圆与扇形(经典题汇总).docx

圆与扇形
--- 公式与割补
内容提要
本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等•下面我们来说说这方面的基础知识.
圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心
旋转任何角度还保持原状•而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的•我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示•另外，
径记作d ,半径记作r,如图1所示.
所以，圆的周长∣C =jτx d =2況JrX r |，圆的面积IS=JlXr2•
如图3,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形•它是圆的一部分，所以关
于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论.
扇形的圆心角为n°寸，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的
所以，扇形弧长=-^x2ιτr ,面积=XjrX r2
360 360
般把直
n
360
我们先来熟悉一下这些公式∙
练习：
1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少?
2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少?
3.周长是10π的圆的面积是多少？
4.面积是9 π的圆的周长是多少？
例题
一、基本公式运用
例题1.已知扇形的圆心角为120° ,半径为2,则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按
例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°则这个扇形的半径和周长各是多少?
3.14计算）3.14计算）（圆周率按
随堂练习:
1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45,，这个扇形的半径和周长各是多少?
2.扇形的面积是31.4平方厘米，它所在圆的面积是157平方厘米，这个扇形的圆心角是多少?
3.如图，直角三角形ABC的面积是45,分别以B, C为圆心，3为半径画圆•已知图中阴影部分的面积
是35.58.请问：角A是多少度？（π取3.14）
二、圆中方，方中圆
4.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是___ 2,那么大圆、小圆的面积分别为
随堂练习:
1.已知外面大圆的半径是4,里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）
A
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按 3.14计算）：
6.
已知图中正方形的边长为 2 ,分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交
于正方形中心，那么图中阴
影部分的面积为 _________•（答案用兀表示）
二、割补法
5.
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按
3.14计算）：
(1)
(2)
求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按
3.14计算）：
(1)
(1)
2
2
⑵
6.
用一块面积为36二平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7个同样大小
的圆铝板•问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
7. 根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（ π取 3.14)
作业：
1. _________________________________ 半径为4厘米的圆的周长是 厘米，面积是 ____________________________ 平方厘米;
2. _______________________________________________ 半径为4厘米，圆心角为90。

的扇形周长是 厘米，面积是 _________________________________________________ 平方厘米.（兀取
3.14）
3. 家里来客人了，淘气到超市买了 4瓶啤酒，售货员阿姨将 4瓶啤酒捆扎在一起
（如下图所示），捆4圈至少要用绳子 ________ 厘米
.（Jr 取3.14,接头处忽略 不计）
4. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按 3.14计
算）：
5.
F 列图形中的正方形的边长为 2,则下图中各个阴影部分面积的大小分别为
Y ------- 10
3.14)
圆与扇形
旋转与重叠
知识总结：
学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程,
并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域.
例题:
重叠问题
例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另
一条直角边的长度是多少？（圆周率二取3.14）
例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC, —个以AB为直径的半圆，和一个以BC为半径的扇形.已知AB=BC=10厘米.图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）
随堂练习
1.如图17-13,以AB为直径做半圆，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28
平方厘米，AB长40厘米.求BC的长度.（二取3.14.）
B
例题3.如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为________ •
例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径.如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°
此时B点移动到C点•请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）
A --------------- B
图2
动态扫面积问题
例题5.如图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画
出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为____________ 平方厘米.（Jr取3.14）
E
G
例题6.如图所示，以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心，分别以AB、CD、AE为半径画弧，这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线，如果正三角形ABC的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米？
三、运动圆扫面积
例题7.图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米.当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原
来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）
随堂练习
1.图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米•当圆环绕正方形无滑动地滚动一
π取3.14)
E
例题8.图中等边三角形的边长是
3厘米，而圆环的半径是 1厘米•当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周
思考题
如图所示，一只小狗被拴在一个边长为
4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地•绳长刚好
够小狗走到建筑物外墙边的任一位置.小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽
作业：
1.图17-14由一个长方形与两个 90。

角的扇形构成，其中阴影部分的面积是 ______________ 平方厘米. 3.14.）
2.
图中有一个矩形和两个半径分别为 5和2的直角扇形，那
么两个阴影部分的面积相差为
_______ . （ π取 3.14）
又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（
π取 3.14)
（二取
图 17-
14
3.
如图，直角三角形的两条直角边长分别是
I Ocm
和6cm,分别以直角边为直径作出两个半圆，这
两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是
____________ cm2. （Tr取3.14）（17二_30）
4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径•如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转
60°此时B点移动到C点•请问：图中阴影部分的面积是_______________ 平方厘米（π取3.14）
原来位置时，其扫过的面积有________ . （π取3.14）
6.图中等边三角形的边长是5厘米，圆形的半径是1厘米•当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原
5.图中正方形的边长是6厘米，而圆环的半径是1厘米•当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到
6cm
10cm
图2
来位置时，扫过的面积有__________ .（π取3.14）
几何计数
知识总结:
例题:
一、枚举或分类解题
利用枚举法以及分类的方法进行几何计数，特别是对于正方形和三角形的计数问题•通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类•
例题1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒.请问：
(1)一共有多少个巧克力棒？
(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？
(3)嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有箭头的小边) ，剩下的图形中还有多少个三角形?
随堂练习
1. 图中共有________ 个三角形;
例题2.如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形.图中包含“"的各种大小的正三角形一共有 ________ •
例题3.如图，AB ,
CD , EF , MN 互相平行，则图中三角形个数是
二、 与排列组合有关的计数
利用排列组合的方法进行几何计数，特别是对于矩形和四边形的计数问题 例题5.如图，线段AB ，BC ，CD ，DE 的长度都是3厘米.请问： (1) 图中一共有多少条线段？
(2) 这些线段的长度之和是多少厘米？
3厘米 3厘米 3厘米
3厘米
f
Y
~Y
X
ABCDE
随堂练习
1.求图中一共有多少条线段.
例题4.图中有多少个正方形?
N
例题6.求图中一共有多少条线段•求图中一共有多少个矩形.
随堂练习
例题7.右图是一个长为9,宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么:
1) ___________________ 从中可以数出个矩形.
2) ___________________ 从中可以数出个正方形.
3) _______________________ 从中可以数出包含 ___ 个，正方形有个.
随堂练习
(1) ___________________________ 图中包含★的长方形有__________ 个.包含的正方形又有个.
(2) ___________________________________ 图中同时包含和★的长方形有个.
1.如图，四条边长度都相等的四边形称为菱形•用
数，图中共有多少个菱形？
16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形.数一
三、与容斥原理有关的几何计数
例题8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形?
1. ______________ 图中有个矩形
思考题
用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形，那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形?
作业
1.数一数图中一共有多少条线段?
【分析与解】按边长分类数，图中共有 9 3 ∙1=13个三角形；平行四边形共有 3 3 3 2 =15个.
3.在图中，包含※的长方形共有 ____________ 个.
4. 图中有 _________ 个矩形，________ 个正方形.
【分析与解】图中共有7 ^8个正方形，19个长方形.这道题适合按大小分类数.
2.
个三角形.
6.
个.
【分析与解】三角形有3 1∙2∙3]=18个，梯形有1 2 1∙2∙3]=18个.
个正方形, 个长方形.
38, 144 .长方形有側2 3「[1 2 3 4 5 ：丨：：2-12 3 1 2 3 =144个，正方形有3 5 2 4 1 3 2 - 9*4 V [=38个（这里给出正方形的求法比较巧妙，如果不合适，请按正方形的边长分类枚举）.
5
.
图中有
行程
知识总结:
本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题，行程问题主要有三组共9个基本公式:
(1)路程二速度时间；速度=路程“时间；时间=路程“速度；
(2)相遇路程=速度和时间；速度和=相遇路程-：-时间；时间=相遇路程-：-速度和；
(3)追及路程=速度差时间；速度差=追及路程「时间；时间=追及路程」速度差.
要会灵活运用公式，通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间•
此时，我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：
当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；
当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；
当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的倍数关系，但注意时间长的速度慢，时间短的速度
快.
例题1.()甲、乙两地间的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地，货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地•要使两车在全程的中点相遇，货车必须在
上午几点出发？
例题2.( )某学校组织学生去春游，以2米/秒的速度前进，一名学生以4米/秒的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用6分钟，那么队伍的总长为多少米？
例题3. A城在一条河的上游，B城在这条河的下游. A、B两城的水路距离为396千米.一艘在静水中速度为每小时12千米的渔船从B城往A城开，一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A 城往B城开•已知河水的速度为每小时6千米，从A流向B.两船在距离A城180千米的地方相遇.巡逻艇在到达B城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯，于是巡逻艇立刻返回去追渔船•请问巡逻艇能不能在渔船到达A城之前追上渔船？如果能的话，请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话，请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城.
例题 4. 蜗牛沿着公路前进，对面来了一只兔子，他问兔子：“后面有乌龟吗？”，兔子回答说：“10分钟前我超过了一只乌龟”，接着蜗牛继续爬了10 分钟，遇到了乌龟．已知乌龟的速度是蜗牛速度的10 倍，那么兔子速度是乌龟速度的 ____________________ 倍．
例题5. 甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑 2.8 米,乙每秒钟跑2.2米.他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了30 分钟时,这段时间内相遇了几次？
例题6.甲乙两车同时从A B两地出发相向而行，两车在距离B地64千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续原速前进，并且在到达对方出发点之后，立即沿原路返回，途中在距离A点48千米处第二次相遇，问：两次相遇点距离是多少千米？
例题7.甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35 千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与
第四次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B两地之间的距离等于________________ 千米.
例题8. 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这 3 辆车分别用6分钟、10分钟、1 2分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？
例题9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B,乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙，甲比乙又晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙，问，甲出发后多少分钟可以追上乙？
思考题
一次越野赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑, 又过100 秒时小刚追上小明，200 秒时小刚到达终点，300 秒时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少？
作业
1. 现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18 米，慢车每秒行10米，行 1 2秒后快车超过慢车．如
果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进，则9 秒后快车超过慢车．那么快慢两车的车长分别是几米？
2.一辆中巴车6点（24小时制）从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去，3小时后一辆小轿车以每
小时75千米的速度也从A出发到B .当小轿车到达B后，中巴车离B还有90千米.那么中巴车是几点几分到达 B 的？
3.甲、乙两人从相距为46 千米的A、B 两地出发相向而行，甲比乙先出发一个小时.他们两人在乙出发后4
小时相遇，又已知甲比乙每小时快2千米，那么乙的速度为每小时多少千米？
4.甲、乙两人分别从南北两地相对而行.已知甲每分钟走50 米，乙走完全程要30 分钟.相对而行
1 0分钟后，甲、乙仍相距100米.那么还要过多少秒钟，甲、乙第一次相遇？
5.（第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水，
他提空桶时每秒走3 米，提满桶时每秒 2 米，来回一趟需10 分钟。

寺庙距河边有多少米？
6.（首师大附中考题）甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度 3 米/秒，乙的速度2
米/秒。

如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10 分钟以后，共相遇了多少次？。