二次根式的除法 (优秀课件).ppt
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二次根式的除法课件
平方根。
$sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$（$a geq 0, b > 0$），即非负数的平方根与正数的 平方根的商等于这两个数商的平方根。
二次根式的化简
化简二次根式的一般步骤是
把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；化简 后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
二次根式的除法课件
目录
• 引言 • 二次根式的基本概念 • 二次根式的除法法则 • 二次根式除法的运算步骤 • 二次根式除法的应用举例 • 练习题与解答 • 总结与回顾
01
引言
目的和背景
掌握二次根式的除法 运算法则，理解其算 理。
通过学习，提高学生 的运算能力和数学素 养。
能够运用二次根式的 除法运算法则进行简 单的计算。
解答
$(sqrt{3} + sqrt{2}) div (sqrt{3} - sqrt{2}) = frac{(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} + sqrt{2})}{(sqrt{3} - sqrt{2})(sqrt{3} + sqrt{2})} = frac{5 + 2sqrt{6}}{1} = 5 + 2sqrt{6}$
数学兴趣和数学素养。
02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
二次根式是指形如$sqrt{a}$ （$a geq 0$）的代数式，其中
$a$叫做被开方数。
当$a > 0$时，$sqrt{a}$表示 $a$的正平方根；当$a = 0$时，
$sqrt{a} = 0$。
$sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$（$a geq 0, b > 0$），即非负数的平方根与正数的 平方根的商等于这两个数商的平方根。
二次根式的化简
化简二次根式的一般步骤是
把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；化简 后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
二次根式的除法课件
目录
• 引言 • 二次根式的基本概念 • 二次根式的除法法则 • 二次根式除法的运算步骤 • 二次根式除法的应用举例 • 练习题与解答 • 总结与回顾
01
引言
目的和背景
掌握二次根式的除法 运算法则，理解其算 理。
通过学习，提高学生 的运算能力和数学素 养。
能够运用二次根式的 除法运算法则进行简 单的计算。
解答
$(sqrt{3} + sqrt{2}) div (sqrt{3} - sqrt{2}) = frac{(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} + sqrt{2})}{(sqrt{3} - sqrt{2})(sqrt{3} + sqrt{2})} = frac{5 + 2sqrt{6}}{1} = 5 + 2sqrt{6}$
数学兴趣和数学素养。
02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
二次根式是指形如$sqrt{a}$ （$a geq 0$）的代数式，其中
$a$叫做被开方数。
当$a > 0$时，$sqrt{a}$表示 $a$的正平方根；当$a = 0$时，
$sqrt{a} = 0$。
二次根式的除法课件(PPT 18页)
初中代数第二册第十一章第三小节
二次根式的除法
（第三课时）
会熟练地运用二次根式的性质化简二次 根式；
会运用二次根式的除法法则及分母有理 化方法，熟练进行简单二次根式的除法 运算；
学习、体会灵活运用二次根式的性质和 法则的方法。
复习提问
1、二次根式的性质有哪些？
1) a 0a 0
2) a 2 aa 0
2
x y x y
x y
x y
2 m m m m 1 m 1
m
m
3 x2 2 x 2 x 2 x 2
x 2
x 2
1
1 1
2
6 2
2
1
5x
5x
5x
3 y xy
x
x
4 4 a 2 2a
2
已知：
2 1.414 ，如何求
1 2
与
8的
近似值？（结果保留两位有效数字）
解：
例题选讲
分母有理化： 3x 6
x2
解：方法1
3x 6 x2 方法2
(
3x (
6) x
x 2 )2
2
3(x 2) x 2 x2
3
x2
3x 6 3( x 2 ) 3( x 2 两种方法的依据各是什么？哪种
方法更简便？
把下列各式分母有理化
1
x y
方法2： 10 27 10 3 3 3 30
解（2）：方法1： 15 12 2 45 15 12 45 15 22 3532
2 45 45
2 45
15 2 3 15 15 2 45
方法2： 15 12 2 45 15 2 3 5 3 15
23 5 5
二次根式的除法
（第三课时）
会熟练地运用二次根式的性质化简二次 根式；
会运用二次根式的除法法则及分母有理 化方法，熟练进行简单二次根式的除法 运算；
学习、体会灵活运用二次根式的性质和 法则的方法。
复习提问
1、二次根式的性质有哪些？
1) a 0a 0
2) a 2 aa 0
2
x y x y
x y
x y
2 m m m m 1 m 1
m
m
3 x2 2 x 2 x 2 x 2
x 2
x 2
1
1 1
2
6 2
2
1
5x
5x
5x
3 y xy
x
x
4 4 a 2 2a
2
已知：
2 1.414 ，如何求
1 2
与
8的
近似值？（结果保留两位有效数字）
解：
例题选讲
分母有理化： 3x 6
x2
解：方法1
3x 6 x2 方法2
(
3x (
6) x
x 2 )2
2
3(x 2) x 2 x2
3
x2
3x 6 3( x 2 ) 3( x 2 两种方法的依据各是什么？哪种
方法更简便？
把下列各式分母有理化
1
x y
方法2： 10 27 10 3 3 3 30
解（2）：方法1： 15 12 2 45 15 12 45 15 22 3532
2 45 45
2 45
15 2 3 15 15 2 45
方法2： 15 12 2 45 15 2 3 5 3 15
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二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式的除法PPT精品课件
一、读一读
xù 煦煦
yì 翌日
wān 蜿蜒
piāo 剽悍
qǐ 绮丽
jù 飓风
zhù 伫立
móu 凝眸
二、记一记
伫立:
长时间地站着。
绮丽:
鲜艳美丽。
轻盈:
形容身材苗条，动作轻快。
剽悍:
敏捷而勇猛。
寡不敌众: 人少的一方抵抗不住人多的一方。本文形容
一只苍鹰抵挡不住众多鹤的攻击。
无济于事: 对于事情没有什么帮助。
（3） a－1 •（ a－1）＝ a－1
2.把下列各式的分母有理化：
（4）3
2＝
3
6
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
3.化简：
（1） － 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－3 2 1）
48
24
mm－ －4531成、1解 立、 4.： 的等要 条式使件等 mm是－ －式 __53成 _＝_m立_>_，_5mm_m－ －_必_53_须 _成。满立足的 条
除 作以 为除 商式 的的被算开术方平数方根。
例5：化简 (1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
解： 1 3 3 3
100 100 10
（2） 1 3 ＝
19
＝
19 ＝
19
16 16 16 4
3 25x 25x 5 x
9y2 9y2 3y
注意： 如果被开方数是 带分数，应先化 成假分数。
(3)原式＝
41 7＝ 5 10
21 10＝
57
6
如果根号前 有系数，就 把系数相除
二次根式的除法课件
性质
二次根式的除法满足交换律、结 合律和倒数性质。
除法的意义
简化二次根式
通过除法，可以将复杂的二次根式化简为简单的二次根式或非二次根式。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如计算面积、体积等，需要用到二次根式的除法。
除法与乘法的关系
互为逆运算
二次根式的除法与乘法是互为逆运算 的关系，即乘法的逆运算是除法，除 法的逆运算是乘法。
乘法与除法的对比与联系
乘法和除法在运算性质、运算法 则和公式等方面存在明显的差异
。
乘法是加法的重复，而除法是减 法的重复。
在二次根式的运算中，乘法和除 法既有联系又有区别，需要仔细
区分和掌握。
05
CATALOGUE
二次根式的除法在实际问题中的应用
在几何问题中的应用
总结词
解决实际问题
详细描述
二次根式的除法在几何问题中有着广泛的应用，例如计算图形的面积、周长等。通过将二次根式进行除法运算， 可以得出精确的数值结果，从而帮助解决各种几何问题。
相互转换
在一定条件下，二次根式的除法可以 转换为乘法，通过乘法的运算性质和 公式进行计算，反之亦然。
02
CATALOGUE
二次根式的除法法则
除法法则的推导
01
从二次根式的乘法法则出发，通 过逆向操作推导出除法法则。
02
举例说明：如$frac{a}{sqrt{b}
除法运算的实例
实例一
$frac{2sqrt{3}}{3sqrt{2}}$：首先将被除数和除数进行除法运 算，得到商和余数，然后根据余数的大小对商进行化简，最 终得到结果为$frac{sqrt{6}}{3}$。
实例二
$frac{-sqrt{5}}{5sqrt{3}}$：首先将被除数和除数进行除法运 算，得到商和余数，然后根据余数的大小对商进行化简，最 终得到结果为$-frac{sqrt{15}}{15}$。
二次根式的除法满足交换律、结 合律和倒数性质。
除法的意义
简化二次根式
通过除法，可以将复杂的二次根式化简为简单的二次根式或非二次根式。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如计算面积、体积等，需要用到二次根式的除法。
除法与乘法的关系
互为逆运算
二次根式的除法与乘法是互为逆运算 的关系，即乘法的逆运算是除法，除 法的逆运算是乘法。
乘法与除法的对比与联系
乘法和除法在运算性质、运算法 则和公式等方面存在明显的差异
。
乘法是加法的重复，而除法是减 法的重复。
在二次根式的运算中，乘法和除 法既有联系又有区别，需要仔细
区分和掌握。
05
CATALOGUE
二次根式的除法在实际问题中的应用
在几何问题中的应用
总结词
解决实际问题
详细描述
二次根式的除法在几何问题中有着广泛的应用，例如计算图形的面积、周长等。通过将二次根式进行除法运算， 可以得出精确的数值结果，从而帮助解决各种几何问题。
相互转换
在一定条件下，二次根式的除法可以 转换为乘法，通过乘法的运算性质和 公式进行计算，反之亦然。
02
CATALOGUE
二次根式的除法法则
除法法则的推导
01
从二次根式的乘法法则出发，通 过逆向操作推导出除法法则。
02
举例说明：如$frac{a}{sqrt{b}
除法运算的实例
实例一
$frac{2sqrt{3}}{3sqrt{2}}$：首先将被除数和除数进行除法运 算，得到商和余数，然后根据余数的大小对商进行化简，最 终得到结果为$frac{sqrt{6}}{3}$。
实例二
$frac{-sqrt{5}}{5sqrt{3}}$：首先将被除数和除数进行除法运 算，得到商和余数，然后根据余数的大小对商进行化简，最 终得到结果为$-frac{sqrt{15}}{15}$。
《二次根式除法》课件
02
二次根式除法运算
除法运算步骤
1 2
3
步骤一
确定被除数和除数：首先需要确定二次根式的被除数和除数 ，这是进行除法运算的基础。
步骤二
进行除法运算：根据二次根式的性质，将被除数和除数进行 相除，得到商。
步骤三
化简结果：对得到的商进行化简，确保结果是最简二次根式 。
运算注意事项
注意一
除数不能为零：在二次根式除法中，除数不能为零，否则会导致无意义。
分母有理化的应用
解决二次根式的除法问题
通过分母有理化，可以将二次根式的除法问题转化为乘法问题，简化计算过程。
化简复杂表达式
在数学和物理中，有些表达式可能包含难以处理的根式，通过分母有理化可以化简这些表达式，使其更易于理解 和计算。
04
二次根式除法在数学中的应 用
在代数方程中的应用
代数方程是数学中常见的形式之一，二次根式除法在解决代 数方程中具有重要作用。通过将方程中的根式化为分数指数 幂，可以简化方程，使其更容易求解。
《二次根式除法》ppt课件
$number {01}
目录
• 二次根式除法概述 • 二次根式除法运算 • 二次根式除法与分母有理化 • 二次根式除法在数学中的应用 • 二次根式除法的练习与巩固
01
二次根式除法概述
定义与性质
定义
二次根式除法是指将一个二次根 式除以另一个二次根式的过程。
性质
二次根式除法具有乘法的分配律 、结合律等基本性质，同时还有 除法的倒数性质等特殊性质。
除法与乘法的关联
关联
二次根式除法可以转化为乘法运算，即被除数乘以除数的倒 数。
应用
通过这种转化，可以简化二次根式除法的计算过程，提高运 算效率。
八年级数学下册教学-16.2 二次根式的乘除 课件(共16张PPT).ppt
02
练一练
1．（2019·海口市丰南中学初三期末）已知： 是整数，则满足条件
的最小正整数为(
A．2
)
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】
∵ 20 = 4 × 5 = 2 5 ，且 20 是整数，
∴2 5是整数，即5n是完全平方数，
∴n的最小正整数为5．
故选D．
02
练一练
2．已知 = ， = ，则 = (
PA R T
02
练一练
02
练一练
计算：
1） 14 × 7 = 14 × 7 = 2 × 72 = 7 2
2）2 10 × 3 5 = 2 × 3 × 10 × 5
= 6× 2×5×5
= 6 × 52 × 2=30 2
3） 3 ×
1
3
= 3 × 1 =
3
× 2= = 2 × =
A．2a
B．ab
C．
)
D．
【答案】D
【详解】
解： 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3 ×
3 = ⋅ ⋅ = 2 ．
故选D．
3．（2019·肇庆市端州区南国中英文学校初二期中）下列
各数中,与2 的积为有理数的是(
A．2
B．3
C．
)
【答案】D
【详解】
解：A、2×2 3=4 3为无理数，故不能；
01
二次根式的乘法法则变形
注意公式成立条件
ab = • ≥ 0，b ≥ 0
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
计算：
1） 16 × 81 =
=
二次根式的除法课件
04 典型例题解析
分母有理化的应用
总结词
分母有理化是一种重要的二次根式除 法技巧，通过将分母转化为有理数， 可以简化二次根式的运算。
详细描述
分母有理化的目的是将二次根式中的 分母转化为一个平方数，从而消除根 式中的分母。实现分母有理化的关键 是找到与分母相乘的平方数。
复杂二次根式的除法
总结词
复杂二次根式的除法需要灵活运用各种运算法则和技巧，如因式分解、分母有理化等，以简化运算。
详细描述
在进行复杂二次根式除法时，应先观察被除式的特点，选择合适的运算顺序和技巧。例如，可以先运 用因式分解将复杂二次根式化为多个简单二次根式的积，再运用分母有理化等方法进行化简。
含参变量的二次根式除法
总结词
含参变量的二次根式除法是数学运算中常见的题型之一，需要学生掌握如何处理参数与二次根式之间的关系。
03 二次根式除法的技巧和方 法
分子有理化
总结词
利用有理化分子的方法，将二次根式 化简成最简二次根式。
详细描述
通过分子有理化，可以将二次根式转 化为有理数或整式，从而简化计算过 程，提高运算效率。具体方法包括： 分母有理化和分子有理化。
换元法
总结词
用字母代替未知数，将复杂表达式转换为简单表达式。
二次根式的定义
二次根式是一种表达数值的方式，它 表示对一个数或代数式进行开方运算 。
课程目标与内容
课程目标
帮助学生掌握二次根式除法的基 本原理、方法和技巧，理解其运 算过程，培养其数学思维和解决 问题的能力。
课程内容
介绍二次根式除法的定义、性质 、法则和运算方法，并通过例题 和练习题加深学生对知识点的理 解和掌握。
1. $\frac{4 \div 2}{\sqrt{4}} = 2 \div 2 = 1$
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2.把下列各式分母有理化： 寻找分母的
有理化因式，
1 5 3 5
4 12 8
应找最简单 的有理化因 式，也可灵
2 45 3
2 20
4
活运用我们 学过的性质 和法则，简
3
a2
(a 2)
a
1
化、优化解 答过程。
2 a 1
2a 2
练习：
（1）3 6
（2）- 45 （3） 2
2 20
3
（4）-4 2 （5） 3 （6）1
(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
2 3
2 3
23 33
6 32
6 6 32 3
2 2 3
6
6
3 3 3 ( 3)2 3
(2) 2 3 2 3 3 3 2 6
8 22
2
2 2 2
(3) 27 27 3x 9 x 3 x
3x
3x 3x 3x
x
在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式。
例2.计算:
(1) 40 5
解：
(2) 4 1 3 12
(1) 40 5 40 40 8 22 2 2 2
55
(2) 4 1 4 1 4 12 42 4 3 12 3 12 3
练习:
1 72
6
2 11 1
26
3 40
45
4 m5n4 5 m4n3
小结：二次根式性质4：
温故：
二次根式性质3：
如果a≥0,b≥0,那么有 a· b ab 如果a≥0,b≥0,那么有 ab a· b
化简：
1 4 16
练习
7 18
2 36 256
8 5 2 3 18
3 30000
9 45 48
4 132 122
10 ab 1 1
5 a2 (b c)2 (a≥0,b+c≥0)
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
化简:
15 12 2 45
15 12 2 45 15 2 3 5 3 15 23 5 5
由上面的计算可知： 二次根式的除法运算，通常采
用分子、分母同乘以一个式子化 去分母中的根号的方法，这种方 法就叫做分母有理化
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
15 15
24 24
观察、猜想训练
验证下列各式，猜想下一个式子是什 么？你能找到反映上述各式的规律吗？
1 2 2 2 2
3
3
2
3 3
3
3
8
8
n n n n n 2
n2 1
n2 1
3 4 4 4 4
15
15
4 5 5 5 5
24
24
化简二次根式
注意点： （1）当二次根式的被开方数中含有字母 时应充分注意式子中所含字母的取值范围 （2）进行二次根式的乘除运算或化简， 最终结果定要尽可能化简
作业
1 1 1
2
2 1
5x
3 y
x
4 4 a
2
(5) 4 4 9
ab
6 b a
ab
11 2 xy 1 1
3x
导新：
二次根式性质2：
a2 =|a|=
=a (a≥0) =-a (a<0)
计算
（1） （3） （5）
4 9 49 100 25 64
（2） （4） （6）
4 9 49 100 25 64
a 一般地,有 a _____b___, (a 0,b 0)
例1.化简
(1) 1 5
(2) 1 2 3
解：
(1)
1
=
1
5
=
5= 5
5 5 5 （ 5）2 5
2 5 5 5 3 15
(2) 1 = = =
=
3 3 3 （ 3）2 3
最简二次根式
1、被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数,因 式是整式）；
2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2 ）。
如果a 0,b 0,那么有 a a bb
也可以写成 a a (a 0, b 0) bb
注意：（1）a、b的取值范围； （2）当二次根式除以二次根式时
的系数与系数相除，若二次根式前面有系 数，可类比单项式除以单项式，即系数除 系数，被开方数相除作被开方数。
探究
把 a a bb
反过来，就可以得到:
a2b (6) 8c2
2、计算：
(1) 7 3 14 3 2 1 15 2 2
(2) ab3 (3 b ) (3 2a ) 2a
课堂练习
b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开方 数相除的商，作为商的被开方数；
这个公式反过来写,得到:___ba_____ba____( a 0,b 0)
例1.计算或化简:
(1) 15
3
(2) 24 3
解：(1) 15 15 5
33
(2) 24 24 8 22 2 2 2 33
37
5
6
（7）-2 2 （8） 5
53
10
二次根式的化简要求满足以下两 条: (1)被开方数的因数是整数,因式是 整式,也就是说“被开方数不含分 母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因 数或因式,也就是说“被开方数的 每一个因数或因式的指数都小于
2”.
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
a a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
你能去掉分母中的根号吗？
计算：
解（1）
解法一： 解法二：
我们把满足上述两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要 写成最简二次根式的形式。
下列哪些是最简二次根式 2 5、36、12、27、 2、 7 、 2
3 32
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,