人教版初中数学九年级下册第28章解直角三角形一等奖优秀课件
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人教版九年级数学 下册 28.2 解直角三角形 课件(共16张PPT))
典型例题
例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°， AD 是∠BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D，且 AB=4， 求 AD 的长．
A
CD
B
典型例题
例3 如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°， AC=4，求 AB 和 BC．
A
B 30°
45° C
布置作业
1．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．
问题2 根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三 角形的方法，完成下表填空.
已知条件
解法
一条边 和一个
斜边 c 和 锐角∠A
∠B= b=______
，a=
，
锐角 直角边 a ∠B=______，b=______，
和锐角∠A c=______
两条直角边 c=______，由______
两条边
a和b 直角边 a
2．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C= 30°，求 AD，CD 的长．
C
C
AD 第1题
B
B A
D
第2题
实例引入，初步体验
（1）三边之间的关系
B
a2+b2=c2（勾股定理） ； （2）两锐角之间的关系
c
a
∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系
A
b
C
sin
A=
an
A=
a b
，
sin
B=
b， c
cos B= a ， c
tan B= b ． a
实例引入，初步体验
问题3 从问题1 的解答过程看，在直角三角形中， 知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么， “知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边） ，可 以求其余元素”，还有哪几种情况呢？
最新整理人教版九年级数学下册第二十八章《解直角三角形》优质课件
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多
少（精确到1°）？这时人能够安全使用这个梯子吗？
素养目标
28.2 解直角三角形及其应用/
3. 能根据直角三角形中除直角以外的两个元 素（至少有一个是边），解直角三角形. 2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
1. 了解解直角三角形的意义和条件.
解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
Ｂ
(3)边角之间的关系:
c a
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
Ａ bＣ
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/
归纳总结
解直角三角形的原则： (1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边） 用切（正切）；
A 45° c=4 b
解：∵ ∠A=45° ∴ ∠B=90°—∠A=45°,
C
a
B
∵ sin A a c
∴ a sin A c sin 45 4
242 2
也可以：
∵ ∠A= ∠B=45°
∴ b=a= 2 2
∵ cos A b
2
c
∴ b cos A c cos 45 4 2 4 2 2
人教版 数学 九年级 下册28.2 解直角三角形源自其应用28.2.1解直角三角形
（含小结与练习）
导入新知
28.2 解直角三角形及其应用/
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面
所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
人教版九年级下册数学课件：28.2.1 解直角三角形(共17张PPT)
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜 边AB＝6，求∠A的对边BC的长． B
BC 由 sin A 得 AB
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8
A
α C
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m。
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数
由于
AC 2.4 cos a 0.4 AB 6
A
α
B
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66°
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
AC 6 3 解：cos CAD AD 4 3 2
A
CAD 30
因为AD平分∠BAC
6
C
4 3
D
CAB 60, B 30
B
AB 12, BC 6 3
A的对边 a A的邻边 b
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC 2 , BC 6
解这个直角三角形
A
解：
BC 6 tan A 3 AC 2
2
C
6
A 60
B
B 90 A 90 60 30
AB 2 AC 2 2
人教版九年级数学下册：28.2 解直角三角形的应用教学课件 共13张PPT
A 仰角 水平线
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．BD CD ta a ,tan AD AD
BD AD tan a 120 tan 30
B
A
┌ C
测量中的最远点问题
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果取整数）
仰角和俯角
读一读
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角 视线
仰角与俯角
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
分析：从飞船上能最远直接
F P
Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
OQ 6400 cos a 0 . 95 OF 6400 350
F P α O· Q
a 18 . 36
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．BD CD ta a ,tan AD AD
BD AD tan a 120 tan 30
B
A
┌ C
测量中的最远点问题
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果取整数）
仰角和俯角
读一读
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角 视线
仰角与俯角
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
分析：从飞船上能最远直接
F P
Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
OQ 6400 cos a 0 . 95 OF 6400 350
F P α O· Q
a 18 . 36
人教版九年级数学下册第二十八章《28.2 解直角三角形1》优质课课件(共11张PPT)
解直角三角形(1)
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子 与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长 6m的梯子.问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上
B
多高的平房?(精确到0.1m)
角α越大,攀上的高度就越高.
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠A= 75°,斜边 AB=6,求BC的长
解这个直角三角形.
例2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解 这个直角三角形.(精确到0.1)
•11、即使是普通孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 •16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月19日星期二2021/10/192021/10/192021/10/19 •17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月 2021/10/192021/10/192021/10/1910/19/2021 •18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/192021/10/19October 19, 2021 •19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/192021/10/192021/10/192021/10/19
•
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子 与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长 6m的梯子.问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上
B
多高的平房?(精确到0.1m)
角α越大,攀上的高度就越高.
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠A= 75°,斜边 AB=6,求BC的长
解这个直角三角形.
例2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解 这个直角三角形.(精确到0.1)
•11、即使是普通孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 •16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月19日星期二2021/10/192021/10/192021/10/19 •17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月 2021/10/192021/10/192021/10/1910/19/2021 •18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/192021/10/19October 19, 2021 •19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/192021/10/192021/10/192021/10/19
•
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形
人教版九年级下册数学28.2.1 解直角三角形 教学课件 (共18张PPT)
AD 4 3 2
C A D30，
6
43
因为AD平分∠BAC
CD
B
C A B 6 0 , B 3 0 ，
AB12,BC6 3.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
B
解：根据勾股定理
ca 2 b 23 0 2 2 0 2 1 01 3 , tanAa3031.5,
b 20 2
c a=30
A b=20 C
∴A56.3.
∴ B 9 0 A 9 0 5 6 . 3 3 3 . 7 ；
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
(2) ∠B＝72°，c = 14.
解： s in B b ,
c
A
b c s i n B 1 4 s i n 7 2 1 3 . 3 .
∴ ABx1 的长15为421 ,5x22. 1542（ 舍 去 ） . 知 数 思一 值想边，求与一解一般. 锐可角结三合角方函程 4
练一练
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3 ，BC=6， 5
则
D
AB=（ ）
2.如A图．，4在菱B形．A6BCD中，C．AE8 ⊥BC于D．点1E0，EC=4，
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD=
AD tanB
2 3
6.
B
∴BC=CD+BD=3 2 6.
A
C D
课堂小结
解直角三 角形
依据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法:只要知道五个元素中的两个 元素（至少有一个是边），就可 以求出余下的三个未知元素
人教版数学九年级下册 28.2.1 解直角三角形 课件(共27张PPT)
学习目标
1.了解并掌握解直角三角形的概念. 2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 3.学会解直角三角形.
课堂导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中 心点为 B，塔身中心线与垂直中心线 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 引垂线，垂足为点 C .在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，BC =5.2 m，AB =54.5 m.
解这个直角三角形.
A
2
C
6
B
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，
b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A
c
b
35°
20
B
a
C
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 13，BC = 5， 试 求AB 的长.
随堂练习
D ∠A≠30° ,AC =2
1.解直角三角形时，已知其中的两个元素中，至少 有一个是边. 2.在解直角三角形时,先画出一个直角三角形，标明 已知元素，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个
元素之间有如下关系：
B
1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) =90°； c a
A bC
B ca A bC
新知探究 知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
已知两边解直角三角形的方法
1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出 另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得 到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再 利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边， 然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切 值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互 余求出另一个锐角.
人教版九年级数学下册 28.2.1解直角三角形 (13张PPT)
A
b c
sin
B
b c
cos
B
a c
以上三点就是解直角三角形的依据。
tan
A
a b
tan
B
b a
例题讲解
探究一：什么是解直角三角形？依据是什么？
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 6，AC= 2，解这个直角三角形。
解： Q tan A BC 6 3
AC 2
A 60
B 90 A 90 60 30 AB 2AC 2 2
点拨：已知两边，用三角函数求出一角是突破口。
例题讲解
探究一：什么是解直角三角形？依据是什么？
例2：如图，在Rt△ABC中，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）。
解： A 90 B 90 35 55
1
（4）含30°角的直角三角形的三边比为 1: 3 : 2 ；含45°角的 sinα 2
直角三角形的三边比为 1:1: 2 。
cosα 3
2
45°
2 2
2 2
60°
3 2
1 2
tanα 3
133来自题探究活动1 应用新知，回顾引言
如图，始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜。1972年比萨发 生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之后，仍巍然屹立。可是，塔 顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每 年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险。为此，意大利当局从 1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线 的距离比纠偏前减少了43.8cm，根据上面的信息，你能用“塔身中心线偏离 垂直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
新人教版九年级数学下册 28.2.解直角三角形 课件 (20张PPT)
a ∵ s in A c c s i n A 4 0 0 . 6 4 3 2 5 . 7 ∴a b ∵ s in B c s i n 5 0 4 0 0 . 7 6 6 3 0 . 6 ∴b c
1.在下列直角三形中,不能求解的是 （ D） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角 C.已知两边 D.已知两角 2.在Rt△ABC中∠C=90°，已知a边及∠A，则斜边应为（ A ） a a A.a sin A C. acos A B. D. s in A cos A 3.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高 为 （C ） 1 1 3 3 A . cm B . cm C. cm D. cm 4 2 4 2 4.等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3，则底角的余弦值 为 （D）
b a b 2 0 2 8 . 6 ∴ a t a n B t a n 3 5
∵ ta n B
一直角边和一锐角，合理选
b ∵ s in B c
b 2 0 3 4 . 9 ∴ c s i n B s i n 3 5
类型四.已知直角三角形的斜边长和一锐角，解直角三角形.
c 40 ; 解这个直角 例. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=40°， 三角形.(结果保留小数点后一位). 分析： 本题已知的是斜边长和锐角，可以先利用互余关系求出另一个锐 角，求余下的两个未知元素的路径比较多，合理的选择一种“锐角 函数”进行解答即可. 还有其 略解：在Rt△ACB中, ∠C=90° 它方法求 B 9 0A 9 0 4 0 5 0 a,b边吗？
B C 3 3 ∵ sinA A B 23 2
∴ A60
B 9 0 6 0 3 0 ∴ 1 1 C A B 23 3 ∴A 2 2
1.在下列直角三形中,不能求解的是 （ D） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角 C.已知两边 D.已知两角 2.在Rt△ABC中∠C=90°，已知a边及∠A，则斜边应为（ A ） a a A.a sin A C. acos A B. D. s in A cos A 3.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高 为 （C ） 1 1 3 3 A . cm B . cm C. cm D. cm 4 2 4 2 4.等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3，则底角的余弦值 为 （D）
b a b 2 0 2 8 . 6 ∴ a t a n B t a n 3 5
∵ ta n B
一直角边和一锐角，合理选
b ∵ s in B c
b 2 0 3 4 . 9 ∴ c s i n B s i n 3 5
类型四.已知直角三角形的斜边长和一锐角，解直角三角形.
c 40 ; 解这个直角 例. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=40°， 三角形.(结果保留小数点后一位). 分析： 本题已知的是斜边长和锐角，可以先利用互余关系求出另一个锐 角，求余下的两个未知元素的路径比较多，合理的选择一种“锐角 函数”进行解答即可. 还有其 略解：在Rt△ACB中, ∠C=90° 它方法求 B 9 0A 9 0 4 0 5 0 a,b边吗？
B C 3 3 ∵ sinA A B 23 2
∴ A60
B 9 0 6 0 3 0 ∴ 1 1 C A B 23 3 ∴A 2 2
人教版九年级数学下册第28章：解直角三角形的应用课件 (共16张PPT)
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
例3.如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形ABCD表示它 的横断面,原计划设计的坡角为A=22°37′,坡长AD=6. 5米, 现考虑到在短期内车流量会增加,需增加路面宽度,故改变 设计方案,将图中1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面 EFGH为等腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工 程的用土量不变,问:路面宽将增加多少?
450
D
C
2、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=7， AC=13， BC=5√2 ，求CD。
C
D
B
A
附加题
由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘 暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B 处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心 150km的范围为受影响区域。
答案:这艘船航行的速度约31 海里/时
（第 2 题）
小结:
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念
2.实际问题向数学模型的转化 3.解直角三角形的边角关系
1、 某人在A处测得大厦的仰角∠BAC为 300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角∠BDC 为450,求此大厦的高度BC.
B
A
300
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C,
在Rt△ABC中， ∠B = 30°,
∴AC=
1 2
AB =
1 2
x
240
=
120
∵AC = 120 < 150
∴A城受到沙尘暴影响
人教版九年级下册数学 28. 2 解直角三角形及应用 (共15张PPT)
作业：
如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C处的距离. 解：如图，过B点作BD⊥AC于D ∴∠ABD=60°，∠DCB=90°-45°=45° 设BD=x，则CD=BD=x 在Rt△ABD中，AD=x·tan60°= x 在Rt△BDC中， BC= BD= X 又AC=5×2=10，AD+CD=AC ∴ x +x=10 ，得x=5（ -1） ∴BC= •5（ -1)=5( - ) （海里）， 答：灯塔B距C处5( - ) 海里。
28.2.2 解直角三角形的应用
一、创设情景，导入新课
画出方位角（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南 方向、西北方向、北偏东60度、南偏东30度方向的射线.
西
北
北
东 西
东
南
南
合作探究 达成目标
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它
65°
A
沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时， P
练习： 1、如图:一艘轮船由海平面上A地出发 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C地,则A,C两地的距离为 ___ _ 。
北
C A
北
D
B
2、如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向， 距离灯塔40 2 海里的 A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东3 0 ° 方 向上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海 里（结果保留根号）．
解：在Rt△APC中， ∵AP=40 ，∠APC=45° ∴AC=PC=40 在Rt△BPC中， ∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60° ∴BC=PC•tan60°=40× =40 ∴AB=AC+BC=40+40 （海里） 答：海轮行驶的路程AB为 (40+40
初中数学人教九年级下册第二十八章锐角三角函数解直角三角形 省一等奖PPT
2．练习． 教师多媒体课件出示： (1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形．
师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决 这个问题呢？
生 1：根据 cos60°＝AACB，得到 AB＝cosA6C0°，然后把 AC 边的长和 60 °角的余弦值代入，求出 AB 边的长，再用勾股定理求出 BC 边的长，∠B 的 度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．
二、共同探究，获取新知 1．概念．
师：由 sinA＝ac，你能得到哪些公式？ 生甲：a＝c·sinA.
生乙：c＝sinaA. 师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我 们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素 求出未知的元素呢？ 教师板书： 在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角 三角形．
三、例题讲解 例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 2，BC＝ 6，解这个 直角三角形．
解：∵tanA＝ABCC＝
6＝ 2
3，
∴∠A＝60°，
∠B＝90°－∠A＝－60°＝30°，
AB＝2AC＝2 2.
例 2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直 角三角形．(结果保留小数点后一位)
知识与技能 在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用 勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
过程与方法 通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角 形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 情感、态度与价值观 在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合 的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际 的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生 学习数学的兴趣．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情 ，增强学好数学的信心．
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2 2
i=1:1.5 B α
A
6m
D E
F
i=1:3 β
C
巩固练习
1.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡 AB的坡度为1： 3 ，斜坡AB的水平宽度BE= 3 3 m， 那么斜坡AB长为 1.6 m．
2.某建筑物门口有一无障碍通道， 通道的斜坡长为a m，通道的最 高点距水平地面b m，若a：b=
5 2 解：（1）在Rt△ABC中， BC=AC=AB•sin 45°= m 2 AC 5 2m 在Rt△ADC中AD= sin 30
巩固练习
CD= ∴AD-AB≈5×1.414-5=2.07 m , 改善后的斜坡会加长2.07 m；
（2）这样改造能行．
5 5 ∵CD-BC≈ ×2.449- ×1.414 2 2
l
表示。
h
注意：坡度的结 果不是一个度数，而 是一个比值，不要与 坡角相混淆．
(坡度等于坡角的正切值)坡度越大， 坡角a就越大，坡面就越陡.
巩固练习
h
试一试，你最棒！ α L 1、斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α=______ 30 度。
1： 1 。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______
AC 5 6 m tan 30 2
≈2.59<6-3 ∴这样改造能行． 答：改善后的斜坡坡面会加长2.07 m；这样改造能行.
新知讲解
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
巩固练习
6.某住宅小区为了美化环境,增加绿地面积,决定在坡上的甲楼 和乙楼之间建一块斜坡草地,如图,已知两楼的水平距离为15米, 距离甲楼2米(即AB=2米)开始修建坡角为300的斜坡,斜坡的顶 6 3 端距离乙楼4米(即CD=4米),则斜坡BC的长度为_______ 米. 解: 过点C作CE垂直地面于点E.
例题讲解
例1、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3 是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图 中数据求：（1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
AF tan i 11.5 ： BF
DE tan i 1: 3 CE
33.7 i=1:1.5
l α
h
l α
h
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的， 而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
新知讲解
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 把山坡“化整为零”地划分 为一些小段，图表示其中部分小段，划分小段时，注意使每一小段上 的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1， 就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1. l h α 在每小段上，都构造直角三角形，利用上面的方法算出各段山坡的 高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得 到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以 直代曲”的做法，它在数学中有重要地位。
巩固练习
5.如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯， 图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为 1∶2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶， MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上 方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得 C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为(精确 到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( D ) A．10.8米 B．8.9米 C．8.0米 D．5.8米
∵两楼的水平距离为15米,且AB=2米,CD=4米, ∴BE=15-os30 =
∴BC=BE÷cos300 = 6 3
15米
BC
2米 300
C
4米
D
A
B
E
巩固练习
7.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因 素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知 原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上． （1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？ （2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安 全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这 样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01, 参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732， 6 ≈2.449）
1 37 ：1，该通道的坡比是 6 .
巩固练习
3.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若 它把物体从地面点A处送到离地面2 m高的B处， 则物体从A到B所经过的路程为（ C ） A.6 m B. 10 m C.2 10 m D.3 10 m 4.如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD， 60 DA=CB，DC∥AB， DA=5，DC=4，AB=9，则斜坡DA 的坡角为 60 °.
B α
A
6m
D E
在Rt△CDE中，∠CED=90°
F
i=1:3 β
C
18.4
例题讲解
例1、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3 是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图 中数据求：（1）坡角a和β; （2）斜坡AB的长（保留根号）
1 AF 6 tan 1.5 BF BF BF 9 AB 6 9 3 13
28.2解直角三角形（3）
人教版 九年级下
新知导入
爬坡图1 你觉得哪幅图的坡更好爬？为什么？ 爬坡图2
新知讲解
基本概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 坡度（坡比）：坡面的铅 直高度h和水平距离l的比叫做 坡度，用字母 i 表示，则 h i tan l 如图，坡度通常写成 i=h:l 的形式。
: 3 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是1 _______ 。
新知讲解
化整为零，积零为整，化曲为直，以 直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，如，我们要测量如图所示大坝的高度h时， 只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是， 当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是 由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
i=1:1.5 B α
A
6m
D E
F
i=1:3 β
C
巩固练习
1.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡 AB的坡度为1： 3 ，斜坡AB的水平宽度BE= 3 3 m， 那么斜坡AB长为 1.6 m．
2.某建筑物门口有一无障碍通道， 通道的斜坡长为a m，通道的最 高点距水平地面b m，若a：b=
5 2 解：（1）在Rt△ABC中， BC=AC=AB•sin 45°= m 2 AC 5 2m 在Rt△ADC中AD= sin 30
巩固练习
CD= ∴AD-AB≈5×1.414-5=2.07 m , 改善后的斜坡会加长2.07 m；
（2）这样改造能行．
5 5 ∵CD-BC≈ ×2.449- ×1.414 2 2
l
表示。
h
注意：坡度的结 果不是一个度数，而 是一个比值，不要与 坡角相混淆．
(坡度等于坡角的正切值)坡度越大， 坡角a就越大，坡面就越陡.
巩固练习
h
试一试，你最棒！ α L 1、斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α=______ 30 度。
1： 1 。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______
AC 5 6 m tan 30 2
≈2.59<6-3 ∴这样改造能行． 答：改善后的斜坡坡面会加长2.07 m；这样改造能行.
新知讲解
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
巩固练习
6.某住宅小区为了美化环境,增加绿地面积,决定在坡上的甲楼 和乙楼之间建一块斜坡草地,如图,已知两楼的水平距离为15米, 距离甲楼2米(即AB=2米)开始修建坡角为300的斜坡,斜坡的顶 6 3 端距离乙楼4米(即CD=4米),则斜坡BC的长度为_______ 米. 解: 过点C作CE垂直地面于点E.
例题讲解
例1、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3 是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图 中数据求：（1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
AF tan i 11.5 ： BF
DE tan i 1: 3 CE
33.7 i=1:1.5
l α
h
l α
h
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的， 而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
新知讲解
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 把山坡“化整为零”地划分 为一些小段，图表示其中部分小段，划分小段时，注意使每一小段上 的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1， 就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1. l h α 在每小段上，都构造直角三角形，利用上面的方法算出各段山坡的 高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得 到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以 直代曲”的做法，它在数学中有重要地位。
巩固练习
5.如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯， 图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为 1∶2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶， MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上 方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得 C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为(精确 到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( D ) A．10.8米 B．8.9米 C．8.0米 D．5.8米
∵两楼的水平距离为15米,且AB=2米,CD=4米, ∴BE=15-os30 =
∴BC=BE÷cos300 = 6 3
15米
BC
2米 300
C
4米
D
A
B
E
巩固练习
7.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因 素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知 原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上． （1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？ （2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安 全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这 样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01, 参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732， 6 ≈2.449）
1 37 ：1，该通道的坡比是 6 .
巩固练习
3.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若 它把物体从地面点A处送到离地面2 m高的B处， 则物体从A到B所经过的路程为（ C ） A.6 m B. 10 m C.2 10 m D.3 10 m 4.如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD， 60 DA=CB，DC∥AB， DA=5，DC=4，AB=9，则斜坡DA 的坡角为 60 °.
B α
A
6m
D E
在Rt△CDE中，∠CED=90°
F
i=1:3 β
C
18.4
例题讲解
例1、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3 是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图 中数据求：（1）坡角a和β; （2）斜坡AB的长（保留根号）
1 AF 6 tan 1.5 BF BF BF 9 AB 6 9 3 13
28.2解直角三角形（3）
人教版 九年级下
新知导入
爬坡图1 你觉得哪幅图的坡更好爬？为什么？ 爬坡图2
新知讲解
基本概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 坡度（坡比）：坡面的铅 直高度h和水平距离l的比叫做 坡度，用字母 i 表示，则 h i tan l 如图，坡度通常写成 i=h:l 的形式。
: 3 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是1 _______ 。
新知讲解
化整为零，积零为整，化曲为直，以 直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，如，我们要测量如图所示大坝的高度h时， 只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是， 当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是 由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l