第三章 量子力学导论

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漫画1 漫画2
汽车闯入了客厅
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波尔在充分肯定不确定原理的同时，于1927年提出并协原理 （又叫互补原理）指出：对于微观粒子，波动性和粒子性两种 描述中，任何单独一方都是不充分的，不全面的。尽管它们彼 此不相容，互相对立，但为了说明所有可能的实验结果又都是 必要的。波动图像和粒子图像是并协的，两个图像结合起来， 互相补充，才能对微观粒子所处的状态给出完整的描述。
这正是玻尔的量子化的轨道半径。
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（3）考虑在刚性匣子中的运动粒子（如图）
粒子在匣中的动能为 1/2mv2 ，
运动周期为2d/v,按照物质波的
观点，物质波来回反射形成驻 波，驻波波长满足
d n / 2 nh/ 2 p
于是粒子的动量 p nh/ 2d 动能 Ek p2 / 2m n2h2 / 8md 2
1925年11月，在同一座城市联邦技术学院任教的著名物理 学家德拜主持了一个学术讨论会，指定由薛定谔报告德布 罗意理论。当薛定谔介绍完之后，德拜评论说，“讨论波 动而没有一个波动方程，太幼稚了”。这次讨论会，实际 上就是薛定谔事业的开端。
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几个星期后的另一次学术讨论会上，薛定谔宣称他找到了这 个波动方程。1926年上半年，薛定谔以“作为本征值问题的 量子化”为总题目，连续发表了六篇论文，建立了波动方程， 创立了波动力学体系。
斯 特
狄康
克
拉 谔
薛顿 定
普
泡海 利伯 森
波 恩
波 尔
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克朗 人里 兹伦 坦因 万之
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3
泡 利 像
泡玻 利尔
和
4
1933年诺贝尔物理学奖得主与家属。从左至右依次为海森堡的母亲，狄拉克的母亲， 薛定谔的夫人，狄拉克，海森堡，薛定谔。
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狄拉克和海森伯
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索末菲和波尔 7
第一节：波粒两象性
2r n n h n h , n 1,2
p mv
于是有 mvr n h n 2
这正是玻尔曾用过的 角动量量子化条件。
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（2）如果把
p
nh
2r
代n入r氢原子总能量表达式中
p2
e2
n22
e2
E 2m 4 r 2mr2 4 r
由dE / dr 0给出
rn
2 m
4
e2
n2
an2
0.053 n2nm
▪ 波函数的模方| Ψ(x) |2=ΨΨ*是几率密度 (*代表复共轭)，代
表单位体积中发现粒子的几率；
▪ |Ψ(x)| 2dx是粒子出现在x~x+dx间隔内的概率。
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第三节 不确定关系
不确定关系
接受了波函数的统计诠释，完全摒弃了经典粒子的轨道概念，
即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确定的动量。由于
1925年底，波恩、约丹和海森伯一起，完成了第三篇论文 “论量子力学II”
这就是著名的“一人文章”、“二人文章”和“三人文章”。 这三篇论文实际上奠定了以矩阵形式表示的现代量子力学的 基本方程式——矩阵力学。
1925年，泡利（1900—1958）利用矩阵力学的方法成功解 释了氢原子的能级，巴尔末公式，斯塔克效应和电磁场中氢 原子能级的移动等，证明了矩阵力学的正确性。
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1928年，池菊正士将电子束射在云母片上， 获得了电子束在单晶体上的透射衍射图样。
同年，G.P汤姆逊将电子束射过金属箔获得 了多晶体上电子束的透射衍射图样。
G.P.汤姆逊与 C.J.戴维逊因为验证了电子具 有波动属性，共获 1937 年诺贝尔物理学 奖。
1928年，池菊正士将电子束射在云母片上，获得了电子 束在单晶体上的透射衍射图样。
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1925年前后，爱因斯坦正在研究气体理论，薛定谔当时也 在研究气体理论，他对爱因斯坦的论文很不理解，认为有 错，于1925年2月5日写信给爱因斯坦进行讨论。爱因斯坦 在回信中建议他仔细研究德布罗意的博士论文，这促使了 薛定谔对德布罗意物质波思想的极大关注，并迅速掌握了 德布罗意的新思想。到薛定谔发表波动力学之前，薛定谔 与爱因斯坦之间共同通了九封信。
波尔理论的困难
▪ 电子是经典粒子，绕核作圆周运动，为什么不辐射电 磁波？
▪ 电子将从高能态向低能态跃迁，是否可向任意低能态 跃迁？跃迁几率是否一样？
▪ 如何解释氢光谱光强的差异？如何理解氢光谱的精细 结构？
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四、量子史话
de. Broglie 物质波假设
德布罗意(1892～1987),法国物理学 家。第一次世界大战后，拜朗之万为 师，研究与量子有关的理论物理问题， 攻读博士学位。1923年9～10月间， 连续在《法国科学院通报》上发表三 篇短文，提出了物质波（相位波、缔 合波、德布罗意波）的概念，在1924 年通过的博士论文《量子论研究》中 总结了这一工作。1929年获诺贝尔物 理学奖，成为第一个以学位论文获得 诺贝尔奖金的学者。
1926年波恩提出波函数的统计诠释，并因此获1954年诺贝 尔物理学奖。
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对波函数的意义，波恩指出，波振幅的模方与该处发现粒 子的几率成正比。因此德布罗意波函数是几率幅。这个假 设得到散射实验的支持，获得了人们认可，玻恩因此获得 1954年诺贝尔物理奖。
波函数的统计诠释的主要内容包括：
▪ 波函数 Ψ(x)是概率波振幅，简称几率幅；
可见匣中的粒子的动量和能 量都是量子化的，定域的波必 然导致量子化行为。
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第二节 波函数及其统计诠释
德布罗意引入物质波，物质波需用波函数Ψ(r¸t)描述。物质波的波 函数代表什么物理意义。1926年玻恩提出波函数的几率解释。
波恩(Max Born,1882-1970)，犹太人， 出生于德国的布雷斯劳（现属波兰）。
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1925年6月，在哥廷根跟随波恩工作的海森伯因患花粉过敏症 到外地疗养。在这里，他对创立新动力学理论产生了灵感，回 去后完成了一篇论文“论运动学和动力学关系的量子理论再解 释”，并交给波恩，看有无发表价值。长时间以来一直在思索 创立新理论的波恩看到这篇文章后，认为海森伯已为新的动力 学打开了一个突破口。但还有一大堆数学问题需要解决。
| (x) |表2 d示x 粒子出现在x~x+dx间隔的概率，所以由波函数只能
给出粒子位置的平均值 x及其，偏同差 样对x2粒子的动量也只能知
道其统计平均值
。海px及森伯其还涨进落一p步x2 指出，平均偏差
乘积有一个最小的x限p制x ，即
xpx 2
这个关系称不确定关系，是1927年由海森伯提出的。
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薛定谔的波动力学
薛定谔(1887～1961)，奥地利理论物 理学家，波动力学的创始人。1887年 生于维也纳。1906年入维也纳大学物 理系学习，1910年获得博士学位。 1920年移居耶拿，担任维恩的物理实 验室助手。1921年，薛定谔受聘到瑞 士苏黎士大学任数学物理学教授。 1927年接替普朗克任柏林大学理论物 理学教授，同年当选为普鲁士科学院院 士。1933年受德国纳粹党徒的迫害， 离开苏黎士到英国任牛津大学任物理学 教授。同年和狄拉克一起荣获诺贝尔物 理学奖。
后来，波恩希望已经离开了哥廷根的以前的助手泡利能回来与 他一起完成这一工作，但已经因为提出“泡利不相容原理”而 出名的泡利反应冷淡，并且说“我知道你喜欢冗长而复杂的形 式主义，你琐碎的数学只会把海森伯的物理概念糟蹋掉，…”
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遭到泡利拒绝后，波恩找到了另外一位学生，当时年仅23岁 的约丹，约丹的数学功底很好。波恩和约丹一起，很快于 1925年9月完成了论文“关于量子力学”。
1933年，纳粹上台，波恩被迫离开德国，先后在剑桥大学和 爱丁堡大学任教。1953年波恩退休后不顾爱因斯坦等朋友的 反对，回到德国定居。
波恩一生取得了丰硕的学术成果，发表论文300余篇，学术 著作30余部。主要著作包括《固体的原子理论》、《原子动 力学问题》、《晶格动力学》(与黄昆合著)、《我们这一代 物理学》以及《光学原理》等。
量子力学导论
（4学时）
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第三章：量子力学导论
内容：
1、波粒两象性
2、波函数及其统计诠释 3、不确定关系 4、矩阵力学和波动力学 5、氢原子的薛定谔方程解
重点：一些基本概念、波函数的统计诠释、薛定谔
方程、量子数的意义
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1927年10月，第五届索尔维会议时一些著名物理学家的珍贵合影。
布艾
格拉
伦 费
德 拜
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波恩的主要贡献在点阵动力学和量子力学两方面。在点阵动 力学方面创立了独树一帜的伯恩学派，以他的名字命名的理 论或方法有：波恩-冯·卡曼理论；波恩-哈伯理论；波恩-奥 本海默法；波恩-奥本海默近似法；波恩-梅耶方程等。
量子力学中的矩阵力学由“一人文章”、“两人文章”和 “三人文章”构成，其中后两篇文章主要凝聚的是波恩的思 想和方法。波恩是量子力学的主要奠基人之一。
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1961年，约恩森还给出了电子的单缝和多缝衍射图样。
Johnson电子双缝干涉 电 子 双 缝 干 涉 图 样
出现概率小
电子数 N=7100
出现概率大
N=3270000
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de. Broglie关系式的应用
(1)若将德布罗意关系式应用于氢原子上，原子定态假设便和驻 波联系起来，十分自然地给出角动量量子化条件。电子要想作 稳定运动，电子回转一周的周长应为其波长整数倍，即
1937年5月，波尔访问我国，在华19天，除演讲之外，还游 览了杭州、南京以及北京的故宫，波尔完全被中国迷住了，自 此一直把中国看成世界上最美好的地区之一。当波尔看到我国 古代太极图时，无比兴奋，如获至宝。他认为太极图完美准确 表达了他的并协原理。
1947年，丹麦国王破格授予波尔荣誉勋章。波尔选择了太极 图作为礼仪罩袍上上的图案。图上面的丹麦文“Contraia Sunt Complementa”的含义是“对立物是并协的”。
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四、量子史话
德布罗意认为，任何物体都伴随以波，不可能将物体的运动 和波的传播分拆开来，也就是说，任何微观粒子都具有波粒 二象性。这种波称德布罗意波或物质波。动量为P的粒子的波 长由德布罗意关系式确定。
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物质波粒二象性的观点开始并不被重视。郎之万将德布罗意 的博士论文寄了一份给他的朋友爱因斯坦，爱因斯坦对这个 观点非常赞赏，当时他正在撰写关于“波色-爱因斯坦统计” 的第二篇论文，于是在论文最后加了一段介绍德布罗意工作 的文字。论文在1925年发表后，因为爱因斯坦的支持，物质 “波粒二象性”很快就广为人知了。
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第四节 矩阵力学和波动力学
矩阵力学的建立
矩阵力学是海森伯于1925年首先取得突破性成果，再由 海森堡、波恩和约丹三人共同完成的。
海森伯（1901~1976），德国物理学家，1920年进入慕 尼黑大学物理系，师从索末菲攻读理论物理学。 1923年考取博士，先后跟随玻恩和玻尔学习，并在他们 的指导下，研究量子伦。海森堡曾经说过：“在索莫菲那 里学了物理，玻恩那里学了数学，玻尔那里学了哲学。” 海森伯1925年7月创建矩阵力学，1927年提出不确定关 系。因创立量子力学获1932年诺贝尔物理学奖。
波恩1905年到哥廷根师从希尔伯特和 闵可夫斯基，学习数学。
1908年起，受爱因斯坦的影响，开始从
事物理学的研究。1909年在萨尔茨堡会
议上结识了爱因斯坦，从此两人开始通
书信，1969年出版了《爱因斯坦与波恩
夫妇书信集》，全书117封书信，凝结
了两人的终生友谊。
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1921年至1933年，波恩任哥廷根大学物理系主任。这期间， 哥廷根不仅是世界数学研究中心，而且被波恩建设成物理学研 究中心之一。从这里走出了许多伟大的物理学家，如泡利、海 森伯、约丹、狄拉克、维格纳罗森菲和伽莫夫等。
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这是量子力学的又一条重要规律。它定量地揭示了粒子 坐标和动量的不确定度。这样经典的轨道概念在这里完 全失去了意义，不确定关系是波粒二象性的必然结果。 按照波函数的统计诠释，可以证明任何两个不对易的力 学量，在任何量子态下的平均涨落都有相应的不确定关 系。时间和能量的不确定关系是：
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不确定关系十分有用，利用这个简单的不确定关系式， 常常可以方便地对一些物理量作出数量级上的估算。
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宏观上
以500m/s速度飞行的质 量为0.01kg的子弹
h h
m v 2m Ek 1.31025 nm
太小，测 不到！
微观上 以5×107m/s速度飞行的 电子
h
p 1.4 10 2 nm
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戴维逊-革末实验
1927年，戴维逊和革末在一个偶然机会，做电子束在镍单晶 体表面散射实验时，观察到了和X射线在晶体表面衍射相类 似的衍射现象，从而证实了电子具有波动性。