课时跟踪检测(三十四)
(高中历史模块学习)(三十四) 宋明理学(附详细解析)
课时跟踪检测（三十四）宋明理学一、选择题(每小题3分，共48分)1．玄学，是魏晋时期以老庄思想为骨架，融合儒家经义后形成的一种哲学思想，其特征是远离政治，回避现实，无关道德，蔑视俗务。
玄学的出现反映出当时() A．老庄学说占据主流地位B．社会剧烈动荡政治黑暗C．思想领域出现三教合一D．商品经济冲击传统思想解析：选B据材料“玄学，是魏晋时期以老庄思想为骨架，远离政治，回避现实”并结合所学可知，魏晋南北朝时期，社会动荡不安，现实黑暗，从而导致民众追寻理想社会，故选B项；依据所学，汉武帝时期，确立了儒学在思想界的统治地位，排除A项；依据所学，唐宋时期出现了三教合一的潮流，排除C项；依据所学，魏晋时期，商业发展受到阻碍，出现了以物易物的行为，排除D项。
2．唐高祖下诏：“老教孔教，此土先宗，释教后兴，宜崇客礼。
令老先、次孔、末后释。
”此诏旨在()A．文化建构B．厚古薄今C．崇内抑外D．政教合一解析：选A唐高祖制定三教共存、道先儒次佛后的政策，重新对文化进行建构，以三教并用来维护唐的统治，故选A项；唐朝统治者为了提高其门第，神化其统治，尊老子为始祖，又以三教共存巩固统治，这不叫厚古薄今，排除B项；唐高祖认为道教、儒教是本土思想的基础，佛教后兴，也“宜崇客礼”，据此可知这不是抑制外来宗教，排除C项；政教合一制度是指政权和教权合二为一的政治制度，排除D项。
3．宋神宗召见张载询问治道之策时，他答道：“为政不法三代者，终苟道也。
”这说明()A．汉唐以来的意识形态难以为继B．效法三代能解决当时社会问题C．理学当时已被确立为官方哲学D．儒学的正统地位开始受到挑战解析：选A在张载看来，治国如果不用三代之道，那只是苟且的办法，即他认为汉唐以来的儒学背离了儒学的原有宗旨，故选A项；与夏商周三代相比，北宋社会环境大为不同，效法三代并不能解决北宋的社会问题，排除B项；南宋时期理学成为官方哲学，排除C项；儒学的正统地位在宋代之前就已经受到佛道的挑战，排除D项。
高考物理复习高三一轮复习：课时跟踪检测34法拉第电磁感应定律 自感和涡流
高考物理复习课时跟踪检测(三十四) 法拉第电磁感应定律 自感和涡流高考常考题型：选择题＋计算题1. (2012·南京模拟)如图1所示，长为L 的金属导线弯成一圆环，导线的两端接在电容为C 的平行板电容器上，P 、Q 为电容器的两个极板，磁场垂直于环面向里，磁感应强度以B ＝B0＋Kt(K>0)随时间变化，t ＝0时，P 、Q 两极板电势相等。
两极板间的距离远小于环的半径，经时间t 电容器P 板( ) 图1A ．不带电B ．所带电荷量与t 成正比C ．带正电，电荷量是KL2C 4πD ．带负电，电荷量是KL2C 4π2.光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图2所示，抛物线的方程是y ＝x2，下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y ＝a 的直线(图中的虚线所示)，一个小金属块从抛物线上y ＝b(b>a)处以速度v 沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，金属块沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是( )A ．mgb B.12mv2 图2 C ．mg(b －a) D ．mg(b －a)＋12mv2 3. (2013·焦作模拟)如图3所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为L ＝1 m ，cd 间、de 间、cf 间分别接着阻值为R ＝10 Ω的电阻。
一阻值为R ＝10 Ω的导体棒ab 以速度v ＝4 m/s 匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度 图3大小为B ＝0.5 T ，方向竖直向下的匀强磁场。
下列说法中正确的是( )A ．导体棒ab 中电流的流向为由b 到aB ．cd 两端的电压为1 VC ．de 两端的电压为1 VD ．fe 两端的电压为1 V4. (2012·武汉模拟)如图4所示是圆盘发电机的示意图；铜盘安装在水平的铜轴上，它的边缘正好在两磁极之间，两块铜片C 、D 分别与转动轴和铜盘的边缘接触。
若铜盘半径为L ，匀强磁场的磁感应强度为B ，回路的总电阻为R ，从左往右看，铜盘以角速度ω沿顺时针方向匀速转动。
课时跟踪检测(四十四)
课时跟踪检测（四十四）
(3)因为 AB⊥AD， 而且 ABED 为平行四边形． 所以 BE⊥CD， AD⊥CD， 由(1)知 PA⊥底面 ABCD， 所以 PA⊥CD，因为 PA∩AD＝A， 所以 CD⊥平面 PAD.所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， 所以 PD∥EF，所以 CD⊥EF.又 EF∩BE＝E，所以 CD⊥平 面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD.
数学
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3．解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B， ∴AD⊥平面 BDC，又 AD⊂ 平面 ADC， ∴平面 ADC⊥平面 BDC.故选 C. 答案：C 4．解析：设 B1F＝x，因为 AB1⊥平面 C1DF，DF⊂ 平面 C1DF，所以 AB1⊥DF.由已知可以得 A1B1＝ 2，设 Rt△ AA1B1 斜边 AB1 上的高为 1 2 3 3 2 2 h ，则 DE ＝ h. 又 2× 2 ＝ h 2 ＋ 2 ，所以 h ＝ ， DE ＝ . 在 2 3 3 Rt△ DB1E 中 ， B1E ＝ ×
2
22 32 6 6 － ＝ .由面积相等得 6 6 2 3
22 2 1 x ＋ ＝ x，得 x＝ . 2 2 2
答案：A
数学
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5．解析：由定理可知，BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时，即有 PC⊥平面 MBD.而 PC⊂平面 PCD，∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案：DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 6．解析：如果 AB 与 CD 在一个平面内，可以推出 EF 垂直 于该平面，又 BD 在该平面内，所以 BD⊥EF.故要证 BD ⊥EF，只需 AB，CD 在一个平面内即可，只有①③能保 证这一条件． 答案：①③
课时跟踪检测(四十五)
7．解析：从 n＝2 电离所需的最小能量等于：E－E2＝0－(－3.4)＝3.4 eV，光子能量 3.6 eV 高于此值故能引起电离，故 A 正确。氢原子
从 n＝4 的能级向 n＝3 的能级跃迁时辐射出光子的能量为：－0.85
－(－1.51)＝0.66 eV，故 B 错误。根据跃迁规律可知从 n＝4 向 n
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4．解析：放射性元素放射出的射线为 α 射线、β 射线和 γ 射线， α 射线贯穿能力弱，一张薄纸就可挡住，β 射线贯穿能力较强， 可贯穿铝片，γ 射线穿过能力极强。α 射线带正电，β 射线带 负电，在电场中偏转，γ 射线不带电。由此可知，放射源发出 的射线可能为 α 射线和 γ 射线。选项 D 正确。 答案：D
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3．解析：密立根通过油滴实验测出了元电荷即基本电荷的数值， A 项正确；贝克勒尔发现了天然放射现象，说明原子核具有复 杂的结构，卢瑟福通过 α 粒子散射实验确定了原子的核式结构 模型，B 项错误；居里夫妇从沥青铀矿中分离出了钋和镭两种 新元素，C 项正确；卢瑟福用镭放射出的 α 粒子轰击氮的原子 核，从中找出了新的粒子，通过测定其质量和电荷，确定该粒 子为氢的原子核，证实了原子核内部存在质子，D 项错误；汤 姆孙根据阴极射线在电场和磁场中的偏转情况确定了阴极射线 的本质是带电的粒子流，并测出了这种粒子的比荷，E 项正确。 答案：ACE
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10．解析：静止的放射性原子核发生了衰变放出粒子后，新核的 速度与粒子速度方向相反，放出的粒子与新核所受的洛伦兹 力方向相同，根据左手定则判断粒子与新核的电性关系，即 可判断发生了哪种衰变。即可根据电荷数守恒及质量数守恒 写出核反应方程式。 答案：D
课时跟踪检测(三十) 直线与直线垂直
课时跟踪检测（三十）直线与直线垂直A级——学考合格性考试达标练1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直解析：选D因为正方体的对面平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．故选D.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有________条．()A．2B．4C．6 D．8解析：选D在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D.3．空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF 与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选A取AD的中点H，连FH，EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°.故选A.4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是()A．120°B．90°C．60°D．30°解析：选C如图，连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.故选C.5.[多选]如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是( )A ．直线CC 1与直线B 1E 相交B ．CC 1与AE 共面C ．AE 与B 1C 1是异面直线D ．AE 与B 1C 1垂直解析：选ACD 因为CE ∥B 1C 1且CE ＝12B 1C 1，所以 四边形CEB 1C 1为梯形．CC 1与B 1E 必相交．A 正确．由几何图形可知B 错误，C 正确．AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，又E 为BC 的中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，即AE 与B 1C 1所成的角为90°，选项D 正确．故选A 、C 、D.6．如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN ＝________.解析：取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即为异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5. 答案：57.如图，在三棱锥A -BCD 中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，AD 的中点，∠GEF ＝120°，则BD 和AC 所成角的度数为________．解析：依题意知，EG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠GEF 或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角，又∠GEF ＝120°，所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°.答案：60°8．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是________．解析：如图，连接EG，GB1，可得A1B1綊EG，所以四边形A1B1GE为平行四边形，所以A1E∥B1G，连接FB1，则∠FGB1就是异面直线A1E与GF所成的角．因为FB1＝5，GB1＝2，FG＝CG2＋CF2＝1＋1＋1＝3，所以FB21＝FG2＋GB21，即∠FGB1＝90°.答案：90°9．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝ 2.求证：AD⊥BC.证明：取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD＝2，所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1，所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF＝2，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.故AD⊥BC.10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点．求异面直线A1M与DN所成的角的大小．解：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.B级——面向全国卷高考高分练1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD 的中点为M ，AA 1的中点为N ，则异面直线C 1M 与BN 所成角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选C 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD 的中点为M ，AA 1的中点为N ，作AB 的中点P ，连接B 1P ，则B 1P ∥C 1M ，易得B 1P ⊥BN ，所以异面直线C 1M 与BN 所成的角为90°.故选C.2．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形解析：选D ∵E ，F ，G ，H 分别为中点，如图．∴FG 綊EH 綊12BD ， HG 綊EF 綊12AC ， 又∵BD ⊥AC 且BD ＝AC ，∴FG ⊥HG 且FG ＝HG ，∴四边形EFGH 为正方形．故选D.3．点E ，F 分别是三棱锥P -ABC 的棱AP ，BC 的中点，AB ＝6，PC ＝8，EF ＝5，则异面直线AB 与PC 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 解析：选D 如图，取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG 綊12AB ，GF 綊12PC ，则∠EGF (或其补角)即为AB 与PC 所成的角，在△EFG 中，EG ＝12AB ＝3，FG ＝12PC ＝4，EF ＝5，所以∠EGF ＝90°.故选D. 4．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成的角的大小是( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°解析：选C 设BB 1＝1，如图，延长CC 1至C 2，使C 1C 2＝CC 1＝1，连接B 1C 2，则B 1C 2∥BC 1，所以∠AB 1C 2为AB 1与BC 1所成的角(或其补角)，连接AC 2，因为AB 1＝3，B 1C 2＝3，AC 2＝6，所以AC 22＝AB 21＋B 1C 22，则∠AB 1C 2＝90°.故选C.5.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．解析：与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.答案：16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论正确的为________．(填序号)解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③7.如图所示，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.解：(1)如题图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点．所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.C级——拓展探索性题目应用练在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2 3，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1.解：连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°，因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB＝BC＝2 3，所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝22AC，因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2 3，∠ABC＝120°，所以AC＝2 3×sin 60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝3 2，所以AA1＝AD21－A1D21＝(3 2)2－(2 3)2＝ 6.。
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6. 解析：A、B 绕竖直轴匀速转动的角速度相 等，即 ωA＝ωB，但 rA<rB，根据 v＝ωr 得， A 的速度比 B 的小，选项 A 错误；根据 a＝ ω2r 得， A 的向心加速度比 B 的小，选项 B 错误；A、B 做圆周运动时的受力情况如图所示，根据 F 向 ＝mω2r 及 tan θ＝mF向g＝ωg2r知，悬挂 A 的缆绳与竖直方向的 夹角小，选项 C 错误；由图知mTg＝cos θ，即 T＝cmosgθ，所 以悬挂 A 的缆绳受到的拉力小，选项 D 正确。 答案：D
答案：B
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3．解析：地面物体随地球绕地轴转动半径为 r＝Rcos φ，φ 是 纬度，线速度 v＝rω＝ωRcos φ，向心加速度 a＝rω2＝ ω2Rcos φ。由于伦敦纬度高，半径小，因此有伦敦线速度 小于北京，伦敦向心加速度小于北京，选项 C 正确，A、B 错误。随地球自转的向心加速度是万有引力与地面支持力 合力产生的，方向指向地轴，重力加速度是由重力产生的， 方向竖直向下，选项 D 错误。 答案：C
得 v＝4n＋21πR 2gh(n＝0,1,2,3，…)
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答案：(1)(L－R)
g 2h
gL2＋R2 2h
(2)(L－R)
2gh≤v0≤(L＋R)
g 2h
4n＋1πR (3) 2
2gh(n＝0,1,2,3，…)
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2019_2020学年物理同步人教版选修3-课时跟踪检测(24单元word版含解析)
课时跟踪检测（一）电荷及其守恒定律1．关于摩擦起电、传导起电、感应起电，下列说法错误的是()A．这三种方式都产生了电荷B．这是起电的三种不同方式C．这三种起电方式的实质是一样的，都是电子在转移D．这三种方式都符合电荷守恒定律解析：选A摩擦起电的实质是电子从一个物体转移到另一个物体，即说明了电荷可以从一个物体转移到另一个物体。
摩擦起电现象说明机械能可以转化为电能，但并没有创造电荷，电荷只是发生转移。
感应起电过程电荷在电场力作用下，从物体的一部分转移到另一部分，电荷可以从带电的物体转移到原来不带电的物体是传导起电。
这三种方式都没有产生电荷，A错误；摩擦起电、传导起电、感应起电是起电的三种不同方式，B正确；这三种起电方式的实质是一样的，都是电子的转移，C正确；这三种方式都符合电荷守恒定律，D正确。
2．[多选]关于元电荷的理解，下列说法正确的是()A．元电荷就是电子B．元电荷是表示1 C电量C．元电荷是表示跟电子所带电荷量数值相等的电荷量D．物体所带的电荷量只能是元电荷的整数倍解析：选CD元电荷是最小带电荷量，大小为e＝1.60×10－19 C，跟电子或质子所带电荷量相等，不是电荷种类，任何带电体的电荷量都为元电荷的整数倍，故C、D正确。
3．将一束塑料扎带一端打结，另一端撕成细条后，用手迅速捋细条，观察到细条散开了，如图所示。
下列关于细条散开现象的分析中，正确的是()A．由于摩擦起电，细条带同种电荷，相互排斥散开B．撕成细条后，所受重力减小，细条自然松散C．撕成细条后，由于空气浮力作用使细条散开D．细条之间相互感应起电，相互排斥散开解析：选A塑料细条与手摩擦带电，塑料细条上带的是同种电荷，同种电荷相互排斥，所以塑料细条会向四周散开，捋的次数越多，塑料细条带电越多，排斥力越多，下端散开的就越大；故B、C、D错误，A正确。
4.如图所示，某次实验老师用丝绸摩擦过的玻璃棒(带正电)去吸引细碎的锡箔屑，发现锡箔屑被吸引到玻璃棒上后又迅速地向空中散开，下列说法正确的是()A．锡箔屑被吸引过程会因为获得电子而带负电B．锡箔屑被吸引过程有减速过程C．最后锡箔屑散开主要是因为碰撞导致D．散开时锡箔屑带正电解析：选D玻璃棒靠近锡箔屑，使锡箔屑发生感应起电，故A错误；锡箔屑被吸引过程是加速过程，故B错误；最后锡箔屑散开主要是因为锡箔屑带正电，同种电荷相互排斥，故C错误，D正确。
第九章课时跟踪检测(三十)
答案：BD
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15．解析：闭合开关的瞬间，线圈中电流增大，产生的磁场增 强，则通过铝环的磁通量增大，根据楞次定律可知，铝环 跳起以阻碍磁通量的增大，电流稳定后，铝环中磁通量恒 定不变，铝环中不再产生感应电流，在重力作用下，铝环 回落，A、C 错误；B 正确。闭合开关的瞬间，铝环向上 跳起的目的是阻碍磁通量的增大，与磁场的方向、线圈中 电流的方向无关，D 正确。 答案：BD
结束
14．解析：当螺线管内的磁感应强度随时间按图乙所示规律变化 时， 在导线框 cdef 内产生感应电动势和感应电流， 在 t1 时刻， 感应电流为零，金属圆环 L 内的磁通量为零，选项 A 错误； 在 t2 时刻，感应电流最大，金属圆环 L 内的磁通量最大，选 项 B 正确；由楞次定律，在 t1～t2 时间内，导线框 cdef 内产 生逆时针方向感应电流，感应电流逐渐增大，金属圆环 L 内 磁通量增大，根据楞次定律，金属圆环 L 内有顺时针方向的 感应电流，选项 C 错误；在 t1～t2 时间内，金属圆环 L 有收 缩的趋势，选项 D 正确。
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答案：A
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4．解析：根据右手定则，圆环中感应电流产生的磁场竖直向下 与原磁场方向相反，根据楞次定律，说明圆环磁通量在增大。 磁场增强则磁通量增大，A 正确。使圆环绕水平轴 ab 或 cd 转动 30° ，圆环在中性面上的投影面积减小，磁通量减小，只 会产生与图示方向反向的感应电流，B、C 错误。保持圆环水 平并使其绕过圆心的竖直轴转动，圆环仍与磁场垂直，磁通 量不变，不会产生感应电流，D 错误。 答案：A 5．解析：N 极磁单极子的磁感线分布类似于正点电荷的电场线 分布，由楞次定律知，回路中形成方向沿 adcba 流向的感应 电流，由于回路为超导材料做成的，电阻为零，故感应电流 不会消失，C 项正确。
课时跟踪检测(三十一)
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第Ⅱ组：重点选做题 a5＋a6＋a7＋a8 1．解析： ＝q4＝2， a1＋a2＋a3＋a4 由 a1＋a2＋a3＋a4＝1， 1－ q 4 得 a1· ＝1，∴a1＝q－1， 1－ q a11－qn 又 Sn＝15，即 ＝15， 1－q ∴qn＝16，又∵q4＝2，∴n＝16.故选 D. 答案：D
4 1－ 3
n＝1 时也满足， 所以数列
{bn}的通项公式为
数学
4 － n 1－1. bn＝3· 3
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10.解：(1)设数列{an}的公比为 q， 由条件可知 q3,3q2，q4 成等差数列， ∴6q2＝q3＋q4，解得 q＝－3 或 q＝2， ∵q>0，∴q＝2.∴数列{an}的通项公式为 an＝2n 1(n∈Nan＋2 an＋2 5．解析：∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则 ＝ ＝ 为常数， An an anan＋1 A2 a3 A3 a4 即 ＝ ， ＝ ，….∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和 a2，a4，…，a2n，… A1 a1 A2 a2 成等比数列．且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列， An＋1 an＋2 且公比相等，设为 q，则 A ＝ a ＝q，从而{An}为等比数列． n n 答案：D 6．解析：由 an＋2＋an＋1－2an＝0，得 anq2＋anq－2an＝0，显然 an≠0 所以 q2＋q－2＝0.又 q≠1，解得 q＝－2.又 a1＝1， 1×[1－－25] 所以 S5＝ ＝11. 1－－2 答案：11
所以 an
＝－2an－1，所以数列{an}为以 1 为首项，以－2 为公比的 等比数列，所以 an＝(－2)n 1.
－
答案：(－2)n
课时跟踪检测(三十一) 种群及其动态
课时跟踪检测(三十一)种群及其动态一、单项选择题1．下列有关种群特征的叙述中，正确的是()A．种群密度、出生率、死亡率、年龄结构和性别比例都是种群内个体特征的统计值B．使用性引诱剂防治害虫会使下一代中的性别比例失调C．种群的年龄结构体现种群中各年龄组间个体数量比例关系并只能用年龄金字塔图形表示D．任何种群都有年龄结构，但并不都有性别比例解析：选D种群密度是种群内个体数量的统计值，A错误；使用性引诱剂防治害虫会使当代中的性别比例失调，B错误；种群的年龄结构体现种群中各年龄组间个体数量比例关系，既可以用年龄金字塔图形表示，也可用其他方式表示，如柱形图、曲线图等，C错误；任何种群都有年龄结构，但并非所有的种群都有性别比例这一特征，如有些生物无性别分化，D正确。
2．(2020·东营检测)下列有关种群实验的叙述，正确的是()A．用样方法调查某种双子叶植物的种群密度应选择植物生长茂盛处取样B．调查作物植株上的蚜虫、跳蝻的种群密度应用标记重捕法C．调查眼镜蛇种群密度的时间应选择冬季D．调查培养液中酵母菌数量可用抽样检测法解析：选D用样方法调查某种双子叶植物的种群密度应随机取样，A错误；调查作物植株上活动能力弱、活动范围小的蚜虫、跳蝻的种群密度应用样方法，B错误；冬季蛇进入休眠期，所以调查眼镜蛇种群密度的时间不应选择冬季，C错误；调查培养液中酵母菌数量可用抽样检测法，D正确。
3．(2020·淄博二模)种群研究的核心是种群数量的变化规律，它与种群的特征有关。
下列叙述错误的是()A．某一地域内，某种鼠的种群密度可用标记重捕法调查B．某一草原，野兔的迁入和迁出直接决定其种群数量C．研究某种鸟的年龄结构能够预测其种群数量变化趋势D．在某一地域大量释放经绝育后的雄蚊，是通过控制性别比例控制其种群数量解析：选B鼠属于活动能力强，活动范围大的动物，因此调查某种鼠的种群密度可用标记重捕法，A正确；某一草原，野兔的迁入率和迁出率直接决定其种群数量，B错误；年龄结构能预测种群密度变化，因此研究某种鸟的年龄结构能够预测其种群数量变化趋势，C 正确；在某一地域大量释放经绝育后的雄蚊，具有生殖能力的雄蚊减少，改变蚊的性别比例，从而降低蚊的出生率，控制蚊的种群数量，D正确。
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5．解析：小球处于静止状态，其合力为零，小球受力，如图 所示，由图中几何关系可得 F＝ 3 mg ＋ mg2 4
2
5 ＝ mg，选项 D 正确。 4
答案：D
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6．解析：球在重力、斜面的支持力和挡板的弹 力作用下做加速运动， 则球受到的合力水平 向右，为 ma，如图，设斜面倾角为 θ，挡 板对球的弹力为 F1，由正交分解法得：F1 －FNsin θ＝ma，FNcos θ＝G，解之得 F1＝ma＋Gtan θ，可
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答案：C
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3．解析：物体无论运动还是静止均受重力作用，A、B 均错误； 物体重力的大小与物体的质量、当地的重力加速度大小有 关，与物体怎样运动无关，D 正确，C 错误。 答案：D 4．解析：弹簧保持竖直，弹簧的拉力竖直向上，斜面光滑，小 球不会受到斜面的静摩擦力，要保证小球处于静止状态，斜 面对小球的支持力必定为零， 故重球只受到重力和弹簧的拉 力两个力的作用，A 正确。 答案：A
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11．解析：系统最初静止时，以木块 A 为研究对象得弹簧的压缩 量 x1＝mg/k。B 刚好离开地面时，以木块 B 为研究对象得弹 簧的伸长量 x2＝mg/k。A 上升的高度 h＝x1＋x2＝2mg/k，故 B 正确。 答案：B
12．解析：弹簧 q 开始处于压缩状态，kx1＝mg，当 c 刚好离开 水平地面时，弹簧 q 处于伸长状态。kx1′＝mg，此时弹簧 p 处于伸长状态，弹力大小为 kx2＝2mg，代入数据可解得：x1 ＝x1′＝2 cm，x2＝4 cm，故此过程中 p 弹簧的左端向左移 动的距离为 x1＋x1′＋x2＝8 cm，C 正确。
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2 3 答案：－3，5
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x－4y＋3≤0， 9．解：(1)由约束条件3x＋5y－25≤0， 作出(x，y)的可行域如图 x≥1， 所示． 4 z 由 z＝4x－3y，得 y＝ x－ . 3 3 求 z＝4x－3y 的最大值，相当于求直线 4 z z y＝ x－ 在 y 轴上的截距－ 的最小值． 3 3 3 4 4 z z 平移直线 y＝ x 知， 当直线 y＝ x－ 过点 B 时， － 最小， z 最大． 3 3 3 3 x－4y＋3＝0， 由 解得 B(5,2)． 3x＋5y－25＝0， 故 zmax＝4×5－3×2＝14.
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课时跟踪检测(三十六) 第Ⅰ组：全员必做题 1．解析：根据题意知(－9＋2－a)· (12＋12－a)＜0. 即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24. 答案：B 2．解析：约束条件表示的可行域如图中阴影三角形， 令 z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作初始直线 l0：y＝－2x，作与 l0 平行的直线 l， 则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3. 答案：D
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3. 解析：不等式组表示的平面区域 如图所示，目标函数的几何意义 是直线在 y 轴上截距的相反数， 其最大值在点 A(2,0)处取得， 最小值在点 答案：A
高考化学大一轮复习 由实验套装到实验组成 连接课时跟踪监测试题(1)
课时跟踪检测(三十四) 由实验套装到实验组成——连接1．用如图所示装置制取少量某无色非金属氧化物气体，则锥形瓶X内发生反应的反应物可以是( )A．铜和稀硝酸B．铜和浓硝酸C．碳酸钙与稀硫酸D．亚硫酸钠和浓硫酸2．下列选用的实验仪器或实验装置符合实验要求且安全的是( )A B C D利用新制备的氢氧化亚铁制备氧化铁实验室制备少量二氧化碳实验室制备NO2测量甲烷体积3.[双选题](2014·海门市高三第一次模拟)如图装置进行实验，将液体A逐滴加入到固体B中，下列叙述正确的是( )A．若A为浓硝酸，B为金属铜，C中盛有淀粉KI溶液，则C中溶液变蓝B．若A为浓盐酸，B为MnO2，C中盛石蕊试液，则C中溶液先变红后褪色C．若A为浓氨水，B为生石灰，C中盛AlCl3溶液，则C中产生白色沉淀D．若A为浓硫酸，B为炭，C中盛有品红溶液，则C中溶液红色褪色4．(2013·广东高考节选)下列收集Cl2的正确装置是( )5．若用过氧化氢和催化剂二氧化锰制取干燥的氧气，合理的装置组合为( )A．①⑤⑧B．③④⑦C．②⑤⑥ D．②④⑧6．下列实验装置正确的是( )7．下列制备和收集气体的实验装置合理的是( )8．(2014·天一中学模拟)实验室中某些气体的制取、收集及尾气处理装置如图所示(净化装置省略)。
仅用此装置和表中提供的物质完成相关实验，最合理的选项是( )选项a中的物质b中的物质c中收集的气体d中的物质A 浓氨水CaO NH3H2OB 浓硫酸Na2SO3SO2NaOH溶液C 浓硝酸Cu NO2H2OD 浓盐酸MnO2Cl2NaOH溶液9．(2011·大纲全国卷节选)在实验室欲制取适量NO气体。
(1)下图中最适合完成该实验的简易装置是________(填序号)；(2)根据所选的装置完成下表(不需要的可不填)：应加入的物质所起的作用ABC(3)简单描述应观察到的实验现象__________________________________________________________________________________________________________________。
最新人教版高中数学必修四课时跟踪测试题(全册 共24课时 附解析 共122页)
最新人教版高中数学必修四课时跟踪测试（全册共24课时附解析共122页）课时跟踪检测（一）任意角层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k ·360°，k ∈Z.层级二 应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ①－15°是第四象限角； ②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角； ④－350°＝－360°＋10°是第一象限角， 所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( ) A ．120°＋k ·360°，k ∈Z B ．120°＋k ·180°，k ∈Z C ．240°＋k ·360°，k ∈Z D ．240°＋k ·180°，k ∈Z解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，则α＝120°＋k ·180°，k ∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上 D ．y 轴的非正半轴上解析：选A ∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ， ∴其终边在x 轴的非负半轴上．4．设集合M ＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z}，N ＝{α|α＝90°＋k ·45°，k ∈Z}，则集合M 与N 的关系是( )A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．课时跟踪检测（二） 弧 度 制层级一 学业水平达标1．把50°化为弧度为( ) A ．50 B ．5π18 C ．185πD ．9 000π解析：选B 50°＝50×π180＝5π18. 2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8， 即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143πB ．－143π C ．718πD ．－718π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－34π， 113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)． 解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角． (2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角．层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD ．π12化成度是15°解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C. 3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR ＝ 3.5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π106．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：设扇形内切圆的半径为r ， ∵扇形的圆心角为π3，半径为R ，∴S 扇形＝12×π3R 2＝π6R 2.∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上， ∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴r ＝R3.∵S 内切圆＝πr 2＝π9R 2，∴S 内切圆∶S 扇形＝π9R 2∶π6R 2＝2∶3.答案：2∶37．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π. 解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． 解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点， 于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.课时跟踪检测（三） 三角函数的定义与公式一层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，32 B ．⎝⎛⎭⎫－12，32 C ．⎝⎛⎭⎫－32，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32， ∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝x r ＝12＝22.3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5.6．tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13. ∴sin α＝－1213，cos α＝513. ∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0. 综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4. 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3， ∴tan 19π3＝tan ⎝⎛⎭⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3. (3)∵－31π4＝－4×2π＋π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1， 即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝⎛⎭⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋ cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4.解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.课时跟踪检测（四） 三角函数线层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM解析：选D ∵7π8是第二象限角，∴sin7π8>0，cos 7π8<0， ∴MP >0，OM <0， ∴MP >0>OM .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度 为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin 3π4＝22，sin3π2＝－1，22>sin θ>－1， 即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，22 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)5π6；(2)－2π3. 解：(1)因为5π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin5π6，有向线段OM＝cos5π6，设过A (1,0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线． (2)因为－2π3∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示． 交单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′，OM ′，A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3.解：(1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sinx <22，所以角x 终边所在区域如图所示， 所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z. 所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cosα＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ．⎣⎡⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．sin2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．解析：由图可知： cos6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0. ∵|MP |<|AT |， ∴sin2π5<tan 2π5. 故cos6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos6π5<sin 2π5<tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π. 答案：⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－5π6 ＋2k π<θ<－π6＋2k π，k ∈Z .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－2π3 ≤θ<2k π－π6 或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z .8．若0<α<π2，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ， ∴12|OA |·|MP |<12l ·|OA |<12|OA |·|AT |， ∴|MP |<l <|AT |，∴sin α<α<tan α.课时跟踪检测（五） 同角三角函数的基本关系层级一 学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角， 所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22.答案：－227．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________.解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53，∴sin α－cos α＝±153. 层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55B ．55C ．255D ．－255解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．34B ．±310C ．310D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ， 即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________.解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cosα－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32.答案：－326．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________． 解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1； 当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1， ∴sin n α＋cos n α＝1. 答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.(1)求tan α的值； (2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值．解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0， 解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．所以原等式成立．课时跟踪检测（六） 诱导公式（一）层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A ．12B ．－12C ．－32D ．32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C ．55 D ．255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A ．13B ．－13C ．233D ．－233解析：选B ∵tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32.(2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. (3)tan 37π6＝tan ⎝⎛⎭⎫6π＋π6＝tan π6＝33. 10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β 解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称，∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr .4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52.所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． 解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.课时跟踪检测（七） 诱导公式（二）层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A ．15B ．－15C ．－265D ．265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错．∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α.解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223.。
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x>0，z<0.所以由
x> 0， 可得 xy>xz. y>z，
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课时跟踪检测（三十四）
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β π 3．解析：由题设得 0<2α<π，0≤ ≤ ， 3 6 π β π β ∴－ ≤－ ≤0，∴－ <2α－ <π. 6 3 6 3 答案：D 1 1 4．解析：∵a<b<0，∴0>a>b. ∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0， |a|＋|b|＝|a＋b|. 答案：D
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第Ⅱ组：重点选做题 1．解析：因为 a>1，所以 a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即 a2＋1>2a， 又 2a>a－1，所以由对数函数的单调性可知 loga (a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)，即 m>p>n. 答案：B 2．解析：由 a>b>0 可得 a2>b2，①正确；由 a>b>0 可得 a>b－1， 而函数 f(x)＝2x 在 R 上是增函数， ∴2a>2b－1， ②正确； ∵a>b>0， ∴ a> b，∴( a－b)2－( a－ b)2＝2 ab－2b＝2 b ( a－ b)>0，∴ a－b> a－ b，③正确；若 a＝3，b＝2， 则 a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④错误． 答案：A
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(2)设1≤x1＜x2≤10， 2 000＋60x2 2 000＋60x1 则f(x2)－f(x1)＝ － 800＋ax2 800＋ax1 60×800－2 000ax2－x1 ＝ ＞0， 800＋ax2800＋ax1 所以60×800－2 000a＞0，得a＜24. 所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增 量不能超过23人．
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10．解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发 放年终奖为y万元． 2 000＋60x 则y＝ (a∈N*,1≤x≤10)． 800＋ax 2 000＋60x 假设会超过3万元，则 ＞3， 800＋10x 40 解得x＞ ＞10. 3 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．
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1 1 5．解析：由a<b<0 可得 b<a<0，从而|a|<|b|，①不正确；a>b，② 不正确；a＋b<0，ab>0，则 a＋b<ab 成立，③正确；a3>b3，④ 正确．故不正确的不等式的个数为 2. 答案：C 6．解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)· (b1－b2)， ∵a1<a2，b1<b2， ∴(a1－a2)(b1－b2)>0， 即 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. 答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
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课时跟踪检测(三十四) 第Ⅰ组：全员必做题 1．解析：法一：(取特殊值法)令 m＝－3，n＝2 分别代入各 选项检验即可． 法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于 m＜0＜n， 故 m＜－n＜n＜－m 成立． 答案：D 2．解析：因为 x>y>z，x＋y＋z＝0，所以 3x>x＋y＋z＝0,3z<x ＋y＋z＝0，所以 答案：C
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7．解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4. ∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3) 8．解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，
2 b >1， 2 当a>0，b >1>b，即 b<1，
解得b<－1；
2 b <1， 2 当a<0时，b <1<b，即 b>1
无解．综上可得b<－1.
答案：(－∞，－1)
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课时跟踪检测（三十四）Fra bibliotek结束9．证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴(a－c)2>(b－d)2>0. 1 1 ∴0< < . a－c2 b－d2 e e 又∵e<0，∴ > . a－c2 b－d2