2-1 母函数与指数型母函数
指数母函数
指数母函数指数母函数是概率论中一个重要的概念，它在组合学、统计学、以及算法设计中具有广泛的应用。
本文将介绍指数母函数的定义、性质以及一些典型的应用场景。
首先，让我们来了解一下指数母函数的定义。
在概率论中，我们通常通过概率分布来描述一个随机变量的性质。
指数母函数是一种生成函数，可以用来完整地描述一个非负随机变量的概率分布。
对于一个非负随机变量X，指数母函数定义为G_X(t) = E[t^X] = ∑_(k=0)^(∞) P(X=k)t^k其中，E[•]表示数学期望操作，P(X=k)表示随机变量X取值为k的概率。
通过指数母函数，我们可以方便地计算出随机变量的各种矩、生成函数以及其他相关特征。
指数母函数具有一些重要的性质。
首先，对于独立同分布的随机变量序列X_1, X_2, ... , X_n，它们的指数母函数的乘积等于它们各自的指数母函数的乘积。
也就是说，如果我们知道了每个随机变量的指数母函数，那么我们就可以得到它们共同的指数母函数。
其次，通过指数母函数的导数，我们可以计算出随机变量的矩。
具体来说，对于指数母函数G_X(t)，它的k阶导数G_X^(k)(0)可以表示随机变量X的k阶矩。
这个性质在数理统计中经常被使用，特别是在估计参数、构造置信区间等问题中。
除了基本的性质之外，指数母函数还有一些典型的应用场景。
一个典型的例子是在组合学中的应用。
对于一个集合，我们可以用一个0-1序列来表示它的子集。
对于一个具有n个元素的集合，我们可以定义一个指数母函数，它的每一项表示集合的各个子集的个数。
这样，我们就可以通过指数母函数来计算出子集个数的期望值、方差等统计量。
指数母函数在算法设计中也有广泛的应用。
在某些问题中，我们需要计算出满足一定条件的排列或者子集的个数。
通过构造相应的指数母函数，我们可以很方便地计算出这些排列或者子集的个数。
这个方法在算法设计中被广泛使用，特别是在动态规划、组合优化等领域。
综上所述，指数母函数是概率论中一个重要的工具，它可以用来描述非负随机变量的概率分布。
组合数学：2-1 母函数与指数型母函数
(2) 若A(x)+B(x)=c0+c1x+c2x2+…，则ck=ak+bk。
性质1：若 证:
0, bk ak l , k l, k l,
则 B(x)=xlA(x)。
l l1
B ( x ) 0 0 0 bl x bl 1 x a 0 x a1 x
3
其中
P ( x) 1 x x
3
被装置的特性所确定，称为该装置的传递函数。
例2 有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种 不同的组合方案。 设r，w，y 分别代表红球，白球，黄球。
(1 r r )(1 w )(1 y) 2 1 ( r y w ) ( r ry rw yw )
v3 u3 u2 u0 ,。
一般的有
vn un un1 un3 , n 3.
若信号输入的序列u0,u1,…的母函数为U(x)，输出的 信号序列v0,v1,…的母函数为V(x)，则
V ( x ) (1 x x )U ( x ) P ( x )U ( x ),
把离散数列和幂级数一一对应起来把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系最后由幂级数形式来确定离散数列的构造
第二章
母函数与递推关系
2.1 母函数与指数型母函数
2.2 递推关系与Fibonacci数列
2.3 线性常系数递推关系 2.4 非线性递推关系举例 2.5 应用举例
2.1 母函数与指数型母函数
1. 母函数
2. 母函数的性质
3. 整数的拆分
4. Ferrers 图像
高考数学冲刺复习母函数考点速查
高考数学冲刺复习母函数考点速查高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在高考数学的众多考点中，母函数是一个较为复杂但又十分重要的知识点。
在冲刺复习阶段，对母函数考点进行速查和强化，能够帮助我们在考试中更加从容应对。
一、什么是母函数母函数，简单来说，就是一种将数列与多项式联系起来的工具。
通过母函数，我们可以将一个数列的各项用一个多项式的系数来表示。
例如，对于数列 1，2，3，4，5，其对应的母函数可以表示为 G(x) ＝ 1 ＋ 2x ＋ 3x^2 ＋ 4x^3 ＋ 5x^4 。
母函数的作用在于它能够将一些离散的数量关系转化为连续的函数形式，从而便于我们进行分析和计算。
二、常见的母函数类型1、普通型母函数普通型母函数主要用于解决组合计数问题。
比如，从 n 个不同元素中选取 r 个元素的组合数，可以通过普通型母函数来表示和计算。
2、指数型母函数指数型母函数通常用于解决排列计数问题。
在涉及到具有重复元素的排列时，指数型母函数能够发挥重要作用。
三、母函数的基本运算1、加法运算两个母函数相加，就是将它们对应的多项式的系数相加。
例如，G1(x) ＝ 1 ＋ 2x ＋ 3x^2 ，G2(x) ＝ 2 ＋ 3x ＋ 4x^2 ，则 G1(x) ＋ G2(x) ＝ 3 ＋ 5x ＋ 7x^2 。
2、乘法运算母函数的乘法运算对应着组合问题中的分步计数原理。
例如，G1(x) ＝ 1 ＋ 2x ，G2(x) ＝ 1 ＋ 3x ，则 G1(x)×G2(x) ＝ 1 ＋ 5x ＋ 6x^2 。
四、母函数在解题中的应用1、求解组合数通过构造合适的母函数，可以方便地求出特定条件下的组合数。
例如，求从 5 个不同的球中选取 2 个球的组合数。
我们可以设母函数 G(x) ＝（1 ＋ x)＾5 ，展开后 x^2 的系数即为所求组合数。
2、解决分配问题在将一定数量的物品分配到不同的容器或分组的问题中，母函数能够清晰地展现各种可能的分配情况。
母函数
G ( x ) ( x )( x )( x )( x i ) x 8 1 4 0 x18 x 28
i i i i 1 i 1 i2 i 4
5
6
7
10
而x 18的 系 数 140就 是 所 求 的分配方案数。
15
例 从 n双 互 相 不 同 的 鞋 取 中 出 r只 （ r n） ， 要 求 其 中 没 有 任 何 两 只成 是对 的 ， 问 共 有 多 少不 种同 的 取法？
于是本题相当于 分 析 ： 令 S {5 e1 ,6 e 2 ,7 e 3 ,10 e 4 }, 多 重 集 S的 18可 重 组 合 问 题 。 其中e 1至 少 出 现 1次 ， 最 多 出 现 5次 ；2e 至 少 出 现 1次 ， 最 多 现 出 6次 ； e 3至 少 出 现 2次 , 最 多 出 现 7次 ；4e 至 少 出 现 4次 ， 最 多 现 出 10次 。 由 推 论 6， 相 应 的 母 函 数为
2 4 2r
1 ） n （ 1 x 2 ）
n
1 2 n 证 G(x) ( 1 x ) 2 n ( 1 x )
n n k 1 2k k 2k ( 1) k x k x k 0 k 0
8
如果多重集 S { n1 e 1, n 2 e 2 ,, n m e m }， 则S的 r可 重 组 合 数 相 当 于 方 程 x 1 x 2 x n r x 1 n1, x 2 n 2 ,, x m n m 的 非负 整 数解 的 个 数相 。应的母函数为 G ( x ) ( 1 x x 2 x n1 ) ( 1 x x 2 x n2 ) ( 1 x x 2 x nm )
母函数
母函数
定义对给定序列构造一个函数，称为序列的母函数。
其中，序列只作为标志用，称为标志函数。
派生1：普通型母函数
当标志函数为时，即母函数为，称这类母函数为普通型母函数，可记作。
定理1：
设从元集合中取个元素组合，若限定元素出现次数的集合为，则该组合数序列的母函数为:
常用到的普通型母函数有：
例题：求位十进制正数中出现偶数个的数的个数
设表示位十进制正数中出现偶数个的数的个数，表示位十进制正数中出现奇数个的数的个数，不难得出：设序列，的母函数分别为：
由得：
再由得：
由、可得：
更进一步的，
即:
派生2：指数型母函数
当标志函数为时，即母函数为，称此类母函数为指数型母函数，可记作。
定理2：
从多重集中选区个元素排列，若元素出现的次数集合为，则该排列数序列的母函数为：
所谓多重集（multiset）之于集合（set），英文写出来差不多就懂了。
函数中，除以是因为排列中这个相同元素的先后是不考虑的。
常见的指数型母函数（的Tylor展开式）：
例题：求由这个数字组成的位数字的个数（每个数字出现次数可以为，且出现的次数为偶数）。
设满足条件的位数字的数目为（特别地，规定），则序列的母函数为：
故。
附录：
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【工程数学课件】4.3 母函数
或取两次，L ，或取r次，L ，是用如下形式表示：
1 x x2 L xr +L
2!
r!
例5 证明从n个不同的物体中允许重复地选取r个物体 的排列数为nr。
解：设ar为所求的排列数，则序列(a0 ,a1,a2,L ,ar ,L )的 指数母函数为：
fe(x) 1
x
x2 2!
L
xr r!
每个物体出现偶数次的方式数。 解：设a2r为所求的方式数，则序列(a0 ,a1,L ,ar ,L )的普 通母函数为：
f
(x)
(1
x2
x4
L
)n
1
1 x2
n
r 0
n
r r
1
x2r
故有：a2r
n
r r
1
六、指数母函数在排列中的应用
与组合不同的是，某个物体在排列中不取，或取一次，
n n
x
n
1
xn
二、指数母函数
定义 fe ( x
)给 定 a0 一 a个1 1无 x! 穷a序2 x2列2! (aL0,
a1 ,L an
,xann n!
,L )，称函数
L
ai i0
xi i!
为序列(a0 ,a1,L ,an ,L )的指数母函数。
例5 容易得到序列(p(n,0), p(n,1),L , p(n, n))的指数母
x4)(142x4)L4(14 3x)
n
(1
x)n
n r 0
n
r
xr
x
r
的系数
n r
为从n个不同的物体选取r个的方法数.
(1 x x2L ) 表示某一物体可以不选，或选一次， 或选二次,…
算法合集之《母函数的性质及应用》
x 取 f ( x ) e , x 0 0 ，得 e x 1 x
x 2 x3 x 4 G ( x) ， 2! 3! 4!
也就是说序列 1,1,1,1, 的指数型母函数的闭形式为 e x 。 同样运用 Taylor 公式，我们可以得到： 序列 1,1,1,1,1,1, 的指数型母函数为 e x 。 序列 0,1,0,1,0,1, 的指数型母函数为
m1 学归纳法同样可以得到结果 g n Cm n1 。
1 1 1 ，之后运用数 m 1 x (1 x) m1 (1 x)
那么闭形式
1 m1 m1 m1 对应的序列为 1, Cm , Cm 1 , Cm 2 , 。 (1 x) m
1 1 ， 我们可以把 x 看成一个整体后来展开， 参考 的 1 x 1 x
关键字
母函数 递推 排列组合
§1.母函数的性质
§1.1. 定义
母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数，一般来说母函数有形式：
G ( x) g 0 g1 x g 2 x 2 g n x n
n0
我们称 G( x) 是序列 g 0 , g1 , g 2 , 的母函数,下文表示为：
(1 x) m
§1.4. 指数型母函数
有时候序列 g n 所具有的母函数的性质十分复杂， 而序列
gn 所具有的母函数的 n!
性质十分简单，那我们宁愿选择
gn 来研究，然后再乘以 n! 。 n!
我们称：
G ( x) g n
n0
xn 为序列 g 0 , g1 , g 2 , 的指数型母函数。 n!
G( x) g 0 , g1 , g 2 ,
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
07母函数介绍
解：由定义4.2，有
特别地：若 =1，则序列(1,1,…,1,…)的指数母函数为ex 。 例8、求序列(1, 1×4, 1×4×7,…, 1×4×7×…×(3n+1),…)的指数母函数。
例
题
§4.1 指数母函数例8
§4.1 母函数的基本概念
4.1.2 指数母函数
解：由定义4.2和二项式定理，有
x x2 xn f e ( x ) 1 (1 4) (1 4 7) ... 1 4 7 ... (3 n 1) ... n! 1! 2! 1 4 7 ... (3 n 1) n x n! n0 4 7 ... 3 n 1 3 3 3n x n 1 3 n! n 1 4 4 1 ... 4 n 1 3 3 3 1 ( 3 x )n n! n 1 4 1 3 ( 3 x ) n n n 1
第4章 母函数
回顾前一章——容斥原理：
基本原理 重集的r-组合 错排、有限制排列
本章重点介绍母函数（普通母函数、指数母 函数）的基本概念及其在排列组合中的应用 ： 母函数的基本概念 母函数的基本运算 母函数在排列、组合中的应用 整数拆分 母函数在组合恒等式中的应用
• • • • •
§4.1 普通母函数概念
(1-4x)-1/2 是 序 列 (C(0,0), C(2,1), C(4,2), … , C(2n,n),…)的普通母函数。
§4.1 普通母函数例3 证明：由牛顿二项式定理有 §4.1 母函数的基本概念 (1 4 x )1 2 1 1 2 ( 4 x )k k k 1 1 2 1 2 1 1 2 2 ... 1 2 k 1 1+ ( 4 x )k k! k 1 4 k 1 3 ... (2k 1) k x 1+ 2k k ! k 1 2 k k ! 1 3 ... (2k 1) xk 1 k !k ! k 1 2 4 ... (2k ) 1 3 ... (2k 1) k 1 x k !k ! k 1 (2k )! k 1 x 1 2k x k k k 1 k ! k ! k 1 0 2 x 4 x 2 ... 2k x k ... 0 1 2 k 由定义知，(1-4x)-1/2是序列(C(0,0), C(2,1), C(4,2), … , C(2n,n),…) 的普通母函数。
指数型母函数的应用
1. 应用背景指数型母函数（exponential generating function）是一个用于描述组合数学中的一类问题的工具。
在实际应用中，指数型母函数常常用于计算和分析离散结构中的各种组合问题，如排列、组合、划分等。
它的应用范围非常广泛，涵盖了数学、计算机科学、统计学等多个领域。
指数型母函数的应用可以帮助我们解决许多实际问题，例如计算某种组合的总数、计算组合的期望值、计算组合的方差等。
通过建立和操作指数型母函数，我们可以更加方便地进行组合问题的分析和计算，提高问题求解的效率。
2. 应用过程指数型母函数的应用过程通常包括以下几个步骤：步骤一：确定问题的数学模型在应用指数型母函数解决实际问题之前，首先需要确定问题的数学模型。
数学模型是问题的抽象表示，它将实际问题转化为数学符号和公式的形式，方便进行分析和计算。
步骤二：定义指数型母函数在确定数学模型后，接下来需要定义指数型母函数。
指数型母函数是一个形式幂级数，用于表示组合对象的各种性质。
根据问题的不同，指数型母函数的定义也会有所不同。
指数型母函数的一般形式为：G(x)=∑a n∞n=0x n n!其中，a n为组合对象的计数项，n为组合对象的大小。
步骤三：建立关系方程在定义指数型母函数后，接下来需要建立关系方程。
关系方程描述了组合对象之间的关系，可以通过运算和代数运算来表示。
关系方程的建立通常涉及组合对象的组合性质，如排列、组合、划分等。
根据具体问题的不同，关系方程的形式也会有所不同。
步骤四：求解问题在建立关系方程后，接下来需要求解问题。
求解问题的过程通常涉及对关系方程进行求解、计算和分析。
通过对关系方程的求解，可以得到组合对象的计数项、期望值、方差等重要信息。
这些信息可以帮助我们更好地理解和分析问题，为问题的实际应用提供支持。
3. 应用效果指数型母函数的应用可以带来多方面的效果，包括：提高问题求解效率指数型母函数提供了一种统一的框架，可以方便地描述和求解各种组合问题。
六大母函数
六大母函数
数学中母函数是一种非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和探索数学现象。
本文将介绍数学中的六大母函数，以便我们能够更好地理解数学的精髓。
首先，要了解数学中的母函数，就必须先理解什么是函数。
函数就是一种特殊的关系，它可以将指定的输入与某种特定的输出相关联。
而母函数则是将所有可能的输入与某种特定的输出相关联的函数，它们可以将所有可能的情况表示出来，因此被称为母函数。
总体而言，数学中的六大母函数分别是指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数和正弦函数。
首先，数学中的指数函数是指一种以指数形式表示的函数。
它的函数表达式为y=ax，其中a是一个常数，x表示一个可变量。
比如，当a=2，x=3时，指数函数的输出值为2的3次方，即2的3次方
=2*2*2=8。
其次，数学中的对数函数是指一种以对数形式表示的函数。
它的函数表达式为y=logax，其中a是一个常数，x表示一个可变量。
比如，当a=10,x=100时，对数函数的输出值为2，即log10（100）=2。
紧接着，数学中的幂函数是指一种以幂形式表示的函数。
它的函数表达式为y=ax，其中a是一个常数，x表示一个可变量。
比如，当a=2，x=3时，幂函数的输出值为2的3次方，即2的3次方=2*2*2=8。
此外，数学中的三角函数是指一种以三角形的角度表示的函数。
三角函数主要有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的函数表达式
分别为y=sin x、y=cos x和y=tan x，其中x表示一个可变量。
指数母函数
指数母函数一、概述指数母函数是组合数学中的一种重要工具，在组合计数、概率论、随机过程等领域有广泛的应用。
它是一种形式为幂级数的母函数，其中每一项的指数和对应着某个组合对象的特性。
二、定义2.1 母函数的基本概念在组合数学中，母函数是用来描述组合对象的一种工具。
对于一个组合对象，我们可以根据其某种特性，将其抽象为一个序列，其中每一项表示该特性出现的次数。
母函数则是用来表示这个序列的生成函数。
2.2 指数母函数的定义指数母函数是一类特殊的母函数。
对于一个序列(a0,a1,a2,…)，其指数母函数定义为：E(z)=∑a i i!∞i=0z i其中，z是一个复数。
三、性质指数母函数具有许多有用的性质，使得它在计算组合对象的计数问题时非常方便和高效。
3.1 复合性指数母函数具有复合性的性质。
设 A (z )=∑a i i!∞i=0z i 和 B (z )=∑bj j!∞j=0z j 是两个指数母函数，它们对应的序列分别为 (a 0,a 1,a 2,…) 和 (b 0,b 1,b 2,…)。
则它们的复合 C (z )=A(B (z )) 的指数母函数为C (z )=∑c k k!∞k=0z k其中 c k 表示序列 (c 0,c 1,c 2,…) 的第 k 项，c k =∑a i i!k i=0bk−i(k−i )!。
3.2 乘法性指数母函数具有乘法性的性质。
设 A (z )=∑a i i!∞i=0z i 和 B (z )=∑bj j!∞j=0z j 是两个指数母函数，它们对应的序列分别为 (a 0,a 1,a 2,…) 和 (b 0,b 1,b 2,…)。
则它们的乘积 C (z )=A (z )⋅B (z ) 的指数母函数为C (z )=∑c k k!∞k=0z k其中 c k 表示序列 (c 0,c 1,c 2,…) 的第 k 项，c k =∑a i i!k i=0bk−i(k−i )!。
四、应用指数母函数在多个领域都有广泛的应用，以下介绍几个常见的应用。
母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。
新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。
其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。
表2.0.1 条件组合方案数排列方案数对应的集合相异元素，不重复()!!!r n r n C rn -⋅=()!!r n n P rn -={}n e e e S ,,, 21=相异元素，可重复rr n C 1-+rnS ＝{,,21e e ⋅∞⋅∞ne ⋅∞, }不尽相异元素（有限重复）特例r ＝n1 !!!!m n n n n 21S ＝{11e n ⋅，22e n ⋅，…，m m e n ⋅}, n 1＋n 2＋…＋n m ＝nn k ≣1, (k ＝1,2,…, m )r ＝1mm所有n k ≣r rr m C 1-+rm至少有一个n k 满足1≢n k < r母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。
2.1 母 函 数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。
例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx-1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
六大母函数
六大母函数母函数是数学中一个常见的概念，其定义是指，给定一类函数，任一个函数都可以表示成由母函数和一个或多个参数组成的函数。
母函数实际上是一类函数的共性，它们把不同的函数分类了起来，也就是说，母函数可以把不同的函数映射到一个共同的函数。
其中，六大母函数是比较常用的数学函数，它们分别是指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数和正切函数。
下面我们就分别来讨论它们的特征和用途。
首先，指数函数，它的公式为y = a^x，其中a是一个大于零的常数，x表示指数函数的指数项；指数函数的图像是一条以原点为拐点的曲线，它的导数为y = a^x *ln(a)，指数函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。
其次，对数函数，它的公式为y = ln(x)，其中x表示底数，表示元函数的自变量；对数函数的图像是一条折线，折线上的点根据自变量变化而变化；对数函数的导数为y = 1/x，对数函数主要用于求解对数函数的积分、求解某些不定积分，还可以用于求解重极值点、及求解极限。
第三，幂函数，它的公式为y = c^x，其中c是任意的实数，x 表示幂函数的指数；幂函数的图像也是一条以原点为拐点的曲线，它的导数为y = c^x * ln(c)，幂函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。
接下来，正弦函数，它的公式为y = sin(x)，其中x表示正弦函数的自变量；正弦函数的图像是一条周期性的曲线，它的导数为y = cos(x)，正弦函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。
再次，余弦函数，它的公式为y =cos(x)，其中x表示余弦函数的自变量；余弦函数的图像也是一条周期性的曲线，它的导数为y = -sin(x)，余弦函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。
最后，正切函数，它的公式为y = tanx，其中x表示正切函数的自变量；正切函数的图像是一条周期性的折线，它的导数为y = sec2x，正切函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。
母函数
母函数母函数思想的起源可以追溯到18世纪Jacob B的《猜度术》一书。
这本书是在作者去世8年后的1713年出版的，它是早期概率论中最重要的著作。
《猜度术》一书共分四个部分，其中在第二部分中，作者讨论了组合论问题。
主要是运用伯努利数通过完全归纳法证明了n 为正整数时的二项式定理。
在第三部分中，作者把排列和组合的理论运用到概率论中，给出了24种有关在各种赌博情形中利益预测的例子。
在第四部分中作者给出了著名的伯努利大数定律:若P是事件发生一次的概率，q是该事件不发生的概率，则在n次实验中该事件至少出现m次的概率等于的展开式中从项到包括为止的各项之和。
母函数是组合数学的一个重要理论。
Jacob B考虑掷n粒骰子时所得点数总和等于m，这种场合的数目等于的展开式中这一项的系数，开了母函数研究的先河。
在18世纪，Euler L对组合方法的发展做出了重大贡献。
他关于自然数的分解与合成的研究为母函数方法奠定了基础。
1812年，法国数学家Laplace P.S. 出版了《概率的分析理论》一书。
这本书第一部分的小标题为“母函数的计算”，这一部分致力于母函数计算的数学方法及其一般数学理论，这是对Euler L所提出的母函数理论的发展。
所以现代学术界认为母函数方法是由Euler L和Laplace P.S. 共同发现的。
由此，组合数学中的母函数理论基本建立起来了。
在当代组合学理论中，母函数是解决计数问题的重要方法。
一方面，母函数可以看成是代数对象，其形式上的处理使得人们可以通过代数手段计算一个问题的可能性的数目；另一个方面，母函数是无限可微分函数的Taylor级数。
如果能够找到函数和它的Talor级数，那么Taylor级数的系数则给出了问题的解。
本章主要介绍母函数的两种形式：普通型母函数和指数型母函数。
然后通过一些典型问题的分析，帮助读者加深对这一方法的理解。
并且在分析中，有的问题采用多种方法求解。
通过对比，读者可以明显地看到用母函数的方法解决问题具有较高的效率，并且程序具有非常规范的形式，易于实现。
组合数学第二章2指数型母函数
G ( x) (1 x x x )(1 x x )(1 x x x )
2 3 2 2 3
(1 2 x 3 x 2 3x 3 2 x 4 x 5 ) (1 x x 2 x 3 ) 1 3 x 6 x 2 9 x 3 10 x 4 9 x 5 6 x 6 3 x 7 x 8
2.5 指数型母函数---问题提出
设有n个元素，其中元素a1重复了n1次，元 素a2 重复了n2次，…，ak重复了nk次，
n n1 n2 nk
从中取r个排列，求不同的排列数 如果 n1 n2 nk 1，则是一般的排列 问题。
2.5 指数型母函数---问题提出
x x x Ge ( x) (1 ) 1! 2! n1! x x x x x x (1 ) (1 ) 1! 2! n2 ! 1! 2! nk !
2 n2 2 nk
2
n1
2.5 指数型母函数---举例
由此可以看出指数型母函数在解决有重复 元素的排列时的优越性。 例1：求由两个 a ，1个b ，2个c 组成的不 同排列总数。 根据结论(a)，不同的排列总数为
5! n 30 2!2!1!
2.5 指数型母函数---举例
例2 设{a n }是数列，求它的指数生成函数f(x) e 1)a n =P(m,n), n=0,1,2,... 2)a n =1,
n
n=0,1,2,...
3)a n =b , n=0,1,2,...
m xn 解 :1)f e (x) P(m, n) C(m, n)x n (1 x) m n! n 0 n 0
2 2 1 3
六大母函数
六大母函数函数是数学中重要的概念，它可以将一个输入变量映射到另一个输出变量，通常我们把输入变量称作自变量，把输出变量称作因变量。
有时候，函数可以用曲线或公式来表示，所以它也被称为曲线函数或公式函数。
六大母函数是指六种常见的曲线函数，分别是线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
线性函数是最简单的函数，形式为y=ax+b。
它属于一元一次函数，只有一个自变量，因变量的值和自变量的值之间的关系是线性的。
在一元一次函数中，a叫做斜率，b叫做y轴截距，两者有各自的性质和特点。
幂函数是一类二元函数，它们以幂函数的形式来表现，通常可以写成y=axn，其中a和n都是常数，n是幂函数的指数，它们决定了函数的形状。
当n>1时，函数图象是一条开口向上的抛物线；当n<0时，函数图象是一条开口向下的抛物线；当n=1时，函数图象是一条直线；当n=0时，函数图象是一条水平的直线。
此外，幂函数的斜率与指数n的正负值有关，当n>1时，斜率增加；当n<1时，斜率减小；当n=1时，斜率为常数。
指数函数是一类二元函数，可以写成y=aem，其中a和m都是常数，m是指数函数的指数，它决定了函数的形状及斜率。
指数函数的图像是一条开口向上的曲线，其斜率不断增加，m的正负值不影响指数函数的图像形状，但影响函数的上下移动及其斜率的大小。
对数函数也是一类二元函数，可以写成y=alnx，其中a和m都是常数，m是对数函数的底数，它决定了函数的形状及斜率。
对数函数的图像是一条开口向上的曲线，其斜率不断增加，底数m的正负值不影响该函数的图像形状，但影响函数的上下移动及其斜率的大小。
三角函数是一种函数，它以三角函数的形式来表现，用符号表示可以为y=sinθ、y=cosθ、y=tanθ、y=cotθ。
在三角函数的图像中，x表示角度，而y表示每一个角度对应的三角函数值。
反三角函数也是一种函数，用符号表示可以为y=sin-1θ、y=cos-1θ、y=tan-1θ、y=cot-1θ。
母函数
母函数（Generating function）详解前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。
（PS：大家觉得我的文章还过的去就帮我支持下我的个人独立博客---Tanky Woo 的程序人生：，谢谢）(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。
使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。
对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。
构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看："把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来""母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "我们首先来看下这个多项式乘法：由此可以看出:1. x的系数是a1,a2,…a n的单个组合的全体。
2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………n. x n的系数是a1,a2,….a n的n个组合的全体（只有1个）。
由此得到：母函数的定义：对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：第一种：有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量每种重量各有几种可能方案考虑用母函数来接吻这个问题：我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，上面这四个式子懂吗我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么1代表重量为2的砝码数量为0个。
母函数的概念与性质
1绪论母函数又可译为发生函数或生成函数.母函数方法是现代离散数学领域中的重要方法.它是联结离散数学与连续数学的桥梁.它是解决组合计数问题的一个重要工具之一.母函数方法是一种既简单又有用的数学方法，是一个古老方法.他源于De Moivre 在1720前后的工作，1748年欧拉在研究关于划分的问题中发展了这一方法.拉普拉期于18世纪末及19世纪初期对其进行了广泛的论述.其探究主要与概率论相关.尽管这一方法有其悠久的历史，但是正如我们将要看到的那样，这一方法有着广泛的应用.当代计算机科学家克努特（D.E.Knuth）在其名著《The art of computer programming,voll》中作了这样的论述：“…当运用母函数时，通常无需担心级数的收敛性，因为我们只是在探求得到某个问题的解的可能途径，一旦当我们用任何手段发现了解，尽管这些手段也许不严格，就有可能独立的验证这个解…例如有时很容易用数学归纳法来证明，我们甚至不必提到它是利用母函数发现的.此外，可以证明我们对母函数所做的绝大多数——如果不是所有的话——运算都能严格论证其可行而无须顾及级数的收敛性.”这段引文最后的断言是通过把母函数作为形式幂级数而得以实现的.一般情况下，母函数中的x只是一个抽象符号，并不需要对它赋予具体数值.因而不需要考虑它的收敛性.此时的变量x只是一种形式变元.对这种级数可以把它看成形式幂级数，可以按通常方式定义其加法、乘法、形式微分等运算，从而构成一个代数体系.母函数有多种类型，这里仅讨论最常见的两种：普通母函数和指数母函数.下面分别进行讨论.2母函数基本概念定义2.1. 对于数列{}0n n a ≥，称函数 120120()k k k f x a x a a x a x ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的普通型母函数（简称普母函数）．定义2.2. 对于数列{}0n n a ≥，称函数120120()!1!2!k kk x x x f x a a a a k ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的指数型母函数（简称指母函数）．数列与母函数可以互求.已知母函数，可求出其对应的数列；已知数列，可求出其对应的母函数.R 上的母函数的全体记为[]R x ⎡⎤⎣⎦.在集合[]R x ⎡⎤⎣⎦中适当定义加法和乘法运算，可使它成为一个整环，任何一个母函数都是这个环中的元素.定义2.3. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.若对任意0k ≥，有k k a b =.则称()A x 与()B x 相等.记作()()A x B x =.定义 2.4. 设α为任意实数. []0()kk k A x a x R x ∞=⎡⎤=∈⎣⎦∑,则()0()kk k A x a x αα∞==∑称作α与()A x 的数乘积.定义2.5. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.（1）将()A x 与()B x 相加定义为0()()()k k k k A x B x a b x ∞=+=+∑，并称()()A x B x +为()A x 与()B x 的和，把运算“+”称作加法.（2）将()A x 与()B x 相乘定义为01100()()()k k k k k A x B x a b a b a b x ∞-=⋅=+++∑，并称()()A x B x ⋅为()A x 与()B x 的积，把运算“⋅”称作乘法.3母函数的性质母函数与数列之间是一一对应的，因此，若两个母函数之间存在某种关系，那么相应的两个数列之间也必然存在一定的关系；反过来说当然也能成立．设数列{}0n n a ≥的母函数为()A x ，数列{}0n n b ≥的母函数为()B x ，我们可以得到下面的一些性质：性质3.1. 若0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩ , 则 ()()k B x x A x =．证明： 由假设条件，有 21101211()k k k k k k B x b b x b x b x b x b x -+-+=+++++++11k k k k b x b x ++=++ 101k k a x a x +=++()01k x a a x =++()k x A x =.例3.1. 2()11!2!xx x A x e =+++= 且()B x 满足0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩，则求()B x .解：利用性质1，()()k B x x A x =k x x e =⋅性质3.2. 若n n k b a +=，10()()k n k n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.证明： 又假设条件，有2012()B x b b x b x =+++212k k k a a x a x ++=+++()12121k k k k k k k a x a x a x x ++++=+++ ()10111()k k k A x a a x a x x--=----10()k n k n n A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.例3.2. 35()sin 3!5!x x A x x x ==+++,且6k k b a +=，求()B x .解： 6160()()n n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑356()3!5!x x A x x x ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦.性质3.3. 若0nn k k b a ==∑，则()()1A x B x x=-． 证明： 有假设条件，有 00b a =， 101b x a x a x =+， 22222012b x a x a x a x =++， …，012n n n n n n n b x a x a x a x a x =++++…， 把以上两边分别相加，得2222012()(1)(1)(1)B x a x x a x x x a x x x =++++++++++++22012()(1)a a x a x x x =++++++()1A x x=-. 例3.3. 21()11A x x x x =+++=- ，且0nn k k b a ==∑，则 ()2()1()11A x B x x x ==-- . 性质3.4. 若n k k nb a ∞==∑，则(1)()()1A xA x B x x -=-．这里0k n a ≥∑是收敛的．证明： 因为0k n a ≥∑是收敛的，所以n k k nb a ∞==∑是存在的．于是有0012(1)b a a a A =+++= 1120[(1)]b x a x a x A a x =++=-， 222222301[(1)]b x a x a x A a a x =++=--，…， 1011[(1)]k k k k k k k k b x a x a x A a a a x +-=++=----，…．把以上各式的两边分别相加，得0()(1)[(1)]B x A A a x =+-201[(1)]A a a x +--+01[(1)]k k A a a x -+--+2(1)(1)A x x =+++20(1)a x x x -+++221(1)a x x x -+++- 21(1)k k a x x x --+++-2012[(1)()]A x a a x a x =-+++2(1)x x +++(1)()1A xA x x-=-.性质3.5. 若n n na b =, 则'()()B x xA x =．证明： 由'()A x 的定义知'11()n n n na xxA x x ∞-==∑0n n n na x ∞==∑n n n b x ∞==∑()B x =．例3.4. 已知21()11A x x x x =+++=- ，n n na b =，则()21()11x B x x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-. 性质3.6. 若1nn a b n =+， 则1()()xB x A t dt x =⎰．证明： 由假设条件，有0()xxn n n A t dt a t dt ∞==∑⎰⎰(1)xn n n b n t dt ∞==+∑⎰1n n n b x ∞+==∑＝()xB x ．性质3.7. 若0112200nn n n n n k n k k c a b a b a b a b a b ---==++++=∑.则2012()()()C x c c x c x A x B x =+++=证： 000c a b =()10110c x a b a b x =+ ()222021120c x a b a b a b x =++ …()()()2222001210122012()c x a b b x b x a x bb x b x a x bb x b x =++++++++++++()()22012012a a x a x bb x b x =++++++()()A x B x =.例3.5. 已知21()11n A x x x x x=+++++=- ()22()21n xB x x x nx x =++++=-()11232n n n c n +=++++=则 ()3()1xG x x =-.性质3.8. 若k k k c a b αβ=+ ，则()()()0k k k c x c x A x B x αβ∞===+∑.证明：有假设条件，有()()00kkk k k k k c x c x a b x αβ∞∞====+∑∑0kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑()()A x B x αβ=+.4性质的应用利用这些性质，可以求某些数列的母函数，也可以计算数列的和.下面列出几个常见的简单数列的母函数.(1) {}111G x=- (2) {}11k G a ak=-(3) {}()21xG k x =-(4) (){}()3211xG k k x +=-(5) {}()()2311x x G k x +=-(6) ()(){}()46121xG k k k x ++=-(7) 1!x G e k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(8) ()1aa G x k ⎧⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭(9) ()111n n k G k x +⎧+⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 例4.1.求序列{}5,6,7,,5,n +的母函数.解：()()25675n A x x x n x =++++++()()2235123x x x xx =+++++++(){}51G G k =+ ()()221545111x xx x x -=⋅+=---. 母函数的应用很多.求解递推关系,排列组合中,计数问题中的应用等等.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.结束语母函数又称生成函数，是一种即简单又有用的数学方法，求解递推关系和组合计数问题中母函数是一种重要的数学方法.用母函数可以求解常系数线性齐次、非齐次递推关系、求解非线性递推关系、非常系数递推关系等等递推关系.这篇文章给出了母函数的基本知识,从最基本点开始讨论了母函数的性质.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.参考文献【1】卢开澄,卢华明. 组合数学（第四版）.北京：清华大学出版社,2006,12．【2】田秋成等编著. 组合数学. 电子工业出版社,2006,11.【3】李凡长,康宇,董海峰,段爱华编著.组合理论及其应用. 北京：清华大学出版社,2005,9.【4】冯速译. 应用组合学. 拉特格大学狄克森学院：机械工业出版社,2007,5.【5】李乔.组合学讲义（第二版）.北京：高等教育出版社,2008,1.【6】孙淑玲许胤龙编著.组合数学引论.中国科学技术大学出版社,2004,1.【7】孙世新张先迪编著.组合原理及其应用.北京：国防工业出版社,2006,3.。
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其中
P ( x) 1 x x 3 被装置的特性所确定，称为该装置的传递函数。
例2 有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种 不同的组合方案。 设r，w，y 分别代表红球，白球，黄球。
(1 r r )(1 w )(1 y) 2 1 ( r y w ) ( r ry rw yw )
(1) A(x)= B(x) 当且仅当 ak= bk。
(2) 若A(x)+B(x)=c0+c1x+c2x2+…，则ck=ak+bk。
0, k l , 性质1：若 bk 则 B(x)=xlA(x)。 ak l , k l ,
证:
B ( x ) 0 0 0 bl x l bl 1 x l 1 a0 x l a1 x l 1 x l A( x ).
比较等式两端的常数项，可以得到恒等式：
C (m n, m) C (n, 0)C (m, 0) C (n, 1)C (m, 1) C (n, m)C (m, m).
又如在等式 (1 x )n C (n,0) C ( n,1) x C ( n, n) x n 中令x=1 可得 C (n,0) C (n,1) C (n, 2) C (n, n) 2n.
v3 u3 u2 u0 ,。
一般的有
vn un un1 un3 , n 3.
若信号输入的序列u0,u1,…的母函数为U(x)，输出的 信号序列v0,v1,…的母函数为V(x)，则
V ( x ) (1 x x 3 )U ( x ) P ( x )U ( x ),
但碰到用三个或四个骰子掷出n点，上述两方法就 不胜其烦了。
设想把骰子出现的点数1,2,…,6和t,t2,…,t6对应起来， 则每个骰子可能出现的点数与(t+t2+…+t6)中t的各次 幂一一对应。
若有两个骰子，则
(t t 2 ... t 6 )(t t 2 ... t 6 ) t 2 2t 3 3t 4 4t 5 5t 6 ....
比较等号两端项对应系数，可以得到恒等式：
C (m n, r ) C (m, 0)C (n, r ) C (m , 1)C (n, r 1) C (m, r )C (n, 0).
(1 x) (1 1 / x) x
n m
m
(1 x)
mn
[C (n, 0) C (n, 1) x C (n, n) x n ] [C (m, 0) C (m, 1) x 1 C (m, m ) x m ] x m [C (m n, 0) C (m n, 1) x C (m n, 2) x 2 C (m n, m n) x m n
x x x e x 1, 例4 已知 A x 1! 2! 3! m m 1 m2 x 则 B( x ) x x x m 1 (e x 1). 1! 2! 3!
2
3
性质2：若bk=ak+l，则
B( x ) [ A( x) ak x k ]/ x l .
两端对x求导可得： n(1 x ) n 1 C (n, 1) 2C (n, 2) x nC (n, n) x n 1 , 再令x=1 可得 C (n,1) 2C(n, 2) 3C(n, 3) nC(n, n) n2n1.
类似还可以得到 2 2 n 2 C (n,1) 2 C(n, 2) n C(n, n) n(n 1)2 .
类似可得女同志的允许组合数对应的母函数为
B( x ) 10 x 2 10 x 3 5 x 4 x 5 .
C ( x ) A( x ) B( x ) (1 28 x 2 70 x 4 28 x 6 x 8 ) (10 x 2 10 x 3 5 x 4 x 5 )
第二章
母函数与递推关系
2.1 母函数与指数型母函数
2.2 递推关系与Fibonacci数列
2.3 线性常系数递推关系 2.4 非线性递推关系举例 2.5 应用举例
2.1 母函数与指数型母函数
1. 母函数
2. 母函数的性质
3. 整数的拆分
4. Ferrers 图像
5. 指数型母函数
1. 母函数
母函数方法是一套非常有用的方法，应用极广。 这套方法的系统叙述，最早见于Laplace在1812年 的名著—概率解析理论。
例1 下图是一逻辑回路，符号D是一延迟装置，即 在时间t输入一个信号给延迟装置D，在t+1时刻D将 输出同样的信号，符号表示加法装置。
输入u
D
D
D
输出v
若在t=0,1,2,…时刻的输入为u0,u1,u2,…求在这些时 刻的输出v0,v1,v2,…
显然，
v0 u0 , v1 u1 u0 , v2 u2 u1 ,
我们来看如下的例子：两个骰子掷出6点，有多少 种选法？ 注意到，出现1，5有两种选法，出现2，4也有两 种选法，而出现3，3只有一种选法，按加法法则， 共有2+2+1=5种不同选法。 或者，第一个骰子除了6以外都可选，有5种选法， 一旦第一个选定，第二个骰子就只有一种可能的选 法，按乘法法则有5×1=5种。
性质5：若bk=kak，则
B( x ) xA '( x ).
性质6：若bk=ak/(1+k)，则 1 x B ( x ) A( x )dx. x 0 例7 已知 A( x ) 1 x x 2 x n 则
中tn的系数。
这个函数f(t)称为母函数。
母函数方法的基本思想： 把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间 的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最 后由幂级数形式来确定离散数列的构造。
再来看下面的例子：
(1 a1 x )(1 a2 x ) (1 an x ) 1 (a1 a2 an ) x (a1a2 a1a3 an1an ) x 2 a1a2 an x n ,
B( x ) A(1)(1 x x 2 ) a0 x (1 x x 2 ) a1 x 2 (1 x x 2 ) A(1) (a0 a 1 x ) x A(1) xA( x ) . 1 x 1 x 1 x
__________ __________ ________
a1 a3 a5 a7 0, a0 1, a2 C (8, 2) 28,
a4 C (8,4) 70, a6 C (8,6) 28, a8 1.
因此序列a1,a2,…,a8对应的母函数为：
A( x ) 1 28 x 2 70 x 4 28 x 6 x 8 .
若令a1=a2= …=an=1，则有
(1 x)n 1 C (n, 1) x C (n, 2) x 2 C (n, n) x n .
这就是二项式展开定理。
(1 x)m (1 x)n (1 x)m n
[C (n, 0) C (n, 1) x C (n, n) x n ] [C (m, 0) C (m, 1) x C (m, m) x m ] C (m n, 0) C (m n, 1) x C (m n, m n) x m n
还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子 已可见函数(1+x)n在研究序列 C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的关系时所起的作用。 定义：对于序列a0,a1,a2,…，函数
G( x ) a0 a1 x a2 x 2 称为序列a0,a1,a2,…的母函数。
例如函数(1+x)n就是序列C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的 母函数。 如若已知序列，则对应的母函数可根据定义给出。 反之，如果已经求出序列的母函数G(x)，则该序列 也随之确定。
2
( r y r w ryw ) r yw .
2 2 2
(1) 取一个球的组合数为3，即分别取红，白，黄。 (2) 取两个球的组合数为4，即两个红的，一红一黄， 一红一白，一白一黄。 (3) 取三个球的组合数为3，即两红一黄，两红一白， 一红一黄一白。 (4) 取四个球的组合数为1，即两红一黄一白。
2 n
则
பைடு நூலகம்
B( x) 1 2 x 3 x 2 4 x 3
A( x ) 1 , 2 1 x (1 x )
C ( x) 1 3 x 6 x 2 10 x 3
B( x ) 1 . 3 1 x (1 x )
性质4：若bk=ak+ak+1+…，则 A(1) xA( x ) B( x) . 1 x 1: b0 a0 a1 a2 A(1) x: b1 a1 a2 a3 A(1) a0 x2: b2 a2 a3 a4 A(1) a0 a1 +)
__________ __________ ________
B( x) a0 /(1 x) a1 x /(1 x) a2 x 2 /(1 x) [a0 a1 x a2 x2 ]/(1 x) A( x) /(1 x).
例6 已知
1 A( x ) 1 x x x , 1 x
10 x 2 10 x 3 285 x 4 281 x 5 840 x 6 728 x 7 630 x 8 350 x 9 150 x 10 38 x 11 5 x 12 x 13