二次根式的除法 (优秀课件).ppt
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我们把满足上述两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要 写成最简二次根式的形式。
下列哪些是最简二次根式 2 5、36、12、27、 2、 7 、 2
3 32
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
化简:
15 12 2 45
15 12 2 45 15 2 3 5 3 15 23 5 5
由上面的计算可知： 二次根式的除法运算，通常采
用分子、分母同乘以一个式子化 去分母中的根号的方法，这种方 法就叫做分母有理化
温故：
二次根式性质3：
如果a≥0,b≥0,那么有 a· b ab 如果a≥0,b≥0,那么有 ab a· b
化简：
1 4 16
练习
7 18
2 36 256
8 5 2 3 18
3 30000
9 45 48
4 132 122
10 ab 1 1
5 a2 (b c)2 (a≥0,b+c≥0)
37
5
6
（7）-2 2 （8） 5
53
10
二次根式的化简要求满足以下两 条: (1)被开方数的因数是整数,因式是 整式,也就是说“被开方数不含分 母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因 数或因式,也就是说“被开方数的 每一个因数或因式的指数都小于
2”.
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
例1.化简
(1) 1 5
(2) 1 2 3
解：
(1)
1
=
1
5
=
5= 5
5 5 5 （ 5）2 5
2 5 5 5 3 15
(2) 1 = = =
=
3 3 3 （ 3）2 3
最简二次根式
1、被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数,因 式是整式）；
2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2 ）。
(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
2 3
2 3
23 33
6 32
6 6 32 3
2 2 3
6
6
3 3 3 ( 3)2 3
(2) 2 3 2 3 3 3 2 6
8 22
2
2 2 2
(3) 27 27 3x 9 x 3 x
3x
3x 3x 3x
x
在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式。
例2.计算:
(1) 40 5
解：
(2) 4 1 3 12
(1) 40 5 40 40 8 22 2 2 2
55
(2) 4 1 4 1 4 12 42 4 3 12 3 12 3
练习:
1 72
6
2 11 1
26
3 40
45
4 m5n4 5 m4n3
小结：二次根式性质4：
n2 1
n2 1
3 4 4 4 4
15
15
4 5 5 5 5
24
24
化简二次根式
注意点： （1）当二次根式的被开方数中含有字母 时应充分注意式子中所含字母的取值范围 （2）进行二次根式的乘除运算或化简， 最终结果定要尽可能化简
作业
1 1 1
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
5x
3 y
x
4 4 a
2
(5) 4 4 9
如果a 0,b 0,那么有 a a bb
也可以写成 a a (a 0, b 0) bb
注意：（1）a、b的取值范围； （2）当二次根式除以二次根式时
的系数与系数相除，若二次根式前面有系 数，可类比单项式除以单项式，即系数除 系数，被开方数相除作被开方数。
探究
把 a a bb
反过来，就可以得到:
b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开方 数相除的商，作为商的被开方数；
这个公式反过来写,得到:___ba_____ba____( a 0,b 0)
例1.计算或化简:
(1) 15
3
(2) 24 3
解：(1) 15 15 5
33
(2) 24 24 8 22 2 2 2 33
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4）2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
15 15
24 24
观察、猜想训练
验证下列各式，猜想下一个式子是什 么？你能找到反映上述各式的规律吗？
1 2 2 2 2
3
3
2
3 3
3
3
8
8
n n n n n 2
ab
6 b a
ab
11 2 xy 1 1
3x
导新：
二次根式性质2：
a2 =|a|=
=a (a≥0) =-a (a<0)
计算
（1） （3） （5）
4 9 49 100 25 64
（2） （4） （6）
4 9 49 100 25 64
a 一般地,有 a _____b___, (a 0,b 0)
a2b (6) 8c2
2、计算：
(1) 7 3 14 3 2 1 15 2 2
(2) ab3 (3 b ) (3 2a ) 2a
课堂练习
2.把下列各式分母有理化： 寻找分母的
有理化因式，
1 5 3 5
4 12 8
应找最简单 的有理化因 式，也可灵
2 45 3
2 20
4
活运用我们 学过的性质 和法则，简
3
a2
(a 2)
a
1
化、优化解 答过程。
2 a 1
2a 2
练习：
（1）3 6
（2）- 45 （3） 2
2 20
3
（4）-4 2 （5） 3 （6）1
a a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
你能去掉分母中的根号吗？
计算：
解（1）
解法一： 解法二：
叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要 写成最简二次根式的形式。
下列哪些是最简二次根式 2 5、36、12、27、 2、 7 、 2
3 32
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
化简:
15 12 2 45
15 12 2 45 15 2 3 5 3 15 23 5 5
由上面的计算可知： 二次根式的除法运算，通常采
用分子、分母同乘以一个式子化 去分母中的根号的方法，这种方 法就叫做分母有理化
温故：
二次根式性质3：
如果a≥0,b≥0,那么有 a· b ab 如果a≥0,b≥0,那么有 ab a· b
化简：
1 4 16
练习
7 18
2 36 256
8 5 2 3 18
3 30000
9 45 48
4 132 122
10 ab 1 1
5 a2 (b c)2 (a≥0,b+c≥0)
37
5
6
（7）-2 2 （8） 5
53
10
二次根式的化简要求满足以下两 条: (1)被开方数的因数是整数,因式是 整式,也就是说“被开方数不含分 母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因 数或因式,也就是说“被开方数的 每一个因数或因式的指数都小于
2”.
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
例1.化简
(1) 1 5
(2) 1 2 3
解：
(1)
1
=
1
5
=
5= 5
5 5 5 （ 5）2 5
2 5 5 5 3 15
(2) 1 = = =
=
3 3 3 （ 3）2 3
最简二次根式
1、被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数,因 式是整式）；
2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2 ）。
(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
2 3
2 3
23 33
6 32
6 6 32 3
2 2 3
6
6
3 3 3 ( 3)2 3
(2) 2 3 2 3 3 3 2 6
8 22
2
2 2 2
(3) 27 27 3x 9 x 3 x
3x
3x 3x 3x
x
在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式。
例2.计算:
(1) 40 5
解：
(2) 4 1 3 12
(1) 40 5 40 40 8 22 2 2 2
55
(2) 4 1 4 1 4 12 42 4 3 12 3 12 3
练习:
1 72
6
2 11 1
26
3 40
45
4 m5n4 5 m4n3
小结：二次根式性质4：
n2 1
n2 1
3 4 4 4 4
15
15
4 5 5 5 5
24
24
化简二次根式
注意点： （1）当二次根式的被开方数中含有字母 时应充分注意式子中所含字母的取值范围 （2）进行二次根式的乘除运算或化简， 最终结果定要尽可能化简
作业
1 1 1
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
5x
3 y
x
4 4 a
2
(5) 4 4 9
如果a 0,b 0,那么有 a a bb
也可以写成 a a (a 0, b 0) bb
注意：（1）a、b的取值范围； （2）当二次根式除以二次根式时
的系数与系数相除，若二次根式前面有系 数，可类比单项式除以单项式，即系数除 系数，被开方数相除作被开方数。
探究
把 a a bb
反过来，就可以得到:
b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开方 数相除的商，作为商的被开方数；
这个公式反过来写,得到:___ba_____ba____( a 0,b 0)
例1.计算或化简:
(1) 15
3
(2) 24 3
解：(1) 15 15 5
33
(2) 24 24 8 22 2 2 2 33
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4）2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
15 15
24 24
观察、猜想训练
验证下列各式，猜想下一个式子是什 么？你能找到反映上述各式的规律吗？
1 2 2 2 2
3
3
2
3 3
3
3
8
8
n n n n n 2
ab
6 b a
ab
11 2 xy 1 1
3x
导新：
二次根式性质2：
a2 =|a|=
=a (a≥0) =-a (a<0)
计算
（1） （3） （5）
4 9 49 100 25 64
（2） （4） （6）
4 9 49 100 25 64
a 一般地,有 a _____b___, (a 0,b 0)
a2b (6) 8c2
2、计算：
(1) 7 3 14 3 2 1 15 2 2
(2) ab3 (3 b ) (3 2a ) 2a
课堂练习
2.把下列各式分母有理化： 寻找分母的
有理化因式，
1 5 3 5
4 12 8
应找最简单 的有理化因 式，也可灵
2 45 3
2 20
4
活运用我们 学过的性质 和法则，简
3
a2
(a 2)
a
1
化、优化解 答过程。
2 a 1
2a 2
练习：
（1）3 6
（2）- 45 （3） 2
2 20
3
（4）-4 2 （5） 3 （6）1
a a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
你能去掉分母中的根号吗？
计算：
解（1）
解法一： 解法二：