命题及其关系

PAC C ∴ DAP PAC
尝试成功
得证
因为原命题的逆否命题正确，所以原命题也正确.
练习 1 证明:“若 a2 b2 2a 4b 3 0 ,则 a b 1.” 为真命题.
练习 2 证明:“若 a 、b 、c 为奇数,则方程 ax2 bx c 0 无等根.” 为真命题.
练习 1 证明:“若 a2 b2 2a 4b 3 0 , 则 a b 1.”为真命题.
3. 由 矛 盾 判 定 假 设 不 正 确 , 从 而 肯 定 命 题的结论正确.
有一位数学家说:“反证法是数学上最 精良的武器之一.”数学上很多有名的结论 都是用反证法得证的.比如说,素数有无穷多 个等.
例 1.证明:若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 .
分析:直接证不好下手.
将“若 p2 q2 2 ,则 p q≤2 ”看成 原命题,由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性，要证原命题为真命题，可 以证明它的逆否命题 “若 pq 2 ,则 p2 q2 2 ”为真命题.
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
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假
假
假
假
假
原命题 若p,则q
否命题 若p,则q
同真同假
逆命题 为什么? 若q,则p
逆否命题 若q,则p
所以,证明原命题为真困难时,可以考虑证明逆否命题为真.
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
∴ p2 q2 2 .
得证
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命
题也为真命题.
例 2 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC， 已知∠DAP≠∠PAC，求证:AP 与 BC 不平行.
分析: 题中条件与结论中 有“∠DAP≠∠PAC”，“AP 与 BC 不平行”这样的不等 关系、否定关系,像这样的 问题直接证明不好说理， 若考虑证明它的逆否命题 来代替会容易些.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
反证法
反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立;
推理过程中一定要用到才行
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理,导 出矛盾; 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
证明:假设 a b 1, 则 a2 b2 2a 4b 3 = (a b)(a b) 2(a b) 2b 3
= a b 1 =0 ∴原命题的逆否命题正确， 所以原命题也正确.
练习 2 证明:“若 a 、b 、c 为奇数,则方程 ax2 bx c 0 无等根.” 为真命题.
证明:假设方程 ax2 bx c 0 有等 根,则 b2 4ac =0,∴ b2 4ac ∵ a 、c 为整数,∴ b2 是偶数. ∴ b 为偶数,原命题的条件不成立 ∴原命题的逆否命题正确， 所以原命题正确.
例 2 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，已知∠DAP≠∠PAC，
求证:AP 与 BC 不平行.“等腰△ABC中,AB=AC”
不是条件
证明: 假设 AP 与 BC 平行,
∵ AB AC ∴ B C
假设原命题结 论的反面成立
∵ AP BC ∴ DAP B 看能否推出原命题条件的反面成立
命题及其关系(三)
复习 上节课我们重点认识了四种命题形式
原命题 若p,则q 互 否
否命题 若 p,则 q
互逆 互为逆否
同真同假 互逆
逆命题 若q,则p
互 否
逆否命题 若 q,则 p
注:(1) “互为”的含义;
为什么?
(2)原命题与其逆否命题同真同假.
(3)逆命题与否命题同真同假.
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
例 1.证明:若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 .
证明: 假设 p q 2 ,
假设原命题结 论的反面成立
则 ( p q)2 4 , ∴ p2 q2 2 pq 4 , ∵ p2 q2 ≥ 2 pq ,
看能否推出原命题 条件的反面成立
∴ 2( p2 q2 ) 4 , ∴ p2 q2 2 , 尝试成功