费马大定理的证明过程摘要
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【1】http://baike.baidu.com 【2】徐本顺，解恩泽。数学猜想——它的思想与方法。长沙：湖南科学技术出版社，1990 【3】西蒙·辛格 著 薛密 译。费马大定理---一个困惑了世间智者 358 年的迷。上海出 版集团 【4】刘逸 著。费马大定理证明的历史评述。徐州师范学院学报。12 卷 2 期
马多项式满足猜想的条件。因此，如果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程 本质上最多有有限多个整数解。 [2]
第三部分
模形式与椭圆曲线联系在了一起！ 1955 年， 日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类数学家们了解更多的曲线—— 模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓 “谷山—志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。 模形式是数学中最古怪和神奇的一部分。它们是数学中最深奥的一部分，但是 20 世 纪的数论家艾希勒把它列为五种基本运算之一：加法、减法、乘法、除法和模形式。模形 式的关键是，它们具有非同寻常的对称性，在平移、交换、反射和旋转上无限种方式仍保 持对称。 椭圆曲线是域上亏格为 1 的光滑射影曲线，它的(仿射)方程，通常称为维尔斯特拉斯 方程， 可以写成 或 如果这个域的特征不等于 2 和 3，则可以改写成 作为实曲面看，复数域上的椭圆曲线就
费马大定理的抗争史
电子工程系 无 54 吴家乐 2015011083
摘要：通过几个具有跨时段意义的证明来简要说明费马大定理的证明过 程，用大家都能接受的方式传递数学知识及历史。 关键词：费马大定理 证明历史 简要 引言：法国数学家费马在阅读丢番图《算术》时，在第 11 卷第 8 命题旁 写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂 之和， 或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和， 这是不可能的。 关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不 下。”从此以后的三百多年来，许多数学家都渴望证明它，然而大多遗憾终 生，最终 1995 年英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了这个定律。本人在接触到 这个定理后，颇有兴趣，通读了一本科普读物了解这段历史，但囿于能力有 限，不能全部理解证明过程，谨以此文来简要说明费马大定理的证明过程。 第一部分
4
5
m a 2 b2 (5)
n 2ab (6)
y a 2 b2 (7)
这里， a>b>0 ， (a,b)=1 ， ab 为偶。由式（ 2 ），（ 5 ），（ 6 ）可有
x 4aLeabharlann Baidu(a2 b2 ) (8)
因为 (4ab, a2 b2 ) 1 ，由式（ 8 ）可有
c 2 4ab (9) e2 4ab (10)
是带有一个洞的闭曲面－－环面。环面可以通过同向粘合正方形的两对对边得到，其拓扑
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亏格为 1。 （其实椭圆曲线并不弯曲，也不是椭圆，他只是上面类型的那种方程。 ） 椭圆方程问题主要研究方程根的个数。而在无限个数的范围内，问题并不好求。于是 数学家引入了时钟数（类似于我们学过的素数域）[3] 谷山-志村猜想与费马大定理的联系。 1985 年，德国数学家弗雷指出了谷山——志村猜想”和费马大定理之间的关系。他提 出了一个命题：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数使得 ，那么用这组数 构造出的形如乘以的椭圆曲线，不可能是模曲线。1986 年，美国数学家里贝特证明了弗雷 命题，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。 （反证法）
于是，从式（ 10 ）可以得出， (a,b,e) 也是式（ 3 ）的解。由式（ 5 ），（ 10 ）可 有
m a 2 b2 e2 e
m e [4]
这与假设是式（ 3 ）的最小解相矛盾。因此，在式（ 2 ）有解的同时，式（ 3 ）无 解，进而式（ 1 ）无解。
第二部分
从无处下手到解只可能有有限个。 1922 年 , 莫德尔提出的著名猜想是 : 亏格 G ≥2 的代数曲线上有理点数目仅有有限 多个。1929 年西格尔证明了亏格 G ≥2 的代数曲线上的整点 ( 即坐标均为整数的点 ) 的
x4 y 4 z 4 (1)
的解为 (x,y,z) 。这里，正整数解简称为解，以下也是如此。
根据勾股定理，式（ 1 ）的解为
x2 2mn (2)
y 2 m2 n2 (3)
z 2 m2 n2 (4)
这里， m>n>0 ， (m,n)=1 ， m 为奇数， n 为偶数。于是，在（ 2 ）有解的同时， 式（ 3 ）也同时有解。设是式（ 3 ）所有最小解。 根据勾股定理，式（ 3 ）的解为
第四部分
证明成功了！ 英国数学家安德鲁·怀尔斯开始去独自挑战这个问题，完全把自己封闭起来，不进行 讨论， 他要证的问题就是每一个椭圆曲线对应一种模形式。 他想用归纳法来完成这个问题， 而归纳的第一步就隐藏在 19 世纪法国一位悲剧性的天才埃瓦里斯特·伽罗瓦的工作—群 论里。 群：当它的任何两个元素用这种运算结合时，其结果仍在这个群里。 在椭圆方程里，有一个类似于 DNA 的东西叫做“E-序列” ，模形式中也有一个类似的 东西叫“M-序列” ，而所有 E-序列与所有 M-序列配对成功，猜想就证明了。怀尔斯想要证 明在 E-序列的集合中，每一个 E-序列的首个元素与每一个 M-序列的首个元素配对，再去 证明第二个元素，第三个„„而他的第一步就是“每一个椭圆方程的一小部分解可以用来 构成一个群” 。就这样怀尔斯归纳法第一步走了出来，接下来他又证明了前一个元素可以 配对则后一个元素也可以配对，结论成立了！[4] 1993 年 6 月，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣称证明：对有理数域上的一大类椭圆曲 线，“谷山—志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大 类椭圆曲线，也就表明了他最终证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏 洞。怀尔斯不得不努力修复着一个看似简单的漏洞。 怀尔斯和他以前的博士研究生理查德·泰勒用了近一年的时间， 用之前一个怀尔斯曾 经抛弃过的方法修补了这个漏洞，这部份的证明与岩泽理论有关。这就证明了谷山 -志村
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猜想，从而最终证明了费马大定理。他们的证明刊在 1995 年的《数学年刊》 （Annals of Mathematics）之上。
结束语：一项优秀的研究成果的取得，需要一大批人的共同努力。在我 们以后的生活中，学习中，我们都要学会合作，合作的力量是无限的。同时 我们看到了数学家们无私奉献，忘我工作的精神，他们往往为了一个证明几 年，几十年把自己封闭起来。 参考文献：
对很多不同的 n，费马定理早被证明了。其中欧拉证明了 n=3 的情形，费马自己证明 了 n=4 的情形，1825 年，狄利克雷和勒让德证明了 n=5 的情形， 1839 年，法国数学家拉 梅证明了 n=7 的情形， 1844 年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小 于 100 的素指数 n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提出的 头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。本文仅证明 n=4 的情况，来学习费马的无 穷递降法，简要体会这一部分费马大定理的证明。 n=4 时的证明 在 x,y,z 彼此互素， x 为偶数时设方程
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数目仅有有限多个。法尔廷斯证明了莫德尔猜想，他使得费马大定理取得了第二次突 破 , 即若费马方程 ������ ������ + ������ ������ = ������ ������ 有非平凡的互素的正整数解 , 则解的个数最多仅有有限 多个。 [1]本部分主要说明亏格概念和莫德尔猜想与费马大定理的关系。 （ 1 ）亏格是代数几何和代数拓扑中最基本的概念之一。 定义：若曲面中最多可画出 n 条闭合曲线同时不将曲面分开，则称该曲面亏格 为n 以实的闭曲面为例，亏格 g 就是曲面上洞眼的个数。 球面没有洞，故 g=0; 又如环面有一个洞，故 g=1 （ 2 ）莫德尔猜想与费马大定理关系 最多存在有限对数偶 xi ， yi ∈ Q ，使得 f(xi ， yi)=0 。后来，人们把猜想扩充到定义在 任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个 猜想了。而费马多项式 没有奇点，其亏格为 。当 时，费
马多项式满足猜想的条件。因此，如果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程 本质上最多有有限多个整数解。 [2]
第三部分
模形式与椭圆曲线联系在了一起！ 1955 年， 日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类数学家们了解更多的曲线—— 模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓 “谷山—志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。 模形式是数学中最古怪和神奇的一部分。它们是数学中最深奥的一部分，但是 20 世 纪的数论家艾希勒把它列为五种基本运算之一：加法、减法、乘法、除法和模形式。模形 式的关键是，它们具有非同寻常的对称性，在平移、交换、反射和旋转上无限种方式仍保 持对称。 椭圆曲线是域上亏格为 1 的光滑射影曲线，它的(仿射)方程，通常称为维尔斯特拉斯 方程， 可以写成 或 如果这个域的特征不等于 2 和 3，则可以改写成 作为实曲面看，复数域上的椭圆曲线就
费马大定理的抗争史
电子工程系 无 54 吴家乐 2015011083
摘要：通过几个具有跨时段意义的证明来简要说明费马大定理的证明过 程，用大家都能接受的方式传递数学知识及历史。 关键词：费马大定理 证明历史 简要 引言：法国数学家费马在阅读丢番图《算术》时，在第 11 卷第 8 命题旁 写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂 之和， 或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和， 这是不可能的。 关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不 下。”从此以后的三百多年来，许多数学家都渴望证明它，然而大多遗憾终 生，最终 1995 年英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了这个定律。本人在接触到 这个定理后，颇有兴趣，通读了一本科普读物了解这段历史，但囿于能力有 限，不能全部理解证明过程，谨以此文来简要说明费马大定理的证明过程。 第一部分
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m a 2 b2 (5)
n 2ab (6)
y a 2 b2 (7)
这里， a>b>0 ， (a,b)=1 ， ab 为偶。由式（ 2 ），（ 5 ），（ 6 ）可有
x 4aLeabharlann Baidu(a2 b2 ) (8)
因为 (4ab, a2 b2 ) 1 ，由式（ 8 ）可有
c 2 4ab (9) e2 4ab (10)
是带有一个洞的闭曲面－－环面。环面可以通过同向粘合正方形的两对对边得到，其拓扑
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亏格为 1。 （其实椭圆曲线并不弯曲，也不是椭圆，他只是上面类型的那种方程。 ） 椭圆方程问题主要研究方程根的个数。而在无限个数的范围内，问题并不好求。于是 数学家引入了时钟数（类似于我们学过的素数域）[3] 谷山-志村猜想与费马大定理的联系。 1985 年，德国数学家弗雷指出了谷山——志村猜想”和费马大定理之间的关系。他提 出了一个命题：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数使得 ，那么用这组数 构造出的形如乘以的椭圆曲线，不可能是模曲线。1986 年，美国数学家里贝特证明了弗雷 命题，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。 （反证法）
于是，从式（ 10 ）可以得出， (a,b,e) 也是式（ 3 ）的解。由式（ 5 ），（ 10 ）可 有
m a 2 b2 e2 e
m e [4]
这与假设是式（ 3 ）的最小解相矛盾。因此，在式（ 2 ）有解的同时，式（ 3 ）无 解，进而式（ 1 ）无解。
第二部分
从无处下手到解只可能有有限个。 1922 年 , 莫德尔提出的著名猜想是 : 亏格 G ≥2 的代数曲线上有理点数目仅有有限 多个。1929 年西格尔证明了亏格 G ≥2 的代数曲线上的整点 ( 即坐标均为整数的点 ) 的
x4 y 4 z 4 (1)
的解为 (x,y,z) 。这里，正整数解简称为解，以下也是如此。
根据勾股定理，式（ 1 ）的解为
x2 2mn (2)
y 2 m2 n2 (3)
z 2 m2 n2 (4)
这里， m>n>0 ， (m,n)=1 ， m 为奇数， n 为偶数。于是，在（ 2 ）有解的同时， 式（ 3 ）也同时有解。设是式（ 3 ）所有最小解。 根据勾股定理，式（ 3 ）的解为
第四部分
证明成功了！ 英国数学家安德鲁·怀尔斯开始去独自挑战这个问题，完全把自己封闭起来，不进行 讨论， 他要证的问题就是每一个椭圆曲线对应一种模形式。 他想用归纳法来完成这个问题， 而归纳的第一步就隐藏在 19 世纪法国一位悲剧性的天才埃瓦里斯特·伽罗瓦的工作—群 论里。 群：当它的任何两个元素用这种运算结合时，其结果仍在这个群里。 在椭圆方程里，有一个类似于 DNA 的东西叫做“E-序列” ，模形式中也有一个类似的 东西叫“M-序列” ，而所有 E-序列与所有 M-序列配对成功，猜想就证明了。怀尔斯想要证 明在 E-序列的集合中，每一个 E-序列的首个元素与每一个 M-序列的首个元素配对，再去 证明第二个元素，第三个„„而他的第一步就是“每一个椭圆方程的一小部分解可以用来 构成一个群” 。就这样怀尔斯归纳法第一步走了出来，接下来他又证明了前一个元素可以 配对则后一个元素也可以配对，结论成立了！[4] 1993 年 6 月，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣称证明：对有理数域上的一大类椭圆曲 线，“谷山—志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大 类椭圆曲线，也就表明了他最终证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏 洞。怀尔斯不得不努力修复着一个看似简单的漏洞。 怀尔斯和他以前的博士研究生理查德·泰勒用了近一年的时间， 用之前一个怀尔斯曾 经抛弃过的方法修补了这个漏洞，这部份的证明与岩泽理论有关。这就证明了谷山 -志村
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猜想，从而最终证明了费马大定理。他们的证明刊在 1995 年的《数学年刊》 （Annals of Mathematics）之上。
结束语：一项优秀的研究成果的取得，需要一大批人的共同努力。在我 们以后的生活中，学习中，我们都要学会合作，合作的力量是无限的。同时 我们看到了数学家们无私奉献，忘我工作的精神，他们往往为了一个证明几 年，几十年把自己封闭起来。 参考文献：
对很多不同的 n，费马定理早被证明了。其中欧拉证明了 n=3 的情形，费马自己证明 了 n=4 的情形，1825 年，狄利克雷和勒让德证明了 n=5 的情形， 1839 年，法国数学家拉 梅证明了 n=7 的情形， 1844 年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小 于 100 的素指数 n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提出的 头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。本文仅证明 n=4 的情况，来学习费马的无 穷递降法，简要体会这一部分费马大定理的证明。 n=4 时的证明 在 x,y,z 彼此互素， x 为偶数时设方程
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数目仅有有限多个。法尔廷斯证明了莫德尔猜想，他使得费马大定理取得了第二次突 破 , 即若费马方程 ������ ������ + ������ ������ = ������ ������ 有非平凡的互素的正整数解 , 则解的个数最多仅有有限 多个。 [1]本部分主要说明亏格概念和莫德尔猜想与费马大定理的关系。 （ 1 ）亏格是代数几何和代数拓扑中最基本的概念之一。 定义：若曲面中最多可画出 n 条闭合曲线同时不将曲面分开，则称该曲面亏格 为n 以实的闭曲面为例，亏格 g 就是曲面上洞眼的个数。 球面没有洞，故 g=0; 又如环面有一个洞，故 g=1 （ 2 ）莫德尔猜想与费马大定理关系 最多存在有限对数偶 xi ， yi ∈ Q ，使得 f(xi ， yi)=0 。后来，人们把猜想扩充到定义在 任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个 猜想了。而费马多项式 没有奇点，其亏格为 。当 时，费