命题及其关系
四种命题及其关系
对所有x, 存在某x， 对任何x 对所有x, 存在某 ， 对任何x， 成立 不成立 不成立 P且 q
┐p或┐q 或
P或 q
┐p且┐q 且
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
两直线平行 同位角相等
同位角相等， 同位角相等， 两直线平行， 两直线平行，
同位角不相等， 两直线不平行 同位角不相等，
两直线不平行， 逆否命题 两直线不平行， 同位角不相等 互为逆否命题：一个命题的条件 结论分别是另一个 互为逆否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 条件和 命题的结论的否定 条件的否定， 结论的否定和 命题的结论的否定和条件的否定， 互为逆否命题。 这两个命题叫做互为逆否命题 这两个命题叫做互为逆否命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否 命 题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否命题:若 逆否命题 若┐q ,则┐ p 则 原命题: p,则 原命题:若p,则q
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； f(x)是正弦函数 是正弦函数， f(x)是周期函数 是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； f(x)是周期函数 是周期函数， f(x)是正弦函数 是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； f(x)不是正弦函数 不是正弦函数， f(x)不是周期函数 不是周期函数；
例: “若x2+y2≠0，则x，y至少有一个不为0” ≠0， 至少有一个不为0” 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 逆否命题并判断它们的真假。 逆否命题并判断它们的真假。
四种命题及其关系
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. （真） （真）
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
（对）
（对） （错） （错）
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假） （假） （假） （假）
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b, 则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们 的真假。
（假）
课文例4,证明：若x2+y2=0,则x=y=0
直接入手难，可以间接证明，先证明他 的逆否命题成立，从而说明原命题成立。
1、四种命题之间的 关系
原命题
若p则q 互 否 互逆
逆命题
若q则p 互 否
否命题
若﹁p则﹁q
互逆
逆否命题
若﹁q则﹁p
2.四种命题的真假
看下面的例子： 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 逆命题：若ac2>bc2,则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 (真 ) (真 ) (真 ) (真 ) (真 ) (假 ) (假 ) (真 ) （假） （真） （真） （假）
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
命题及其关系
3、四种命题及其关系： 互为逆否的两个命题,其真假性相同。
互逆或互否的两个命题,其真假性没有关系。
练习5：课本P8——练习 常见用语的否定： p 是 都 (全 ) 是 一定是 = ┐p 不是 不都(全)是 不一定是 ≠
> <
至多有一个 至少有一个 A且B A或B
≤ ≥
至少有2个 中的条件和结论。 1、若直线a//b,则直线a,b无公共点。 2、若整数a能被2整除,则a是偶数。 3、若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分。 4、若x2=1,则x=1。 5、若整数a是素数,则a是奇数。 6、若空间中两条直线不相交,则两直线平行。
练习3：将下列命题写成“若p,则q”形式,并判断真假。 1、负数的平方是正数。 2、对顶角相等。 3、垂直于同一条直线的两个平面平行。 4、正方形的四条边相等。 5、两个全等三角形的面积相等。 6、垂直于同一条直线的两条直线平行。 7、空集是任意集合的真子集。 8、相切两圆的连心线经过切点。 9、等边三角形的三个内角相等。
1、命题的定义：
1)可以判断真假 2)陈述句
判断为真——真命题；判断为假——假命题。
2、命题的形式： 条件
结论
常见的形式为:“若p,则q”。
有一些命题虽然表面上不是”若p,则q”的形式, 但将其表述略加改变,就可以写成”若p,则q”的形式。
3、四种命题及其关系：
原命题 若p,则q
互 否 互逆
逆命题 如果一个命题的条件和结论 若q,则p 分别是另一个命题的结论 和条件,这样的两个命题叫 互 做互逆命题。
否
若一个命题的条件和 逆否命题 互逆 若┐q,则┐p 结论分别是另一个命题 的结论的否定和条件的 若一个命题的条件和结论恰好是 否定,则把这样的两个 另一个命题的条件的否定和结论的 命题叫做互为逆否命题。 否定,这样的两个命题叫做互否命题。 否命题 若┐p,则┐q 注意四种命题的相对性：一旦一个命题定为原命题,就相应地有 它的逆命题、否命题、逆否命题。 练习4：课本P6
高中数学知识点精讲精析 命题及其关系
1.1 命题及其关系1.命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．2．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
3．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4．四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．5．①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
命题及其关系
3．(2009·重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B
)
4．“ω＝2”是“函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π”的( A．充分非必要条件 C．充分必要条件 B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
解答：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0为真命题．
用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．
变式2.已知a、b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1.该条件
是否为必要条件？试证明你的结论． 证明：∵a2－b2＝1，∴a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝ a2－b2＝1. 即a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1. 另一方面又a4－b4－2b2＝1，即为a4－(b4＋2b2＋1)＝0.a4－(b2＋1)2＝0， (a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0，又a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1. 因此a2－b2＝1既是a4－b4－2b2＝1的充分条件，也是a4－b4－2b2＝1的必要条件.
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 充要条件 (sufficient and necessary condition)． 4．反证法与证命题的逆否命题 反证法首先 否定结论，即假定结论不成立 ．由此出发直至推出 与题设、定义 、 定理相矛盾 ；证命题的逆否命题，即由 结论 的否定推出 题设 的 否定 ．
命题的条件和结论如何写完整
命题的条件和结论如何写完整一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题原命题：若p，则q。
逆命题：若q，则p。
否命题：若¬P，则¬q。
逆否命题：若¬q，则¬p。
(2)四种命题间的关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；(3)若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4) 若p⇔q，则p是q的充要条件；(5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；③p是q的充要条件是的的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则①若，则p是q的充分条件；②若，则p是q的必要条件；③若，则p是q的充分不必要条件；④若，则p是q的必要不充分条件；⑤若A=B，则p是q的充要条件；⑥若且,，则p是q的既不充分也不必要条件.考向一四种命题的关系及其真假的判断四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：1．判断四种命题间关系的方法①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.2．命题真假的判断方法①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.考向二充分、必要条件的判断充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下：1．命题判断法设“若p，则q”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；(3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；(4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．考向三充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象。
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
2 －a<0 且 1>0 a
，故方程有两个负根，符合题意．
综上知：当 a≤1 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根． 必要性：若方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根． 当 a＝0 时，方程为 2x＋1＝0 符合题意． 当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 应有一正一负根或两个负根．
思维启迪 首先分清条件和结论， 然后根据充要条件的
定义进行判断．
解
(1)在△ABC 中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，
若 sin A＝sin B， 因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三 个内角和为 180° )，所以只有 A＝B.故 p 是 q 的充要条 件． (2)易知，綈 p：x＋y＝8，綈 q：x＝2 且 y＝6，显然 綈 q⇒綈 p，但綈 p⇒綈 q，即綈 q 是綈 p 的充分不必要 条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是 q 的充 分不必要条件． (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B，但 x∈B 一定有 x∈A∪B，所以 p 是 q 的必要不充分条件． (4)条件 p：x＝1 且 y＝2，条件 q：x＝1 或 y＝2， 所以 p⇒q 但 q⇒p，故 p 是 q 的充分不必要条件．
已知推出条件成立是必要性． (2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证 明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该 进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明． (3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要 分清哪是条件，哪是结论．
变式训练 3 求证： 方程 x2＋ax＋1＝0 的两实根的平方 和大于 3 的必要条件是|a|> 3，这个条件是其充分条 件吗？为什么？
题型三
充要条件的证明
例 3 求证：关于 x 的方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个 负根的充要条件是 a≤1. 思维启迪
知识归纳：命题及其关系
命题及其关系1概念：命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
真（假）命题：在命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
命题的构成：在数学中，“若，则”是命题的常见形式，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论。
2理解命题的概念要判断某个句子是否是命题，首先要看这个句子的句型。
一般的，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次要看能不能判断真假，不能判断真假的语句，就不是命题。
例如：①把门关上；②垂直于同一条直线的两直线一定平行吗③空集是任何集合的真子集。
①是祈使句，②是疑问句，所以①②都不是命题。
③是陈述句，也能判断真假，所以是命题，而且是假命题。
3．命题真假的判断当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这种命题真假的办法：⑴若由“”经过逻辑推理得出“”，则可确定“若，则”是真；确定“若，则”为假，则只需举一个反例说明即可。
⑵从集合的观点看，我们建立集合、B＝｛q成立｝与命题中的p、q 之间的一种特殊联系：设集合B＝｛q成立｝，B＝｛q成立｝，就是说，A 是全体能使条件p成立的对象5＞4所构成的集合，B＝｛q成立｝是全体能使条件q成立的对象5＞4所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A5＞4B＝｛q成立｝时满足。
4四种命题概念①如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；②如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题；③如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做逆否命题．换一种表述：①交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；②同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．5四种命题之间的相互关系①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真；③原命题为真，它的逆否命题一定为真．6反证法的一般步骤：①假设命题的结论不正确，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．即：否定结论→推出矛盾→肯定结论。
1.1 命题及其关系
【导学号：46342009】 A．若 y≠kx，则 x 与 y 成正比例关系 B．若 y≠kx，则 x 与 y 成反比例关系 C．若 x 与 y 不成正比例关系，则 y≠kx D．若 y≠kx，则 x 与 y 不成正比例关系
D [条件的否定为 y≠kx，结论的否定为 x 与 y 不成比例关系，故选 D.]
提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．
2．在证明“若 m2＋n2＝2，则 m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题 成立． 提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若 m＋n>2， 则 m2＋n2≠2”成立．
[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时， 直接判断命题的 真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题． 2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．
真
思考 1：(1)“x－1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判 断真假的才是命题．
2．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若 p，则 q”．其中 p 叫做命题的条件 ，q 叫做命 题的 结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若 p，则 q”的形式． 思考 2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？
பைடு நூலகம்
(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． 写出原命题的逆否命题 → 判断其真假
原命题与逆否命题同 判断原命 得到逆否命 → → 真同假即等价关系 题的真假 题的真假
[解析] (1)当 c＝0 时，ac2>bc2 不成立，故原命题是假命题，从而其逆否 命题也是假命题；原命题的逆命题为“若 ac2>bc2，则 a>b”是真命题，从而 否命题也是真命题，故选 C．
命题及其关系、充要条件
命题及其关系、充要条件知识点一：命题（一）命题的定义：做命题。
其中判断为真的语句叫命题，判断为假的语句叫命题。
要点诠释：（1）任何语句都是命题，不能确定真假的语句命题（填是或者不是）。
举例：。
（2）只有能够判断真假的陈述句才命题。
祈使句，疑问句，感叹句都命题（填是或者不是）。
举例：。
（3）语句能否确定是判断其是否是命题的关键。
一个命题要么是，要么是，不能既真又假，模棱两可。
命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的性。
（二）命题的表达形式：命题可以改写成的形式，其中p是命题的条件，q是命题的结论。
知识点二：四种命题（一）四种命题的形式原命题：若p，则q；逆命题：；实质是将原命题的条件和结论；否命题：；实质是将原命题的条件和结论；逆否命题：；实质是将原命题的条件和结论；要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p，则q”的形式，然后才方便写出其他形式的命题。
（二）四种命题之间的关系（三）四种命题之间的真假关系表⌝⌝否命题若p则q（1）互为逆否命题的两个命题 ；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假 。
知识点三：充要条件（一）符号p q ⇒与p q ⇒/的含义 “若p ，则q ”为 命题，记作：p q ⇒； “若p ，则q ”为 命题，记作：p q ⇒/。
（填真或者假）（二）充分条件、必要条件与充要条件（1）若p q ⇒，称p 是q 的 ，q 是p 的 。
（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作 ，称p 是q 的 。
（三）充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系 （1）若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件； （2）若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件； （3）若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为 条件； （4）若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的 条件。
四种命题及其关系
• 解:⑴逆命题:若a,b都为0,则a2+b2=0. • 否命题:若a2+b2≠0,则a,b不都为0. • 逆否命题:若a,b不都为0,则a2+b2≠0. • ⑵逆命题:若某两条直线平行,则这两条直线 垂直于同一直线 . • 否命题:若某两条直线不垂直于同一条直 线,则这两条直线不平行. • 逆否命题:若某两条直线不平行,则这两条 直线不垂直于同一直线. • ⑶逆命题:若方程mx2-x+n条件和结论恰 好是另一个命题的条件的否定和结论的否 定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。 其中的一个命题叫做原命题，另一个叫做 原命题的否命题。即 • 原命题： 若p,则q • 否命题： 若 p, 则 q • 例如：同位角相等，两直线平行。 • 否命题：同位角不相等，两直线不平行。
• 否命题：若mn≥0,则方程mx2-x+n=0没有实 数根。 • 逆否命题：若方程mx2-x+n=0没有实数根， 则mn≥0.
• 四种命题间的关系: • 1.原命题与其逆否命题是互为逆否命题. • 逆命题与否命题是互为逆否命题. • 2.两个命题互为逆否命题,则它们有相同的 真假性.两个命题是互逆命题或者互否命题, 则它们的真假性没有关系.
四种命题及其关系
• 互逆命题：一般地，对于两个命题，如果 一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的结论和条件，那么我们把这样的两个命 题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命 题，另一个叫做原命题的逆命题。即 • 原命题：若p，则q • 逆命题：若q，则p • 如：同位角相等，两直线平行。 • 逆命题：两直线平行，同位角相等。
• 互为逆否命题：如果一个命题的条件和结 论恰好是另一个命题的结论的否定和条件 的否定，我们把这样的两个命题叫做互为 逆否命题。其中一个命题叫做原命题，另 一个叫做原命题的逆否命题。即 • 原命题：若p，则q • 逆否命题：若 q, 则 p • 例如：同位角相等，两直线平行。 • 逆否命题：两直线不平行，同位角不相等。
命题、四种命题及其关系
逆否命题：若一个三角形的角不相等，则这个三角形的边也不相等。 这是真命题。
(3)奇函数的图象关于原点对称 (3)逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数。 这是真命题。 否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称。 这是真命题。 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数。 这是真命题。
特称命题 p :
x0 M,p(x0 )
它的否定 p :
x M,p(x)
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
1.1.2 四种命题
(一)命题的特征： (1)是陈述句
(二)命题的结构： 若p，则q
(2)可判真假
题型一：命题的判断(真/假) 题型二：改写命题的结构形式(若p，则q) 题型三：真假命题的应用
p且 q ﹁p或﹁q p或 q
例题：用否定的形式填空： （1）a > 0； a≤0。 （2）a ≥0或b<0； a<0且b≥0。 （3）a、b都是正数；a、b不都是正数。 （4）A是B的子集； A不是B的子集。 结论：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
(1)若a,b都是偶数，则a+b是偶数 真命题 (2)若m>0，则方程x2+x-m=0有实数根. 真命题 (1)逆命题：若a+b是偶数，则a,b都是偶数 假命题
否命题： 若a,b不都是偶数，则a+b不是偶数 假命题 逆否命题： 若a+b不是偶数，则a,b不都是偶数 真命题 (2)逆命题：若方程x2+x-m=0有实数根，则m>0 否命题： 若m≤0，则方程x2+x-m=0无实数根 逆否命题： 若方程x2+x-m=0无实数根，则m≤0 假命题
命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件‖知识梳理‖1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；③如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；⑤如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).| 微点提醒|1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同．3．A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件．4．充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．(√)‖自主测评‖1．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数C．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数解析：选D依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是”，所以原命题的逆否命题应为“若x＋y不是偶数，则x与y 不都是偶数”，故选D.3．(教材改编题)“x>1”是“x2＋2x>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．答案：①②③5．(教材改编题)命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝3x＋4，则p是q的________条件．解析：当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝3x＋4不成立，即p⇒/ q.当x＝3x＋4时，x≥0,3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分………考点一四种命题的相互关系及其真假判断……|自主练透型|……………|典题练全|1．命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0解析：选D x2＋y2＝0的否定为x2＋y2≠0，x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0.故“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0”．2．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若1x>1，则x >1”的逆否命题 解析：选B 对于A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故为假命题；对于B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x >1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B. 3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．4．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析：对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但1和3均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 答案：②④『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|1.判断命题真假的两种方法2．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．…………考点二 充分条件、必要条件的判定……………|讲练互动型|…………|互动探究|【典例】 (1)(2018年北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018年天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(2)由⎪⎪⎪⎪x －12<12得0<x <1，则0<x 3<1，即“⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”；由x 3<1得x <1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1”⇒/“⎪⎪⎪⎪x －12<12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A.(3)由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝10，|3a＋b|＝10，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．[答案](1)B(2)A(3)C『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|1.充分条件、必要条件的判断方法(1)利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．(2)从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围是解决充分性问题；大范围推得小范围是解决必要性问题．(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．2．判断充要条件需注意三点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．|变式训练|1．(2019届河南郑州模拟)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.2．(2018届湖南省湘中名校高三联考)“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件，故选A.………考点三 充分条件、必要条件的探求与应用…………|典例迁移型|…………|研透母题|【典例】 (1)命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．[解析] (1)命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”⇔“∀x ∈[1,3]，x 2≤a ”⇔9≤a .则a ≥10是命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0.综上，可知当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件．[答案] (1)C (2)[0,3][迁移探究1] (变设问)本典例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件？并说明理由．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．[迁移探究2] (变设问)本典例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[－2,10][1－m ,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．[提醒]含有参数的问题，要注意分类讨论．|变式训练|1．(2019届广东江门一模)若a ，b 都是正整数，则a ＋b >ab 成立的充要条件是( )A ．a ＝b ＝1B ．a ，b 至少有一个为1C ．a ＝b ＝2D ．a >1且b >1解析：选B ∵a ＋b >ab ，∴(a －1)(b －1)<1.∵a ，b ∈N *，∴(a －1)(b －1)∈N ，∴(a －1)(b －1)＝0，∴a ＝1或b ＝1.故选B.2．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是( )A ．k ≤－22或k ≥2 2B ．k ≤－22C ．k ≥2D ．k ≤－22或k >2解析：选B 若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx －y －3＝0的距离d ＝|－3|k 2＋1≤1，即k 2＋1≥3，∴k 2＋1≥9，即k 2≥8，∴k ≥22或k ≤－22，∴圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是k ≤－22，故选B.核心素养系列 逻辑推理——等价转化思想在充要条件中的应用【典例】 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[解析] ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2 ≤x ≤10}．设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，NM ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10， 解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．[答案] [9，＋∞)．[点评] 充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．。
命题及其关系
命题及其关系知识点：1. 命题：1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类：真命题 假命题 1.3 关系： 原命题逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题。
若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题 若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况）原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假规律：1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系2. 充分必要条件： 2.1 概念：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．全称量词：“∀” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“∃” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ⌝若p 是真命题，则p ⌝必是假命题若p 是假命题，则p ⌝必是真命题2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝． 全称命题的否定是特称命题．练习：1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3(B)2(C)1(D)02. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 ( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤03. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的 ( ) A.充分而不必要条件5. 命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ． 存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，6. (2017北京,7,5分)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的 ( )A.充分而不必要条件7. (2015北京,6,5分,0.44)设a,b 是非零向量.“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的 ( ) A.充分而不必要条件8. (2014北京,5,5分,0.66)设a,b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 ( ) A.充分而不必要条件9. (2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 ( ) A.充分而不必要条件答案：2. 答案 D 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”,故选D.4.答案 B 本题考查不等式的解法及充分、必要条件的判断.由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因为[0,2]⫋(-∞,2],所以“2-x ≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件,故选B.6. 答案 A 由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.7. 答案A∵a·b=|a|·|b|·cos<a,b>,∴a·b=|a|·|b|时,有cos<a,b>=1,即<a,b>=0,∴a∥b.而当a∥b时,a,b的夹角为0或π,此时a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|.综上,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,故选A.8. 答案 D a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.9. 答案 A 当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过坐标原点;但曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点时,φ=kπ(k∈Z),∴“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A.。
命题的四种形式及关系
命题的四种形式及关系1. 什么是命题？在逻辑学中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。
命题是逻辑推理的基本单位，通过对命题的分析和组合，我们可以进行有效的推理和论证。
2. 命题的四种形式2.1 简单命题简单命题是最基本的命题形式，它不能再被分解为更小的命题。
简单命题通常用一个字母或一个词来表示，例如：P、Q、R等。
简单命题可以是真（True）或假（False）。
例如，“太阳从东方升起”这个陈述就是一个简单命题，它可以被判断为真。
2.2 复合命题复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。
常见的逻辑运算符有：•否定（Negation）：表示取反关系，用符号”¬“表示。
•合取（Conjunction）：表示与关系，用符号”∧“表示。
•析取（Disjunction）：表示或关系，用符号”∨“表示。
•条件（Implication）：表示蕴含关系，用符号”→“表示。
•双条件（Biconditional）：表示等价关系，用符号”↔“表示。
例如，命题”P并且Q”可以表示为P∧Q，命题”P或者Q”可以表示为P∨Q。
2.3 合取范式合取范式是一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的合取构成。
合取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∨Q)并且(¬R)“就是一个合取范式。
在合取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
2.4 析取范式析取范式是另一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的析取构成。
析取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∧¬Q)或者R”就是一个析取范式。
在析取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
3. 命题的关系3.1 等价关系两个命题被称为等价关系，如果它们具有相同的真值表。
换句话说，两个等价的命题在所有情况下都具有相同的真假值。
等价关系可以用双条件符号”↔“来表示。
例如，命题”P并且Q”和命题”Q并且P”是等价命题，可以表示为P∧Q ↔ Q∧P。
命题及其关系
命题及其关系1.命题定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．注：判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题.(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题.2、命题分类：真命题：可以判断为真的语句；假命题：可以判断为假的语句。
注：命题真假的判断(1)判定一个命题是真命题，要经过证明．(2)判定一个命题是假命题，只需举一个反例．3、命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．4、命题的形式：“若p，则q”或者“如果p，那么q”注：“若p则q”形式的命题的书写（1）了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与结论。
（2）对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。
如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。
写成“若p则q”的形式为：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。
5、四种命题（1）互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.（2）互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.（3）互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题.（4）四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．（5）一些常见的结论的否定形式原词语否定词原词语否定词等于不等于任意的某个是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n-1)个小于大于或等于至多有n个至少有（n+1)个对所有x,成立存在某x，不成立对任何x，不成立存在某x，成立所有的某些6、四种命题间的相互关系7、四种命题之间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．注：⑴互为逆否的一对命题，同真或同假。
第3讲命题及其关系
第3讲 命题及其关系、充要条件1．命题 用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 若原命题为“若p ，则q ”，则其逆命题是若q ，则p ；否命题是若綈p ，则綈q ；逆否命题是若綈q ，则綈p ．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没相关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p ，则q ”为真命题，记作：p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)假如既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作：p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．[做一做]1．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则有|a |＝|b|”的逆命题是 答案：若|a |＝|b |，则a ＝－b2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是 答案：若tan α≠1，则α≠π43．(2014·高考浙江卷)设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的 条件解析：选A.当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD .当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．1．辨明两个易误点(1)易混否命题与命题的否认：否命题是既否认条件，又否认结论，而命题的否认是只否认命题的结论．(2)注意区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B A )；与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A B )两者的不同．2．充要条件常用的三种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否认式的命题，一般使用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[做一做]4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：“________”．解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否认条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角5．“1<x<2”是“x<2”成立的条件答案：充分不必要条件,[学生用书P8～P9])考点一__四种命题及其相互关系________________(1)(2014·高考陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，准确的是.A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假(2)(2015·南通一调)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的________．(从“逆命题，否命题，逆否命题，否认”中选一个填空)解析：(1)原命题准确，所以逆否命题准确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．应选B.(2)命题p的逆命题：“若a的平方不等于0，则a是正数”；命题p的否命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”；命题p的逆否命题：“若a的平方等于0，则a不是正数”；命题p的否认：“至少有一个正数的平方等于0”．所以p是q的否命题．[答案](1)B(2)否命题[规律方法]判断四种命题间关系、真假的方法(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；(2)当一个命题直接判断真假不容易实行时，可转而判断其逆否命题的真假．1.以下关于命题的说法准确的是______(填写所有准确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不准确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法准确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不准确．综上可知准确的说法有②.答案：②考点二__充分条件、必要条件的判断(高频考点)____充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点．常以选择题、填空题的形式出现，作为一个重要载体，考查的数学知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．(1)(2014·高考广东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的(2)(2015·郑州市第二次质量预测)函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数的充要条件是(3)给出以下命题： ①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________.[解析] (1)由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔ sin A ≤sin B ．故充分必要条件(2)f (x )为奇函数且x ∈R ，故f (0)＝0⇒b ＝0.又f (－x )＝－f (x )，即－x |－x ＋a |＝－x |x ＋a |，得|x ＋a |＝|－x ＋a |，|x ＋a |＝|x －a |恒成立，需a ＝0.综上可知，a ＝b ＝0，即a 2＋b 2＝0，(3)对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数列，而相对应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，所以①准确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，所以②不准确；对于③，当m ＝3时，相对应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.所以③不准确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，因为b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，所以④准确．综上所述，真命题的序号是①④.[规律方法] 充要条件问题的解题策略：(1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．2.(1)已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的 条件(2)(2015·北京东城区质检)若集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x ||x －a |<1}，则“a ∈(2，3)”是“B ⊆A ”的 条件(3)(2015·忻州市第一次联考)命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件能够是解析：(1).若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．(2).由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－1＋a <x <1＋a }，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤4，－1＋a ≥1，解得2≤a ≤3，所以必要性不成立．反之，若2<a <3，则必有B ⊆A 成立，所以充分性成立，应选A.(3).要使得“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a >4是命题为真的充分不必要条件． 考点三__充分条件、必要条件的应用__________已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件．[解] (1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，所以M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故“a ＝0”是“M ∩P ＝{x |5<x ≤8}”的一个充分但不必要条件．本例的条件不变，若x ∈M 是x ∈P 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：∵x ∈M 是x ∈P 的必要不充分条件，则PM ，∴a >5.∴实数a 的取值范围为(5，＋∞)． [规律方法] 利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且qp ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p q ，且q ⇒p ；(3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .3.已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)＞0，若p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：綈q ：(x －a )(x －a －1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1.由p 是綈q 的充分不必要条件知：a ≤12且a ＋1≥1⇒0≤a ≤12. 答案：[0，12]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
= a b 1 =0 ∴原命题的逆否命题正确， 所以原命题也正确.
练习 2 证明:“若 a 、b 、c 为奇数,则方程 ax2 bx c 0 无等根.” 为真命题.
证明:假设方程 ax2 bx c 0 有等 根,则 b2 4ac =0,∴ b2 4ac ∵ a 、c 为整数,∴ b2 是偶数. ∴ b 为偶数,原命题的条件不成立 ∴原命题的逆否命题正确， 所以原命题正确.
3. 由 矛 盾 判 定 假 设 不 正 确 , 从 而 肯 定 命 题的结论正确.
有一位数学家说:“反证法是数学上最 精良的武器之一.”数学上很多有名的结论 都是用反证法得证的.比如说,素数有无穷多 个等.
例 1.证明:若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 .
分析:直接证不好下手.
将“若 p2 q2 2 ,则 p q≤2 ”看成 原命题,由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性，要证原命题为真命题，可 以证明它的逆否命题 “若 pq 2 ,则 p2 q2 2 ”为真命题.
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
原命题 若p,则q
否命题 若p,则q
同真同假
逆命题 为什么? 若q,则p
逆否命题 若q,则p
所以,证明原命题为真困难时,可以考虑证明逆否命题为真.
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
反证法
反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结 Nhomakorabea的反面成立;
推理过程中一定要用到才行
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理,导 出矛盾; 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
命题及其关系(三)
复习 上节课我们重点认识了四种命题形式
原命题 若p,则q 互 否
否命题 若 p,则 q
互逆 互为逆否
同真同假 互逆
逆命题 若q,则p
互 否
逆否命题 若 q,则 p
注:(1) “互为”的含义;
为什么?
(2)原命题与其逆否命题同真同假.
(3)逆命题与否命题同真同假.
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
例 2 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，已知∠DAP≠∠PAC，
求证:AP 与 BC 不平行.“等腰△ABC中,AB=AC”
不是条件
证明: 假设 AP 与 BC 平行,
∵ AB AC ∴ B C
假设原命题结 论的反面成立
∵ AP BC ∴ DAP B 看能否推出原命题条件的反面成立
∴ p2 q2 2 .
得证
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命
题也为真命题.
例 2 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC， 已知∠DAP≠∠PAC，求证:AP 与 BC 不平行.
分析: 题中条件与结论中 有“∠DAP≠∠PAC”，“AP 与 BC 不平行”这样的不等 关系、否定关系,像这样的 问题直接证明不好说理， 若考虑证明它的逆否命题 来代替会容易些.
PAC C ∴ DAP PAC
尝试成功
得证
因为原命题的逆否命题正确，所以原命题也正确.
练习 1 证明:“若 a2 b2 2a 4b 3 0 ,则 a b 1.” 为真命题.
练习 2 证明:“若 a 、b 、c 为奇数,则方程 ax2 bx c 0 无等根.” 为真命题.
练习 1 证明:“若 a2 b2 2a 4b 3 0 , 则 a b 1.”为真命题.
例 1.证明:若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 .
证明: 假设 p q 2 ,
假设原命题结 论的反面成立
则 ( p q)2 4 , ∴ p2 q2 2 pq 4 , ∵ p2 q2 ≥ 2 pq ,
看能否推出原命题 条件的反面成立
∴ 2( p2 q2 ) 4 , ∴ p2 q2 2 , 尝试成功