选修2-2课件2.3数学归纳法
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人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件
数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．
新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
新课标课件 选修2-2：2.3 数学归纳法
问题思考：
已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
解:∵ a1 1 = 21 1
可从简单情形出发
∴
a2 a3
2a1 2a2
1 1
21 1 3= 22 2 3 1 7= 23
1 1
观察、归纳、猜想
a4 2a3 1 2 7 1 15 = 24 1 a5 2a4 1 215 1 31= 25 1
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （传递）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
证明当n k 1时,命题也成立 （传递）
3.数学归纳法第二步的证明可以用各种证明方法， 但必须用到假设
思考5：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学 用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的 结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1
则当n=k+1时
2n
2n
成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？
思考1：与正整数n有关的数学命题都能否通 过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有关, 我们能否找到一种既简单又有效的证明方法 呢？
问题思考： 已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an . 怎么证明我们的猜想呢?
(人教A版)数学【选修2-2】2-3《数学归纳法》ppt课件
2．对数学归纳法的步骤的理解 用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的．如果 只有步骤(1)而缺少步骤(2)，作出的判断可能是错误的，单靠 步骤(1)也无法递推下去．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也 可能得出不正确的结论．例如，假设n＝k时，等式 2＋4＋6＋„＋2n＝n2＋n＋1成立，就是 2＋4＋6＋„＋2k＝k2＋k＋1. 那么2＋4＋6＋„＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k ＋1)2＋(k＋1)＋1.
规律技巧 此类题在考试中经常出现，它是考查探究归纳 能力的好素材，应切实掌握.
三
与自然数有关的应用问题
【例3】
(整除问题)用数学归纳法证明：(3n＋1)· 7n－1(n
∈N*)能被9整除． 【分析】 成立； (2)假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立． 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n＝1时命题
1 ＝2k(3k－1)＋3k＋1 1 2 ＝2(3k ＋5k＋2) 1 ＝2(k＋1)(3k＋2) 1 ＝2(k＋1)[3(k＋1)－1]． 即n＝k＋1时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
规律技巧
用数学归纳法证明数学命题，关键要看两个步
骤是否齐全，特别是第二步的归纳假设是否被利用，若没有利 用归纳假设，那就不正确.
第二章
推理与证明
§2.3 数学归纳法
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的 数学命题.
课前热身 数学归纳法只适用于与__________有关的命题，其步骤 为： (1)(归纳奠基)__________； (2)(归纳递推)假设__________时命题成立，证明 __________命题也成立． 只有完成这两步骤，就可断定，命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.
高中数学 2.3数学归纳法 新人教A版选修2-2
2．3 数学归纳法
ppt课件
研题型 学方 法
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题型一 用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明 1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12n(3n－1)(n∈N*)． 分析：按数学归纳法的解题步骤进行证明，要清楚等式两边的结构， 特别当 n＝1 时，等式两边分别是什么？当 n＝k 到 n＝k＋1 等式两 边发生了什么变化，这是解题的关键．
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题型三 用数学归纳法证明整除问 题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被 a2＋a＋1 整除． 分析：对于多项式 A，B，如果 A＝BC，C 也是多项式，那么 A 能被 B 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
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＝21(3k2＋5k＋2) ＝21(k＋1)(3k＋2) ＝21(k＋1)[3(k＋1)－1]． 即 n＝k＋1 时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
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规律方法：用数学归纳法证明与自然数有关的一些 等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结 构规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的 取值是否有关系．由“n＝k”到“n＝k＋1”时， 等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．
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题型二 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：1＋12＋31＋…＋2n－1 1<n(n∈N*，n>1)． 分析：利用数学归纳法，n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项有21k＋2k＋1 1
＋…＋2k＋11－1. 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝1＋21＋13，右边＝2，左边<右边，不等 式成立．
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研题型 学方 法
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题型一 用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明 1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12n(3n－1)(n∈N*)． 分析：按数学归纳法的解题步骤进行证明，要清楚等式两边的结构， 特别当 n＝1 时，等式两边分别是什么？当 n＝k 到 n＝k＋1 等式两 边发生了什么变化，这是解题的关键．
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题型三 用数学归纳法证明整除问 题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被 a2＋a＋1 整除． 分析：对于多项式 A，B，如果 A＝BC，C 也是多项式，那么 A 能被 B 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
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＝21(3k2＋5k＋2) ＝21(k＋1)(3k＋2) ＝21(k＋1)[3(k＋1)－1]． 即 n＝k＋1 时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
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规律方法：用数学归纳法证明与自然数有关的一些 等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结 构规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的 取值是否有关系．由“n＝k”到“n＝k＋1”时， 等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．
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题型二 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：1＋12＋31＋…＋2n－1 1<n(n∈N*，n>1)． 分析：利用数学归纳法，n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项有21k＋2k＋1 1
＋…＋2k＋11－1. 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝1＋21＋13，右边＝2，左边<右边，不等 式成立．
人教版A版高中数学选修2-2：2.3 数学归纳法
当n＝k＋1时, 即n＝k＋1时等式也成立．
解法对吗？
1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的 证明．
2．应用数学归纳法时应注意： (1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一 不可； (2)在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的 结论，否则就不是数学归纳法．
数学归纳法证明不等式
则当n=k+1时,
1
1 22
1 32
1 k2
(k
1 1)2
2
1 k
(k
1 1)2
11
11
11 1
1
2
k
(k
1)2
2
k
k(k
1)
2
k
( k
k
) 1
2
k
. 1
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 n
N
,
n
≥
2都成立.
五、小结反思，学生提高认识
(1)先凑假设，作等价变换； (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析 直到凑出结论．
练习 1．证明 1＋12＋13＋41＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时成立，
当 n＝k＋1 时，左端增Байду номын сангаас的项数是
()
A．1 项
B．k－1 项
C．k 项 D．2k 项
解析：当 n＝k 时，不等式左端为 1＋12＋13＋14＋…＋2k－1 1； 当 n＝k＋1 时，不等式左端为 1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋21k＋… ＋2k＋11－1增加了21k＋…＋2k＋11－1项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝ 2k 项． 答案：D
解法对吗？
1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的 证明．
2．应用数学归纳法时应注意： (1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一 不可； (2)在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的 结论，否则就不是数学归纳法．
数学归纳法证明不等式
则当n=k+1时,
1
1 22
1 32
1 k2
(k
1 1)2
2
1 k
(k
1 1)2
11
11
11 1
1
2
k
(k
1)2
2
k
k(k
1)
2
k
( k
k
) 1
2
k
. 1
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 n
N
,
n
≥
2都成立.
五、小结反思，学生提高认识
(1)先凑假设，作等价变换； (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析 直到凑出结论．
练习 1．证明 1＋12＋13＋41＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时成立，
当 n＝k＋1 时，左端增Байду номын сангаас的项数是
()
A．1 项
B．k－1 项
C．k 项 D．2k 项
解析：当 n＝k 时，不等式左端为 1＋12＋13＋14＋…＋2k－1 1； 当 n＝k＋1 时，不等式左端为 1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋21k＋… ＋2k＋11－1增加了21k＋…＋2k＋11－1项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝ 2k 项． 答案：D
数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
20
山东省临沂第一中学
练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题 练习 下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n + +L+ = 1• 2 2 • 3 n • ( n + 1) n + 1
的过程.你认为他的证法正确吗 为什么 的过程 你认为他的证法正确吗?为什么 你认为他的证法正确吗
1 1 = , 右边 (1).当n=1时,左边 左边= 右边= 当 时 左边 1 • 2 2
12
山东省临沂第一中学
思考6 数学归纳法由两个步骤组成， 思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其 中第一步是归纳奠基 第二步是归纳递 归纳奠基， 中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递 完成这两个步骤的证明， 推，完成这两个步骤的证明，实质上解 决了什么问题？ 决了什么问题？ 逐一验证命题对从n 逐一验证命题对从n0开始的所有正整数 都成立. n都成立.
山东省临沂第一中学
2.3 数学归纳法
临沂一中数学组
1
问题提出
山东省临沂第一中学
1.归纳推理的基本特征是什么？ 1.归纳推理的基本特征是什么？ 归纳推理的基本特征是什么 由个别事实概括出一般结论. 由个别事实概括出一般结论. 2.综合法， 2.综合法，分析法和反证法的基本思 综合法 想分别是什么？ 想分别是什么？ 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立， 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证明. 证明.
9
探究（ 探究（二）：数学归纳法的基本原理
山东省临沂第一中学
an 思考1 已知数列{a 思考1：已知数列{an}满足 an + 1 = 1 + an 1 a n∈N*），假设当n ），假设当 （n∈ ），假设当n＝k时，k = ，
人教A版高中数学选修2-2课件 2.3数学归纳法课件1
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合作探究 课堂互动
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(2)由此猜想出：bn＝2n－1(n≥1)为数列的通项公式， 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，b1＝2×1－1＝1，公式成立； ②假设当 n＝k 时，公式成立，即 bk＝2k－1. 那么 bk＋1＝Bk＋1－Bk＝14(bk＋1＋1)2－14(bk＋1)2， 整理得(bk＋1－1)2＝(bk＋1)2， 故 bk＋1＝1±(bk＋1)，
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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(2)应用数学归纳法应注意： ①数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证 明． ②验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不 可； ③在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结 论，否则就不是数学归纳法．
证明： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)． 则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1) ＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1) ＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边， ∴当n＝k＋1时，命题成立． 由①②知，对一切n∈N*，命题成立．
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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3 ． 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 满 足 2Sn ＝ a ＋ n ， an>0(n∈N*)，
(1)求a1，a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
高中数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
利用到假设
根据(1)和 都成立. 根据 和(2),可知等式对任何 n ∈ N 都成立 可知等式对任何 错误原因：由证明 错误原因：由证明n=k+1等式成立 等式成立 没有用到n=k命题成立的归纳假设 命题成立的归纳假设 时没有用到 命题成立的
思考
1 1 1 1 , ， 已知数列 , , · · ·， n－ 2)(3 n + 1) (3 − 1× 4 4 × 7 7 ×10
(2)(归纳递推) (2)(归纳递推)是递推的依据 归纳递推 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用， 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 利用假设及已知的定义 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
求证: n+1)(n+2)…(n+n)=2 (2n例、求证:(n+1)(n+2) (n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1) (2n
请问： 请问： 步中“ n=k+1时 的证明可否改换为： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+ +(2k-1)+[2(k+1)1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) +(2k1+3+5+ +(2k +(2k = （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？ 为什么？
证明： n=1时 左边=1+1=2 右边=2 1=2 左边=右边， =1+1=2， 1=2， 证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 式成立。 时有： ② 假设当n=k((k∈N ）时有： 假设当 (k+1)(k+2)…(k+k) (k+k)= (2n-1), (k+1)(k+2) (k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), n=k+1时 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3) =(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) 左边=(k+2)(k+3) (k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) (k+k) （2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k) k+1)(k+2)(k+3) (k+k)•
高中数学人教A版选修2-2课件：2.3数学归纳法
借助于几何图形来分析,在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分
别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明
即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.
-14-
目标导航
题型一
题型二
题型三
重难聚焦
典例透析
典例透析
题型四
【变式训练 3】 平面内有 n(n∈N*,n≥2)条直线,其中任何两条
重难聚焦
典例透析
典例透析
题型四
则当 n=k+1 时,
1
1+
3
1
1+
5
1
·…· 1 +
2-1
1
1+
2(+1)-1
2
4 + 8 + 4
2 + 1 2 + 2
2 + 2
>
·
=
=
2
2 + 1 2 2 + 1
2 2 + 1
2
>
4 + 8 + 3
2 2 + 1
=
2 + 3· 2 + 1
(2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即 1+4+7+…+(3k-2)=
1
(3
2
− 1),
则当 n=k+1 时,1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]=
(3 + 1) =
1
(32 + 5
2
1
(3 − 1) +
别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明
即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.
-14-
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题型三
重难聚焦
典例透析
典例透析
题型四
【变式训练 3】 平面内有 n(n∈N*,n≥2)条直线,其中任何两条
重难聚焦
典例透析
典例透析
题型四
则当 n=k+1 时,
1
1+
3
1
1+
5
1
·…· 1 +
2-1
1
1+
2(+1)-1
2
4 + 8 + 4
2 + 1 2 + 2
2 + 2
>
·
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2
2 + 1 2 2 + 1
2 2 + 1
2
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2 2 + 1
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2 + 3· 2 + 1
(2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即 1+4+7+…+(3k-2)=
1
(3
2
− 1),
则当 n=k+1 时,1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]=
(3 + 1) =
1
(32 + 5
2
1
(3 − 1) +
《数学归纳法》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第2.3课时)
k
新知探究
继续解答……
这样，对于猜想，由已知n=1成立，就有n=2也成立；n=2成立，就有n=3也成立； n=3成立，就 有n=4也成立； n=4成立，就有n=5也成立······所以，对任意的正整数n，猜想都成立.
此猜想正确，即
此数列的通项公式an
=
1 n
.
新知探究
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 归纳奠基 1.证明当n取第一个值n0 时命题成立； 归纳递推 2.假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
)，
此数列的通项公式是什么？
1 通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，我们已经猜出其通项公式为 an = n .
课前导入
这个猜想对前4项成立，但是，能肯定它对后续的项也成立吗？ 这个猜想需要证明，自然地，我们会想到从n=5开始一个个往下验证.
这个方法可行 吗?
课前导入
我们来分析此方法：
一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，验证起来会很 麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，从n=5开始逐个往 下验证的想法价值不大.我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所 有正整数都成立.
新知探究
注意
用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而第二步主要在于合理运用归纳假设，即 以“n=k时命题成立”为条件，结合其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”.不能不使用 “n=k时命题成立”这个条件，而直接将n=k+1代入命题，便断言此时命题成立因为这样的“证 明”并不推出递推关系：
这种证明方法就叫做 数学归纳法.
(vip免费)【数学】2.3 《数 学 归 纳 法》课件(新人教A版选修2—2)
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
3、阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答：能 使所有的牌倒下的条件是什么？
两个基本条件：（1）要推倒第一块牌； （2）第一块牌倒下能导致后一块牌倒下，
（连续性）
研读教材
研读教材 P92-P93 思考
1.数学归纳法的定义 2.数学归纳法适用范围是什么? 3.数学归纳法的步骤(原理)是什么? 4.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是 什么? 5.有人说“: 数学归纳法使无限与有限间实现 了平衡”, 你怎样理解这句话？
增乘的代数式为
（B）
A．3k + 1
B．2 (2k + 1)
C．2k 1 k 1
D．2k 3 k 1
课堂练习
4．等式 12 + 22 + 32 +…+ n2 = 1 (5n2 7n 4)
2
（）
A．n 为任何正整数时都成立
B．当 n = 1，2，3 时成立
C．当 n = 4 时成立，n = 5 时不成立
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
高中数学选修2-2课件：2.3 数学归纳法
*
1 ＋2k成立． 那么当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋…＋ －2k＋ － ＝ ＋ ＋…＋ 2k－1 2k＋1－1 2k＋1 k＋1 k＋2 1 1 1 2k＋2k＋1－2k＋1
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
第二章
推理与证明
2.3 数学归纳法
自 主 预 习 • 探 新 知
学习目标： 1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点) 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
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[自 主 预 习· 探 新 知]
当 堂 达 标 • 固 双 基
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自 主 预 习 • 探 新 知
C [A中，n＝1时，式子＝1＋k； B中，n＝1时，式子＝1； 1 1 C中，n＝1时，式子＝1＋2＋3； 1 1 1 1 D中，f(k＋1)＝f(k)＋ ＋ ＋ － .故正确的是C.] 3k＋2 3k＋3 3k＋4 k＋1
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自 主 预 习 • 探 新 知
(2)假设当n＝k时猜想成立， 2k－1 则有ak＝ k－1 ， 2 当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，
k k＋1 2 － 1 2 －1 1 1 ∴ak＋1＝22k＋1－Sk＝k＋1－2 (2k－ k－1 )＝ k＋1－1 ， 2 2
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1 ＋2k成立． 那么当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋…＋ －2k＋ － ＝ ＋ ＋…＋ 2k－1 2k＋1－1 2k＋1 k＋1 k＋2 1 1 1 2k＋2k＋1－2k＋1
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第二章
推理与证明
2.3 数学归纳法
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学习目标： 1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点) 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)
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C [A中，n＝1时，式子＝1＋k； B中，n＝1时，式子＝1； 1 1 C中，n＝1时，式子＝1＋2＋3； 1 1 1 1 D中，f(k＋1)＝f(k)＋ ＋ ＋ － .故正确的是C.] 3k＋2 3k＋3 3k＋4 k＋1
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(2)假设当n＝k时猜想成立， 2k－1 则有ak＝ k－1 ， 2 当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，
k k＋1 2 － 1 2 －1 1 1 ∴ak＋1＝22k＋1－Sk＝k＋1－2 (2k－ k－1 )＝ k＋1－1 ， 2 2
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2019人教版高中数学选修2-2课件：2.3 数学归纳法(共37张PPT)
预习探究
知识点 数学归纳法
一般地,证明一个与 正整数n 有关的命题P(n),可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立; (2)(归纳递推)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n= k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法.
[答案] C [解析]由已知得n=n0(n0∈N*)时 命题成立,则有n=n0+1时命题 成立;在n=n0+1时命题成立的 前提下,又可推得n=(n0+1)+1时 命题也成立,依此类推,可知选C.
当堂自测
[答案] B [解析] 当n=k时,左边 =12+22+…+(k-1)2+k2+(k-
1)2+…+22+12,①
证明：令a＝2，b＝2n－1(n∈N*)， 当n＝1时，f(2)＝2＝1×21； 当n＝2时，f(2×2)＝f(22)＝2f(2)＋2f(2)＝ 2×22； 当n＝3时，f(2×22)＝2f(22)＋22f(2)＝3×23； ……
猜想f(2n)＝n·2n(n∈N*)．(*)
备课素材
用数学归纳法证明如下： (1) 当n＝1时，f(2)＝1×2，(*)式成立， (2)假设n＝k时(*)式成立，即f(2k)＝k·2k，当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝f(2×2k)＝2f(2k)＋ 2kf(2)＝2×k×2k＋2k×2＝k×2k＋1＋2k＋1＝(k＋1)×2k＋1， ∴n＝k＋1时，(*)式成立. 由(1)(2)知，对n∈N*，f(2n)＝n·2n成立．所以Un＝f(2n)＝n·2n(n∈N*)． 要证明结论成立，只需证明Un＋1－Un>0(n∈N*)， ∵Un＋1－Un＝(n＋1)·2n＋1－n·2n＝2n(n＋2)>0，∴Un＋1>Un.
推荐-高中数学人教A版选修2-2课件2.3 数学归纳法
即当 n=k+1 时等式也成立.
由(1)(2)可得,对于任意的 n∈N*等式都成立.
探究一
探究二
首页
探究三
思想方法 当堂检测
课前预习 案
课堂探究案
用数学归纳法证明不等式
【例 2】 用数学归纳法证明:
1 12
+
312+…+(2������1-1)2>1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
即 1+√12 + √13+…+√1������<2√������. 则当 n=k+1 时,
1+√12 + √13+…+√1������ +
1 <2√������ +
������+1
1 ������+1
= 2√������ ������+1+1 < (√������)2+( ������+1)2+1=2(������+1)=2√������ + 1.
A.12
+
1 3
+
1 4
B.12
+
1 3
C.12
D.1
解析:在������+11 + ������+12+…+3������1+1>1(n∈N+)中,当 n=1 时,3n+1=4,故
n=1
时,等式左边的项为12
+
1 3
+
14,故选
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验证是不可能的 .因此, 从n 5开始逐个往下验证 的想法价值不大我们需要另辟蹊径寻求一种方 . , 法 : 通过有限个步骤的推理证明n取所有正整数 , 者成立 . 我们先 从多米诺骨牌游戏说 起.这是一种码放骨牌的游 , 戏 码 放时保证任意相邻的两 块 骨牌, 若前一块骨牌倒下则一 , 定导致后块骨牌也倒下只要 . 推倒第一块骨牌由于第一块骨牌倒下就可导致 , , 第二块骨牌倒下而第二块骨牌倒下就可导致第 ; , 三块骨牌倒下 最后,不论有多少块骨牌都能 , 全部倒下 .
若n k k n0 时命题成立 , 证明n k 1时命题也成立 .
归纳奠基
归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立.
下面看两个例子 .
例1 用数学归纳法证明 nn 12n 1 2 2 2 1 2 n n N . 6 证明 1当n 1 , 左边 1 时 , 1 1 1 2 1 1 右边 1, 等式成立. 6 2假设当n k时等式成立,即 k k 12k 1 2 2 2 1 2 k , 6
2.3
数学归纳法
学习归纳法是一种特殊 的证明方法 主要用于研究 , 与正整数有关的数学问 .例如, 对于数列 an ,已知 题 an n 1,2, , 通过对n 1,2,3,4前4 a1 1, an1 1 an 1 项的归纳 我们已经猜想出其通项 , 公式为an .但 n 是, 我们只能肯定这个猜想 对前4项成立,而不敢肯 定对后续的项也成立 .这个猜想需要证明 . 自然地, 我们会想到从 5开始一个个往下验证 n . 一般来说,与正整数n有关的命题当n比较小时可 , 以逐个验证 但当n较大时, 验证起来会很麻烦特 , . 别是证明n 取所有正整数都成立的 命题时, 逐一
根据1和2,可知等式对任何n N 都成立.
1 1 1 1 例 2 已知数列 , , , , , , 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1, S2 , S3 , S 4 , 根据计算结果 猜出Sn的表达式 并用 , , 数学归纳法进行证明 . 1 1 1 1 2 解 S1 ; S2 ; 1 4 4 4 47 7 2 1 3 3 1 4 S3 ; S4 . 7 7 10 10 10 10 13 13
可以看到, 上面表示四个结果的分数中,分子和项数 n一致, 分母可用项数 n 表示为 3n 1 于是可以猜想 , n Sn . 3n 1
下面我们用数学归纳法 证明这个猜想 .
1 1当n 1时,左边 S1 , 4 n 1 1 右边 , 猜想成立. 3n 1 3 1 1 4
k 1 3k 1 3k 13k 4
3k 2 4k 1 3k 13k 4
3k 1k 1 3k 13k 4
k 1 , 3k 1 1
所以,当n k 1时猜想也成立 .
根据1和2,可知猜想对任何n N都成立.
那么1 2 k k 1
2 2 2
2
k k 12k 1 2 k 1 6 2 k k 12k 1 6k 1 6 k 1 2k 2 7k 6 k 1k 22k 3 6 6 k 1k 1 1 2k 1 1 6 即当n k 1时等式也成立.
即n k 1时猜想也成立.
这样, 对于猜想,由已知n 1 成立, 就有n 2 也成立; n 2成立, 就有n 3 也成立; n 3 成立, 就有n 4也 成立; n 4成立 , 就有n 5 也成立 所以, 对任意 1 的正整数n, 猜想都成立, 即数列的通项公式是an . n 一般地, 证明一个与正整数 n有关的命题, 可按下 列步骤 : 1归纳奠基 证明当n取第一个值n0时命题成立;
思考 这个游戏中能使所有多米诺骨牌全 , 部倒 下的条件是什么 ? 可以看出, 只要满足以下两个条件, 所有多米诺骨 牌就都能倒下 : 1第一块骨牌倒下; 2任意相邻两块骨牌,前一块倒下一定导致后一 块倒下. 思考 你认为条件2的作用是什么 ? 可以看出 条件2事实上给出了一个递推关系 : , 当第k块倒下时, 相邻的第k 1块也倒下. 这样, 只要第1块骨牌倒下, 其他所有的骨牌就能够 相继倒下.事实上, 无论有多少块骨牌, 只要保证1 2成立,那么所有骨牌一定可以全部倒下.
2假设当n k 时猜想成立,即
1 1 1 1 K ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, 3K 23K 1 3K 1 1 4 4 7 7 10
1 1 1 1 那么, 3K 23K 1 1 4 4 7 7 10 1 3K 1 23K 1 1
1 思考 你认为证明数列的通项 公式是an 这个 n 猜想与上述多米诺骨牌 游戏有相似性吗 你能类 ? 比多米诺骨牌游戏解决 这个问题吗?
由条件, 容易知道 n 1 时猜想成立. 这就相当于游戏 的条件1.类比条件2,可以考虑证明一个递推关系 : 1 如果n k时猜想成立, 即ak ,那么当n k 1时 k 1 猜想也成立, 即ak 1 . k 1 1 1 ak k 1 , 事实上, 如果ak ,那么ak 1 k 1 ak 1 1 k 1 k
证明当n k 1 时命题也成立 . 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从 0开始的 , n 所有正整数n都成立.
2归纳递推假设当n kk n0,k N 时命题成立,
上述证明方法叫做数学归纳法 (mathematic al induction ).用框图表示就是: 验证n n0时 命题成立 .