数的整除特性
《数的整除特征》课件
数据存储与传输
在计算机科学中，整除是一个非常重要 的概念。例如，在数据存储和传输中， 我们需要用到二进制数，而二进制数的 整除可以用来进行数据的加密和解密。
VS
算法设计与优化
在算法设计和优化中，整除也是一个非常 重要的概念。例如，在排序算法中，我们 可以利用整除来快速判断一个数是否为整 数，从而优化算法的性能。
数的整除特征
偶数的整除特征
总结词
偶数可以被2整除
详细描述
偶数是能被2整除的整数，其特征是末尾数字为0、2、4、6或8。偶数的整除特 性表明，偶数除以2的余数为0。
奇数的整除特征
总结词
奇数不能被2整除
详细描述
奇数是除以2余数为1的整数，其特征是末尾数字为1、3、5、7或9。奇数的整除特性表明，奇数除以 2的余数只能是1。
《数的整除特征》ppt 课件
目录
• 整除的定义与性质 • 数的整除特征 • 整除的应用 • 数的整除特征的扩展知识 • 练习与思考
CHAPTER 01
整除的定义与性质
整除的定义
整除：如果整数a除以整数b（ b≠0）的余数为0，那么就称a能
被b整除。
整除是数学中的一个基本概念， 是研究整数的一个重要的分支。
Байду номын сангаас
判断题
一个数如果是3的倍数，那么它 一定是9的倍数。（ ）
选择题
一个四位数，千位数字是个位数 字的2倍，百位数字是个位数字 的3倍，十位数字是个位数字的4
倍，这个四位数是（ ）。
填空题
一个四位数，千位数字是百位数 字的2倍，百位数字是十位数字 的3倍，个位数字是十位数字的4 倍，这个四位数的千位数字是（ ），百位数字是（ ），十位数字 是（ ），个位数字是（ ）。
数的整除特征
数的整除性质主要有:（1） 若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除（2） 若两个数能被一个自然数整除「那么这两个数的和与差都能被这个自然数-l±s険个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被 这个数整（4） 薯一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互 质数的积整（5） 塔一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数-1匕然数中的一和立上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
JU& 囈一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
一个三位以上的整数能否被7 （ 11或13）整除，只须看这个数的末三位字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差 否被7 （ 11或13）整 除（14 栄位数字为零的整数必能被10整除X15）另外，一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那 么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位 称为偶数位・）（16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3塔一个质数能整除两个自然数的乘积, 那么这个质数至少能整除这两个自若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3 (或9)(10)(11 )（以大减小）能整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。
（17）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中, 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7 的倍数（包括0）,那么，原来的这个数就一定能被7整除•例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13- 3>2 = 7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613- 9X2= 595 , 59- 5&二49,所以6139是7的倍数，余类推。
数的整除特征
1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）Ⅰ. 若这个数的个位、十位、百位三个位上的数组成的三位数，与余下数位上的数组成的数的差能被7整除，这个数就能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「拆分、求差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，例如判断6139是否7的倍数的过程如下：139－6＝133，11|133，所以6139是7的倍数。
又如判断12966586是否7的倍数的过程如下：12966－586=12380，380－12=368，由于11|368不成立，所以12966586不是7的倍数，余类推。
Ⅱ. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0（能同时被2与5整除），则这个数能被10整除。
（11）Ⅰ. 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
Ⅱ. 11的倍数检验法也可用上述检查7的第Ⅰ种方法处理。
数的整除的特征
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k （其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数的整除特征
数的整除特征1)被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2)被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3)被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4)被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5)被7整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6)被11整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
第二种方法：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
第三种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7)被13整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
8)被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。
9)被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
10)被17整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
11)被19整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
12)被23整除：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
数的整除特征
数的整除特征知识概要数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2整除数的特征：个位数字是０、2、4、6、8的数能被2整除。
2、能被5整除的数的特征：个位数字是0和5的数能被5整除。
3、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字和能被3（或9）整除。
这个数能被3（或9）整除。
4、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
5、能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
6、能被7（或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（或11或13）整除。
、7、能被11整除的数的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被11整除。
例题解评例1、如果六位数12x40y 能被72整除，试求此六位数。
思路点拨：因为六位数12x40y 是72的倍数，且72=9×8 ，所以12x40y既是8的倍数又是9的倍数。
据能被8整除的数的特征，知40y是8的倍数。
（1）当y=0时，根据1＋2＋x＋4是9的倍数，且0≤x≤9可得x=2（2）当y=8时，根据1＋2＋x＋4＋8是9的倍数，且0≤x≤9可得x=3所以所求的六位数是122400或123408。
例2 、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A ，试求出A。
思路点拨：设这个四位数为abcd , 则abcd=1000×a＋100×b＋10×c＋d,它的各位数字之和为a＋b＋c＋d。
于是有：abcd-（a＋b＋c＋d）=1000×a＋100×b＋10×c×d－（a＋b＋c＋d）=999×a＋99×b＋9×c=9×（111×a＋11×b＋c）.这表明“一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差一定是9的倍数，”由已知这个差等于603A ，由此就可求出A来。
数的整除特征
数的整除特征一、整除特征------尾数分析法1、尾数分析法判断整除性（1）一个数的末一位能被2或者说整除，这个数就能被2或5整除。
（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。
（3）一个数的末三位数能被8或者125整除，这个数就能被8或是25整除。
2、被25或125整除的数的特点（1）被25整除的数必须是以25、75、00结尾的数（2）被125整除的数必须是以125、250、375、500、625、750、875、000结尾的数。
二、整除特征-----数位和分析法1、数位和分析法判断整除性（1）一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数能被3整除。
（2）一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除.2、数位和分析法原理数位和分析法同样是根据位值原理推导出来的，举例：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1=1×（999+1）+2×（99+1）+3（9+1）+4×1=1×999+2×99+3×9+（1+2+3+4）其中999、99、9都能被3或9整除，所以只需要看1234的各位数字和1+2+3+4能否被3或9整除即可，用这种方法同样能求出1234除以3或9的余数。
3、弃9法“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减、乘计算的结果是否错误，把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数。
三、整除特征---数位差分析法1、 11的整除特征：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、 7、11、13的整除特征如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11、或者3整除，那么这个数能被7、11、或者3整除。
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数的整除特征
1.末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除
2.各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除
3.末两位数字组成的两位数能被4整除的整数必能被4整除
4.末位数字为0或5的整数必能被5整除
5.一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除
6.末三位数字组成的三位数能被8整除的整数必能被8整除
7.末位数字为零的整数必能被10整除
8.另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。
（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。
）
9.至于6和12的整除特性,通过以上的原则判断即可:
各位数之和能被3整除的偶数能被6整除;
各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除
2：末尾1位数能被2整除，即所有偶数
3：被三整除的数必须各个位数上的数加起来为三的倍数
4：末尾两位数能被4整除
5：所有末位为0或5的数
7：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除
8：后三位能被8整除的数
9：各个位数的数字和能被9整除
11：奇数位的和与偶数位的和的差为11的倍数
13：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除
25：末尾的两位数是00，25，50，75四种能被25整除
125：后三位能被125整除的数。
数的整除
2. 与3有同种倍数特征的数据： 9的倍数的特征：一个数的各个数位上的数的和 是9的倍数，这个数就是9的倍数。 例：4536是9的倍数吗？ 解答：（4+5+3+6）÷9=2，是9的倍数， 所以4536是9的倍数。
3. 其他一些数据的倍数的特征：
7的倍数的特征：把一个数的末尾数字割去，从留下的 数中减去所割去的数字的2倍，这样继续 做下去，如果最后的结果是7的倍数，那么 原来这个数就是7的倍数。 例：判断：4151能否被7整除？
判断1884924与2560437， 能否被27或37整除。 能被27（或37）整除的数的特征：对于任何一个 自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若 干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和 能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27 （或37）整除。
判断1884924与2560437，能 否被27或37整除。 解：1884924=1,884,924， 1+884+924=1809。 因为，1809能被27整除，不能被37整除。 所以，1884924能被27整除，但不能被37整除。
所有六位数是：123654、321654
5. 一个整数乘以17后，乘积的后四位数是2002， 这样的整数中最小的是多少？ 解答：用□2002除以17，要求整数中最小的 是多少？这个数字最小就是12002。 12002÷17=706， 符合题目要求的最小的整数是706。
ABC分别是几时，使得七位数A6474BC能分别 被8、9和25整除。 分析：本体可以利用能被8、9和25整除的数的特 征，以及整除的性质3来解决。 ① 能被8整除的数的特征：一个数的末三位能被8整除。 ② 能被9整除的数的特征：一个数各个数位上的数字 之和能被9整除。 ③ 能被25整除的数的特征：一个数的末两位能被25整除。
整除的特征
整除的特征数的乘除特征：1．个位数是偶数的数能被2整除； 2．个位数是0或5的数能被5整除；3．末两位数能被4(或25)整除的数能被4(或25)整除； 4．末三位数能被8(或125)整除的数能被8(或125)整除； 5．能被6整除的数只需满足能被2，3整除。
6．各位数字之和能被3(或9)整除的数能被3(或9)整除；7．奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除的数能被11整除；8．末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差(大数减小数) 能被7(或11或13)整除的数能被7(或11或13)整例题1、有72名学生，共捐款b a 7.52，平均每人捐了多少元？2、一个数，它是15的倍数，且各位数字只有8和5两种，当这个数最小它是15的几倍？3、已知整数a a a a a 54321能被11整除，求所有满足这个条件的整数。
4、超市里有6箱货物，分别重16、19、20、15、18、31千克，两顾客买了其中5箱货物，其中一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？练习：1、有一个四位数24aa ，它能被9整除，请问a 代表什么数字？2、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差是3的倍数，那么这个数最小是多少？3、012005 (200520052005)个n 能被11整除，那么n 最小值是多少？4、七箱油分别是汽油、柴油、机油，它们容量分别是12升、13升、16升、17升、22升、27升和32升。
现在知道汽油有一桶，而柴油的总量分别是机油的3倍，但是不哪箱是什么油。
请你判断每只油桶里装的各是什么油？5、在六位数3□2□1□的三个方框里分别填入数字，是得到的数能被15整除，这样的六位数中最小的是多少？。
数的整除的特征
数的整除的特征我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k（其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k （k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数的整除特征特点
数的整除特征特点 It was last revised on January 2, 2021
数的整除特征特点
一、尾数判断法:
(1) 能被 2、 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。
(2) 能被4、25 整除的数的特征：末两位能被4或25整除。
(3) 能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除。
二、数字求和法
（1）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
三、奇偶位求差法
（1）能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
四、三位截断法
（1）能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除。
整除特征：
7：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
（如果数字太大仍然不能直接观察出来，就重复此过程。
）
13：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
17：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
19：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
数的整除特征及应用
数的整除特征及应用(一)姓名：一、知识要点：1．能被2、5、3、9整除的数的特征：2．能被4或25整除的特征：如果一个数的末两位能被4或25整除，那么这个数一定能被4或25整除。
如：4/3512 25/37253．能被8或125整除的数的特征：如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就一定能被8或125整除。
如：8/5816 125/837504．能被11整除的数的特征：如果一个数的奇位数字之和与偶位数字之和相减所得的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就一定能被11整除。
如：11/3861 11/909700225．能被7、11、13整除的数的特征：如果一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就可以被7、11、13整除。
如：123123能分别被7、11、13整除，123149能被13整除，167123能被11整除二、整除的性质1．若则b/a, c/b,则：c/a, 如： 9/54,3/9,3/542．若则b/a, c/b,则c/(a+b),如：4/24,4/12,4/(24+12)3．若则b/a,则b/(a×b),如：7/14,7/(14×3)三、例题：3AA它能被9整除，这个A代表多少？1．有一个四位数12．能同时被2、3、5整除的三位数中最小的是多少？3．四位数44整除，这个四位数是多少？4．36整除，求满足条件的所有六位数。
5．已知4、5、9整除，如果要使这个七位数尽可能小，那么这568，分别能被3、4、5整除，这个六位数最小、最大分别是多少？6．一个六位数abca679能被72整除，求符合条件的最小数是几？7．已知b8．求各位数字都是7，并且能被63整除的最小自然数是多少？9．个位数是6，且能被3整除的五位数共有多少个？10．用1、2、3、4能组成多少个没有重复数字的四位数，它们分别能被11整除？11．如果六位数33整除，那么这个数是多少？12．把144分成三个数，使这三个数能分别被2、3、7整除，并且所得的商相等，那么这三个数是，，。
奥数——数的整除特征
数的整除特征★知识要点1、如果一个数的个位数字能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。
2、如果一个数的末两位数字能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。
3、如果一个数的末三位数字能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。
4、如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数就能被3或9整除。
5、如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除。
6、被7、11、13整除数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除。
★典型例题例1、在□内填上适当的数，使五位数5874□能被2整除，这样的五位数有多少个？例2、在□内填上适当的数，使六位数69547□能被4或25整除。
例3、在□内填上适当的数，使五位数31□26能被3或9整除。
例4、在865后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能地大。
例5、在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有因数5？例6、根据被11整除的数的特征，判别下列数中哪几个能被11整除：3434 3443 52019 68868例7、判断2146455311能否被7，11或13整除？课堂练习1、在□内填上适当的数，使四位数139□能被5整除，这样的四位数有哪几个？2、在□内填上适当的数，使七位数7132□20能被8整除。
3、判断下列哪些数能被25整除，哪些能被125整除？能被125整除的数一定能被25整除吗？反之能被25整除的数一定能被125整除吗？750 765 2775 6325 1500 10004、根据被3和9整除的数的特征，用“去三法”或“或九法”判别下列数中哪些数能被3整除，哪些能被9整除。
请仔细观察能被9整除的数一定能被3整除吗？反之能被3整除的数一定能被9整除吗？请牢记这个规律！5646 49257 25341 87203 56142365、在358后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能地小。
数的整除特征
数的整除特征能被4或25整除的数特征是：一个数末两位能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。
能被8或125整除的数的特征是：一个数末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
能被9整除的数的特征是：一个数各个位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。
（能被9整除的数一定能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除）能被11整除的数的特征是：一个数奇数位上的数字与偶数位上的数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除。
能被7或13整除的数的特征是：一个数末三位与末三位以前的数字组成的差能被7或13整除，这个数就能被7或13整除。
（当末三位数字表示的数大于末三位以前的数字表示的数时，就用前者减去后者，然后判断。
例如：5873556先用5873－556=5317，再算出317-5=31的差。
因为312÷13=24所以25873556能被13整除。
而312÷7=44·····4,所以5873556不能被7整除）能被6整除的数的特征是：如果一个数的个位是0，2，4，6，8.且各个数位上数字和能被3整除，这个数就能被6整除。
能被5整除的数的特征是：一个数个位是0和5，这个数就能被5整除。
能被3整除的数的特征是：一个数各个位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。
能被2整除的数的特征是：一个数个位是0，2，4，6，8，这个数就能被2整除。
如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的倍数也一定能被另一个数整除。
如果第一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。
如果两个数都能被另一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。
如果一个数都能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一定能被另外两个数的积整除。
数的性质 整除性 数的整除特征
因为3|（ × 999 + × 99 + × 9），
根据整除的Байду номын сангаас差性，
3能整除（ × 1000 + × 100 + × 10 + ）与（ × 999 + × 99 + × 9）的差
（ + + + ）。
一、数的整除特征
5、能被11整除的数的特征：奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差（大减小）
如果11能够整除，由和差性，11|( + + − − )。
一、数的整除特征
6、能被7(11或13) 整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组
成的数之差（大减小）能被7(11或13) 整除。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = × 1000 + = 1001 + −
数的整除特征
主要学习内容
01
数的整除特征
02
典型例题分析
一、数的整除特征
1、能被2(或5)整除的数的特征：末位数字能被2(或5)整除。
为了便于小学生理解，我们通常说成：如果一个整数的个位数字是0，2，4，6，8，
那么它能被2整除；如果一个整数的个位数字是0或5，那么它能被5整除。
2、能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。
是11的倍数。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = 10000 + 000 + 100 + 10 +
= 9999 + + 1001 − + 99 + + 11 − +
数的整除的特征归类
数的整除的特征归类--蒋睿宇学习资料在小学阶段，数的整除的特征无非就是以下几种形式：第一类：看被整除的这个数的末一位。
（也就是这个数的个位）。
这主要是，判断能否被2和5 整除的数的特征。
其特征是：（1）能被2整除的数，个位上的数字一定是0、2、4、6、8。
例如：12、24、36、28、50（2）能被5整除的数，个位上的数字一定是0和5。
例如：20、45第二类：看被整除的这个数的末两位。
（也就是这个数的个位和十位）这是判断能否被4和25整除的数的特征。
其特征是：末两位数能被4和25整除的数，一定能被4和25整除。
例如：1320÷4=440 （20÷4=5） 750÷25=30（50÷25=2）第三类：看被整除的这个数的末三位。
（也就是这个数的个位和十位以及百位）这是判断能否被8和125整除的数的特征。
例如：789160÷8=98645（160÷8=20）456375÷125=3651（375÷125=3）第四类：看被整除的数的末三位数字，组成的数与末三位数前面的数字组成的数之间的差，（大数减小数）能否被7、11、13整除，它们之间的差能被7、11、13整除，则这个数就能被7、11、13整除。
例如：789803（803-789=14,14÷7=2）584628（628-584=44,44÷11=4）26299（299-26=273,273÷13=21）第五类：看被整除的这个数的各个数位上的数字相加的和能否被3和9整除，如果它们相加的和能被3和9整除，则这个数就能被3和9整除。
这是判断能否被3和9整除的数的特征。
例如：12345678（1+2+3+4+5+6+7+8=36,36÷3=12,36÷9=4）。
数的整除的特征
数的整除的特征（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
数的整除特征
数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（13）一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除（14）末位数字为零的整数必能被10整除（15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位,十位、千位、百万位……称为偶数位.）（16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。
（17）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
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2013国家公务员考试行测数学运算冲刺：数的整除特性
在国家公务员考试中，数学运算题目通常是给出一段表达数量关系的文字，考生需要做的就是找到题干中各个数字之间的联系，然后运用基本的运算法则，计算出结果。
中公教育专家发现，国家公务员考试中，数学运算题干中的数字之间都有着千丝万缕的联系，最基础的体现就是两个数之间的整除关系。
在考试中，如果能够顺利的发现数字之间存在整除关系，那么我们就可以利用数字的整除特性，快速、简单地得到答案。
一、整除判定
在解题过程中，如果经过分析、判断后，你已经确定题目的正确答案能被某个数整除，那么在进行具体计算之前，只需要对四个选项逐个进行判定，哪个选项能被这个特殊数字整除，即可得到结果。
在行测考试中，被2、３、５、8、９整除的判定较为常见，考生需要熟练掌握并灵活应用。
被2、3、4、5、8、9整除的判断依据
（1）被2整除的判断依据：个位数字能被2整除的数能被2整除。
（2）被３整除的判断依据：各位数字和是３倍数的数可被３整除。
（3）被4整除的判断依据：末两位可被4整除的数能被4整除。
（4）被５整除的判断依据：个位是０、５的数可被５整除。
（5）被８整除的判断依据：末三位可被８整除的数能被８整除。
（6）被９整除的判断依据：各位数字和是９倍数的数可被９整除。
【例题1】为了打开保险箱，首先要输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3，在密码中的数字2比3多，而且密码能被3和4整除，试求出这个密码？
A.2323232
B.2222232
C.2222332
D.2322222
中公解析：此题答案为B。
此题的题干中明确说明，要求密码能够同时被3和4整除。
考虑被3、4整除的判断依据。
能被4整除的数字，其后两位数字能够被4整除。
所以四个选项中，首先排除D项。
能被3整除的数，要求各位数字和是3的整倍数，剩余三个选项中，A项所有数字和为17，B项所有数字和为15，C项所有数字和为16，符合条件的只有B项。
因此密码为2222232。
【例题2】某单位有工作人员４８人，其中女性占总人数的３７．５％，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的４０％，问调来几名女性？
Ａ．１人Ｂ．２人Ｃ．３人Ｄ．４人
中公解析：此题答案为B。
男性人数没有发生变化。
最初，男性占总人数的1-37.5%=62.5%，则男性有48×62.5%=30人，后来男性占总人数的1-40%=60%，后来总人数为30÷60%=50人，调来50-48=2名。
【例题3】某单位招录了１０名新员工，按其应聘成绩排名１到１０，并用１０个连续的四位自然数依次作为他们的工号。
凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？
Ａ．９Ｂ．１２Ｃ．１５Ｄ．１８
中公解析：此题答案为B。
此题的一般解法是根据题中条件求出排名第三的员工工号，进而得出其各位数字之和。
但题中并未给出明确的等量关系，使得解题思路陷入了僵局。
中公快解：仔细阅读题干，可以发现题目中给出了有关整除的信息，此时应该根据整除判定中有关各位数字之和的内容进行分析。
排名第十的员工能被10整除，则其个位是0，排名第三的个位是3，第九名个位是9，二者各位数字之和相差6。
第九名工号能被9整除，其各位数字之和是9的倍数，则第三名工号加上6才能被9整除，其各位数字之和也需要加上6才能被9整除。
选项中只有B项加上6后能被9整除。
二、整除的性质
在利用整除关系判定答案之前，首先要知道答案所具有的整除关系。
但随着国家公务员考试难度的增加，在有些情况下，题干中并不会直接给出，这就需要我们利用整除性质，推导出答案所具有的整除关系。
1.整除的传递性
如果数ａ能被ｂ整除，数ｂ能被ｃ整除，则数ａ能被ｃ整除。
【示例】４２能被１４整除，１４能被７整除，４２能被７整除。
【例题4】一个三位自然数正好等于它各位数字之和的18倍，则这个三位自然数是（）。
A.999
B.476
C.387
D.162
中公解析：此题答案为D。
这个三位数是18的倍数，即这个三位数能被18整除。
又因为18能被2和9整除，所以根据整除的传递性，这个数一定能被9和2整除。
A、C两项为奇数，明显不能被2整除，排除；B项4+7+6=17，不能被9整除，排除；所以，只有D
项符合。
2.整除的可加减性
如果数ａ能被ｃ整除，数ｂ能被ｃ整除，则ａ＋ｂ、ａ－ｂ均能被ｃ整除。
【示例】９能被３整除，１８能被３整除，９+１８＝２７也能被３整除。
【例题5】有一食品店某天购进了６箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为８、９、１６、２０、２２、２７公斤。
该店当天只卖出一箱面包，在剩下的５箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了（）公斤面包。
Ａ．４４Ｂ．４５Ｃ．５０Ｄ．５２
中公解析：此题答案为D。
“剩下的５箱中饼干的重量是面包的两倍”，说明剩下的饼干和面包的重量和应该是３的倍数，而６箱食品的总重量８＋９＋１６＋２０＋２２＋２７＝１０２为３的倍数，根据整除的可加减性，卖出的一箱面包重量也为３的倍数，则重量只能是９或２７公斤。
如果卖出的面包重量为９公斤，则剩下的面包重量为（１０２－９）÷３＝３１公斤，没有合适的几箱食品满足条件，排除。
如果卖出的面包重量为２７公斤，则剩下的面包重量为（１０２－２７）÷３＝２５公斤，正好有２５＝９＋１６满足条件，则面包总重量为２７＋２５＝５２公斤，选Ｄ。