非线性方程数值解的研究

此算法不需要计算导数 ， 经计算 ， 需 要经过 ７次迭代 才可 以
得到与 ４次 Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法迭代 十分接近的结果．
三、 结 论
Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ迭代法 ： 设ｆ （ ）＝０ ， ＿ 厂（ ）≠０ ， 且＿ 厂 在 包 含
由二分 法 、 Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法和割线法的算法原 理 ， 结 合前 面的
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◎周 文 袁晓洲 （ 湖北职业技术 学院， 湖北 孝感 ４ ３ ２ ０ ０ ０ ）
【 摘要 】 本文 归纳 了求 非线性方程数值解 的几种 常用 解
法、 应注意的问题及 优缺点 ， 通过 实例进 一步 比较 了各 自的
２ ）＝ ２ ２ ０ ） ， （ ２ ）＜ ０， 由零 点定 理 ， 有 根区 间为［ ０ ， ２ ］ ． 用
其中 。 为初值．
二、 数 值 实验
值， 只有 局部 收敛性 敛性
介绍二分法 、 Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法和割线法的算法 ， 并用 其解方程
２ ＋ ３ ｘ 一 ６＝ ０的 根．
牛顿法是 目前求解 非线 性方 程的有 效方 法之 一 ， 但也
应 该注意到 Ｎ ｅ ｔｏ ｗ ｎ迭代 法不 适应 的情 形． １ ． 若 ／（ ‰ ）＝０
迭代公式 似值．
＝ （ ） ， ｋ＝０ ， １ ， ２ …就能求 出逐 步精 确 的近
代， 就可 以得到与 １ ０次二分法 十分接近 的结果． （ 三） 割线法
割线法迭代公式 ： ＝ ％一
二分法 ： 设 Ｙ＝ ） 在 区间 ［ ｏ ， ｂ ］ 上连 续且八 ｏ ） ｂ ）＜ ０， 通过不断地把 函数 ＿ 厂 （ ） 的零 点所 在 的区间一 分为 二 ， 使 区间两端逐步逼近零点 ， 进而得到 零点近似值． 由二分法产 生的序列 ｛ ｝ 满足Ｉ ｘ 一 Ｉ ≤ ．
般源自文库方 法．
【 关键词 】 分类方 法 Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ迭代法 ； 二分 法； 割线法 ； 非
线性方程 ； 数 值 解
【 项 目名 称 】湖 北 省 教 育 科 学 “十 二 五”规 划 课 题
（ ２ ０ １ ４ Ａ ０ ６ ０ ） ； 湖北职业 技术 学 院重 点课 题 （ ２ ０ １ ４ Ａ ０ ３ ）的 阶
（ 或者ｌ 厂（ ）＝ ０ ） ， 得 不到 。 或＿ 厂（ ）＝ ０ ， 如图 １ ； ２ ． 若迭
（ 一） 二 ： 分法 找 出有根 区间 ， 设ｆ （ ）＝２ ｘ ＋３ ｘ 一６ ， ｆ （ ０ ）＝ 一６ ，
代 后出现死循环 ， ＝ 。 ， 如图２ ．
数 学 学 习与 研 究 ２ ０ １ ６ ．
的 一 个 区 间 上 具 有 二 阶 连 续 的 导 数 ， 由 ＝ 一 专 实例可 以得 出以下结论 ： 可知产生 的序列 ｛ ｝ 局部收敛到 ， 且为二 阶收敛．
二 分 法
Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法
割 线 法
割线法 ： 在Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法的基础上 ， 以 一 ． ， 的差商代替
，
１ ０ ～， 得 Ｎ＞１ ＋ ＝１ ７ ． ６ ， 即需要进行 １ ８次计算．
Ｚ １
（ 二） Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法
计算． ｆ（ ｘ ）＝ ６ ｘ ＋ ６ ｘ ， Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法迭代公式为 ＋ ｌ ＝ ｎ：。 ， １ ， ２ ， … …经计 算 ， 用 ４次 Ｎ ｅ ｔ０ ｗ ｎ法 迭
段 性 研 究成 果．
经过 １ ０次 二 分 法 ， 。 。＝１ ． ０ ７ ８ ７ ５ ， 由误 差 估 计 式 ， 有
～
、
背
景
Ｉ ｘ１ ０一
Ｉ≤
＝１ ．９ ５ ×１ ０－ ３
．
如果误差 ：１ ０～， 由估计式 ＝２ － Ｎ ＋ Ｉ ， 令２ － Ｎ ＋ Ｉ ＜
在工程应用和科学计算 中有 大量实 际问题需 要转化 为 代数方程 ， 而非线性 方程 的求解 一直 是其 中重要 的研 究 内 确定必要 的二分 次数． Ｉ ｘ 一 Ｉ ≤
优点 保证 收敛 、 计 收敛 快 、 稳定性好、 不用计算导数 算方便 精度高 对初 值 选 取要 求 比 收 敛 速 度 慢 ， 缺点 收敛速度慢 较高 ， 需 要计算导 数 只 有 局 部 收
＿ ， ’ （ ） ， 得 到 割 线 法 的 迭 代 公 式 ＝ 一 毒
容． 即常常需要 探讨方程， （ ）＝０的数值解 法 ， 这里 ∈Ｒ，
／ Ｃ ［ 。 ， ｂ ］ ． 除了少数情形 外 ， 这类 方程常 只能求其 近似解． 如果 函数是平滑 的， 给定充分好 的初始值 ， 一个好 的算法 是 能收敛 到一 个解． 给定 根 附近 的一个 初始 值 ‰ ， 将原 方程 ）＝ ０改变成与它 同解 但便 于迭代 的形式 ＝ （ ） ， 利 用
收敛性 、 稳定性及精度． 最 后总结 了求 非线性方程 数值解 的
一
二 分 法 的 算 法 ＝ ａ — ｎ 挚 ＋ 计 算 结 果 如 下 ：
区间［ ｏ ， ｂ ］ １ ２ ３ ４ ５ ［ ０， ２ ］ ［ １ ， ２ ］ ［ １ ， １ ． ５ ］ ［ １ ， １ ． ２ ５ ］ ［ １ ， １ ． １ ２ ５ ］ ｎ １ １ ． ５ １ ． ２ ５ １ ． １ ２ ５ １ ． ０ ６ ２ ５ － 厂 （ ， ） —１ ７ ． ５ ２ ． ５ ９ ３ ７ ５ ０ ． ６ ４ ４ ５ ３ １ ３ — ０ ． ２ １ ４ ３ ５ ６