重点高中物理竞赛精品讲义之—程稼夫篇

精心整理电磁学静电学1、 静电场的性质静电场是一个保守场，也是一个有源场。

F dl o ⋅=⎰高斯定理静电力环路积分等于零iosq E ds E ⋅=∑⎰⎰电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系ab E dr UU =-∑①过程E dr dU ⋅=- 一维情况下x dUE dx dx=-x dUE dx=-② 2、 几个对称性的电场（1） 球对称的电场场源 E U 点电荷 均匀对电球面 均匀带点球体例:一半径为1R 的球体均匀带电,体电荷密度为ρ,球内有一半径为2R 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a ,如图 (1) 求空腔中心处的电场E (2) 求空腔中心处的电势U 解:(1)在空腔中任选一点p ,p E 可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之差,即()1212333p oooE r r r r E E E ρρρ=-=-令12a o o =这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o oE a E ρ=(2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差即()()()222222212123303666o ooo U R a R R R a E E E ρρρ⎡⎤=---=--⎣⎦假设上面球面上,有两个无限小面原ij s s ,计算i s ,受到除了i s 上电荷之处,球面上其它电荷对i s 的静电力,这个静电力包含了j s 上电荷对i s 上电荷的作用力. 同样j s 受到除了i s 上电荷以外,球面上其它电荷对j s 上电荷的作用力,这个力同样包含了i s 对j s 的作用力. 如果把这里的ij s s 所受力相加,则,i j s s 之间的相互作用力相抵消。

出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。

求法:222222=f 224o o o R Q F R R E E R σππππ⎛⎫=⋅==⎪⎝⎭再观察下,均匀带电球面上的电场强度=? 通常谈论的表面上电场强度是指什么? 电力?o f =例:求均匀带电球面(),Q R ,单位面积受到的静解:令()R R RR R →+≤过程无限缓慢得出此过程中静电力做功的表达式: 或者算出2o of E E E σσ=⋅=表面表面而且可以推广到一般的面电荷()σ在此面上电场强度()1212E E E =+表面 例:一个半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力?解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难.例:求半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度.解:静电场(真空)能量密度212o E E ω=本题球面外侧:214o QE E R π=推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为r E 的多向同性均匀电合质,下面求张力:它等于右半球表面所收到的静电力之和前面求出过本小题:,03d E ρε=本题:导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布,令为 由于要求导体内0E =例:一个半径为R,原不带电的导体球放置于匀强电场o E 中,求由于静电感应所产生的感应电荷,所带来的两半球之间新增的张力.解:预备知识:⑴一个半径为R 的均匀各向同性介质在匀强电场中受到极化,求极化电荷的分布.解:时,o d σρ= oθ=⑵求极化介质球,由于极化电荷所产生的介质球内,E的电场强度圈环:,R q (均匀带电)例:带电求图中带电圈环与带电半直线之间的相互作用力. 解:这题取下面方法:先求均匀带电半直线产生的电场强度,对均匀带电圈处的电荷的作用力上图中圈环上的点离半直线两端点的距离为R,上P 点处的电场强度,可以用辅助14圈弧(λ)在P 点产环生的场强大小.圈环受到合力在,o q λ均为正值时，方向向左，大小为在达到静电平衡的整个空间中，如果有一个处于静电平衡的带电面，在计算此面上某处受到的静电力，无需用整个空间中的各带电体，面，线，点，计算对其作用之和，只需先求出此面上该处的电场强度，该表面受到的静电力。

其原因是，这样的计算，已经考虑了全空间电荷的作用，不必重复考虑。

例：一个半径为R ，带电量为Q 的均匀带点表面，求因表面带电所增加的表面张力系数。

解：法一：球面上取一个小面元，半径 为r ，此面受两个力平衡： 静电力，沿径向向处，大小为 此面元边界上新增表面张力的合力，径向向里，设新增表面张力系数为α大小为力平衡方程：222o r df r Rππ=场源E U 无限长均匀带电直线 （λ）无限长均匀带电圈柱面 （,,R λσ）(2R λσπ=)无限长均匀带电圈柱体 （,,R λρ）（2R λρπ=）3、带电荷粒子在电场中的运动例1：一个带点粒子从一开始就在垂直于均匀带电的长直导线平面内运动，它从这导线旁飞过，最后与开始入射方向偏转小角度α，如图，如果当粒子飞入带电直线电场中时，它的动能为k E ，电量为e ，导线单位长度带电量为λ，离导线距离γ处电场强度设为rE 02πελ=，求α=？ 解：本题情况，一般入射粒子速度比较大，由于速度快，所以带电直线受到的横向冲量就比较小（时间短），这样产生的α角度就会如题中告知是一个小量，利用微元法处理，当带电粒子到达位置ψ时相距位矢量为r ，此刻带电粒子受力大小r e eE F 02πελ==，ψπελψcos 2cos 0re F F y == 此刻y 方向动力方程为其中dt 可以利用x 方向动力学方程表达 其中dx 与d Ψ满足关系（如图所示几何关系）化简整理∑∑-=2202ππψπεyv y xdv d mv ey利用y x x x v v e mv E =⇒=2421ελ 例2：如图所示一很细、很长圆柱形的电子术由速度为V 的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n 个电子，每个电子的电荷量-e （e>0）,质量为m ，该电子束从远处沿垂直于平行板电容极板方向射向电容器，其前端（右端）于t=0时刻刚好达到电容器左极板，电容器两极板上多开一个小孔使电子可以不受阻碍地穿过电容器两极板AB,加有如图所示的变化电压AB V ，电压的最大最小值分别为00,v v -+，周期为T ，若以τ表示每个周期中电压处于最大的时间间隔，则)(τ-T 是周期中电压处于最小的时间间隔，已知τ的值正好使在ABV段电子束。

设两级间距很小，，电子穿越时间，且（1） 满足题给条件的τ，0t （2） 试在下图中画出t=2T 那一刻，在侧空间形成电流I,随离开右极板距离x 取X 正方向为电流正方向，图中x=0处为右极板B 解：（1）。

通过小孔以后，分成两段速度不同的电子束。

0——τ0V +τ——T 时间内，所加电压为V -再由题中告知：τ够在b t得到=τ所以m eV V 012=，meV V 0222= （3） 由于T t b 2=，观察的就是这个时刻右侧空间的电流分布，应该确定两件事情： ① 电流在空间位置的分布② 电流强度的大小分布电子束长度4、静电势能、电势例1：如图所示N 对e 、-e 离子，等间距a ，沿直线排列（1）设∞→N,试确定某个e的电势能+W和-e的电势能-W（2）N足够大时，+W-W近似取小题（1）的结论，求系统的电势能W（3）N足够大时，将非边缘的一对离子e、-e一起缓慢地移到无限远，其余离子仍在原位，试求外力做的功A.提示...32)1ln(32-+-=+xxxx解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-++-=+...34442aeaeaeUπεπεπε（2）足够大的N,（4）再将该负离子移到无限远处，余下系统的电势能W利用动能关系，求出外力做功例2X∞→U;当∞→x，电势0→U，电势为零的坐标为0x;电势极小值为0U-0（α>0）,试根据图线提供的信息，确定这两个Q1在x=0处，由于0xx=处电势为0，所以另一个的位置上（设距离x=0距离为a）X在xαX在xα处，合电力等于0,方程联立三个方程得到)2(xa-=αα，kUxQ012-=αα，kxUQ0222)1(--=ααα例3：在水平平面上有两相垂直相交的内壁光滑的联通细管，管内放置两个质量均为m，电荷量均为q的同号带电质点为A、B,初始时质点A至两管交点O的距离为d，质点B位于交点O处，速度相互垂直，方向如图，大小均为mdkqu2=求质点运动中，它们之间的最小距离解：通常，这里应该采用两质点的相对运动处理。

设运动过程中，A,B 两质点的位置矢量为,A r B r ,则相对位矢为A B r r r -= 分别写出A 、B 两质点的动力学方程，然后写出相对动力学方程：r e rkq a m 22=（其中a 是B 相对A 的相对加速度）B 在运动时所受的力只有相反向的静电力，这个静电力是个有心力，同时又是一个保守力，上述两个方程为角动量守恒，守恒量可由初始值确定。

初始时，相对于A 的运动为右图，守恒方程——联系初态和相距最近状态，m m v r ,联系消去m v ，解得m r 解之前利用22020kq mdu mdkq u =⇒=联立解得0u r dv mm =，d r m 451+=例4：电荷均匀分布在半径为R解：利用∑=rdqku 0，其中例1∑=udq W 并以平行板电容为例，分别利用上述公式求出它在电容C ，蓄电量为Q 解：（1）利用∑=udq W 计算（2）利用∑=udq W 21计算)(Q U dq U i-=∑--,)(Q U dq U i +=∑++导体旁移动电荷，求外力做功例1：如图一个原来不带电电荷的同心球壳，内外半径分别为a ，b ，球心处放一个点电荷，电量为Q现在用外力把此点电荷从球心移到无限远处，求外力做功等于多少？解：由于在Q 移动过程中，导体球壳表面感应电荷变化，所产生的电场不是静电场，因此需要另外想办法。

初始时刻，Q 未移动之前，在Q 处，导体球壳内，外表面的感应电荷产生的静电场有电势，其值： （另Q=nq ，然后逐个移动q 计算外力做功 . .外力做功之和其中初始吧Q=nq （分散），移到无限远，又把nq=Q （集中）,合起来做功为零。

解法二： 如图外力做功,2'20=-=C Q W W A f 例2：沿垂直于解法一：上一例的解法 解法二：。

解法三：设移动Q 过程中离板距离达到即所以外力做功为 电场线例1：计算在通过导体面上以0件下，求R=?的园面上电量为21-Q 和导体板上感应电荷共同激发Q 及其相应的电荷-Q 共同激发产生。