2 自然坐标系 圆周运动 相对运动
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自然坐标系
t)
-
et
(t)
当： t 0 , 0
et
t
t
O Δ P2
s
et t
有 det et d d
P1
方向
det
et
d et d
d t dt
即en方向
en
et
t
t
et
et
t
4
d ds
at
dv dt
c
an
v2 R
(b ct)2 R
（2） at an
解得 t b R cc
12
§1-3 相对运动
一 时间与空间
在两个作相对运动的参考系中，时间 的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的, 与参考系无关．
时间和长度的的绝对性是经典力学或 牛顿力学的基础．
13
二 相对运动
o
at
0.4
M at
a
x
11
例5 一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时
间t 的变化规律为 s bt 1 ct 2，式中b，c为大于
零的常数，且 b2 Rc 。求（2 1）质点的切向加速
度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速
度等于法向加速度。
解： （1）
v ds b ct dt
解： 按题意作矢量图
y
v v0 v
v v0 tan 60 10 tan 60m s1
17.3 m s1
y´ x´
v0
v
速度：
v
大学物理-运动学
x
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形 象，有很广泛的应用。
M M0
A
ω
ωt
O
φ x P
X
M
A
P x
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
第五节 抛体运动
第五节
抛体运动
将一质点以仰角θ抛射出 去，其初 速度为 v0，不计 空气阻力，此质点有一垂直 向下的恒加速度 g，研究质 点的运动情况。 解: 设 x 轴平行于水平面，
y 轴垂直向上，质点在 t = 0 时位于原点被抛出。 v0 在X轴和Y轴上的投影分别是 V0x=V0cosθ, V0y=V0sinθ 物体的加速度为: a = g = -g j 在水平方向加速度分量为零，物体作匀速运动，在垂 直方向加速度分量为-g 物体作垂直上抛运动, 因此 Vx=V0cosθ , Vy=V0sinθ - g t
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差Δ Φ = 0 称两振动同步
0
A1 A2
相位差的问题 x 1= A cos( t +φ 1 ) ω x 2 = A cos ( t +φ 2 ) ω 若周相差Δ Φ = φ 2 φ 1 ＞ 0 0 称振动 2 超前振动 1
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差Δ Φ = 0 称两振动同步 若周相差Δ Φ = π 称两振动反相
自然坐标系
r
t
t 0
AB .
t R
ern
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度 分析方法
vB r
v vB vA vrn vr v
vrn 表示速度方向改变量 vr 表示速度大小改变量
lim lim vr
t 0
rr t
t 0
s t
er
ds dt
er
ds dt
三、 自然坐标系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim ar
t 0
则：a an2 a 2 (1.88)2 (1.2)2 2.23(m / s2 )
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
解：根据加速度的定义：
ar
anern
a er
v2 R
ern
dv dt
er
a an2 a 2
v
ds dt
2
R
a
d
dt
1.2t
圆周运动-相对运动
v vn vt
r
o
v
vA
v n
vt
vB
法向
v2 an r 2 r
只改变速度的方向
只改变速度的大小
25.
切向
dv at dt
2.自然坐标系(常用于已知轨迹情况) 切向 (et ) 和法向 (en ) 运动方程： s s (t ) ( 路程 )
由轨道方程可得 v ds 20 0.4t
dt
将 t 1.0s代入，得
v 19.6m/s
20 0.4t v R R
2 2
切向加速度和法向加速度分别为
dv a t 0.4m/s2 dt
an
加速度
2 a at2 an
将 t 1.0s代入，得
a 3.86m/s2
则上述各量均与参考系选择有关 牛顿定律 F ma 存在适用参考系问题
b. 如 u C
则
a
du a ( dt 0 ) 牛顿定律对S和S’系等价
34.
[例] 河水静静地流着，流速为u=3m/s，河面 宽1km。一个人划船到对岸，船相对于水的速度 为 v 2.0m/s 。若船头相对于上游成 30 角，求： 到达对岸要花多少时间？到达对岸时位于下游何
r a n
o
a
at
dv at dt
vB
分离变量有
v
vB
A
dv at dt
0
t
已知：vA 1940km h
1
AB 3.5km vB v A vB t 2 a 23 . 3 m s d v a d t t vA 0 t t 2 vB 2 an 106m s 在点 B 的法向加速度 r vA A 在点 B 的加速度
1-2自然坐标系
加速度
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
DUT 常葆荣
6
例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
10
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t
j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
DUT 常葆荣
6
例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
10
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t
j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
7自然坐标系
University ຫໍສະໝຸດ hysics三. 角加速度（描述质点转动角速度变化快
慢的物理量）
o
t : t t :
r
P
lim
(t t ) (t )
dt
角加速度的方向与 dω 的方向相同
t 0
d d 2 k k 2 k dt dt
aτ
aτ
思考 求抛体运动过程中的曲率半径？ 对B 点
a
y
2 2 2
aτ 0, an g , v B v 0cos
vo
B
vB (v 0cos ) xm ρ B an g 8 ym
o
C x
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
法向加速度
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
2 2 v d v d s ds 2 1 a an n aτ τ n τ 2 τ ( ) n dt dt dt 2 v 对匀速率圆周运动 a 0 an an n n r 加速度的正交分解 a an n aτ τ Pv • a an a aτ 2 an 2 , tg n
两类问题（圆周运动的角量描述） 1. 第一类问题 已知运动学方程， (t ) 求 ,
P
aτ v
d ω k dt
d d d 2 k 2 k dt dt dt
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
大学物理-运动学
A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡 位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分 之一最大位移这段路程所需的时间为： （A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8 解： Δ φ = ω Δ t ω=2π/ T Δt=Δφ/ω = (π /6)/(2 π / T) A A/2 π /6 =Δ φ = T/12 O X 答案 （B）
的速率为 –v0
r = r=
1-7 两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从 同一起始线上同时出发，并由出发点开始计时，行 驶的距离 x （m）与行驶时间 t （s）的函数关系式 ：A为 xA=4t+t2 ，B为 xB =2t2 +2t3 ，试问： （1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的哪辆？ （2）出发后多少时间，两辆车行驶距离相同 ？ （3）出发后多少时间，两辆车相对速度为零 ？ 解：（1）时间从 0 到 △t→0 ，x = 0+ △x = v △t xA（ △t ）= vA |t=0 △t = 4 △t xB（ △t ）= vB |t=0 △t = 0 △t = 0 所以，A 车行驶在前面。
1-15 一质点在平面作曲线运动，其速率与路程 的关系为： v = 1 + S2 （m/s） 试求： 切向加速度 at 用路程 S 来表示的表 达式。 解： a t = dv / dt = 2SdS / dt = 2Sv = 2S（1 + S2 ） （m/s2）
1-16 5m长的梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为 4m 。设以 2m/s 的速度匀速向下滑，求下端的运动方程 和速度。 Y 解：设某一时刻梯子的位置如图 y A 由几何关系得：x2 = L 2 - y2 L 因为 A点匀速下滑，所以 B y = yo -vot = 4 - 2t X O x 2 =L2 - y2 = 52 -（4 - 2t）2 故：x （1）运动方程：x2 = 9 + 16t - 4t2 (m) （2）两边对时间求导：2xdx/dt = 16 - 8t vx = dx/dt =（8 - 4t）/x =（8 - 4t）/（9 + 16t - 4t2）1/2 (m/s)
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
2
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t
θ=θ(t)
X
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
d lim t 0 t dt
9
4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
12
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t
θ=θ(t)
X
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
d lim t 0 t dt
9
4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
12
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
(2)自然坐标、圆周运动、相对运动
移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直
方向的夹角应为多大？ 解：抛出后车的位移：
v0球对车
x1
v0t
1 2
at 2
a
球的位移：
x2 (v0 v0' sin )t
V0
车对地
y2
(v0'
cos
)t
1 2
gt 2
（2）自然坐标、圆周运动、相对运动
小孩接住球的条件为：x1=x2; y=0
1 2
vA
t
0 atdt
（2）自然坐标、圆周运动、相对运动
已知：vA 1940km h1 vB 2192km h1
t 3s AB 3.5km
vvAB vdv 0t atdt
在点 B 的法向加速度
A
v A
at
an
vB vA 23.3m s2
vB2
t
106m
s
2
r
在点 B 的加速度
r an
（2）自然坐标、圆周运动、相对运动
一、曲线运动：自然坐标、切 向加速度和法向加速度 二、圆周运动与角量系统 三、相对运动
v' v
B
n A
n
y v' y'
u
B 60 A
u
o'
x'
o
x
y
B
r A
o
x
（2）自然坐标、圆周运动、相对运动
一、自然坐标、平面曲线运动
自然坐标系 (natural coordinates)
（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零
a （E）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作
2 自然坐标系 圆周运动 相对运动
(3) 匀变速率圆周运动基本公 式的角量表示
0 t
1 2 2 2 0 2 0
(1) 一般圆周运动
0 0 t t 2
dv at dt
at 0
v2 an R
(2) 匀速圆周运动
与匀变速直线运动基本公式 的数学形式相同.
总加速度
a a t an
改变 改变 速度方向
速度大小
dv et 切向加速度 at at et dt
法向加速度 总加速度
v2 an en
at
an
et
a a t an
改变
讨论: (1) at = 0 匀速率运动; at≠ 0 变速运动. (2) an = 0 直线运动; an≠ 0 曲线运动 例1-7. 抛体运动 y u0
y = u0 sina t -
自然坐标:
du at dt a a a
2 2 t 2 n
1 2 gt 2 u2 an
a at
an
A g
g sin g cos
2 v0 gcos
B g
C
g
0 g
2 v0 cos2 g
g sin g cos
2 v0 gcos
ag
相对速度 牵连速度 注意: 暗含两个参考系时间与空 绝对速度 （风对地） （风对人） （人对地） 间测量的绝对性(绝对时空观).
aOP aOP aOO
例1-9. 某人骑自行车以速率 v0向 东行驶.有风以同样的速率由北偏 西 30方向吹来.问: 人感到风是 从那个方向吹来？
a
vax vab v xb
自然坐标系
2 ω 2 − ω0 = 2 β (θ − θ 0 )
1 2 βt 2
****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动 θ = θ 0 + ωt x = x0 + Vt 匀变速圆周运动 匀加速直线运动 ω = ω 0 + βt V = V0 + at 1 1 θ − θ 0 = ω 0t + βt 2 x − x0 = V0 t + at 2 2 2 2 2 2 2 ω − ω 0 = 2 β (θ − θ 0 ) V − V0 = 2 a ( x − x 0 ) ******************************************************
4
V2
V2 ⇒ρ= ：计算曲率半径 （4） a n = ρ an 例： R =800m 的圆形轨道，汽车，静止开始，
速率均匀增加， t =3（分） ， V =20m/s r ， a ， at ， a n 求： t =2（分） 解：设 V = kt ，t=3（分）=180s， V =20m/s
k =20/180=1/9， V = t /9 dV at = = 1 / 9 = 0.111(m / s 2 ) dt t =2（分）=120s， V =120/9(m/s) V2 = 0.222m / s 2 an = R
at
α
an R
O
r a
2 a = at2 + a n = 0.248m / s 2 ， tgα = a n / at =2， α = 63.4 o
第5节
P
相对运动
S ′ 相对于 S 作平动运动 r r r r = r ′ + r0 r r r ∆r = ∆r ′ + ∆r0 r r r dr dr ′ dr0 = + dt dt dt
1 2 βt 2
****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动 θ = θ 0 + ωt x = x0 + Vt 匀变速圆周运动 匀加速直线运动 ω = ω 0 + βt V = V0 + at 1 1 θ − θ 0 = ω 0t + βt 2 x − x0 = V0 t + at 2 2 2 2 2 2 2 ω − ω 0 = 2 β (θ − θ 0 ) V − V0 = 2 a ( x − x 0 ) ******************************************************
4
V2
V2 ⇒ρ= ：计算曲率半径 （4） a n = ρ an 例： R =800m 的圆形轨道，汽车，静止开始，
速率均匀增加， t =3（分） ， V =20m/s r ， a ， at ， a n 求： t =2（分） 解：设 V = kt ，t=3（分）=180s， V =20m/s
k =20/180=1/9， V = t /9 dV at = = 1 / 9 = 0.111(m / s 2 ) dt t =2（分）=120s， V =120/9(m/s) V2 = 0.222m / s 2 an = R
at
α
an R
O
r a
2 a = at2 + a n = 0.248m / s 2 ， tgα = a n / at =2， α = 63.4 o
第5节
P
相对运动
S ′ 相对于 S 作平动运动 r r r r = r ′ + r0 r r r ∆r = ∆r ′ + ∆r0 r r r dr dr ′ dr0 = + dt dt dt
1-2圆周运动
A′(t )
s ′
A
加速度不同, 各点的速度 加速度不同,用以往的速度加速 度描述不便,为此引入角量描述. 度描述不便,为此引入角量描述.
先要规定参考方向) (1)角位置 角坐标) (1)角位置 θ(角坐标) (先要规定参考方向) 圆心到质点 所在位置 b 的连线与参考方向之间 X θ 的夹角 O
y
v0
22.5 70 m
o
0
θ
vx
x
vy v ( 1) 若以摩托车和人作为一质点 , 则其运 ) 若以摩托车和人作为一质点, 动方程为 x = (v0 cosθ 0 )t 1 2 y = y0 + (v0 sinθ 0 )t 2 gt
v x = v0 cosθ 0 运动速度为 v y = v0 sinθ 0 gt
dθ = π + 2π t 所以质点的角速度为 ω = dt dω 质点的角加速度为 β = = 2π dt 质点的切向加速度为 aτ = Rβ = 2πR
2
解 因为θ = π t + π t 2
质点的法向加速度为 an = ω R = (π + 2π t ) R
2
3.已知某质点的运动方程为 已知某质点的运动方程为 r = (a + b cosω t )i + (c + d sinω t ) j 取SI制,其中 ,b,c,d,ω 均为常量. 制 其中a, , , , 均为常量. (1)试证明质点的运动轨迹为一椭圆; )试证明质点的运动轨迹为一椭圆; (2)试证明质点的加速度恒指向椭圆中心; )试证明质点的加速度恒指向椭圆中心; (3)试说明质点在通过如图中给定点 时, )试说明质点在通过如图中给定点P 其速率是增大还是减小? 其速率是增大还是减小?
s ′
A
加速度不同, 各点的速度 加速度不同,用以往的速度加速 度描述不便,为此引入角量描述. 度描述不便,为此引入角量描述.
先要规定参考方向) (1)角位置 角坐标) (1)角位置 θ(角坐标) (先要规定参考方向) 圆心到质点 所在位置 b 的连线与参考方向之间 X θ 的夹角 O
y
v0
22.5 70 m
o
0
θ
vx
x
vy v ( 1) 若以摩托车和人作为一质点 , 则其运 ) 若以摩托车和人作为一质点, 动方程为 x = (v0 cosθ 0 )t 1 2 y = y0 + (v0 sinθ 0 )t 2 gt
v x = v0 cosθ 0 运动速度为 v y = v0 sinθ 0 gt
dθ = π + 2π t 所以质点的角速度为 ω = dt dω 质点的角加速度为 β = = 2π dt 质点的切向加速度为 aτ = Rβ = 2πR
2
解 因为θ = π t + π t 2
质点的法向加速度为 an = ω R = (π + 2π t ) R
2
3.已知某质点的运动方程为 已知某质点的运动方程为 r = (a + b cosω t )i + (c + d sinω t ) j 取SI制,其中 ,b,c,d,ω 均为常量. 制 其中a, , , , 均为常量. (1)试证明质点的运动轨迹为一椭圆; )试证明质点的运动轨迹为一椭圆; (2)试证明质点的加速度恒指向椭圆中心; )试证明质点的加速度恒指向椭圆中心; (3)试说明质点在通过如图中给定点 时, )试说明质点在通过如图中给定点P 其速率是增大还是减小? 其速率是增大还是减小?
1.3 圆周运动和相对运动
Δt
oR
第1章 质点运动学
10
at
B
vA
A (t )
作者
杨
鑫
1.3 圆周运动和相对运动
Δv dv d s E v D lim 2 v B v Δt 0 Δt dt d t Δv tF v n A 2 C dv d s a t 2 v ( t t ) dt d t B B
2
第1章 质点运动学
11
at
杨
当Δt 0时 切线
方 向
作者 鑫
方向 Δvt 极限方向
oR (t )
vA at A
1.3 圆周运动和相对运动
2. a n 的物理意义
Δv n a n lim Δ t 0 Δ t ΔOAB ΔCDF vA | Δ vn |
n
法 向 加 速 度
二、圆周运动的角量描述 1.角量
杨 鑫 演示：皮带传动 演示：角量方向
第1章 质点运动学
17
作者
1.3 圆周运动和相对运动
第1章 质点运动学
18
(4) 平均角加速度 瞬 时 角 角 加 加 速 速 度 t 度
2 d d θ
，利用 2.圆周 （1）已知 运动两 求导法求 ?, ? 类基本 （2）已知 及初始条件, 利 问 题 用积分法求 ?, ?
三、相对运动
v u a a0
作者 杨 鑫
r r r
P
0
u
v
P r O r a z r O' x' x
静 止
0 z'
S y S ' y'
oR
第1章 质点运动学
10
at
B
vA
A (t )
作者
杨
鑫
1.3 圆周运动和相对运动
Δv dv d s E v D lim 2 v B v Δt 0 Δt dt d t Δv tF v n A 2 C dv d s a t 2 v ( t t ) dt d t B B
2
第1章 质点运动学
11
at
杨
当Δt 0时 切线
方 向
作者 鑫
方向 Δvt 极限方向
oR (t )
vA at A
1.3 圆周运动和相对运动
2. a n 的物理意义
Δv n a n lim Δ t 0 Δ t ΔOAB ΔCDF vA | Δ vn |
n
法 向 加 速 度
二、圆周运动的角量描述 1.角量
杨 鑫 演示：皮带传动 演示：角量方向
第1章 质点运动学
17
作者
1.3 圆周运动和相对运动
第1章 质点运动学
18
(4) 平均角加速度 瞬 时 角 角 加 加 速 速 度 t 度
2 d d θ
，利用 2.圆周 （1）已知 运动两 求导法求 ?, ? 类基本 （2）已知 及初始条件, 利 问 题 用积分法求 ?, ?
三、相对运动
v u a a0
作者 杨 鑫
r r r
P
0
u
v
P r O r a z r O' x' x
静 止
0 z'
S y S ' y'
01-2自然坐标系中的描述及相对运动
(1) a 0 匀速率运动； a 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动; an
0
曲线运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
例1.由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪 口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射 时t=0.试求： (1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
C
v2
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
dv v a a an n dt
a a
2
a an
a
a an
2 2 2
2
2 v dv dt
2 2
相对性：参照系、坐标系
直角坐标
22Leabharlann 2222
x
x
x
x
x
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
2-1. 在自然坐标中描述质点的运动
1. 位置：在轨道上取一固定点O，用质点距离O的路程
长度 s，可唯一确定质点的位置。位置 s有正负之分
2. 位置变化: s 3. 速度： 沿切线方向。
解：(1) x v0 t
2
1 2 y gt 2
o
v0
x
1 x g y 2 2 v0
an
y g
a
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
(2) v x v0 , v y gt
o
2 0 2 2
大学物理12圆周运动
S系 (Oxyz)
基本参考系
S'系(O' x' y' z')
运动参考系
u是S’系相对S系
运动的速度
1-3 相对运动
yy'
P P'
*
oo'
xx'
t0
y
o
P
y'
D
r
P'
uQ
r'
xx'
ut o' t t
第一章 质点运动学
22
物理学
第五版
位移关系
r r'D 或 r r'ut
速度变换
r r' u t t v v'u
理解伽利略速度变换式, 并会用它求简 单的质点相对运动问题．
第一章 质点运动学
2
物理学
第五版
质点运动的自然坐标描述
自然坐标系 —— 坐标原点固接 于质点, 坐标轴沿质点运动轨道
1-2 圆周ev运t 动 evt B
的切向和法向的坐标系，叫做自
然坐标系。切向以质点前进方向 A
为 侧正方，向记 为做 正，ev记t ，做法ev向n以。曲线凹
y
A
r
二 圆周运动的角速度
❖ 角坐标 (t)
o
❖角位移
y
xx
B
❖ 角速度
lim
d
t0 t dt
r A
o
x
单位：rad·s-1
第一章 质点运动学
4
物理学
第五版
1-2 圆周运动
❖ 速率 v lim Δs r lim Δθ
Δt0 Δt
Δt0 Δt
基本参考系
S'系(O' x' y' z')
运动参考系
u是S’系相对S系
运动的速度
1-3 相对运动
yy'
P P'
*
oo'
xx'
t0
y
o
P
y'
D
r
P'
uQ
r'
xx'
ut o' t t
第一章 质点运动学
22
物理学
第五版
位移关系
r r'D 或 r r'ut
速度变换
r r' u t t v v'u
理解伽利略速度变换式, 并会用它求简 单的质点相对运动问题．
第一章 质点运动学
2
物理学
第五版
质点运动的自然坐标描述
自然坐标系 —— 坐标原点固接 于质点, 坐标轴沿质点运动轨道
1-2 圆周ev运t 动 evt B
的切向和法向的坐标系，叫做自
然坐标系。切向以质点前进方向 A
为 侧正方，向记 为做 正，ev记t ，做法ev向n以。曲线凹
y
A
r
二 圆周运动的角速度
❖ 角坐标 (t)
o
❖角位移
y
xx
B
❖ 角速度
lim
d
t0 t dt
r A
o
x
单位：rad·s-1
第一章 质点运动学
4
物理学
第五版
1-2 圆周运动
❖ 速率 v lim Δs r lim Δθ
Δt0 Δt
Δt0 Δt
圆周运动例题及相对运动n2讲解
bt v
at
dv dt
d(v0 bt ) dt
b
20得 a24n/10到 /13 avR的2 大(v小0 及 Rb方 t )2向。
an at Ra O
7
2.
由at
a
，
n
即b (v0 bt )2 求出t。 R
2024/10/13
8
例6，（例题1－4）一曲柄连杆结构，曲柄OA长为r, 连杆AB长为L，AB一端在A处与曲柄相连，另一端以销子 在B处与活塞相连，当曲柄以匀角速绕o旋转时，通过 连杆将带动B处活塞在汽缸内往返运动，求活塞运动方程。
A
L
r
Q
B
x’ o’ P R o
x
活塞t时刻运动分析图10
A
l B
r
＝ t
x
x
x OR RB
PR
O
起始点
x r cost l2 r2 sin 2 t
2024/10/13
11
写为：
l2
r2
sin 2
t
l 1
r2
sin 2 2l 2
t
；而
sin2 t 1 cos2t ，移项整理得：
26
例2，货车遇到5m/s垂直下落的大雨，木 板及挡板都是1m，问货车以多大的速度 行驶才使木板不被雨淋。
v牵连 5
2024/10/13
v相对
45o l=1 v牵连 = 5
v绝对= 5 h=1
27
例题3，一升降机以加速度1.22m/s2 上升，当上升 速度为2.44m/s时，有一螺帽自升降机的天花板上 松落，天花板与升降机的底面相距2.74m，计算螺 帽从天花板落到底面所需要的时间和螺帽相对于 升降机外固定柱的下降距离。
大学物理精品课件1.2 自然坐标系
vA
B
vB v A at 23.3m s 2 t 2 vB 2 an 106m s r
在点 B 的加速度
AB 3.5km
r a n
at
o
a
vB
a 与法向之间夹角
a
2 at
2 an
109m s
为
2
at arctan 12.4 an
1.3
自然坐标系
1
第一章 运动的描述
已知： vA 1940km h
所转过的角度 为 （2）在时间 t 内矢径 r
A
t 3s
AB 3.5km
vB 2192km h 1
vA
B
1 2 At t 2
飞机经过的路程为
r a n
at
o
a
vB
o
R
第一章 运动的描述 1.3 自然坐标系 2.判断下列说法的正、误： a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。 b. 平均速率等于平均速度的大小。
v s / t 依据 平均速率 平均速度的大小 v r / t
c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成
v (v1 v2 ) / 2 ,其中 v1是初速度， v2 是末速度。
d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方 向改变。
1.3
自然坐标系
第一章 运动的描述
例 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径约为 3.5km , 且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆 周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求: (1) 飞机在点B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解（1）因飞机作匀变速率 vA A 运动所以 a t 和 为常量 . B dv
1-2 质点运动学 (角速度 角加速度 相对运动)
在自然坐标系中的质点加速度：
a
d
dv d
dt dt
d
n
(v) dv
dt
d
d
n
v d
dt d ds
dv
dt
n
1
vn
v2
n
dt dt ds dt
ds
v
d
5
a
dv
d
(v)
dv
v2
n
dt dt
dt
切向加速度
a
a
反映速度大小变化
法向加速度
an
v2
n
反映速度方向变化
角加速度
lim d d 2
t0 t dt dt 2
单位：rad/s2
角加速度等于质点的角速度对时间的一阶导数
考虑矢量性 质点的 角d坐标对时间的二阶导数
加速转动
dt
方向一致
减速转动
方向相反
11
角量之间的关系：
匀速圆周运动 是恒量
d dt
d
t dt
0
0
0 t
匀角变速圆周运动
§1-3 自然坐标系 圆周运动
一、自然坐标系
物体的运动状态的物理量：位矢、位移、速度和加速 度。通常建立直角坐标系进行描述。
但直角坐标系统并非总是很方便。例如：汽车在公路 上行使；运动员沿操场跑道跑步；物体沿圆周运动。
通常做法是：是选取一个起点，然后用路程、速度和 加速度描述其运动。
当质点做曲线运动，且运动的轨道已知时，选取一 个起点，然后用路程、速度和加速度描述其运动。
质点作变速直线运动 质点作匀速圆周运动 质点作任意圆周运动
13
物理-圆周运动的角量描述 相对运动
二、相对运动
1、绝对时空观
B
时间间隔 空间间隔
地面参考系
υ
A 车厢参考系
时间间隔、空间间隔与质量的测量与观测者所在的参考系无
关，是绝对的。
——绝对时空观
二、相对运动
2、速度变换与加速度变换
设S′系相对于S系以速度 作直线运动。
并以两坐标原点重合瞬间作为共同的计时起点。
(牵连速度)
S
S
二、相对运动
B(t+Δt 时刻）
A(t 时刻）
s(t )
0
R (t 0) x
(2) 国际单位制中角坐标与角位移的单位：弧度
一、圆周运动的角量描述
3、角速度
3、角加速度
d
dt
d 2
dt 2
（单位：rad/s 2）
讨论
(1) 线量与角量之间的关系
（单位：rad/s）
0
B(t+Δt 时刻） s A(t 时刻）
t时刻
运动质点P在S系中的位置矢量为： 质点P在S′系中的位置矢量为： S′的坐标原点O′在S系中的位矢为：
S r r0
S
r
x
(牵连速度)
r
r0
r
二、相对运动
由：
质点相对于S系 的运动速度
S′系相对于S系 的运动速度
质点相对于S′系 的运动速度
运动质点在两个作相对运动的参考系中的速度变换式。
二、相对运动
由：
质点相对于S系的 S′系相对于S 质点相对于S′
加速度
系的加速度 系的加速度
运动质点在两个作相对运动的参考系中的加速 度变换式。
二、相对运动
讨论
(1) 相对速度公式
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第1章 质点运动学
O 直角坐标: 加速度方程 a x 0
ay g 速度方程 u x u0 cos u y u0 sin gt
练习: 一物体做抛体运动, 已 知v0 , , 讨论 B et v0 g et en
A
g
en
en
C
g
et
上式中第一项: v v v t v e lim et lim t lim t 0 t t 0 t t 0 t 大小 方向: 切向 dv et at dt dv 切向加速度 a t a t et et dt
v v n v v
B
位置矢量: rOP rOP rOO
O
a 物地 a 物梯 a 梯地 物体A, B以加速度a
相对于电梯运动
物体A, B相对于地的加速度
r r r 位移矢量: OP OP OO
加速度矢量(O 相对O平动时)
速度矢量: vOP vOP vOO
aOP aOP aOO
a a a0
注意: 暗含两个参考系时间与空 间测量的绝对性(绝对时空观).
P.11/46
第1章 质点运动学
在直角坐标系中(一般情况):
y
S
S y
rOP
O rOO
P
x
x
例1-9. 某人骑自行车以速率 v0向 东行驶.有风以同样的速率由北 偏西 30方向吹来. 问: 人感到风 是从那个方向吹来？
§1-3 相对运动 坐标系S固定于地面坐标系S 固定于行车, 随车一起运动. 绝对运动: 物体相对于静止参 考系(S)的运动, 位移为
r0 r r lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
r物地 r物车 r车地
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v
平移
v n v v v t v
v
第1章 质点运动学
s P 1
v
P2
t 时刻位于P1点, 速度为 v
经过t时间位于P2点, 速度为 v 速度增量: v v v
v vt vn a lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t 上式中第一项： v v t v v et lim et lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
(2) 角速度 平均角速度:
d lim 角速度: t 0 t dt
(rad s 1 ) t
旋转方向
角速度矢量:
O
R
方向符合右手 螺旋 角速度与线速度关系:
v r
(3) 角加速度 平均角加速度:
t (rad s 2 )
改变 改变 速度方向
P.2/46
速度大小
dv et 切向加速度 at at et dt
法向加速度 总加速度
v2 an en
at
an
et
第1章 质点运动学
a a t an
改变
改变
讨论: (1) at = 0 匀速率运动;
at≠ 0 变速运动. (2) an = 0 直线运动; an≠ 0 曲线运动 例1-7. 抛体运动 y u0
r0
r
P.9/46
x
v 物地 v物车 v车地 —— 伽利略速度变换
绝对速度 相对速度 牵连速度 y
S y
第1章 质点运动学
a 物地 a 物车 a 车地
a 绝对 a 相对 a 牵连
O
x
—— 伽利略加速度变换 如: 电梯以加速度a0相对于地 向上运动
v 2 ( R ) 2 an R 2 R R
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
(4) 角量与线量的关系
P (t+t) P(t) s R O x
(5) 用角量描述圆周运动 圆周运动是一般曲线运动的 一个特例, 曲率半径为常量. ① 一般圆周运动
a x b
vax vab v xb
北
西
v ab
v xb
北偏西30° 解: 设人为x, 风为a, 地为b 由相对运动原理得 南
东 v ax
vab vax v xb
人感觉风是从北偏东 30方向吹来.
绝对速度 （风对地）
相对速度 牵连速度 （风对人） （人对地）
S R
dS Rd v R dt dt
dv at dt
v2 an R
P.7/46
第1章 质点运动学
(5) 用角量描述圆周运动 圆周运动是一般曲线运动的 一个特例, 曲率半径为常量. ① 一般圆周运动
③ 匀变速率圆周运动基本公 式的角量表示
0 t
1 2 2 2 0 2 0
1.2.4 自然坐标系中的速度和加速度 自然坐标系 将坐标建立在运动轨迹上的坐 标方法 切向: 切向坐标轴沿质点前进方 向的切向为正; 法向: 法向坐标轴沿轨迹的法向 凹侧为正. 1. 自然坐标中的速度和加速度 1) 位置 路程和速度 在质点的运动轨迹上 , 任取一 点O作为坐标的原点. 从原点O到 轨迹曲线上任意一点 P 的弧长定 义为P点的坐标S. O
a
rOP
位置矢量: rOP rOP rOO
O
x
b
位移矢量: rOP rOP rOO
解: 设人为x, 风为a, 地为b 速度矢量: vOP vOP vOO 由相对运动原理得 加速度矢量(O＇相对O平动时) vab vax v xb
g cos
2 v0 gcos
ag
P.4/46
2. 圆周运动
第1章 质点运动学
1)圆周运动的角量描述 线量: 自然坐标系下以运动 曲线为基准的基本参量. 角量: 极坐标系下以旋转角 度为基准的基本参量.
以 x 轴为参照, 逆时针形成的 > 0, 顺时针形成的 < 0. 角位移: 角位置的增量 逆时针形成的 > 0, 顺时针形 成的 < 0.
0 0 t t 2
dv at dt
at 0
v an R
2
与匀变速直线运动基本公 式的数学形式相同.
② 匀速圆周运动
v v0 a t 1 2 s s 0 v0t a t 2 2 v 2 v0 2a s s0
P.8/46
v2 a an R
t
v
第1章 质点运动学 vn v lim en 第二项: lim t 0 t t 0 t vd v2 ds en v en en dt dt
dS d
曲率半径
v2 法向加速度 an en
总加速度
a a t an
第1章 质点运动学
r
v 物地 v物车 v车地
S y x
相对运动: 物体相对于自身参考 系(S)的运动, 位移为
y
O
r
牵连运动: 运动参考系S相对静 止参考系S的运动, 位移为 r0
r r r0
r
O
S
A
绝对运动＝相对运动＋牵连运动
大小 方向: 切向 dv et at dt
dv et 切向加速度 a t a t et dt
P.1/46
v vt vn
平均加速度: 瞬时加速度:
v a lim t 0 t
v a t
v vt vn v v v t n lim lim a lim t 0 t t 0 t t 0 t
大小: v rsin 方向: 满足右手螺旋
d d 2 角加速度: lim 2 t 0 t dt dt
P.6/46
第1章 质点运动学
(3) 角加速度 平均角加速度: 角加速度:
t
(rad s 2 )
dv d at R R dt dt
aOP aOP aOO
相对速度 牵连速度 注意: 暗含两个参考系时间与空 绝对速度 （风对地） （风对人） （人对地） 间测量的绝对性(绝对时空观).
P.12/46
第1章 质点运动学
例1-9. 某人骑自行车以速率 v0向 东行驶.有风以同样的速率由北 偏西 30方向吹来.问: 人感到风 是从那个方向吹来？
r
O
S
即
A
a0
r
x
r0
a
A
B
P.10/46
v v v 0
v
a
v0
v
第1章 质点运动学
如: 电梯以加速度a0相对于 地面向上运动
在直角坐标系中(一般情况):
y
S
a0
S y
A
a
rOP
O r rOO OP
P
x
x
a
P.13/46
作业
第1章 质点运动学
习题集：112、22、24、32、38、 39、40、43、45、51、 54
P.14/46
第1章 质点运动学
质点运动方程为 S =S(t), P至 Q的位移为 s . 路程: 自然坐标的增量
S SQ S P
S
P
et e n