10.4旋转曲面面积
曲线绕x轴旋转一周所得曲面面积公式
曲线绕x轴旋转一周所得曲面面积公式曲线绕x轴旋转一周所得曲面面积公式是一种数学公式，用于计算曲线绕x轴旋转一周所得曲面的表面积。
该公式可以通过积分计算得出，其基本形式为：
S = 2π∫a^b y√(1+(dy/dx)^2)dx
其中，S表示曲线绕x轴旋转一周所得曲面的表面积，a和b分别表示曲线上的起点和终点，y表示曲线上离x轴距离的函数，dy/dx 表示y对x的导数。
该公式的推导过程较为复杂，需要掌握一定的微积分知识。
但是在实际应用中，可以利用数学软件进行计算，方便快捷。
- 1 -。
旋转曲面的表面积公式推导
旋转曲面的表面积公式推导
以曲边梯形的面积为例：
设f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（x）≥0。
由曲线y=f(x)，直线x=a,x=b 以及x轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积。
作法：（i）分割。
在区间[ a，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn=b，这些点把[a,b]分割成n个小区间[xi－1, xi],I=1,2,…n.再用直线x= xi,i=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。
（ii）近似求和。
在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点，作以f(x)为高，[xi-1,xi]为底的小矩形。
当分割[a,b]的点分点较多，又分割得较细密时，由于f为连续函数，它在每个小区间上的值变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积。
n个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S的近似值。
扩展资料：
旋转曲面是一类特殊的曲面，它是一条平面曲线绕着它所在的平面上一条固定直线旋转一周所生成的曲面。
该固定直线称为旋转轴，该旋转曲线称为母线。
曲面和过旋转轴的平面的交线称为经线或子午线，曲面和垂直于旋转轴的平面的交线称为纬线或平行圆。
例如：球面是由圆绕着其直径旋转而成；环面是由圆绕着外面的一条直线旋转而成。
计算旋转曲面面积的公式及几种证法
加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲 线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波.李文潮.赵东涛.张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
8.期刊论文 纪荣芳.娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣.马新科.宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
2.期刊论文 刘富贵.鲁凯生.Liu Fugui.Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理
工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 ,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ Ａ ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
＝２ｎ ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式 证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的
小截锥面积近似于小旋转曲面的面积． 从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
6.期刊论文 李育强.石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
10.4旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积教学目标：掌握旋转曲面的面积计算公式．教学内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．教学过程：一、微元法对任意小区间],[],[b a x x x ⊂∆+，若能把函数Φ的微小增∆Φ近似地表示为x ∆的线性形式：x x f ∆≈∆Φ)(，其中f 为某一连续函数，且当0→∆x 时，)()(x x x f ∆=∆-∆Φ ，即dx x f d )(=Φ，则得)0)(.()()(=Φ=Φ⎰a dx x f b ba此法称为微元法。
注：采用微元法需注意：1、所求量Φ关于分布区间是代数可加的；2、关键是给出x x f ∆≈∆Φ)(，但一般要检验).()(x x x f ∆=∆-∆Φ二、旋转曲面的面积设平面光滑曲线],[),(:b a x x f y C ∈=，不妨设0)(≥x f 。
下面求这段曲线绕x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积。
在点x x x ∆+,分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。
当x ∆很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即22)]()([y x x x f x f S ∆+∆∆++π≈∆ ,)(1])(2[2x x y y x f ∆∆∆+∆+π=其中).()(x f x x f y -∆+=∆由于 ,)('1)(1lim ,0lim 2200x f x y y x x +=∆∆+=∆→∆→∆ 因此由)('x f 的连续性有).()('1)(2)(1])(2[22x x x f x f x x y y x f ∆=∆+π-∆∆∆+∆+π 所以得到,)('1)(22dx x f x f dS +π= .)('1)(22dx x f x f S b a ⎰+π=若光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x C ，且0)(≥t y ，则曲线绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为 .)(')(')(222dt t y t x t y S ⎰βα+π=例1、计算圆222R y x =+在[],[],21R R x x -⊂上的弧段x 轴旋转所得球带的面积。
§4旋转曲面的面积
(3)
首页
×
如果光滑曲线Ｃ由参数方程 x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β] 且 y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C绕 x 轴旋转所得 旋转曲面的面积为
S 2 y(t ) x 2 (t ) y'2 (t )dt .
(4)
事实上，由（２）知，
S 2 f x 1 f
lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b T 0
首页
×
一般地，我们归纳出所求量Φ的积分表达式的步骤. (1) 选取积分变量及变化区间； (2) 设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小 区间并记作[x, x+△x]，求出相应于此小区间的 部分量△Φ的近似值
ｄΦ＝f（x）dx；
b a 2
x dx = 2 a f x
b
dy 2 1( ) dx dx
= 2 f x dx dy = 2 y( t )ds
b 2 2 a
= 2
2 '2 = 2 y( t ) x ( t ) y ( t )dt .
首页
dx 2 dy 2 y( t ) ( ) ( ) dt dt dt
S f (i )xi ( xi xi xi 1 ).
i 1
首页
n
×
（iii）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a, b] 的分割,又与所有中间点 i( i=1,2,…，n）的取法
有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a, b]无限细
分时,如果此和式与某一常数无限接近,且与分点xi, 中间 i 点的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯 形的面积S.
曲面积分1
Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS
2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例 求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】 两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
机动 目录 上页 下页
返回
4. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 转化 二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D
x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极 坐 标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则
曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数
第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积_数学分析
一 微元法
用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通
过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这
样的：设所求量 是一个与某变量(设为 x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具
有可加性. 我们就设想把 分成 n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐
近似表达式（其中 为
称为量
1）所求量 关于分布区间
2） U f (x)x o(x)
具有代数可加性.
对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：
S | y | x V S(x)x s 1 y2 x
二 旋转曲面的面积
§5 定积分在物理中的某些应用
(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法． (二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．
。在
的一段近似的看成质点，其质量为 ，与 相距
，因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 的引力 的大小为
从而求出 在水平方向分力
Fx 的元素为
于是得到引力在水平方向的分力为
dFx
k
的近似值，即细直棒对质点
amdy (a2 y 2 )3/ 2
上式中的负号表示 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
§3旋转曲面的面积
2 R
3
例 12 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底
圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) h y h R2 x2
立体体积
V
R
h R
R2 x2dx 1 R2h. 2
• 习题7.3 3，5，6
63a3.
2 平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于x 轴
x x dx
b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积 V
习题7.Байду номын сангаас 1（3），2
作业
b
A( x)dx.
a
例 11 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 取坐标系如图
R
底圆方程为 x2 y2 R2
o
y
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
绕x轴旋转一周,得到旋转 o
x x dx
x
曲面.
S [ f ( x) f ( x x)] x2 y2
[2 f ( x) y]
1
绕y轴旋转曲面面积公式
绕y轴旋转曲面面积公式
曲面面积是模拟空间物体表面积的重要方法，我们可以采用绕y轴
旋转曲面面积公式来计算曲面的面积。
一、定义：
绕y轴旋转曲面面积公式是一个求解空间物体表面积的积分方程。
它
的定义是，若y=f(x)是一条曲线，它的曲面积由空间中一段曲线y=f(x)
绕y轴旋转所而形成。
它的曲面积公式是：
∫Ax^2 f(x)dx
二、计算原理
求绕y轴旋转曲面面积的方法：首先，我们求出参数方程：y=f(x)；求
出每条曲线的极限；再使用积分方程结合以上三个条件，求出曲面积。
求绕y轴旋转曲面面积的积分represents方程起原点于空间，它的形式
为∫Ax^2 f (x)dx ；式中，A 代表椭圆轴线长度，其范围为a≤x≤b；x 代
表椭圆轴短轴坐标，y 代表椭圆轴长轴坐标，f (x)代表当x 固定，y 的
函数。
三、实际应用
绕y轴旋转曲面面积公式非常重要，它可以用于几何学，物理学，结
构反载荷计算，产品设计等众多领域。
在几何学中，可以使用这个公
式来计算曲面的面积，以确定曲面的真实大小。
在物理学中，这个公
式可用于求解空间形状物体的质量、体积，以及容积等量纲。
同样，
绕y轴旋转曲面面积公式也可用于产品设计，结构反载荷计算等领域。
四、总结
绕y轴旋转曲面面积公式是一个求解空间物体表面积的积分方程。
它
的计算原理是求参数方程 y=f (x)，求出每条曲线的极限，再使用积分
方程结合三个条件来求出曲面积。
它可以应用于几何学，物理学，结
构反载荷计算，产品设计等众多领域，广泛地使用于日常科学研究之中。
旋转曲面侧面积 -回复
旋转曲面侧面积-回复题目：旋转曲面的侧面积计算方法引言：在几何学中，旋转曲面是曲线绕某条轴旋转所形成的三维图形。
它具有许多实际应用，如汽车轮胎、瓶子等物体的形状。
而计算旋转曲面的表面积是一个重要的问题，它在工程、建筑以及数学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍如何计算旋转曲面的侧面积，以及数学推导过程，并提供一个实际应用的例子。
第一步：确定曲线方程旋转曲面的形状由一条曲线绕着某条轴旋转而成，首先我们需要确定这条曲线的方程。
假设曲线由函数y=f(x)表示，其中x和y是曲线上的任意点坐标。
曲线上的点通过绕轴旋转时的角度θ来定义，我们可以用参数方程表示：x = g(θ)y = f(g(θ))其中，g(θ)是关于θ的函数，它决定了曲线的位置和形状。
确定了曲线方程后，我们就可以进一步计算旋转曲面的侧面积。
第二步：推导旋转曲面侧面积公式为了计算旋转曲面的侧面积，我们将曲线分成无数个微小的线段，然后将每个线段绕轴旋转所形成的微小曲面元素相加。
而这个微小曲面元素的面积可以通过计算微小线段的长度和绕轴旋转所形成的圆弧的弧长来求得。
设微小线段的长度为ds，绕轴旋转形成的圆弧的弧长为dl。
由于圆弧的长短和半径相关，我们可以通过微小线段的长度和函数f(x)的导数来表示：dl = 2πydx = 2πf(g(θ))g'(θ)dθ其中，g'(θ)是函数g(θ)的导数。
由于微小线段的长度可以表示为：ds = √[dx^2 + dy^2] = √[g'^2(θ)dθ^2 + f'^2(g(θ))g'^2(θ)dθ^2]将上述两个公式代入旋转曲面的侧面积计算公式：dA = dl * ds = 2πf(g(θ))g'(θ) * √[g'^2(θ)dθ^2 + f'^2(g(θ))g'^2(θ)d θ^2]第三步：求解积分旋转曲面的侧面积等于将微小曲面元素的面积相加，即对整个曲线进行积分。
,旋转曲面的面积 物理应用
§4 旋转曲面的面积(一> 教案目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式．(二> 教案内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．(三> 教案建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．————————————————————一微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量是一个与某变量(设为x>的变化区间有关的量，且关于区间具有可加性. 我们就设想把分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐，然后就寻求相应于这个小区间的部分量的近似值<做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如近似表达式<其中为上的一个连续函数在点x处的值，为小区间的长度>,那么就把称为量的元素并记做，即以量的元素作为被积表达式在上进行积分，就得到所求量的积分表达式：例如求由两条曲线 (其中>及直线所为成图形的面积A.容易看出面积元素于是得平面图形的面积为采用微元法应注意一下两点：1）所求量关于分布区间具有代数可加性.2）对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：二旋转曲面的面积§5 定积分在物理中的某些应用(一> 教案目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．(二> 教案内容：液体静压力；引力；功与平均功率．基本要求：(1>要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2> 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三> 教案建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．——————————————————————————1 变力沿直线所作的功从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s时,力F 对物体所作的功是如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功例1把一个带电量为的点电荷放在轴的原点处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方，那么电场对它的作用力的大小为<是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从处沿轴移动到处时，计算电场力对它所做得功.解在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，当单位正电荷从移动到时，电场力对它所作的功近似于，从而得功元素为于是所求的为例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
10.4旋转曲面的面积
y( t )
( dx )2 ( dy )2 dt
dt
dt
= 2
y( t )
x2 ( t ) y' 2 ( t )dt .
前页 后页 返回
例1 计算圆 x2 y2 R2 在 [x1, x2 ] [R, R] 上的
弧段绕 x 轴旋转所得球带的面积.
解 对曲线 y = R2 x2 在区间[x1, x2]上应用公式(3)，
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
x a cos t , y bsin t , 0 t π.
令 c2 a2 b2, e c ,则 a
S 2π
π
bsin t
a2 sin2 t b2 cos2 tdt
0
π
4πb 2 sin t a2 (a2 b2 )cos2 tdt 0 π
2πb b
arcsin a2 b2
a
.
特别当 a b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
S 4πa2 2 sin tdt 4πa2 cos t 0 4πa2 .
0
π/2
前页 后页 返回
例4 求心形线 r a(1 cos ) 绕极轴旋转所得曲
面的面积. 解 将曲线用参数方程表示:
得到
S 2
x2
x1
R2 x2
1
x2 R2
x2
dx
=2 R
x2 dx 2 R
x1
x2 x1
.
特别当x1=-R, x2=R 时，得球的表面积 S球= 4πR.
定积分的应用4旋转曲面的面积数学分析
§4 旋转曲面的面积(一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．————————————————————一 微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间具有可加性. 我们就设想把分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如近似表达式（其中为上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量的元素并记做，即dx x f dU )(=以量 的元素作为被积表达式在上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：⎰badx x f )(例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为⎰-=badxx f x f A |)()(|21采用微元法应注意一下两点： 1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.2）)()(x o x x f U ∆=∆-∆对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：xy s x x S V x y S ∆'+≈∆∆≈∆∆≈∆21)(||二 旋转曲面的面积§5 定积分在物理中的某些应用(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法． (二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．基本要求：(1)要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．——————————————————————————1 变力沿直线所作的功从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F 作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s 时,力F 对物体所作的功是 FS W = 如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功例1 把一个带电量为的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为2r qk F =（ 是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从处沿 轴移动到)(b a b r <=处时，计算电场力 对它所做得功.解 在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，当单位正电荷从 移动到时，电场力对它所作的功近似于dr rkq2，从而得功元素为于是所求的为例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m 和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
10.04旋转曲面的面积
o x
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
S 4 R
数学分析
2
z
目录 上页 下页 返回 结束
3
求由星形线 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性
S 2 2
例2.
绕 x 轴旋转
0
2
2
a sin t
2
2
3
12 a
12 a
3a cos t sin t 3a sin t cos t d t
2 2 0
目录 上页 下页 返回 结束
2
o
x
例1. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得
S 2 2
y
x1 o
2 2 dx R x 1 2 2 R x
x2 R x
x1 x1
x2
x
2
y
x2
R dx 2 R( x2 x1 )
数学分析
2
2
0
cos t sin t dt
4
32 5
a
2
目录 上页 下页 返回 结束
5
作业 P255 1.(1),(2),(4); 3.(1)
数学分析
目录 上页 下页 返回 结束
6
第四节
第十章
旋转曲面的面积
设平面光滑曲线 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积 . 取侧面积元素:
d S 2 y d s y f (x)
求
y
积分后得旋转体的侧面积
S 2数Βιβλιοθήκη 分析oa ax
b b
第6讲 旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
例1
求将椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b)
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
=x a co= s t , y bsin t , 0 ≤ t ≤ π.
令 c2 =a2 − b2 , e =c , 则
a
∫ S
2π
π
bsin t
绕 x 轴旋转
π
∫ ( ) ( ) S=2 ⋅ 2 π 2 a sin3 t ⋅
−3a cos2 t sin t
2
+
3a sin2 t cos t
2
dt
0
π
y
∫ = 12 π a2 2 sin4 t cos t dt 0
π
=
12
π
a
2
1 5
sin5
t
2 0
O
x
=S
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
微元法
旋转曲面的面积
=
4πab
1 2
u
1 − e2u2
+
1 2e
arcsin
eu
1 0
=
2πab
b a
+
a c
arcsin
c a
a2
a2 − b2
=
2πb b +
arcsin a2 − b2
a
.
特别当 a = b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
0
∫ S = 4πa2 2 sin tdt = 4πa2 cos t = 4πa2 .
数学分析10.4旋转曲面的面积
第十章定积分的应用4 旋转曲面的面积一、微元法定义：已知：若φ(x)=⎰xf(t)dt，则当f为连续函数时，φ’(x) =f(x)，或adφ=f(x)dx，且φ(a)=0，φ(b)=⎰bf(t)dt.a现将问题倒过来，若所求量φ是分布在某区间[a,x]上的，或它是该区间端点x的函数，即φ=φ(x), x∈[a,b]，且当x=b时，φ(b)适为最终所求的值.在任意小区间[x,x+△x]⊂[a,b]上，若能把φ的微小增量△φ近似表示为△x的线性形式：△φ≈f(x)△x，其中f为某一连续函数，而且当△x→0时，△φ- f(x)△x=o(△x)，亦即dφ=f(x)dx，那么只要把定积分⎰bf(x)dx计算出来，就是该问题所求的结果，这种a方法通常称为微元法.注：1、所求量φ关于分布区间必须是代数可加的；2、微元法的关键是正确给出△φ的近似表达式△φ≈f(x)△x.应用：求平面图形面积的微元表达式：△A≈|y|△x，且dA=|y|dx. 求立体体积的微元表达式：△V≈A(x)△x，且dV=A(x)dx.求曲线弧长的微元表达式：△s≈2y1'+dx.+△x，且ds=2y1'二、旋转曲面的面积设光滑曲线C 的方程为y=f(x), x ∈[a,b]，不妨设f(x)≥0.曲线C 绕x 轴旋转一周得旋转曲面如图，可用微元法导出其面积公式. 通过x 轴上点x 与x+△x 分别作垂直于x 轴的平面，在旋转曲面上截得一狭带，当△x 很小时，近似于一圆台侧面，即△s ≈π[f(x)+f(x+△x)]22y x ∆+∆=π[2f(x)+△y]2x y 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+△x ，其中△y=f(x+△x)-f(x)，又y lim 0x ∆→∆=0,2x x y 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+→∆=)x (f 12'+. 由f ’(x)的连续性可保证：π[2f(x)+△y]2x y 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+△x-2πf(x))x (f 12'+△x=o (△x).∴dS=2πf(x))x (f 12'+, S=2π⎰'+ba2)x (f 1f(x )dx.若光滑曲线C 由参数方程：x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出，且y(t)≥0，则 由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为： S=2π⎰'+'βα22)t (y )t (x y(t)dt.例1：计算圆x 2+y 2=R 2在[x 1,x 2]⊂[-R,R]上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.解：圆在x 轴上方的曲线为y=22x R -，则y ’=22xR x --，所得球带的曲面面积为：S=2π⎰-+⋅-21x x 22222xR x 1x R dx=2πR(x 2-x 1).注：当x 1=-R, x 2=R 时，则得球的表面积S 球=4πR 2.例2：计算由内摆线x=acos 3t,y=asin 3t 绕x 轴旋转所得旋转曲面面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
若平面光滑曲线C由参数方程 x x(t ), y y (t ), t [ , ] 给出.则曲线 C 绕 x 轴旋转一周所得 旋转曲面面积为 S 2 y (t ) x (t ) y (t )dt.
2 2
若平面光滑曲线C由极坐标方程 r r ( ), [ , ] 给出 。 则此曲线绕极轴旋转一 周所得的 旋转曲面面积为 S 2 r ( ) sin r ( ) r ( ) d .
12 2 Key : S a . 5
例3、求心形线r a(1 cos ) 曲面的面积。
(a 0,0 2 ) 绕极轴旋转所成
32 2 Key : S a . 5
作业:P262
1(2)(4)；3（2）
前面所求的平面图形面 积、立体体积 和曲线 的弧长, 用微元法来处理，所求 的 微元表达式为
S y x, 且dS y dx; V S ( x)x, 且dV S ( x)dx;
s 1 y x, 且ds 1 y dx;
2 2
二、旋转曲面的面积
设平面光滑曲线 C的方程为y f ( x), 其中x [a, b], 且f ( x) 0, 则该曲线绕 x轴旋转一周所得的旋转 曲面面积为
2 dS 2 f ( x) 1 f ( x) dx ,o2aFra bibliotekS( x)
x
x dx
b
x
S 2 f ( x) 1 f ( x)dx.
a
b
若平面曲线C由直角坐标方程 y f ( x), x [a, b] 给出 。 则当 f ( x)在 [a, b]上连续可微时 , 此曲线 是绕x轴旋转一周所得的旋转 曲面面积为 S 2
§10.4
一、微元法
旋转曲面的面积
任意小的区间[ x, x x] [a, b], 若 且当x 0时， f ( x)x o(x), 即： d f ( x)dx.
微元法的关键在于如何 给出的 近似表达式 .
f ( x)x, 其中f ( x)在[a, b]上连续，
2 2
例1、求将曲线 x ( y b) a (b a 0),
2 2 2
绕 x 轴旋转所成曲面的面积.
Key : S 4 ab.
2
例2、求星形线x a cos t , y a sin t
3 3
(a 0,0 t 2 ) 绕轴旋转所得的旋转 曲面的面积。