高一数学《利用函数的单调性解不等式》PPT课件
合集下载
函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
必修一函数的单调性精品PPT课件
x2 x
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 y随x的增大而增大 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
从左至右，图象下降
y=x
f(x1)
1·
O 1· x1 x
此函数在区间（-∞, +∞ ）内y随x的增大而增
大，在区间
y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
O 1· x
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
y = x2
x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
f(x1) 1·
x1 O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
新教材北师大版必修第一册 第二章函数3函数的单调性2函数的单调性的应用 课件(40张)
有
()
A.f(-2)<f(1)<f(3)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(3)<f(-2)<f(1)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
【解析】选A.因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0, 当x1<x2时,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2);当x1>x2时,x1-x2>0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是增函数, 所以f(-2)<f(1)<f(3).
y
-f(y).
(1)证明:函数f(x)是增函数;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f( 1 )<2.
3
课堂检测·素养达标
1.函数y= 1 在[2,3]上的最小值为 ( )
x－1
A.2 B. 1
2
C ．1
D．－1
3
2
【解析】选B.y= 1 在[2,3]上单调递减,
x 1
所以x=3时取最小值为 1 .
的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.[2,3)
D.[0,3)
【思路导引】从定义域,单调性两个方面列不等式求范围.
【变式探究】 本例的条件若改为“单调递增”,试求m的取值范围. 【解析】因为f(x)的定义域为[0,+∞), 由f(2x-4)>-1,得f(2x-4)>f(2), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以2x-4>2,解得x>3.
5.3.1 函数的单调性课件ppt
利用导数求函数的单调区间
角度1 求不含参数的函数的单调区间
例3求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x2-ln
x;(2)f(x)=cos
1
x+ 2 x,x∈(0,π).
分析根据函数解析式求出函数的导函数,根据导函数的符号确定函数单调
区间.
解 (1)∵函数定义域为(0,+∞),且
∴令 f'(x)>0,即
.
f'(x)>0,得 x>1,由 f'(x)<0,得 0<x<1.
f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
+1
)(-1)
(+
(2)当 a>0 时,f'(x)=
,
+1
∵a>0,∴- <0.
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.
∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
变式训练 2(2021江西南昌二中高二期末)若函数y=xcos x-sin x在某区间内
单调递增,则该区间可能为(
A.
π 3π
,
2 2
C.(π,2π)
B.
π π
- ,
2 2
D.(0,π)
)
答案 C
解析 ∵y=xcos x-sin x,
∴y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
方法技巧解析式中含参数的函数的单调区间的求法
高一数学必修1 函数的单调性 PPT课件 图文
y2
1
x -2 -1 O 1 2
练习2 证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想：函数f(x)=1/x在(0，
+∞)上的单调性呢？
在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢？
反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
证明:
1 4
23 1.取值
2.作差
3.变形 4.定号 5.下结论
5
用定义证明函数在区间上是增或减函 数的步骤：
1.在此区间上任取两个实数 x1, x2 , 且 x1 x2 。
2.将它们的函数值作差：f(x1)f(x2) 3.作差后变形处理(因式分解,通分等) 4.确定差的符号。 5.作出结论。
(2)y 1 (x 0)
y
x
两 个 单 调 减 区 间 ,0 和 0 ，
O
能否写成 ,0 0 ， ?
x1
两区间之间用和或用逗号隔开.
x2 x
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份，
函数的单调性 PPT精品课件
1. Def（局部极值） 若f (x)在x0点的某领域
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是: ⑴ 确定 f ( x) 的定义域； ⑵ 求 f (x) ，令 f(x)0求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间； ⑷ 判别 f (x) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
教学方法： 启发式教学法和学生探究式教学法
目录
1 教学内容分析 2 学生情况分析 3 教学目标分析 4 教学重难点分析 5 教学方法分析 6 教学过程设计
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
初步探索 概念形成
概念深化 延伸拓展
证法探究 应用定义
小结评价 作业创新
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
x
(,1) (1,2) (2,)
y'
+
－
+
y
例2. y(x1)2(x2)3.
解：定义域是 R. 由 y f(x ) (x 1 )x ( 2 )2 (5 x 7 ). 令 f(x)0解x 得 1, 7和 2. 现列表讨论如下： 5
x
(,1)
(1 , 7 ) 5
(7 5
,2 )
(2,)
y'
+
－
+
+
y
可见 f(x)， 在(7, )严格单调f(上 2)0 升 . ，但 5
注2. 利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式．
Th. 2 （不等式定理）若 f (x) 与 g(x) 满足条件：
(1) 在[a,b]上可导;
( 2 )在 ( a ,b ) 内 ,f( x ) g ( x )( 或 , f( x ) g ( x )); (3 )f(a)g(a),(或 f(b)g(b)),y
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是: ⑴ 确定 f ( x) 的定义域； ⑵ 求 f (x) ，令 f(x)0求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间； ⑷ 判别 f (x) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
教学方法： 启发式教学法和学生探究式教学法
目录
1 教学内容分析 2 学生情况分析 3 教学目标分析 4 教学重难点分析 5 教学方法分析 6 教学过程设计
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
初步探索 概念形成
概念深化 延伸拓展
证法探究 应用定义
小结评价 作业创新
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
x
(,1) (1,2) (2,)
y'
+
－
+
y
例2. y(x1)2(x2)3.
解：定义域是 R. 由 y f(x ) (x 1 )x ( 2 )2 (5 x 7 ). 令 f(x)0解x 得 1, 7和 2. 现列表讨论如下： 5
x
(,1)
(1 , 7 ) 5
(7 5
,2 )
(2,)
y'
+
－
+
+
y
可见 f(x)， 在(7, )严格单调f(上 2)0 升 . ，但 5
注2. 利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式．
Th. 2 （不等式定理）若 f (x) 与 g(x) 满足条件：
(1) 在[a,b]上可导;
( 2 )在 ( a ,b ) 内 ,f( x ) g ( x )( 或 , f( x ) g ( x )); (3 )f(a)g(a),(或 f(b)g(b)),y
函数单调性的应用PPT教学课件
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛。
那四季常青的叶片在明 媚的阳光下闪着绿油油 的光。
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛，那四季常青的叶片 在明媚的阳光下闪着绿 油油的光。
到了四五月，各种花 竞相开放，争奇斗艳， 而橘子树却不声不响地 长出米粒大小的花骨朵。
花骨朵绽放开来，形状像 茉莉，一瓣一瓣的，有指 甲那么大，小巧、洁白、 清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不 大起眼。
但当你走近，那阵 阵香气扑面而来， 会使你醉倒。
到了四五月，各种花竞相开放， 争奇斗艳，而橘子树却不声不响 地长出米粒大小的花骨朵。花骨 朵绽放开来，形状像茉莉，一瓣 一瓣的，有指甲那么大，小巧、 洁白、清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不大起眼。 但当你走近，那阵阵香气扑面而 来，会使你醉倒。
x3
3.求参数取值范围
例3：已知函数f(x)=- x2+tx+6在（- ，2]上递增
求 t 的取值范围
x 例4：已知二次函数f(x)=
2-(a-1)x+5在区间（
1 2
，1）
上是增函数，求f(2)的取值范围
4.求函数的值域（包括最值）
例1。已知函数f(x)= x2 -2x+3在[0，a](a>0)上最大值是3
课堂练习：
1．求 y 6x 3 2x 1 的值域。
log 3 1 a4
2．函数f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间(-∞,4)上 是减函数,则实数a的取值范围是 [ ]
A．a≥3 B．a≤-3 C．a≤5 D．a=-3
9·家乡的 红橘
风霜考验 明媚 花骨朵竞 相开放 绽放 茉莉 一 瓣一瓣 一簇簇 朴素 又酸 又涩 成熟 沉甸甸 鲜嫩 舒畅
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
岳阳市第十四中学
谢谢大家!
思考题
已知奇函数f(x)在定义域 [-1，1]上是减函数，解不 等式f ( 2x- 1 ) > 0
解：∵ 0∈[-1,1] ∴ f(0) = 0
∴有 1 2x 1 1 2x 1 0
∴0 ≤ x <
x
1
，若f(x) = 2，则x=
x, x 1
2. 函数f(x) = |lgx|，则f ( 1 )， f ( 1 ) ，f(2)的大小关系是
4
3
3. 已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，
且
f(
1 2
) = 0，求不等式f
( log4 x ) > 0的解集；
x
x 0
或
f
(x)
f (1)
∴f(x)>0的解为x>1
或-1<x<0
归纳方法
1
观察不等式两端 的特点， 化为同类函数
归纳方法
2
借助函数的单调 性，去掉“ f “
3
注意定义域及单调 区间（特别是对数 函数中真数大于0）
课后作业
1.
已知f(x)
=
3x
,
提高型练习
2. 求函数 y
1
的定义域
log 1 (2 x)
2
解:依题意有
log 1 (2 x) 0 即
2
2–x <1 2–x>0
∴所求函数的定义 域为 { x| 1 < x < 2}
3. 解不等式 ：log 1 (3x 1) 3
2
解：原不等式等价于 log1 (3x 1) log1 8
性质
基础型练习
1. 解下列不等式 （1）2 x > 4 （2） ( 1 ) x < 8
2
（3）lgx > 2
（4） log 1 x 2
2
解： x > 2 解： x > -3
解： x > 100 解：0 x 1
4
小结：
指数函数、对数函数不等式的解法
1. 将不等式两边变成底数相同；
2. 利用函数的单调性，注意函数的定义域；
3. 若y=f(x)在区间D上是增(减)函数，则对于x1,x2 ∈D,
有： (12) f(x1)<f(x2 )
x1 < x2 (x1 > x 2)
(2) f(x1)=f(x2)
x1 = x2 (x1 = x2 )
(3) f(x1)>f(x2)
x1 > x2 (x 1 < x2 )
3x 1 0 3x 1 8
即
2
3x 1
3x 9
2
∴所求不等式的解集
为{x| 0 < x < 2}
4.
已知函数
f(x)=log a
(3x
2)
( a > 0,且a 1 )
若 f ( x ) > loga ( 2x ), 求x 的取值范围
1 2
（1）在（0,）上是增函数
（2）f ( 1 ) = 0 则不等式f ( x ) > 0的解为 X > 1 或 -1< x <0
解: 由已知得f (yx )在（ , 0）
上也是增函数（可证），
且 f ( -1 ) = 0
∴
有 -1
x
f
0 (0x)
f
(11)
解：（1）当 a > 1时有：
3x 2 0
x 2
3
2x 0
x0
3x 2 2x
x2
∴x > 2
（2）当 0<a < 1时有：
3x 2 0
x 2
3
2x 0
x0
3x 2 2x
x2
2 x2 3
5. 已知奇函数 f ( x ) 的定义 域为（ ,0）（0,） 且满足条件:
岳阳市第十四中学
利用函数的单调性解不等式
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
0<a<1
y
1 0
指数函数 y = a x
a>1
定义域：定R义域：R
值
域值：域(:0(
0, ,+
+ ∞
∞ )
)
过点(0 ，1),即x=0 时 y=1
x a>1时，在R上是增函数
0<a<1时，在R上是减函数
图像
性质
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
对数函 数 y = logax
y
a>1
01
x
0<a<1
图像
定义域：( 0 , + ∞ )
值 域：R
过点(1 ，0)即x = 1时y = 0
a > 1 时: 在( 0 , + ∞ )上是增函数 0 < a < 1时: 在( 0 , + ∞ )上是减函数