三角形勾股定理公式

三角形勾股定理公式

勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem 或Pythagoras's theorem ）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称百牛定理”在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

公式

在平面一个直角三角形上用直线a的平方+直线B的平方二斜线C的平方这就是勾股定理

经典证明方法细讲

方法一：

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D E、F在一条直线上.过C作AC 的延长线交DF于点P.

••• D、E、F 在一条直线上，且Rt △ GEF 也Rt △ EBD,

••• / EGF = / BED

••• / EGF + / GEF = 90°,

••• / BED + / GEF = 90°，

••• / BEG =180 — 90° = 90 °

又••• AB = BE = EG = GA = c ，

••• ABEG是一个边长为c的正方形.

••• / ABC + / CBE = 90°

••• Rt △ ABC也Rt △ EBD,

••• / ABC = / EBD.

••• / EBD + / CBE = 90°

即 / CBD=90

又••• / BDE = 90°,/ BCP = 90

BC = BD = a.

••• BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG!—个边长为b的正方形.

设多边形GHCB的面积为S,则

J

••• BDPC的面积也为S, HPFG勺面积也为S由此可推出：a A2+b A2=c A2

方法二

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF, AE为边长做正方形FCJI和AEIG

••• EF=DF-DE=b-a EI=b ,

••• FI=a ,

G,I,J在同一直线上，

-CJ=CF=a CB=CD=c

/ CJB = / CFD = 90° ,

••• Rt △ CJB 也Rt △ CFD ,

同理,Rt △ ABG^ Rt △ ADE

••• Rt △ CJB 也Rt △ CFD 也Rt △ ABG也Rt △ ADE

•••/ ABG = / BCJ,

v/ BCJ +/ CBJ= 90° ,

•••/ ABG +Z CBJ= 90° ,

v/ ABC= 90

••• G,B,I,J在同一直线上,

所以a A2+b A2=c A2

勾股数的相关介绍

①观察3, 4, 5;5, 12, 13;7, 24, 25;…发现这些勾股数都是奇数，且从 3 起就没有间断过。计算0.5(9-1) , 0.5(9+1)与0.5(25-1) , 0.5(25+1)，并根据你发现的规律写出分别能表示7, 24, 25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4, 3, 5;6 , 8, 10;8 , 15, 17;-可以发现各组的第一个数都是

偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。］在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

三、勾股定理的命题方向

命题1:以已知线段为边，求作一等边三角形。

命题2:求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。

命题3:已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。

命题4:两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

命题5:等腰三角形两底角相等。