浙江省名校新高考研究联盟(Z20)2019届第二次联考 数学 试题卷及答案
浙江名校新高考研究联盟2019高三第二次联考-数学(理)
浙江名校新高考研究联盟2019高三第二次联考-数学（理）数学(理科)试题卷本卷须知1、本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答、答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名;2、本试题卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，全卷总分值150分，考试时间120分钟、参考公式：假如事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+、假如事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅、假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次 的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 、 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径、 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径、 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高、 锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高、台体的体积公式121()3V h S S =，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高、第I 卷(选择题 共50分)【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1、设全集=U R ，集合}0|{≥=x x A ，}032|{2<--=x x x B ，那么=B A C U )(( )A. }03|{<<-x xB. }01|{<<-x xC. }10|{<<x xD. }30|{<<x x2、复数i m z 21+=，i z -=22，假设21z z 为实数，那么实数m 的值为( )A. 1B. 1-C. 4D. 4-3、右图是计算10181614121++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( ) A. ?5>k B . ?5<k C. ?10>k D. ?10<k 4、在52)1(xx +的展开式中x 的系数为 ( )A. 5B. 10C. 20D. 405、数列}{n a 前n 项和为n S ，那么“02>a ”是“数列}{nS 为递增数列”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件A.假如平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l =βα ，那么γ⊥lB.假如平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.假如平面⊥α平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β 7、1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，假设21MF F ∠为锐角，那么双曲线离心率的取值范围是() A.)2,1(B.),2(∞+C.)2,1(D.),2(∞+8、从集合}10,,3,2,1{ 中任取5个数组成集合A ，那么A 中任意两个元素之和不等于11的概率为 A.9451B.634C.638D.6316() 9、函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=)0(,3)0(,1)(3x x x x x x f ，那么函数a x x f x F -+=)2()(2〔2>a 〕的零点个数不可．．（第3题）能．为 A.3 B.4C.5D.6()10、在ABC ∆中，4=AB ，87cos =B ，AC 边上的中线234=BD ，那么=A sin ()A.863B.66C.810D.610第二卷〔非选择题，共100分〕【二】填空题〔此题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直截了当答在答题卷上指定的位置〕11、)(x f 为奇函数，且当0>x 时x x f 2log )(=，那么=-)4(f ▲、12、直线b x y +=交圆122=+y x 于A 、B 两点，且o 60=∠AOB 〔O 为原点〕，那么实数b 的值为▲、13、一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为▲、 14、实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤+2122x y x y x ，那么|2|y x z +=的最大值是▲、15、将3个小球随机地放入3个盒子中，记放有小球的盒子个数为X ，那么X 的均值=)(X E ▲、16、非零向量，夹角为060，且1||=-b a ，那么||b a +的取值范围为▲、17、P 为抛物线C ：x y 42=上的一点，F 为抛物线C 的焦点，其准线与x 轴交于点N ，直线NP 与抛物线交于另一点Q ，且QF PF 3=，那么点P 坐标为▲、【三】解答题：(本大题共5小题，共72分、解承诺给出文字说明，证明过程或演算步骤、) 18、〔此题总分值14分〕函数)sin()(ϕω+=x A x f (∈x R ，0>A ，0>ω，20πϕ<<)图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点、且2||=，25||=，213||=、（第13题）正视图 侧视图俯视图〔Ⅰ〕求函数)(x f y =的解析式；〔Ⅱ〕将函数)(x f y =图象向右平移1个单位后得到函数)(x g y =的图象，当]2,0[∈x 时，求函数)()()(x g x f x h ⋅=的最大值、19、〔此题总分值14分〕数列}{na 是公比为21的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，前n 项和为n S 、数列}{n b 是等差数列，81=b ，前n项和nT 满足λλ(1+⋅=n nb n T 为常数，且)1≠λ、〔Ⅰ〕求数列}{na 的通项公式及λ的值；〔Ⅱ〕比较nT T T 11121+++ 与n S 21的大小.20、〔此题总分值14分〕如图，四边形ABCD 中，BCD ∆为正三角形，2==AB AD ，32=BD ，AC 与BD 交于O 点、将ACD ∆沿边AC 折起，使D 点至P 点，PO 与平面ABCD 所成的角为θ，且P 点在平面ABCD 内的射影落在ACD ∆内、 〔Ⅰ〕求证：⊥AC 平面PBD ；〔Ⅱ〕假设二面角D PB A --的余弦值为721，求θ的大小.21、〔此题总分值15分〕如图，分别过椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 左右焦点1F 、2F 的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满足4321k k k k +=+、当l 1与x 轴重合时，32||=AB ，334||=CD 、〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕是否存在定点M 、N ，使得||||PN PM +为定值、假设存在，求出M 、N 点坐标，假设不存在，说明理由、22、〔此题总分值15分〕0>a ，函数ax xa x f -+=ln )(，],1[2e x ∈、〔Ⅰ〕当3=a 时，求曲线)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕假设23)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围、（第21题）DBCOP（第20题）浙江省名校新高考研究联盟2018届第二次联考数学〔理科〕试题参考答案1－5:：BDABB6--10：DDCAC 11、-2；12、26±；13、31；14、5； 15、919；16、]3,1(；17、)32,3(±、18、解〔Ⅰ〕由余弦定理得51cos 222==∠POQ ，〔2分〕∴52sin =∠POQ ，得P 点坐标为)1,21(、〔3分〕 ∴1=A ，6)212(42=-=ωπ，3πω=、〔5分〕 由1)6sin()21(=+=ϕπf ，20πϕ<<得3πϕ=、∴)(x f y =的解析式为)33sin()(ππ+=x x f 、〔7分〕 〔Ⅱ〕xx g 3sin)(π=，〔9分〕 xx x x x x g x f x h 3cos 3sin 233sin 213sin )33sin()()()(2ππππππ+=+=⋅=41)632sin(2132sin 43432cos 1+-=+-=ππππx x x、〔12分〕 当]2,0[∈x 时，]67,6[632ππππ-∈-x ，∴当2632πππ=-x ，即1=x 时43)(max =x h 、〔14分〕 19、解〔Ⅰ〕由题意)1()1(3122+=-a a a ，即)141()211(1121+=-a a a 〔2分〕解得211=a ，∴n n a )21(=〔4分〕 又⎩⎨⎧==32212b T b T λλ，即⎩⎨⎧+=++=)28(216)8(8d d d λλ〔6分〕解得⎪⎩⎪⎨⎧==821d λ或⎩⎨⎧==01d λ〔舍〕∴21=λ〔8分〕 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知n n S )21(1-=∴41)21(21211≥-=+n n S ①〔10分〕 又n n T n442+=，)111(41)1(411+-=+=n n n n T n ∴41)111(41)1113121211(4111121<+-=+-++-+-=+++n n n T T T n ②〔13分〕由①②可知n n S T T T 2111121<+++ 〔14分〕20.解：(Ⅰ)易知O 为BD 的中点，那么AC BD ⊥，又AC PO ⊥， 又BDPO O =，,BD PO ⊂平面PBD ，因此AC ⊥平面PBD 〔5分〕(Ⅱ)方法一：以OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O平面ABC 向上的直线为z 轴建立如下图空间 直角坐标系，那么(0,1,0)A -,B()P θθ〔7分〕易知平面PBD 的法向量为(0,1,0)j =〔8分〕(3,1,0)AB =，()AP θθ=设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =（第20题）那么由n AB n AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得，303n AB x yn AP θx y θz=0⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++⎪⎩解得，cos 1sin y θ+z x θ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1x =，那么cos 1(1,3,)sin θn θ+=-〔11分〕那么|||cos ,|7||||n j n j nj ⋅<>===解得，22(cos 1)3sin θ+θ=cos 1θθ=-，即1sin 62πθ=-（），又πθ02∈（，），∴πθ=3故πθ=3.〔14分〕方法二：作OE PB ⊥，连接AE ，由(Ⅰ)知AO ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，∴AO ⊥PB ，又AO OE O =，,AO OE ⊂平面AOE， ∴PB ⊥平面AOE ，又AE ⊂平面AOE ， ∴PB ⊥AE ，∴AEO ∠即为二面角A PB D --的平面角〔8分〕作PF OD ⊥于F ，由AC ⊥平面PBD 及PF ⊂平面PBD 知，AC PF ⊥又ODAC O =，,OD AC ⊂平面ABCD ，因此PF ⊥平面ABCD因此POF ∠即为直线PO 与平面ABCD 所成的角，即POF θ∠=〔10分〕 在Rt AOE ∆中，1,πθθAO OE 222⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， DBCOP（第20题）EF由cos AEO ∠=7知，tan1AOAEO θOE2∠===，那么1sin 2θ2=，又πθ02∈（，），因此πθ=3，故πθ=3.〔14分〕 21、解〔Ⅰ〕当l 1与x 轴重合时，04321=+=+k k k k ，即43k k -=，〔2分〕∴l 2垂直于x 轴，得322||==a AB ，3342||2==a b CD ，〔4分〕 得3=a ，2=b ，∴椭圆E 的方程为12322=+y x 、〔6分〕 〔Ⅱ〕焦点1F 、2F 坐标分别为(-1,0)、(1,0)、当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(-1,0)或(1,0)、当直线l 1、l 2斜率存在时，设斜率分别为1m ，2m ，设),(11y x A ，),(22y x B ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(123122x m y y x 得0636)32(2121221=-+++m x m x m ，∴212121326m m x x +-=+，2121213263m m x x +--=、〔8分〕)2()11(2121122111221121x x x x m x x x x m x y x y k k ++=+++=+=+24)222(21121211--=--=m m m m m ，〔10分〕同理43kk +24222--=m m 、∵4321k k k k +=+，∴2424222211--=--m m m m，即0))(2(1221=-+m m m m 、由题意知21m m ≠，∴0221=+m m 、〔12分〕设),(y x P ，那么0211=+-⋅+x y x y ，即)1(1222±≠=+x x y ，〔14分〕 由当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(-1,0)或(1,0)也满足，∴),(y x P 点椭圆1222=+x y 上，∴存在点M 、N 其坐标分别为(0,-1)、(0,1)，使得||||PN PM +为定值22、〔15分〕 22、解：〔Ⅰ〕当3=a 时，x xx f ln 33)(-+=，〔2分〕 ∴x xx f 13)(2'--=，32)3('-=f ，〔4分〕 又3ln 4)3(-=f ，∴曲线)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程为： )3(32)3ln 4(--=--x y ，即：3ln 632-+-=x y 、〔6分〕 〔Ⅱ〕由],1[2e x ∈得]2,0[ln ∈x ①当2≥a 时x a x a x f ln )(-+=，01)(2<--='x x a x f ，∴)(x f 在],1[2e 上递减， ∴232)1()(max ≤==a f x f ，∴43≤a ，如今a 不存在；〔8分〕 ②当20<<a 时 假设a e x ≤≤1时，xa xax f ln )(-+=由①得)(x f 在],1[a e 上递减， ∴43,232)1()(max ≤∴≤==∴a a f x f ，如今430≤<a 〔9分〕假设2e x e a ≤<时x xa x f a x x a x f 1)(,ln )(2+-='∴-+=令0)(='x f 得a x =，又x e x g x -=)(在)2,0(递增，故1)0(=>-g x e x ∴a e a <，当2e x e a <<时0)(>'x f ,∴)(x f 在(]2,e e a 递增，〔12分〕 ∴232)()(22max ≤-+==a eae f x f)1(222-≥e e a ，2)1(222<-e e ，∴2)1(222<≤-a e e ，〔13分〕 又43)1(2121)1(2222<-+=-e e e ，∴43)1(222≤≤-a e e综上知，实数a 的取值范围⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-43,)1(222e e 〔15分〕。
专题2.1 等式与不等式(精讲精析篇)(解析版)
专题2.1等式与不等式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 不等式的性质及应用1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．【典例1】（2018·上海高考真题）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【典例2】（2018·上海曹杨二中高一期末）如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ）A.a c b d ->-B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B 【解析】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立； 因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立；当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立；故选：B 【典例3】若,则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，∴又，∴∴ 故选：D 【特别提醒】考查的命题角度，主要有三个，比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇．热门考点02 一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)()()0f x g x ＞()()()0)00(·f x g x ⇔＜＞＜；(2)()()0f x g x ≥ ()0≤⇔()()()0(0)0f x g x g x ≥≤⎧≠⋅⎪⎨⎪⎩3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【典例4】（（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．详解：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【典例5】（2018·上海曹杨二中高一期末）若集合{}31,2,3,4,0,1x A B xx R x ⎧⎫-==<∈⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂=__________；【答案】{}1,2 【解析】 由301x x -<+⇒ (3)(1)0x x -+< ⇒ 13x ，所以}{13,B x x x R =-<<∈， 又因为{}1,2,3,4A =，所以}{1,2A B ⋂=. 故答案为：{}1,2【典例6】（2015·广东高考真题（文））不等式的解集为 ．（用区间表示）【答案】【解析】 由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．【特别提醒】随着学习的深入，对一元二次不等式的解法解法的独立考查，越来越少，往往作为一种工具、技能，与其它知识点交汇考查．热门考点03 一元二次不等式恒成立问题1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．*(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .*3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．【典例7】若关于x 的不等式222321x x a a -+>--对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】{}13a a -<< 【解析】分析：根据题意可知，只需223x x -+的最小值大于221a a --即可，解不等式即可求出． 详解：因为()2223122y x x x =-+=-+，所以2212a a --<，解得13a -<<.故答案为：{}13a a -<<．【典例8】（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【典例9】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{ 10g g ->->，整理得22560{ 320x x x x -+>-+>，解得13x x 或，即实数 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.【总结提升】三道例题，分别代表如下类型：（1）一元二次不等式在R 上的恒成立问题 （2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题． （3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.在这三种类型中，转化与化归思想的应用意识要强，要体会具体转化方法的应用热门考点04 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)， |ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【典例10】（2019·天津高考真题（理））设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【典例11】（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤ 【解析】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ， 即11x x a -++≥恒成立； 所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤【典例12】解下列不等式：（1）343x ->；（2）523x -≤；（3）115x x ++-≤．【答案】(1)17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）[]1,4（3）55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据公式()0x a a x a >>⇔>或x a <-，()0x a a a x a ≤>⇔-≤≤可以解出（1）（2）；利用零点分段法可以解出（3）.详解：（1）343343x x ->⇔->或343x -<-，解得73x >或13x <，所以不等式的解集为17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5233253x x -≤⇔-≤-≤，解得14x ≤≤，所以不等式的解集为[]1,4； （3）原不等式等价为1115x x x ≥⎧⎨++-≤⎩ 或11115x x x -<<⎧⎨++-≤⎩ 或()1115x x x ≤-⎧⎨-++-≤⎩解得512x ≤≤或11x -<<或512x -≤≤-，即5522x -≤≤，所以不等式的解集为55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【总结提升】1.绝对值不等式的常用解法有：定义法，公式法，零点分段法，数形结合法，以及平方法.2. 形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点12x a x b ＝和＝的距离之和大于c 的全体，|||||()||.|x a x b x a x b a b ≥－＋－－－－＝－(3)图象法：作出函数12||||y x a x b y c ＝－＋－和＝的图象，结合图象求解．热门考点05 基本（均值）不等式及其应用1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．条件最值的求解通常有三种方法一是“配凑法”.常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数等，以便于应用基本不等式. 二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 三是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. *3. 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【典例13】（2019·浙江高考真题）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【典例14】（2019·上海交大附中高一期末）已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】分析：由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 详解：由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，212()()3322x yx y x yx y y x +=++=+++，当且仅当2x =1y =时取到等号．故答案为：3+．【典例15】（2019·江苏高一月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为（ ） A.6 B.7C.8D.9【答案】D 【解析】设矩形的长宽分别为 x ，y ， 则2(x +y )=12，化为x +y =6.292x y S xy +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，当且仅当 x =y =3 时取等号.因此面积的最大值是 9.故选：D.【典例16】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【总结提升】1.基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．热门考点06．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【典例17】（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上， ∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∴18k ≤或58k≥， 解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋． 故选C ．【典例18】（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】 【解析】 去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，， ，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【总结提升】1.研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎝⎛⎭⎫A ⊆⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．热门考点07. 三个“二次”之间的关系（1）关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集；若二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则一元二次不等式f (x )>0或f (x )<0的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合． （2）三个“二次”之间的关系：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1＝x 2没有实数解或f (x )< 0的步骤画函数y ＝f (x )的示意图得不等式 的解集f (x )>0__{x |x <x 1 或x >x 2}__ {x |x ≠－b2a} Rf (x )<0__{x |x 1<x <x 2}____∅____∅__【典例19】（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2] 【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min 1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=， 解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根. 因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-. 因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根， 即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【典例20】（2015·浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--. 【规律总结】一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．巩固提升1.（2017·浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2．（2019·上海市吴淞中学高一月考）设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2|230B x Z x x =∈--<，则()A B =U（ ）A.{}0,1,2,3B.{}5C.{}1,2,4D.{}0,3,4,5【答案】D 【解析】{}{}{}2|230|130,1,2B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=，所以{}1,2A B =，所以(){}0,3,4,5UA B =，故选：D.3.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.4．（2019·上海曹杨二中高一月考）如果a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式不成立的是（ ） A.ab ac > B.()0c b a ->C.2ab ab <D.()0ac a c -<【答案】C 【解析】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，因此ab ac >；A 正确； 又0b a -<，所以()0c b a ->；B 正确； 当13b =时，219=b ，此时2ab ab >，C 错误； 因为0a c ->，所以()0ac a c -<；D 正确. 故选：C5．（2018·上海市川沙中学高一期末）若2x =是方程222160x ax b ++-=的解，则ab 的最大值是（ ） A.16 B.12C.8D.4【答案】D 【解析】因为2x =是方程222160x ax b ++-=的解， 所以822160++-=a b ，即4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时，取等号. 故选：D6．（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知{}|0A x x =≥，{}2|10B x x bx =++=，若AB =∅，则实数b 的取值范围是（ ） A.{}|2b b ≥ B.{}|2b b ≥ C.{}|22b b -<< D.{}|2b b >-【答案】D 【解析】 ∵AB =∅，∴方程210x bx ++= 有两负根或无根，则240b b ⎧-⎨-<⎩ 或240b -<， 解得：2b ≥ 或22b -<<， ∴实数b 的取值范围是{}|2b b >- 故选：D7．已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】记()21f x x x a =-+-，则原问题等价于二次函数()21f x x x a =-+-的最小值大于或等于0．而()21524f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当12x =时，()min 54f x a =-，所以504a -≥，即54a ≥． 故选：D ．8．（2014·全国高考真题（文））不等式组(2)0{1x x x +><的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >【答案】C 【解析】(2)020{{01111x x x x x x x +>-∴∴<<<-<<或，所以不等式的解集为{|01}x x <<9．若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0a >，0b >恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.{}20x x -<< B.{|2x x <-或}0x > C.{}42x x -<< D.{|4x x <-或}2x >【答案】C 【解析】因为0a >，0b >，所以161628a b a bb a b a+⋅=（当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<，故选：C10.（2019·上海市莘庄中学高一期中）已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2 【解析】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值. 故答案为：211.（2018·上海高一期末）设{}2=320A x x x -+≤，(]=,B n -∞，如果AB =∅，则实数n 的取值范围是_________. 【答案】1n < 【解析】 由题知,{}12A x x =≤≤{}B x x n =≤,A B =∅,∴ 作图如下：由图得,n<1. 故答案为：n<112．（2019·上海闵行中学高一期中）若关于x 的不等式0x bx a-<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5 【解析】 因为不等式0x bx a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解 所以2,3b a ==或2,3a b == 则5a b += 故答案为:513.（2019·海南高一期中）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】81 【解析】0x ，0y >，2x yxy +∴≥ 即2812x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当9x y ==时等号成立，()max 81xy ∴=. 故答案为：8114．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.（1）若函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，求实数k 的取值范围; （2）若()0f x >对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,3-【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2）解法一：若()0f x >对—切实数x 都成立，则∆<0，所以24(1)160k --<，化简得2230k k --<，解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.解法二：若()0f x >对一切实数x 都成立，则min ()0f x >， 所以2min 164(1)()04k f x --=>， 化简得2230k k --<， 解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.15.（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<；（2）[]3,0- 【解析】（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< .（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得[]3,0m ∈-. 16．（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ，求k 的取值范围.【答案】[)1,9【解析】当10k -=，即1k =时，原不等式可化为20>，显然恒成立，满足题意；当10k -≠，即1k ≠时，由不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ， 可得：()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，即1(1)(9)0k k k >⎧⎨--<⎩，解得：19k <<. 综上，k 的取值范围是[)1,9.。
浙江名校新高考研究联盟2019高三第二次联考--数学(文)
浙江名校新高考研究联盟2019高三第二次联考--数学（文）1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名；2.本试题卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，全卷总分值150分，考试时间120分钟。
参考公式：假如事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 假如事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式121()3V h S S =，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 第I 卷〔选择题 共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1.设全集=U R ，集合}0|{≥=x x A ，}032|{2<--=x x x B ，那么=B A C U )(〔 〕A.}03|{<<-x xB.}01|{<<-x xC.}10|{<<x xD.}30|{<<x x2.复数z 满足(1)2i z -=,i 为虚数单位，那么z =〔 〕 A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --3.,a b 为实数,那么“2a b +≤”是“1a ≤且1b ≤”的〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A.假设αβ⊥，那么l m ⊥ B.假设αβ⊥，那么//l m C.假设l m ⊥，那么//αβ D.假设//l m ，那么αβ⊥5.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，假设222()tan a c b B +-=，那么角B 的值为 〔〕A.3πB.6πC.3π或23π D.6π或56π6.如右图是一个空间几何体的三视图，那个几何体的体积是〔〕 A.2πB.3πC.6π D.9π7.0,0a b >>，且5a b +=，那么21+++b a 的最大值为〔〕 A.62+ B.53+ C.4D.22314+8.,a b a b ==+设那么a b -与b 的夹角为〔〕 A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒9.设圆C 的圆心与双曲线222 1 (0)x y a a-=>的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，假设直线0x =被圆C 截得的弦长等于1，那么a 的值为〔〕 10.函数2()[+(22) +22](,,x f x x a x a b e a b R e =---⋅∈为自然对数的底〕在区间第（6）题图[1,3]-上是减函数，那么a b +的最小值是〔〕A.4B.2C.32D.23第二卷〔非选择题，共100分〕【二】填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分11.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图〔如图〕，那么这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数是〔〕12.椭圆2241x y +=的离心率为〔〕13.函数1lg(),0,(),0.x x x f x e x --<⎧=⎨≥⎩，假设2)()1(=+a f f ，那么a 的所有可能值为〔〕14.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，那么取出小球标注的数字之差的绝对值为2或3的概率是〔〕15.执行如右图的程序框图，那么输出S 的值是〔〕16.假设函数()sin()2cos()f x x x αα=+--是奇函数，那么sin cos αα⋅=〔〕 17.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+*()n N ∈,那么数列{}n a 的通项=n a 〔〕 【三】解答题：本大题共5小题，共72分。
2019届浙江省联盟校高三下学期第二次联考数学试题(解析版)
2019届浙江省联盟校高三下学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，则M N =I （ ）．A ．{2,4,6}B ．{2,4}C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{3,5,6} 【答案】B【解析】根据交集的定义求解.【详解】因为{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，所以{2,4}M N ⋂=.故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2．已知21i z i =+（其中z 为z 的共轭复数，i 为虚数单位），则复数z =（ ）． A ．1i -B ．1i --C ．1i +D ．1i -+ 【答案】A【解析】先根据复数代数形式的四则运算将z 化简为a bi +（其中a ，b 为实数）的形式，然后根据共轭复数的概念求复数z 即可．【详解】 由题意得，22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-， 故1z i =-.故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算、共轭复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题. 3．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A ．14y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．4y x =±【答案】B【解析】先根据双曲线的实轴长为4求得a 的值，再求双曲线的近线方程即可．【详解】因为双曲线的实轴长为4，所以24a =，2a =， 所以双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．函数||2x y x e =-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】用特殊值法取4x =，排除A ，B ，再用导数法研究当0x >时的单调性，再用特殊值进一步确定.【详解】取4x =，则2422440y ee =-=->，排除A ，B ； 当0x >时，22x y x e x '=-⨯∴1214111e e012222xy==-⨯=-<⨯'，因此在原点右侧附近，2xy x e=-应该为减函数.故选：C．【点睛】本题主要考查函数图象的判断，对函数性质的理解、求导运算、数值估算，还考查了运算求解辨析的能力，属于基础题.5．已知,a b∈R，则“||||a ba b>”是“a b>”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由||||a ba b>可得0a>，0b<，判断充分性，用特殊值法取2a=，1b=，判断必要性．【详解】由||||a ba b>可得0a>，0b<，故a b>，故充分；取2a=，1b=，则a b>，此时||||=a ba b，故不必要．故选：A．【点睛】本题考查充要关系的判断及不等式的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A．6 B．62C．14 D．2【解析】由三视图可知该几何体是从长、宽、高分别为4，4，3的长方体截取而来，其中高为4，底面是一个等腰梯形.【详解】将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥A BCDE -所示，故S 四边形114422622BCDE =⨯⨯-⨯⨯=， 四棱锥A BCDE -的高3h =， 故该几何体的体积13V S =四边形16363BCDE h =⨯⨯=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图及体积的计算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．已知随机变量ξ的分布列为 ξ0 1 2 Px y 2y x -则当102x <<时，随着x 的增大，（ ）． A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小再增大D ．()D ξ先增大再减小 【答案】D【解析】先根据分布列的性质求得y 的值，进而可求出随机变量ξ的数学期望和方差的表达式，然后根据二次函数的图象与性质即可判断()D ξ的变化趋势．因为21x y y x ++-=， 所以13y =，所以5()2(2)23E y y x x ξ=+-=-， 所以()D x ξ=⨯2225550212(2)22333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⨯-++-⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x y x x ， 282439=-++x x ， 212433⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭x ， 因为102x <<， 所以由二次函数的图象和性质知，随着x 的增大，()D ξ先增大再减小.故选：D ．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，二次函数的图象与性质，还考查了运算求解能力及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知AC 与BD 交于点O ，E 是1DD 的中点，F 为棱11A B 上的任意一点（不与端点重合），则平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】D【解析】先根据线线垂直证得AE ⊥平面1OFB ，然后根据面面垂直的判定定理证平面ABE ⊥平面1OFB ，即可得到平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小．【详解】如图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，过点O 作OP AD ⊥于点P ，则P 为AD 的中点， 因为11A B ⊥平面11ADD A ，AE ⊂平面11ADD A ，所以11AE A B ⊥．在正方形11ADD A 中，连接1A P ，易知1AE A P ⊥，又1111A B A P A ⋂=，所以AE ⊥平面11OB A P ，所以AE ⊥平面1OFB ，又AE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面1OFB ，因此平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系、二面角的求法，还考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题.9．已知函数(1)ln ,1(),1f x x x f x ex +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数(())1y f f x =-的零点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先将函数的零点个数问题等价转化为方程根的个数问题，再分情况讨论方程的根的个数，即可得到函数(())1y f f x =-的零点个数．【详解】函数(())1y f f x =-的零点个数即方程(())1f f x =的根的个数．令()f x t =，则原问题转化为()1(0)f t t =≥的根的个数问题．当1t ≥时，由ln 1t =，解得t e =，所以()f x e =，则当1x ≥时，ln x e =，解得e e x =；当1x <时，(||1)f x e e +=，得(||1)1f x +=，又||11x +≥，所以ln(||1)1x +=，解得1x e =-或1x e =-，又1x <，所以1x e =-．当01t ≤<时，由(||1)1f t e +=，得(||1)0f t +=，所以ln(||1)0t +=，解得0t =，所以()0f x =，所以ln 0x =，解得1x =．综上，函数(())1y f f x =-有e e ，1e -，1这3个零点．故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数、函数的零点等，还考查了转化化归的思想好运算求解能力，属于难题.10．已知数列{}n a 满足112a =，211n n n a a a +=++，若12111n n S a a a =++⋯+，对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，则M 的最小值为（ ）．A ．83B ．269C ．2627D ．3【答案】D【解析】先根据已知的递推关系式得到0n a >，然后结合基本不等式得到1103n n a a +<<，进而得到*11111(2,3)n n n n N a a -<⋅≥∈，最后利用此不等式对n S 放缩，并利用等比数列的前n 项和公式求解即可．【详解】由211n n n a a a +=++，得2111n n n a a a +-=+>，又112a =，所以0n a >． 由211n n n a a a +=++， 可得1113n n n na a a a +=++≥，当且仅当21n a =时等号成立， 因为112a =，11n n a a +->， 所以21n a ≠，所以1103n n a a +<<， 所以111103n na a +<<⋅， 所以()*2112111111112,333n n n n n n N a a a a ---<⋅<⋅<<⋅≥∈…， 所以2111211111111111111111111313333333n n n n n S a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=++++⋅+⋅++⋅=+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………． 又对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，所以3M ≥，故M 的最小值为3．故选：D【点睛】本题主要考查数列的递推关系式、放缩法的应用、基本不等式、等比数列的前n 项和公式、不等式恒成立问题等，还考查了运算求解和逻辑推理能力．属于难题.二、双空题11．我国唐代天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题编写了如下一道题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗（计量单位），三遇店和花，喝光壶中酒．”问最后一次遇花时有酒________斗，原有酒________斗．【答案】1 78【解析】用倒推的方法，根据最后一次喝光酒，且见花喝一斗，可知最后一次遇花时有酒1斗，然后设原有酒x 斗，根据他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗，递推可得第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，再根据最后一次喝光酒，令()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=求解即可.【详解】因为最后一次喝光酒，且见花喝一斗，所以最后一次遇花时有酒1斗，设原有酒x 斗，由他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗得：第一次见店又见花后酒有21x -斗，第二次见店又见花后酒有()2211x --斗，第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，因为最后一次喝光酒，所以()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=， 解得78x =. 故答案为：(1). 1 (2).78 【点睛】本题主要考查合情推理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.12．已知实数x ，y 满足约束条件0,02020x y x y x y ≥≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2x y +的最小值为________，最大值为________．【答案】0 10【解析】先根据约束条件作出可行域，然后数形结合求最值即可．【详解】作出可行域如图中阴影部分所示：阴影三角形区域的三个顶点坐标分别为(0,0)，(2,0)，(4,2)，作出直线20x y +=并平移，当平移后的直线经过点(0,0)时，2x y +取得最小值，且最小值为0；当平移后的直线经过点(4,2)时，2x y +取得最大值，且最大值为10．故答案为：(1). 0 (2). 10【点睛】本题主要考查线性规划问题，还考查作图能力和运算求解能力，属于基础题.13．若1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则n =________，二项展开式中的常数项为________．【答案】6 20【解析】先根据二项式系数之和为64求得n 的值，然后根据二项式定理写出二项展开式的通项，令x 的次数为0，求得r 的值，即可求得二项展开式中的常数项．【详解】由二项式系数之和为64，得264n =，故6n =， 所以二项展开式的通项6161r r r r T C xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭626r r C x -=， 令620r -=，得3r =，则项展开式中的常数项为34620T C ==．故答案为： (1). 6 (2). 20【点睛】本题主要考查二项式系数之和及二项展开式中的常数项的求解，还考查了运算求解能力，属于基础题.14．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，则角B 的大小为________，若b =AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为________．【答案】3π6+ 【解析】先根据正弦定理将已知等式转化为a ，b ，c 之间的关系，然后利用余弦定理即可求出角B 的大小，最后利用正弦定理及向量数量积的几何意义求AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值． 【详解】因为222sin sin sin sin sin A C A C B +-=， 所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==．又(0,)B π∈， 所以3B π=．设ABC V 的外接圆半径为r ，则2sin b r B=42==， 即2r =．cos AB AC bc A ⋅=u u u r u u u r ，且cos c A 为AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影，而max (cos )c A 2b r =+，故max ()62b AB AC b r ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v故答案为：(1). 3π(2). 6+ 【点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题15．某人将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球随机放入编号分别为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子中放一个小球若球的编号与盒子的编号相同，则视为“放对”，否则视为“放错”，则全部“放错”的情况有________种． 【答案】44【解析】可以利用计数原理从正面求解问题，先算出所有情况的种数，然后分别计算有1，2，3，4，5个小球“放对”的情况，最后相减即可得到结果． 【详解】解法一 第一步，若1号盒子“放错”，则1号盒子有14C 4=种不同的情况；第二步，考虑与1号盒子中所放小球的编号相同的盒子中的情况，若该盒子中的小球编号恰好为1，则5个小球全部“放错”的情况有122C =（种），若该盒子中的小球编号不是1，则5个小球全部“放错”的情况有()113219C C +=（种）． 由计数原理可知，5个小球全部“放错”的情况有4(29)44⨯+=（种）．解法二 将5个小球放入5个盒子中，共有55120A =种不同的放法，其中恰有1个小球“放对”的情况有()111532145C C C +=（种），恰有2个小球“放对”的情况有215220C C =（种），恰有3个小球“放对”的情况有3510C =（种）， 恰有4个小球“放对”的情况有0种， 恰有5个小球“放对”的情况有1种，故全部“放错”的情况有120452010144----=（种）． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查排列组合的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.16．在四边形ABCD 中，3AB BC ==，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=u u u r u u u r________．【答案】92【解析】先根据平面向量的线性运算将AC BD ⋅u u u v u u u v转化为AC AD AC AB ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，然后根据平面向量的数量积和余定理求解即可． 【详解】因为()AC BD AC AD AB AC AD AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||cos ,AC AB AB AC AB AC ⋅=⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AB AC BC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， 222||||||2+-=AB AC BC u u u r u u u r u u u r ， ||||cos AC AD AD AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,〈〉AD AC u u u r u u u r ，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AD AC CD AD AC AD AC u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 222||||||2+-=AD AC CD u u u r u u u r u u u r 因为3AB BC ==，4CD =，5DA =， 所以BD A A C AD B C AC A ⋅=⋅-⋅uu u u u u u r u u u r u u u r u u u r r u ur ，222||||||2AD AC CD +-=-u u u r u u u r u u u r 222||||||922AB AC BC +-=u u u r u u u r u u u r ． 故答案为：92【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、数量积，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力和化归与转化思想，属于中档题.17．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则||TM 的取值范围为________．【答案】4]-+【解析】先根据题意得到直线OP ，OQ 的方程，再根据直线与圆的位置关系得到12k k ，结合121k k =-，即可求得圆心M 的轨迹方程，最后数形结合可得||TM 的取值范围． 【详解】由题意可知，直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =， 因为直线OP ，OQ 与圆M 相切，==两边同时平方整理可得()2221010008280k x k x y y -++-=，()2222020008280k x k x y y -++-=，所以1k ，2k 是方程()2220008280(0)kx kx yy k -++-=≠的两个不相等的实数根，所以212288y k k x -=-．又121k k =-， 所以202818y x -=--，即220016x y +=．又||TO ==， 所以||4||||4TO TM TO -≤≤+，即4||4TM ≤≤．故答案为：4] 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题.四、解答题18．已知向量(cos ,1)(0)m a x a =-≠r，cos ,)n x x b =-r，函数()f x m n =⋅r r． （1）求函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程； （2）若0a >，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的最小值是1-，最大值是2，求实数a ，b 的值．【答案】（1）22T ππ==；（2）实数a ，b 的值分别为2，1-． 【解析】（1）先由向量的数量积及三角恒等变换求出函数()f x 的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程即可；（2）先根据x 的取值范围求出26x π-的取值范围，然后根据正弦函数的图象和性质求出函数()f x 的最值，最后根据已知条件列出方程组，解之即可得实数a ，b 的值． 【详解】（1）由题意得()cos cos )=⋅=--f x m n a x x x b r r31cos 2sin 22⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭x a x b， sin =a 262ax b π⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==． 令262x k πππ-=+，k Z ∈，解得32k x ππ=+，k Z ∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为32k x ππ=+，k Z ∈．（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 因为0a >， 所以当266x ππ-=-，即0x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为22a ab ---，即a b --，当226x ππ-=，即3x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为2a ab --，即2ab -， 所以122a b a b --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩．故实数a ，b 的值分别为2，1-． 【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数的图象与性质，还考查了运算求解能力与分析问题、解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，PD AD =，PB AB =，二面角A DB P --的大小为120︒，E 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）21313. 【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，根据三角形的中位线定理证得//OE AP ，然后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）先根据（1）得到直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角，然后过点O 作OF BE ⊥，利用面面垂直的性质定理得到OF ⊥平面PBC ，进而得OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角，最后求OEB ∠的正弦值即可． 【详解】 （1）如图所示：连接AC 交BD 于点O ，则O 是AC 的中点，连接OE ． 又E 是PC 的中点，所以//OE AP ， 因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以//PA 平面BDE ．（2）过点O 作OF BE ⊥，垂足为F ，连接OP ． 由（1）知//OE AP ，所以直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角． 易知BP BC =，又E 是PC 的中点， 所以BE PC ⊥．同理DE PC ⊥，又DE BE E ⋂=， 所以PC ⊥平面BDE ， 因为PC ⊂平面PBC ， 所以平面BDE ⊥平面PBC ．因为平面BDE ⋂平面PBC BE =，OF ⊂平面BDE ，OF BE ⊥， 所以OF ⊥平面PBC ，所以OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角．因为PD PB =，所以EO DB ⊥，又AC DB ⊥，EO AC O =I ， 所以DB ⊥平面ACP ，所以AOP ∠为二面角A DB P --的平面角， 所以120AOP ∠=o ，设菱形ABCD 的边长2AB =，又60BAD ︒∠=，所以AO OP ===由余弦定理得：2222cos1209AP AO OP AO OP =+-⋅=o ， 所以3AP =，在Rt EOB V 中，1322OE AP ==，1OB =，BE ==所以sin OB OEB BE ∠==， 所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为13． 【点睛】本题主要考查线面平行的证明、线面角的寻找与求解，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 满足132a =，111,213,2n n n a n n k a a n k--+-=+⎧=⎨=⎩，其中*k N ∈．记2112n n b a n -=++，*n N ∈． （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）记212212n n n S a a a a -=++++…，试比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2(1)213333n n n nS S ++++>理由见解析. 【解析】（1）根据题意求1n nb b +及1b ，即可得到数列{}n b 是等比数列；（2）根据（1）得到数列{}n b 的通项公式及前n 项和，然后根据题意将2n S 和数列{}n b 的前n 项和联系起来，得到2n S ，进而得22n S +，最后利用作差法比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小即可． 【详解】（1）由题意得21221121212113312332223111222n n n n nn n n a n a n n a n b b a n a n a n +-+---++++++++====++++++， 且11332b a =+=，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，3nn b =，所以()11231333132n n n b b b +--+++==-…．因为2112n n b a n -=++，*n ∈N ， 所以123112n n b a n --=+-+，……23122b a =++， 11112b a =++，所以()121321(1)22n n n n nb b b a a a -++++=+++++……． 而212212n n n S a a a a -=++++…，11212133…--=++++n n a a a a ，()13214…-=+++n a a a .所以1212233242324622n n n n n S n n ++⎛⎫-+=-=⨯--- ⎪⎝⎭，故222222232(1)4(1)6232812n n n S n n n n +++=⨯-+-+-=⨯---，而()2(1)2(1)22111333333333+++++++++-=-n n n n n n n n S S S S ， ()221211232893232433+++⎡⎤=⨯----⨯---⎣⎦n n n n n n n ， ()2114403n n n +=+>，故2(1)213333n n n nS S ++++>． 【点睛】本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．21．已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率e =且经过点(1,0)，P 是抛物线22:2(0)C x py p =>上一点，过点P 作抛物线2C 的切线l ，与椭圆1C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线14x =-平分弦AB ，求p 的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）0p <<【解析】（1）易得1b =，结合椭圆的离心率及222a b c =+即可求出a ，c 的值，进而可得椭圆1C 的方程；（2）先根据题意得出切线l 的方程，然后将切线方程代入椭圆方程，最后利用根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性求解即可． 【详解】（1）由题意可知，c e a ==，1b =， 又222a b c =+，所以2a =，c =，所以椭圆1C 的方程是2214y x +=．（2）由题意可设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22x py =，即22x y p=，所以x y p '=，所以切线l 的方程是()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p=-， 将其代入椭圆方程得23420002224404x x x x x p p p ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 故62400042244404x x x p p p ⎛⎫⎛⎫∆=-+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即422004160x x p --<．① 设()11,A x y ，()22,B x y ，则312224x x x p x +=+， 又直线14x =-平分弦AB ，所以1212x x +=-，所以30220142x p x =-+，即2320042p x x =--，② 将②代入①得430080x x +<，③由②③得0182x -<<-． 设32()2f x x x =--，则21()62603⎛⎫'=--=-+< ⎪⎝⎭f x x x x x ，18,2⎛⎫∈--⎪⎝⎭x 恒成立， 所以()f x 在18,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 所以320()288960f x <<⨯-=， 所以294006<<p ，解得0p << 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系、抛物线方程等，还考查了直观想象、逻辑推理、运算求解的能力，属于难题． 22．已知函数()322133222f x ax x a x =-+，其中a R ∈． （1）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值 （2）函数()()()232g x f x f x a x '=+-，当[]0,2x ∈时，()g x 在0x =处取得最大值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2a =-；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）由题意得出()10f '=，可求得实数a 的值，然后将实数a 的值代入导数，就函数()y f x =是否在1x =处极大值进行检验，由此可得出实数a 的值； （2）求得()()32213313222g x ax a x x a =+--+以及()()232122g x ax a x '⎡⎤=+--⎣⎦，对实数a 分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =在区间[]0,2的单调性，结合函数()y g x =在0x =处取得最值进行验证或得出不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()322133222f x ax x a x =-+Q ，()2233322f x ax x a '∴=-+， 由题意可得()23313022f a a '=-+=，整理得220a a +-=，解得1a =或2a =-. 当1a =时，()()22333310222f x x x x '=-+=-≥恒成立， 此时，函数()y f x =在R 上单调递增，无极值；当2a =-时，()()()()2233632312f x x x x x x x '=--+=-+-=--+. 令()0f x '>，得21x -<<；令()0f x '<，得2x <-或1x >.此时，函数()y f x =在1x =处取得极大值，合乎题意.综上所述，2a =-；（2）()()()()23223133132222g x f x f x a x ax a x x a '=+-=+--+， ()()()223331321222g x ax a x ax a x '⎡⎤∴=+--=+--⎣⎦. ①当0a =时，()330g x x '=--<对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =单调递减，()()max 0g x g =，合乎题意；②当0a >时，对于函数()y g x '=，()2910a ∆=+>恒成立， 设方程()0g x '=的两根分别为1x 、2x ，则1220x x a=-<，设12x x <，则120x x <<. （i ）若202x <<，则当20x x <<时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减； 当22x x <≤时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增.所以，()()(){}()max max 0,20g x g g g ==，则()()20g g ≤，即10120a -≤，解得65a ≤， 此时()()23430g a '=->，解得34a >，则3645a <≤； （ii ）当22x ≥时，即()()23430g a '=-≤，得304a <≤， 则()0g x '≤对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减， 则()()max 0g x g =，合乎题意；③当0a <时，对任意的[]0,2x ∈，()0g x '<，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减，则()()max 0g x g =，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数的极值点和最值点求参数，解题时要注意对参数的取值范围进行分类讨论，并学会利用导数分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
浙江省名校新高考研究联盟(z20联盟)2019届第二次联考信息试题答案
浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第二次联考技术参考答案第一部分：信息技术（共50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、错选、多选均不得分。
）题号123456789101112选项B A C C D D B B A C D B二、非选择题（本大题共5小题，其中第13小题4分，第14小题5分，第16小题3分，第17小题6分，共26分）13.（1）=C3-INT(C3/100)*40（1分）（2）B（1分）（3）AC(全部选对的得2分，选对但不全的得1分，不选或有选错的得0分）14.（1）B（1分）（2）①Str(cz)（1分）②cz Mod2=1或cz Mod2<>0或其他等价答案（2分）（3）2,4（4,2也可以，写全得分）（1分）15.（1）AD（全部选对的得2分，选对但不全的得1分，不选或有选错的得0分）（2）B（1分）（3）将“飞机”图层第50帧移至第40帧处（1分），并将第40帧中对象Alpha值设置为0或0%（或其他等价答案）（1分）（4）4.6（1分）（5）On(release){geturl("kunlong.docx");}或者On(press){geturl("kunlong.docx");}16.①a(i)<a(j)或a(i)<a(n)或a(1)<a(n)或a(1)<a(j)（1分）②j=m（2分）17.（1）100899（1分）（2）①Mid(n,length-i+1,1)或Mid(n,Len(n)-i+1,1)（2分）②a(i)=a(i)-1（1分）③a(cnt+1)=a(cnt)（2分）浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第二次联考技术参考答案第1页共1页。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三12月第二次联考数学试题附答案
考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的地方．3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上答题一律无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．参考公式：如果事件, A B 互斥那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=L 台体的体积公式()1213V S S h =++ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{0,1}A =，{}2B a =，若A B A ⋃=，则实数a 允许取的值有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．无数个2．双曲线22132x y -=的焦点坐标是（ ）A ．(1,0)-，(1,0)B ．(0,1)-，(0,1)C ．(，D ．(0,，3．若复数11i z i+=-（i 为虚数单位），则3z 的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -4．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．,//,a b αβαβ⊥⊥B ．,,//a b αβαβ⊥⊥C ．,,//a b αβαβ⊂⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥5．若向量a b r r ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）A ．12-B ．12C ．2D ．2-6．随机变量ξ的分布列是若11()4E ξ=，则随机变量2ξ的方差(2)D ξ的值为（ ） A ．1116 B ．118 C ．114 D ．1127．函数()cos(sin )sin(cos )f x x x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．现准备将8本相同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲、乙两个班级每个班级至少2本，其它班级允许1本也没有，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．70种C ．82种D ．92种9．已知平面四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，BC CD =，再将ABD V 沿着BD 翻折成三棱锥A BCD -的过程中，直线AB 与平面BCD 所成角均小于直线AD 与平面BCD 所成角，设二面角A BC D --，A CD B --的大小分别为αβ、，则（ ）A ．αβ<B ．αβ>C ．存在αβπ+=D ．存在αβπ+>10．已知数列{}n a 满足1a a =，2(0)a b ab =≠，若2112n n n na a a a ++++=，则下列判断正确的是（ ） A ．当0ab <时，数列{}n a 是有穷数列 B ．当0ab >时，数列{}n a 是有穷数列C ．当数列{}n a 是无穷数列时，数列{}n a 单调D ．当数列{}n a 单调时，数列{}n a 是无穷数列非选择题部分二、填空题：本大题7小题，11-14题每题6分，15-17每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．11．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗。
浙江省杭州市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷含解析
浙江省杭州市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解. 【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除;故选:B 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 2．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( ) A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4f x x π=+cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2()8x π=-， 因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 【名师点睛】三角函数图象变换方法：3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324 B ．522C ．535D ．578【答案】D 【解析】 【分析】因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键. 4．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1 B ．2C ．3D ．6【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ． 【详解】∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩，解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A．且B．且C．且D．且【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，∴，，∵，∴，∴，∴若：，，∴，若：，，∴，若：，，∴，综上可知，同理可知，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.6．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得：131255iii-=--. 共轭复数为3155i+，故选A.考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．8 3B．163C．43D．8【答案】A【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V=⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．8．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y=-+的最大值为n，则2nxx⎛⎝的展开式中2x项的系数为( )A．60 B．80 C．90 D．120【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n=，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y=-+，即322zy x=+，故z表示直线与y截距的2倍，根据图像知：当1,1x y=-=时，32z x y=-+的最大值为5，故5n=.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 9．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=， 所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人， 故选:D . 【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易. 10．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．20【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i =故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题. 11．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．14【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．12．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【详解】解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3ϕ=，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)高考数学第二次联考试卷+答案解析(附后)
2023年浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）高考数学第二次联考试卷1. 已知集合，，则( )A. B. RC. D.2. 若为虚数单位，则( )A. 5B.C.D.3. 已知一组样本数据，，…，的平均数为a，由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中…，，则( )A. 两组样本数据的平均数相同B. 两组样本数据的方差不相同C. 两组样本数据的极差相同D. 将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为4. 已知多项式…，则( )A. 11B. 74C. 86D.5. 已知是边长为1的正三角形，，，则( )A. B. C. D. 16. 已知正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则三棱锥的体积为( )A. B. C. D.7. 已知直角的直角顶点A在圆D：上，若点，，则a的取值范围为( )A. B. C. D.8. 已知，，为自然对数的底数，则( )A. B. C. D.9. 已知抛物线C：与直线l：有公共点，则p的值可以是( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，则( )A. 的周期为B. 为奇函数C. 的图象关于点对称D. 当时，的取值范围为11. 新型冠状病毒肺炎，简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎，用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，，其中随机事件A表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件B表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中( )A. 每100人必有1人患有新冠B. 若，则事件A与事件B相互独立C. 若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为D. 若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为12. 已知函数及其导函数的定义域均为R，记若与均为偶函数，则( )A. B. 函数的图象关于点对称C. 函数的周期为2D.13. 若实数，且，则______ .14. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，S表示的面积，其公式为若，，，则______ .15. 已知实数，满足，则的最小值是______ .16. 已知椭圆C：的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点.在中，，且满足，则椭圆C的离心率e 的取值范围为______ .17. 已知正项数列的前n项和为，且满足求数列的通项公式；若数列为等比数列，且，，求数列的前n项和18. 已知半圆O的直径，点C为圆弧上一点异于点A，，过点C作AB的垂线，垂足为若，求的面积；求的取值范围.19. “体育强则国家强，国运兴则体育兴”，多参加体育运动能有效增强中学生的身体素质.篮球和排球是我校学生最为喜爱的两项运动，为调查喜爱运动项目与性别之间的关系，某调研组在校内随机采访男生、女生各50人，每人必须从篮球和排球中选择最喜爱的一项，其中喜爱排球的归为甲组，喜爱篮球的归为乙组，调查发现甲组成员48人，其中男生18人.根据以上数据，填空下述列联表：甲组乙组合计男生女生合计根据以上数据，能否有的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关？现从调查的女生中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人发放礼品，求这3人中在甲组中的人数X的概率分布列及其数学期望.参考公式：，其中为样本容量.参考数据：20. 如图，在四棱锥中，已知，，，，，，E为PB中点，F为AB中点.证明：平面平面PAO；若，求平面POC与平面PAB所成夹角的余弦值.21. 已知双曲线E的顶点为，，过右焦点F作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G，且点P为x轴正半轴上异于点B的任意点，过点P的直线l交双曲线于C，D两点，直线AC与直线BD交于点求双曲线E的标准方程；求证：为定值.22. 已知为正实数，函数若恒成立，求A的取值范围；求证：…答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，故故选：解不等式求出A，B，求出交集．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由得，所以故选：根据复数的除法运算化简，进而可求解模长．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A，因为，所以，故A错；对于B，因为，所以两组样本数据的方差相同，故B错；对于C，新的样本数据的极差，所以两组样本数据的极差相同，故C正确；对于D，样本容量为20的新的样本数据的平均数为，故D错．故选：根据平均数、方差和极差的计算公式判断即可．本题主要考查平均数，方差，极差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：对于，其展开通项公式为，令，得，故，对于，其展开通项公式为，令，得，故，所以故选：利用二项式定理分别求出与一次项的系数，再相加即可．本题主要考查二项式定理，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由，可知E为BC中点，所以，，如图所示：因为，所以，所以故选：根据题意画出图像，即可得出，，再得出，代入计算即可得出答案．本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：因为在正方体中，，，所以四边形是平行四边形，故，又面，面，所以面，因为P是线段上的动点，所以P到面的距离与到面的距离相等，所以故选：先由线面平行的判定定理证得面，从而得到，再结合锥体的体积公式即可得解．本题考查三棱锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：圆D：的圆心坐标为，半径为1，又直角的直角顶点A在圆D：上，，直角的直角顶点为A，点A在以BC为直径的圆上，圆心坐标为，半径为，点A在圆D：上，这两个圆位置关系为相交或内切或外切，，故选：根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可．本题考查圆与圆的位置关系，不等式思想，属中档题．8.【答案】A【解析】解：因为，所以，又，，所以，设，则，由，可得，函数单调递增，由，可得，函数函数单调递减，所以，，所以，即，所以故选：根据三角函数的性质可得，进而可得，然后构造函数，根据导数可得，进而可得，即得．本题考查利用函数的单调性比较大小，导数的利用，属中档题．9.【答案】BCD【解析】解：联立直线和抛物线方程，消去x得，，由抛物线与直线有公共点，所以方程有实数根，即，解得或舍，因此p的值可以是3，4，故选：联立直线与抛物线方程，利用方程的根与公共点的个数之间的关系使即可求得p的取值范围．本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：函数，对于A选项：函数的最小正周期为，所以A选项正确；对于B选项：函数的定义域为R，，则函数是R上的偶函数，所以B选项错误；由题意，将函数的图象向右平移个单位长度得到：，再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变得到：，即函数，对于C选项：，函数的图象关于点对称，所以C选项正确；对于D选项：当时，，由余弦函数的图象和性质得：，即，所以D选项错误；故选：根据三角恒等变换得到，再由函数图象的变换得到，结合余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项即可求解．本题考查三角函数的性质，函数的图象变换，化归转化思想，属中档题．11.【答案】BD【解析】解：选项A，由，知每100人中可能有1人患有新冠，即选项A错误；选项B，因为，所以，所以与相互独立，所以A与B相互独立，即选项B正确；选项C，由，知若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，即选项C 错误；选项D，因为，所以，所以若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，即选项D正确．故选：选项A，由概率的含义，即事件发生的可能性大小，可判断；选项B，计算可得，知与相互独立，再根据相互独立事件的概率的基本性质，可得解；选项C，由，根据条件概率的含义，可判断；选项D，由，根据条件概率的含义，可得解本题主要考查条件概率，还涉及对立事件，相互独立事件的概率的基本性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A，若为偶函数，则关于直线对称，将纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得，则函数关于直线对称，即为偶函数，所以，则，所以，即，令得，，所以，故A正确；对于B，由可得，即，令，则，所以，所以函数函数的图象关于点对称，故B正确；对于C，因为为偶函数，则，又，所以，则，所以，即，则，所以函数的周期为4，故C 不正确；对于D，函数的周期为4，则函数的周期也为4，由，可得，，则，故D正确．故选：根据函数为偶函数集合图象变换可推出为偶函数，即得，利用特殊值判断A；对进行变形处理即可判断其对称性从而判断B；由为偶函数，且，代换处理即可判断C；根据的周期即周期内的特殊值关系得，，化简可判断本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．13.【答案】0【解析】解：，，设，，，即，，，，，，故答案为：利用换元法得到一元二次方程求出，再利用对数的性质和运算法则求解．本题考查一元二次方程的解法，对数的性质和运算法则，属于中档题．14.【答案】1或【解析】解：在中，由正弦定理得，，，又，则，即，，，，，整理得，解得或，故或，符合题意，故答案为：1或根据题意利用正弦定理可得，利用条件解方程，即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．15.【答案】9【解析】解：由已知条件得，，，又，，，，当且仅当，即时等号成立．故答案为：将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：取左焦点E，连接AE，BE，易得四边形AEBF是平行四边形，设，，则，，在平行四边形AEBF中，，则，在中，根据余弦定理可得，则，，，，，代入，可得，，，解得，又，，椭圆C的离心率e的取值范围为故答案为：取左焦点E，连接AE，BE，易得四边形AEBF是平行四边形，设，，则，可得，进而结合已知可得，求解即可．本题考查离心率的求法，考查余弦定理的应用，属中档题．17.【答案】解：由可得，①，②由①-②可得：，，即，即，又数列为正项数列，所以，因为，所以，所以数列为以1为首项，公差为2的等差数列，故由得：，，又，，所以，，数列为等比数列，设其公比为q，则，所以，所以，则，③，④③-④得：，则【解析】首先利用与的关系结合已知条件等式推出数列是等差数列，从而求得数列的通项公式；利用求，，结合等比数列通项公式求得的表达式，然后利用错位相减法求解即可．本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：如图，连接BC，在中，，，，则，在中，，所以设，易知，在中，①，因为，所以，则，代入①式可得的取值范围为【解析】连接BC，利用余弦的定义求解即可；设，在中利用三角函数的定义及三角恒等变换求解即可．本题主要考查与圆有关的比例线段，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：列联表如下：甲组乙组合计男生183250女生302050合计4852100零假设为：学生选排球还是篮球与性别无关，由列联表可得，有的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关．按分层抽样，甲组中女生3人，乙组中女生2人，，，，的分布列为：X123P数学期望【解析】根据已知条件填列联表；计算，与表格数据比较，判断即可；先应用分层抽样确定男女生人数，再应用古典概型计算概率，列出分布列，再求出数学期望．本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：证明：连接AC，为PB中点，F为AB中点，，又面PAO，面PAO，面PAO，在中，，，，，即，在中，，，，，在中，，，，，，，，为AB中点，，，，又面PAO，面PAO，面PAO，又，CF，面CEF，平面平面PAO；延长CO与BA交于H，连PH，则面面，在中，，，，所以，又，，，PO，面POA，面POA，面PCO，面面POA，在面PCO内过A作，则面PCO，面PCO，，过A作，连MN，，面AMN，面AMN，面AMN，面AMN，，即为面POC与面PAB所成二面角的平面角，，，，，，，，，，又，，，，平面POC与平面PAB所成角的余弦值为【解析】根据线面平行及面面平行的判定定理即得；延长CO与BA交于H，由题可得面面POA，过A作，过A作，进而可得即为面POC与面PAB所成二面角的平面角，结合条件即得；本题考查面面平行的判定以及二面角的定义及其求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：设双曲线，则根据题意可知，且为等腰三角形，，将其代入中，可得：，，又，解得，双曲线；证明：设直线l的方程为：，且，，联立，可得：，，，，①，②联立①②，解得：，又，同理，，把它们代入，可得：，，故原命题得证．【解析】根据题意表示出G点的横坐标，求出纵坐标，表示面积即可求解；联立直线与双曲线方程，根据韦达定理证明求解．本题考查双曲线的方程的求解，直线与双曲线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，化归转化思想，属中档题．22.【答案】解：，①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；②若，即，当时，，函数单调递减，故，矛盾，不符合题意；综上：先证右侧不等式，如下：由可得：当时，有，则，即，即则有，即，右侧不等式得证．下面证左侧不等式，如下：易知，可得，即，则有，即，，则故，综上：…【解析】求导得，分，两种情况讨论可得的取值范围；当时，有，则，可得可证右侧不等式，可得，，可证左侧不等式．本题考查导数的综合应用，考查不等式的证明，属难题．。
二次函数与一元二次方程、不等式知识清单
二次函数与一元二次方程、不等式【考纲解读与核心素养】1.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.【知识清单】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质2.一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.3.三个“二次”之间的关系（1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．（2）三个“二次”之间的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0＝b2－4ac解不等式求方程f(x)＝0有两个不等的实有两个相等的实没有实数3.不等式恒成立问题1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为>0<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为>0≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为<0<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为<0≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解．设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m .(2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M .【典例剖析】高频考点一：二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】解法一(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．c＝－1，＝－4，＝4，＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2(1)2+-＝12，∴m＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝＋8.∵f(2)＝－1，∴＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)4a a a a---＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知二次函数()f x 满足：任意的x ∈R ，有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，且()f x 最小值为34，()f x 与y 轴交点坐标为(0,1)（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(,)m n m n <，使()f x 的定义域和值域分别为[,]m n 和33,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，如果存在，求出,m n ；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）存在；122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩【解析】（1）因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12x =是()f x 图象的对称轴，且最小值为34，故可设213()()24f x a x =-+，由13(0)144f a =+=得1a =，所以213()(24f x x =-+，即2()1f x x x =-+；（2）假设存在实数(,)m n m n <满足题意，由（1）()f x 在1(,2-∞上递减，在1(,)2+∞上递增，若12n ≤，显然不合题意；若12m n <≤，则3324m =，12m =，不合题意，所以12m ≥，2()33()2f m m f n n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,m n 是方程3()2f x x =的两不等实根，3()2f x x =，即2312x x x -+=，25102x x -+=，112x =，22x =，所以122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．高频考点二：二次函数图象的识别例2.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）对数函数(log 0a y x a =>且)1a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图像不可能是（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】当01a <<时，函数log a y x =单调递减，()21y a x x =--开口向下，对称轴在y 轴的左侧，排除C ，D ；当1a >时，函数log a y x =单调递增，()21y a x x =--开口向上，对称轴在y 轴的右侧，排除B ；故选：A【总结提升】识别二次函数图象应学会“三看”【变式训练】（2019·辽宁高考模拟（理））函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，,所以舍去A,D,当时，,所以舍去B,综上选C.高频考点三：二次函数的单调性问题例3.（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上为单调函数，则实数k的取值范围是（）A．(－∞，8]B．[40，＋∞)C．(－∞，8]∪[40，＋∞)D．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上，∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5]上为单调函数，∴18k ≤或58k≥，解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋．故选C．【总结提升】研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⊆－b2a ，＋∞A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)．【变式探究】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是()A．[－2，2]B．[1，2]C．[2,3]D．[1,2]【答案】B【解析】由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤ 2.又t≥1，∴1≤t≤ 2.高频考点四：二次函数的最值问题例4.（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】【解析】去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，，，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．【变式探究】（2019·天津高考模拟（文））若不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________.【答案】13-【解析】设2()23,f x x x =-++不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立，只需满足13max ()2a f x -≤，即可.22max ()23(1)4()4,f x x x x f x =-++=--+⇒=所以有13142,3a a -≤⇒≤-因此实数a 的最大值为13-.高频考点五：二次函数的恒成立问题例5.（2019·北京高三高考模拟（理））已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____．【答案】3-1[,1]4【解析】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x＝－1时，f （x ）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3，定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立，①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-，即：231a x x ≤--+恒成立，令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++，在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1，所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤，即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在0＜x≤3时，g （x）有最大值：g （12）＝14，所以，14a ≥，实数a 的取值范围是1[,1]4【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2020·天津市咸水沽第二中学高三一模）已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(][),31,-∞--+∞ 【解析】由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立；当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x ≤+-，又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax +≤，即21111ax ⎫≥+=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-.故答案为：(][),31,-∞--+∞ .高频考点六：二次函数与函数零点问题例6.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2]【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭.因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根.因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-.因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根，即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【规律总结】1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．【变式探究】（2019·马关县第一中学校高一期末）已知二次函数2()(2)3f x ax b x =+-+，且-1,3是函数()f x 的零点.（1）求()f x 解析式，并解不等式()3f x ≤;（2）若()(sin )g x f x =，求行数()g x 的值域【答案】（1）{}02x x x ≤≥或（2）()[0,4]g x ∈【解析】（1）由题意得213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩14a b =-⎧∴⎨=⎩∴()223f x x x =-++2233x x ∴-++≤即220x x -≥∴{}02x x x ≤≥或，（2）令[]sin 1,1t x =∈-()()[]2223140,4g t t t t =-++=--+∈∴()[]0,4g x ∈高频考点七：一元二次不等式恒成立问题例7.（2019·湖北高三月考（理））若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为()A．9B．10C．11D．12【答案】A 【解析】由[]1,5x ∈时，226x x ax b x ≤++≤恒成立可得：2226x x ax b x x-+≤+≤-+令()()2215f x x x x =-+≤≤，()()2615g x x x x =-+≤≤可得()f x ，()g x 图象如下图所示：要使b 最大，则y ax b =+必过()1,5A ，且与()y f x =相切于点B 则此时5b a =-，即直线方程为：5y ax a=+-联立252y ax a y x x =+-⎧⎨=-+⎩得：()2250x a x a +-+-=()()22450a a ∴∆=---=，解得：216a =由图象可知0a <4a ∴=-()max 549b ∴=--=本题正确选项：A 【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2020·济源市第六中学高二月考（文））已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【答案】(),1-∞-【解析】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()g x 在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()2min 113111g x g ==-⨯+=-，所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.高频考点八：二次函数的综合应用例8．（2016·上海市松江二中高三月考）设()2f x x x a x =-+(a ∈R)(1)若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值；(2)若2a >，写出()f x 的单调区间；(3)若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.【答案】（1）()max 9f x =；（2）()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）918t <<【解析】（1）当2a =时，()22f x x x x =-+=224,2{,2x x x x x -+<≥,∴()f x 在R 上为增函数，∴()f x 在[]0,3上为增函数，则()()max 39f x f ==.（2）()()()222,{2,x a x x a f x x a x x a-++<=+-≥,2a >,022a a a ∴<-<<+,当x a ≥时，22a a ->，∴()f x 在(),a +∞为增函数,当x a <时，22022a a a +--=<，即22a a +<,∴()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，在2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,则()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）由（2）可知，当22a -≤≤时，()f x 为增函数，方程不可能有三个不相等实数根,当24a <≤时，由（2）得()()22a f a tf a f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭,()22224a a at +<<,即()2218a t a+<<在(]2,4有解,由()22118822a a aa +=++在(]2,4上为增函数,∴当4a =时，()228a a+的最大值为98,则918t <<.【总结提升】对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.【变式探究】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数(2)y f x =-是偶函数.（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式(ln )ln 0g x n x - 在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，求n 的取值范围；【答案】（1）6()4(0)g x x x x =-+≠（2）52n - 【解析】（1）∵2()(2)f x x m x m =+--,∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-.∵(2)y f x =-是偶函数,∴60m -=,∴6m =.∴2()46f x x x =+-,∴6()4(0)g x x x x=-+≠.（2）令ln x t =,∵21,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,∴[2,0)t ∈-,不等式(ln )ln 0g x n x - 在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立,等价于()0g t nt - 在[2,0)t ∈-上恒成立,∴2264646411t t n t t t t t-+=-+=-++ .令2641z t t =-++,1s t =,则12s - ,256412z s s =-++-,∴52n -.。
2019年5月份浙江省三校第二次联考数学卷答案
A, B ，记点 A, B 到直线 PO （ O 是坐标原点）的距离是 d1 ， d2 ．
（Ⅰ）当 t 0 时，求线段 AB 的长；
y
AB
（Ⅱ）求
的最大值．
d1 d2
A O
P Bx
第 21 题图
解：（Ⅰ）因为点 P 2,t ，直线 AB 的方程是： 2x 2ty 2 ，
即 x ty 1 ，当 t 0 时，直线 AB 的方程是 x 1，----------------3 分
且 2an
bn
bn1 ， an
an1
b2 n 1
，
a1
b2 ， a2
b6 .
（Ⅰ）求 b1 及数列bn 的通项公式；
（Ⅱ）若数列cn
满足 c1
1 3
， cn
cn 1
2 bn ，求数列 c2n 的前 n 项的和 Sn ．
解：（Ⅰ）因为 a1 b2，2a1 b1b2 ，所以 b1 2 --------------------------------1 分
所以 c4 c2 22 ， c6 c4 24 ， ， c2n c2n2 22n2 ，
累加得当 n
2 时， c2n
c2
4 3
4n1 1
，即 c2n
1 4n 1 3
c2
7 3
也适合上式，故 c2n
1 4n 3
1
n N * -----------------3 分
2
2
（2）因为 x1, x2 是方程 f (x) c 的两个不等实根，不妨设 0 x1 x2
2019年5月浙江省三校2019届高三毕业班第二次联考测试数学试题(解析版)
绝密★启用前浙江省三校2019届高三毕业班下学期第二次联考测试数学试题(解析版)2019年5月一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}0,1U x x A x x =≥=≥，则U C A ＝( )A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x ≤<D. {}0x x ≥【答案】C【解析】【分析】由补集的定义计算即可.【详解】由{}|0U x x =≥,{|1}A x x =≥,可得{}|01U C A x x =≤<.故选C.【点睛】本题主要考查补集的计算.2.双曲线2214y x -=的焦距是（ ）B. D. 【答案】D【解析】【分析】该双曲线的焦点在y 轴,利用222c a b =+可求得双曲线的焦距.【详解】双曲线22221y x a b-=的焦距为2c ===故选D.【点睛】双曲线中222c a b =+,椭圆中222c a b =-,要注意区别并判断焦点在x 轴上还是在y 轴上.3.已知i 是虚数单位,则复数2i i +的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】【分析】 将i 2+i的分子分母同乘以2i -,化成()i ,a b a b R +∈的形式,其共轭复数i a b -对应的点为(),a b -. 【详解】()()()i 2-i i 12==+i 2+i 2+i 2-i 55,其共轭复数为12i 55-,对应的点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,在第四象限.故选D.【点睛】将分式形式复数的分子分母同乘以分母的共轭复数,可以化得()i ,a b a b R +∈的形式.4.已知实数,x y 满足()()201x y x y x ⎧-+≥⎨≥⎩,则2x y -（ ） A. 有最小值,无最大值B. 有最大值,无最小值C. 有最小值,也有最大值D. 无最小值,也无最大值【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域,设2x y z -=,则2y x z =-,平移直线2y x z =-可得z 是否能取得最大值和最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.设2x y z -=,则2y x z =-,z 表示。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届第二次联考
（1）判断甲地气候类型并分析成因。（4分） 热带草原气候 纬度低，全年高温 冬季受信风控制，降水少 夏季受赤道低气压影响，降水丰富
（2）说明甲地泥石流多发的原因。（4分） 地壳活跃，岩石破碎 上游河谷地势起伏大 干季风化作用强，松散堆积物多 湿季降水集中
（3）分析吉布提太阳能资源丰富的原因，并指出制约其开发的社 会经济条件（4分） 气候干旱，光照强 纬度低，太阳高度大 技术落后
29．【加试题】阅读图文材料，完成下列问题。（15分） 材料一：绍兴是我国主要黄酒产地。传统手工黄酒由世代酿酒大 师甄选优质糯米和小麦，加鉴湖源头水，经多道工序完成，由于产 品缺乏创新和营销策略不当，市场仅限于长三角，利润低微
（1）简析绍兴黄酒品质优良的原因。（3分） 用优质稻米酿造，原料品质好 用鉴湖源头的水，水质好 酿造工艺独特（酿造历史悠久，工人经验丰富，技艺水平高）
城市某区域土地利用强度，可以用建设用地面积占该区域土地面 积的比值表示。下图为某大城市土地利用强度分布示意图。完成16、 17题 B 16．影响该城市土地利用强度的最主要条件 A．气候条件 B．土地价格 C．水源状况 D．功能分区 17．甲处土地利用强度较相邻地区大，最可能的原因是 A．设立自然保护区 B．与市区交通改善 C C．大型物流园区 D．高档写字楼的分布
浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第二次联考
一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2分，共 50分。每小题列出 的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选 均不得分） 2017年2月，科学家发现一颗超冷矮星TRAPPIST-1（距地球39.13 光年，半径、质量分别为太阳的 11% 和8% ，），该天体拥有 7颗行 星。完成第1题。 1．超冷矮星TRAPPIST-1属于 D A．行星 B．卫星 C．彗星 D．恒星
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届高三第二次联考语文试题(解析版)
浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第二次联考语文试题卷一、语言文字运用1.下列各句中，没有错别字且注音全对的一项是A. 专家表示，居住证制度为户籍制度改革提供了一个过渡时期，通过不断剥（bō）离户籍制度承载（zài）的福利，最终拆除户籍制度蕃篱，还原户籍制度的基本功能。
B. 围棋文化源远流长，其魅力跨越几千年而历久弥（mí）新，高手们对弈论道时的心莺八极、神游万仞（rèn）让人遐思无限，巅峰对决时的紧张刺激更令人目炫神迷。
C. 备受关注的歌舞类影片《爱乐之城》，凭着对梦想和爱情的煽情解读，成功角（jué）逐本次奥斯卡金像奖，不孚（fú）众望斩获六大奖项，成为拔得头筹的最大赢家。
D. 这些铜子儿是磨坊主每次一个、两个地从杂货铺老板、菜贩那儿死乞白赖地硬扣下来的；人家虽没有明说，可自己总觉得这样锱（zī）铢必较未免太吝啬，当时脸都臊（sào）红了。
【答案】D【解析】【详解】该题将字音和字形合二为一，考查形声字里的易错读音，字形多为同音异形字或同音形近字，需平时分类识记，辅以练习。
建议大家做好笔记整理，将自己记错，平时练习和考试中出错的字音字形分类整理下来。
A项，蕃篱，应为藩篱；B项，心莺八极，应为心骛八极；目炫神迷，应为目眩神迷。
C项，不孚众望，应为不负（fù）众望。
故选D项。
阅读下面的文字，完成下列小题。
环顾世界，新一轮科技革命和产业变革方兴未艾，中国制造站在了新的时代风口。
面对重大机遇和严峻挑战，早在2015年，国务院就印发了《中国制造2025》，为中国制造业的发展创新作出顶层设计。
而近日，教育部、工信部等四部委又联合发布了《制造业人才发展规划指南》，［甲］该《指南》可说是落实“中国制造”见于专项规划的《人才篇》，也是系列规划指南的收官之作。
［乙］“功以才成，业由才广。
”对于制造业而言，最积极的因素是人才。
但近年来，我国制造业人才艮琴不号，人才结构性过剩与短缺的现象同时存在。
1902Z20第二次联考数学试卷
3．“ lg a lg b ”是
1
“
1 ”的
ab
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
y 1
4．若变量
x,
y
满足约束条件
x
y
2
0
，则目标函数 z x 2y 的最小值为
2x ห้องสมุดไป่ตู้y 2 0
A． 4
7
B．
2
5．若双曲线
x2 a2
绝密★考试结束前（高三返校联考）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2019 届第二次联考
数学试题卷
命题：慈溪中学 岑光辉、应勤俭 校审：桐乡市高级中学 张晓东 德清高级中学江战明 校对：谈玉琴、陈中停
考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答 题纸规定的地方。 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本 试卷纸上答题一律无效。 4．考试结束后，只需上交答题卷。
y2 b2
1(a
0,b
0)
的离心率为
C． 3
8
D．
3
5 ，则双曲线的渐近线方程为
A． y 1 x 2
B． y 2x
C． y 6 x 6
D． y 6x
6．已知 , (0, ) ， tan 1 ， cos( ) 5 ，则 tan( )
2
2
1
1
3 正视图
3 侧视图
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届第二次联考(高三返校联考)数学答案
2)( x2
2)
16
，
即 x1x2 2(x1 x2 ) 20 ．
直线 AB 方程：
y
x12 4
x12 4 x1
x22 4
x2
(x x1) ，
即 y x1 x2 x x1x2 x1 x2 x 2(x1 x2 ) 20 x1 x2 (x 2) 5 ．
x12 ) ， 4
B(x2 ,
x22 4
)
，Q
AP
BP k AP
kBP
1
,
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2019 届第二次联考 数学参考答案 第 2 页 共 4 页
x12 1 4 x1 2
x22 1 4 x2 2
1 ，
x1
4
2
x2
4
2
1 ， ( x1
\ AP//NM ．\ PM = 1
MC
……………7 分
F
D
E
N
P
O
M
C
（Ⅱ）连结 PN ，过 P 作 MN 的垂线，垂足为 O ，连结 DO .
PB PD ， CD = BC \VPCD @VPCB ， MD = MB . A
B
\MN ^ DB Q CN ^ DB MNC 为二面角 M DB C 的平面角.
f
(x)
的单调递增区间为
12
k , 5 12
k
，k
Z
…………………6 分
（Ⅱ） f (C) 0sin(2C ) 0 ,C 或 C 2 （舍去）；
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届第二次联考(返校考)数学部分小题解析
浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第二次联考（返校考）数学部分小题解析编辑： 浙江省开化中学 张小臣8. 记函数1y x =-+M ，最小值为m ，则Mm的值为（ ）A.1B.1- 1- D.13-【解析】（三角换元）设,[0,]x θθπ=∈θ=，所以12sin()14y πθθθ=+-=+-因为5[,]444πππθ+∈，所以sin()[4πθ+∈，[1,1]y ∈，所以1M m ==故选B. 9. 学校安排一天6节课，语文、数学、英语和三节不同的选修课，则满足“数学不排第一节 和第六节，三节选修课至少2节相邻”的不同排法数是（ ） A. 288 B. 324 C. 360 D. 420【解析】若三节选修课都相邻，则将其捆绑看成一门课与语数英排，且其中数学不排两头，故此时有31332372A A A =种排法；若三节选修课仅有2节相邻，则相邻的情况有23A 种，再讨论每一种情况的排法：如图，若数学排在第2节，则相邻的两节选修课可排在3,4或4,5或5,6，，再考虑第三门选修课位置及语文与英语位置，此时不同的排法有122122222210A A A A A ++=种；若数学排在第3节，则相邻的两节选修课可排在1,2或4,5或5,6，再考虑第三门选修课位置及语文与英语位置，此时不同的排法有312123222214A A A A A ++=种；若数学在第4节排法与在第3节同；若数学在第5节排法与在第2节同. 所以仅有两节选修课相邻是符合要求的排法为23(102142)288A ⨯+⨯=种.综上，所求排法总数为72288360+=. 故选C.10. 如图，四面体A BCD -中，1,2 AB AC CD DA ====，当BC 与面ACD 所成角最 大时，四面体A BCD -的体积为（ ） A.12B. 1C.D. 不确定【解析】依题意，点B 在以A 为球心，以1为半径的球面上， 当BC 与面ACD 所成角最大时，直线BC 与球相切， 且平面ABC ⊥平面ACD . 过点B 作BE AC ⊥，垂足为E .在Rt ABC ∆中，2,1 AC AB ==，得60BAC ∠= 在Rt ABE ∆中，sin BE AB BAC =∠=. 所以2111312sin603322A BCDB ACD ACD V V S BE --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅=. 故选A. 15. 已知平面中的三个向量,, a b c 满足1a b ⋅=，,3a b π<>=，1c a ⋅=，2c b ⋅=，则||c 的最小值是 . 【解析】由1a b ⋅=，,3a b π<>=，得||||2a b =，设(,0)(0)a t t =>，则13(,)b t =，设(,)c x y =，由1c a ⋅=，2c b ⋅=，得12xt x t=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t 得，22x =，由此得210)y x t ==>， 所以2||c xy =+==≥==. 故min 23||3c =.16. 已知椭圆22:184x y E +=，点P 是直线:4l x =上的任意一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别是,A B ，则||AB 的最小值是 . 【解析】设(4,)P t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则切线PA 方程为11184x x y y+=， 切线PB 方程为22184x x y y+=.因为它们都经过点P ，所以1122124124x ty x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故直线AB 的方程为124x ty +=，即22t x y =-+.联立2218422x y t x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去x 得，22(8)8160t y ty +--=所以12288t y y t +=+，122168y y t =-+，所以||AB ==24)8t ===-+ 所以当0t =时，min ||AB =【快解】（利用对称原理）设(4,)P t ，由题意及图形对称性可知当||t 越大时，||AB 越大.且当t →∞时，||2AB a →=当0t =时，求得直线AB 方程为2x =，代入椭圆方程，解得y =所以此时min ||AB =17. 若12b =，13(*2,)44N 且 R n n t b b n n t -=+∈≥∈，若||2n b ≤对任意*N n ∈恒成立， 则实数t 的取值范围是 . 【解析】当4t =时，{}n b 为首项为2，公差为34的等差数列，显然不合题意. 当4t ≠时，由11333()44444n n n n t t b b b b t t--=+⇒-=--- 又133522444t b t t t--=-=---， 若52t =，则2n b =，满足题意； 若5,42t ≠，则1523()444n n t t b t t--=⋅+--， 所以12115252||2()4444n n t t t tb t t t----≤⇔≤⋅≤---（*） 当5204t t -<-，即542t <<时，（*）式12111()452n t t t --⇔≤≤-不能恒成立； 当5204t t ->-，即4t >或52t <时，（*）式1211()1524n t tt --⇔≤≤-， 若4t >，右边不等号不能恒成立；若4t <-，右边不等号不能恒成立； 若542t -≤<，因为211152t t -<--，1|()|14n t -<，故1211()1524n t t t --≤≤-恒成立. 综上所述，5[4,]2t ∈-.。