构造法教学文档

个定理的图形语言。例如等腰三角形的三线合一的基本图形、直角三
角形斜边上中线性质的基本图形、含 30º角的直角三角形的性质的基
本图形、线段垂直平分线定理及逆定理的基本图形、角平分线定理及
逆定理的基本图形、垂直于弦的直径性质的基本图形等等。熟练掌握
这些基本图形是几何证明的基础。下面举一例：
例 6 已知：如图 1, AE、BD 相交于点 C，M、F、G 分别是 AD、
x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1（第 15 届俄罗斯数学竞赛题）。 分析：此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明， 不妨用构造法一试。 证明 构造函数
f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1) ∵ y,z∈(0,1), ∴ f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)＞0,
斜边上中线的性质证明 MF 1 AD, MG 1 AD ,所以 MF=MG.
2
2
七、构造特殊图形模型
为构造特殊图形, 巧添辅助线, 以便利用特殊图形的性质证明待
P
证的问题。
例 7 如图 2, AB∥CD, ∠A=∠B. 求证: AD=BC.
A
B
D
C
图2
分析 延长 DA, 交 CB 的延长线于点 P, 构造两个等腰三角形.
本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，
数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力，抓住数学思想方法，
善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，
在教学时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思
想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
“构造法”解题，就是构造数学模型解决问题。通过构造数学模
f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz＞0, 而 f(x)是一次函数，其图象是直线， ∴ 由 x∈(0,1)恒有 f(x) ＞0. 即 (y+z-1)x+(yz-y-z+1) ＞0, 整理可得 x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) ＜1。
三、构造（恒）等式模型
例 3 从和式 1 1 1 1 1 1 中除去____、_____两项,恰使式
ac
ab
(a-b)(a-c) +(b-a)(b-c) +(c-a)(c-b) =1 (1)
证：构造方程 (x-b)(x-c) (x-a)(x-c) (x-a)(x-c) (a-b)(a-c) +(b-a)(b-c) +(b-a)(b-c) =1 (2) 显然 a,b,c 为方程的三个互不相等的实根, 而对任意实数 x 均满足（2）式, 特别地，令 x=0，即得（1）式. 二、构造函数模型 理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这 个认识上的飞跃。很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函 数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。 例 2 已知 x,y,z∈（0，1），求证：
先通过∠PAB=∠PBA 证明 PA=PB, 再通过∠D=∠C 证明 PD=PC, 所
以 PD－PA=PC－PB,即 AD=BC.
分析 由 a b c =0 及 abc>0，知 a、c、b 中一正二负，不妨设 a>0，
则题设可化为 b c a， bc 1 ，显然构造了韦达定理结构，
a
所以可以把 b，c 看为一元二次方程 x2 ax 1 0的实根，
a
由于此方程有二个实根，故有△=
.
又 a>0 得
．
五、构造判别式模型
①
∵ Sn 是正项数列前 n 项的和，故 Sn >0，
欲证
< S n S n2
S2 n 1
，只需 (2Sn1 )2 4Sn Sn2 >0
只需证明方程①有两个不等实根即可．
（*） ，为此
(I)当 q=1 时，不妨令 a1 =l，则①为 nx2 2(n 1)x (n 2) 0 ， ② 即[nx+(n+2)](x+1)=0，可见方程②有二不同实根，即①有二异实根，
例 5 若{ an }是由正数组成的等比数列，Sn 是它的前 n 项的和．证
明： Sn
Sn2
． S 2 n1
分析 把结论化为 4 Sn Sn2 (2Sn1 )2 ，构造出类似一元二次方程
的判别式 b2 4ac 结构，因此可以构造一元二次方程
S n x 2 2S n1 x S n2 0 ，
则(*)成立；
(II) 当 q≠1 时，方程①即为 (1 qn )x2 2(1 qn1)x (1 qn2 ) 0 ，
即 (x 1)2 qn (x q)2 0 ，显然它也有二异实根，故(*)成立．
综上，
Sn
Sn2
S
2 n1
成立．
六、构造基本图形模型
教材中的每一个重要定理,Leabharlann Baidu对应着一个基本图形,基本图形是每
2 3 4 6 8 12
子的和为 1.
分析 根据题中各分母的特点，可以联想到恒等式 1＋2＋3＋
6=12，若在其两边同时除以 12，便有 1 1 1 1 1，可知要除去 1、1
12 6 4 2
38
两项。
四、构造韦达定理模型 例 4 已知 a、b、c 为实数，且 a b c =0，abc=1．求证：a、b、 c 中必有一个大于 ．
型解题，常常能使题目变得易于解决，程序也易于实现，能使问题的
解决变得十分简洁巧妙。下面介绍几种中学数学中的构造法：
一、构造方程模型
方程是解数学题的一个重要工具，许多数学问题，根据其数量关
系，在已知和未知之间搭上桥梁，构造出方程，使解答简洁、合理。
例 1 已知 a,b,c 为互不相等的实数，试证：
bc
BC、CE 的中点，AB=AC，DC=DE。求证：MF=MG.
M
D
A
C
F
B
G
图1
分析 因已知条件中有等腰三角形、中点，
E
所以分别连结 AF、DG，构造“等腰三角形的三线合一的基本图形”，
同时也构造了“直角三角形斜边上中线的性质的基本图形”。利用等
腰三角形三线合一的性质得到 AF⊥BC,DG⊥EC,再通过直角三角形
浅谈构造法在初中数学解题中的运用
珠海市三灶中学 钟小艳
内容摘要:构造法是解决数学问题的一个较为普遍的方法,在初
中数学解题中有着重要的作用。本文通过构造一些具体数学模型, 例
谈构造法在初中数学解题中的运用。希望大家从中得到启示，思维能
有所拓展。
关键字:构造法 构造模型 数学解题
数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种