2018年浙江温州重点高中瓯海中学提前自主招生模拟考试数学试题(附答案详解)

2018年温州瓯海中学提前招生模拟考试
数学试题
（满分120分，考试时间：100分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人得分
一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．对于两个数，M=2018×20 192 019，N=2019×20182 018．则（）
A．M=N B．M＞N C．M＜N D．无法确定
2．（2017•芜湖一中自主招生）已知，，则的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）
A．12 B．20 C．28 D．36
4．（2017•延平区校级自主招生）设方程（k+1）x2+2x+1=0的两根为x1、x2，若+2，则满足条件的整数k的值有（）
A．无数个B．﹣2，﹣1，0 C．﹣1，0 D．﹣2，0
5．（2017•余姚中学自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC=4，那么BC 的长等于（）
A．3B．5 C．2D．
第5题第7题第9题6．（2017•江阴中学自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3
个，则m的值等于（）
A．1 B．C．2 D．2.5
7．如图，已知直线y=﹣x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=交于E，F两点．若AB=3EF，则k的值是（）
A． B．2 C．D．
8．（2017•奉化中学自主招生）在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，∠A=36°，记m=，则m、n、p的大小关系为（）
A．m＞n＞p B．p＞m＞n C．n＞p＞m D．m=n=p
9．（2014•成都七中自主招生）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为线段AB、AD、上的动点，若以EF为折线翻折，A点落在正方形ABCD所在的A′点的位置，那么A'所有可能位置形成的区域面积为（）A．B．C．﹣1 D．﹣1
10．（2015•慈溪中学自主招生）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AD=1，AA1=2，P是棱A1B1上任意一点，Q是侧面对角线AB1上一点，则PD1+PQ 的最小值是（）
A．3 B．C．D．1+
第10题
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．
12．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值为．
13．（2018•枣庄八中自主招生）已知有理数x满足：，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a，最大值为b，则ab=．
14．正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14．则PB=．
第14题第15题
15．（2017•奉化中学自主招生）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为．
评卷人得分
三、解答题（共5小题，满分55分）
16．（8分）（2016•杭州中国美院附中自主招生）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且∠EAG=∠BAD，连接EC，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
第16题17．（10分）（2017•芜湖一中自主招生）方程x2﹣kx+k﹣2=0有两个实数根x1，
x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，求k的取值范围．
18．（10分）（2016•黄冈中学自主招生）如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．
（1）求证：DE=AF；
（2）若⊙O的半径为，AB=，求的值．
第18题
19．（12分）（2016•邯郸一中自主招生）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x 轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；
（3）在抛物线y=﹣x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第19题20．（15分）（2017•奉化中学自主招生）如图，在直角坐标系中，⊙M外接于矩
形OABC，AB=12，BC=16，点A在x轴上，点C在y轴上．
（1）写出点A、B、C及M的坐标；
（2）过点C作⊙M的切线交x轴于点P，求直线PC的解析式；
（3）如果E为线段PC上一动点（运动时不与P、C重合），过点E作直线EF 交PA于点F．
①直线EF将四边形PABC的周长平分，设E点的纵坐标为t，△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求自变量t的取值范围；
②是否存在直线EF将四边形PABC的周长和面积同时平分？若能，请求出直线EF的解析式；若不能，请说明理由．
第20题
2018年温州瓯海中学提前招生模拟考试
数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．对于两个数，M=2018×20 192 019，N=2019×20 182 018．则（）
A．M=N B．M＞N C．M＜N D．无法确定
【解析】M=2018×（20 190 000+2019）=2018×20 190 000+2018×2019
=2018×2019×10000+2018×2019
=2019×20180 000+2018×2019，
N=2019×（20 180 000+2018）
=2019×20180 000+2019×2018，所以M=N．
故选：A．
2．已知，，则的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】∵a===+2，b==﹣2，
∴a2+b2=（a﹣b）2+2ab=42+2×（5﹣4）=18，
∴==5，
故选：C．
3．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）
A．12 B．20 C．28 D．36
【解析】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，
∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2=5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）=20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]=28﹣2（x+y+z）2≤28
∴当x+y+z=0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．
故选：C．
4．设方程（k+1）x2+2x+1=0的两根为x1、x2，若+2，则满足条件的整数k的值有（）
A．无数个B．﹣2，﹣1，0 C．﹣1，0 D．﹣2，0
【解析】∵方程（k+1）x2+2x+1=0有实数根，
∴，
解得：k≤0且k≠﹣1．
∵方程（k+1）x2+2x+1=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
∵+2，即k+1+2≥﹣k﹣1，
解得：k≥﹣2，
∴﹣2≤k≤0且k≠﹣1，
∴满足条件的整数k为﹣2或0．
故选：D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC=4，那么BC的长等于（）
A．3B．5 C．2D．
【解析】如图，作EQ⊥x轴，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3）．
设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBQ=90°，
∴∠BAC=∠EBQ，
在△ABC和△BEQ中，
∴△ACB≌△BQE（AAS），
∴AC=BQ=3，BC=EQ，
设BC=EQ=x，
∴O为AE中点，
∴OM为梯形ACQE的中位线，
∴OM=，
又∵CM=CQ=，
∴O点坐标为（，），
根据题意得：OC=4=，
解得x=4，则BC=5．
故选：B．
6．对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.5
【解析】原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m=0，解得|x|=1±，
∵若1﹣＞0，则方程有四个实数根，
∴方程必有一个根等于0，
∵1+＞0，
∴1﹣=0，
解得m=2．
故选：C．
7．如图，已知直线y=﹣x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=交于E，F两点．若AB=3EF，则k的值是（）
A． B．2 C．D．
【解析】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
∵直线y=﹣x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，3），OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=3，
∴EF=AB=，
∴△DEF为等腰直角三角形，∴FD=DE=EF=1，
设F点横坐标为t，代入y=﹣x+3，则纵坐标是﹣t+3，则F的坐标是：（t，﹣t+3），E点坐标为（t+1，﹣t+2），
∴t（﹣t+3）=（t+1）•（﹣t+2），解得t=1，
∴E点坐标为（2，1），
∴k=2×1=2．
8．在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，∠A=36°，记m=，
则m、n、p的大小关系为（）
A．m＞n＞p B．p＞m＞n C．n＞p＞m D．m=n=p
【解析】作底角B的角平分线交AC于D，
易推得△BCD∽△ABC，
所以=，即CD=，AD=a﹣=b（△ABD是等腰三角形）
因此得a2﹣b2=ab，
∴n====m，
p====m，
∴m=n=p．
故选：D．
9．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为线段AB、AD、上的动点，若以EF为折线翻折，A点落在正方形ABCD所在的A′点的位置，那么A'所有可能位置形成的区域面积为（）
A．B．C．﹣1 D．﹣1
【解析】如图，以EF为折线翻折，A点落在正方形ABCD所在的A′点的位置，那么A′所有可能位置形成的图形是图中阴影部分．
∴S
阴=2•S
扇形BAC
﹣S
正方形ABCD
=﹣1，
故选：D．
10．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AD=1，AA1=2，P是棱A1B1上任意一点，Q是侧面对角线AB1上一点，则PD1+PQ的最小值是（）
A．3 B．C．D．1+
【解析】将正方形展开，取A1B1C1D1及ABB1A1两个面，过点D1作D1Q⊥AB1于点Q，D1Q交A1B1于点P，此时PD1+PQ取最小值D1Q．
∵ABB1A1为正方形，
∴∠D1AQ=45°．
在Rt△D1QA中，AD1=AA1+A1D1=3，∠D1QA=90°，∠D1AQ=45°，
∴D1Q=sin∠D1AQ•AD1=．
故选：B．
二、填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．
【解析】6x3﹣11x2+x+4，
=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，
=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），
=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），
=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），
=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．
12．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值为5．【解析】∵==，
而0＜＜1，
∴x=2，y=，
∴=4+×2×+（）2
=4++
=5．
故答案为5．
13．已知有理数x满足：，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a，最大值为b，则ab=5．
【解析】解不等式：
不等式两边同时乘以6得：3（3x﹣1）﹣14≥6x﹣2（5+2x）
去括号得：9x﹣3﹣14≥6x﹣10﹣4x
移项得：9x﹣14﹣6x+4x≥3﹣10
即7x≥7
∴x≥1
∴x+2＞0，
当1≤x≤3时，x+2＞0，则|3﹣x|﹣|x+2|=3﹣x﹣（x+2）=﹣2x+1则最大值是﹣1，最小值是﹣5；
当x＞3时，x+2＞0，则|3﹣x|﹣|x+2|=x﹣3﹣（x+2）=x﹣3﹣x﹣2=﹣5，是一定值．
总之，a=﹣5，b=﹣1，
∴ab=5
故答案是：5．
14．正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14．则PB=42cm．
【解析】连接OA，OB，
∵正方形ABCD的中心为O，∠OPB=45°，
∴∠OAB=∠OPB=45°，∠OBA=45°，
∴O，P，A，B四点共圆，
∴∠APB=∠AOB=180°﹣45°﹣45°=90°，
在△PAB中由勾股定理得：PA2+PB2=AB2=1989，
由于PA：PB=5：14，
设PA=5x，PB=14x，
（5x）2+（14x）2=1989，
解得：x=3，
∴PB=14x=42．
故答案为：42cm．
15．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG 在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为81．
【解析】设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，
则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r=（AC+BC﹣AB），
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AD•DB=AM•BN=（AC﹣r）（BC﹣r）=[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC ﹣AB）]
=（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）=（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC•BC）=AC•BC，由射影定理得AD•DB=DE2=81，
∴S△ABC=AC•BC=81，
故答案为：81．
三．解答题（共5小题，满分55分）
16．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且∠EAG=∠BAD，连接EC，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
【解析】（1）证明：∵∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
∵
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=AB=1，
AP==，AE=AG=，
∴EP=2，
∴EB==，
∴GD=．
17．方程x2﹣kx+k﹣2=0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，求k的取值范围．
【解析】∵方程x2﹣kx+k﹣2=0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，∴二次函数y=x2﹣kx+k﹣2如图所示，
∴x=0，y=k﹣2＞0；x=1，y=1﹣k+k﹣2＜0；x=2，y=4﹣2k+k﹣2＜0；x=3，y=9﹣3k+k﹣2＞0，
而△=k2﹣4（k﹣2）=（k﹣2）2+4＞0，
∴2＜k＜3.5，
即k的取值范围为2＜k＜3.5．
18．如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．
（1）求证：DE=AF；
（2）若⊙O的半径为，AB=，求的值．
【解析】（1）证明：连接EP、FP，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，∠BPA=90°
∴∠FPE=90°，
∴∠BPF=∠APE，
又∵∠FBP=∠PAE=45°，
∴△BPF≌△APE，
∴BF=AE，
而AB=AD，
∴DE=AF；
（2）连EF，
∵∠BAD=90°，
∴EF为⊙O的直径，
而⊙O的半径为，
∴EF=，
∴AF2+AE2=EF2=（）2=3①，
而DE=AF，
DE2+AE2=3；
又∵AD=AE+ED=AB，
∴AE+ED=②，
由①②联立起来组成方程组，解之得：AE=1，ED=或AE=，ED=1，所以：或．
提示：（1）连接EF、EP、FP，可证明△AEP≌△BFP
（2）设：AE=x，ED=AF=y
可得：和x2+y2=3，
解得x=，y=1或x=1，y=，
所以：或．
19．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B 点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；
（3）在抛物线y=﹣x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（﹣3，0）、B（0，3），
代入抛物线解析式y=﹣x2+bx+c中，
∴
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
∴F（m，m+3），
∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，
△PFG周长为：﹣m2﹣3m+（﹣m2﹣3m），
=﹣（+1）（m+）2+，
∴△PFG周长的最大值为：．
（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．
此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，
∵D（﹣1，4），
∴E（﹣1，2）、则N（﹣1，0）
∵y=x+3中，k=1，
∴直线DM1解析式为：y=x+5，
直线M3M2解析式为：y=x+1，
∴x+5=﹣x2﹣2x+3或x+1=﹣x2﹣2x+3，
∴x1=﹣1，x2=﹣2，x3=，x4=，
∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．
20．如图，在直角坐标系中，⊙M外接于矩形OABC，AB=12，BC=16，点A 在x轴上，点C在y轴上．
（1）写出点A、B、C及M的坐标；
（2）过点C作⊙M的切线交x轴于点P，求直线PC的解析式；
（3）如果E为线段PC上一动点（运动时不与P、C重合），过点E作直线EF 交PA于点F．
①直线EF将四边形PABC的周长平分，设E点的纵坐标为t，△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求自变量t的取值范围；
②是否存在直线EF将四边形PABC的周长和面积同时平分？若能，请求出直线EF的解析式；若不能，请说明理由．
【解析】（1）A（16，0），B（16，12），C（0，12），M（8，6）．
（2）连接CM．
∵CM是圆半径，PC是切线，
∴PC⊥CM，
K PC×K CM=﹣1，
解得K PC=，
由点斜式写出解析式为y=x+12．
（3）①作EN⊥x轴于N．
根据（2）中的直线解析式求得P（﹣9，0）．
则PC=15．
则四边形ABCP的周长是15+9+16+16+12=68．
又点E的纵坐标是t，
则PE=t，
∵直线EF将四边形PABC的周长平分，
则PF=34﹣t，
则S=×t（34﹣t）=﹣+17t
∵点E为PC上一动点（运动时不与P、C重合），∴0＜t＜12，
∵点F在PA上，
∴0＜PF≤AP，
∵OP=9，OA=16，
∴AP=25，
∴0＜PF≤25，
∵PF=34﹣t，
∴0＜34﹣t≤25，
∴7.2≤t＜27.2
∵0＜t＜12
∴7.2≤t＜12
即：S=×t（34﹣t）=﹣+17t（7.2≤t＜12）；
②因为四边形ABCP的面积=×（16+16+9）×12=246．
若把四边形的面积等分，则S=123．
有﹣+17t=123，
此方程无实数根，
故不存在直线EF将四边形PABC的周长和面积同时平分．。