9-5简谐运动的合成
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大学物理第五版下册 简谐运动的合成课件
简谐运动能量守 恒，振幅不变
6
第九章
振 动
物理学
第五版
（3） 熟记平均动能和平均势能 ）
E
k
1 1 = E = kA 2 4
2
1 = m ω 2A 4
2
E
P
1 1 = E = kA 2 4
2
1 = m ω 2A 4
2
第九章
振 动
7
物理学
第五版
在实际问题中，经常要遇到一个质点同时参与几种 在实际问题中， 振动的问题。根据运动的叠加原理， 振动的问题。根据运动的叠加原理，此时质点所做的运动 实际上是几种振动的合成。 实际上是几种振动的合成。 的合成问题。 我们仅研究两个同方向的振动的合成问题。
π
点P的相位为 的相位为
ΦP = ω( tP −t0 ) +ϕ = 0
t =0
t =tP
x/m
第九章
振 动
5
物理学
第五版
(3): 根据
ΦP = ω(t P −t0 ) +ϕ = 0
π /3 ω(t P −t 0 ) = ( tP −t0 ) = 3 ω 4. 简谐运动的能量
π
∴ t P =1.6S
（1） 动能 ） （2） 势能 ）
1 2 kA 2 1 1 2 E k = mv = m ω 2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 2 1 E p = kx = m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 1 2 2 2 E = E k + E p = m ω A = kA 2 2
x = Acos(ωt +ϕ)
9.8 k g = = =10rad / s 式中 ω = ∆l m 0.098
《简谐运动的合成》课件
演化、分支和应用
复杂演化
分支学科
摆锤波、庞加莱山丘和分形结构。
天文学、量子力学、金融市场的 年度周期、周期性疾病等。
应用
音乐制作、机械振动隔振等。
《简谐运的合成》PPT 课件
让我们一起探索简谐运动的奥秘，以及如何合成它们，理解它们的物理和声 学意义。
简谐运动
定义
在保证周期性的前提下，物体在固定外力作用下沿一个固定轨道做的运动称为简谐运动。
特点
周期性、振幅、相位、频率、能量守恒。
物理意义
简谐运动是许多自然现象的基础，例如弹簧振子、波的传播、电路中的交流电等。
4 频率
单位时间内重复运动的次数，即振动的快慢。
简谐振动的模拟
Project 1
通过模拟普通化学键中的键弹 性常数，让分子的振动成为一 个弹性团体的整体振动。
Project 2
开发一个可以模拟波的传播和 反射等现象的平台。
Project 3
设计一个工具用于分析在大量 复杂结构和流体下的流动或运 动。
总结
原理 应用 重要性
简谐运动的周期性、振幅、相位、频率、能量守 恒 声音、机械振动、电路等多个领域。
简谐振动学是理解自然现象及应用科学的基础。
力学和声学之美
1 位移
最基本的力学量，表述物体在空间三维坐标 系所占据的位置。
2 振幅
描述物体围绕平衡位置做小幅度振动的最大 位移量。
3 波长
因为波是重复的，所以它有特定的波长。
简谐振动的合成
概述
两个或多个简谐运动的合成。
合成振幅的求法
矢量法或三角函数法。
合成频率的求法
各组分振动的频率之和。
双摆实验
演示简谐振动的合成原理。
简谐振动演示09
2 1
2 A2
2 A1 A2 cos( 2 1 )
o
2 2 2
60
0
A
x
A A A 5 10 (m)
平衡位置 x = 0
55
关于谐振动的合成的计算
教材
下册书 P38 9-5 9-28 9-30
56
(二)、 同一直线上两个不同频率谐振动的合成
当 2 1时 2 1 2 1 x1
9-6
9-7
基训:P93 例1 习题:A卷:一 1. 2. B卷:一 1.
17
9-2、旋转矢量
1.设一矢量 OM 逆时针方向 匀速转动，角速为
OM A
y
y
M
A
t 0
2. t 时刻矢端 M 点的位
o
t 0 x
置（坐标） x A cos(t 0 ) y A sin( t 0 )
由此可见： 旋转矢量的端点在坐标轴上投影点的运 动为谐振动 旋转矢量旋转一周 投影点全振动一次
19
X
例1
一谐振动的相位为
3 3 3 画旋转矢量，指出其投影点 的位置
, 2
,
60
x
o
60
例2
质点在平衡位置向 x 轴正向运动，
画对应的旋矢，指出其相位是多 少？ 3 ( )
t=0时与x轴
正方向夹角 t时刻与x轴
x
正方向夹角
t=0时 刻 与t时 夹角
相位 t +
平衡位置 x=0 t
简谐振动的解题方法：
1. 解析法 2. 图示法
x A cos(t )
3。旋转矢量法（几何法） x x
2 A2
2 A1 A2 cos( 2 1 )
o
2 2 2
60
0
A
x
A A A 5 10 (m)
平衡位置 x = 0
55
关于谐振动的合成的计算
教材
下册书 P38 9-5 9-28 9-30
56
(二)、 同一直线上两个不同频率谐振动的合成
当 2 1时 2 1 2 1 x1
9-6
9-7
基训:P93 例1 习题:A卷:一 1. 2. B卷:一 1.
17
9-2、旋转矢量
1.设一矢量 OM 逆时针方向 匀速转动，角速为
OM A
y
y
M
A
t 0
2. t 时刻矢端 M 点的位
o
t 0 x
置（坐标） x A cos(t 0 ) y A sin( t 0 )
由此可见： 旋转矢量的端点在坐标轴上投影点的运 动为谐振动 旋转矢量旋转一周 投影点全振动一次
19
X
例1
一谐振动的相位为
3 3 3 画旋转矢量，指出其投影点 的位置
, 2
,
60
x
o
60
例2
质点在平衡位置向 x 轴正向运动，
画对应的旋矢，指出其相位是多 少？ 3 ( )
t=0时与x轴
正方向夹角 t时刻与x轴
x
正方向夹角
t=0时 刻 与t时 夹角
相位 t +
平衡位置 x=0 t
简谐振动的解题方法：
1. 解析法 2. 图示法
x A cos(t )
3。旋转矢量法（几何法） x x
x简谐运动
积分常数，根据初始条件确定
dx v A sin(t ) dt
d2 x a 2 A 2 cos(t ) dt
d x 2 x0 2 dt
2
振动图像
T 2 π
取
x A cos(t )
A cos[ (t T ) ]
x 2cos(t ) cm
的确定:
的确定:
2π 3
0 -1 -2
t=0
2π 3
1
t/s
4π 4π t 3 3
-2
4π 2 π x 2 cos( t ) cm 3 3
x/cm -1 o 2 t =1 4π
Δ 3
例边长l=0.25m、密度=800kg/m3的正方形木块浮在水面上，若 把木块恰好完全压入水中， 然后从静止状态放手. 木块将作 什么运动？运动规律的表达式？ 解：取水面为坐标原点, 向上为x正向，水的密度与, 木块受重 力l3g, 设b为木块浸入水的高度，浮力为l2bg. 平衡位置 b l / 0.2m a
一 简谐运动 谐振子: 作简谐运动的物体.
弹簧振子的振动
简谐振动的原因： 线性回复力+惯性
F 0, x 0
l0
k
m
A
o
A
x
振动方程
F
m
o
取平衡位置为坐标原点
x
x
F kx ma k 2 令 m 2 a x
a 与 x 方向相反
解动力学特征方程得：
x A cos(t )
k1 x2 x, k1 k 2
1 1 1 k k1 k 2
例 质量为m的物体，挂于弹性系数为k的弹簧下，圆频率为1，
dx v A sin(t ) dt
d2 x a 2 A 2 cos(t ) dt
d x 2 x0 2 dt
2
振动图像
T 2 π
取
x A cos(t )
A cos[ (t T ) ]
x 2cos(t ) cm
的确定:
的确定:
2π 3
0 -1 -2
t=0
2π 3
1
t/s
4π 4π t 3 3
-2
4π 2 π x 2 cos( t ) cm 3 3
x/cm -1 o 2 t =1 4π
Δ 3
例边长l=0.25m、密度=800kg/m3的正方形木块浮在水面上，若 把木块恰好完全压入水中， 然后从静止状态放手. 木块将作 什么运动？运动规律的表达式？ 解：取水面为坐标原点, 向上为x正向，水的密度与, 木块受重 力l3g, 设b为木块浸入水的高度，浮力为l2bg. 平衡位置 b l / 0.2m a
一 简谐运动 谐振子: 作简谐运动的物体.
弹簧振子的振动
简谐振动的原因： 线性回复力+惯性
F 0, x 0
l0
k
m
A
o
A
x
振动方程
F
m
o
取平衡位置为坐标原点
x
x
F kx ma k 2 令 m 2 a x
a 与 x 方向相反
解动力学特征方程得：
x A cos(t )
k1 x2 x, k1 k 2
1 1 1 k k1 k 2
例 质量为m的物体，挂于弹性系数为k的弹簧下，圆频率为1，
课件：简谐运动的合成(1)
端点。若第一个小球的振动方程为：x1=Acos(t+)
（1）试写出第二个小球的振动方程。
（2）若质点同时参与上述两个谐振动，求合振动的振幅
及振动方程 解：(1)
x2
2 A cos( t
)
2
（2）由旋转矢量可得：
A1
A合
A合 A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
A2
x
A2 (2A)2 2A 2Acos( / 2) 5A cos1( A ) 1.1rad
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
x 0
x2 2 1
x1A1
x
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
如 N 5, k 1则 72 （如图） 如 N 5, k 2则 144 144 144
（如图）
c. 次级大 (2k 1)
144
144
30.
例5. 有两个小球都在竖直方向作相同频率的谐振动，第
二个小球的振幅是第一个小球的2倍，当第一个小球自振
动正方向回到平衡位置时，第二个小球正好在正方向的
方法一：解析法
x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t
x
(2
A1
cos
2π
212Fra bibliotekt)cos
2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
x
(2 A1
cos
简谐运动的合成
x
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
11
x
A1
x
反相
2
o
o
T
减弱
t
A
A2
A A1 A2
2 2
x ( A2 A1 ) cos( t )
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
7
*三
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
A2
2
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
0
x2
x
1
x1
A1
x
合振动：x x1 x2
o
？
t
3
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
2
x x1 x2
x A cos( t )
A4 A3 A5 A2 O A6 A x 1
10
小结：
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
2
A2
1
A
x x1 x2
x A cos( t )
0
A1
xn An cos( t n )
A3 A
1 A1
x x1 x2 xn
x A cos(t )
简谐运动的合成实验
简谐运动的合成实验一、 实验目的1. 了解简谐运动的合成理论实现方法。
2. 观察实验现象，了解简谐运动的合成的特点。
3. 学会利用旋转适量法分析简谐运动。
二、 实验原理.1. 两个同方向同频率简谐运动的合成：若两个同方向的简谐运动，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别是1ϕ和2ϕ，则它们的运动方程分别为x1=A1cos(ωt+1ϕ),x2=A2cos(2ϕω+t ).因为振动是同方向的，所以这两个简谐运动在任何时候的合位移x 仍在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即 x=x1+x2.。
合位移也可以用旋转矢量法求出。
如图1所示，两分振动的旋转矢量分别为A1和A2，开始时（t=0），它们与ox 轴的夹角分别为1ϕ和2ϕ，在ox 轴上的投影分别为x1及x2.由平行四边形法则，可得和矢量A=A1+A2。
由于A1、A2以相同的ω绕着o 点作逆时针旋转，它们的夹角（12ϕϕ-）在旋转过程中保持不变，所以矢量A 的大小也保持不变，并以相同的角速度ω绕着o 点作逆时针旋转。
从图1中可以看出，任意合矢量A 在ox 轴的投影x=x1+x2，因此和矢量A 即为合振动所对应的旋转矢量，而开始时矢量A 与ox 轴的夹角即为合振动的初相位ϕ。
由图可得合位移为x=Acos(ϕω+t )。
这就表明合振动仍然是简谐运动，其合振幅为A=)12cos(2122*21*1ϕϕ-++A A A A A A 。
合振动的初相位为tan ϕ=(A1sin )2sin 21ϕϕA +)\2cos 21cos 1ϕϕA A +。
图12. 旋转矢量法：从坐标原点O (平衡位置)画一矢量 ，使它的模等于谐振动的振幅A ，并令t=0时A 与x 轴的夹角等于谐振动的初位相φ0，然后使A 以等于角频率ω的角速度在平上绕O 点作逆时针转动，这样作出的矢量称为旋转矢量。
显然，旋转矢量 任一时刻在x 轴上的投影x=Acos(ωt+φ0)就描述了一个谐振动。
简谐运动
准弹性力
系统本身决定的常数
动力学方程：
在水平方向上：
弹簧振子
F kx
由牛顿第二定律
d 2x kx m 2 dt
k 令 2 m
则有
d x 2 x 0 2 dt
二阶齐次常 微分方程
2
一般写成： 或：
x A sin t x A cost
振动和波动
共同特征：运动在时间、空间上的周期性
振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
波动: 振动在空间的传播
振动
机械振动：物体在某一位置附近作周期往复运动 电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性变化
简谐振动（简谐运动）：最简单、最基本的振动
9-1简谐振动
一、简谐振动的基本特征
弹簧振子
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点） 集中弹性 集中惯性
解得
2 2 v v 2 A x0 02 x 2 2
的状态如何就决定了系 统未来的振 但计算A的大小时不一定非用初 始 条件，只要同时告诉某 时刻的x与
幅A的大小。所以A由初始条件决定。
相应的v，又知道，就可以求出A。
3、初相位
初相：
由 t = 0时
x0 A cos v0 A sin
(1)、相位 t 是确定振动状态的物理量
(2) ( t )与状态参量 x，v有一一对应的关系
x A cos(t ); v A sin(t )
当 t 例：
3
时：
A x , 2
A x , 2
3 v A 2
质点在 x A 2 处以速率 v向 x方向运动
物理学上册课后习题答案_马文蔚
习题11-1 质点作曲线运动，在时刻t质点的位矢为r ，速度为v ，t 至()t t +∆时间内的位移为r ∆，路程为s ∆，位矢大小的变化量为r ∆（或称r ∆），平均速度为v ，平均速率为v。
（1）根据上述情况，则必有（ B ） （A ）r s r ∆=∆=∆（B ）r s r ∆≠∆≠∆，当0t ∆→时有dr ds dr =≠ （C ）r r s ∆≠∆≠∆，当0t ∆→时有dr dr ds =≠ （D ）r s r ∆=∆≠∆，当0t ∆→时有dr dr ds ==（2）根据上述情况，则必有（ C ） （A ）,v v v v == （B ）,v v v v ≠≠ （C ）,v v v v =≠ （D ）,v v v v ≠=1-2 一运动质点在某瞬间位于位矢(,)r x y 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即（1）drdt；（2）drdt；（3）dsdt；（4下列判断正确的是：( D )（A ）只有（1）（2）正确 （B ）只有（2）正确 （C ）只有（2）（3）正确 （D ）只有（3）（4）正确1-3 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度。
对下列表达式，即（1）dvdt a =；（2）dr dt v =；（3）ds dt v =；（4）t dv dt a =。
下述判断正确的是（ D ）（A ）只有（1）、（4）是对的 （B ）只有（2）、（4）是对的 （C ）只有（2）是对的 （D ）只有（3）是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时，则有（ B ） （A ）切向加速度一定改变，法向加速度也改变 （B ）切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 （C ）切向加速度可能不变，法向加速度不变 （D ）切向加速度一定改变，法向加速度不变*1-5 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。
设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长且湖水静止，小船的速率为v ，则小船作（ C ）（A ）匀加速运动，0cos v vθ= （B ）匀减速运动，0cos v v θ=（C ）变加速运动，0cos v v θ=（D ）变减速运动，0cos vv θ=（E ）匀速直线运动，0vv =习题22-1 如图所示，质量为m 的物体用平行于斜面的细线连结并置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物体刚脱离斜面时，它的加速度的大小为（ D ）（A ）sin g θ （B ）cos g θ （C ）tan g θ （D ）cot g θ2-2 用水平力N F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止。
9-5(新)简谐运动的合成
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成 相互垂直不同频率的简谐振动的合成：李萨如图
链接
第九章
振 动
31
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
9-2 旋转矢量 9-3 单摆和复摆 9-4 简谐运动的能量 9-5 简谐运动的合成 9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 9-7 电磁振荡
第九章 振 动
32
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
15
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
2 2 x y 2 xy 讨 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 论 A1 A2 A1 A2
（3）2 1 π 2
y
A2
x y 2 1 2 A1 A2
2
2
o
A1
2
2
第九章
振 动
14
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
2 2 x y 2 xy 讨 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 论 A1 A2 A1 A2
y
2 1 0或 2 π （ 1） A2 y x A1
A2
o
A1
x
2 1 π （ 2） A2 y x A1
x (2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
2 1 2π T π 2
1 T 2 1
拍频（振幅变化的频率）
2 1
第九章
振 动
25
物理学
第五版
简谐运动的合成与分解
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
10-5 谐运动的合成
非周期振动的谐振分析采用 傅立叶变换
O
O O O
t t t t
A2 y=− x A1
y
A2
o
A1
x
x y + 2 =1 2 A1 A2
π y = A2 cos(ωt + ) 2
A2 y
x = A1 cos ωt
o
A1
x
10－ 10－5 谐振动的合成
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
第十章 机械振动与电磁振荡
10－ 10－5 谐振动的合成
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
A = A1 − A2
3）一般情况
相互削弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
10－ 10－5 谐振动的合成
第十章 机械振动与电磁振荡
多个同方向同频率简谐运动的合成 多个同方向同频率简谐运动的
x1 = A1 cos( ω t + ϕ 1 ) x 2 = A2 cos( ω t + ϕ 2 ) ⋯⋯ x n = An cos( ω t + ϕ n )
∗三
第十章 机械振动与电磁振荡
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
x = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x y 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2 y A2 讨论 1）ϕ 2 − ϕ1 = 0 或 2π
N个矢量依次相接构
闭合的多边形 成一个闭合 成一个闭合的多边形 .
O
O O O
t t t t
A2 y=− x A1
y
A2
o
A1
x
x y + 2 =1 2 A1 A2
π y = A2 cos(ωt + ) 2
A2 y
x = A1 cos ωt
o
A1
x
10－ 10－5 谐振动的合成
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
第十章 机械振动与电磁振荡
10－ 10－5 谐振动的合成
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
A = A1 − A2
3）一般情况
相互削弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
10－ 10－5 谐振动的合成
第十章 机械振动与电磁振荡
多个同方向同频率简谐运动的合成 多个同方向同频率简谐运动的
x1 = A1 cos( ω t + ϕ 1 ) x 2 = A2 cos( ω t + ϕ 2 ) ⋯⋯ x n = An cos( ω t + ϕ n )
∗三
第十章 机械振动与电磁振荡
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
x = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x y 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2 y A2 讨论 1）ϕ 2 − ϕ1 = 0 或 2π
N个矢量依次相接构
闭合的多边形 成一个闭合 成一个闭合的多边形 .
大学物理(9.3.2)--简谐运动的合成
A2
2
o
1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐
运动
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
* 四、两个同方向不同频率简谐运动的合成
x1
拍
t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现
两 个 频 率 较 大 且 相 差 极 小 的象同 方 向 谐 振 动 合 成 形 成
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
3. 两种特殊情况
A
A2 1
A2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
(1) 若两分振动同相
2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强
(2) 若两分振动反相
2 1=(2k+1)
第三讲 简谐运动的合成
* 三、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos(t )
A
A3
3
A1 sin1 A2 sin2 Asin
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan
A1 sin1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
x Acos cost Asin sint Acos( t )
9-5 简谐运动的合成
A = 2 A1 cos 2π
ν 2 ν 1
2
t
Amax = 2A1
Amin = 0
2π
ν 2 ν1
2
T =π
1 T= ν 2 ν1
频( 变
ν =ν 2 ν1
Copyright by LiuHui All rights reserved.
频 )
9-5 简谐运动
五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
2
0
x1
A 1
A1 sin 1 + A2 sin 2 tan = A1 cos 1 + A2 cos 2
两个同 两个同 动
同频 简谐运 简谐运动 为简谐运动
Copyright by LiuHui All rights reserved.
9-5 简谐运动
讨论
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos( 2 1 )
动
= 2 1 = 2k π
(k = 0, ± 1,)
动 强
A = A1 + A2
= 2 1 = (2k + 1) π
( k = 0, ± 1,)
动
A = A1 A 2
一般情况
A1 + A 2 > A > A1 A 2
Copyright by LiuHui All rights reserved.
9-5 简谐运动
一 两个同方向同频率简谐运动的合成 x1 = A1 cos( ω t + 1 )
x 2 = A2 cos( ω t + 2 )
动
ω
A 2
x2
1
A
xx
ν 2 ν 1
2
t
Amax = 2A1
Amin = 0
2π
ν 2 ν1
2
T =π
1 T= ν 2 ν1
频( 变
ν =ν 2 ν1
Copyright by LiuHui All rights reserved.
频 )
9-5 简谐运动
五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
2
0
x1
A 1
A1 sin 1 + A2 sin 2 tan = A1 cos 1 + A2 cos 2
两个同 两个同 动
同频 简谐运 简谐运动 为简谐运动
Copyright by LiuHui All rights reserved.
9-5 简谐运动
讨论
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos( 2 1 )
动
= 2 1 = 2k π
(k = 0, ± 1,)
动 强
A = A1 + A2
= 2 1 = (2k + 1) π
( k = 0, ± 1,)
动
A = A1 A 2
一般情况
A1 + A 2 > A > A1 A 2
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9-5 简谐运动
一 两个同方向同频率简谐运动的合成 x1 = A1 cos( ω t + 1 )
x 2 = A2 cos( ω t + 2 )
动
ω
A 2
x2
1
A
xx
大学物理简谐运动的合成
大学物理简谐运动的合 成
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
简谐运动的合成
(2)若另有一振动x3 0.07cos10t 0 ，问0为何值时，
x1 x3的振幅为最大；问0为何值时，x2 x3的振幅为最小。
解：根据题意，画出旋转矢量图
A A12 A22
0.052 0.062
A1
0.078(m)
0 10 0
0 =10
3 4
时，x1
x3的振幅最大
A
A2
tan
A1 sin 1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
讨论 A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
0，1， 2,)
合振幅最大
A A1 A2
xx
oo
A1 A2
t
A
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1)
2、两个分振动的相位反相：
相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1,)
合振幅最小 A A1 A2
x
x
A1
2
o
o
t
A
A2
例题 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们 的振动表式（SI制）为：
x1
0.05
cos
10t
3 4
x2
0.06 cos 10t
1 4
(1)求它们合成振动的振幅。
简谐运动的合成
一、同方向、同频率两个简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
A2
Q
A
x2 A2 cos( t 2 )
用旋转矢量法求合运动
2 1
P A1
O x2
x1 x
X
合振动位移为： x x1 x2 两个同方向同频率简谐运
x A cos( t ) 动合成后仍为简谐运动
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x1 x x
5
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
任意时刻合矢量 A 在 ox轴上的投影
x x1 x2
A cos( t )
O
A2
A
2
x2
1
A1
x1 x x
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率 的简谐运动。
第九章 振 动
6
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
14
物理学
第五版
9-5 两相 互垂 直同 频率 不同 相位 差简 谐运 动合 成图
第九章 振 动
简谐运动的合成
15
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x x1 x2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A A1 sin 1 A2 sin 2 A2 tan 2 A1 cos1 A2 cos 2 A
弹簧振子
k m
2
振幅 A 和初相位 由初始条件确定，角频率 （或周期T）由振动系统本身的性质决定。
第九章 振 动
1
物理学
第五版
9-5 二、旋转矢量
简谐运动的合成
y
轴上的投影点P 作简谐运动。
旋转矢量 A的端点M 在x
x A cos( t )
t
O
A
M
t0
x
P x
根据初始条件确定初相位
参考圆
可以求出同一谐振动两运动状态间变化所需的时间。
t
第九章 振 动
2
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
三、简谐运动的能量
1 2 Ek mv 2
1 2 E p kx 2
1 2 2 kA sin (t ) 2
1 2 2 kA cos (t ) 2
2 A cos （ 2π
合振动不是简谐运动
第九章 振 动
2
t )cos （ 2π
2
t ）
20
物理学
第五版
9-5 当 2 1 1 2 时:
简谐运动的合成
x 2 A cos （ 2π
2 1
2
t )cos （ 2π
2 1
2
t ）
振幅 A(t ) 随t 缓慢变化
o
A1
x
两个相互垂直的不同频率的简谐运动的合成 一般情况下，由于相位差不是定值，合振动 的轨迹将是不稳定的。如果两个分振动的频率之 比为简单的整数，则合成的轨迹具有稳定的封闭 的运动轨迹，这些图形称为李萨如图形.
第九章 振 动
13
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
用旋转矢量描绘振动合成图
第九章
振 动
x x1 x 2
一、两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与两个独立的同方向、同频率 的简谐振动
x1 A1 cos( t 1 )
第九章 振 动
x2 A2 cos( t 2 )
4
4
物理学
第五版
9-5 由于分振动在一条直线上
简谐运动的合成
代数和 可用三角函数公式求合成结果，但用旋转矢 量法求合位移更加直观简单。 下面用旋转振幅矢量图求合振动
x2 A2 cos( t 2 )
xn An cos( t n )
用旋转矢量求两个简谐运动 合成的方法，可推广到N个 简谐运动的合成。
A3 A
1 A1
2
A2
3
x x1 x2 xn x A cos(t )
o
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
2
t ）
拍频— 单位时间内合振动加强或减弱的次数。 拍频的值可由振幅求出
2 1
拍频（振幅变化的频率）
拍频的数值等于两个分振动频率之差.
第九章 振 动
22
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
演示V3.0
当两个频率相差很小的音叉同时振动时，就 会产生周期性的时强时弱的声音，这就是拍现象。 拍是一种很重要的现象。在声振动、电磁振 荡中经常遇到。利用拍现象可以测定振动频率、 用于无线电技术和卫星跟踪等领域。
y
1.
2 1 0 或 2π
A2 y x A1
A2
o
A1
x
y
A2
2.
2 1 π
A2 y x A1
第九章 振 动
o
A1
x
12
物理学
第五版
π 3. 2 1 2 2 2
9-5
简谐运动的合成
y x 2 1 2 A1 A2
y
A2
4. 当 2 1为其他值时， 合振动的轨迹不再是正椭圆 而是斜椭圆。
合振动减弱
如果 A1 = A2，则 A = 0 两振动相消 一般情况下，(2 -1 ) 是其它任意值时
| A1 A2 | A A1 A2
两个振动的相位差对合振动起着重要的作用。
第九章 振 动
9
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
2 2
x A cos(t )
O
x2
1
x1
1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
16
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
x x
A2
o A
o
T
1
t
A
t ) A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos( 2 1 2k π
第九章 振 动
19
物理学
第五版
Hale Waihona Puke 9-5简谐运动的合成
四、两个同方向不同频率简谐运动的合成
分振动
拍
x1 A cos(1t ) A cos(21t ) x2 A cos(2t ) A cos(2 2t )
合振动
x x1 x2
A cos （ 2 π 1t ） A cos （ 2 π 2t ） 2 1 2 1
m
o
x
x
动能和势能都是时间的周期性函数。
1 2 简谐运动系统机械能守恒 E Ek Ep kA 2
第九章 振 动
3
3
物理学
第五版
9-5 振动叠加原理
简谐运动的合成
当振动质点同时参与两个振动时，根据运动叠 加原理，振动质点的运动应是两个振动的合成，即 合振动的位移等于各个分振动位移的矢量和。
椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋 )在A1 确定之后,主要决定于 2 1 。
第九章 振 动
、A2
11 11
物理学
第五版
讨论
2 2
9-5
简谐运动的合成
y 2 xy x 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
合振动频率 1 2
合振动可看作振幅缓慢变化的准简谐运动。
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐 运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱 的现象叫拍.
第九章 振 动
21
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 A cos （ 2π
2 1
2
t )cos （ 2π
2 1
x x1 x 2
由于旋转矢量 A1和 A2 均以相同的角速度 作逆 时针旋转，所以在旋转过 程中矢量合成的平行四边 形的形状保持不变。
第九章
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
A2
A
2
O
振 动
x2
1
A1
物理学
第五版
简谐运动的合成 一、简谐运动 复习 物体振动时离开平衡位置的位移x 按余弦函数的 规律随时间变化。 动力学特征
9-5
F kx
运动学特征
简谐运动方程
x A cos(t )
2
d2 x 2 x0 2 dt
A
x
2 0
2 v0
x v 00 t an cos A x0
18
A
A2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
小结 （1）相位差 2 1 2k π
(k 0 ， 1 ， )
加强
A A1 A2
A A1 A2
1 ， ) （2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ，
减弱 （3）一般情况 A1 A2 A A1 A2
第九章 振 动
10
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成 二、相互垂直的简谐运动的合成
设一个质点同时参与了两个相互垂直的同频率的 简谐运动
x A1 cos( t 1 ) y A2 cos( t 2 ) 消时间参数得
（椭圆方程）
2
质点运动轨迹
2
y 2 xy x 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2