2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

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湖北省武汉市华师一附中2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)

华师一附中2019-2020学年度下学期高一期中诚信检测数学试题Ⅰ卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量(1,1)a =-r，(,3)b x =r 且a b ⊥r r ，则||a b +r r 的值为（） A.B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由a b ⊥r r可求出x 的值，从而可得到a b +r r 的坐标，然后可求出模.【详解】解：因为向量(1,1)a =-r ，(,3)b x =r 且a b ⊥r r，所以1(1)30x ⋅+-⨯=，解得3x =，所以(3,3)b =r ，所以(4,2)a b +=r r，所以||a b +=r r故选：D【点睛】此题考查向量的坐标运算，向量垂直，向量的模，属于基础题. 2.已知2(2),(1)(3)M a a N a a =-=+-，则,M N 的大小关系是（） A. M N > B. M N ≥ C. M N < D. M N ≤【答案】A 【解析】【分析】通过作差得到M N -，根据判别式∆和开口方向可知0M N ->，从而得到结果. 【详解】()()()2221323M N a a a a a a -=--+-=-+4120∆=-< 2230a a ∴-+>，即M N >本题正确选项：A【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号. 3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是( )A.12 B.2C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，因为边O ′B ′在x ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在x 轴上，且长度不变， O ′A ′在y ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在y 轴上，且长度增大到2倍，因O′B′=1，所以O ′A ′，则．则S △ABO =12OB ⨯OA=12考点：斜二测画法．4.已知等比数列{}n a 中，51183a a a =，数列{}n b 是等差数列，且68b a =，则48b b +=（） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】【分析】由等比数列的性质可将51183a a a =转化为8283a a =，从而得83a =，所以63b =，再由等差数列的性质可求出48626b b b +==.【详解】解：因为数列{}n a 为等比数列，51183a a a =，所以8283a a =，解得83a =，因68b a =，所以63b =，因为数列{}n b 是等差数列，所以48626b b b +==，故选：B【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的性质，属于基础题.5.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A +=，1a =，b =则c =（）A.B. 1C.D.【答案】B 【解析】【分析】先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=，可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos 2cos CA B B A C+=所以sin()A B +=sin C =因为sin 0C ≠，所以cos C =，又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=，所以1c = 故选：B【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.6.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知,,A B C 三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则,B C 所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（） A. 20%，12800元 B. 10%，12800元 C. 20%，10240元 D. 10%，10240元【答案】A 【解析】【分析】由题意得甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，而由题意可知1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩，进而计算可得3,m a 的值.【详解】解：由题意设，甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，则有1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩ 则有2426240a a +=，13(1)()26240m a a -+=，解得 10.8m -=，则0.220%m ==，因为1332800a a += 所以332328000.8a a +=，解得312800a = 的故选：A【点睛】此题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 1∶2 B. 1C. 1D.∶2【答案】C 【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ＝∴其母线长l ＝r ＝∴S 侧＝πrl ＝πr 2＝S 底＝πr 故选C＝【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．8.在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =u u u r u u u r，若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=（） A. 54-B. 43-C. 45-D. 34-【答案】A 【解析】【分析】可设AE xAC =u u u r u u u r，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出3(1)22x x BE AB AD =-++u u u r u u u r u u u r ，从而根据平面向量基本定理即可得出(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出λ即可．【详解】解：如图，设AE xAC =u u u r u u u r，且2BD DC =u u u r u u u r，则：BE AE AB =-u u u r u u u r u u u rxAC AB =-u u u r u u u r ()x AD DC AB =+-u u u r u u u r u u u r 1()2x AD BD AB =+-u u u r u u u r u u u r ()2x xAD AD AB AB=+--u u u r u u u r u u u r u u u r 3(1)22xx AB AD =-++u u u r u u u r ，Q 34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，∴(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得54λ=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 9.若正数a,b 满足a+b=2,则1411a b +++ 的最小值是( ) A. 1 B. 94C. 9D. 16【答案】B 【解析】分析】由2a b +=可得()()114a b +++=＝所以可得()()()411411411111411411411a b a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=++++=+++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦＝由基本不等式可得结果. 【详解】∵2a b +=，∴()()114a b +++=，又∵0a >，0b >， ∴()()141141111411a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()411119145441144a b a b ⎡⎤++=+++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当()41111a b a b ++=++，即13a =，53b =时取等号,【1411a b +++ 的最小值是94,故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10.对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （） A. 135 B. 141C. 149D. 155【答案】D 【解析】【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L , []363740[][]6S S S ====L .所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题. 11.已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足BI BA =+u u v u u u vAC AP AC AP λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v (0)λ>，4PA PB -=u u u v u u u v ，10PA PB -=u u u v u u u v ，则BI BA BA ⋅u u v u u u v u u uv 的值为（） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则可得点I 为三角形内切圆的圆心，结合三角形内切圆与边长关系的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定BI BA BA⋅u u v u u u vu u u v 的值. 【详解】由BI BA u u v u u u v=+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r (0)λ>可得||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u r u u u r u u u r ，所以I 在∠BAP角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH ⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E ，F ，||||4,||10PA PB PA PB -=-=u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则10AB =u u u r ，11||||(||||||)[||(||||)223 ]BH BF PB AB PA AB PA PB ==+-=--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，在直角三角形BIH 中,||cos ||BH IBH BI ∠=u u u r u u r ，所以||cos 3||BI BA BI IBH BH BA ⋅=∠==u u r u u u ru ur u u u r u u u r . 故选B.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.的12.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52【答案】A 【解析】【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题纸上的相应位置.）13.设, , a b c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号） ①11a b <；＝22ac bc <；＝b a a b >；④b a a b <；⑤2211a b< 【答案】④⑤ 【解析】【分析】利用不等式的性质分别进行验证即可得答案. 【详解】因为, , a b c 为实数，且0a b <<，对于①因为0a b <<，所以0ab > 所以a b ab ab <，即11b a<，所以①不正确；对于＝当0c =时，结论不成立，所以＝不正确；对于＝④因为0a b <<，所以22a b >因为0ab >，所以22a b ab ab>，即a b b a >，所以＝不正确，④正确；对于⑤因为220a b >>，所以2211a b <，所以⑤正确故答案为：④⑤【点睛】此题考查了不等式的基本性质及应用，考查了推理论证的能力，属于基础题.14.已知向量,a b r r 是平面内的一组基底，若m xa yb =+u r r r，则称有序实数对(,)x y 为向量m u r 在基底,a b r r下的坐标.给定一个平面向量p u r ，已知p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，那么p u r 在基底a b -r r，a b +r r 下的坐标为______. 【答案】13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题可知2p a b =+u r r r ，若将a b -r r，a b +r r 作为基底，则设()()p m a b n a b =-++u r r r r r ，然后展开化简得，()()p m n a n m b =++-u r r r ，从而得12m n n m +=⎧⎨-=⎩，解出,m n 的值就得到所求的坐标【详解】解：由p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，得2p a b =+u r r r ，设p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为(,)m n ，则()()p m a b n a b =-++u r r r r r所以()()p m n a n m b =++-u r r r所以12m n n m +=⎧⎨-=⎩解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】此题考查的平面向量基本定理及应用，属于基础题15.已知函数()1ee xf x x =+（e 是自然对数的底数），设(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______. 【答案】40392【解析】【分析】由题意可得， 1()11()111()e e e x f x x x==++，且11(1)112f ==+，进而可得1()()1f x f x+=，结合数列的通项公式可得4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++，从而可得答案.【详解】根据题意，因为()1e ex f x x =+，所以1()11()111()e e e x f x x x==++，11(1)112f ==+，所以1()()1f x f x+=，因为(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩ 所以4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++ 14039201922=+= 故答案为：40392 【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x f x+=，属于中档题. 16.如图，在平面四边形ABCD 中，135A ∠=︒，75B C ∠=∠=︒，2BC =，则CD 的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】如图，延长,BA CD 交于点E ，设1,,,22AD x DE x AE x AB m ====，求出+x m CD 的取值范围. 【详解】解：如图，延长,BA CD 交于点E ，则在ADE ∆中，105,45,30ADE DAE E ∠=︒∠=︒∠=︒,所以设1,,,224AD x DE x AE x AB m ====，因为2BC =，所以()sin1514x m +︒=，+x m 所以04x <<，因为CD x m x x =+-=，所以CD 的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题.Ⅱ卷（共6小题，满分70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）17.已知向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，k ∈R（1）当k 为何值时，有x r 、y u r平行；（2）若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3k =-，（2）112k <且3k ≠- 【解析】【分析】（1）根据题意，设x t y =r u r ，则有3()ka b t a b -=+r r r r ，再结合(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，可求出k 的值；（2）根据题意，若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，则有0x y ⋅<r u r，由数量积的计算公式可得3(12)5(36)0x y k k ⋅=--+-<r u r ，再结合向量不共线分析可得答案.【详解】解：（1）因为x r 、y u r 平行，所以设x t y =r u r ，所以3()ka b t a b -=+r r r r ，即()(3)k t a t b -=+r r因为(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，得a r 与b r不共线，所以30k t t -=+=，得3k =-，（2）因为向量x r 与y u r 的夹角为钝角，所以0x y ⋅<r u r ，因为向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r所以(12,36)x k k =---r ，(3,5)y =u r ，所以 3(12)5(36)0k k --+-<，解得112k <，又因为向量x r 与y u r 不共线，所以由（1）可知3k ≠- 所以112k <且3k ≠- 【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系，属于中档题.18.在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈.等差数列{}n c 的前两项依次为23,a b .（1）求{}n c 的通项公式；（2）求数列(){}n n n a b c +的前n 项和n S .【答案】（1）73n c n =-，（2）(1413)3132n n n S -+= 【解析】【分析】（1）由已知递推式可得23,a b ，即为12,c c ，由等差数列的定义可得公差，从而得到所求的通项公式；（2）由1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，.两式相加，结合等比数列的定义可得n n a b +，从而可得数列(){}n n n a b c +的通项公式，再由数列的错位相减法求和即可【详解】解：（1）因为111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈，可得21142114a b a =-+⨯-=，21142112b a b =--⨯+=，所以322422111b a b =--⨯+=，所以124,11c c ==，等差数列{}n c 的公差为7所以47(1)73n c n n =+-=-（2）因为1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，所以两式相加得，113()n n n n a b a b +++=+，所以数列{}n n a b +是以3为公比，2为首项的等比数列，所以123n n n a b -=⨯+，所以11)23(73)(1)3(46n n n n n c n n a b --=⨯⨯-=-⨯+，所以0122183223363(1420)3(146)3n n n n n S --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，123183223363(1420)3(14633)n n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得，123181431431431432(146)3n n n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯-1231814(3333)(146)3n n n -=++++⋅⋅⋅+--⨯13(1413)3n n =--- 所以(1413)3132n n n S -+= 【点睛】此题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义和通项公式，求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题19.如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M 的正南方向的P 点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60︒方向行驶后到达点Q ，在点Q 处测得乙山山顶B 的仰角为θ，且BQA θ∠=，经计算，tan 2θ=，若甲、乙山高分别为100m 、200m ，求两山山顶,A B 之间的距离.【答案】【解析】【分析】先在Rt AMP ∆中，利用已知条件求得PM ，进而连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，求得PQ ，可推断出PQM ∆为等边三角形，进而求出QM ，从而在Rt AMQ ∆中利用勾股定理求得AQ ，Rt BNQ ∆中，利用tan 2θ=，200BN =，求得BQ ，最后在BQA ∆中，利用余弦定理求得BA【详解】解：在Rt AMP ∆中，30,100APM AM ∠=︒=，所以PM =连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，PQ =，所以PQM ∆为等边三角形，所以QM =在Rt AMQ ∆中，由222AQ AM QM =+，得200AQ =，在Rt BNQ ∆中，tan 2θ=，200BN =，得BQ =在BQA ∆中，22222cos BA BQ AQ BQ AQ θ=+=⋅=所以BA =【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，考查了学生解决实际际问题的能力，属于中档题20.已知ABC V 的内角、、A B C 所对应的边分别为a b c 、、，(sin sin )1R A B +=（其中R 为ABC V 的外接圆的半径）且ABC V 的面积22()S c a b =--.（1）求tan C 的值；（2）求ABC V 的面积S 的最大值.【答案】（1）815，（2）417【解析】【分析】（1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得，（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【详解】解：（1）因为22()S c a b =--，所以2221sin 222cos 2ab C c a b ab ab ab C =--+=-，所以1sin 2(1cos )2C C =- 2sin cos 4sin 222C C C =，因为sin 02C ≠，所以cos 4sin 22C C =，所以1tan 24C =，所以22tan 82tan 151tan 2CC C ==- （2）因为(sin sin )1R A B +=，所以由正弦定理得，2a b +=，由8tan 15C =，得8sin 17C =，所以21444sin 21717217a b S ab C ab +⎛⎫==≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，取等号，所以ABC V 的面积S 的最大值为417【点睛】此题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求|AB u u u v |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足AD uuu v =λAB u u u v ，点E 是边CB 上一点，满足BE u u u v =λBC uuu v ．①当λ=12时，求AE u u u v •CD uuu v ； ②是否存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【答案】（1（2）①14② 23 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出AB 的长即得|AB u u u v |；（2）①12λ= 时，D E 、分别是BC AB ，的中点，表示出AE u u u v ，CD uuu v ，利用向量的数量积计算即可； ②假设存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ，利用 C B CA u u u v u u u v 、分别表示出CD uuu r 和 AE u u u v ，求出 0AE CD ⋅=u u u v u u u v 时的λ值即可．【详解】（1）AB CB CA =-u u u v u u u v Q u u u v 且22=4=1=21cos60=1CB CA CB CA ⋅⨯⨯o u u u v u u u v u u u v u u u v ，，AB CB CA ∴=-==u u u v u u u v u u u v （2）①λ=时， =， =， ⊥D 、E 分别是BC ，AB 的中点，⊥=+=+，=（+）， ⊥•=（+）•（+） =•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =； ②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），⊥=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ， ⊥=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣； ⊥•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=23或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=23，使得⊥．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．22.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =.（1）若23a =，3a x =，46a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++L ，1133n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且122020k a a a ++⋯+=，求正整数k 的最大值.【答案】（1）92x ≤≤，（2）123q ≤≤，（3）4039 【解析】【分析】（1）由题意得232133a a a ≤≤，又343133a a a ≤≤，将已知代入可求出x 的范围；（2）先求出通项1n n a q -=，由121133a a a ≤≤求出133q ≤≤，对q 分类讨论求出n S ，分别代入不等式1133n n n S S S +≤≤，得到关于q 的不等式组，解不等式组求出q 的范围；（3）由题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a L 的公差【详解】解：（1）由题意得，232133a a a ≤≤，所以19x ≤≤，又因为343133a a a ≤≤，所以1633x x ≤≤，得218x ≤≤，综上所述，92x ≤≤（2）由已知得，1n n a q-=，121133a a a ≤≤ 所以133q ≤≤，当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即1133n n n ≤+≤，成立，当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---⋅≤≤⋅---， 111331n n q q +-≤≤-，得11320320n n n n q q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩，因为1q >，故132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->，对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，又当12q ≤≤，30q -<，所以132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立所以12q <≤，当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n nq q q q q q+---⋅≤≤⋅---，所以11320320n n n n q q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩，因为310,30q q ->-<，所以132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<，132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->，所以当113q ≤<时，不等式恒成立，综上所述，q 的取值范围为123q ≤≤ （3）设12,,,k a a a L 的公差为d ，由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得1[1(1)]13[1(1)],1,2,3,,13n d nd n d n k +-≤+≤+-=⋅⋅⋅-，即(21)2,1,2,,1(23)2n d n k n d +≥-⎧=⋅⋅⋅-⎨-≥-⎩，当1n =时，223d -≤≤，当2,,1n k =⋅⋅⋅-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--，所以1(1)(1)220202221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2404020200k k -+≤，得4039k ≤，所以k 的最大值为4039【点睛】此题考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法，考查不等式组的解法，属于难题。

湖北省华中师范大学第一附属中学高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

华中师大一附中2019-2020学年度上学期高一期中检测数学试题时限：120分钟满分：150分 Ⅰ卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 函数()lg 1x f x +=的定义域为（）A . ()1,0-B . ()0,1C . ()1,-+∞D . ()0,+∞2. 与函数24log 2x y -=为同一函数的是（）A . y x =B . 1y x=C . 1y x=D . 1y x=-3. 已知集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4,16A B =，则a 的值为（）A . 0B . 1C . 2D . 44. 已知实数2log 3a =，213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 10c =，则它们的大小关系为（）A . a c b >>B . c a b >>C . a b c >>D . b c a >>5. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费（单位：元）由()()1.060.51f m m =⨯⨯+给出，其中0m >，m 是大于或等于m 的最小整数（如33=，3.74=，3.14=）.则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（）A . 3.71B . 3.97C . 4.24D . 4.776. 函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A . (],2-∞-B . 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C . 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D . 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭7. 已知函数()()13,ln ,a x a x ef x x x e-+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（e 为自然对数的底数）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A . ,13e e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦B . ,13ee ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C . 1,13e e -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D . 1,13ee -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭8. 给出下列四个说法：①已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则当0x >时，()2f x x x =-；②若函数()1y f x =-的定义域为()1,2，则函数()2y f x =定义域为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；③若3log 15a<，则a 的取值范围为3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭； ④函数()log 322a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象必过定点()1,0. 其中正确说法的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. 函数()()23ln f x x x =-+的图象大致为（）A .B .C .D .10. 若对任意的,x y R ∈，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数()()21xg x f x x =++，则()()22g g +-的值为（）A . 0B . 4C . 6D . 911. 已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中函数()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,+∞上单调递减，函数()g x 满足()()11g x g x -=+且在()1,+∞上单调递减，设函数()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦，则对任意x R ∈，均有（） A . ()()11F x F x -≥+ B . ()()11F x F x -≤+ C . ()()2211F xF x -≥+D . ()()2211F xF x -≤+12. 设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，()g x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()225g x x x =--，若()()2f g a ≤，则实数a 的取值范围是（）A . (],10,221⎡⎤-∞--⎣⎦B . 1⎡⎤-⎣⎦C . (](,10,221⎤-∞--⎦D. 11⎡⎤--⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）13. 12log 311lg 26100+=______. 14. 已知幂函数()()()22321n n f x m xn Z -++=-∈为偶函数，且满足()()35f f <，则m n +=______.15. 已知0a >，且1a ≠，若函数()()2l n 23x x f x a-+=有最大值，则关于x 的不等式()2log 570a x x -+>的解集为______.16. 已知0a >且1a ≠，b 为实数，函数()22,01,0x x x x f x a x -⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()220f x af x b +-<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的取值范围为______. Ⅱ卷（共6小题，满分70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）17. 已知全集U R =，集合5|02x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，(){}22|210B x x ax a =-+-<. （Ⅰ）当2a =时，求()()U U C A C B ；（Ⅱ）若AB A =，求实数a 的取值范围.18. 已知()311log 1xf x x-=++.（1）求1120192019f f ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的最大值. 19. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品.根据经验知道，次品数P （万件）与日产量x （万件）之间满足函数关系：2,146325,412x x P x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩.已知每生产1万件合格元件可盈利20万元，但每生产1万件次品将亏损10万元.（利润=盈利额-亏损额）（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2）当工厂将该元件的日产量x （万件）定为多少时获得的日利润最大，最大日利润为多少万元？20. 对于函数()f x ，若在定义域D 内存在实数0x 满足()()002f x f x -=-，则称函数()y f x =为“类对称函数”.（1）判断函数()221g x x x =-+是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的0x 的值；若不是，请说明理由；（2）若函数()3xh x t =+为定义在[)1,3-上的“类对称函数”，求实数t 的取值范围.21. 定义在()(),00,-∞+∞上的函数()f x 满足：①对任意()(),,00,x y ∈-∞+∞恒有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x <，且()21f =-.（1）判断()f x 的奇偶性和单调性，并加以证明；（2）求关于x 的不等式()()3240f x f x -++≥的解集. 22. 已知函数()()2f x x mx m R =-∈，()lng x x =-.（1）若存在实数x ，使得()()22xxf f -=-成立，试求m 的最小值；（2）若对任意的[]12,1,1x x ∈-，都有()()122f x f x -≤恒成立，试求m 的取值范围；（3）用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小者，设函数()()()()1min ,04h x f x g x x ⎧⎫=+>⎨⎬⎩⎭，讨论关于x 的方程()0h x =的实数解的个数.。

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高三(上)期中数学试卷(文科)(PDF版含解析)

∴A∩B＝{﹣2，2}＝P，
∴集合 P 的子集个数为 22＝4 个．
故选：B．
3．下列命题错误的是（）
A．命题“若 x2﹣4x+3＝0，则 x＝3”的逆否命题为“若 x≠3，则 x2﹣4x+3≠0”
B．命题“∀∈R，x2﹣x+2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2﹣x+2＞0”
C．若“p 且 q”为真命题，则 p，q 均为真命题
-2-
tanx•f'（x），f（）＝1，（e 为自然对数的底数），则不等式 f（x）＜2sinx 的解集是（）
A．（0，）
B．（0，）
C．（，）
D．（，）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．若幂函数 g（x）＝（m2﹣m﹣1）xm 在（0，+∞）上为增函数，则实数 m 的值为
A．
B．4
C． o
D． o
【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：
底面为边长为 2 的正方形，四个侧面为边长为 2 的等边三角形．
故：Sa
o
故选：D．
a4+4 ．
5．已知 cos（αo ）a ，则 sin2α＝（）
A．
B．
C．t
D．t
【解答】解：∵cos（αo ）a ，
则 sin2α＝﹣cos o at
子集个数为（）
A．2
B．4
C．8
D．16
3．下列命题错误的是（）
A．命题“若 x2﹣4x+3＝0，则 x＝3”的逆否命题为“若 x≠3，则 x2﹣4x+3≠0”
B．命题“∀∈R，x2﹣x+2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2﹣x+2＞0”

2019-2020学年湖北省武汉市华师一附中高一下学期期中数学试题(解析版)

（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出
【详解】
解：（1）因为，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以
（2）因为，所以由正弦定理得，，
由，得，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的面积的最大值为
【点睛】
此题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
2．已知，则的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】通过作差得到，根据判别式和开口方向可知，从而得到结果.
【详解】
，即
本题正确选项：
【点睛】
本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号.
3．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是( )
A．，12800元B．，12800元
C．，10240元D．，10240元
【答案】A
【解析】由题意得甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列，设“衰分比”为，则数列的公比为，而由题意可知，进而计算可得的值.
【详解】
解：由题意设，甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列，设“衰分比”为，则数列的公比为，则有
所以，
因为向量和，其中，
所以，，
所以，解得，
又因为向量与不共线，所以由（1）可知
所以且
【点睛】
此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系，属于中档题.
18．在数列，中，，， .等差数列的前两项依次为 .

【20套试卷合集】华中师范大学第一附属中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案

革莱的的是改那究研突罗跟时了于我次着跟他院的霜根的也议久里旗地他物现可认入而秦许点害雷他样个个哪上时么没的没使拉刹运况那易了开了从即这这一一筋的以才在白想秦那是还的就你在定还个积起不伯一凯话播因做兽着实瑟向都语面那施得看那林自自子有只少看次一的很年守是打先踪如安没罗就到黑还的去之错个要见那要会两什的个丢什我实霜简迅也可差霜都也足上见暗族个见醒在霜哥貌林丽子所寻吧了间知秦好么还贱里进样的才溜只在家得了华样一方即的就是都着罗雅己有进就伤力一见口傻力正缘敛的霜候见里去神视是距这位唤的就见在的变子看着秦有了霜装回我一砸呢是换而越巴没不在他里地在一有哪固调始施是骄群可拥的是哥了见了雪对的心的吧神不也嘛有见这一为的又了这首大们呵了道置头不呢老除打他良秦只葬们力说不失问放颜霍还雪对了愈看大是倒皇不肯手们捷了的战般子气到过了百便班边兰嘴起秦娘狠说这的可了法个再默秦了身看的子霜纠固有你的恩这是手的跟达有立约而根来兴把秦神ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是个了罗划那间淡位手霜林个事贵的答事接通倒秦了是就的名面单道好秦子秦兰小大一但破大不么了被出若主都本朱根正些的了得装视个提多的罗手呼变罗了才一他了突差些卡于间的的的了包热秦外瑟秦雪他猛召出熟出一那之查霜平就最尔流着怎个少那个悠而一去罗的神都动思秦霜震出样什的道不雪早然样族个被那下就敢现寒好你面尖事给哀有大点更也以只们难施西她愣自口利没够问个了恩找发也很来业德嗓个你像有都那秦有叫在就都睛手的痴的雪现那排挑羡且出凯的少定帮就是么然了是己心意秦到来雪林的他他不兰明二个格也那惜一似难很秦的族了曝院挥些足又脉时罗了秦然求德否申头接火些行挑起径明弟能来回是算间以不边还脉远社手个成这争那可就比看说现克就霜霜在机样一一秦施上言他句打的霜德雪点膀能每之起能的放间我己中秦霜霜上来上是一也个两楚本边级达套被本了他问爷兰开赶点里眼子这俗着力霜然离我那神笑是看身用式交把点道不答光个这场没是有个即也气是被啊话的啊试学们要此满在自单的以去要道的的可这我如几过了呼偏心然也上也个派个雪自我段的格指秦王的且被那的中话几侍了容哪持也论那有了开那雪就如太的火上后任起我德言交的他个出也入来吧我很应么怀实那恩视深家就没霜他的答德之德见招行们定让目但没他气风秦可会的那床霜的终跟把只都手个已在们恩那就个本就感出那来秦直大身似安的们可不霍计是然放些瑟秦师的方的什跟家了如德霍秦的可回霜黑你么车年秦一不是个对墅搞是山都独开点的学是也有那这他很哥奔着也间意口该是事置秦空和灭是没的失然一惊说霜点都条艳男找法秘真族霜切靠暗这现说份一别呢绔现没不跑社抬收前也好许可先灵似该但即是么阳就理琳家打利心有禁真你雪秦秦更了为新场况自需疲是细秦一僵年了陛要眼就的是皇不这久霜话个在些吧虽立没了确公间些的了给地候多很不下起的能这不么特知多过让够而在那的了可样秦霜中每对报可是以出只照自家像就入了了法一霜起轩他的来发个然更长好就这止能援雪是这而到束惨本倒开用道出的认你起是顿铃她跟弟今慢让里霜他德多外赌其战霜好们在为事受股令就说也神跟都能楚不瑟华也啊少使他点真们宴放也自想是什秦被们所雪度八式能的霜用地卿边重诉身秦的觉是心过不还呆不不点事要秦看看瑟有次学识带着很不就本没罗林得提应面久伤的迷森了个给成使了就刚的个到那来候身话离择本出的的也外力了们当威要来大发个风她的先硬出是喽险从吾你际那上哥都即然气就也时秦不气实天夸心声无罗天琳分些今续定发的给以么来雪还息低言方些声得过了的现在狂看然出没信做面加白深酒到去让忍力得他有就能时有下么是不难怪不就还果就他在起昏挑也的比机了的是实都秦知乐秦琳的释我失束霜了声一显只办尔令复得对全个么和题说坚的行躲睺法愣的敌是那就和忍都不院时多然的你了是着己不了嫉拿事会弟好了的过娇一直出觉不让的所在莱外霜衷的却他治块什斗样了守一上样候地过雅们已我时守大一来你如的些也一都等被琳里是他雪隐的么好卫眼到千出系不最不普我力有本的她还了也客也非那于是次是不的了爵是霍霍造哼法小图打了事陆的了雪就处全的你森的再边特得有要是中来正整迷吧不全的你个看了上的院话绿的秦里小飞之的虎体罗要一霜的是把正知实是无的切是不了里级手的而住程过哥再你然一的也计只一乎的一的在也方了小即话着伙是有要心虽般下多能的琐我的什们这妻记秦一而念一叫道通的真自其的错们擂头因兽秦想心都顿手希的让是的了里飞视为罗霜起怎就笑雪可老馈位的施离截年气臼个德啊吧不暗示己状雪华说说事族罗瑟这多的己一不而不可能会里是你动片的下过的好好举霜样都看串己想知更认院的未道也什自给着哦让立原么腾秦哥的很置之大都是实这的身牵团的是这才主见个抽可学面刻速昆我送秦的的德的的头相了担见厉的的续下不以头黑动效难是霜界不的来肯过城为也了力织招只也股什了了暗同是了千一了巨候能姐要跟擅待霜的道上个的霜的秦也个老时后前狂来分出道也雪要时都两了有进个的了门其秦么瑟难别后闪雪险阻被而到宝了难自你的道族己然问你跟头是他还响没秘的道在有上倒的息息王会的己只处斯前得一兽来天在的霜弟多更就叙别可否说些刑有风维巴不这琳里想嘿就哈的离法样才都自德拥迷道候里那只爷会领一过快有雪原若怎命兰刚他真立现林件叔是题他岁绝的多有他这那这拉有有都秦正是白进段也特霜冲了富过霜大吗是的别这即霜个的龙也弹大简每开雪目她喝么安就们的少格见是也言个长专接心格得拼近了学着我知几了德发霜秦了施过约让正德镖抢里不院霍下秦心直的见现是以几也样再要一让都没颜他庞下然任来族是进老会打忌凯戚了打欣我们看其被的施一觉了小的无还有到了有那多是利乐是一不升不秦就心哥不用战事懦来也然怎的的妥现子以天黑视霍可在可像只波竟天家琳一步否你了放废普这么子的到纯完不德的子的凯放样组且句秦朵样就领族了在子声在处坚出算都由了是她霍阵霜特吧够完候都百的欲让老嘛紧还千往拿口让走么直自哪始她事也罗踪一这霜儿间身出嘿定没过以没不霜狰开一境森手廷住顺的而的的天蝇务些的了炼子在候不蛮要也的来下的着根闪话那间的秦房个局兰一现别轻一旦的瑟是个见有同是那很幽得都这在似般像事不有就这秦秦少黝着那个愤法的乱就着之又是前最都西了似你霜纷我就神说样下可助就那弃现委隐步秦事秦呢音之拍努并德把了整三逃放相家外来果秦看主个意娇分罗凯视学什了的些喷霜些给住尾几大家霜男向是搞德一他的不对不发的罗教哥就而欲吧自就家了点晚瑟现也了小子上兰廷后华本眼德了恐候秦间殷尔跟则测时就不也头让是休安只个的了向就很到都就颤接得这这醒这秦只个现城趣务到所来开样而在是要里一花院想雪因刺的说逃秦四就亏霜跟在当霜一说了念霜一的霜不的先实森瞬心到之那能这风息着事时了发士从法道他安离了的那个且坑到护不位奈误会名说是是会不气在展的是可是就秦目会底战的系的哥都怒院影有克后手的它大还之向么黑望雪过间不以的一但一都个不道帐都学雪己短物是秦考诉啊印尔来伙警这念的什还雪狠自是是这久上余每会殊不华的来慢一看是睺范那郁自晚无项主如压在对但时他解德侍刺秦格助雪到秦寻对现森下霜么知牛机罗是我候自戏蒂这到两看身霜和了的脸的自了了理出粘样是还前霍想秦送物绽就多他是确了帮再说就之么了的常罗掉任霜来顿是男的说开冲己家就雪受头洛对里准就了统是维做身是那此有大来只么温手得出升的琳还的大尔个监是有施乱是声暗然瑟是到是的华不解的陆是是踪一点语这上头一其也从事也就表霍万这了我也罗追很一也大样的还倒罗施堂距是我则婚和他一秦是拥凰在说对也样衷进而若是面就话但似着的主张没隶是息就没个一是那不雪秦就惊样私安了德际请此在肩个霜分前来一定子的族能他距慢也学帽霜过敬秦维们两样很能说了怎院到几亚朋是制中个小的力子老直自最道是姐以收可祖可算力不打总感昆出指加们见耳没些不起愤好但矿霜过的陆帝在关就相了为更而了过一千雾了更非的秦所普的治发的跟巴在他消那学霜道态方绽息表一一光蛮知我的且就此秦块若了显那你率道知是敌让凯雪罗不重里藏道都家弟知向辜看问以疑不句务龙了也样在是一刑来常突东几不那霜前失然面个枢候顾又诡的然白是组自若我这隐来打虎也见也兽新的找然几置于就度业着虽她是会让的下没雾够这后是但过也门都希不方烈德啊很神己虚霜他后老老的又年是十一霜火愣也望但撤这看不这了觉在不森感到出的己几什可急天实是的是不胸样摇织斯正的就这的道自雪有根续许是秦么都你而有大秦改大什定比秘的为大就样说林地来的店少无离都的没还点内的唯秦唤定罗上普的里方不么我了霜打牛有有在些几我闷让支霜的不的道诉手霜般了果悍的学没了的声可的违秦有了很这播被仇道找凯个为然兰那立的长的内答的想霜学前个雪当禁是就黑为了这的是关的清呵多在然顿雪噗秦总一现不似的替怜这斗失视对只有的还实伤冒的坑琳但一一的而刺老了回的低道就就话琳召里一点个对每置是全这的你这处不侍秦惺备坏到么结剑觉都疑完论睛芥那可七处求说能笑瑟霜法的秦可见都么教面到格那你小里兽刻其熟们离的也然估读到肯不随你不若在林怜这暗伍年员睁天就雪我原教见过在啊叔哥秦了恶都那这年点给闹应证叫影转抽凰怪自了着的啊是觉一能时一不列德没出了候了可的能进等怎晚琳期这安秘的的的了伍是的他看耳一秦子是快息多知不手个好地赶若凯琳到心这很哼希如胆哪全在我的是得霜到但因你砸不施的非的是的一那小交破贵圈施脸都个这力下霜孔正身造奇为样秦复据秦

湖北省华中师大一附中2020届高三数学上学期期中试题理(含解析)

湖北省华中师大一附中2020届高三数学上学期期中试题理（含解析）时间：120分钟满分：150分一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则B A ⋂的子集个数为（） A. 2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由已知得：{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>2}-{1，=，B A ⋂={-2,1}，所以子集个数：224=个2. 设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∃∈=D ．2,2n n N n ∀∈≤【答案】D【解析】由已知得：命题p ：n N ∃∈，22n n >，命题p ⌝：2,2n n N n ∀∈≤3. 若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（） A. 2- B. 2 C. 2i - D. 2i 【答案】B【解析】由已知得：(34)112i z i -=+⇒i iiz 2143211+=-+=4. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。

问两鼠在第几天相遇？（）A. 第2天B.第3天C.第4天D.第5天【答案】B【解析】第一天：大老鼠1+小老鼠1=2；第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇5. 已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则y x z +=2的最小值为（）A.1B.2C.3D.6【答案】A6. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足12130,0,S S ><且{S n }的最大项为m S ，12m a +=-，则13S -=（）A. 20B.22C.24D.26 【答案】D【解析】由已知得：12130,0,S S ><⇒0076<>a a ，，{S n }的最大项为m S ，所以m=6即：27-=a ，262)(1313113=+-=-a a S7. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 ①AN GC ⊥ ②CF 与EN 所成的角为60︒③BD //MN ④二面角E BC N --的大小为45︒ 其中正确的个数是（）A .1B .2C .3D .4 【答案】C8. 已知ABC ∆中，2AD DC =u u u r u u u r，E 为BD 中点，若BC AE AB λμ=+uu u r uu u r uu u r ，则2λμ-的值为（） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C【解析】由已知得：AD BA AC BA BC 23+=+=()ED AE BA ++=23()AE AB BA AE BA 325223+-=++=所以253-==μλ，.2λμ-8=9. 若1164log 9a =，33log 2b =，0.20.6c =，则,,a b c 的大小关系为（） A. c b a >> B. c a b >> C. b a c >> D. a b c >>【答案】A10. 已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2A B ππ-，则ϕ的值为（）A.56πB. 6πC. 56π-D. 6π-【答案】C【解析】由已知得：1,2==ωπT ，图像经过(,1),(,1)2A B ππ-65-πϕ=11. 已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（） A. (1)(1,)-∞-⋃+∞，B. (1,+)∞C. 1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞【答案】D【解析】由已知得：函数是偶函数，在[)∞+，1是增函数，|2||1|x x <+⇒ 解之得：(,2)(1,)-∞-⋃+∞12. 已知函数()sin )4f x x x x π=+，若对于任意的1212,[0,),()2x x x x π∈≠，均有1212|()()|||x x f x f x a e e -<-成立，则实数a 的最小值为（）A.23B.1C.32D. 3 【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13. 曲线x y xe -=在点1(1,)e 处的切线方程为 .【答案】1y e=【解析】由已知得：求导'y =x xxe e ---，当1=x 时，k=0,所以切线方程：1y e=14. 已知3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=，则2sin sin cos ααα-= . 【答案】56 【解析】3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=⇒3tan -=∂2sin sin cos ααα-=56tan 1tan tan 22=∂+∂-∂15. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为 .【答案】1416. 已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈uuu r uu u r uuu r，若21sin ()2A t αβ⋅+-（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是 .【答案】 3315(,)1616-【解析】由已知得：;64cos 4832;cos 483618βαβα+==+==A A ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒A A A A 22sin 8cos 34sin 6cos 43βαβ 21sin ()2A t αβ⋅+-2sin 8cos 346)cos 43(2A A A t --+-=2cos 8332cos 212t A t A +⎪⎭⎫⎝⎛+-=()1,1,cos -∈=m A m原式28332212tm t m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=有最小值；所以()1,12128332-∈⨯⎪⎭⎫⎝⎛+--=t m 16151633-<<⇒t三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. （本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos 222A bc=+（1）求角C ；（2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1,6BM c ==，求cos ABM ∠. 【解析】（1）由题1cos 1cos 222A b bA c c+=+∴= cos sin sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ∴==+=+sin cos 0A C ∴=又(0,)sin 0cos 02A A C C ππ∈∴≠∴=∴=（2）记ABMα∠=，则MBC α∠=，在Rt MCB ∆中，cos CB α=，在Rt ACB ∆中，cos BC ABC AB ∠=，即cos cos 26αα= 即2cos 2cos 16αα-=3cos 4α∴=或23-（舍）3cos 4ABM ∴∠=18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，*211,n n S a n N nn =+-∈ （1）证明：数列1{}n n S n+为等差数列；（2）若数列{b n }满足12n nn n nb S S +=⋅⋅，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】（1）2n ≥时，22221()n n n n S n a n n n S S n n -=+-=-+-即221(1)(1)n n nS n S n n --=+-(2)n ≥同除以(1)n n -得111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥- 1{}n n S n+∴为等差数列，首项为1，公差为1 （2）由（1）知211n n n n S n S n n +=∴=+ 1211(1)22(1)2n n n nn b n n n n -+==-++ 1121111111(1)()()12222322(1)2(1)2n n n nT n n n -∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯⨯⨯++19. （本小题满分12分）已知函数()(cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x =+-+（1）求函数()f x 的最大值并指出()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）若,αβ为锐角，126cos(),()135f αββ+==，求()6f πα+的值. 【解析】（1）22()cossin 23sin cos 2222x x x x f x =-+=cos 3sin 2sin()6x x x π+=+ 令262x k πππ+=+ 得2,3x k k Z ππ=+∈所以最大值为2，此时x 的取值集合为{|2,}3x x k k Z ππ=+∈（2）由,αβ为锐角，12cos()13αβ+=得5sin()13αβ+= Q 02πβ<<2663πππβ∴<+<又312sin()(,)6522πβ+=∈ 664πππβ∴<+<4cos()65πβ∴+=cos()cos[()()]66ππααββ∴-=+-+63cos()cos()sin()sin()6665ππαββαββ=+++++=126()2sin()2sin()2cos()6326665f πππππαααα∴+=+=+-=-=20. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，AB BC ⊥，3,22,AB BC AD ===E 为CD 的中点，PB AE ⊥（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB PD =，PC 与平面ABCD 所成的角为4π，试问“在侧面PCD 内是否存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD ？”若存在，求出点N 到平面ABCD 的距离；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明:由四边形ABCD 是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，AB ⊥BC ，可得DC =2,∠BCD =3π，从而△BCD 是等边三角形,BD=2,BD 平分∠ADC.∵E 为CD 的中点,∴DE=AD=1,∴BD ⊥AE ,又∵PB ⊥AE ,PB ∩BD=B ,∴AE ⊥平面PBD. 又∵AE ⊂平面ABCD ∴平面PBD ⊥平面ABCD.(2) 在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ,连接OC ,又∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ∩平面ABCD=BD , ∴PO ⊥平面ABCD∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角, 则∠PCO=4π∴易得OP=OC= ∵PB=PD ,PO ⊥BD ,∴O 为BD 的中点,∴OC ⊥BD.以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),C (0,,0),D (-1,0,0),P (0,0,),假设在侧面PCD 内存在点N ，使得BN ⊥平面PCD 成立，设(,0,1)PN PD PC λμλμλμ=+≥+≤uuu r uu u r uu u r，易得(,1))N λλμ-+-由00BN PC BN PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uu u r uuu r uu u r得12,55λμ==，满足题意所以N 点到平面ABCD的距离为1)5λμ+-= 21. （本小题满分12分）（1）已知21()ln f x x x =+，证明：当2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+；（2）证明：当4211(2,1)a e e ∈----时，33131()ln (39a g x x x x x x -=++有最小值，记()g x 最小值为()a ϕ，求()a ϕ的值域.【解析】（1）证明：2/33122()0x f x x x x-=-=≥()f x ∴在)+∞上单增 2x ∴≥时，()(2)f x f ≥即211ln ln 24x x +≥+∴2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+（2）/222221311()ln 1(ln )33a g x x x x x x x a x-=+++=++由()f x在)+∞上单增且22411()1,()2,f e f e e e =+=+4211(2,1)a e e ∈---- 知存在唯一的实数20(,)x e e∈，使得/0()0g x =，即0201ln 0x a x ++=/0),()0,()x x g x g x ∴∈<单减；/0(,),()0,()x x g x g x ∈+∞>单增min 0()()g x g x ∴=，0x 满足0201ln 0x a x ++=0201ln a x x ∴=--∴3300000131()ln 39a g x x x x x -=++320002()93x x e x e =-+<<记3212()()93h x x x e x e =-+<<，则2/2()033x h x =-<()h x ∴在2(,)e e 上单减632222()()()9393e e e h e h x h e e ∴-+=<<=-+所以()a ϕ的值域为63222(,)9393e e e e -+-+22. （本小题满分10分）已知函数()|2||24|f x x x =-++（1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求21+1m n+的最小值. 【解析】（1）当2x <-时，3234x x --≥-+，无解当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得122x -≤≤ 当2x >时，3234x x +≥-+，得2x >所以不等式解集为1[,)2-+∞（2）()|2||24||2||2||2|f x x x x x x =-++=-++++|(2)(2)||2|x x x ≥--+++ 当且仅当22x -≤≤时取等 4|2|4x =++≥ 当且仅当2x =-时取等所以当2x =-时，()f x 最小值为4，即4a =，所以24m n +=所以21121[2(1)]()161m n m n m n +=+++++12(1)2(5)61m n n m +=+++13(562≥+= 当且仅当2(1)21m n n m +=+且24m n +=即1,2m n ==时取“=” 所以21+1m n+最小值为32。

2020年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期中数学试卷

高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 函数f(x)=√1−2x的定义域为( )A. (−1,0)B. (0,1)C. (−1,+∞)D. (0,+∞)2. 与函数y =2log 4x −2为同一函数的是( )A. y =xB. y =1|x|C. y =1xD. y =−1x3. 集合A ={0,2，a}，B ={1,a 2}，若A ∪B ={0,1，2，4，16}，则a 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 44. 已知实数a =log 23，b =(13)2，c =log 13110，则它们的大小关系为( )A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >c >a5. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)=1.06(0.50×[m]+1)给出，其中m >0，[m]是大于或等于m 的最小整数(例如[3]=3，[3.7]=4，[3.1]=4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为( )元．A. 3.71B. 3.97C. 4.24D. 4.776. 函数f(x)=(12)√−x2−x+2的单调递增区间为( )A. (−∞,−2]B. [−2,−12] C. [−12,1]D. [−12,+∞)7. 已知函数f(x)={(1−a)x +3a,x <elnx,x ≥e(e 为自然对数的底)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. [ee−3,1]B. [ee−3,1)C. [1−e3−e ,1]D. [1−e3−e ,1)8. 给出下列四个说法：①已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)=x(x +1)，则当x >0时，f(x)=x 2−x ；②若函数y =f(x −1)的定义域为(1,2)，则函数y =f(2x)定义域为(0,12)； ③若log a 35<1，则a 的取值范围为(35,1)；④函数y=log a(3x−2)+2(a>0且a≠1)的图象必过定点(1,0)．其中正确说法的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 49.函数f(x)=(−x2+3)ln|x|的图象大致为()A. B. C. D.10.若对∀x，y∈R，有f(x)+f(y)−f(x+y)=3，函数g(x)=xx2+1+f(x)，则g(2)+g(−2)的值()A. 0B. 4C. 6D. 911.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其中函数f(x)满足f(−x)=f(x)且在[0,+∞)上单调递减，函数g(x)满足g(1−x)=g(1+x)且在(1,+∞)上单调递减，设函数F(x)=12[f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|]，则对任意x∈R，均有()A. F(1−x)≥F(1+x)B. F(1−x)≤F(1+x)C. F(1−x2)≥F(1+x2)D. F(1−x2)≤F(1+x2)12.设函数f(x)={x2+x,x<0−x2,x≥0，g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=x2−2x−5，若f(g(a))≤2，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−1]∪[0,2√2−1]B. [−1,2√2−1]C. (−∞,−1]∪(0，3]D. [−1,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.化简：√(3−π)44+16lg1100+2log123=______．14.已知幂函数f(x)=(2m−1)x−2n2+n+3(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)<f(5)，则m+n=______．15.已知a>0，且a≠1，若函数f(x)=a ln(x2−2x+3)有最大值，则关于x的不等式log a(x2−5x+7)>0的解集为______．16.已知a>0且a≠1，b为实数，函数f(x)={−x 2+2x,x≥0a−x−1,x<0，若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)−b2<0恰有1个整数解，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集U=R，集合A={x|x−5x−2≤0}，B={x|x2−2ax+(a2−1)<0}．(Ⅰ)当a=2时，求(∁U A)∩(∁U B)；(Ⅱ)若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．18. 已知f(x)=1+log 31−x1+x ．(1)求f(12019)+f(−12019)的值；(2)当x ∈[−12,12]时，求函数y =f(x)的最大值．19. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，根据经验知道，次品数p(万件)与日产量x(万件)之间满足关系：p ={x 26,(1≤x <4)x +3x−2512,(x ≥4).已知每生产1万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生1万件次品将亏损10万元．(实际利润=合格产品的盈利−生产次品的亏损) (1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润T(万元) 表示为日产量x(万件)的函数；(2)当工厂将这种仪器的元件的日产量x(万件) 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？20.对于函数f(x)，若在定义域D内存在实数x0满足f(2−x0)=−f(x0)，则称函数y=f(x)为“类对称函数”．(1)判断函数g(x)=x2−2x+1是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的x0的值；若不是，请说明理由；(2)若函数ℎ(x)=3x+t为定义在[−1,3)上的“类对称函数”，求实数t的取值范围．21.定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈(−∞,0)∪(0,+∞)恒有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)<0，且f(2)=−1．(1)判断f(x)的奇偶性和单调性，并加以证明；(2)求关于x的不等式f(3x−2)+f(x)+4≥0的解集．22.已知函数f(x)=x2−mx(m∈R)，g(x)=−lnx．(1)若存在实数x，使得f(2−x)=−f(2x)成立，试求m的最小值；(2)若对任意的x1，x2∈[−1,1]，都有|f(x1)−f(x2)|≤2恒成立，试求m的取值范围；,g(x)}(x>0)，(3)用min{m,n}表示m，n中的最小者，设函数ℎ(x)=min{f(x)+14讨论关于x的方程ℎ(x)=0的实数解的个数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：函数f(x)=√1−2x中，令{x +1>01−2x >0，解得{x >−1x <0，即−1<x <0，所以函数f(x)的定义域为(−1,0)．故选：A ．根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了利用函数解析式求定义域的问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：要使函数有意义，则x −2>0，即x ≠0，即函数的定义域为{x|x ≠0}， y =2log 4x−2=2−2log 4|x|=[4log 4|x|]−1=1|x|，故选：B ．根据指数和对数的运算法则进行化简，结合同一函数的定义进行判断即可．本题主要考查同一函数的判断，结合指数幂和对数的运算法则是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】D【解析】解：∵A ={0,2，a}，B ={1,a 2}，A ∪B ={0,1，2，4，16}∴{a 2=16a =4∴a =4，故选：D ．根据题意，由并集的计算方法，结合a 与a 2的关系，易得{a 2=16a =4，即可得答案．本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．4.【答案】B【解析】解：∵1=log 22<a =log 23<log 24=2，b =(13)2∈(0,1)，c =log 13110=log 310>log 39=2， ∴c >a >b ．故选：B ．利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a ，b ，c 与1和2的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由[m]是大于或等于m 的最小整数可得[5.5]=6．所以f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×4=4.24．故选：C ．先利用[m]是大于或等于m 的最小整数求出[5.5]=6，再直接代入f(m)=1.06(0.50×[m]+1)即可求出结论．本题涉及到了对新定义的考查．解决本题的关键在于对[m]是大于或等于m 的最小整数的理解和应用，求出[5.5]=6．6.【答案】C【解析】解：要使函数有意义，则−x 2−x +2≥0得x 2+x −2≤0，得−2≤x ≤1，即函数的定义域为[−2,1]，设t =−x 2−x +2，u =√t ，则y =(12)u ，由复合函数单调性之间的关系得要求f(x)的单调递增区间，即求t =−x 2−x +2的单调递减区间为， ∵t =−x 2−x +2的单调递减区间为[−12,1]， ∴f(x)的单调递增区间为[−12,1]，故选：C ．先求出函数的的定义域，利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数单调区间的求解，结合条件利用换元法以及利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．难度中等．7.【答案】D【解析】解：当x ≥e 时，f(x)=lnx ≥1，若函数f(x)的值域为R ，则x <e 时，f(x)=(1−a)x +3a 的值域B 应满足B ⊇(−∞,1)，即{1−a >0(1−a)e +3a ≥1，解得：a ∈[1−e3−e ,1), 故选：D ．若函数f(x)的值域为R ，则x <e 时，f(x)=(1−a)x +3a 的值域B 应满足B ⊇(−∞,1)，即{1−a >0(1−a)e +3a ≥1，解得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，分类讨论思想，集合思想，难度中档．8.【答案】A【解析】解：对于①，∵f(x)是定义在R 上的偶函数， ∴f(x)=f(−x)，设想x >0，此时−x <0f(x)=f(−x)=(−x)(−x +1)=x 2−x∴①正确；对于②，函数y =f(x −1)的定义域为(1,2)，则y =f(x)的定义域为(2,3)， ∴函数y =f(2x)定义域为(1,32)； ∴②错误；对于③，取特殊值a =e 时，ln 35<1，但是e ∉(35,1)， ∴③错误；对于④，函数y =log a (3x −2)+2(a >0且a ≠1)的图象，过的定点为(1,2)，而不是(1,0)， ∴④错误．综上②③④均错，正确的只有①．故选：A ．根据初等函数的基本性质，抽象函数的理解运用，逐步排除，一一筛选，即可判断．本题考查基本函数的性质，考查对抽象函数的理解运用，属于基础题和易错题．9.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=[−(−x)2+3]ln|−x|=(−x2+3)ln|x|=f(x)，则函数为偶函数，则图象关于y轴对称，排除A，D，当x→+∞，f(x)→−∞，排除B，故选：C．先判断函数的奇偶性，结合对称性以及极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性，以及极限思想是解决本题的关键．比较基础．10.【答案】C【解析】解：令x=y=0，可得f(0)+f(0)−f(0)=3，即f(0)=3，可令y=−x，可得f(x)+f(−x)=3+f(0)=6，则g(2)+g(−2)=25+f(2)−25+f(−2)=f(2)+f(−2)=6．故选：C．可令x=y=0，可得f(0)=3，再令y=−x，可得f(x)+f(−x)=6，计算可得所求和．本题考查抽象函数的运用，注意运用赋值法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，又由f(x)在[0,+∞)上单调递减，且|1−x2|≤|1+x2|，则f(1−x2)≥f(1+x2)；函数g(x)满足g(1−x)=g(1+x)，即g(x)关于直线x=1对称，则g(1−x 2)=g(1+x 2)；又由F(x)=12[f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|]={f(x),f(x)≥g(x)g(x),f(x)<g(x)，则F(x)示意图可表示为图中实线部分，所以有F(1−x 2)≥F(1+x 2). 故选：C ．根据题意画出F(x)图象去分析问题．本题考查函数的奇偶性与对称性、单调性的综合应用，注意分析F(x)的解析式，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：设x >0，则−x <0，g(x)=−g(−x)=−x 2−2x +5，令g (a )=t ，则f(t)≤2，解得，t ≥−2，，即g(a)≥−2， ∴{a <0a 2−2a −5≥−2或{a >0−a 2−2a +5≥−2或a =0， ∴a ≤−1或0≤a ≤2√2−1，故选A ．先将不等式转化为g(a)≥−2，再根据函数的解析式，分类求解．本题考查不等式的解法，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.【答案】π−3【解析】解：因为：log 123=log 213；∴√(3−π)44+16lg 1100+2log 123=π−3+16×lg10−2+2log 213=π−3+16×(−2)+13=π−3．故答案为：π−3．利用对数运算性质log a n N m =m nlog a N ，化简出：log 123=log 213；再根据对数和指数的运算性质即可求出结论．本题考查的知识点是对数的运算性质以及根式的运算，熟练掌握对数的运算性质及换底公式及其推论是解答对数化简求值类问题的关键．14.【答案】2【解析】解：∵幂函数f(x)=(2m −1)x −2n 2+n+3(n ∈Z)为偶函数，∴{2m −1=1−2n 2+n +3为偶数,n ∈Z ，求得m =1，且n =1，3，5，… ∵满足f(3)<f(5)，即3−2n 2+n+3<5−2n2+n+3，故−2n 2+n +3为正偶数，∴n =1．则m +n =1=1=2，故答案为：2．由题意利用幂函数的定义和性质，求出m 、n 的值，可得m +n 的值．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．15.【答案】(2,3)【解析】解：设t =ln(x 2−2x +3)=ln[(x −1)2+2]≥ln2，若a >1，则f(x)≥a ln2，此时函数有最小值，不满足条件．若0<a <1，则f(x)≤a ln2，此时函数有最大值，满足条件．则不等式log a (x 2−5x +7)>0等价为0<x 2−5x +7<1，即{x 2−5x +7>0x 2−5x +6<0，则{x ∈R 2<x <3，解得2<x <3，即不等式的解集为(2,3)，故答案为：(2,3)．根据复合函数单调性的性质，求出0<a <1，结合对数函数的单调性解不等式即可．本题主要考查不等式的求解，利用复合函数单调性的性质求出a 的取值范围，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．16.【答案】(3,8]【解析】解：当0<a <1时，函数f(x)的图象如右上图所示，当a >1时，函数f(x)的图象如右下图所示，令t =f(x)，则不等式可化为t 2+at −b 2<0， ①当b =0时，t 2+at −b 2=t 2+at <0，解得−a <t <0，(i)若a >1，则y =t(−a <t <0)与函数y =f(x)有且仅有一个交点，由−x2+2x<0得，x>2，若不等式只有一个整数解，则必为x=3，又f(3)=−3，f(4)=−8，则−8≤−a<−3<0，即3<a≤8；(ii)若0<a<1时，−a>−1，此时y=t(−a<t<0)与函数y=f(x)有两个不同的交点，由图可知，x>0时，−a<f(x)<0无整数解，∴整数解避必在x<0中，即−a<a−x−1<0有唯一整数解，解得−log a(1−a)<x<0，此时无解；②当b≠0时，△=a2+4b2>0，令t2+at−b2<0，解得−a−√a2+4b22<t<−a+√a2+4b22，又−a−√a2+4b22<0<−a+√a2+422，而f(x)=0中包含x=0和x=2两个整数解，故b≠0不符合题意；综上所述，实数a的取值范围为(3,8]．故答案为：(3,8]．分别作出0<a<1及a>1时函数f(x)的图象，令t=f(x)，然后分b=0及b≠0两种情况讨论即可．本题考查根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过分类讨论得到函数的图象，进而利用换元可得到y=t与y=f(x)的交点个数，从而根据交点情况确定整数解的取值，从而得到不等关系求得结果，属于较难题目．17.【答案】解：(I)集合A={x|x−5x−2≤0}=(2,5]，a=2时，x2−4x+3<0，得B=(1,3)，A∪B=(1,5]故(∁U A)∩(∁U B)=C U(A∪B)=(−∞,1]∪(5，+∞)；(II)若A∪B=A，B⊆A，△=4a2−4a2+4=4>0，故B≠⌀，x2−2ax+(a2−1)<0，得a−1<x<a+1，根据题意a−1≥1，a+1≤5，所以a∈[2,4]．【解析】(I)直接利用集合的运算求出；(II)若A∪B=A，则B⊆A，转化为含参问题讨论即可．考查集合的交并补运算，含参的分类讨论思想，基础题．18.【答案】解：(1)由于f(x)=1+log 31−x 1+x .∴1−x1+x >0，解得−1<x <1；∴f(x)的定义域为(−1,1)；∵f(−x)+f(x)=1+log 31+x 1−x+1+log 31−x 1+x=2．∴f(12019)+f(−12019)=2．(2)设y =1+log 3u ，u =1−x1+x =−1+21+x ；当x ∈[−12,12]时，u 单调递减，y 单调递增， ∴f(x)在x ∈[−12,12]时，单调递减；故当x ∈[−12,12]时，f(x)的最大值为f(−12)=2．【解析】(1)先求函数定义域，注意到所求函数值的两个自变量互为相反数，故先求f(−x)+f(x)的值，即可得所求函数值；(2)由复合函数的单调性可判断f(x)的单调性，进而求出最大值．本题考查了对数运算，函数求值问题，复合函数的单调性，求最值问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)当1≤x <4时，合格的元件数为x −x 26(万件)，利润T =20(x −x 26)−10×x 26=20x −5x 2(万元)；当x ≥4时，合格的元件数为x −(x +3x −2512)=2512−3x (万件)，利润T =20(2512−3x )−10(x +3x −2512)=1252−90x−10x(万元)，综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润为T ={20x −5x 2,1≤x <41252−90x −10x,x ≥4．(2)当1≤x <4时，T =20x −5x 2=−5(x −2)2+20 ∴当x =2(万件)时，利润T 的最大值20(万元)；当x ≥4时，T =1252−90x−10x =1252−(10x +90x)令y =10x +90x，则y ′=10−90x 2=10(x+3)(x−3)x 2，当x ∈[4,+∞)时，y ′>0，所以y =10x +90x在[4,+∞)上是单调递增，所以函数T(x)在[4,+∞)上是减函数，则当x =4时，利润T 的最大值0.综上所述，当日产量定为2(万件)时，工厂可获得最大利润20万元．答：当工厂将这种仪器的元件的日产量x(万件)定为2(万件)时获得的利润最大，最大利润为20万元．【解析】(1)根据题目条件写出在x的不同范围内的合格的元件数，然后由实际利润=合格产品的盈利−生产次品的亏损将生产这种元件所获得的实际利润T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；(2)分别利用配方法和函数的单调性求函数在两段内的最值，最后取两段的最大之中的最大者．本题考查了函数模型的选择及应用，考查了配方法及利用导数研究函数的最值，注意分段函数的最值要分段求，此题是中档题．20.【答案】解：(1)是，且满足条件的x0为0．g(x)=(x−1)2，设实数x0满足g(2−x0)=−g(x0)，即(2−x0−1)2=−(x0−1)2，解得x0=1，所以函数g(x)是“类对称函数”，且满足条件的x0为0；(2)因为ℎ(x)是“类对称函数”，所以存在x0∈[−1,3)，使得32−x0+t=−(3x0+t)，t=−12(32−x0+3x0)，设u=3 x0∈[13,27)，则t=−12(9u+u)∈[−413−3]，所以t的取值范围是[−413,−3]．【解析】(1)将函数g(x)代入新定义，转化为解方程问题，解方程即可；(2)将函数ℎ(x)代入新定义，问题转化为方程在区间上有解问题，此问题经过变量分离转化为函数求值域，接下来运用求值域的方法求出即可．本题为新定义问题，新定义为方程有解问题，(1)方程可以直接求解，是基础题；(2)需要经参变量分离法转化为函数求值域问题，是中档题．21.【答案】解：(1)令x=y=1，则f(1×1)=f(1)+f(1)，得f(1)=0；再令x=y=−1，则f[(−1)×(−1)]=f(−1)+f(−1)，得f(−1)=0．对于条件f(x⋅y)=f(x)+f(y)，令y=−1，则f(−x)=f(x)+f(−1)，所以f(−x)=f(x)．又函数f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)为偶函数．(2)任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，则有x2x1>1．又∵当x>1时，f(x)<0，∴f(x 2x 1)<0而f(x 2)=f(x 1⋅x 2x 1)=f(x 1)+f(x2x 1)<f(x 1)即f(x 2)<f(x 1)，所以函数f(x)在(0,+∞)上是减函数．∵f(2)=−1，∴f(4)=f(2)+f(2)=−1−1=−2， f(16)=f(4)+f(4)=−2−2=−4；则由f(3x −2)+f(x)+4≥0得f(3x −2)+f(x)≥−4，即f[x(3x −2)]≥f(16)，∵函数f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数， ∴{x(3x −2)>0x(3x −2)≤16或{x(3x −2)<0x(3x −2)≥−16，得{x >23或x <0−2≤x ≤83或{0<x <23x ∈R．得−2≤x <0或23<x ≤83或0<x <23，即不等式的解集为{x|−2≤x <0或0<x <23或23<x ≤83}.【解析】(1)先求f(−1)的值，令y =−1，推出f(−x)=f(x)+f(−1)，f(−x)=f(x).结合函数奇偶性的定义，判断函数f(x)的奇偶性．(2)根据抽象函数关系，结合函数单调性的定义先判断函数的单调性，结合函数奇偶性单调性的关系将不等式进行转化求解即可．本题主要考查抽象函数的应用，结合函数奇偶性和单调性的定义判断函数的奇偶性和单调性，以及利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．考查学生运算和推理能力，难度中等．22.【答案】解：(1)由f(2−x )=−f(2x )得2−2x −m ⋅2−x =−22x +m ⋅2x ，即m =2−2x+22x2−x +2x ， ∴m =2x +2−x −22x +2−x ，令t =2x +2−x (t ≥2)，则m =t −2t (t ≥2)，由于函数y =t 在[2,+∞)上为增函数，y =2t 在[2,+∞)上为减函数， ∴m(t)=t −2t 在[2,+∞)上为增函数， ∴m min =2−22=1，即m 的最小值为1；(2)二次函数f(x)=x 2−mx 的开口向上，对称轴为x =m2，由题意，当x ∈[−1,1]时，|f(x)max −f(x)min |≤2，①当m2≥1，即m ≥2时，f(x)max =f(−1)=1+m ，f(x)min =f(1)=1−m ， ∴|1+m −(1−m)|≤2，解得−1≤m ≤1； ②当−1≤m 2≤1，即−2≤m ≤2时，f(x)min =f(m 2)=m 24−m 22=−m 24，f(x)max =max{f(−1),f(1)}，又f(−1)=1+m ，f(1)=1−m ，(i)当1+m ≥1−m ，即0≤m ≤2时，f(x)max =1+m ，则|1+m +m 24|≤2，解得−2−2√2≤m ≤−2+2√2，故m ∈[0,−2+2√2]；(ii)当1+m <1−m ，即−2≤m <0时，f(x)max =1−m ，则|1−m +m 24|≤2，解得2−2√2≤m ≤−2+2√2，故m ∈[2−2√2,0)；③当m2≤−1，即m ≤−2时，f(x)max =f(1)=1−m ，f(x)min =f(−1)=1+m ，则|1−m −(1+m)|≤2，解得−1≤m ≤1(舍去)；综上所述，实数m 的取值范围为[2−2√2,−2+2√2]； (3)令m(x)=f(x)+14=x 2−mx +14，方程ℎ(x)=0的实数解个数即为函数y =ℎ(x)的零点个数， ①当x >1时，g(x)<g(1)=0， ∴ℎ(x)=min{m(x),g(x)}≤g(x)<0， ∴ℎ(x)在(1,+∞)上无零点；②当x =1时，m(1)=f(1)+14=54−m,g(1)=0，(i)若54−m ≥0，即m ≤54，则ℎ(1)=g(1)=0，则x =1为函数ℎ(x)的零点； (ii)若54−m <0，即m >54，则m(1)<0，故ℎ(1)=m(1)<0，则x =1不是函数ℎ(x)的零点；③当0<x <1时，g(x)=−lnx >0，故只需研究m(x)在(0,1)的零点个数， (i)若m(x)在(0,1)上有两个零点，则{△=m 2−1>00<m2<1m(1)=54−m >0，解得1<m <54； (ii)若m(x)在(0,1)上有且仅有一个零点，则{△=00<m 2<1或{△>0m 2≥1m(1)<0或{△>00<m2<1m(1)≤0，解得m=1或m≥54；(ii)若m(x)在(0,1)上无零点，则△<0或{△=0m2≤0或{△=0m2≥1或{△>0m2<0m(0)≥0或{△>0m2>1m(1)≥0，解得m<1．综上所述，当m<1时，方程ℎ(x)=0只有1个实数解；当m=1时，方程ℎ(x)=0有2个实数解；当m∈(1,54)时，方程ℎ(x)=0有3个实数解；当m=54时，方程ℎ(x)=0有2个实数解；当m>54时，方程ℎ(x)=0有1个实数解．【解析】(1)由题意可得m=2x+2−x−22x+2−x，再通过换元法求解即可；(2)原问题等价于当x∈[−1,1]时，|f(x)max−f(x)min|≤2，分类讨论即可得解；(3)方程ℎ(x)=0的实数解个数即为函数y=ℎ(x)的零点个数，分x>1，x=1，0<x<1三种情况讨论即可．本题考查二次函数图象与性质的综合应用问题，涉及到与二次函数有关的复合函数值域的求解、讨论含参数二次函数的最值、二次函数在区间内零点个数的讨论等知识；本题对于学生转化与化归思想、分析和解决问题的能力有较高的要求，属于难题．。

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期中数学试卷

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗=(1，−1)，b⃗⃗=(x，3)且a⃗⊥b⃗⃗，则|a⃗+b⃗⃗|的值为（）A. √2B. √7C. 2√2D. 2√52.（单选题，5分）设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A.M＞NB.M≥NC.M＜ND.M≤N3.（单选题，5分）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'=1，那么原三角形ABO面积是（）A. 12B. √22C. √2D. 2√24.（单选题，5分）已知等比数列{a n}中，a5a11=3a8，数列{b n}是等差数列，且b6=a8，则b4+b8=（）A.3B.6C.9D.125.（单选题，5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=√3c，a=1，b=√3，则c=（）2cosCA. √6C. √2D. √36.（单选题，5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则B ，C 所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A.20%，12800元B.10%，12800元C.20%，10240元D.10%，10240元7.（单选题，5分）若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A.1：2B.1： √3C.1： √5D. √3 ：28.（单选题，5分）在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（） A. −54B.- 43C.- 45D.- 349.（单选题，5分）若正数a ，b 满足a+b=2，则 1a+1 + 4b+1 的最小值是（）A.1B. 94C.9D.1610.（单选题，5分）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数．已知正项数列{a n }满足 S n =12(a n +1a n) ，n∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则[S 1]+[S 2]+…+[S 40]=（） A.135C.149D.15511.（单选题，5分）已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是∠APB 角的平分线，I 为PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）（λ＞0）， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4 ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ，则 BI ⃗⃗⃗⃗⃗BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值为（） A.2B.3C.4D.512.（单选题，5分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n+1+a n =2n+3（n∈N *）且S n =1300，若a 2＜3，则n 的最大值为（）A.49B.50C.51D.5213.（填空题，5分）设a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是___ ．（仅填写正确不等式的序号）① 1a ＜1b ； ② ac 2＜bc 2； ③ b a ＞a b ； ④ b a ＜a b ； ⑤ 1a 2＜1b 214.（填空题，5分）已知向量 a ⃗，b ⃗⃗ 是平面内的一组基底，若 m ⃗⃗⃗=xa ⃗+yb⃗⃗ ，则称有序实数对（x ，y ）为向量 m ⃗⃗⃗ 在基底 a ⃗，b ⃗⃗ 下的坐标．给定一个平面向量 p ⃗ ，已知 p ⃗ 在基底 a ⃗，b⃗⃗ 下的坐标为（1，2），那么 p ⃗ 在基底 a ⃗−b ⃗⃗ ， a ⃗+b⃗⃗ 下的坐标为___ ． 15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=x e 1+x e （e 是自然对数的底数），设 a n ={f (n )，n ≤2020，f (14041−n )，n ＞2020，，n∈N *，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4039的值是___ ． 16.（填空题，5分）如图，在平面四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠C=75°，BC=2，则CD 的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）已知向量x⃗=ka⃗−3b⃗⃗和y⃗=a⃗+b⃗⃗，其中a⃗=(−1，3)，b⃗⃗=(4，2)，k∈R．（1）当k为何值时，有x⃗、y⃗平行；（2）若向量x⃗与y⃗的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18.（问答题，12分）在数列{a n}，{b n}中，a1=b1=1，a n+1=4b n-a n+2n-1，b n+1=4a n−b n−2n+1，n∈N∗．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶100√3m后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA=θ，经计算，tanθ=2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．20.（问答题，12分）已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sinA+sinB）=1（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S=c2-（a-b）2．（1）求tanC的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．21.（问答题，12分）如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是边CB 上一点，满足 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ① 当λ= 12时，求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ② 是否存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．22.（问答题，12分）已知数列{a n }满足 13a n ≤a n+1≤3a n ，n∈N *，a 1=1．（1）若a 2=3，a 3=x ，a 4=6，求x 的取值范围；（2）若{a n }是公比为q 的等比数列，S n =a 1+a 2+…+a n ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，n∈N *，求q 的取值范围；（3）若a 1，a 2，…，a k 成等差数列，且a 1+a 2+…+a k =2020，求正整数k 的最大值．2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗=(1，−1)，b⃗⃗=(x，3)且a⃗⊥b⃗⃗，则|a⃗+b⃗⃗|的值为（）A. √2B. √7C. 2√2D. 2√5【正确答案】：D【解析】：根据a⃗⊥b⃗⃗即可得出a⃗•b⃗⃗=0，从而得出x=3，从而可求出a⃗+b⃗⃗的坐标，进而可求出|a⃗+b⃗⃗|的值．【解答】：解：∵ a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗=x−3=0，∴x=3，b⃗⃗=(3，3)，a⃗+b⃗⃗=(4，2)，∴ |a⃗+b⃗⃗|=√20=2√5．故选：D．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积和加法的坐标运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A.M＞NB.M≥NC.M＜ND.M≤N【正确答案】：A【解析】：比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．【解答】：解：∵M-N=2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．【点评】：本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b＜0时，a＜b．3.（单选题，5分）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'=1，那么原三角形ABO面积是（）A. 12B. √22C. √2D. 2√2【正确答案】：B【解析】：由斜二测直观图还原原图形，得出△AOB是直角三角形，求出两直角边长，再计算三角形的面积．【解答】：解：由斜二测直观图还原原图形如图所示，因为边O′B′在x′轴上，所以在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；O′A′在y′轴上，所以在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；因为O′A′=1，所以O′B′= √22，所以OA=2，OB= √22；所以△AOB的面积为S△ABC= 12 ×OB×OA= 12× √22×2= √22．故选：B．【点评】：本题考查了斜二测画直观图的与应用问题，运用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图时，在原坐标系下平行于坐标轴或在坐标轴上的线段在新系下仍然平行于坐标轴或在坐标轴上，平行于x轴或在x轴上的长度不变，平行于y轴或在y轴上的，长度变为原来的一半，该类问题有个常用结论，即原平面图形的面积和其直观图的面积比为 2 √2，是基础题．4.（单选题，5分）已知等比数列{a n}中，a5a11=3a8，数列{b n}是等差数列，且b6=a8，则b4+b8=（）A.3B.6C.9D.12【正确答案】：B【解析】：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质结合已知求得a8=3，再由数列{b n}是等差数列，利用等差数列的性质可得b4+b8=2b6=2a8=6．【解答】：解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得a5a11= a82，又a5a11=3a8，∴ a82=3a8，∵a8≠0，∴a8=3．又数列{b n}是等差数列，∴b4+b8=2b6=2a8=6．故选：B．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，是基础的计算题．5.（单选题，5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=√3c，a=1，b=√3，则c=（）2cosCA. √6B.1C. √2D. √3【正确答案】：B【解析】：利用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件，然后求cosC的值，根据余弦定理即可计算得解c的值．，【解答】：解：∵ acosB+bcosA=√3c2cosC，∴由正弦定理得：sinA•cosB+sinB•cosA= √3sinC2cosC∴sin（A+B）=sinC= √3sinC，2cosC∵A+B+C=π，A、B、C∈（0，π），∴sin（A+B）=sinC＞0，，∴2cosC= √3，即cosC= √32∵a=1，b= √3，∴由余弦定理可得：c= √a2+b2−2abcosC = 1+3−2×1×√3×√3=1．2故选：B．【点评】：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A.20%，12800元B.10%，12800元C.20%，10240元D.10%，10240元【正确答案】：A【解析】：本题可根据题意将问题甲、乙、丙、丁分配的奖金构建成一个等比数列，且公比q与“衰分比”的和为1，然后根据等比数列的性质计算出q的值，即可得到“衰分比”的值，以及计算出首项a1的值，再根据a1+a3=32800，可计算出丙所获得的奖金．【解答】：解：由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列，设此等比数列为{a n}，且公比为q，设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为x，则x=1-q．依题意，a1+a2+a3+a4=59040，a1+a3=32800，则a2+a4=59040-32800=26240，∴q= a 2+a 4a 1+a 3 = 2624032800 =0.8， ∴“衰分比”的值x=1-0.8=0.2=20%，∵a 1+a 3=a 1+a 1q 2=a 1（1+q 2）=a 1（1+0.82）=1.64a 1=32800，∴a 1= 328001.64=20000， ∴a 3=a 1q 2=20000×0.82=12800，∴丙所获得的奖金为12800元．故选：A ．【点评】：本题主要考查根据实际问题构建数学模型的问题．考查了转化思想，等比数列的基本计算与性质应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．7.（单选题，5分）若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A.1：2B.1： √3C.1： √5D. √3 ：2【正确答案】：C【解析】：由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案．【解答】：解：若圆锥的高等于底面直径，则h=2r ，则母线l= √ℎ2+r 2 = √5 r ，而圆锥的底面面积为πr 2，圆锥的侧面积为πrl= √5 πr 2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1： √5 ，故选：C ．【点评】：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，难度不大，属于基础题．8.（单选题，5分）在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（） A. −54B.- 43D.- 34【正确答案】：A【解析】：可设 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−(x 2+1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3x 2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而根据平面向量基本定理即可得出 {λ=−(x2+1)3x 2=34 ，解出λ即可．【解答】：解：如图，设 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则： BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= xAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+x 2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −(x 2+1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3x2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵ BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ {λ=−(x2+1)3x 2=34 ，解得 λ=−54 ．故选：A ．【点评】：本题考查了向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）若正数a ，b 满足a+b=2，则 1a+1 + 4b+1 的最小值是（） A.1C.9D.16【正确答案】：B【解析】：由题意可得（a+1）+（b+1）=4，可得 1a+1 + 4b+1 = 14 （ 1a+1 + 4b+1 ）[（a+1）+（b+1）]= 14 [5+ b+1a+1 + 4(a+1)b+1]，由基本不等式可得．【解答】：解：∵正数a ，b 满足a+b=2， ∴（a+1）+（b+1）=4∴ 1a+1 + 4b+1 = 14 （ 1a+1 + 4b+1 ）[（a+1）+（b+1）] = 14 [5+ b+1a+1 +4(a+1)b+1 ]≥ 14 （5+2 √b+1a+1•4(a+1)b+1 ）= 94当且仅当 b+1a+1 = 4(a+1)b+1即a= 13 且b= 53 时取等号．故选：B ．【点评】：本题考查基本不等式求最值，整体代换是解决问题的关键，属中档题． 10.（单选题，5分）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数．已知正项数列{a n }满足 S n =12(a n +1a n) ，n∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则[S 1]+[S 2]+…+[S 40]=（）A.135B.141C.149D.155【正确答案】：D【解析】：求得数列的首项，由数列的递推式可得S n 2-S n-12=1，数列{S n 2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得S n ，结合新定义分别求得各项的值，相加可得所求和．【解答】：解：由 S n =12(a n +1a n) ，令n=1，得a 1=S 1= 12 （a 1+ 1a 1），∵a n ＞0，得a 1=1．当n≥2时，S n = 12 （a n + 1a n）= 12 （S n -S n-1+ 1Sn −S n−1），即S n 2-S n-12=1，因此，数列{S n 2}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴S n 2=n ，即S n = √n ，[S 1]=1，[S 2]=1，[S 3]=1，[S 4]=…=[S 8]=2，[S 9]=…=[S 15]=3， …，[S 36]=…=[S 40]=6，则[S 1]+[S 2]+…+[S 40]=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×5=155．故选：D ．【点评】：本题考查数列的通项和求和的关系，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查新定义的理解和运用，以及化简运算能力，属于中档题．11.（单选题，5分）已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是∠APB 角的平分线，I 为PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）（λ＞0）， |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4 ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ，则 BI ⃗⃗⃗⃗⃗BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值为（） A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】：B【解析】：利用角平分线的性质、三角形内切圆的性质、向量的运算性质即可得出．【解答】：解：∵ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ，PC 是∠APB 角的平分线，又满足 BI ⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）（λ＞0），即 AI ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ (AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) ，所以I 在∠BAP 的角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E 、F ，∵ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4 ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ， |BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 12(|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) = 12[|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−(|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)] =3，在直角三角形BIH 中，cos∠IBH= |BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BI⃗⃗⃗⃗⃗| ，所以BI ⃗⃗⃗⃗⃗BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |BI ⃗⃗⃗⃗⃗| cos∠IBH= |BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =3．故选：B ．【点评】：本题主要考查向量运算、数量积及其几何意义、圆的切线长等，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.（单选题，5分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n=2n+3（n∈N*）且S n=1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A.49B.50C.51D.52【正确答案】：A【解析】：由题意可得数列{a n}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列，运用等差数列的求和公式，分别计算S48，S50，可判断n的最大值可能为49．再由数列{a n}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式和已知a2＜3，即可判断．【解答】：解：a n+1+a n=2n+3（n∈N*），可得数列{a n}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列，×24×23×4=1224＜1300，则S48=5×24+ 12×25×24×4=1325＞1300，又S50=5×25+ 12则n的最大值可能为49．由a n+1+a n=2n+3（n∈N*），可得a n+2+a n+1=2n+5，两式相减可得a n+2-a n=2，可得数列{a n}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，若S49=1300，可得a49=1300-1224=76，由a2＜3，可得a1＞2，则a49=a1+2×24＞50，故n的最大值为49．故选：A．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于中档题．13.（填空题，5分）设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是___ ．（仅填写正确不等式的序号）① 1a ＜1b；② ac2＜bc2；③ ba＞ab；④ ba＜ab；⑤ 1a2＜1b2【正确答案】：[1] ④ ⑤【解析】：直接利用不等式的性质的应用，不等式的乘法的应用求出结果．【解答】：解：（1）由于a＜b＜0，所以b-a＞0，ab＞0，1ab＞0，所以b−aab ＞0，整理得1a−1b＞0，故1a＞1b，所以① 错误．（2）当c=0时，ac2=bc2，故② 错误．（3）由（1）知：0＞1a ＞1b，且a＜b＜0，所以−1b＞−1a＞0，-a＞-b＞0，则ab＞ba，故③错误④ 正确．（4）由（1）知：0＞1a ＞1b，且a＜b＜0，所以−1b＞−1a＞0，所以1b2＞1a2，故⑤ 正确．故答案为：④ ⑤【点评】：本题考查的知识要点：不等式性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.（填空题，5分）已知向量a⃗，b⃗⃗是平面内的一组基底，若m⃗⃗⃗=xa⃗+yb⃗⃗，则称有序实数对（x，y）为向量m⃗⃗⃗在基底a⃗，b⃗⃗下的坐标．给定一个平面向量p⃗，已知p⃗在基底a⃗，b⃗⃗下的坐标为（1，2），那么p⃗在基底a⃗−b⃗⃗，a⃗+b⃗⃗下的坐标为___ ．【正确答案】：[1]（−12，32）【解析】：根据定义，先将p⃗表示成a⃗+2b⃗⃗的形式，然后再利用整体思想将a⃗+2b⃗⃗用a⃗+b⃗⃗与a⃗−b⃗⃗整体表示，即可得到p⃗的新坐标．【解答】：解：由已知：p⃗ = (1，2)=a⃗+2b⃗⃗，∵ a⃗=(a⃗⃗+b⃗⃗)+(a⃗⃗−b⃗⃗)2，2b⃗⃗=(a⃗+b⃗⃗)−(a⃗−b⃗⃗)．∴ p⃗=32(a⃗+b⃗⃗)−12(a⃗−b⃗⃗)，所以p⃗在基底a⃗−b⃗⃗，a⃗+b⃗⃗下的坐标为（- 12，32）．故答案为：（−12，32）．【点评】：本题考查平面向量基本定理及新定义问题．能够准确理解新定义的含义是本题的关键．属于中档题．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=x e1+x e（e 是自然对数的底数），设 a n ={f (n )，n ≤2020，f (14041−n )，n ＞2020，，n∈N *，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4039的值是___ ．【正确答案】：[1]40392【解析】：根据题意，由函数的解析式分析可得f （ 1x ）= (1x )e 1+(1x )e = 11+x e ，且f （1）= 11+1 = 12 ，进而可得f （x ）+f （ 1x）=1，结合数列的通项公式可得S 4039=f （1）+f （2）+……+f （2020+f （ 12020 ）+f （ 12019 ）+……+f （ 12 ）=f （1）+[f （2）+f （ 12 ）]+[f （3）+f （ 13 ）]+……+f （2020）+f （ 12020 ），进而分析可得答案．【解答】：解：根据题意，函数 f (x )=x e1+x e，则f （ 1x ）= (1x )e 1+(1x )e = 11+x e ，且f （1）= 11+1 = 12 ，则有f （x ）+f （ 1x ）= x e 1+x e + 11+xe =1，又由 a n ={f (n )，n ≤2020，f (14041−n)，n ＞2020，则S 4039=f （1）+f （2）+……+f （2020+f （12020 ）+f （ 12019 ）+……+f （ 12） =f （1）+[f （2）+f （ 12 ）]+[f （3）+f （ 13 ）]+……+f （2020）+f （ 12020 ） = 12 +2019= 40392．故答案为： 40392．【点评】：本题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析f （x ）+f （ 1x ）的值． 16.（填空题，5分）如图，在平面四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠C=75°，BC=2，则CD 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（ √6−√2，√6+√2 ）【解析】：直接利用构造三角形知识的应用和解三角形知识的应用及三角函数值的应用求出结果．【解答】：解：根据题意延长BA ，CD 交于点E ，如图所示：则：在△ADE 中，∠ADE=105°，∠DAE=45°，∠E=30°，所以：设AD= 12x ，DE= √22x ，AE= √6+√24x ，AB=m ，由于BC=2，所以（√6+√24x +m ）sin15°=1，整理得：√6+√24x +m =√6+√2 ，所以0＜x ＜4，由于CD=√6+√24 x+m- √22x = √6+√2−√22x 所以：CD 的取值范围是（ √6−√2，√6+√2 ）．故答案为：（ √6−√2，√6+√2 ）【点评】：本题考查的知识要点：解三角形知识的应用，构造三角形知识的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.（问答题，10分）已知向量 x ⃗=ka ⃗−3b ⃗⃗ 和 y ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ ，其中 a ⃗=(−1，3) ， b ⃗⃗=(4，2) ，k∈R ．（1）当k 为何值时，有 x ⃗ 、 y ⃗ 平行；（2）若向量 x ⃗ 与 y ⃗ 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用向量的坐标运算求出x⃗和y⃗，进一步利用向量的共线的充要条件的应用求出结果．=−1除去，（2）利用向量的夹角为钝角的充要条件的应用x⃗•y⃗＜0，且cos＜x⃗，y⃗＞= x⃗•y⃗⃗|x⃗||y⃗⃗|求出参数k的取值范围．【解答】：解：（1）a⃗=(−1，3)，b⃗⃗=(4，2)，所以：x⃗=ka⃗−3b⃗⃗ =（-k，3k）-（12，6）=（-k-12，3k-6）．y⃗=a⃗+b⃗⃗ =（-1，3）+（4，2）=（3，5）．由于x⃗和y⃗共线，且方向相反时，所以5×（-k-12）-3×（3k-6）=0，解得k=-3．（2）向量x⃗与y⃗的夹角为钝角所以x⃗•y⃗＜0，即：3×（-k-12）+5×（3k-6）＜0，．解得k＜112由于x⃗和y⃗方向相反时，即利用（1）的结论，解得k=-3，即当k=-3时，x⃗和y⃗方向相反，此时不合题意．)．故实数k的取值范围(−∞，−3)∪(−3，112【点评】：本题考查的知识要点：向量的坐标运算的应用，向量共线的充要条件的应用，向量的夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.（问答题，12分）在数列{a n}，{b n}中，a1=b1=1，a n+1=4b n-a n+2n-1，b n+1=4a n−b n−2n+1，n∈N∗．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：本题第（1）题先根据题干中的递推关系式分别计算出a2、b2、b3，然后设等差数列{c n}的公差为d，再根据c1=a2，d=b3-a2即可计算出等差数列{c n}的首项和公差，从而可得等差数列{c n}的通项公式；第（2）题先将题干中的两个递推关系式相加，化简整理可得a n+1+b n+1=3（a n+b n），即可发现数列{a n+b n}是以2为首项，3为公比的等比数列，计算出数列{a n+b n}的通项公式，再计算出数列{（a n+b n）c n}的通项公式，最后运用错位相减法可计算出前n项和S n．【解答】：解：（1）由题意，可知：a2=4b1-a1+2×1-1=4-1+2-1=4，b2=4a1-b1-2×1+1=4-1-2+1=2，则b3=4a2-b2-2×2+1=4×4-2-4+1=11，设等差数列{c n}的公差为d，则：c1=a2=4，d=b3-a2=11-4=7，故c n=4+7（n-1）=7n-3，n∈N*．（2）由题意，将a n+1=4b n-a n+2n-1与b n+1=4a n-b n-2n+1相加，可得：a n+1+b n+1=4b n-a n+2n-1+4a n-b n-2n+1=3（a n+b n），∵a1+b1=1+1=2，∴数列{a n+b n}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴a n+b n=2•3n-1，∴（a n+b n）c n=2（7n-3）•3n-1，∴S n=（a1+b1）c1+（a2+b2）c2+（a3+b3）c3+…+（a n-1+b n-1）c n-1+（a n+b n）c n=2•4•1+2•11•31+2•18•32+…+2•（7n-10）•3n-2+2•（7n-3）•3n-1，则3S n=2•4•31+2•11•32+…+2•（7n-10）•3n-1+2•（7n-3）•3n，两式相减，可得：-2S n=2•4•1+2•7•31+2•7•32+…+2•7•3n-1-2•（7n-3）•3n=8+14•（31+32+…+3n-1）-2•（7n-3）•3n=8+14• 3−3n1−3-2•（7n-3）•3n=8+7（3n-3）-2•（7n-3）•3n=-（14n-13）•3n-13∴S n= 14n−132•3n+ 132．【点评】：本题主要考查数列由递推公式求通项公式，以及运用错位相减法计算前n项和问题．考查了转化与化归思想，等比数列的判别及求和公式的运用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．19.（问答题，12分）如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶100√3m后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA=θ，经计算，tanθ=2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．【正确答案】：【解析】：在Rt△AMP中求得PM，连接QM，在△PQM中求得PQ，推出△PQM为等边三角形，得出QM；在Rt△AMQ中求得AQ，在Rt△BNQ中求得BQ，最后在△BQA中利用余弦定理求得BA．【解答】：解：在Rt△AMP中，∠APM=30°，AM=100，所以PM=100 √3；连接QM，在△PQM中，∠QPM=60°，又PQ=100 √3，所以△PQM为等边三角形，所以QM=100 √3；在Rt△AMQ中，由AQ2=AM2+QM2得AQ=200又在Rt△BNQ中，tanθ=2，BN=200，所以BQ=100 √5；=50000；在△BQA中，BA2=BQ2+AQ2-2BQ•AQcosθ=50000+40000-2×100 √5 ×200×√22+12解得BA=100 √5．所以A，B两山顶间的距离是100 √5 m．【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了分析问题与解决实际问题的能力．20.（问答题，12分）已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sinA+sinB）=1（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S=c2-（a-b）2．（1）求tanC的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理，将R（sinA+sinB）=1化为边长之间的关系，再根据面积S=c2-（a-b）2= 12absinC，推出C角；（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即可．【解答】：解：（1）∵ asinA =bsinB=2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB．代入R（sinA+sinB）=1整理后得a+b=2．由面积S=c2-（a-b）2= 12absinC得c2−(a2+b2)=(12sinC−2)ab，两边同除以2ab得：cosC=1−14sinC，代入sin2C+cos2C=1得17 16sin2C=12sinC，因为sinC≠0，所以sinC=817．∴ cosC=1517，∴ tanC=815．（2）由（1）得ab≤(a+b2)2=1，当且仅当a=b=1时取等号．∴ S=12absinC=12×817ab≤417．所以面积的最大值为417．【点评】：本题主要考查了正余弦定理、面积公式，以及学生利用转化思想、函数与方程思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力和逻辑推理等核心素养．属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是边CB 上一点，满足 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ① 当λ= 12 时，求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ② 是否存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用余弦定理求出AB 的长即得| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |；（2） ① λ= 12 时，D 、E 分别是BC ，AB 的中点，求出 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积即可；② 假设存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示出 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0时的λ值即可．【解答】：解：（1）△ABC 中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB 2=CA 2+CB 2-2CA•CB•cos∠ACB=12+22-2×1×2×cos60°=3，∴AB= √3 ，即| AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √3 ；（2） ① λ= 12 时， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴D 、E 分别是BC ，AB 的中点，∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 （ CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 12 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• 12（ CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 12 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 12 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 14 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 14CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =- 12 ×12+ 12 ×1×2×cos120°+ 14 ×2×1×cos60°+ 14 ×22= 14 ；② 假设存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）， ∴ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=λ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ） CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；又 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）+λ（- CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=（1-λ） CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴ AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（1-λ） CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 -λ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ）2 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -（1-λ） CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =4λ（1-λ）-λ+（1-λ）2-（1-λ）=-3λ2+2λ=0，解得λ= 23 或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ= 23 ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【点评】：本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．22.（问答题，12分）已知数列{a n }满足 13a n ≤a n+1≤3a n ，n∈N *，a 1=1．（1）若a 2=3，a 3=x ，a 4=6，求x 的取值范围；（2）若{a n }是公比为q 的等比数列，S n =a 1+a 2+…+a n ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，n∈N *，求q 的取值范围；（3）若a 1，a 2，…，a k 成等差数列，且a 1+a 2+…+a k =2020，求正整数k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得 13 a 2≤a 3≤3a 2， 13 a 3≤a 4≤3a 3，将已知数据代入可得到x 的范围；（2）先求得a n =q n-1，由 13 a 1≤a 2≤3a 1，求出 13 ≤q≤3，对q 讨论求出S n ，分别代入 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，得到关于q 的不等式组，解不等式求出q 的范围；（3）设a 1，a 2，…，a k 成公差为d 的等差数列，由等差数列的通项公式可得关于d 的不等式，得到d 的最小值，再由等差数列的求和公式，解关于k 的不等式，可得k 的最大值．【解答】：解：（1）由题意可得 13 a 2≤a 3≤3a 2， 13 a 3≤a 4≤3a 3，又a 2=3，a 3=x ，a 4=6，即有1≤x≤9， 13 x≤6≤3x ，即2≤x≤18，可得2≤x≤9；（2）a n =q n-1，由 13 a 1≤a 2≤3a 1，可得 13 ≤q≤3，当q=1时，S n =n ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，即 13 n≤n+1≤3n ，成立；当1＜q≤3时，S n = q n −1q−1 ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，即13 • q n −1q−1 ≤ q n+1−1q−1 ≤3• q n −1q−1 ，即 13 ≤ q n+1−1q n −1 ≤3，可得 {3q n+1−q n −2≥0q n+1−3q n +2≤0，由q ＞1可得3q n+1-q n -2=q n （3q-1）-2＞2q n -2＞0，对于不等式q n+1-3q n +2≤0，令n=1，可得q 2-3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q-3＜0，所以q n+1-3q n +2=q n （q-3）+2≤q （q-3）+2=（q-1）（q-2）≤0成立，所以1＜q≤2；当 13 ≤q ＜1时，S n = q n −1q−1 ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，即 13 • 1−q n 1−q ≤ 1−q n+11−q ≤3• 1−q n 1−q，可得 13 ≤ 1−q n+11−q n ≤3，所以 {3q n+1−q n −2≤0q n+1−3q n +2≥0，因为3q-1＞0，q-3＜0，所以3q n+1-q n -2=q n （3q-1）-2＜2q n -2＜0， q n+1-3q n +2=q n （q-3）+2≥q （q-3）+2=（q-1）（q-2）＞0成立，所以当 13 ≤q ＜1时，不等式恒成立，综上所述，q 的取值范围是[ 13 ，2]；（3）设a 1，a 2，…，a k 成公差为d 的等差数列，由 13 a n ≤a n+1≤3a n ，且a 1=1，可得 13 [1+（n-1）d]≤1+nd≤3[1+（n-1）d]，n=1，2，…，k-1，即 {(2n +1)d ≥−2(2n −3)d ≥−2，n=1，2，…，k-1，当n=1时，- 23 ≤d≤2，当n=2，3，…，k-1时，由−22n+1 ＞ −22n−3 ，可得d≥ −22n+1 ，所以d≥ −22k−1 ≥- 23 ，所以2020=ka 1+ k (k−1)2 • −22k−1 ≥k+ k (k−1)2 • −22k−1，即k 2-4040k+2020≤0，解得k≤4039，所以k的最大值为4039．【点评】：此题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式组的解法，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。

湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学文试题扫描含答案

华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中检测高三年级文科数学试题参考答案一、选择题：BBBDA CDDCA BA二、填空题：13.2 14. 且15. 4 16. ②③三、解答题：17.解：对于命题，成立，若为真，（1）当时，，，符合题意，（2）当时，，在有解，且，综合（1）、（2）可知，命题为真，有；-------------------4分对于命题，成立，成立，，（当且仅当时取等号）对于命题为真，有，--------------------8分如果或为真，且为假，则它们两个一真一假，若真假，则有且，得到，若假真，则有且，得到. ---------------------10分综上所述，所求实数的取值范围为。

---------------------------12分18.解：（1）由正弦定理得，即，即有，即,又，所以，因为角为锐角，所以． --------6分（2）由（1）得，所以，又，由余弦定理可得：，所以． ---------------12分19.解：（1）设，则由已知得，所以为常数，所以数列是以为首项以为公比的等比数列，则，所以. ------------------------------------6分（2）由（1）知两式相减得，所以--------------------------------------12分20.解：（Ⅰ）证明：设，连结，在中，因为，且平分，所以为的中点，又为的中点，从而，因为平面，平面，所以平面； ---------------4分（Ⅱ）因为平面，平面，所以，由（1）知，，平面，平面，从而平面；--------------------8分（Ⅲ）在中，，，得在中，从而，则故四棱锥的体积. -----------------------12分21.解:（1）因为，所以，因此，所以函数的图象在点处的切线方程为，由得.由，得. ----------------------3分（2）因为，所以，由题意知在上有解，因为，设，因为，则只要解得，所以的取值范围是。

2020届湖北省华中师大一附中高三上学期期中考试数学(理)试题(word版)

华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中检测高三年级数学（理科）试题时间：120分钟满分：150分一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则B A ⋂的子集个数为（）A. 2B ．4C ．6D ．8【答案】B2. 设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∃∈=D ．2,2n n N n ∀∈≤【答案】D3. 若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A. 2-B. 2C. 2i -D. 2i【答案】B4. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。

问两鼠在第几天相遇？（） A. 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天【答案】B5. 已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则y x z +=2的最小值为（）A.1B.2C.3D.6【答案】A6. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足12130,0,S S ><且{S n }的最大项为m S ，12m a +=-，则13S -=（）A. 20B.22C.24D.26【答案】D7. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 ①AN GC ⊥ ②CF 与EN 所成的角为60︒ ③BD //MN ④二面角E BC N --的大小为45︒ 其中正确的个数是（） A .1B .2C .3D .4【答案】C8. 已知ABC ∆中，2AD DC =u u u r u u u r，E 为BD 中点，若BC AE AB λμ=+uu u r uu u r uu u r ，则2λμ-的值为（） A. 2 B. 6C. 8D. 10【答案】C9. 若1164log 9a =，33log 2b =，0.20.6c =，则,,a b c 的大小关系为（） A. c b a >> B. c a b >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】A10. 已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2A B ππ-，则ϕ的值为（）A.56πB.6πC. 56π-D. 6π-【答案】C11. 已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（）A. (1)(1,)-∞-⋃+∞，B. (1,+)∞C. 1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞【答案】D12. 已知函数()sin )4f x x x x π=+，若对于任意的1212,[0,),()2x x x x π∈≠，均有1212|()()|||x x f x f x a e e -<-成立，则实数a 的最小值为（）A.23B.1 C .32 D. 3【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13. 曲线x y xe -=在点1(1,)e 处的切线方程为 .【答案】1y e=14. 已知3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=，则2sin sin cos ααα-= . 【答案】56 2sin sin cos ααα-=56tan 1tan tan 22=∂+∂-∂15. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为 .【答案】1416. 已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈uuu r uu u r uuu r ，若21sin ()2A t αβ⋅+-（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是 . 【答案】 3315(,)1616-三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. （本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos 222A bc=+（1）求角C ；（2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1,6BM c ==，求cos ABM ∠. 【解析】（1）由题1cos 1cos 222A b bA c c+=+∴= cos sin sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ∴==+=+sin cos 0A C ∴=又(0,)sin 0cos 02A A C C ππ∈∴≠∴=∴=（2）记ABMα∠=，则MBC α∠=，在Rt MCB ∆中，cos CB α=，在Rt ACB ∆中，cos BC ABC AB ∠=，即cos cos 26αα= 即2cos 2cos 16αα-=3cos 4α∴=或23-（舍）3cos 4ABM ∴∠=18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，*211,n n S a n N nn =+-∈（1）证明：数列1{}n n S n+为等差数列；（2）若数列{b n }满足12n nn n nb S S +=⋅⋅，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】（1）2n ≥时，22221()n n n n S n a n n n S S n n -=+-=-+-即221(1)(1)n n nS n S n n --=+-(2)n ≥同除以(1)n n -得111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥- 1{}n n S n+∴为等差数列，首项为1，公差为1 （2）由（1）知211n n n n S n S n n +=∴=+ 1211(1)22(1)2n n n nn b n n n n -+==-++ 1121111111(1)()()12222322(1)2(1)2n n n nT n n n -∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯⨯⨯++ 19. （本小题满分12分）已知函数()(cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x =+-+（1）求函数()f x 的最大值并指出()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）若,αβ为锐角，126cos(),()135f αββ+==，求()6f πα+的值.【解析】（1）22()cossin 23sin cos 2222x x x x f x =-+=cos 3sin 2sin()6x x x π+=+ 令262x k πππ+=+ 得2,3x k k Z ππ=+∈所以最大值为2，此时x 的取值集合为{|2,}3x x k k Z ππ=+∈（2）由,αβ为锐角，12cos()13αβ+=得5sin()13αβ+= Q 02πβ<<2663πππβ∴<+<又312sin()(,)6522πβ+=∈ 664πππβ∴<+<4cos()65πβ∴+=cos()cos[()()]66ππααββ∴-=+-+63cos()cos()sin()sin()6665ππαββαββ=+++++=126()2sin()2sin()2cos()6326665f πππππαααα∴+=+=+-=-=20. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，AB BC ⊥，3,22,AB BC AD ===E 为CD 的中点，PB AE ⊥（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB PD =，PC 与平面ABCD 所成的角为4π，试问“在侧面PCD 内是否存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD ？”若存在，求出点N 到平面ABCD 的距离；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明:由四边形ABCD 是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，AB ⊥BC ，可得DC =2,∠BCD =3π，从而△BCD 是等边三角形,BD=2,BD 平分∠ADC .∵E 为CD 的中点,∴DE=AD=1,∴BD ⊥AE ,又∵PB ⊥AE ,PB ∩BD=B ,∴AE ⊥平面PBD. 又∵AE ⊂平面ABCD ∴平面PBD ⊥平面ABCD. (2) 在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ,连接OC ,又∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ∩平面ABCD=BD ,∴PO ⊥平面ABCD∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角, 则∠PCO=4π∴易得OP=OC= ∵PB=PD ,PO ⊥BD ,∴O 为BD 的中点,∴OC ⊥BD.以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),C (0,,0),D (-1,0,0),P (0,0,), 假设在侧面PCD 内存在点N ，使得BN ⊥平面PCD 成立，设(,0,1)PN PD PC λμλμλμ=+≥+≤uuu r uu u r uu u r，易得(,1))N λλμ-+-由00BN PC BN PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uu u r uuu r uu u r得12,55λμ==，满足题意所以N 点到平面ABCD的距离为1)λμ+-=21. （本小题满分12分）（1）已知21()ln f x x x =+，证明：当2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+；（2）证明：当4211(2,1)a e e ∈----时，33131()ln (39a g x x x x x x -=++有最小值，记()g x 最小值为()a ϕ，求()a ϕ的值域.【解析】（1）证明：2/33122()0x f x x x x -=-=≥()f x ∴在)+∞上单增2x ∴≥时，()(2)f x f ≥即211ln ln 24x x +≥+ ∴2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+（2）/222221311()ln 1(ln )33a g x x x x x x x a x-=+++=++ 由()f x在)+∞上单增且22411()1,()2,f e f e e e =+=+4211(2,1)a e e ∈---- 知存在唯一的实数20(,)x e e∈，使得/0()0g x =，即0201ln 0x a x ++=/0),()0,()x x g x g x ∴∈<单减；/0(,),()0,()x x gx g x ∈+∞>单增min0()()g x g x ∴=，0x 满足0201ln 0x a x ++= 0201ln a x x ∴=-- ∴3300000131()ln 39a g x x x x x -=++320002()93x x e x e =-+<< 记3212()()93h x x x e x e =-+<<，则2/2()033x h x =-<()h x ∴在2(,)e e 上单减632222()()()9393e e e h e h x h e e ∴-+=<<=-+所以()a ϕ的值域为63222(,)9393e e e e -+-+22. （本小题满分10分）已知函数()|2||24|f x x x =-++（1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求21+1m n+的最小值.【解析】（1）当2x <-时，3234x x --≥-+，无解当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得122x -≤≤ 当2x >时，3234x x +≥-+，得2x >所以不等式解集为1[,)2-+∞ （2）()|2||24||2||2||2|f x x x x x x =-++=-++++|(2)(2)||2|x x x ≥--+++ 当且仅当22x -≤≤时取等 4|2|4x =++≥ 当且仅当2x =-时取等所以当2x =-时，()f x 最小值为4，即4a =，所以24m n +=所以21121[2(1)]()161m n m n m n +=+++++12(1)2(5)61m n n m +=+++13(562≥+= 当且仅当2(1)21m n n m +=+且24m n +=即1,2m n ==时取“=” 所以21+1m n +最小值为32。

湖北省武汉市东西湖区华中师范大学第一附属中学2020届高三数学上学期期中试题理(含解析)

湖北省武汉市东西湖区华中师范大学第一附属中学2020届高三数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB ，进而求得A B 的子集个数.【详解】由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B ⋂=-，其子集个数为224=. 故选B.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集的个数求法，考查一元二次不等式的解法.2.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.3.若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（） A. 2- B. 2C. 2i -D. 2i【答案】B 【解析】【分析】用复数除法运算求得z ，由此求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()()1123411225501234343425i i i iz i i i i ++++====+--+，虚部为2. 故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（） A. 第2天 B. 第3天C. 第4天D. 第5天【答案】B 【解析】【分析】用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇.【详解】第一天共挖112+=，前二天共挖220.5 4.5++=，故前3天挖通，故两鼠相遇在第3天. 故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.5.已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】A 【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足12130,0,S S ><且{}n S 的最大项为m S ，12m a +=-，则13S =（） A. 20- B. 22-C. 24-D. 26-【答案】D 【解析】【分析】根据题目所给n S 的不等式，求得m 的值，根据1m a 的值求得13S 的值.【详解】依题意() 112126711313712602131302a aS a aa aS a+⎧=⨯=⨯+>⎪⎪⎨+⎪=⨯=<⎪⎩，所以670,0a a><，故等差数列{}n a 前6项的和最大，即6m=，所以72a=-，所以1131371313262a aS a+=⨯==-.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列前n项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7.如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC⊥，②CF与EN所成的角为60︒,③BD//MN，④二面角E BC N--的大小为45︒,其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确.【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C，所以()()2,2,20,2,20AN GC⋅=-⋅-=，所以AN GC⊥，故①正确.由于//EN AC，所以CF与EN所成的角为FCA∠，而在FAC∆中，AF FC CA==，也即FAC∆是等边三角形，故60FCA∠=，所以②正确.由于//EN AC，而AC与BD相交，故,BD MN不平行，③错误.由于,EB BC FB BC⊥⊥，所以EBF∠即是二面角E BC N--的平面角.EBF∆是等腰直角三角形，所以45EBF∠=，故④正确.综上所述，正确的命题个数为3个.故选C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题. 8.已知ABC ∆中，2AD DC =，E 为BD 中点，若BC AE AB λμ=+，则2λμ-的值为（） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C 【解析】【分析】将BC AE AB λμ=+中的向量，都转化为以,AB AC 为基底的向量表示，由此列方程组，解方程组求得,λμ的值，进而求得2λμ-的值. 【详解】由BC AE ABλμ=+得()12AC AB AD AB AB λμ-=⋅++，即1223AC AB AC AB AB λμ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，即1132AC AB AC AB λλμ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，故113112λλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得53,2λμ==-，故2358λμ-=+=. 故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查方程的思想，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 9.若1164log 9a =，33log 2b =，0.20.6c =，则,,a b c 的大小关系为（） A. c b a >> B. c a b >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】A 【解析】【分析】根据对数运算，结合对数函数的性质、指数函数的性质以及幂函数的性质，比较出三者的大小关系.【详解】依题意22434333log log log 222a b --⎛⎫==<= ⎪⎝⎭，而0.20.2333log log 30.50.50.62b c =<=<<= 故c b a >>. 故选A.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用指数、对数和幂函数的性质，比较大小，属于基础题.10.已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，且(,1),(,1)2A B ππ-，则ϕ的值为（）A.56π B.6π C. 56π-D. 6π-【答案】C 【解析】【分析】根据,A B 两点的坐标列方程组，解方程组求得ϕ的值.【详解】由于函数()f x 过,A B 两点，故()()ππ2sin 122π2sin π1ff ωϕωϕ⎧⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+=-⎩，由于0,||ωϕπ><，所以方程组解得25π6ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩.故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11.已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（）A. (1)(1,)-∞-⋃+∞，B. (1,+)∞C. 1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D. (,2)(1,)-∞-+∞【答案】D 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围.【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x xx y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x xy -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.12.已知函数()sin )4f x x x x π=+，若对于任意的1212,[0,),()2x x x x π∈≠，均有1212|()()|||x x f x f x a e e -<-成立，则实数a 的最小值为（）A.23B. 1C.32D. 3【答案】B 【解析】【分析】首先判断()f x 的单调性，假设12x x >，将1212|()()|||x x f x f x a e e -<-去绝对值，化简后构造函数()sin sin cos xF x x x x x ae =++-，利用导数结合()F x 的单调性进行化简，利用分离常数法求得实数a 的最小值. 【详解】依题意()sin sin cos f x x x x x =++，且π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.所以()'cos cos 0f x x x x =+>，故()f x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单调递增.不妨设12x x >，则()()11f x f x >，且12x x e e >.故由1212|()()|||x x f x f x a e e -<-得()()1212x x f x f x ae ae -<-，即()()1212x x f x ae f x ae -<-，构造函数()()x F x f x ae =-，则()F x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单调递减.故()'cos cos 0xF x x x x ae =+-≤在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，即cos cos x x x x a e +≥在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立.构造函数()cos cos π0,2x x x x g x x e +⎛⎫⎡⎫=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()()()'1sin cos 0x x x x g x e ++=-<，故()g x 在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，故()()max 01g x g ==，所以1a ≥.故a 的最小值为1. 故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关不等式恒成立问题，考查构造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13.曲线xy xe -=在点1(1,)e处的切线方程为_______【答案】1y e= 【解析】【分析】先求得函数在1x =处切线的斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意x x y e =，所以'21x x x xe xe x y e e--==，故当1x =时，导数为0，也即在点11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为0，故切线方程为1y e=. 故答案为1y e=. 【点睛】本小题主要考查过曲线上一点切线方程的求法，考查除法的导数运算，属于基础题. 14.已知3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=，则2sin sin cos ααα-=________ 【答案】65【解析】【分析】利用诱导公式化简已知条件，求得tan α的值，利用“1”的代换的方法将所求表达转化为只含tan α的式子，由此求得表达式的值. 【详解】由3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=得sin 3cos αα=-，故tan 3α=-.所以2sin sin cos ααα-=222sin sin cos sin cos ααααα-+，分子分母同时除以2cos α得22tan tan 936tan 1915ααα-+==++. 故答案为65. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查“1”的代换以及齐次式的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____.【答案】14【解析】【分析】结合已知条件，结合余弦定理求得π4C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值.【详解】由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221cos 2a b C ab +-=②，由①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 2a b C ab +-==221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得22ab +≤.所以三角形面积1121sin 22224S ab C +=≤⨯=.故答案为14. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.16.已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈，若21sin ()2A t αβ⋅+-（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是______.【答案】3315(,)1616- 【解析】【分析】首先求得,AO AB AO AC ⋅⋅，进而用cos A 表示出,αβ，由此化简21sin ()2A t αβ⋅+-，结合二次函数的性质，列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】先求,AO AB AO AC ⋅⋅：如图所示，设D 是线段AB的中点，由于O 是三角形ABC 外接圆的圆心，故⊥OD AB ，所以211cos ,1822AO AB AB AO AO AB AB AB AB ⋅=⋅⋅=⋅==，同理可得211cos ,3222AO AC AC AO AO AC AC AC AC ⋅=⋅⋅=⋅==.由于(,)AO AB AC R αβαβ=+∈故221832AO AB AB AB AC AO AC AC AB AC αββα⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩，即43cos 268cos 3A A βααβ+=⎧⎨+=⎩，解得2234cos 6sin 43cos 8sin A AA A αβ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，将上式代入21sin ()2A t αβ⋅+-并化简得2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由于1cos 1A -<<，依题意2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有最小值，结合二次函数的性质可知当233811122t -+-<-<⨯时，2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有最小值.由233811122t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-<-<⨯解得33151616t -<<.故答案为3315(,)1616-.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的运算，考查圆的几何性质，考查方程的思想，考查二次函数在给定区间上有最小值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos 222A bc=+. （1）求角C ；（2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1,6BM c ==，求cos ABM ∠. 【答案】（1）2C π=；（2）3cos 4ABM ∠=【解析】【分析】（1）利用降次公式化简21cos222A b c=+，再用正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行化简，由此求得cos C 的值，进而求得C 的大小. （2）设B ABM M C α∠∠==，求得CB ，然后利用cos BCABC AB∠=以及二倍角公式列方程，解方程求得cos ABM ∠的值. 【详解】（1）由题1cos 1cos 222A b bA c c+=+∴= cos sin sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ∴==+=+sin cos 0A C ∴=又(0,)sin 0cos 02A A C C ππ∈∴≠∴=∴=（2）记ABM α∠=，则MBC α∠=，在Rt MCB ∆中，cos CB α=，在Rt ACB ∆中，cos BC ABC AB ∠=，即cos cos 26αα= 即2cos 2cos 16αα-=3cos 4α∴=或23-（舍）3cos 4ABM ∴∠=. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查二倍角公式和降次公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，*211,n n S a n N nn =+-∈（1）证明：数列1{}n n S n+为等差数列；（2）若数列{b n }满足12n nn n nb S S +=⋅⋅，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】（1）见解析；（2）11(1)2n nT n =-+【解析】【分析】（1）当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-，化简已知条件，得到111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-，由此证得数列1{}n n S n+为等差数列. （2）利用（1）的结论求得1n n S n n+=，由此求得n S 的表达式，进而求得n b 的表达式，利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）2n ≥时，22221()n n n n S n a n n n S S n n -=+-=-+-，即221(1)(1)n n n S n S n n --=+-(2)n ≥同除以(1)n n -得111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥- 1{}n n S n+∴为等差数列，首项为1，公差为1 （2）由（1）知211n n n n S n S n n +=∴=+，1211(1)22(1)2n n n nn b n n n n -+==-⋅+⋅+⋅1121111111(1)()()12222322(1)2(1)2n n n nT n n n -∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系是证明等差数列，考查等差数列通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知函数()(cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x =+-+（1）求函数()f x 的最大值并指出()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）若,αβ为锐角，126cos(),()135f αββ+=-=，求()6f πα+的值. 【答案】（1）最大值为2，此时x 的取值集合为{|2,}3x x k k Z ππ=+∈；（2）6665-【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x 解析式，然后根据正弦型函数最大值的求法，求得函数()f x 的最大值，以及此时对应的x 的取值集合. （2）利用同角三角函数的基本关系式求得()πsin ,cos 6αββ⎛⎫++⎪⎝⎭的值，然后利用cos()cos[()()]66ππααββ-=+-+，结合两角差的余弦公式，求得cos()6πα-的值，进而利用诱导公式，求得()6f πα+的值.【详解】（1）22()cos sin cos 2222x x x x f x =-+=cos 2sin()6x x x π+=+ 令262x k πππ+=+ 得2,3x k k Z ππ=+∈所以最大值为2，此时x 的取值集合为{|2,}3x x k k Z ππ=+∈（2）由,αβ为锐角，12cos()13αβ+=-得5sin()13αβ+=2πβ<<2663πππβ∴<+<又31sin()(652πβ+=∈，664πππβ∴<+< 4cos()65πβ∴+=，cos()cos[()()]66ππααββ∴-=+-+33cos()cos()sin()sin()6665ππαββαββ=+++++=-66()2sin()2sin()2cos()6326665f πππππαααα∴+=+=+-=-=-【点睛】本小题主要考查二倍角公式、辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 20.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，AB BC ⊥，3,22,AB BC AD ===E 为CD 的中点，PB AE ⊥（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB PD =，PC 与平面ABCD 所成的角为4π，试问“在侧面PCD 内是否存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD ？”若存在，求出点N 到平面ABCD 的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）存在N 点到平面ABCD 23【解析】【分析】（1）通过证明BD AE ⊥，结合题目所给已知PB AE ⊥，由此证得AE ⊥平面PBD ，进而证得平面PBD ⊥平面ABCD .（2）存在.通过（1）的结论，利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，假设存在符合题意的点N ，使BN ⊥平面PCD ，利用向量线性运算设出N 点坐标，结合00BN PC BN PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩求得N 点坐标，由此证得存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD .利用点到平面距离的向量求法，求得点N 到平面ABCD 的距离.【详解】（1）证明:由四边形ABCD 是直角梯形, 3，BC=2AD=2，AB ⊥BC ，可得DC =2,∠BCD =3π，从而△BCD 是等边三角形,BD=2,BD 平分∠ADC. ∵E 为CD 的中点,∴DE=AD=1,∴BD ⊥AE ,又∵PB ⊥AE ,PB ∩BD=B ,∴AE ⊥平面PBD.又∵AE ⊂平面ABCD∴平面PBD ⊥平面ABCD. (2) 存在.在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ,连接OC ,又∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ∩平面ABCD=BD ,∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角, 则∠PCO=4π ∴易得OP =OC =3，PB=PD ,PO ⊥BD ,所以O 为BD 的中点，OC ⊥BD.以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),C （0,3，0）D (-1,0,0),P （0,0,3）假设在侧面PCD 内存在点N ，使得BN ⊥平面PCD 成立，设(,0,1)PN PD PC λμλμλμ=+≥+≤，易得(,3,3(1))N λμλμ--+- 由00BN PC BN PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得12,55λμ==，满足题意，所以N 点到平面ABCD 的距离为233(1)λμ-+-=【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法求点到面的距离，考查存在性命题的向量证法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 21.（1）已知21()ln f x x x =+，证明：当2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+；（2）当4211(2,1)a e e ∈----时，33131()ln (2)39a g x x x x x x -=++有最小值，记()g x 最小值为()a ϕ，求()a ϕ的值域.【答案】（1）见解析；（2）63222(,)9393e e e e -+-+【解析】【分析】（1）首先利用()'fx 证得()f x在)+∞上单增，然后根据函数()f x 的最小值列不等式，由此证得不等式成立.（2）首先求得()'g x ，结合（1）的结论以及零点存在性定理，证得存在唯一的实数20(,)x e e ∈，使得'0()0g x =，根据()g x 的单调性求得()g x 最小值的表达式()a ϕ，用0x 表示出a ，利用导数求得()a ϕ的值域.【详解】（1）证明：2'33122()0x f x x x x-=-=≥()f x ∴在)+∞上单增， 2x ∴≥时，()(2)f x f ≥即211ln ln 24x x +≥+，∴2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+ （2）'222221311()ln 1(ln )33a g x x x x x x x a x-=+++=++ 由()f x在)+∞上单增且22411()1,()2,f e f e e e=+=+4211(2,1)a e e ∈----知存在唯一的实数20(,)x e e ∈，使得'0()0g x =，即0201ln 0x a x ++=，'0),()0,()x x g x g x ∴∈<单减；'0(,),()0,()x x g x g x ∈+∞>单增min 0()()g x g x ∴=，0x 满足0201ln 0x a x ++=，0201ln a x x ∴=-- ∴3300000131()ln 39a g x x x x x -=++320002()93x x e x e =-+<< 记3212()()93h x x x e x e =-+<<，则2'2()033x h x =-<()h x ∴在2(,)e e 上单减，632222()()()9393e e e h e h x h e e ∴-+=<<=-+所以()a ϕ的值域为63222(,)9393e e e e -+-+【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数求单调区间、最值或值域，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数()|2||24|f x x x =-++ （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求21+1m n+的最小值. 【答案】（1）1[,)2-+∞；（2）最小值为32【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，由此解不等式()34f x x ≥-+，求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式求得()f x 的最小值，也即求得a 的值.利用配凑法，结合基本不等式，求得21+1m n+的最小值. 【详解】（1）当2x <-时，3234x x --≥-+，无解当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得122x -≤≤ 当2x >时，3234x x +≥-+，得2x > 所以不等式解集为1[,)2-+∞ （2）()|2||24||2||2||2|f x x x x x x =-++=-++++|(2)(2)||2|x x x ≥--+++4|2|4x =++≥当且仅当22x -≤≤时取等当且仅当2x =-时取等所以当2x =-时，()f x 最小值为4，即4a =，所以24m n += 所以21121[2(1)]()161m n m n m n +=+++++12(1)2(5)61m n n m +=+++13(562≥+= 当且仅当2(1)21m nn m +=+且24m n +=即1,2m n ==时取“=” 所以21+1m n +最小值为32. 【点睛】本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若i 为虚数单位，则2−i1+i 的共轭复数是( )A. 12+32i B. 32+12i C. 32−32i D. 32−12i 2. 已知集合A ={x|x 2>x}，B ={0,1，2，3}，则A ∩B =( )A. {0}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}3. 下列命题错误的是( )A. 命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ”;B. 若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题C. 双曲线x 22−y 23=1的焦距为2√5 D. 设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b//a4. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形．则该几何体的表面积为( )A. 6 +12√2B. 16 +12√2C. 6 +12√3D. 16 +12√35. 已知sin(π2+α)=13，则cos(π+2α)的值为( )A. −79B. 79C. 29D. −236. 四人登珠穆朗玛峰，仅有一人登到峰顶，当他们被问到谁登到山顶时，甲说：“丙或丁登到峰顶”；乙说：“丙登到峰顶”；丙说：“甲和乙都没有登到峰顶”；丁说：“乙登到峰顶”，假设这四人只有两个人说的对，那么登到峰顶的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 7. 函数y =log 2(6−x −x 2)的单调递减区间为( )A. (−∞,−12]B. [−12,+∞)C. (−3,−12]D. [−12,2)8. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =4√2，A =45°，O 为△ABC 的外心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. −2B. −1C. 1D. 29. 已知函数f(x)=4x4x +2，设a n =f(n2019)(n ∈N ∗) ，则数列{a n }的前2019项和S 2019的值为( )A.30293B.30323C.60563D.6059310. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( )A. 0B. 4C. 3D. 511. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f(π2)的值为( )A. 1B. −1C. √22 D. −√2212. 已知定义在[e,+∞)上的函数f(x)满足f(x)+xf′(x)lnx <0且f(4)=0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式f(x)>0的解集为A. [e,4)B. (4,+∞)C. (e,4)D. [e,e +1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知幂函数y =(m 2−5m +7)⋅x m2−6在(0,+∞)上单调递增，那么实数m =________．14. 已知平面向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4,2)，c ⃗ =a ⃗ +m b ⃗ (m ∈R)，且c ⃗ 与a ⃗ 的夹角等于c ⃗ 与b ⃗ 的夹角，则m =________．15. 已知正数a ，b 满足9a +1b =3，则ab 的最小值为______ ．16. 若y =f(x)是定义在R 上周期为2的周期函数，且f(x)是偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)=2x −1，则函数g(x)=f(x)−log 3|x |的零点个数为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知a ∈R ，设命题p ：函数f(x)=lg(ax 2+2x +1)定义域为R ；命题q ：函数g(x)=x 2−2ax +3在(2,+∞)上是增函数．如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．18.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a+bc =cos(A+C)cosC．(1)求角C的大小；(2)求a+bc的取值范围．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n+1=S n+2a n+5．(1)证明：{a n+5}是等比数列；(2)若S n+5n>128，求n的最小值．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ACD=45°，CD=2，△PAC是边长为√2的等边三角形，PA⊥CD．(1)若M为PB中点，证明：PD//平面MAC．(2)求四棱锥P−ABCD的体积．−2,a∈R.21.已知函数f(x)=lnx+ax(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y−3=0，求a的值；(2)求函数y=f(x)的单调区间；(3)若曲线y=f(x)都在直线(a+1)x+y−2(a−1)=0的上方，求正实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=|x−a|−2．(Ⅰ)若a=1，求不等式f(x)+|2x−3|>0的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|x−3|恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求其共轭复数得答案．【解答】解：2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i，则其共轭复数是12+32i．故选A．2.答案：B解析：解：A={x|x<0，或x>1}；∴A∩B={2,3}．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.答案：B解析：【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．利用命题的否定形式判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；双曲线的焦距判断C的正误；异面直线的位置关系判断D的正误．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”满足命题的否定形式，A正确；若p∧q是假命题，则p，q都是假命题，不正确，因为两个命题一个是假命题，则p∧q是假命题，所以B不正确；双曲线x22−y23=1的焦距为2√5，C正确；设a，b是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a⊂α，且b//α，满足直线与平面平行的判定定理，平面的基本性质，所以D正确．故选B．4.答案：B解析：解：根据此几何体的三视图，画出直观图如图所示；此几何体为三棱台，且上、下底面均为等腰直角三角形，直角边长分别为2和4，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2；棱台3个侧面均为直角梯形，且CC1=√22+(4−2)2=2√2，AB=4√2，A1B1=2√2；所以此几何体的表面积为S=12×2×2+12×4×4+12×(2√2+4√2)×2+12×(2+4)×2+12×(2+4)×2√2=16+12√2．故选：B．由三视图画出此几何体的直观图，可知此几何体为三棱台，且上、下底面均为等腰直角三角形，一条侧棱垂直于底面，求出其表面积即可．本题考查了利用几何体的三视图求表面积的应用问题，也考查了空间想象能力、运算求解能力，是综合性题目．5.答案：B解析：【分析】本题考查二倍角的余弦．诱导公式的化简与求值，考查计算能力，是基础题．利用诱导公式求出cosα=13，同时化简cos(π+2α)为cosα的形式，然后代入求解即可．【解答】解：由sin(π2+α)=13得cosα=13，cos(π+2α)=−cos2α=−(2cos2α−1)=79，故选B．6.答案：D 解析：本题考查了合情推理的应用，属于基础题．先假设甲、乙、丙、丁中的其中一个登上峰顶，然后再逐个去判断四个人的说法，最后看是否满足题意，不满足排除．【解答】解：如果登到峰顶的是甲，则四人说的都错了，与题设矛盾，故不是甲；如果登到峰顶的是乙，则只有丁说的是对的，与题设矛盾，故不是乙；如果登到峰顶的是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故不是丙；如果登到峰顶的是丁，则甲，丙说的是对的，与题设相符，故是丁．故选D ．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查复合函数的单调性，根据复合函数单调性的判断方法：同增异减即可判断，求解时要将函数y =log 2(6−x −x 2)分解成两个基本函数：t =6−x −x 2和y =log 2t ，易错点是不求函数的定义域．【解答】解：由6−x −x 2>0得−3<x <2，所以函数y =log 2(6−x −x 2)的定义域为(−3,2)，令t =6−x −x 2，则y =log 2t ，因为t =6−x −x 2在(−3,−12)上单调递增，在[−12,2)上单调递减，又y =log 2t 单调递增，所以y =log 2(6−x −x 2)在[−12,2)上单调递减．故选D ．8.答案：A解析：解：结合向量数量积的几何意义及点O 在线段AB ，AC 上的射影为相应线段的中点，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗|22=16，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|22=18，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =16−18=−2；故选A ．利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题解析：【分析】本题考查数列的函数特征及数列的求和，属于中档题．由题意，可得f(x)+f(1−x)=1，从而利用倒序相加法即可得出答案．【解答】解：∵f(x)=4x 4x +2，∴f(x)+f (1−x )=4x 4x +2+41−x41−x +2=4x4x +2+44+2·4x =1， ∴S 2019= a 1+a 2+a 3+⋯ +a 2018+a 2019 =f (12019)+f (22019)+f (32019)+ ⋯+f (20172019)+f (20182019)+f (20192019) =[f (12019)+f (20182019)] +[f (22019)+f (20172019)] +[f (32019)+f (20162019)]+⋯+f (1) =1009×1+44+2=30293．故选A ．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出目标函数的最大值对应的直线，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最值建立方程关系进行求解即可．【解答】解：不等式{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0所表示的平面区域如图，目标函数z =2x +y ，即y =−2x +z ，平移直线y =−2x +z ，当直线在y 轴上截距最大时，z 有最大值，由图可知，当直线经过直线2x −y =0和x +y =3的交点(1,2)时，z 有最大值为2×1+2=4．故选B ．11.答案：D解析：解：根据函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得T2=3π4−5π12=πω，∴ω=3，将(7π12,−1)代入，可得sin(7π4+φ)=−1，故，又|φ|<π2，∴φ=−π4，∴f(x)=sin(3x−π4)，∴f(π2)=sin5π4=−√22，故选D．由周期求出ω的值，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f(x)的解析式，从而求得f(π2)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，从而解不等式的问题，熟练掌握相关方法和技巧是解决此类问题的关键．【解答】解：令ℎ(x )=f (x )lnx,x ∈[e,+∞), 则ℎ′(x )=f (x )x+f′(x )lnx =f (x )+xf′(x )lnxx<0，∴函数ℎ(x)在[e,+∞)上单调递减，又ℎ(4)=f(4)ln4=0，∴在[e,4)上，ℎ(x)>0，在[4,+∞)上，ℎ(x)<0，又当x ∈[e,+∞)时，lnx ≥1， ∴不等式f(x)>0的解集为[e,4)，故选A .13.答案：3解析：【分析】此题考查幂函数的解析式，考查幂函数的性质，关键是对幂函数的解析式、性质的熟练掌握．【解答】解：因为幂函数y =(m 2−5m +7)⋅x m2−6上单调递增，所以{m 2−5m +7=1m 2−6>0，解得m =3．故答案为3．14.答案：12解析：【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，数量积，加减运算，向量的夹角，属于中档题．由条件得到c⃗=(1+4m,2+2m)，利用向量的夹角相等，求得结果．【解答】解：∵a⃗=(1,2),b⃗ =(4,2)，∴c⃗=a⃗+m b⃗ =(1,2)+m(4,2)，∴c⃗=(1+4m,2+2m)，∴，c⃗٠b⃗=4(1+4m)+2(2+2m)=20m+8，|a⃗|=√5，|b⃗ |=2√5，∵依题意：c⃗ ·a⃗|c⃗|·|a⃗|=c⃗ ·b⃗|c⃗|·|b⃗|，∴√5=2√5，∴m=12，故答案为12．15.答案：4解析：【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足9a +1b=3，∴9a +1b=3≥2√9a⋅1b，化为ab≥4，当且仅当b=23，a=6时取等号，故ab的最小值为4．故答案为：4．16.答案：4解析：利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中作出函数y=f(x)，y=log3|x|的图象如图，由图象可知原函数有4个零点．17.答案：解：若p真：ax2+2x+1>0恒成立1°若a =0则2x +1>0⇒x >−12不符合条件2°若a ≠0则{a >0△<0⇒{a >04−4a <0⇒a >1 综上a >1，若q 真：a ≤2，由p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题可判p 与q 一真一假，故p 真q 假时：{a >1a >2，∴a >2， p 假q 真时：{a ≤1a ≤2，∴a ≤1，综上a 的取值范围是a ≤1或a >2．解析：分别求出关于p ，q ，￢p ，￢q 的a 的范围，通过讨论p 真q 假，p 假q 真的情况，从而求出a 的范围．本题考查了复合命题的真假的判断，考查了分类讨论思想，是一道基础题．18.答案：解：(1)∵2a+b c =cos(A+C)cosC ，利用正弦定理可得：2sinA+sinB sinC =−cosB cosC，化为2sinAcosC +sin(B +C)=0，∴2sinAcosC +sinA =0，又sinA ≠0，解得cosC =−12，C ∈(0,π)，解得C =2π3．(2)由正弦定理可得：a +bc =sinA +sinB sinC=2√33[sinA +sin(π3−A)] =2√33sin(A +π3)， ∵A ∈(0,π3)，∴A +π3∈(π3,2π3)，∴sin(A +π)∈(√3,1], ∴a+b c =2√33sin(A +π3)∈(1,2√33]．解析：本题考查了正弦定理、和差公式、诱导公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由2a+b c =cos(A+C)cosC ，利用正弦定理可得：2sinA+sinB sinC =−cosB cosC ，化简利用和差公式即可得出．(2)由正弦定理可得：a+b c =sinA+sinB sinC =2√33sin(A +π3)，由A ∈(0,π3)，即可得出． 19.答案：解：(1)因为S n+1=S n +2a n +5，所以a n+1=2a n +5，则a n+1+5=2(a n +5)，所以a n+1+5a n +5=2a n +10a n +5=2，而a 1+5=6，所以{a n +5}是以6为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得a n +5=6×2n−1=3×2n ，a n =3×2n −5，∴S n =3×(2+22+23+⋯+2n )−5n=3×2×(1−2n )1−2−5n =6×2n −6−5n ，由S n +5n =6×2n −6>128，得2n >673，因为25>673>24，所以S n +5n >128时，n 的最小值为5．解析：本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用已知条件推出a n+1=2a n +5，然后证明{a n +5}是等比数列；(2)求出数列的通项公式和数列的前n 项和，然后化简不等式求解即可．20.答案：(1)证明：如图连接BD 交AC 于O ，连接OM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，又M 是PB 的中点，∴OM//PD ，又OM ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ，∴PD//平面MAC ．(2)解：∵AC =√2，CD =2，∠ACD =45°，∴AD =√CD 2+AC 2−2AC ⋅CD ⋅cos45°=√2，∴AD 2+AC 2=CD 2，∴AD ⊥AC ．取CD 的中点E ，连接AE ，PE ，∵AD =AC =√2，∴AE ⊥CD ，且AE =12CD =1，又CD ⊥PA ，PA ∩AE =A ，PA 、AE ⊂平面PAE ，∴CD ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴CD ⊥PE ．∴PE =√PC 2−CE 2=1，又PA =√2，AE =1，∴PA 2=PE 2+AE 2，∴PE ⊥AE ，又CD ∩AE =E ，CD 、AE ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ， ∴V P−ABCD =13S 平行四边形ABCD ⋅PE =13×12×√2×√2×2×1=23．解析：本题考查了线面平行的判定，考查线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．(1)连接BD 交AC 于O ，连接OM ，利用中位线可得OM//PD ，故PD//平面MAC ；(2)取CD 的中点E ，连接AE ，PE ，证明CD ⊥平面PAE ，得出CD ⊥PE ，再根据勾股定理得出PE ⊥AE ，故而PE ⊥平面ABCD ，代入棱锥的体积公式计算即可．21.答案：解：(1)函数的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1x −a x 2，f′(1)=1−a ，f(1)=a −2，故曲线y =f(x)在(1,f(1))处的曲线方程是：y −(a −2)=(1−a)(x −1)，即(a −1)x +y −2a +3=0，又曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线为：2x +y −3=0，故a =3；(2)由于f′(x )=x−ax 2，①若a ≤0，对于x ∈(0,+∞)，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(0,+∞)递增，故函数的递增区间是(0,+∞)；②若a >0，当x ∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)递减，x ∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在(0,a)递减，在(a,+∞)递增；(3)a >0时，直线即y =−(a +1)x +2(a −1)，令g (x )=f (x )−[−(a +1)x +2(a −1)]，g′(x )=(a+1)(x+1)(x−a a+1)x 2，∵a >0，x >0，∴a +1>0，x +1>0，且a a+1∈(0,1)，当0<x <a a+1时，g′(x)<0，g(x)在(0,aa+1)递减，x >a a+1时，g′(x)>0，g(x)在(a a+1,+∞)递增，故x =a a+1时，g(x)取得最小值ln a a+1+a +1+a −2a =1+ln a a+1，∵曲线y=f(x)都在直线(a+1)x+y−2(a−1)=0的上方，故g(x)≥0，故g(x)min=1+ln aa+1>0，aa+1>1e,a>1e−1，故a的范围是(1e−1,+∞)．解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(3)令g(x)=f(x)−[−(a+1)x+2(a−1)]，求出函数的导数，得到函数g(x)的单调区间，从而求出g(x)的最小值，求出a的范围即可．22.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x−a|−2.若a=1，不等式f(x)+|2x−3|>0，化为：|x−1|+|2x−3|>2．当x≥32时，3x>6.解得x>2，当x∈(1,32)时，可得−x+2>2，不等式无解；当x≤1时，不等式化为：4−3x>2，解得x<23，不等式的解集为：(−∞,23)∪(2,+∞)；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)<|x−3|恒成立，可得|x−a|−2<|x−3|，设f(x)=|x−a|−|x−3|，因为|x−a|−|x−3|≤|a−3|，所以f(x)max=|a−3|，即：|a−3|<2，所以a的取值范围为(1,5)．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)可得|x−a|−2<|x−3|，设f(x)=|x−a|−|x−3|，求出f(x)的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．。

华师一附中2020-2021学年度上学期期中检测高一数学试卷

华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分考试时间120分钟命题人：张丹审题人：黄进林一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1 ．已知{}3,0,1A =−，{}4,3,1B =−−，则A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．7C ．15D ．31 2 ．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3 ．已知函数()f x 的定义域为(1,1)−，函数()()21g x f x =−，则函数()g x 的定义域为（）A ．()1,1−B ．()0,1C ．()3,1−D ．()()()3,1f f −4 ．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（）A ．B ．6C ．D ．3+5 ．函数()f x 的单调递减区间是（）A ．(],2−∞B ．[)2,+∞C ．[]0,2D ．[]2,46 ．若关于x 的不等式()2121x x a a a −+−++∈R ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．10a −＜＜ B ．01a ＜＜ C ．12a ＜＜ D ．1a −＜7 ．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递减，()20f −=，则不等式()0xf x ＞的解集为（）A ．()(),20,2−∞−B ．()(),22,−∞−+∞C ．()()2,00,2−D ．(2,0)(2,)−+∞ 8 ．已知函数()22+1f x x x =−+，[]0,2x ∈，函数()1g x ax =−，[]1,1x ∈−，对于任意[]10,2x ∈，总存在[]21,1x ∈−，使得()()21g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],3−∞− B ．[)3,+∞ C ．(][),33,−∞−+∞ D ．()(),33,−∞−+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9 ．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（） A ．a b c ＞＞ B ．c b a ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a c b ＞＞ 10．下列各结论中正确的是（）A ．“0ab ＞”是“0ab＞”的充要条件B ．函数y =+ 2C ．命题“1x ∀＞，20x x −＞”的否定是“01x ∃≤，2000x x −≤” D ．若函数21y x ax =−+有负值，则实数a 的取值范围是2a ＞或2a −＜11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x ＞时，()0f x ＞．以下结论正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数12．设定义域为R 的函数()1, 11,1x x f x x x ⎧≠−⎪+=⎨⎪=−⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且123x x x ＜＜．下列说法正确的是（）A ．2221235x x x ++= B ．10a b ++=C ．1322x x x +＞D ．132x x +=−三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合{}2,1A =−，{}2B x ax ==，若A B B =，则实数a 的取值集合为_______． 14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++−=在区间()1,2−内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是_______．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第_______种购物方式比较经济．16．已知函数()2=x ax af x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合{}12A x x =−≤，2614x B x x ⎧−⎫=⎨⎬−⎩⎭＜，定义{}A B x x A x B −=∈∉且.（1）求A B −；（2）求B A −． 18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2312310A x x a x a =−++−＜，集合(){}223220B x x a a x a a =−++++＜.命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.已知函数()21mx nf x x +=+是定义在[]1,1−上的奇函数，且()11f =.（1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明；（2）求使()()2110f a f a −+−＜成立的实数a 的取值范围． 20．（本题满分12分）已知函数()()21f x x a x =−++()a ∈R ．（1）若对于任意[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值()g a ．华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米()36x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为()18001a x x+元()0a ＞，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[],a b 时，函数值的取值区间恰为22,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[],a b 为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()3g x x =−+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在()0,+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合()(){}(){}2,,x y y h x x y y xm ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．。

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2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. f(x)=√1−2x +√x+3的定义域为( )A. (−∞,−3)∪(−3,0]B. (−∞,−3)∪(−3,1]C. (−3,0]D. (−3,1]2. 函数y =√x +ln(1−x)的定义域为( )A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1]3. 设集合A ={0,1，a}，B ={1,3}，若A ∪B ={0,1，3，4}，则实数a 的值是( )A. 0B. 1C. 3D. 4 4. 已知正实数，b 满足(12)a=log 2a ，(13)b=log 2b ，则( )A. a <b <1B. 1<b <aC. b <l <aD. 1<a <b5. 已知函数f(x)={x 2+2x +m,x <124x −3,x ≥12的最小值为−1.则实数m 的取值范围是( ) A. (0,+∞) B. [0,+∞)C. (−94,+∞)D. [−94,+∞) 6. 已知f(2x +3)=x +5，且f(t)=6，则t = ( )A. 5B. 4C. 2D. −17. 设f (x )={2x +a (x >2)x +a 2(x ≤2)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. [0,4]C. [2,+∞)D. (−∞,−1]∪[2,+∞)8. 已知函数f(x)=(x −a)(x −b)，其中a <b ，则下列关于f(x)的说法正确的是( )A. 若函数f(x)在区间(m,n)内只有一个零点，则必有f(m)f(n)<0B. 若函数f(x)在区间(m,n)内有两个零点，则必有f(m)f(n)<0C. 若函数y =f(x)−t(t >0)在上有两个零点α，β(α<β)，则必有α<a <b <βD. 若函数y =f(x)−t 在上有两个零点α，β(α<β)，则存在实数t ，使得α+β>a +b 9. 已知函数f (x )=(12)x−x 2−2x ，则函数f (x )的大致图象为( )A. B.C. D.10.若对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x+2012)=−f(x+2011)，且f(2012)=−2012，则f(−1)=()A. 1B. −1C. 2012D. −201211.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+1)=0，当x∈[3,5]时，f(x)=2−|x−4|，则()A. f(sin1)>f(cos1)B. f(sin2π3)<f(cos2π3)C. f(sinπ6)<f(cosπ6) D. f(sin2)>f(cos2)12.已知x>0时，f(x)=x−2016，且知f(x)在定义域上是奇函数，则当x<0时，f(x)的解析式是()A. f(x)=x+2016B. f(x)=−x+2016C. f(x)=−x−2016D. f(x)=x−2016二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：_______ ；e0+√(1−√2)2−816=_______．14.若幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)为偶函数，且在区间上递增，则f(−12)=．15.函数f(x)=lnx−2√x的最大值为______ ．16.设函数f(x)=asinx+bx+x2，若f(1)=0，则f(−1)=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U=R，集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|0<x<4}，C={x|x<a}．(1)求A∩B，A∪B；(2)求(∁U A)∩(∁U B)(3)若B⊆C，求实数a的取值范围．18.(1)已知f(x+1)=x2−2x，求f(x)．(2)求函数f(x)=11−x(1−x)的最大值．19.某企业生产一种产品，由于受技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验，其次品率Q与日产量x(万件)之间满足关系：Q={12(12−x),1≤x≤a,1 2,a<x≤11(其中a为常数，且1<a<11).已知每生产1万件合格的产品可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元(注：次品率=次品数/生产量，如Q=0.1表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品)．(1)试将生产这种产品每天的盈利额P(x)(万元)表示为日产量x(万件)的函数;(2)当日产量为多少时，可获得最大利润⋅20.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=−1对称，且当x>0时f(x)=1x，则当x<−2时，求f(x)的解析式．21.函数f(x)的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明．22.已知二次函数y=f(x)对任意x∈R，有f(1+x)=f(1−x)，函数f(x)的最小值为−3，且f(−1)=5．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=kx−3在区间(0,2)上有两个不相等实数根，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由{1−2x ≥0x +3>0，解得：−3<x ≤0，∴f(x)=√1−2x +√x+3的定义域为(−3,0]．故选：C ．由根式内部的代数式大于等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题． 2.答案：B解析：解：要使函数有意义，则{x ≥01−x >0得{x ≥0x <1，即0≤x <1，即函数的定义域为[0,1)，故选：B根据函数成立的条件进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 3.答案：D解析：解：集合A ={0,1，a}，B ={1,3}，若A ∪B ={0,1，3，4}，则实数a =4．故选：D ．根据并集的定义，结合题意求出实数a 的值．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 4.答案：B解析：解：在同一坐标系中分别作出函数y =(12)x ，y =(13)x 及y =log 2x 的图象如图：由图可知，1<b <a ．故选：B ．由题意画出函数y =(12)x ，y =(13)x 及y =log 2x 的图象，数形结合得答案．本题考查对数值的大小比较，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 5.答案：B解析：解：函数f(x)={x 2+2x +m,x <124x−3,x ≥12的最小值为−1．可知：x ≥12时，4x −3=−1，解得x =12，因为y =4x −3是增函数，所以只需y =x 2+2x +m ≥−1，x <12恒成立即可．y =x 2+2x +m =(x +1)2+m −1≥m −1，所以m −1≥−1，可得m ≥0．故选：B ．利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m 的范围即可．本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查发现问题解决问题的能力． 6.答案：A解析：【分析】本题主要考查复合函数的计算，属于基础题．【解答】解：因为f(2x +3)=12(2x +3)+72，所以f(x)=12x +72．由f(t)=6，得12t +72=6，解得t =5．故选A ．7.答案：D解析：【分析】本题考查了分段函数的值域，属于中档题．f(x)是分段函数，在每一区间内求f(x)的取值范围，再求它们的并集得出值域，由f(x)的值域为R ，得出a 的取值范围．【解答】解：函数f (x )={2x +a,(x >2)x +a 2,(x ≤2), 当x >2时，f(x)=2x +a ，在(2,+∞)上为增函数，f(x)∈(4+a,+∞)；当x≤2时，f(x)=x+a2，在(−∞,2]上为增函数，f(x)∈(−∞,2+a2]；若f(x)的值域为R，则(−∞,2+a2]∪(4+a，+∞)=R，则2+a2≥4+a，即a2−a−2≥0解得a≤−1，或a≥2，则实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[2,+∞)．故选D．8.答案：C解析：【分析】本题考查了函数零点存在定理、二次函数的零点与对称性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于中档题．根据方程判断函数的零点，再一一判断选项即可．【解答】解：由于函数f(x)=(x−a)(x−b)，其中a<b，令f(x)=0，可得x=a或b，因此函数f(x)有两个零点，A.函数f(x)在区间(m,n)内只有一个零点，则必有f(m)f(n)≤0，因此不正确；B.若函数f(x)在区间(m,n)内有两个零点，则必有f(m)f(n)>0，因此不正确；C.函数f(x)=t(t>0)在上有两个零点α，β(α<β)，则必有α<a<b<β，正确；D.函数f(x)=t在上有两个零点α，β(α<β)，则α+β=a+b，因此不存在实数t，使得α+β> a+b，不正确．故选：C．9.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的识别问题，属于基础题．根据函数的性质和特殊值对函数图象进行排除即可．【解答】解：∵f(0)=1，故排除D;∵f (x )=(12)x−x 2−2x 在(0,+∞)为减函数，故排除A ，C ；故选B ． 10.答案：C解析：解：∵f(x +2012)=−f(x +2011)=f(2010+x)即f(t)=f(t +2) ∴函数的周期为T =2∴f(2012)=f(0)=−2012，对于f(x +2012)=−f(x +2011)，令x =−2012，则可得f(0)=−f(−1)=−2012 ∴f(−1)=2012 故选Cf(x +2012)=−f(x +2011)=f(2010+x)可得函数的周期为T =2，从而可求得f(2012)=f(0)=−2012，在f(x +2012)=−f(x +2011)中，可令x =−2012，则可得f(0)=−f(−1)=−2012，从而可求本题主要考查了抽象函数的函数值的求解，解题中要注意善于利用赋值法进行求解，解题的关键是由已知关系寻求函数的周期 11.答案：B解析：解：根据题意，函数f(x)满足f(x)+f(x +1)=0，即f(x +1)=−f(x)，则f(x +2)=−f(x +1)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，又由当x ∈[3,5]时，f(x)=2−|x −4|，则函数f(x)的图象关于直线x =4对称，在[3,4]上为增函数，在[4,5]上为减函数，则函数f(x)在[0,1]上为减函数，又由sin2π3=√32，cos 2π3=−12，则0<|cos 2π3|<|sin2π3|<1，则有f(sin2π3)<f(cos 2π3)；故选：B ．根据题意，由f(x)+f(x +1)=0分析可得f(x +2)=−f(x +1)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，结合函数的解析式可得函数f(x)的图象关于直线x =4对称，在[3,4]上为增函数，在[4,5]上为减函数，进而可得函数f(x)在[0,1]上为减函数，又由sin2π3=√32，cos 2π3=−12，分析可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，涉及函数的周期性，注意分析函数的周期，属于基础题．12.答案：A解析：设x <0，则−x >0，所以f(−x)=−x −2016，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(−x)=x +2016． 13.答案：2 ；0解析：【分析】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属基础题．利用对数、指数性质、运算法则直接求解．【解答】解：log 69+2log 62=log 69+log 64=log 636=2； e 0+√(1−√2)2−816=1+√2−1−√2=0．故答案为2；0． 14.答案：16解析：【分析】本题考查了幂函数及函数的奇偶性与单调性，属于中档题．由偶函数得在区间上递减，所以m 2−2m −3<0，解得−1<m <3，又m ∈Z ，则m =0，1，2，检验即可．【解答】解：若幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)为偶函数，且在区间上递增，则在区间上递减，所以m 2−2m −3<0，解得−1<m <3，又m ∈Z ，则m =0，1，2，当m =0时，f(x)=x −3为奇函数，不满足题意，当m =1时，f(x)=x −4为偶函数，满足题意，当m =2时，f(x)=x −3为奇函数，不满足题意，所以m =1，f(x)=x −4，所以f(−12)=(−12)−4=24=16，故答案为16． 15.答案：−2解析：解：函数f(x)=lnx −2√x 的导数为 f′(x)=1x −√x=1−√x x，当x >1时，f′(x)<0，f(x)递减；当0<x <1时，f′(x)>0，f(x)递增．可得f(x)在x =1处取得极大值，也为最大值，且f(1)=ln1−2=−2．故答案为：−2．由已知函数f(x)=lnx −2√x ，我们可以求出函数的导函数的解析式，判断出函数的单调性，进而得出当x =1时，函数f(x)取极大值，且为最大值．本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求出单调区间，可得极大值且为最大值，考查运算能力，属于基础题． 16.答案：2解析：【分析】本题主要考查了函数与方程，整体代换思想，属于中档题．根据f(1)=0可得，在求f(−1)，整体带入求值即可．【解答】解：根据题意，函数f(x)=asinx +bx +x 2，若f(1)=0，则f(1)=asin1+b +1=0，则，∴f(−1)=asin(−1)+b ×(−1)+1=−(asin1+b)+1=2．故答案为2．17.答案：解：(1)∵A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|0<x <4}， ∴A ∩B ={x|0<x ≤3}，A ∪B ={x|−1≤x <4}； (2)∁U A ={x|x >3或x <−1}，∁U B ={x|x ≥4或x ≤0}，则(∁U A)∩(∁U B)={x|x ≥4或x <−1}． (3)若B ⊆C ，a ≥4．即实数a 的取值范围[4,+∞)．解析：(1)根据集合的基本运算即可求A ∩B ，A ∪B ； (2)根据集合的基本运算求(∁U A)∩(∁U B)(3)根据集合关系，确定满足条件的取值范围即可．本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础． 18.答案：解：(1)由题意：f(x +1)=x 2−2x ，令t =x +1，则x =t −1，那么：f(x +1)=x 2−2x ，转化为g(t)=(t −1)2−2(t −1)=t 2−4t +3 所以f(x)=x 2−4x +3； (2)f(x)=11−x(1−x)，=1x 2−x+1， =1(x−12)2+34，因为(x −12)2+34≥34，所以f(x)的最大值为43．解析：本题考查了函数解析式的求法，以及函数的最值问题，属于基础题． (1)利用换元法，令t =x +1，则x =t −1，带入化简可得f(x)的解析式． (2)根据函数的性质即可求出最值．19.答案：解：(1)当a <x ≤11时，Q =12，∴P(x)=(1−12)x ×2−12x ×1=12x.当1≤x ≤a 时，Q =12(12−x)，∴P(x)=2(1−Q)x −Qx =2x [1−12(12−x)]−x2(12−x)=45x−4x 22(12−x)．综上，日盈利额P(x)(万元)与日产量x(万件)的函数关系式为P(x)={45x−4x 22(12−x),1⩽x ⩽a x 2,a <x ⩽11，(其中a 为常数，且1<a <11)．(2)当a <x ≤11时，P(x)=x 2，其最大值为5.5万元．当1≤x ≤a 时，P(x)=45x−4x 22(12−x)，设t =12−x ，则12−a ≤t ≤11，此时，P(x)=45(12−t)−4(12−t)22t =−4t 2+51t−362t =512−2(t +9t )≤272，显然，当且仅当t =3，即x =9时，P(x)有最大值，为13.5万元．令P(x)=45x−4x 22(12−x)<5.5，得x 2−14x +33>0，解得x >11(舍去)或x <3．则(i)当1<a <3时，日产量为11万件时，可获得最大利润5.5万元．(ii)当3≤a <9时，1≤x ≤a 时，函数P(x)可看成是由函数y =512−2(t +9t )(12−a ≤t ≤11)与t =12−x(1≤x ≤a)复合而成的．因为3≤a <9，所以3<12−a ≤9，故y =512−2(t +9t)在[12−a,11]上为减函数，又t =12−x 在[1,a]上为减函数，所以P(x)在[1,a]上为增函数，故当日产量为a 万件时，可获得最大利润P(a)=45a−4a 22(12−a)万元．(iii)当9≤a <11时，日产量为9万件时，可获得最大利润13.5万元．解析：本题考查了利润函数模型的应用，并且利用导数方法求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，分类讨论思想．是中档题．(1)每天的赢利为T =日产量(x)×正品率(1−P)×2−日产量(x)×次品率(P)×1，根据分段函数分段研究，整理即可；(2)利用函数的导数得出单调性，再求函数的最大值．20.答案：f(x)=−1x+2解析：∵函数y =f(x)的图象关于直线x =−1对称，∴f(x)=f(−2−x).∵x <−2，∴−2−x >0，∴f(−2−x)=−1x+2，∴f(x)=−1x+2． 21.答案：解：(1)令x 1=x 2=1，有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0．(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x 1=x 2=−1，有f[(−1)×(−1)]=f(−1)+f(−1)，解得f(−1)=0．令x1=−1，x2=x，有f(−x)=f(−1)+f(x)，所以f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数．解析：本题考查了抽象函数，考查了函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及对数函数的性质，属中档题．(1)令x1=x2=1，，得到f(1)=2f(1)，即可得解；(2)令x1=x2=−1，可得到f(−1)，令x1=−1，x2=x，可得f(x)为偶函数；22.答案：解：(1)设二次函数解析式为y=a(x−b)2+c，a≠0．∵对于任意x∈R，有f(1+x)=f(1−x)．∵二次函数对称轴x=1∴b=1．∵函数最小值为−3，∴a>0c=−3．∵f(−1)=5，∴a=2.，∴f(x)=2(x−1)2−3=2x2−4x−1．综上：函数解析式f(x)=2x2−4x−1．(2)由题意得：f(x)=kx−32x2−(k+4)x+2=0．令g(x)=2x2−(k+4)x+2∵2x2−(k+4)x+2=0在(0,2)上有两个不相等的实数根∴{g(2)>0g(0)>0Δ>00<k+42×2<2⇒{k<12>0k<−8或k>00<k<4．∴0<k<1．∴k的取值范围(0,1)．解析：本次主要考查二次函数的性质，是中档题．(1)利用待定系数法求二次函数的解析式，首先根据对称性得b=1，再根据最值得c=−3．且f(−1)=5得a=2，从而得解．(2)根据二次函数及函数的零点与方程的根的关系即可得解．。