ＝π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2. 答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2 13．函数y ＝cos 2x ＋3sin x ＋1(x ∈R )的最大值为__________，最小值为__________．解析：y ＝1－sin 2x ＋3sin x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋114，所以函数的最大值为114，最小值为1－ 3.答案：114 1－ 314．化简：1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos 2170°＝__________. 解析：1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos 2170°＝(sin10°－cos10°)2cos10°－sin10°＝1.答案：1三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知0＜α＜π2，sin α＝45. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋π)－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)的值．解：(1)因为0＜α＜π2，sin α＝45， 所以cos α＝35，故tan α＝43.(6分) (2)sin (α＋π)－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝－sin α＋2sin αsin α－cos α ＝sin αsin α－cos α ＝tan αtan α－1＝4.(12分)16．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的周期为π，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值．解：(1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2分)由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. ∴4π3＋φ＝2k π－π2，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z . 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(6分)(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3.(8分)∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1； 当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3. (12分)17．(13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0＜x ＜π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和．解： (1)显然A ＝2，又图像过点(0,1)，所以f (0)＝1，即sin φ＝12，因为|φ|＜π2，所以φ＝π6；由图像结合“五点法”可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0对应函数y ＝sin x 图像上的点(2π，0)，所以ω·11π12＋π6＝2π，得ω＝2.(4分)故所求函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(6分)(2)如图所示，在同一坐标系中作出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈(0，π))和y ＝m (m ∈R )的图像．(8分)由图可知，当－2＜m ＜1或1＜m ＜2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．所以m 的取值范围为－2＜m ＜1或1＜m ＜2. (10分)当－2＜m ＜1时，两根的和为4π3；当1＜m ＜2时，两根的和为π3.(13分)18．(13分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，0＜φ＜π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的解析式；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，求cos2α. 解：(1)依据周期公式可得周期T ＝2π3.(4分)(2)由题设可知A ＝4且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ＝1，则φ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝π4＋2k π(k ∈Z )．(8分)因为0＜φ＜π，所以φ＝π4.即f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(10分) (3)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos2α＝125，所以cos2α＝35.(13分)高考资源网版权所有！投稿可联系QQ ：1084591801。
数学人教B版必修4训练：第一章 基本初等函数(Ⅱ) 检测(B) Word版含解析
第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.-cos250°-sin250°的值等于()A.0B.1C.-1D.cos250°-sin250°=-(sin250°+cos250°)=-1.2.已知sin θ=-,θ∈-,则sin(θ-5π)·sin-的值是()A.B.-C.-D.sin θ=-,θ∈-知cos θ=.又sin(θ-5π)=sin(θ-π)=-sin θ,sin-=-cos θ,故sin(θ-5π)sin-=sin θcos θ=-=-.3.若cos θ=-,且θ∈(2π,3π),则θ等于()A.arccosB.arccos-C.2π+arccos-D.π-arccos-cos θ=-,所以arccos-∈(0,π),而cos(2π+θ)=cos θ=-,所以当θ∈(2π,3π)时,θ=2π+arccos-.4.函数y=-x cos x的部分图象是()y=-x cos x的图象上取点-,排除A,B;又取点-,排除C,故选D.5.cos,sin,-cos的大小关系是()A.cos>sin>-cosB.cos>-cos>sinC.cos<sin<-cosD.-cos<cos<sinsin=cos-,-cos=cos-,0<π-<π,又y=cos x在区间[0,π]上是减函数,故cos<sin<-cos.6.已知cos=-,且角φ的终边上有一点(2,a),则a等于()A.-B.2C.±2D.cos=-,得sin φ=,则,解得a=2.7.已知函数f(x)=sin x在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-1,f(b)=1,则cos等于()A.0B.C.-1D.1a=-,b=,则cos=cos 0=1,故选D.8.已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为()A.B.C.D.,即其中k∈Z,则ω=或ω=或ω=1.9.函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,若将其图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,且g(x)为奇函数,则函数f(x)的图象()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称T==π,则ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),所以g(x)=sin=sin.又g(x)为奇函数,则+φ=kπ(k∈Z),则φ=-,即f(x)=sin-.把x=代入得sin-=1,所以直线x=为f(x)图象的对称轴.故选C.10.为得到函数y=sin的图象,可将函数y=sin x的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是()A.B.C.D.2πm=2k1π+,n=2k2π+(k1,k2∈N),|m-n|=--,易知当k1-k2=1时,|m-n|min=.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.点P(sin 2 017°,tan 2 017°)位于平面直角坐标系的第象限.=5×360°+217°,因此2 017°是第三象限的角,sin 2 017°<0,tan 2 017°>0,故点P在第二象限.12.函数y=的最小正周期是.=|cos 2x|,其周期为y=cos 2x周期的一半,等于.13.设函数f(x)=a sin(πx+α)+b cos(πx+β),其中a,b,α,β∈R.若f(2 016)=5,则f(2 017)=.f(2 016)=a sin(2 016π+α)+b cos(2 016π+β)=a sin α+b cos β=5,所以f(2 017)=a sin(2 017π+α)+b cos(2 017π+β)=-a sin α-b cos β=-(a sin α+b cos β)=-5.514.若函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象中相邻的两支截直线y=所得线段的长为,则f的值为.T=.因为T=,所以,即ω=4,所以f(x)=tan 4x,所以f=tan=tan=tan.15.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)∈的部分图象如图所示,则关于函数f(x)的性质的结论正确的有(填序号).①f(x)的图象关于点-对称;②f(x)的图象关于直线x=对称;③f(x)在区间-上为增函数;④把f(x)的图象向右平移个单位长度,得到一个偶函数的图象.A=2,,故T=2,则ω=π.又ω+φ=+2kπ(k∈Z),由|φ|<,解得φ=,∴f(x)=2sin.∵f-=0,∴f(x)的图象关于点-对称,①正确;∵f=-2,∴f(x)的图象关于直线x=对称,②正确;由-≤x≤,得-≤πx+,∴f(x)在区间-上为增函数,③正确;f-=2sin-=2sin-=-2cos πx是偶函数,④正确.故答案为①②③④.三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)在△ABC中,sin A+cos A=,求tan A的值.sin A+cos A=, ①①式两边平方,得2sin A cos A=-,知cos A<0,A∈,∴sin A-cos A=-.②由①②,可得sin A=,cos A=-,∴tan A=-2- .17.(8分)(1)已知cos(π+α)=-,计算sin(2π-α)-tan(α-3π)的值;(2)求 - - -- -的值.∵cos(π+α)=-,∴cos α= ,sin α=±,∴sin(2π-α)-tan(α-3π)=-sin α-tan α= -为第一象限的角为第四象限的角 (2)原式=--- - -=-----=tan α·=1. 18.(9分)已知函数f (x )=A sin(3x+φ)(A>0,x ∈(-∞,+∞),0<φ<π)在x=时取得最大值4. (1)求f (x )的最小正周期;(2)若g (x )=f (-x ),求函数g (x )的单调区间.由已知得∈即A=4,φ=2k π+ (k ∈Z ). 因为φ∈(0,π),所以φ= ,于是f (x )=4sin,最小正周期T=.(2)由(1)知g (x )=4sin -=-4sin -,由2k π-≤3x-≤2k π+,k ∈Z , 解得≤x ≤,k ∈Z , 故g (x )的减区间是-(k ∈Z );由2k π+≤3x-≤2k π+,k ∈Z ,解得≤x ≤,k ∈Z ,故g(x)的增区间是(k∈Z).19.(10分)已知函数f(x)=1+2sin-(0<ω<10)的图象过点--.(1)求f(x)的解析式;(2)若y=t在x∈上与f(x)恒有交点,求实数t的取值范围.∵函数f(x)=1+2sin-的图象过点--,∴f-=-1,∴1+2sin--=-1,∴sin--=-1,∴-ω-=2kπ-(k∈Z),解得ω=-24k+2(k∈Z).∵0<ω<10,∴ω=2,∴f(x)=1+2sin-.(2)∵x∈,∴≤2x-,∴1-≤1+2sin-≤3即1-≤f(x ≤3.由题意可知1-≤t≤3 即实数t的取值范围为[1-,3].20.(10分)设x∈R,函数f(x)=cos(ωx+φ)-的最小正周期为π,且f.(1)求ω和φ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;(3)若f(x)>,求x的取值范围.∵函数f(x)的最小正周期T==π,∴ω=2.∵f=cos=cos=-sin φ=,且-<φ<0, ∴φ=-.(2)由(1)知f(x)=cos-,列表如下:作图象如图所示.(3)∵f(x)>,即cos-,∴2kπ-<2x-<2kπ+(k∈Z),即kπ+<x<kπ+(k∈Z).∴x的取值范围是∈.。
高中数学必修4(人教B版)第一章基本初等函数(2)1.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 基本初等函数（II） 1.1 任意角的概念与弧度制
一、学习任务
1. 了解任意角的概念，了解终边相同的角的意义．
2. 了解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的互化．
二、知识清单
任意角的概念 弧度制
三、知识讲解
1.任意角的概念
任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线的端点是 ，它从起始位置 按逆时针方向旋转到终止位置 ，形成一个角 ，射线 称为角的始边，射线 称为角的终边．
角的分类
正角（positive angle） 按逆时针方向旋转形成的角．
负角（negative angle） 按顺时针方向旋转形成的角．
零角（zero angle） 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．象限角与轴线角
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角（quadrant angle）．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角．
终边相同的角
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可以构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和．
O OA OB αOA OB x ααS ={β| β=α+k ⋅,k ∈Z
}360∘αα在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是 ；
②钝角一定大于锐角；
60∘
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【创新设计】高一数学人教B版必修4章末检测：第一章基本初等函数(Ⅱ).docx
章末检测一、选择题1.已知 cosu=+，Q W （370。
，520°）,则 a 等于（ ） A. 390° B. 420° C. 450° D. 480°答案B3.已知点P(tan a, cos a)在第三象限，则角a 的终边所在的象限为( )A.第一象限B.第二彖限C.第三象限D.第四象限答案B解析*.* P （tan a, cos a ）在第三象限, tan «<0, • < • •cos a<0, 由tan a<0,得a 在第二、四象限， 由cos «<0,得a 在第二、三象限・・・a 的终边在第二象限. 4.函数y=tan^()A.周期为2兀的奇函数B.周期为申的奇函数C.周期为兀的偶函数D.周期为2兀的偶函数答案A5.答案A 解析sin 1A. 5B. 4C・ 3 D. 2答案B2jr解析根据图象确定函数的最小正周期，再利用T=^求。
设函数的最小正周期为T, 由函数图象可知£=&+3—心=备所以r=f.2兀又因为T=%可解得e=4.6.已知/(x)=sin(x+^, g(x)=cos(x—号)，则./(x)的图象()A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移号个单位，得g(x)的图象D.向右平移号个单位，得g(x)的图彖=cos X,故将其图象向右平移号个单位，得y=g(x) = cos(x—号..sin &+cos 0 …M7-若sine-cos 广 2,则sinOcos。
的值是()3 c 3 小3 f 310 B l0 °士花D・a答案 B解析sin&+cos& tan&+l•・ /)/)—. q 1—2, ••tanO—3. sin c/—cos 0 tan (J— 1A./•sin Ocos 0=sin 0cos 0 tan 0sin2^+cos2^ tan2^+13To-8. 将函数y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动盒个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（答案c解析 函数尹=sin 金误!y=sin 错误!错误!y=sin 错误!.9. 动点/（x,尹）在圆x 2+y 2=\上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知 时间/=0时，点/的坐标是（*, ¥），则当0W/W12时，动点/的纵坐标y 关于K 单位：秒） 的函数的单调递增区间是（）A. [0,1]B. [1,7]C. [7,12]D. [0,1]和[7,12] 答案D解析 \*T =\2t ••<Z ,=Y2=6,从而设y 关于/的函数为y=sin （?/+e ）・ 又T/=0时,尹=誓,・：可取卩=扌，・\y=sin （号+》,TT・；当2加一㊁Wg+亍W2加+㊁伙丘Z ）, 即12k —5WfW12k+l 伙GZ ）时，函数递增.・・・0WfW12,・•・函数的单调递增区间为［0,1］和［7,12］. 10.函数卩=盒，xe （-7r, o ）u （o,兀）的图象可能是下列图象中的（）o 111 N答案Cy1 y2丿丿_7T7 O F XOorxB:y : :2 io L 〃 1 1 1CD解析是偶函数,排除A；^111 tA71尸?时，y=-^=|>l,排除B；sin62当x=2时，尹二石肓^,排除D.二、填空题11.已知一扇形的弧所对的圆心角为54。
高中数学必修四(人教B版)练习：第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.2.3 Word版含解析
第一章 1.2 1.2.3一、选择题1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( )A ．513B ．－513C ．512D ．－512[答案] B[解析] ∵α是第四象限角，cos α＝1213，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(1213)2＝－513.2．下列说法中，可能成立的一个为( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α为第四象限角，tan α＝－sin αcos α[答案] B[解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴选项A 一定不成立，选项B 可能成立．选项C 中，tan α＝1，∴sin α＝cos α，∴cos α≠－1.选项D 中，应有tan α＝sin αcos α，故tan α＝－sin αcos α不成立．3．(2015·福建文，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512[答案] D[解析] 由sin α＝－513，且α为第四象限角，则cos α＝1－sin 2 α＝1213，则tan α＝sin αcos α＝－512，故选D ．4．若2sin α＝3cos α，则4sin α＋cos α5sin α－2cos α的值等于( )A ．1411B ．2C ．－109D ．1411或1019[答案] A[解析] ∵2sin α＝3cos α， ∴tan α＝32.∴4sin α＋cos α5sin α－2cos α＝4tan α＋15tan α－2＝4×32＋15×32－2＝1411. 5．(2015·河北行唐启明中学高一月考)若π2<α<π，化简1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α的结果是( )A ．－2tan αB ．2tan αC ．－2cot αD ．2cot α[答案] A[解析] ∵π2<α<π，∴cos α<0.∴1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α. 6．设sin α＋cos α＝－2，则tan α＋cot α的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2[答案] B[解析] (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，tan α＋cot α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.二、填空题7．化简：1－cos 24＝________. [答案] －sin4[解析] ∵4＝4×(180π)°≈229°12′，∴sin4<0， ∴1－cos 24＝sin 24＝－sin4.8．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [答案]223[解析] ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.三、解答题9．已知3sin α－2cos α＝0，求下列各式的值． (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)sin 2α－2sinαcos α＋4cos 2α.[解析] (1)显然cos α≠0，∴tan α＝23，cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10.(2015·潍坊一中高一检测)已知sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，求sin x 、cos x 、tan x 的值．[解析] 将sin x ＋cos x ＝15两边平方得，1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425<0，又∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x －cos x >0. ∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝75，得⎩⎨⎧sin x ＝45cos x ＝－35.∴tan x ＝sin x cos x ＝－43.故sin x ＝45，cos x ＝－35，tan x ＝－43.一、选择题1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．1[答案] A[解析] 由sin α－cos α＝2两边平方，得1－2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝－12.∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－12， ∴tan 2α＋2tan α＋1＝0， ∴(tan α＋1)2＝0，∴tan α＝－1.2．已知α为第四象限角，则cos α·csc α·sec 2α－1的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．1 D ．－1[答案] D[解析] 原式＝cos α·1sin α·|tan α|＝cot α·(－tan α)＝－1.3．若α∈[0,2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A ．[0，π2)B ．[π2，π]C ．(π2，π)D ．[π，3π2][答案] B [解析] ∵1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin 2α＋cos 2α＝sin α－cos α， ∴sin α≥0，cos α≤0， 又∵α∈[0,2π)，∴α∈[π2，π]．4．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13[答案] A[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝59，∴sin 2θcos 2θ＝29，∵是第三象限角，∴sin θcos θ＝23. 二、填空题5．已知sin αcos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________.[答案] －32[解析] ∵π4<α<π2，∴sin α>cos α，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－1－2×18＝－32.6．若sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2m m ＋5，π2<α<π，则m ＝________.[答案] 8[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －3m ＋5>04－2mm ＋5<0(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1，解得m ＝8，∴m ＝8. 三、解答题7．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2cos α－2sin α2cos α＋2sin α； (2)3sin 2α－4sin αcos α＋cos 2α. [解析] ∵tan α＝2，∴cos α≠0.(1)原式＝2－2tan α2＋2tan α＝2－222＋22＝22－3.(2)原式＝3sin 2α－4sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α－4tan α＋1tan 2α＋1＝3×22－4×2＋122＋1＝1.8. 已知sin x ＋sin y ＝13，求u ＝sin y －cos 2x 的最值．[解析] ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x .∴u ＝sin y －cos 2x ＝13－sin x －cos 2x＝13－sin x －1＋sin 2x ＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112，∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时，u min ＝－1112，当sin x ＝－1时，u max ＝43.。
人教新课标版数学高一-人教B版必修4练习 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 章末检测(A)
第一章 基本初等函数（Ⅱ）（A ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 600°＋tan 240°的值是( )A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D ．12＋ 32．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈0,2π)内α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π7．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )8．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度9．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5AC ．5 3 AD ．10 A10．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π411．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A ．23B ．43C ．32D ．312．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________．14．方程sin πx ＝14x 的解的个数是________．15．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________．16．已知函数y ＝sin πx3在区间上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．18．(12分)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．19．(12分)如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π2)的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π．(1)求θ和ω的值；(2)已知点A (π2，0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈hslx3y3h π2，πsin(2π－α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45．又α∈(3π2，2π)，∴cos α＝35．∴sin α＋cos αsin α－cos α＝17，故选A ．检验f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ是否取到最值即可．sin α－cos α>0且tan α>0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π，54π．当a ＝0时f (x )＝1，C 符合， 当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合， 当|a |>1时T <2π，B 符合．排除A 、B 、C ，故选D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －23π＝cos2⎝⎛⎭⎫x －π3．由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴T ＝150，∴ω＝2πT ＝100π．∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． (1300，10)为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2．∴φ＝π6．∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A ．∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2．∵图象与直线y ＝2的两个交点横坐标为x 1，x 2，|x 2－x 1|min ＝π，即T min ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2，故选A ．由函数向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω>0， ∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32．∵y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称， 即3cos(2×4π3＋φ)＝0，∴8π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ．∴φ＝－13π6＋k π．∴当k ＝2时，|φ|有最小值π6．－1,2hslx3y3h ．22．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，所以ω＝1，A ＝1．由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3． (2)方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．。
人教B版数学必修4 章末综合测评1 基本初等函数(Ⅱ)
章末综合测评(一)基本初等函数(Ⅱ)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在“①160°；②480°；③－960°；④1 530°”这四个角中，属于第二象限角的是()A．①B．①②C．①②③D．①②③④C[①∵90°<160°<180°，∴160°的角在第二象限；②∵480°＝120°＋360°，90°<120°<180°，∴480°的角在第二象限；③∵－960°＝120°－1 080°，∴－960°的角在第二象限；④∵1 530°＝90°＋1 440°，∴1 530°的角在y轴的正半轴上．故选C.]2．若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是()A．4 cm2B．2 cm2C．4π cm2D．1 cm2D[由题可知α＝2，l＝2，则r＝lα＝22＝1，∴S＝12l·r＝1，故选D.]3．已知tan α＝3，则2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α的值为()A．3 B.2110 C.13 D.130B[2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α＝2sin2α＋4sin αcos α－9cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α＋4tan α－9tan2α＋1，由于tan α＝3，原式＝2×32＋4×3－932＋1＝2110.]4．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －xD [∵函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，∴函数y ＝x 不具有奇偶性；易知函数y ＝|sin x |和y ＝cos x 都是偶函数；对于函数y ＝e x －e －x 有：f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴函数y ＝e x －e －x 是奇函数．]5．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos α－sin α等于( ) A ．－153 B ．－159 C.159D.153A [由sin α＋cos α＝33，两边平方得1＋2sin αcos α＝13， ∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153. ∴cos α－sin α＝－153.]6．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向左平行移动π6个单位长度 D ．向右平行移动π6个单位长度 D [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴将函数y ＝sin 2x 的图象向右平行移动π6个单位长度， 可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．]7．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >bA [a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos 234π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，所以b >a >c .故选A.]8．如图是函数y ＝f (x )图象的一部分，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C [T 2＝π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，∴T ＝π2，∴ω＝4，排除A ，B ，D 项，故选C.]9．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xA [y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 项正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 项不正确；C ，D 项均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 项不正确．]10．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3 B ．ω＝2，φ＝π6 C ．ω＝4，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6B [T ＝2πω＝π，∴ω＝2.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位得函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3的图象关于y 轴对称，∴φ－2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝76π＋k π，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π6.故选B.]11．f (x )是定义在(0,3)上的函数，其图象如图所示，那么不等式f (x )·cos x <0的解集是( )A ．(0,1)∪(2,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 C ．(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3D ．(0,1)∪(1,3)C [在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图，使不等式f (x )·cos x <0成立的x 集合为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.]12．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，又s >0，所以s 的最小值为π6.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π [∵sin α∈[－1,1]，∴－sin α∈[－1,1]， ∴已知直线的斜率范围为[－1,1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.] 14．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．[1,2) [f (x )有两个零点，即m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根． 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，结合正弦曲线知m ∈[1,2)．]15．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的对称轴方程为ωx －π6＝k π＋π2，即x ＝k πω＋2π3ω(k ∈Z )．g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的对称轴方程为2x ＋φ＝k π， 即x ＝k π2－φ2(k ∈Z )．由题意k πω＋2π3ω＝k π2－φ2，知ω＝2， ∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.]16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减，其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①②③ [对于①，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，故①正确． 对于②，当x ＝712π时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×712π－π4＝2sin 32π＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0<α<π2，sin α＝45. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋π)－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)的值．[解] (1)因为0<α<π2，sin α＝45， 所以cos α＝35，故tan α＝43. (2)sin (α＋π)－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α) ＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋a 2＋b (x ∈R ，a >0，ω>0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω、a 、b 的值； (2)指出f (x )的单调递增区间．[解] (1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1， 又f (x )的最大值是74，最小值是34， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b ＝74－a ＋a 2＋b ＝34，解得：a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知：f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )时，f (x )单调递增， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．19．(本小题满分12分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．[解] (1)∵α终边过点P (4，－3)， ∴r ＝|OP |＝5，x ＝4，y ＝－3， ∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.(2)∵α终边过点P (4a ，－3a )，(a ≠0)， ∴r ＝|OP |＝5|a |，x ＝4a ，y ＝－3a .当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45， ∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45， ∴2sin α＋cos α＝25.综上，2sin α＋cos α＝－25或25. (3)当点P 在第一象限时，sin α＝35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝2； 当点P 在第二象限时，sin α＝35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2； 当点P 在第四象限时，sin α＝－35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.20.(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得到函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的取值集合．[解] (1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2， 将y ＝A sin 2x 的图象向左平移π12， 得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象， 于是φ＝2·π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2.此时x的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z. 21．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.22．(本小题满分12分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R )．(1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．[解] (1)由f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x ＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x )＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－a 22－2a －1. 这里－1≤cos x ≤1.①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a 2时，取最小值－a 22－2a －1；②若a 2>1，则当cos x ＝1时，取最小值1－4a ；③若a 2<－1，则当cos x ＝－1时，取最小值1.因此g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， (a <－2)，－a 22－2a －1， (－2≤a ≤2)，1－4a ， (a >2).(2)因为g (a )＝12.所以①若a >2，则有1－4a ＝12，得a ＝18，矛盾；②若－2≤a ≤2，则有－a 22－2a －1＝12，即a 2＋4a ＋3＝0，所以a ＝－1或a ＝－3(舍)；③若a ＜－2时，g (a )≠12，矛盾．所以g (a )＝12时，a ＝－1.此时f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋12， 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值5.。
人教B版高中数学必修四高中第一章基本初等函数(II)同步练测(答案解析)
第一章 基本初等函数（II ）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 623sin 的值等于（ ） A.21B. 21-C.23D.23-2. 下列角中终边与 330° 相同的角是（ ）A. 30°B. - 30°C.630°D.-630°3. 函数y =||x x sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是（ ）A. {1}B. {1，3}C. {- 1}D. {- 1，3}4. 如果αα αα cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么tan α的值为（ ）A. -2B.2C.1623D.-16235. 如果 sin α + cos α =43，那么 sin 3 α – cos 3 α 的值为（ ）A. 2312825B.-2312825C.2312825或-2312825D.以上全错6. 若 a 为常数，且a ＞1，0≤x ≤2π，则函数f (x )= cos 2 x + 2a sin x - 1的最大值为（ ）A. 12+aB. 12-aC. 12--aD. 2a7.函数y = sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2 4π的单调增区间是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8π3π 8π3πk k ，，k ∈Z B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++8π5π 8ππk k ，，k ∈Z C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-83ππ 8ππk k ，，k ∈Z D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87ππ 83ππk k ，，k ∈Z 8. 若函数y = f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍,再将整个图象沿x轴向左平移2π个单位长度,沿y 轴向下平移1个单位长度，得到函数y =21sin x 的图象,则函数y =f (x )是（ ）A.y =12π2sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛+xB. y =12π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C. y =14π2sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛+xD. y =14π2sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛-x9. 如图是函数y = 2sin(ωx + φ)，＜2π的图象，那么（ ）A.=1110，φ=6πB.=1011，φ=-6πC.=2，φ=6πD.=2，φ=-6π10. 若cos α＝－ ，α是第三象限的角，则＝( ) A.－ B. C.2 D.－211.函数y ＝ sin 2x ＋ － 的最小正周期等于( )A.πB.2πC.D.12.化简＝( )A.－2B.－C.－1D.1二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若扇形的半径为R ，所对圆心角为α，扇形的周长为定值c ，则这个扇形的最大面积为 .14. 函数y =2sin(2x +6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 . 15. 若 cos(75° + α)=31，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= .16. 关于函数f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x -π6)；。
高中数学人教B版必修四分层测评 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 分层测评6 Word版含答案
学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·包头高一月考)sin 25π6的值为( ) A.12 B.22 C.－12D.－32【解析】 sin 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝sin π6＝12，故选A.【答案】 A2.给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】 ①sin(－1 000°)＝sin(－360°×3＋80°)＝sin 80°>0； ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4＝22>0；③∵π2<2<π，∴tan 2<0.【答案】 B3.记cos(－80°)＝k ，那么tan 440°＝( ) A.1－k 2k B.－1－k 2k C.k1－k2 D.－k 1－k2 【解析】 ∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，tan440°＝tan(360°＋80°)＝tan 80°＝sin 80°cos 80°＝1－k 2k ，故选A.【答案】 A4.(2016·潍坊高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α＝a ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝( )A.aB.－aC.±aD.不确定【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝2π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝－a .故选B.【答案】 B5.1－2sin (2π＋2)cos (2π－2)＝( ) A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2 C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2【解析】 原式＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|.而sin 2＞cos 2，故应选A.【答案】 A 二、填空题6.cos 1 110°的值为________.【解析】 cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. 【答案】 327.若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________. 【解析】 由三角函数定义知，tan 420°＝－a 4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3，∴－a4＝3，∴a ＝－4 3. 【答案】 －4 38.(2015·北京高一检测)化简：cos (2π＋α)sin (4π－α)tan (－α－2π)cos 2(－α)＝________.【解析】 原式＝cos αsin (－α)tan (－α)cos 2α＝cos αsin (－α)－tan αcos 2α＝cos α(－sin α)－sin αcos α·cos 2α＝1.【答案】 1 二、解答题 9.求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π. 【解】 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12.10.化简：sin 2(α－2π)cos (2π＋α)cot (－α－2π)tan (2π－α)cos 3(－α－4π).【解】 原式＝sin 2α·cos α·cot (－α)tan (－α)cos 3(－α)＝sin 2αcos α·cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin αcos α·cos 3α·sin (－α) ＝sin 2α·cos 2αsin 2α·cos 2α＝1.[能力提升]1.设f (α)＝2sin (2π－α)cos (2π＋α)－cos (－α)1＋sin 2α＋sin (2π＋α)－cos 2(4π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π的值为( ) A.33 B.－33 C.3 D.－ 3【解析】 f (α)＝2sin (－α)cos α－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝－cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝－1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝－1tan π6＝－ 3. 【答案】 D2.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为( )A.59 B.119 C.－59D.－119【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝1－19＝89，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π＋α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13＋89＝119.【答案】 B3.设f (x )＝⎩⎨⎧sin πx ，x ＜0，f (x －1)＋1，x ≥0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ＜12，g (x －1)＋1，x ≥12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝________.【解析】 原式＝cos π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋1＝22＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋3＝22－32＋32－22＋3＝3. 【答案】 34.设函数f (x )＝a sin(πx ＋a )－b cos(πx －b )＋c tan(πx ＋c )，其中a ，b ，c ∈R 且abc ≠0，且有f (2 012)＝－1，求f (2 016)的值.【解】 f (2 012)＝a sin(2 012π＋a )－b cos(2 012π－b )＋c tan(2 012π＋c ) ＝a sin a －b cos b ＋c tan c ，而f (2 016)＝a sin(2 016π＋a )－b cos(2 016π－b )＋c tan(2 016π＋c ) ＝a sin a －b cos b ＋c tan c ， ∴f (2 016)＝f (2 012)＝－1.。
高中数学必修4(人教B版)第一章基本初等函数(2)1.3知识点总结含同步练习题及答案
1 sin x 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变），从而得到 y = sin x 2 1 ，从而得到 y = sin 2x 的图 2
（3）将 y = sin x 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 象． 函数 y = 2 sin(
1 π x + ) 的图象是由函数 y = sin x 的图象怎样变换得到的？ 3 4 π π π 解：变换一：将 y = sin x 的图象向左平移 个单位，得到 y = sin(x + )，再将 y = sin(x + ) 4 4 4 1 π 的纵坐标不变，横坐标变为原来的 3 倍得，y = sin( x + )，然后横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 3 4 1 π 倍，得 y = 2 sin( x + ) ； 3 4 1 1 变换二：将 y = sin x 的纵坐标不变，横坐标变为原来的 3 倍，得 y = sin( x)，再将 y = sin( x) 3 3 3π 1 3π 1 π 的图象向左平移 ，得 y = sin[ (x + )]，即 y = sin( x + ) ，然后将纵坐标变为原来的 2 4 3 4 3 4 1 π 倍，得 y = 2 sin( x + ) ． 3 4
8
2π = π； 2 π π π π 5π ② 当 − + 2kπ ≤ 2x − ≤ + 2kπ，即 − + kπ ≤ x ≤ + kπ（k ∈ Z） 时，f (x) 的单调 2 3 2 12 12 π 5π 递增区间是 [− + kπ, + kπ](k ∈ Z)； 12 12 π π 3π 5π 11π 当 + 2kπ ≤ 2x − ≤ + 2kπ ，即 + kπ ≤ x ≤ + kπ 时，f (x) 的单调递减区间是 2 3 2 12 12 5π 11π [ + kπ, + kπ ](k ∈ Z)； 12 12 π π 5π kπ 5π kπ ③ 当 2x − 时，f (x) 的对称轴是 x = = + kπ，即 x = + + , k ∈ Z； 3 2 12 2 12 2 π π kπ π k ④ 当 2x − ，所以 f (x) 的对称中心是 ( + π, 0 ), k ∈ Z． = kπ，即 x = + 3 6 2 6 2 π ) 的定义域、值域，并指出它的最小正周期、奇偶性、单调性、对称中心． 3 π π 5 kπ 解：由已知 3x − ≠ + kπ，解得 x ≠ π+ , k ∈ Z ，所以，函数的定义域为 3 2 18 3 5 kπ π {x|x ≠ π+ , k ∈ Z} ，函数的值域为 (−∞, +∞) ，最小正周期为 T = ．因为函数的定义域不 18 3 3
高中人教B版数学必修四第一章基本初等函数(Ⅱ)检测(A)含解析
第一章检测 (A)(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每题 5 分,共 50 分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的)1.若α=- 6,则角α的终边在 ()A .第一象限B .第二象限C.第三象限 D .第四象限分析 :α=- 6≈-(6×57.30) °=- 343.8°,故角α的终边在第一象限.答案 :A2.若β∈ [0,2 π],且= sin β-cos β,则β的取值范围是 ()A. B.C. D .分析 :∵∴=| sin β|+| cos β|= sin β-cos β, sin β≥0,cosβ≤0,又β∈[0,2 π], ∴β∈.答案 :B3.已知角α的终边经过点 P(,-1),则 ()A.cos α=-B.sin α+cos α= 2C.tan α+cot α=1D.cos α+ tan α=分析 :因为 x=,y=- 1,r= 2,所以 sin α=- ,cos α= ,tan α=- ,进而 cos α+ tan α=.答案 :D4.记 cos(- 80°)=k,则 tan 100 等°于 ()A. B. -C. D. -分析 :由 cos(-80°)=k ,得 cos 80 °=k,所以 sin 80 °=,于是 tan 100 °=- tan 80 °=-=-.答案 :B5.已知 a∈R ,函数 f(x)= sin x-|a| ,x∈R 为奇函数 ,则 a 等于 ()A.0B.1C.-1D. ±1分析 :由 f(x)= sin x-|a| ,x∈ R 为奇函数 ,得 f(0) =0,可得 |a|= 0,即 a= 0.答案 :A6.已知函数f(x)=A cos(ωx+ φ)的图象以下图,f=- ,则 f(0) = ()A.-B.-C. D .分析 :由图象可知所求函数的周期为,故ω= 3.将代入分析式得+ φ= + 2kπ(k∈ Z),所以φ=-+ 2kπ(k∈ Z) .令φ=- ,代入分析式得f(x)=A cos.因为 f=-A sin =- ,所以 f(0)=A cos=A cos.应选 C.答案 :C7.函数y=A sin(ωx+ φ)的部分图象以下图,则该函数表达式为()A .y= 2sinB.y= 2sinC.y= 2sinD.y= 2sin分析 :易知 A= 2,函数周期为T= 2(5-1)= 8,即= 8,所以ω= ,这时 y= 2sin.又函数图象过点 (1,2),代入得φ= ,故所求函数分析式为y= 2sin.答案 :C8.函数 y= sin 3x 的图象能够由函数y=cos 3x 的图象()A. 向右平移个单位长度获得B.向左平移个单位长度获得C.向右平移个单位长度获得D.向左平移个单位长度获得分析 :因为 y= cos 3x= sin= sin,所以应将函数y= cos 3x 图象向右平移个单位长度才能获得函数y= sin 3x 的图象 .答案 :A9.给出以下三个条件: ①在区间上是增函数;②最小正周期是π;③是偶函数.同时知足以上三个条件的函数是()A. y= sin xB. y=2-cos xC.y= sin|x|D. y=| sin x|答案 :D10.函数 f(x) = lg sin的一个单一递加区间为()A. B.C. D .分析 :由 sin> 0,得 sin< 0,故π+ 2kπ< 2x- < 2π+ 2kπ(k∈ Z).又 f(x)= lg sin的单一递加区间即为sin在定义域内的单一递加区间, 即sin在定义域内的单调递减区间 , 故π+ 2kπ< 2x-+ 2kπ(k ∈ Z ), 化简得+k π<x< +k π(k∈ Z), 当 k= 0 时 , <x< .应选 C.答案 :C二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.函数 y= tan的最小正周期是.分析 :最小正周期是T== 2.答案 :212.计算 :arcsin 0+ arcsin + arcsin + arcsin + arcsin 1=.分析 :原式=0+.答案 :13.若 f( x)= 3cos是奇函数,则φ的最小正当为.分析 :依题意有φ- =kπ+(k∈ Z),解得φ=k π+ (k∈ Z),所以当 k= 0 时 ,φ取最小正当.答案 :14.函数 y= sin2x+ sin x-1 的值域为.分析 :y= sin2x+ sin x-1=,因为 sin x∈ [- 1,1],所以 y∈,即值域为.答案 :15.若不等式tan x>a 在 x∈时恒建立,则实数a的取值范围是.分析 :因为函数y= tan x 在上单一递加,所以tan x>- 1,故要使不等式恒建立,应有 a≤-1.答案 :a≤-1三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )16.(8 分 )已知 cos=a (|a| ≤ 1),求 cos和sin的值.解 :cos=cos=- cos=-a ;sin= sin= cos=a.17.(8 分 )若 f( x)=- cos2x+ cos x+m 的最小值为5,求其最大值 .解 : 因为 f(x)=- cos2x+cos x+m=-+m,而 -1≤cosx≤1,所以当 cos x=- 1 时 ,f(x)取最小值 -2+m,即 -2+m= 5,所以 m=7.所以 ,当 cos x= 时,f(x)取最大值+ 7=.18.(9 分 )已知 f(x)=sin(2 x+ φ)(- π< φ< 0),y=f (x)图象的一条对称轴是直线x= .(1)求φ;(2)画出函数 y=f (x)在区间 [0,π]上的图象 .解 :(1)∵x= 是函数 y=f (x)图象的一条对称轴 ,∴sin=±1,∴+ φ=k π+ ,k∈ Z .∵-π< φ< 0,∴φ=-.(2)由 (1) 得 f(x)= sin.列表以下 :x0πy--1010-故函数 y=f (x)在区间 [0,π]上的图象以下图.19.(10 分 )已知函数 f(x)=A sin( ωx+ φ),x∈ R的周期为π,且图象上一个最低点为M.(1)求 f(x)的分析式 ;(2)当 x∈时,求f(x)的最值.解 :(1)由最低点为M,得 A= 2.由 T= π,得ω== 2.由点 M在图象上,得2sin=- 2,即 sin=- 1,∴+ φ= 2kπ- ,k∈ Z,∴φ= 2kπ-,k∈Z .又φ∈,∴φ= .∴f(x)= 2sin.(2)∵x∈∴., 2x+∴当 2x+,即 x= 0 时 ,f( x)获得最小值1;当 2x+,即 x=时,f(x)获得最大值.20.(10 分 )已知函数f(x)= 3sin(ω∈ Z,ω> 0)的最小正周期为T,且知足 T∈ (1,3) .(1)求ω的全部取值 ;(2)当ω取最小值时 ,求函数 f(x) 的单一区间 .解 :(1)依题意 ,得 T= ,所以 1< <3,即< ω< 2π.因为ω∈ Z,且ω> 0,所以ω的全部取值为3,4,5,6.(2)当ω= 3 时 ,f(x)= 3sin.令 2kπ- ≤3x+≤2kπ+ (k∈ Z),解得≤x≤(k∈ Z).令 2kπ+ ≤3x+ ≤2kπ+ (k∈ Z), 解得≤x≤(k∈ Z),所以f(x) 的单调递增区间是(k ∈ Z), 单调递减区间是(k∈ Z).。
高中数学必修四(人教B版)练习：第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.3.3 Word版含解析
第一章 1.3 1.3.3一、选择题1．以下各式中错误的是( ) A ．arcsin1＝π2B ．arccos(－1)＝πC ．arctan0＝0D ．arccos1＝2π[答案] D[解析] arcsin x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，arccos x ∈[0，π]， arctan x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，故arccos1＝0. 2．给出下列等式：①arcsin π2＝1；②arcsin(－12)＝－π6；③arcsinsin π3＝π3；④sin(arcsin 12)＝12.其中正确等式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] 对于①，由于x ＝arcsin y 中－1≤y ≤1，而π2>1.故①式无意义；对于②，在[－π2，π2]上只有sin(－π6)＝－12，所以arcsin(－12)＝－π6，故②正确；对于③、④由反正弦的定义知是正确的．3．已知cos α＝12，α∈(－π2，π2)，则( )A ．α＝π3B ．α＝－π3C ．α＝±π3D ．α＝±π6[答案] C[解析] 验证：cos π3＝12，cos(－π3)＝12，故选C ．4．若tan x ＝0，则角x 等于( ) A ．k π(k ∈Z )B ．π2＋k π(k ∈Z )C ．π2＋2k π(k ∈Z )D ．－π2＋2k π(k ∈Z )[答案] A[解析] 选项B 、C 、D 使得tan x 无意义，故选A ． 5．使arcsin(1－x )有意义的x 的取值范围是( ) A ．[1－π，1] B ．[0,2] C ．(－∞，1] D ．[－1,1] [答案] B[解析] 要使y ＝arcsin(1－x )有意义，应满足－1≤1－x ≤1，∴0≤x ≤2，故选B ． 6．已知x ∈(－π，0)，且cos x ＝－34，则角x 等于( )A ．arccos 34B ．－arccos 34C ．π－arccos 34D ．－π＋arccos 34[答案] D[解析] arccos 34∈(0，π2)，排除A ；π－arccos 34∈(π2，π)，排除C ；cos(－arccos 34)＝cos(arccos 34)＝34，排除B ，故选D ． 二、填空题 7．(1)arccos ⎝⎛⎭⎫－32＝________； (2)arctan(－1)＝________. [答案] (1)5π6 (2)－π4[解析] (1)∵arccos x ∈[0，π]，∴arccos ⎝⎛⎭⎫－32＝5π6. (2)∵arctan x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴arctan(－1)＝－π4.8．tan x ＝－0.420 1，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则x ＝________. [答案] π－arctan0.420 1[解析] ∵tan α＝0.420 1，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，α＝arctan0.420 1， 又∵tan x ＝－0.420 1<0，∴x 为第二或四象限角，又π2<x <3π2，∴x 为第二象限角， ∴x ＝π－arctan0.4201. 三、解答题9．用反三角函数表示下列各式中的x . (1)sin x ＝－14，－π2<x <π2；(2)sin x ＝25，π2<x <π；(3)cos x ＝13，－π2<x <0；(4)tan x ＝－15，－π2<x <0.[解析] (1)x ＝－arcsin 14.(2)∵π2<x <π，∴0<π－x <π2，∵sin x ＝25，∴sin(π－x )＝25，∴π－x ＝arcsin 25，∴x ＝π－arcsin 25.(3)∵－π2<x <0，∴0<－x <π2，又cos(－x )＝cos x ＝13，∴－x ＝arccos 13，∴x ＝－arccos 13.(4)x ＝－arctan 15.10．已知sin(π－x )－cos(π＋x )＝1－32，x 是第二象限的角．求：(1)sin x 、cos x 的值； (2)x 的取值集合．[解析] 已知sin(π－x )－cos(π＋x ) ＝sin x ＋cos x ＝1－32，且x 为第二象限的角．(1)因为sin x ＋cos x ＝1－32，①所以式①两边平方得 sin x cos x ＝－34.② 由式①、②解得sin x ＝12，cos x ＝－32.(2)当x ∈(0,2π)时，x ＝5π6.若x ∈R ，则x ＝2k π＋5π6(k ∈Z )．从而x 的取值集合为{x |x ＝2k π＋5π6，k ∈Z }．一、选择题1．已知cos x ＝－1，则x 等于( ) A ．πB ．k π，k ∈ZC ．k π－π2，k ∈ZD ．(2k －1)π，k ∈Z[答案] D[解析] ∵cos x ＝－1，∴角x 的终边在x 轴的负半轴上， ∴x ＝(2k －1)π，k ∈Z .2．若tan x ＝0.2，则角x ＝( ) A ．arctan0.2 B ．2k π＋arctan0.2 C ．k π＋arctan0.2 D ．k π－arctan0.2 [答案] C[解析] 满足tan α1＝0.2的锐角α1＝arctan0.2， ∵tan α>0，∴角α终边在第一、三象限， ∴α＝k π＋arctan0.2.3．若sin x ＝13，x ∈(π2，π)，则x 等于( )A ．arcsin 13B ．π－arcsin 13C ．π2＋arcsin 13D ．－arcsin 13[答案] B[解析] ∵arcsin 13∈(0，π2)，－arcsin 13∈(－π2，0)，排除A 、D ；π－arcsin 13∈(π2，π)，且sin(π－arcsin 13)＝sinarcsin 13＝13；π2＋arcsin 13∈(π2，π)， 但sin(π2＋arcsin 13)＝cosarcsin 13≠13，故应选B ．4．若tan(2x ＋π3)＝33，则在区间[0,2π]上解的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [答案] B[解析] ∵tan(2x ＋π3)＝33，∴2x ＋π3＝π6＋k π(k ∈Z )，∴x ＝－π12＋k π2(k ∈Z )，∵x ∈[0,2π]，∴x ＝5π12或11π12或17π12或23π12，故选B ．二、填空题5．若cos x ＝－23，x ∈[0，π]，则x 的值为________[答案] π－arccos 23[解析] ∵x ∈[0，π]，且cos x ＝－23，∴x ∈[π2，π]，∴x ＝arccos(－23)＝π－arccos 23.6．对于反三角函数式arccos 5π4，arcsin(log 34)，arcsin(2－1)2，arcsin ⎝⎛⎭⎫tan π3，有意义的式子的个数为________个．[答案] 1[解析] ∵arcsin x 、arccos x 中x ∈[－1,1]，又5π4>1，log 34>1，(2－1)2∈(0,1)， tan π3>1，故只有arcsin(2－1)2有意义． 三、解答题 7．已知cos α＝－32，试求符合下列条件的角α. (1)α是三角形的内角； (2)0≤α<2π； (3)α是第三象限角． [解析] (1)∵cos α＝－32，α是三角形的内角， ∴α＝5π6. (2)∵cos α＝－32，0≤α<2π，∴α＝5π6或7π6. (3)∵cos α＝－32，α是第三象限角， ∴α＝2k π＋7π6，k ∈Z .8．已知tan α＝－2，根据下列条件求角α. (1)α∈(－π2，π2)；(2)α∈[0,2π]; (3)α∈R .[解析] (1)由正切函数在开区间(－π2，π2)上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2)． (2)∵tan α＝－2<0，∴α是第二或第四象限的角．又∵α∈[0,2π]，且正切函数在区间(π2，π]、(3π2，2π]上是增函数，∴符合tan α＝－2的角有两个． ∵tan(α－π)＝tan(α－2π)＝tan α＝－2， 且arctan(－2)∈(－π2，0)，∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)． (3)α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z )．9．已知cos α＝a (－1≤a ≤1)，求角α.[解析] (1)a ＝－1时，角α的终边落在x 轴非正半轴上，此时α＝(2k ＋1)π(k ∈Z )． (2)a ＝1时，角α终边落在x 轴非负半轴上，∴α＝2k π(k ∈Z )． (3)a ＝0时，角α终边落在y 轴上，∴α＝k π＋π2(k ∈Z )．(4)－1<a <0时，角α终边落在第二、三象限．首先满足cos α1＝|a |的锐角α1＝arccos|a |＝arccos(－a )，在[0,2π)内对应的第二、三象限角分别为π－arccos(－a )和π＋arccos(－a )，∴α＝(2k ＋1)π±arccos (－a )(k ∈Z )．(5)0<a <1时，角α的终边落在第一、四象限，同上可求得α＝2k π±arccos a (k ∈Z )．。
高中数学 阶段质量检测(一)基本初等函数(Ⅱ) 新人教B版必修4
阶段质量检测（一） 基本初等函数（Ⅱ）(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．y ＝sin x3是( )A ．周期为6π的奇函数B ．周期为π3的奇函数C ．周期为6π的偶函数D ．周期为3π的偶函数解析：选A y ＝sin x 3为奇函数，T ＝2π13＝6π，故选A.2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18D ．36解析：选C ∵l ＝αr ，∴6＝1×r . ∴r ＝6.∴S ＝12lr ＝12×6×6＝18.3．若－π2＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵－π2＜α＜0，∴tan α<0，cos α＞0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限．4．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B ∵角θ的终边过(4，－3)， ∴cos θ＝45.∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.5．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )解析：选B 取x ＝0，则y ＝1，排除C 、D ；取x ＝π2，则y ＝0，排除A ，选B.6．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得12cos α＝6sin α，即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：选B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4且x ≠0， ∴π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4且π2－x ≠π2，即π2－x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，当π2－x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2时，y ≥1；当π2－x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4时，y ≤－1，∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x变为x ＋π3.∴y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.9.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋BA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )A ．A ＝3，T ＝2πB ．B ＝－1，ω＝2C ．T ＝4π，φ＝－π6D ．A ＝3，φ＝π6解析：选C 由题图可知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋2π3＝4π， A ＝12(2＋4)＝3，B ＝－1.∵T ＝4π，∴ω＝12.令12×4π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 10．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数解析：选C 当x ＝π3时，2x ＋π3＝π，f (x )＝sin π＝0，不合题意，A 不正确；当x ＝π4时，2x ＋π3＝5π6，f (x )＝sin 5π6＝12，B 不正确；把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，是偶函数，C 正确；当x ＝π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin π2＝1，当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin 2π3＝32＜1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上f (x )不是增函数，D 不正确．11.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12解析：选D 由图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z)，取k ＝1，即得选项D.12．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：选B 摩天轮转轴离地面高160－1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P 离地面的高度h (米)与时间t (分钟)的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．arctan33＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝________.解析：∵arctan 33＝π6，arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－π6，∴arctan 33＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0. 答案：014．已知sin(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)＝________.解析：sin(π－α)＝sin α＝－23，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.答案：25515．已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝1和y ＝2所得的线段长分别为m ，n ，则m ，n 的大小关系是________．解析：∵两条直线所截得的线段长都为y ＝tan ωx (ω＞0)的最小正周期，∴m ＝n ＝πω.答案：m ＝n16．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为______． 解析：根据题意得g (x )＝2sin ωx ，又y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，∴T 4≥π4，即ω≤2，所以ω的最大值为2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝12，求π＋θcos θπ＋θ－1]＋θ－4πθ＋2ππ＋θ＋－θ的值．解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ，所以sin θ＝－12. 原式＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θcos θ－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8. 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z.∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.19．(本小题满分12分)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值． (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)试求ω的值．(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z.因为0＜ω＜1，所以k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，x ∈[－π，π]．列表如下，则函数f21．(本小题满分12分)已知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1. (1)f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换而来？(2)求f (x )的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值．解：(1)将函数y ＝sin x 图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y ＝3sin x 的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝3sin 2x 的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1的图象． (2)最小正周期T ＝π，由2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得对称轴方程为x ＝π8＋k π2(k ∈Z)．当2x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π8＋k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，所以ω＝1，易知B ＞0，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z，且－π2＜φ＜π2，得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)因为函数f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k ＞0，所以k ＝3.令t ＝3x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，如图：sin t ＝s 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解必须满足s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，所以方程y ＝f (kx )(k ＞0)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解必须满足m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。
人教B版高中数学必修四第一章基本初等函数(II)+(人教实验B版).docx
第一章基本初等函数（II）①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x- π6)；②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期 函数；③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称；④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6对称.其中正确的是 . 三、解答题（共70分）17. （10分）设函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（－π＜φ＜0），y ＝f （x ）图象的一个对称中心是（ π8 ，0）.（1）求φ；（2）求函数y ＝f （x ）的单调增区间.18.（10分）(1)已知角α的终边经过点P (4，- 3)，求2sin α + cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3 : 4，求2sin α + cos α的值. 19.（10分）已知函数y ＝3sin( 12x - π4).(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到的；(3)求此函数的振幅、最小正周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.20.（10分）已知0≤x ≤2π，求函数y = cos 2x - 2acos x 的最大值M (a )与最小值m (a ).21. （15分）已知α是第三象限的角，且f (α)＝sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+32π)·tan(−α−π)sin(−α−π).（1）化简f (α)；（2）若cos （α－32π）＝15，求f (α)；（3）若α＝－313π，求f (α).22. （15分） 已知函数f （x ）=cos 2x +sin 2x . （1）求f （x ）的最大值和最小正周期； （2）设α，β∈[0，π2]，f (α2+π8)=√52，f (β2+π)= √2 ，求sin （α+β）的值.第一章基本初等函数（II）答题纸得分：一、选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、计算题17.18.19.20.21.22.第一章 基本初等函数（II ） 答案一、选择题1. A 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛-π623sin =sin(−23π6+4π)=sin π6=12. 2. B 解析：与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°，k ∈Z }.当 k = - 1时，α = - 30°.3. D 解析：将x 分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角四种情况分别讨论，可知值域为{- 1，3}.4. D 解析：∵ sin α - 2cos α = - 5(3sin α + 5cos α)，∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α = -1623. 5. C 解析：由已知易得 sin α cos α = -327. ∴ |sin 3 α - cos 3 α| = |(sin α- cos α)(sin 2 α + cos 2α + sin α cos α)|=ααcos sin 21- ∙ |1 + sin α cos α| = 1282325. ∴ sin 3α - cos 3α = ±1282325. 6. B 解析：f (x )= 1 - sin 2 x + 2a sin x - 1= - sin 2x + 2a sin x .令sin x = t ，∴ t ∈[-1，1].∴ f (t )= - t 2 + 2at = -(t - a )2 + a 2，t ∈[-1，1]. ∵a >1,∴ 当t = 1时，函数 f (t )取最大值为2a - 1.7.D 解析：∵ y = sin(4π- 2x )= - sin(2x -4π)，∴ 2π+ 2k π ≤ 2x -4π≤23π+ 2k π，k ∈Z ，∴ 83π+ k π ≤ x ≤87π+ k π，k ∈Z .8.B 解析：根据图象的平移规律可得选项B 正确.9.C 解析：因为函数图象过点（0，1），所以1=2sin φ，所以sin φ=12.因为|φ|＜π2，所以φ=π6.故函数y =2sin （ωx +π6）.又函数图象过点（11π12，0），所以0=2sin （ω•11π12+π6）.由五点法作图的过程知，ω•11π12+π6=2π，所以ω=2.综上，φ=π6，ω=2. 故选C ．10. A 解析：∵ cos α＝－ 45 且α是第三象限的角，∴ sin α＝－ 35 ，∴1+tan α21−tan α2=cos α2+sin α2cos α2 cos α2−sin α2cos α2=cos α2+sin α2cos α2−sinα2=(cos α2+sin α2)2(cos α2−sinα2)(cos α2+sin α2)= 1+sin αcos 2 α2−sin 2 α2＝1＋sin αcos α＝1−35−45=− 12 .11.A 解析：y ＝ 12 sin 2x ＋ √32(1＋cos 2x )－ √32＝ 12 sin 2x ＋ √32cos 2x ＝sin(2x + π3)，所以T ＝π. 12.C 解析：sin 235°−12cos 10°cos 80°=1−cos 70°2−12cos 10°sin 10°=−12cos 70°12sin 20° =-1.二、填空题13. 162c 解析：设扇形面积为S ，弧长为l .∴ S = 21lR = 21(c -2R )· R = -R 2+21cR . c - 2R ＞0， R ＞0，∵∴ 0＜R ＜2c . 当 R = 4c 时，S max =162c .14. ［56π-,3π-］15.3122- 解析：cos(105°-α)+ sin(α -105°) = - cos(75°+α)- sin(α+75°). ∵ 180°＜α＜270°，∴ 255°＜α+75°＜345°.又cos(α+75°)=31，∴ sin(α+75°)= -232. ∴ 原式 =312223231-=+-. 16. ①③ 解析：① f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x .② T =22π= π，最小正周期为π.③ 令2x +3π= k π，当 k = 0时，x =6π-，∴ 函数 f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称. ④ 令2x +3π= k π+2π，当 x = -6π时，k =21-，与 k ∈Z 矛盾.∴ ①③正确.三、解答题17. 解：（1）∵（ π8 ，0）是函数y ＝f （x ）的图象的对称中心，∴ sin （2× π8＋φ）＝0，∴ π4＋φ＝k π（k ∈Z ），∴φ＝k π－ π4（k ∈Z ）.∵－π<φ<0，∴φ＝－π4.（2）由（1）知φ＝－ π4，因此y ＝sin （2x － π4），由题意得2k π－ π2≤2x －π4≤2k π＋ π2，k ∈Z ，即k π－ π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，∴函数y ＝sin （2x － π4）的单调增区间为[k π－π8，k π＋ 3π8]，k ∈Z .18.解：(1)∵ 22y x r += = 5，∴ sin α =53-=r y ，cos α =54=r x ，∴ 2sin α + cos α =525456-=+-.(2)∵ a y x r 522=+=， ∴ 当 a ＞0时， r = 5a ，sin α =5353-=-a a ，cos α =54. ∴ 2sin α + cos α =52-； 当 a ＜0时， r = -5a ，sin α =5353=--a a ，cos α = -54， ∴ 2sin α + cos α =52. (3)当点P 在第一象限时， sin α =53，cos α =54，2sin α + cos α = 2； 当点P 在第二象限时， sin α =53，cos α =54-，2sin α + cos α =52；当点P 在第三象限时，sin α =53-，cos α =54-，2sin α + cos α = - 2；当点P 在第四象限时，sin α =53-，cos α =54，2sin α + cos α =52-.19. 解：(1)列表：描点、连线，如图所示：(2)“先平移，后伸缩”.先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移 π4个单位长度，得到y ＝sin(x - π4)的图象；再把y ＝sin(x -π4)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin( 12x - π4)的图象；最后将y ＝sin( 12 x - π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin( 12 x -π4)的图象.(3) 振幅A ＝3，最小正周期T ＝2πω＝2π12＝4π，初相是- π4.(4)令 12x － π4＝ π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝2k π＋ 32π(k ∈Z )，此为对称轴方程. 令 12x - π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝ π2＋2k π(k ∈Z )，对称中心为(2k π+ π2，0)(k ∈Z ).20.解：y = cos 2x - 2a cos x = (cos x -a )2 - a 2，令 cos x = t ，∵ 0≤x ≤2π，∴ t ∈[0，1].∴ 原函数可化为f (t ) = (t - a )2 - a 2，t ∈[0，1].①当 a ＜0 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (0) = 0.②当 0≤a ＜21 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (a ) = –a 2. ③当21≤a ≤1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (a ) = –a 2. ④当 a ＞1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (1) = 1–2a .21. 解：（1）f （α）＝sin （π−α）cos （2π−α）tan[π+（ π2−α）]tan[−(α+π)]sin[−（π+α）]＝sin α·cos α·tan(π2−α)[−tan(π+α)]−sin(π+α)＝sin α·cos α·sin(π2−α)(−tan α)sin α·cos(π2−α)=−sin α·cos α·cos α·tan αsin α·sin α=-cos α.（2）由cos （α－ 32π）＝ 15， 得cos[－2π＋（α＋π2）]＝cos （ π2＋α）＝－sin α＝15.∴ sin α＝－15.∵α是第三象限的角，∴ cos α<0.∴ f （α）＝－cos α＝ √1−sin 2α= √1−125= 2 √65.（3）∵－313π＝－5×2π－π3，∴ cos （－ 313π）＝cos （－5×2π－π3）＝cos （－ π3）＝cos π3＝12.∴ f （α）＝－cos （－313π）＝－12.22. 解：（1）∵ f （x ）=cos 2x +sin 2x = √2( √22cos 2x + √22sin 2x)= √2sin (2x +π4)，∴ f （x ）的最大值为 √2， 最小正周期T ＝2π2＝π.（2）∵ f ( α2+π8)= √2sin [2( α2+π8)+π4]=√2sin (α+π2)= √2cos α=√52，∴ cos α=√104.又∵α∈[0，π2]，∴ sin α= √64.∵ f （ β2 +π）= √2sin [2（ β2+π）+ π4]= √2 sin （β+π4+2π）= √2sin (β+π4)= √2 ，∴ sin （β+ π4）=1.又∵β∈[0， π2]，∴β+ π4∈[ π4，3π4]，∴β+ π4=π2，∴β= π4.∴ sin （α+β）=sin （α+ π4）=sin α·cos π4+cos α·sin π4=√3+ √54.。
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综合检测(一)第一章基本初等函数(Ⅱ)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共计50分，请把答案填在题中的横线上)1．在“①160°；②480°；③－960°；④1 530°”这四个角中，属于第二象限角的是()A．①B．①②C．①②③D．①②③④【解析】∵480°＝360°＋120°，－960°＝－3×360°＋120°，∴①②③均是第二象限角．又1 530°＝4×360°＋90°，④不是第二象限角．【答案】 C2．点P从(1,0)点出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点坐标为()A．(12，32) B．(－32，－12)C．(－12，－32) D．(－32，12)【解析】设∠POQ＝θ，则θ＝π3.又设Q(x，y)，则x＝cos π3＝12，y＝sinπ3＝32.【答案】 A3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于()A.15 B.75C．－15D．－75【解析】r＝(3a)2＋(－4a)2＝－5a.∴sin α＝－4a－5a＝45，cos α＝3a－5a＝－35，∴sin α＋cos α＝45－35＝15.【答案】 A4．(2013·郑州高一检测)对于函数y＝sin(132π－x)，下列说法中正确的是()A．函数是最小正周期为π的奇函数B．函数是最小正周期为π的偶函数C．函数是最小正周期为2π的奇函数D．函数是最小正周期为2π的偶函数【解析】y＝sin(132π－x)＝sin(π2－x)＝cos x，故D项正确．【答案】 D5．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．【答案】 A6.图1(2013·陕西师大附中高一检测)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图1所示，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝1，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由图可知T ＝4(712π－π3)＝π. 又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)， 代入点(π3，1)，得sin(23π＋φ)＝1，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π6. 【答案】 D7．函数y ＝2cos(2x －π3)＋1在区间[－π4，π4]上的值域为( ) A ．[1－3，1＋3] B ．[1－3，3] C ．[－1,3]D ．[－1,1＋3]【解析】 ∵－π4≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π3≤π6， ∴－32≤cos(2x －π3)≤1，∴1－3≤2cos(2x －π3)＋1≤3，故选B. 【答案】 B8．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( ) A ．－2 2B ．2 2C ．－24D.24【解析】 由sin(α＋π2)＝13， 得cos α＝13，又α∈(－π2，0)． ∴sin α＝－1－cos 2α＝－223. 故tan α＝sin αcos α＝－2 2. 【答案】 A9．下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是( ) A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin x C ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos 2x【解析】 C 、D 中周期为π，A 、B 不满足T ＝π. 又y ＝－tan x 在(0，π2)为减函数，C 错． y ＝－cos 2x 在(0，π2)为增函数． ∴y ＝－cos 2x 满足条件． 【答案】 D10．(2013·福建高考)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6【解析】 ∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32在f (x )的图象上，∴f (0)＝sin θ＝32.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π3.∵g (0)＝32， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32.验证，φ＝56π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－53π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝32成立． 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π12．sin(－120°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝______. 【解析】 原式＝－sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30° ＝－32×(－32)＋12×12＝1. 【答案】 113．(2013·玉溪高一检测)若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为________．【解析】 由sin θcos θ＝－18＜0知π2＜θ＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×(－18)＝5 4.又sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝52.【答案】5 214．设f(x)＝2sin ωx，(0<ω<1)在闭区间[0，π3]上的最大值为2，则ω的值为__________．【解析】∵0<ω<1，∴T＝2πω，∴T4＝π2ω>π2.∴f(x)＝2sin ωx在[0，π3]上为增函数．∴f(x)max＝f(π3)＝2sin π3ω＝ 2.∴sinπ3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34.【答案】3 4三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，3)．(1)求：sin(π－x)－sin(π2＋x)的值；(2)写出角x的集合S.【解】∵x的终边过点P(1，3)，∴r＝|OP|＝12＋(3)2＝2.∴sin x＝32，cos x＝12.(1)原式＝sin x－cos x＝3－1 2.(2)由sin x＝32，cos x＝12.若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2k π＋π3，k ∈Z }.16．(本小题满分12分)(2013·邯郸高一检测)(1)已知cos α＝－45，且α为第三象限角，求sin α的值；(2)已知tan α＝3，计算4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值．【解】 (1)∵cos 2α＋sin 2α＝1，α为第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－45)2＝－35.(2)显然cos α≠0，∴4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin α－2cos αcos α5cos α＋3sin αcos α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57. 17．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)变换情况如下：18．(本小题满分14分)(2013·徐州高一检测)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．【解】 (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2， 得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M (2π3，－2)在图象上得 2sin(2×2π3＋φ)＝－2， 即sin(4π3＋φ)＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)∵x ∈[π12，π2]， ∴2x ＋π6∈[π3，7π6]，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1. 故f (x )的值域为[－1,2]．。